Обратна формула Pythagora. Урокът "теорем - теоремата на Пиртагор"

Предмет: Теорема, обратната теорема Питагора.

Цели Урок: 1) разгледа теоремата обратната питагора; използването му в процеса на решаване на проблеми; Фиксирайте теоремата на Pythagora и подобрете уменията за решаване на проблеми за неговото използване;

2) Разработване на логическо мислене, творческо търсене, когнитивен интерес;

3) Създайте ученици с отговорно отношение към ученията, културата на математическата реч.

Вид на урока. Урок засилване на нови знания.

По време на класовете

І. Организиране на времето

ІІ. Актуализация Знание

Урок меби билоискахзапочнете с Quatrain.

Да, пътят на знанието не се радва

Но ние знаем от учебните години,

Загадки повече от въображението

И няма търсене на лимита!

Така че, в миналото, урокът научихте теоремата на Пиртагор. Въпроси:

Теоремата Pythagora е валидна за коя фигура?

Какъв триъгълник се нарича правоъгълна?

Формулирайте теоремата на Пиртагор.

Как ще бъде написана теоремата Pythagora за всеки триъгълник?

Какви триъгълници се наричат \u200b\u200bравни?

Думите на знаците на равенството на триъгълниците?

И сега ще прекараме малка независима работа:

Решаване на задачи според рисунките.

№1

(1 b.) Намерете: AV.

№2

(1 b.) Намерете: Sun.

№3

( 2 б.)Намерете: AC.

№4

(1 b.)Намерете: AC.

№5 Дано: ABC.Д. Ромб

(2 b.) AV \u003d 13 cm

AC \u003d 10 cm

Открий вД.

Самостоятелен номер 1. пет

№2. 5

№3. 16

№4. 13

№5. 24

ІІІ. Проучване Нов материал.

Древните египтяни построиха прав ъгли на земята по този начин: те споделиха бурлата на 12 равни части, краищата бяха свързани, след което въжето беше опъната така насам, така че да се формира триъгълник с партита 3, 4 и 5 дивизии . Ъгълът на триъгълника, който лежеше срещу страната с 5 дивизии, беше прав.

Можете ли да обясните коректността на това решение?

В резултат на търсенето на отговор на въпроса, учениците трябва да разберат, че от математическа гледна точка въпросът е определен: дали триъгълникът е правоъгълен.

Ние поставяме проблема: как, без да правим измервания, определете дали триъгълникът с посочените страни е правоъгълен. Решението на този проблем е целта на урока.

Запишете урока за тема.

Теорема. Ако сумата на квадратите от двете страни на триъгълника е равна на квадрата на третата страна, тогава такъв триъгълник е правоъгълен.

Самостоятелно доказват теорема (компилирайте план за доказване на учебника).

От тази теорема следва, че триъгълникът със страните 3, 4, 5 е правоъгълен (египетски).

Като цяло, числата, за които се извършва равенство , Обадете се на Pythagora Troika. И триъгълниците, дължините на страните от които се изразяват от войските на Питагора (6, 8, 10), - триъгълници на Питагора.

Закрепване.

Като , след това триъгълникът със страните 12, 13, 5 не е правоъгълен.

Като , след това триъгълникът със страните 1, 5, 6 е правоъгълен.

№ 430 (A, B, B)

( - не е)

Разглеждането на училищната програма с помощта на видео материали е удобен начин за обучение и асимилиране на материали. Видеото помага да се концентрира вниманието на учениците от основните теоретични разпоредби и да не пропускат важни детайли. Ако е необходимо, учениците винаги могат да слушат видео урока да се повтарят или да се върнат на няколко теми.

Този видео урок за 8-ми клас ще помогне на учениците да изследват нова тема на геометрията.

В предишната тема изучавахме теоремата на Пиртагор и разглобеха доказателството си.

Има и теорема, която е известна като обратната теорема на Питагора. Погледнете го по-подробно.

Теорема. Триъгълникът е правоъгълен, ако се извършва равенство в него: стойността на едната страна на триъгълника, издигната в квадрата, е същата като количеството на двете други страни, издигнати до площада.

Доказателства. Да предположим, че ABC триъгълникът ни е даден, в който се извършва равенството AB 2 \u003d СА 2 + СВ 2. Необходимо е да се докаже, че ъгълът С е 90 градуса. Помислете за триъгълник А 1 В1С 1, в който ъгъл С1 е 90 градуса, страничната С1 А1 е CA и страната В1С 1 е равна на ВС.

Използване на теоремата Pythagora, запишете съотношението на страните в триъгълника A 1 C 1 B 1: A 1 B 1 2 \u003d С1 А12 + С1 В12. Чрез замяна в експресията от равната страна получаваме 1 B 1 2 \u003d СА 2 + СВ 2.

От условията на теоремата, ние знаем, че AB 2 \u003d Ca2 + CB 2. След това можем да напишем 1 B 1 2 \u003d AB 2, от който следва, че a 1 b 1 \u003d ab.

Открихме, че в триъгълниците на ABC и A 1 B 1C 1 са трите страни: a 1 C 1 \u003d AC, B '° C 1 \u003d BC, A 1 B1 \u003d ab. Така че тези триъгълници са равни. От равенството на триъгълниците следва, че ъгълът на С е равен на ъгъла на 1 и съответно 90 градуса. Ние определихме, че арката на ABC правоъгълна и нейният ъгъл С е 90 градуса. Доказахме тази теорема.

Авторът допълнително дава пример. Да предположим, че това е произволен триъгълник. Известни размери на своите страни: 5, 4 и 3 единици. Проверяваме твърдението от теоремата, Pythagora обратната теорема: 5 2 \u003d 3 2 + 4 2. Изявлението е вярно, тогава този триъгълник е правоъгълен.

В следващите примери триъгълниците също ще бъдат правоъгълни, ако техните партии са равни:

5, 12, 13 единици; Равенство 13 2 \u003d 5 2 + 12 2 е верен;

8, 15, 17 единици; Равенство 17 2 \u003d 8 2 + 15 2 е вярно;

7, 24, 25 единици; Равенството 25 2 \u003d 7 + 24 2 е вярно.

Известна е концепцията за триъгълник на Питагора. Това е правоъгълен триъгълник, в който стойностите на страните са равни на цели числа. Ако питагорейският триъгълник кардио показват чрез a и c, и хипотения b, тогава стойностите на страните на този триъгълник могат да бъдат написани, като се използват следните формули:

b \u003d k x (m 2 - n2)

c \u003d K X (m 2 + N2)

където m, n, k е всякакви естествени числа, а стойността m е по-голяма от стойността n.

Интересен факт: триъгълникът със страните 5, 4 и 3 се нарича и египетски триъгълник, такъв триъгълник е известен в древен Египет.

В това видео се запознахме с теоремата, питагорската обратна теорема. Подробности са разгледани доказателство. Учениците също научиха какви триъгълници се наричат \u200b\u200bПитагоров.

Учениците могат лесно да се запознаят с теоремата, обратната теорема на Pythagorean, независимо с този видеоурок.

Питагорова теорема - една от основните теореми на евклидовата геометрия, създаваща съотношението

между страните на правоъгълия триъгълник.

Смята се, че се доказва от гръцкия математик Питагор, в чест и наречен.

Геометрична формулировка на питагоровата теорема.

Първоначално теоремата е формулирана, както следва:

В правоъгълен триъгълник квадратът на квадрата, изграден върху хипотенузата, е равен на сумата на квадратите на квадратите,

построени върху кетеши.

Алгебрична формулировка на питагоровата теорема.

В правоъгълен триъгълник, квадрата на дължината на хипотенузата е равна на сумата на квадратите на дължината на каретата.

Т.е. обозначава дължината на триъгълника хипотенза ° С.и дължината на катетите а. и б.:

И двете формулировки pythagora Теоремиеквивалент, но втората формулировка е по-елементарна, тя не е така

изисква концепцията за района. Това означава, че второто твърдение може да бъде проверено, нищо не знае за района и

измерване само на дължината на страните на правоъгълния триъгълник.

Pythagorean обратна теорема.

Ако квадрата от едната страна на триъгълника е равна на сумата на квадратите от другите две страни, тогава

триъгълникът е правоъгълен.

Или, с други думи:

За всичките три положителни числа а., б. и ° С., такова

има правоъгълен триъгълник с митниците а. и б.и хипотенуза ° С..

Pythagora теорема за уравнителен триъгълник.

Теорема Pythagora за равностранен триъгълник.

Доказателство за питагоровата теорема.

В момента 367 доказателства за тази теорема бяха записани в научната литература. Вероятно теорема

Питагора е единствената теорема с такъв впечатляващ брой доказателства. Такъв сорт

може да се обясни само по фундаменталната стойност на теоремата на геометрията.

Разбира се, концептуално всички те могат да бъдат разделени на малък брой часове. Най-известните от тях:

доказателство за метод на космоса, аксиоматични и екзотични доказателства (например,

без значение диференциални уравнения).

1. Доказателство за теоремата на Пиртагор чрез такива триъгълници.

Следните доказателства за алгебрична формулировка са най-простите доказателства в строеж.

директно от аксиома. По-специално, той не използва концепцията за фигурата на фигурата.

Нека бъде АВС Има правоъгълен триъгълник с прав ъгъл ° С.. Да прекараме височината на ° С. И означават

неговата фондация чрез Х..

Триъгълник ACH. Като триъгълник AB.В за два ъгъла. По същия начин, триъгълник CBH. като АВС.

Въвеждане на нотация:

получаваме:

,

какво отговаря на -

Съчетаване а. 2 I. б. 2, получаваме:

или, което се изискваше да докаже.

2. Доказателство за теоремата Pythagore от областта на района.

По-долу, доказателствата, въпреки тяхната привидната простота, не е толкова проста. Всички тях

използвайте свойствата на района, доказателствата за които е по-сложно от доказателството на самата теорема на Pythagora.

• Доказателство чрез равнодука.

Поставете четири равни правоъгълни

триъгълник, както е показано на снимката

на дясно.

Quadril със страни ° С. - Квадрат,

тъй като сумата от два остри ъгли от 90 ° и

разположен ъгъл - 180 °.

Площта на цялата фигура е равна на едната ръка,

квадратна площ със страна ( a + B.), а от друга страна, сумата на площта на четири триъгълника и

Q.E.D.

3. Доказателство за теоремата Pythagore по метода на безкрайно малък.

​

Като се има предвид рисунката, показана на фигурата и

наблюдение на смяна на странатаа., ние можем

запишете следното съотношение за безкрайно

малък стъпки от странаот и а. (Използване на подобие

триъгълници):

Използване на метода за разделяне на променливите, намираме:

По-общ израз за промяна на хипотенузата в случай на увеличаване на двете катети:

Интегриране на това уравнение и използване на първоначалните условия, ние получаваме:

Така стигаме до желания отговор:

Тъй като не е трудно да се види, квадратичната зависимост в крайната формула се появява поради линейното

пропорционалност между страните на триъгълника и стъпки, докато сумата е свързана с независима

депозити от увеличаването на различни катетри.

Може да се получи по-просто доказателство, ако приемем, че един от катедрите не изпитва увеличение

(в този случай catat б.). След това, за постоянната интеграция, получаваме:

Теоремата на Питагор казва:

В правоъгълен триъгълник сумата на квадратите на катетите е равна на квадрата на хипотенузата:

2 + B 2 \u003d C 2,

• а. и б. - корени, които образуват прав ъгъл.
• от - Триъгълник хипотенуза.

Формули на теорема Pythagora

• a \u003d sqrt (c ^ (2) - b ^ (2))
• b \u003d sqrt (c ^ (2) - a ^ (2))
• c \u003d sqrt (a ^ (2) + b ^ (2))

Доказателство за теоремата Pythagora

Площта на правоъгълния триъгълник се изчислява по формулата:

S \u003d frac (1) (2) ab

За да се изчисли площта на арбитратен триъгълник формула:

• пс. - полумер. P \u003d frac (1) (2) (a + b + с), \\ t
• r. - Радиус е вписан кръг. За правоъгълник \u003d frac (1) (2) (a + b-c).

След това приравняваме правилните части на двете формули за областта на триъгълника:

FRAC (1) (2) AB \u003d FRAC (1) (2) (A + B + с) FRAC (1) (2) (А + В-С)

2 AB \u003d (A + B + с) (A + B-C)

2 AB \u003d ляво ((a + b) ^ (2) -C ^ (2) вдясно)

2 ab \u003d a ^ (2) + 2AB + b ^ (2) -C ^ (2) \\ t

0 \u003d a ^ (2) + b ^ (2) -C ^ (2)

c ^ (2) \u003d a ^ (2) + b ^ (2)

Pythagorean обратна теорема:

Ако квадрата от едната страна на триъгълника е равна на сумата на квадратите от другите две страни, тогава триъгълникът е правоъгълен. Това е, за всичките три положителни числа а, Б. и ° С., такова

2 + B 2 \u003d C 2,

има правоъгълен триъгълник с митниците а. и б. и хипотенуза ° С..

Питагорова теорема - една от основните теореми на евклидовата геометрия, която създава съотношението между страните на правоъгълия триъгълник. Тя се доказва от учен математик и философ Питагор.

Теорема В това, с помощта си, можете да докажете други теореми и да решавате проблеми.

Допълнителен материал:

Цели Урок:

общ:

• проверете теоретичните познания на учениците (свойства на правоъгълен триъгълник, питагоров теорема), способността да ги използвате при решаване на задачи;
• след като създадох проблемната ситуация, донесете учениците на "отварянето" на Pythagorean Averal Theorem.

разработване:

• разработване на умения за прилагане на теоретични знания на практика;
• разработване на способност за формулиране на заключения по време на наблюдения;
• развитие на паметта, внимание, наблюдение:
• развитие на мотивацията на ученията чрез емоционално удовлетворение от откритията, чрез въвеждане на елементи от историята на развитието на математическите концепции.

образование:

• повишаване на устойчив интерес към темата чрез изучаването на жизнената дейност на Питагор;
• обучение на взаимопомощ и обективна оценка на познанията на съучениците чрез взаимния тест.

Форма на урока: Cool-клас.

План на урока:

• Организиране на времето.
• Проверете домашното. Актуализиране на знанията.
• Решаване на практически задачи, използващи питагорейската теорема.
• Нова тема.
• Първична консолидация на знанието.
• Домашна работа.
• Резултатите от урока.
• Независима работа (според отделни карти с познанието на афоризмите на Питагора).

По време на класовете.

Организиране на времето.

Проверете домашното. Актуализиране на знанията.

Учител: Каква задача сте извършили у дома?

Ученици: Според две данни към страните на правоъгълния триъгълник, намерете третата посока, отговорите за успокояване под формата на таблица. Повторете свойствата на ромб и правоъгълник. Повторете това, което се нарича състояние и че заключението на теоремата. Подгответе доклади за живота и дейностите на Питагора. Донесете въжето с 12 възела, вързани на нея.

Учител: Отговори на проверката на работното място на масата

(Черният цвят подчертава данни, червени - отговори).

Учител: На борда записано одобрение. Ако сте съгласни с тях на листата срещу съответния номер на въпроса, поставете "+", ако не сте съгласни, след това поставете "-".

На борда са написани предварително одобрение.

1. Хипотенуза повече категория.
2. Сумата от остри ъгли на правоъгълния триъгълник е 180 0.
3. Квадрат на правоъгълен триъгълник с обичаи нои в Изчислени по формула S \u003d ab / 2.
4. Теоремата на Питагор е вярна за всички равни триъгълници.
5. В правоъгълен триъгълник катат, разположен срещу ъгъла от 30 0, е равен на половината от хипотенузата.
6. Сумата на квадратите на катетите е равна на квадрата на хипотенузата.
7. Квадратът на категорията е равен на разликата в квадратите на хипотенузата и втората категория.
8. Страната на триъгълника е равна на сумата от двете други страни.

Проверка на работата с помощта на взаимен тест. Одобрения, които са разгледани спорове.

Ключът към теоретичните въпроси.

Студентите поставят всички оценки на следната система:

8 Правилни отговори "5";
6-7 Правилни отговори "4";
4-5 правилни отговори "3";
По-малко от 4 правилни отговори "2".

Учител: За какво говорим в миналия урок?

Ученик: Около Питагор и неговата теорема.

Учител: Формулирайте теоремата на Пиртагор. (Няколко студенти четат формулировката, по това време 2-3 студент го доказват на борда, 6 студенти - зад първите партии на листата).

Математическите формули са написани на магнитния дъска. Изберете тези от тях, които отразяват значението на теоремата Pythagora, където но и в - Kartets, от - хипотенуза.

1) C 2 \u003d A 2 + в 2	2) c \u003d a + в	3) А2 \u003d С2 - в 2
4) C 2 \u003d A 2 - в 2	5) при 2 \u003d С2 - А2	6) А2 \u003d С2 + в 2

Докато учениците доказват теоремата на борда и на земята, не са готови, думата се предоставя на тези, които са подготвили доклади за живота и дейностите на Питагора.

Учениците, работещи в областта, дават листа и слушат доказателствата за тези, които са работили на борда.

Решаване на практически задачи, използващи питагорейската теорема.

Учител: Предлагам ви практически задачи, използващи теоремата. Ние първо в гората, след бурята, след това на мястото на страната.

Задача 1.. След като бурята си счупил ела. Височината на останалата част е 4.2 m. Разстоянието от основата към падналата корона от 5.6 m. Намерете височината на бурята.

Задача 2.. Височината на къщата е 4,4 м ширината на тревата около къщата е 1,4 м. Каква дължина трябва да направим стълбище, така че да не стои на тревата и да достави на покрива на къщата?

Нова тема.

Учител: (музикални звуци) Затворете очите си, за няколко минути ще се потопим в историята. Ние сме с вас в древен Египет. Тук върху корабостроителниците на египтяните изграждат своите известни кораби. Но мързелите, те измерват парцелите земя, чиито граници се измиват след разлива на Нил. Строителите изграждат големи пирамиди, които все още ни удивяват с великолепието си. Във всички тези дейности египтяните се нуждаят от директни ъгли. Те знаеха как да ги изградят с помощта на въже с 12 години, вързани на същото разстояние един от друг с възли. Опитайте и двамата, спорейки като древни египтяни, изградете правоъгълни триъгълници, като използвате въжетата. (Решаване на този проблем, момчетата работят в групи от 4 души. След известно време, на таблета на дъската, някой показва изграждането на триъгълник).

Страните на получения триъгълник 3, 4 и 5. Ако е свързан между тези възли още един по един възел, тогава неговите партии ще бъдат 6, 8 и 10. Ако две - 9, 12 и 15. Всички тези триъгълници са правоъгълни T.

5 2 \u003d 3 2 + 4 2, 10 2 \u003d 6 2 + 8 2, 15 2 \u003d 9 2 + 12 2 и др.

Какъв имот трябва да трябва да бъде правоъгълен? (Учениците се опитват да формулират обратната теорема на Питагора, накрая, на някой, който се оказва).

Как тази теорема се различава от питагоровата теорема?

Ученик: Състояние и заключение променени места.

Учител: Вкъщи повтаряте как се наричат \u200b\u200bтакива теореми. И така, какво се срещаме сега?

Ученик: От обратната теорема за питагори.

Учител: Пишаме темата на урока в тетрадката. Отворете уроци на стр. 127 Прочетете отново това одобрение, запишете го в тетрадка и разглобете доказателството.

(След няколко минути независима работа с учебник, по желание, един човек на борда води до доказателство за теоремата).

1. Какво е името на триъгълника със страните 3, 4 и 5? Защо?
2. Какви триъгълници се наричат \u200b\u200bПитагоров?
3. Какви триъгълници работехте с домашното си? И в задачи с бор и стълби?

Първична консолидация на знанието

.

Тази теорема помага за решаването на задачите, в които е необходимо да се разбере дали триъгълниците ще бъдат правоъгълни.

Задачи:

1) Разберете дали триъгълникът е правоъгълен, ако страните са равни:

а) 12.37 и 35; б) 21, 29 и 24.

2) Изчислете височината на триъгълника със страните 6, 8 и 10 cm.

Домашна работа

.

PP.127: Pythagorean обратен теорема. № 498 (A, B, B) № 497.

Резултатите от урока.

Какво ново научено в урока?

Как се използва обратната теорема на Питагора, използвана в Египет?

При решаване на задачите се прилага?

Какви триъгълници са се запознали?

Какво се помни най-много и харесваше?

Независима работа (проведена от отделни карти).

Учител:Вкъщи повтаряте свойствата на ромб и правоъгълник. Ги избройте (има разговор с клас). В последния урок говорихме за факта, че Питагор е универсален човек. Той се занимаваше с медицина и музика и астрономия, както и спортист и участва в олимпийските игри. И Питагор беше философ. Много от афоризмите му са подходящи днес за нас. Сега ще извършите независима работа. На всяка задача се дава няколко възможности за отговори, до които се записват фрагменти от питагора афоризми. Вашата задача е да решите всички задачи, да направите изявление от получените фрагменти и да го запишете.