Представяне на производна на експоненциална и логаритмична функции. Диференциране на експоненциални и логаритмични функции
Алгебра и началото на математическия анализ
Диференциране на експоненциални и логаритмични функции
съставен от:
учител по математика, Общинско учебно заведение СОУ № 203 ХЕЦ
град Новосибирск
Видутова Т.В.
Номер д.функция y = e х, неговите свойства, графика, диференциране
1. Нека изградим графики за различни основи: 1. y = 2 x 3. y = 10 x 2. y = 3 x (2-ра опция) (1-ва опция) " width="640" Помислете за експоненциалната функция y = a х, където a е 1.
Ще строим за различни бази А графики:
1. y=2 х
3. y=10 х
2. y=3 х
(Вариант 2)
(1 опция)
1) Всички графики минават през точката (0; 1);
2) Всички графики имат хоризонтална асимптота y = 0
при х ∞;
3) Всички те са изпъкнали надолу;
4) Всички те имат допирателни във всичките си точки.
Нека начертаем допирателна към графиката на функцията y=2 х в точката х= 0 и измерете ъгъла, образуван от допирателната с оста х
Използвайки точни конструкции на допирателни към графиките, можете да забележите, че ако основата Аекспоненциална функция y = a хосновата постепенно нараства от 2 до 10, след това ъгълът между допирателната към графиката на функцията в точката х= 0 и оста x постепенно се увеличава от 35' до 66,5'.
Следователно има защо А, за който съответният ъгъл е 45’. И това е смисълът Асе сключва между 2 и 3, т.к при А= 2 ъгълът е 35', с А= 3 е равно на 48’.
В хода на математическия анализ се доказва, че тази основа съществува; обикновено се обозначава с буквата д.
Реши това д – ирационално число, т.е. представлява безкрайна непериодична десетична дроб:
e = 2,7182818284590… ;
На практика обикновено се приема, че д ≈ 2,7.
Функционална графика и свойства y = e х :
1) D(f) = (- ∞; + ∞);
3) нараства;
4) неограничен отгоре, ограничен отдолу
5) няма нито най-голямото, нито най-малкото
стойности;
6) непрекъснато;
7) E(f) = (0; + ∞);
8) изпъкнал надолу;
9) диференцируеми.
функция y = e х Наречен експонент .
В хода на математическия анализ беше доказано, че функцията y = e х има производна във всяка точка х :
(напр х ) = д х
(напр 5x )" = 5e 5x
(напр х-3 )" = д х-3
(напр -4x+1 )" = -4е -4x-1
Пример 1 . Начертайте допирателна към графиката на функцията в точка x=1.
2) f()=f(1)=e
4) y=e+e(x-1); y = пр
Отговор:
Пример 2 .
х = 3.
Пример 3 .
Разгледайте екстремалната функция
x=0 и x=-2
х= -2 – максимална точка
х= 0 – минимална точка
Ако основата на логаритъм е число д, тогава казват, че се дава натурален логаритъм . За натуралните логаритми е въведена специална нотация вътре (l – логаритъм, n – натурален).
Графика и свойства на функцията y = ln x
Свойства на функцията y = lnx:
1) D(f) = (0; + ∞);
2) не е нито четен, нито нечетен;
3) нараства с (0; + ∞);
4) не е ограничено;
5) няма нито най-големи, нито най-малки стойности;
6) непрекъснато;
7) E(f) = (- ∞; + ∞);
8) изпъкнал връх;
9) диференцируеми.
0 формулата за диференциране "width="640" е валидна В хода на математическия анализ се доказва, че за всяка стойност x0формулата за диференциране е валидна
Пример 4:
Изчислете производната на функция в точка х = -1.
Например:
Интернет ресурси:
- http://egemaximum.ru/pokazatelnaya-funktsiya/
- http://or-gr2005.narod.ru/grafik/sod/gr-3.html
- http://ru.wikipedia.org/wiki/
- http://900igr.net/prezentatsii
- http://ppt4web.ru/algebra/proizvodnaja-pokazatelnojj-funkcii.html
Производна на експоненциална и логаритмична функции. Урок в 11 "Б" клас
учител Копова О.В.
Изчислете производната
устно1.
2.
3.
3x 2 2 x 5
д
2x
3e x
4.
ln x 3
5.
34 x
6.
5 x 2 sin x ln 5 x
писмено
х
1
y log 5 x 4
7
y x 2 log 1 3x 1
2
3 1
y ln 2 x
х х
Дадена е функцията y 2 x e. Намерете ъгъл
коефициент на допирателната, прекарана при
точка с абсцисата x0 0 .
Напишете уравнение за допирателната към
графика на функцията f x x 5 ln x в точка c
абсцисата x0 1 . Задача B8 (№ 8319)
определен на интервал 5; 10. Намерете пропуските
увеличаваща се функция. В отговора си посочете дължината на най-дългата
от тях. Задача B8 (№ 9031)
Фигурата показва графика на производната на функцията,
определен на интервал 11; 2. Намерете точка
екстремум на функцията върху отсечката 10; 5. Задача B8 (№ 8795)
Фигурата показва графика на производната на функцията,
определен на интервал 9; 2. Намерете количеството
точки, в които допирателната към графиката на функцията
успоредна или съвпадаща с правата y x 12.
Прототипна задача B14
Намерете минималната точка на функцията y 4x 4 ln x 7 6 .7 6 x x 2
Намерете най-голямата стойност на функцията
y 3
Намерете най-малката стойност на функцията
y e 2 x 6e x 3
на сегмент 1; 2.
Нека разгледаме експоненциалната функция y = a x, където a > 1. Нека построим графики за различни основи a: 1. y = 2 x 2. y = 3 x (1-ви вариант) 3. y = 10 x (2-ри вариант) 1. Нека построим графики за различни основи a: 1. y = 2 x 2. y = 3 x (опция 1) 3. y = 10 x (опция 2)"> 1. Нека построим графики за различни бази a: 1. y = 2 x 2. y = 3 x (опция 1) 3. y = 10 x (опция 2)"> 1. Нека построим графики за различни основи: 1. y = 2 x 2. y = 3 x (опция 1) ) 3 . y = 10 x (опция 2)" title=" Разгледайте експоненциалната функция y = a x, където a > 1. Нека построим графики за различни основи a: 1. y = 2 x 2. y = 3 x (Вариант 1) 3. y = 10 x (Вариант 2)"> title="Нека разгледаме експоненциалната функция y = a x, където a > 1. Нека построим графики за различни основи a: 1. y = 2 x 2. y = 3 x (1-ви вариант) 3. y = 10 x (2-ри вариант)"> !}
Използвайки прецизни конструкции на допирателни към графиките, може да се забележи, че ако основата a на експоненциалната функция y = a x постепенно увеличава основата от 2 до 10, тогава ъгълът между допирателната към графиката на функцията в точката x = 0 и абсцисата постепенно се увеличава от 35 до 66, 5. Следователно има основа a, за която съответният ъгъл е 45. И тази стойност на a е между 2 и 3, защото за a = 2 ъгълът е равен на 35, за a = 3 е равен на 48. В хода на математическия анализ е доказано, че тази основа съществува, обикновено се означава с буквата e. Установено е, че e е ирационално число, т.е. представлява безкрайна непериодична десетична дроб: e = 2, ... ; На практика обикновено се приема, че e е 2,7.
Графика и свойства на функцията y = e x: 1) D (f) = (- ; +); 2) не е нито четен, нито нечетен; 3) нараства; 4) не е ограничен отгоре, ограничен е отдолу 5) няма нито най-голяма, нито най-малка стойност; 6) непрекъснато; 7) E (f) = (0; +); 8) изпъкнал надолу; 9) диференцируеми. Функцията y = e x се нарича експонента.
В хода на математическия анализ беше доказано, че функцията y = e x има производна във всяка точка x: (e x) = e x (e 5x)" = 5e 5x (e -4x+1)" = -4e -4x- 1 (e x -3)" = e x-3
3) -2 x) x = -2 – максимална точка x = 0 – минимална точка Отговор:
Свойства на функцията y = ln x: 1) D (f) = (0; +); 2) не е нито четен, нито нечетен; 3) нараства с (0; +); 4) не е ограничено; 5) няма нито най-големи, нито най-малки стойности; 6) непрекъснато; 7) E (f) = (-; +); 8) изпъкнал връх; 9) диференцируеми. Графика и свойства на функцията y = ln x
В хода на математическия анализ беше доказано, че за всяка стойност x>0 формулата за диференциране е валидна 0 формулата за диференциране е валидна"> 0 формулата за диференциране е валидна"> 0 формулата за диференциране е валидна" title="В хода на математическия анализ е доказано, че за всяка стойност x>0 формулата за диференциране е валиден">
title="В хода на математическия анализ беше доказано, че за всяка стойност x>0 формулата за диференциране е валидна">
!}Интернет ресурси: pokazatelnojj-funkcii.html pokazatelnojj-funkcii.html
