Школьный этап всероссийской олимпиады школьников.
Про мальчика Марата
Это история, которую я услышала от соседки моей тётушки. Писать буду от лица соседки - бывшей учительницы, которая уже на пенсии.
Когда случилась эта история, я уже работала 27 лет педагогом и повидала немало разных детишек, хоть школа была и меленькой, рассчитанной на близлежащие селения.
Был август, мы, учителя, готовились к новому учебному году, составляли планы, обсуждали часы.
Как сейчас помню - случилось это 25 августа. Я вышла из учительской и пошла по направлению к кабинету математики, я была классным руководителем 3 класса, этот кабинет был закреплён за нами. Уборщица выдала мне ключ (вахтёра в школе не было, за него была уборщица) и я со стопкой планов и пособий пошли готовиться к предстоящим занятиям в тишине. Открыв дверь, я просто остолбенела: за партой сидел мой ученик Марат, окно было открыто - недавно красили пол. Пожурив шалуна, что он лазит через окна, а не входит в двери, я спросила, готов ли он к предстоящей учёбе, на что получила неожиданный ответ: он в школу не придёт.
Почему? - спросила я.
Он сказал, что родители едут далеко, теперь они тут жить не будут, он пришёл попрощаться, потому, что я у него любимая учительница.
Пожелав ему и семье удачной дороги, я вышла налить себе чашку кофе. Вернувшись, мальчика уже не увидела.
Настало 1 сентября. На школьной площадке было шумно и мой класс пришёл в хорошем боевом расположении духа, только девочка Динара была мрачнее тучи. Я знала, что они с первого класса дружили с Маратом и подумала, что она грустит из-за его отъезда. Но тут подошла директор школы и позвала меня в сторонку.
- Вы уже слышали о трагедии? - спросила она - В вашем классе не стало ученика.
Сердце у меня ёкнуло, ведь я искренне любила этих детишек.
- Марат - проговорила директор школы - они ехали с родителями по горной дороге и в старенькой машине отказали тормоза. Всю семью нашли у подножия горы, все были мертвы.
На минуту у меня помутнело в глазах, я отвернулась, чтобы дети не увидели моих слёз. Я вспомнила, как Марат приходил пару дней назад прощаться и подумала, что тогда я видела его в последний раз.
После уроков я подозвала Динару к себе и попросила поговорить со мной, чтобы ребёнку стало легче. Девочка расплакалась и потоки слов вырвались из детской страдающей души. А вот тут по мне и пробежал нервный холодок: семья Марата сразу как начались летние каникулы, поехала навещать бабушек и дедушек. В начале июня они и разбились. Семьи ребят жили по соседству и крепко дружили и семье Динары позвонили родственники Марата.
Я в оцепенении поняла: мальчик приходил ко мне попрощаться! И видимо мысли свои я озвучила в слух, на что Динара мне спокойно ответила: ко мне он тоже приходил прощаться. Пришёл на детскую площадку и подарил вот этот камешек - его любимый. И девочка протянула мне красивый гладкий камешек, который я частенько наблюдала на парте у Марата. А потом - продолжила Динара - вечером позвонили на почту и позвали моего отца. Он и принёс ужасные известия.
Вот так, казалось бы, небывалый случай, произошёл с нами, с обычными людьми.
Так закончила свой рассказ пожилая соседка моей тётушки.
В ту ночь я спала ужасно. Всё время размышляла, как такое вообще может быть, с одной стороны во всё это просто не верилось, с другой – пожилая учительница вряд ли станет рассказывать сказки, тем более такие, из-за которых её могут посчитать сумасшедшей. Женщина она спокойная, умная, не к чему ей было бы рассказывать небылицы, говорила она правду.
- Садовник хочет посадить шесть кустов крыжовника, чтобы на расстоянии 2м от каждого из них росло ровно три куста крыжовника. Сможет ли он это сделать?
Ответ: Да. Например, если на двух сторонах квадрата ABCD построить правильные треугольники AEB и DCF, то для каждой точки условия будут выполняться, так как DE=EC
Критерии:
Есть верный пример без обоснования равенства/неравенства сторон – 4 балла;
Есть верный пример с полным обоснованием – 7 баллов;
Только ответ – 0 баллов
Решение: Сократим множители Т,М,А. Тогда выражение примет вид . Дробь принимает наибольшее значение при наименьшем знаменателе и наибольшем числителе. Следовательно Е=1, а числа И,К,А равны цифрам 9,8,7. Числа М,А,Т могут быть произвольными.
Критерии:
Есть только пример с верным ответом – 7 баллов.
Есть только пример – 4 балла.
- В волшебном королевстве обитают лисицы с семью и девятью хвостами. Те, у кого 7 хвостов, всегда врут, а те, у кого 9 хвостов, всегда говорят правду. Однажды три лисицы завели между собой разговор.
Рыжая лиса: «у нас вместе 27 хвостов».
Серая лиса: «это действительно так!»
Белая лиса: «глупости, Рыжая говорит чепуху!»
Сколько хвостов было у каждой лисицы? (Ответ обоснуйте.)
Решение: Если бы Рыжая говорила правду, то у всех трёх было бы по 9 хвостов. Но тогда и Белая говорила бы правду, а это неверно. Тогда Рыжая лжет, и Серая соответственно тоже. Тогда Белая говорит правду.
Ответ: У Рыжей было 7 хвостов, у Серой – 7, у Белой – 9.
Критерии:
- Мальчик Марат может за минуту подняться с первого этажа на пятый этаж, а девочка Даша за то же время успевает добежать только до четвертого. Даша спускается вдвое быстрее, чем поднимается, а Марат спускается с той же скоростью, что и Даша. Дети решили посоревноваться и добежать с первого этажа до 25, стартуя одновременно. Марат, достигнув 25 этажа, начал спускаться, чтобы встретить проигравшую Дашу. Сколько пройдёт времени от начала соревнования до момента встречи?
Решение: За минуту Марат поднимается на 4 этажа вверх, а Даша – на 3 этажа вверх. За ту же минуту оба могут спуститься на 6 этажей вниз. Для того чтобы победить Марату нужно преодолеть 24 этажа. Через 6 минут Марат достигает финиша, а Даша поднимается только на 18 этажей (до 19). Теперь расстояние между ними 6 этажей, а скорость сближения 3+6=9 этажей в минуту. Чтобы встретиться им понадобится 40 секунд.
Ответ: 6 минут и 40 секунд
Критерии:
Только ответ, без объяснений – 1 балл;
Решение с полным обоснованием – 7 баллов.
- В треугольнике АВС все стороны равны 2017 см. Точки M, N, P, K расположены так, как показано на рисунке. Известно, что CK + PC = MA + AN = 2017 см. Найдите величину угла KON.
Решение: Заметим, что CK + PC = AP + PC и MA+AN = MA+MC. Тогда CK=AP и AN=MC. Следовательно, треугольники APN и MKC равны. ∠ANP=∠CMK и ∠APN+∠ANP=120о. Тогда ∠MPO+∠PMO =120о. ∠KON=∠POM =60о.
Ответ: ∠KON =60о
Критерии:
Решение с полным обоснованием – 7 баллов.
- Натуральное число называется палиндромом, если оно не изменяется при записывании его цифр в обратном порядке (например, 626 – палиндром, а 2017 – нет). Представьте число 2017 в виде суммы двух палиндромов.
Решение: например, 1331+686=2017.
Критерии:
Наличие любого верного примера – 7 баллов.
- Айрат и Дина вместе весят 84 кг, Дина и Таня – 76 кг, Таня и Саша – 77 кг, Саша и Маша – 67 кг, Маша и Айрат – 64 кг. Кто тяжелее всех и сколько он весит?
Решение: А+Д=84, Д+Т=76, Т+С=77, С+М=67, М+А=64. Сложим все уравнения и получим 2(А+Д+Т+С+М)=368. Тогда А+Д+Т+С+М= 184. Используя второе и четвертое равенство из условия получим А+76+67=184. Следовательно А=41, Д=43, Т=33, С=44, М=23.
Ответ: Самый тяжелый – Саша. Саша весит 44 кг.
Критерии:
Только ответ, без объяснений, без указания веса – 0 баллов;
Только ответ, без объяснений, с указанием веса – 3 балла;
Решение с полным обоснованием – 7 баллов.
- Дамир нарисовал на тетрадном листе квадрат 5 Ч 5 и каждую минуту закрашивает по одной клетке. Лёша считает количество граничащих с нею (по стороне) ранее закрашенных клеток и записывает это число на доске. Докажите, что когда будут закрашены все клетки, сумма чисел на доске будет равна 40.Доказательство: Заметим, что Леша считает количество границ данной клетки, для которых обе соседние клетки закрашены. Выполняя свои операции, Леша каждую границу считает один и только один раз. Тогда, сумма всех чисел равна количеству граничных отрезков, а именно 2*4*5=40.
- Найдите площадь закрашенной части параллелограмма, если площадь большого параллелограмма равна 40 (вершины всех параллелограммов за исключением самого большого находятся в серединах соответствующих сторон)?
Решение: В параллелограмме ABCD проведем отрезки EG и FH. Они параллельны боковым сторонам. Тогда образуются 4 меньших параллелограмма. В каждом из них диагональ делит параллелограмм на две равные части. Следовательно, суммарная площадь «угловых» треугольников AEH, EBF, FCG, GDH равна площади параллелограмма EFGH.
В задаче дано, что все четырехугольники – параллелограммы. Это доказывать не обязательно! Тогда площадь «угловых» треугольников самого большого параллелограмма равна 20. У второго – 10, у третьего – 5. Вычтем из площади всего параллелограмма площади «угловых» треугольников первого и третьего параллелограммов. 40-20-5=25.
Критерии:
Только ответ, без объяснений – 1 балл;
Решение с полным обоснованием – 7 баллов.
- Вместо пропусков вставьте такие числа, чтобы выражение
Стало тождеством.
Решение: Пусть пропущены числа
Подставим в уравнение. Получим , . Подставим Получим
Тогда . Подставим Получим Тогда .
Критерии:
Только ответ, без объяснений – 4 балла;
Решение с полным обоснованием – 7 баллов.
Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников по математике
- Делится ли 72017 + 72018 + 72019 на 19?
Решение: .
Ответ: Да.
Критерии:
Только ответ, без объяснений – 0 баллов;
Решение с полным обоснованием – 7 баллов.
- В прямоугольнике ABCD на стороне CD отметили середину M, и на стороне AD – середину N. Отрезки CN и AM пересекаются в точке K. Во сколько раз площадь четырехугольника AKCB больше площади четырехугольника MDNK?
Решение: ED – медиана треугольника ACD. Известно, что медианы треугольника делят его на шесть равновеликих. Тогда площади треугольников AEK, CEK, CMK, DMK, DKN, ANK равны. А площадь треугольника ACD равна площади ABC. Тогда отношение 
.
Ответ: в 4 раза.
Критерии:
Только ответ, без объяснений – 1 балл;
Решение с полным обоснованием – 7 баллов.
Решение: Приведем к виду 
. Преобразуем
. Тогда график примет вид
Критерии:
Только верный график, без объяснений – 4 балла;
Решение с полным обоснованием – 7 баллов.
- В деревне хоббитов каждый либо всегда говорит правду, либо всегда лжёт. Волшебник пригласил к себе нескольких хоббитов и спросил каждого из них про каждого из остальных, «правдолюб» тот или «лжец». Всего было получено 54 ответа «правдолюб» и 56 ответов «лжец». Сколько раз волшебник мог услышать правду?
Решение: Если приглашено n хоббитов, то дано n(n – 1) = 54 + 56 = 110 ответов, откуда n = 11. Пусть из этих 11 хоббитов t правдолюбов и (11 – t) лжецов.
Ответ «лжец» может дать только лжец про правдолюба и правдолюб про лжеца, таких фраз было 2t(11 – t) = 56, откуда t = 4 или t = 7. Если правдолюбов четверо, то они дали 4 ⋅ 10 = 40 правдивых ответов. Если правдолюбов семеро, то они дали 7 ⋅ 10= 70 правдивых ответов.
Комментарий. Обратите внимание на то, что из условия следует, что правдивыми являются половина из ответов «лжец». Но сразу не ясно, какова доля правдивых ответов «правдолюб».
Критерии:
Полное решение — 7 баллов.
Правильно найдены оба случая (сколько правдивцев и лжецов), но
неверно подсчитано число правдивых ответов — 4 балла.
Возможны 2 ситуации, описанные в задаче. Если верно разобрана только
одна, то ставить 3 балла.
Приведены оба ответа без объяснения — 1 балл.
Приведён только один из ответов — 0 баллов.Ответ: 40 или 70
- У торговца драгоценностями есть 61 гиря весом 1г, 2г, … , 61г. Он выставил их в ряд так, чтобы вес каждой, начиная со второй, является делителем суммы весов всех предшествующих гирь. Первая гиря весит 61г, вторая – 1г. Найдите вес третьей гири.
Решение. Сумма всех чисел, кроме последнего, делится на последнее число,
значит, сумма всех чисел также делится на последнее число. Сумма всех чисел
от 1 до 61 равна 31 ⋅ 61. Значит, последнее число равно 1, 31 или 61. Так как 1 и
61 стоят на первом и втором местах, последнее число — 31. Третье число —
делитель числа 61 + 1 = 62, то есть оно равно 1, 2 или 31. Мы знаем, что числа 1
и 31 расположены не на третьем месте, поэтому на третьем месте стоит число 2.
Замечание. Приводить пример, как расположены числа на остальных карточках
(или доказывать его существование), не требуется.
Критерии:
Полное верное решение — 7 баллов.
Утверждается, что на третьей карточке — число 2 или число 19, но
других продвижений нет — 1 балл.
Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников по математике
- Найдите какую-нибудь пару натуральных чисел a и b, бульших 1, удовлетворяющих уравнению a13 · b31 = 62017.
Решение. Достаточно привести один пример.
Так как , подходят a = .
Мальчик Марат
(История про одну иммиграци ю в США )
Москва слезам не верила… как всегда.
Марату исполнилось 20 лет, но это не останавливало его от "болтания без дела", как выражались его родители.
С детства Марат хотел танцевать, причём танцевать он хотел бальные танцы, а это совсем было плохо в глазах окружающих.
Это было ужасно, и "как-же-мы-тебя-таким-родили!!!". Но таланты у него были. Марат состоял из гибких прочных мускулов, и жир на нём не рос.
Родители переехали в Москву на заработки из одной из стран ближнего зарубежья, поэтому Марат с детства был предоставлен себе, хотя в школу всё-таки ходил.
После школы он ходил в кружок танцев у метро «Аэропорт», кружок платный, но его взяли без денег, за таланты. Там он много лет изучал танго, сальсу, ну и конечно свои любимые бальные танцы.
В кружке учились 25 девочек и 2 мальчика. Когда Марату было четырнадцать кружок выиграл районное соревнование, когда ему испилилось шестнадцать кружок выиграл городское. В шестнадцать лет, слава богу, закончилась школа, и Марат мог посвятить себя танцам. Родители к тому времени отчаялись на него повлиять, чтобы он выбрал себе достойную профессию, например слесаря-сантехника, как папа.
Марат стал подрабатывать уроками танца. В армию его не забирали, так как он оставался гражданином другого государства, или по каким-то другим причинам, которые мне неизвестны. А его многих друзей забрали, что прибавило Марату ещё большей популярности среди девушек в его кругу общения.
Когда ему было восемнадцать лет, кружок Марата занял второе всероссийское место. А второе потому, что напарница Марата Наташа заболела насморком, и её пришлось заменить Катей. Но потом Марат узнал, что пара занявшая первое место что-то там кому-то за это дала.
Через несколько недель кружок был закрыт, Марат не понял тоже почему - кому-то понадобилось это место в подвале дома на «Аэропорту».
И к тому же Наташа подвернула ногу, и вообще "нужно было и о профессии подумать", сказали Наташины родители и определили её в МИИТ - Московский Институт Инженеров Транспорта. (Институт, который я знаю очень хорошо, так как он взрастил, в силу определённых обстоятельств, множество иммигрантов-миллионеров Израиля и США, и совершенно об этом не ведая принёс в американскую науку много известности и миллиарды долларов). Очень долгое время многие студенты этого института устраивали себе ПМЖ в США.
Но к девушке Наташе Котельниковой это никакого отношения не имело.
И тут Марат задумался, и что же ему делать в жизни. Можно стать слесарем-сантехником, и легко зарабатывать 30 тысяч рублей в месяц.
Но Марат решил уехать в США, и там танцевать. В те времена об иммиграци и в США мечтали многие талантливые, необычные и способные люди в стране. Но не всем это легко было сделать по разным причинам, о которых я потом ещё напишу.
Тогда-то он и обратился ко мне.
Мы с ним стали общаться по скайпу и планировать его переезд. Частными уроками танцев он заработал за несколько лет нужную сумму.
Мы выбрали такой путь приезда на ПМЖ в США который в народе и у специалистов на их фене назывался «по беженству». Что пожалуй самый лёгкий способ в наше время иммигрировать в США.
Но нужно было составить историю беженства. Марат предложил сказать что он он гей и его притесняют.
Марат: «Ну так что же, я могу сказать, что я гей. Как танцор я подхожу, и могу все гейские маннеризмы с лёгкостью изобразить. И потом я всю свою жизнь провёл с девушками и они мне уже поднадоели»
Я: «Так ты может быть гей?»
Марат: «Нет, нет, я не гей...»
Я: «Уверен?»
Марат, после некоторой паузы: «Да не-е, точно не гей!»
Я: «Тогда мы не сможем сказать что ты гей, и к тому же, чтобы доказать что ты гей, тебе нужно будет предоставить фотографии твоего партнёра,
где вы целуетесь, и фотографии, где ваши вещи лежат в одном шкафу.
У тебе есть такой партнёр?»
(Действительно такие требования есть, когда таким боком народ пытается иммигрировать в США )
Марат: «Не-а, такого партнёра нету...»
В конце концов Марат приехал ко мне в Америку. Использовали мы другую, настоящую историю его жизни, которой сполна хватило для легального оформления его ПМЖ в США .
В его реальной жизни в прежнем месте с головой хватало обстоятельств, которые взаправду, без всяких домыслов, давали ему такую возможность. Просто он до общения со мной об этом даже не догадывался.
Недавно Марат получил свой вожделенный «статус беженства» официально, на бумаге с гербом и печатями. Он живёт в Бруклине и преподаёт детям танцы.
На всеамериканском конкурсе по бальным танцам в своей категории он, со своей партнёршей Викой, занял третье место. Первое заняли Миша и Фаина из Бруклина, второе Николай и Катя из Лос Анджелеса.
А вот четвёртое, пятое и так далее заняли Джон, Питер, Хосе и другие.
И танцевал Марат со своей девушкой действительно очень хорошо!
Их по телевизору показывали…
Транскрипт
1
Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников по математике 8 класс 1. Садовник хочет посадить шесть кустов крыжовника, чтобы на расстоянии 2м от каждого из них росло ровно три куста крыжовника. Сможет ли он это сделать? Ответ: Да. Например, если на двух сторонах квадрата ABCD построить правильные треугольники AEB и DCF, то для каждой точки условия будут выполняться, так как DE=EC
2 Ответ: У Рыжей было 7 хвостов, у Серой 7, у Белой 9. Только ответ, без объяснений 1 балл; 4. Мальчик Марат может за минуту подняться с первого этажа на пятый этаж, а девочка Даша за то же время успевает добежать только до четвертого. Даша спускается вдвое быстрее, чем поднимается, а Марат спускается с той же скоростью, что и Даша. Дети решили посоревноваться и добежать с первого этажа до 25, стартуя одновременно. Марат, достигнув 25 этажа, начал спускаться, чтобы встретить проигравшую Дашу. Сколько пройдёт времени от начала соревнования до момента встречи? Решение: За минуту Марат поднимается на 4 этажа вверх, а Даша на 3 этажа вверх. За ту же минуту оба могут спуститься на 6 этажей вниз. Для того чтобы победить Марату нужно преодолеть 24 этажа. Через 6 минут Марат достигает финиша, а Даша поднимается только на 18 этажей (до 19). Теперь расстояние между ними 6 этажей, а скорость сближения 3+6=9 этажей в минуту. Чтобы встретиться им понадобится 40 секунд. Ответ: 6 минут и 40 секунд Только ответ, без объяснений 1 балл; 5. В треугольнике АВС все стороны равны 2017 см. Точки M, N, P, K расположены так, как показано на рисунке. Известно, что CK + PC = MA + AN = 2017 см. Найдите величину угла KON. Решение: Заметим, что CK + PC = AP + PC и MA+AN = MA+MC. Тогда CK=AP и AN=MC. Следовательно, треугольники APN и MKC равны. ANP= CMK и APN+ ANP=120 о. Тогда MPO+ PMO =120 о. KON= POM =60 о. Ответ: KON =60 о Только ответ, без объяснений 0 баллов;
3 Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников по математике 9 класс 1. Натуральное число называется палиндромом, если оно не изменяется при записывании его цифр в обратном порядке (например, 626 палиндром, а 2017 нет). Представьте число 2017 в виде суммы двух палиндромов. Решение: например, =2017. Наличие любого верного примера 7 баллов. 2. Айрат и Дина вместе весят 84 кг, Дина и Таня 76 кг, Таня и Саша 77 кг, Саша и Маша 67 кг, Маша и Айрат 64 кг. Кто тяжелее всех и сколько он весит? Решение: А+Д=84, Д+Т=76, Т+С=77, С+М=67, М+А=64. Сложим все уравнения и получим 2(А+Д+Т+С+М)=368. Тогда А+Д+Т+С+М= 184. Используя второе и четвертое равенство из условия получим А+76+67=184. Следовательно А=41, Д=43, Т=33, С=44, М=23. Ответ: Самый тяжелый Саша. Саша весит 44 кг. Только ответ, без объяснений, без указания веса 0 баллов; Только ответ, без объяснений, с указанием веса 3 балла; 3. Дамир нарисовал на тетрадном листе квадрат 5 5 и каждую минуту закрашивает по одной клетке. Лёша считает количество граничащих с нею (по стороне) ранее закрашенных клеток и записывает это число на доске. Докажите, что когда будут закрашены все клетки, сумма чисел на доске будет равна 40. Доказательство: Заметим, что Леша считает количество границ данной клетки, для которых обе соседние клетки закрашены. Выполняя свои операции, Леша каждую границу считает один и только один раз. Тогда, сумма всех чисел равна количеству граничных отрезков, а именно 2*4*5= Найдите площадь закрашенной части параллелограмма, если площадь большого параллелограмма равна 40 (вершины всех параллелограммов за исключением самого большого находятся в серединах соответствующих сторон)? Решение: В параллелограмме ABCD проведем отрезки EG и FH. Они параллельны боковым сторонам. Тогда образуются 4 меньших параллелограмма. В каждом из них диагональ делит параллелограмм на две равные части. Следовательно, суммарная
4 площадь «угловых» треугольников AEH, EBF, FCG, GDH равна площади параллелограмма EFGH. В задаче дано, что все четырехугольники параллелограммы. Это доказывать не обязательно! Тогда площадь «угловых» треугольников самого большого параллелограмма равна 20. У второго 10, у третьего 5. Вычтем из площади всего параллелограмма площади «угловых» треугольников первого и третьего параллелограммов =25. Ответ: 25. Только ответ, без объяснений 1 балл; 5. Вместо пропусков вставьте такие числа, чтобы выражение x + x + 6 (x + 4) = (x +)(x + x + 8) стало тождеством. Решение: Пусть пропущены числа a, b, c. (x + a x + 6)(x + 4) = (x + b)(x + c x + 8). Подставим x = 0 в уравнение. Получим 24 = 8b, b = 3. Подставим x = 4. Получим 0 = (4 + 3)(16 + c (4) + 8). Тогда с = 6. Подставим x = 3. Получим (9 3 a + 6)(3 + 4) = 0. Тогда a = 5. Ответ: (x + 5 x + 6)(x + 4) = (x + 3)(x + 6 x + 8). Только ответ, без объяснений 4 балла;
5 Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников по математике 10 класс 1. Делится ли на 19? Решение: = 7 () = Ответ: Да. Только ответ, без объяснений 0 баллов; 2. В прямоугольнике ABCD на стороне CD отметили середину M, и на стороне AD середину N. Отрезки CN и AM пересекаются в точке K. Во сколько раз площадь четырехугольника AKCB больше площади четырехугольника MDNK? Решение: ED медиана треугольника ACD. Известно, что медианы треугольника делят его на шесть равновеликих. Тогда площади треугольников AEK, CEK, CMK, DMK, DKN, ANK равны. А площадь треугольника ACD равна площади ABC. Тогда отношение = Ответ: в 4 раза. Только ответ, без объяснений 1 балл; 3. Постройте график функции y = (x + 1) + x. y = x x Решение: Приведем к виду. Преобразуем x при x 0 y = 2x 1 при x < 0. Тогда график примет вид x 1
6 Только верный график, без объяснений 4 балла; 4. В деревне хоббитов каждый либо всегда говорит правду, либо всегда лжёт. Волшебник пригласил к себе нескольких хоббитов и спросил каждого из них про каждого из остальных, «правдолюб» тот или «лжец». Всего было получено 54 ответа «правдолюб» и 56 ответов «лжец». Сколько раз волшебник мог услышать правду? Решение: Если приглашено n хоббитов, то дано n(n 1) = = 110 ответов, откуда n = 11. Пусть из этих 11 хоббитов t правдолюбов и (11 t) лжецов. Ответ «лжец» может дать только лжец про правдолюба и правдолюб про лжеца, таких фраз было 2t(11 t) = 56, откуда t = 4 или t = 7. Если правдолюбов четверо, то они дали 4 10 = 40 правдивых ответов. Если правдолюбов семеро, то они дали 7 10= 70 правдивых ответов. Комментарий. Обратите внимание на то, что из условия следует, что правдивыми являются половина из ответов «лжец». Но сразу не ясно, какова доля правдивых ответов «правдолюб». Полное решение 7 баллов. Правильно найдены оба случая (сколько правдивцев и лжецов), но неверно подсчитано число правдивых ответов 4 балла. Возможны 2 ситуации, описанные в задаче. Если верно разобрана только одна, то ставить 3 балла. Приведены оба ответа без объяснения 1 балл. Приведён только один из ответов 0 баллов. Ответ: 40 или 70
7 5. У торговца драгоценностями есть 61 гиря весом 1г, 2г, 61г. Он выставил их в ряд так, чтобы вес каждой, начиная со второй, является делителем суммы весов всех предшествующих гирь. Первая гиря весит 61г, вторая 1г. Найдите вес третьей гири. Ответ. 2. Решение. Сумма всех чисел, кроме последнего, делится на последнее число, значит, сумма всех чисел также делится на последнее число. Сумма всех чисел от 1 до 61 равна Значит, последнее число равно 1, 31 или 61. Так как 1 и 61 стоят на первом и втором местах, последнее число 31. Третье число делитель числа = 62, то есть оно равно 1, 2 или 31. Мы знаем, что числа 1 и 31 расположены не на третьем месте, поэтому на третьем месте стоит число 2. Замечание. Приводить пример, как расположены числа на остальных карточках (или доказывать его существование), не требуется. Полное верное решение 7 баллов. Утверждается, что на третьей карточке число 2 или число 19, но других продвижений нет 1 балл.
8 Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников по математике 11 класс 1. Найдите какую-нибудь пару натуральных чисел a и b, бóльших 1, удовлетворяющих уравнению a 13 b 31 = Решение. Достаточно привести один пример. Так как 2017 = , подходят a = 6, b = 6. Комментарий: возможно множество различных ответов со всевозможными комбинациями степеней двоек и троек. Приведена хотя бы одна пара значений a, b и показано, что она удовлетворяет данному условию 7 баллов. Приведена пара чисел, более ничего не обосновано (а жюри умеет показывать, что пара подходит) 5 баллов. Основная идея решения верна, но допущена арифметическая ошибка (например, написано, что 2017 =) 2 балла. 2. Имеет ли уравнение cos2015x + tg2016x sin2017x = 0 хотя бы один корень? Ответ обоснуйте. Ответ: Например,. Решение: cos + tg sin = + 0 = 0 Приведён верный ответ, и показано, что при этом значении х равенство верно, 7 баллов. Приведён только верный ответ 3 балла. 3. Дан куб. A, B и C середины его рёбер (см. рисунок). Чему равен косинус угла ABC? Решение: Не умаляя общности примем сторону куба за 2. Тогда AC = 2, AB = CB = Вычислим по трем сторонам косинус угла ABC. cosα = =. Получен верный ответ со всеми обоснованиями 7 баллов. Ход решения правильный, но ответ неверен из-за арифметической ошибки 5 баллов.
9 Получен ответ 4 балла. Только ответ (в том числе верный) 0 баллов. Ответ: 4. На координатной плоскости (x, y) изобразите множество всех точек, для которых y 2 + y = x 2 + x. Ответ: Решение: y + y = x + x x y + x y = 0 (x y)(x + y + 1) = 0. Тогда. Построен верный график со всеми обоснованиями 7 баллов. Построен верный график без обоснований 3 балла. 5. В пенале у Равиля 9 карандашей. Он заметил, что среди любых четырёх карандашей хотя бы два одного цвета. А среди любых пяти карандашей не больше трёх имеют один цвет. Карандаши скольких различных цветов есть у Равиля, и сколько карандашей каждого цвета? Ответ. Три цвета по три карандаша. Решение. Ни одного цвета не более трех, так как в противном случае условие «среди любых пяти карандашей не больше трёх имеют один цвет» было бы не выполнено. Всего карандашей 9, поэтому цветов не менее трех. С другой стороны среди любых четырёх карандашей хотя бы два одного цвета, поэтому цветов меньше четырех. Таким образом, цветов карандашей три, причем каждого не более трех штук, а всего карандашей 9. Значит, каждого цвета по 3. Полный ответ с верным объяснением 7 баллов.
10 Обосновано, что детей трое 5 баллов. Верные соображения, но решение не доведено до конца 1-2 балла. Ответ без обоснования 0 баллов.
Математика. класс. Вариант --5-7 Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом C (sinx)(cos x+) Решите уравнение =. tgx Левая часть уравнения имеет смысл при tgx >. Приравняем числитель к нулю: (sinx
ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ. 016 017 уч. г. ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП. 10 КЛАСС Задания, ответы и критерии оценивания 1. (7 баллов) Точка O центр квадрата ABCD. Найдите какие-нибудь семь попарно
8 класс. март 017 года. 8-1. Пусть A множество целых чисел, имеющих при делении на 3 остаток; B множество целых, имеющих при делении на 8 остаток 6. Найти все числа, входящие одновременно в A и в B. Ответ.
ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ 2015 2016 уч. г. ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП 9 класс Решения и критерии оценивания 1. Натуральное число называется палиндромом, если оно не изменяется при записывании
Сократите дробь: a a a a. 9 класс Ответ: a a. Найдем область определения данного выражения: a a a 0 0 a 0. Используя тождество xy x y, получим: a(a) 0 (a)(a) 0 a a a a a a = a(a) (a)(a)
8 класс Первый день 8.1. В государстве каждый житель либо рыцарь, либо лжец. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Все жители знакомы друг с другом. Президент однажды высказал два утверждения:
2016 2017 учебный год 5 класс 51 Расставьте в записи 2 2 2 2 2 скобки и знаки действий так, чтобы получилось 24 52 Аня лжет по вторникам, средам и четвергам и говорит правду во все остальные дни недели
Математическая олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Финальный тур 9.03.015 Задания с решениями 7 класс 7.1. Перед соревнованиями по бегу Петя планировал бежать всю дистанцию с постоянной скоростью
Департамент образования Ярославской области Всероссийская олимпиада школьников 07/08 учебного года Математика, класс, муниципальный этап Общие принципы проверки и оценивания олимпиадных работ Задания математических
Турнир им. А.П.Савина, 2016 год Математические бои, 3 тур 6 класс, Высшая лига 1. Начав с некоторого натурального числа, Петя каждым шагом увеличивает или натурального числа Петя может так получить 218?
1 тур Задача 1. Можно ли в половину клеток доски 12 12 поместить по фишке так, чтобы в одном квадрате 2 2, составленном из клеток доски, было нечётное количество фишек, а в остальных чётное? Задача 2.
6 класс 6.1. У Коли было два деревянных кубика. На первом кубике на одной грани он написал букву А, на другом на трёх гранях он написал буквы Э, Ю, Я. Покажите, как ему дописать на грани кубиков буквы
Зональная олимпиада школьников по математике Краснодарский край, 10 декабря 2013 5 класс Составитель текста Федоренко И.В., телефон для справок +7 918 225-22-13 1 Имеются 2013 яблок и весы, на которых
МГТУ им. Н.Э.Баумана Олимпиада школьников «Шаг в будущее» тур, 9 класс, 15 февраля 015 года ВАРИАНТ 1 1. Десятичная запись натурального числа N содержит 1580 цифр. Среди этих цифр есть тройки, пятёрки
11 класс Задача 11.1. Петя и Вася участвовали в выборах на должность президента шахматного клуба. К полудню у Пети было 5% голосов, а у Васи 45%. После полудня на голосование приходили только друзья Пети
9 класс Первый тур (0 минут; каждая задача баллов)... Верно ли, что если b > a + c > 0, то квадратное уравнение a + b + c = 0 имеет два корня? Ответ: да, верно. Первый способ. Из данного неравенства следует,
6 класс 6.1. Замените в примере на сложение десятичных дробей каждую звездочку цифрой 2 или цифрой 3 так, чтобы получилось верное равенство: 0, + 0, + 0, + 0, = 1. 6.2. Ученики 6 класса отправились на
По математике (2016-2017 уч. год), 5 класс 5.1. В примере на сложение цифры заменили буквами: одинаковые одинаковыми, разные разными. Получилось АБББ + А = ВГГГ. Восстановите пример. 5.2. Две тетради стоят
Пензенский государственный университет Физико-математический факультет «Очно-заочная физико-математическая школа» МАТЕМАТИКА Тождественные преобразования. Решение уравнений. Треугольники Задание 1 для
Объединенная межвузовская математическая олимпиада 0004 I вариант (ответы и краткие решения) x + x + x+ Задача Из x = следует, что x+ x = x x для всех Это значит, что последовательность арифметическая
Межрегиональная олимпиада школьников «Высшая Проба», 2017 г. МАТЕМАТИКА, 2 этап стр. 1/10 Решения и критерии оценивания заданий олимпиады 10-1 В компании из 6 человек некоторые компаниями по трое ходили
Всероссийская олимпиада школьников по математике, муниципальный этап, 2016 г, 11 класс 1. Угол x удовлетворяет равенству Вычислите. Ответ: 6. Решение. 1-й способ.. 2-й способ.,. Тогда Обоснованно получен
5 класс 5.1. В записи 2 0 1 0 2 0 1 1 1 расставьте между некоторыми цифрами знаки +, так, чтобы в результате получилось число 2013. Решение. Например, так 2010+2+0+1 1+1 или 2010+2+0+1+1 1. 5.2. Может
11 класс Первый тур (10 минут; каждая задача 6 баллов). 1.1. Решите неравенство: x + y 2 + 1. Ответ: (1; 0). Первый способ. Перепишем данное неравенство в виде: x + 1 y 2. Так как x y 2 1 0, то x y 2 +
ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ. 2016 2017 уч. г. ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП. 8 КЛАСС Задания, ответы и критерии оценивания 1. (7 баллов) В рамке 8 8 шириной в 2 клетки (см. рисунок) всего 48 клеточек.
C Математика класс Вариант МА- (без логарифмов) Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом а) Решите уравнение sin + cos + = б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку π; π
Математика. 11 класс. Вариант МА10511 1 Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом 13 sin x cos x а) Решите уравнение + = 3. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку 5π ; π.
Задания муниципального этапа всероссийской олимпиады школьников по математике в 0-0 учебном году РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 0 класс Общие замечания по проверке: Почти у всех задач критерии написаны на основании «приведенного»
7 КЛАСС 7.1. Закрасьте в квадрате 7 7 четыре фигурки, показанные на рисунке, так, чтобы в любом квадрате 2 2 оказалась закрашена хотя бы одна клетка. 7.2. В семье весёлых гномов папа, мама и ребёнок. Имена
АЛГЕБРА 1. Построить эскизы графиков следующих функций: y = 2 (x+2)/(3 2x) ; y = y = () (4 x)/(x+1) 1 ; y = 5 (x)/(x 1) ; y = 3 x2 5 x +2 ; y = 3 () 2x 1 1 ; 2 1 x 2 x 2 ; y = 1 x 2 3 x + 2 ; y =
Задачи заочного тура по математике для 9 класса 2014/2015 уч. год, первый уровень сложности Задача 1 Решить уравнение: (x+3) 63 + (x+3) 62 (x-1) + (x+3) 61 (x-1) 2 + + (x-1) 63 = 0 Ответ: -1 Задача 2 Сумма
Всероссийская олимпиада школьников «Миссия выполнима. Твое призвание-финансист!» ОТБОРОЧНЫЙ (ЗАОЧНЫЙ) ЭТАП МАТЕМАТИКА 8 и 9 классы ВАРИАНТ 1 ЗАДАНИЕ 1. (10 БАЛЛОВ) На диагонали AC прямоугольника ABCD взяли
8 КЛАСС 1. Докажите, что для любого натурального числаn можно выбрать такое натуральное число а, чтобы число a(n+ 1) (+ n+1) нацело делилось на. 2. В городской олимпиаде по математике участвовали два
7 класс 1. Расшифруйте числовой ребус (разным фигурам соответствуют разные цифры, одинаковым одинаковые). +. Разрежьте прямоугольник 4 х 8 на 8 равных частей так, чтобы в каждой части была звездочка. *
Предмет Класс Время (мин) всероссийской олимпиады школьников Всего баллов 22 сентября 2017 года МАТЕМАТИКА Количество баллов за задание Задача Задача Задача Задача Задача Задача Задача 1 2 3 4 5 6 7 Математика
Решения задач муниципального этапа всероссийской олимпиады школьников по математике 017 год 8 класс Задача 1. Красная Шапочка решила сходить к бабушке, домик которой находился в 1 км ходьбы от ее дома.
6 класс 6.1. Вычеркните из числа 987654321 как можно больше цифр так, чтобы оставшееся число делилось на 15. 6.2. Сложите из пятиклеточных фигурок, среди которых нет двух одинаковых, какой-нибудь клетчатый
XL Турнир имени М. В. Ломоносова 1 октября 017 года Конкурс по математике. Ответы и решения (предварительная версия от 01.10.017) В скобках указано, каким классам рекомендуется задача (решение задач более
5 класс 5.1. Если в комнату войдет мама, то суммарный возраст находящихся в комнате увеличится в 4 раза, а если вместо нее войдет папа суммарный возраст увеличится в 5 раз. Во сколько раз увеличится суммарный
Математика. 9 класс. Вариант МА90901 1 Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом Модуль «Алгебра» 1 Решите уравнение x 6 6 x 8 3. x 6 6 x 8 3 ; x откуда x или x 4. Ответ: ; 4. 6x 8; x x 4 0, Преобразования
II этап 7 класс 3.12.2017 Работа рассчитана на 180 минут 1. Начертите четыре луча OA, OB, OC и OD с общим началом так, чтобы на этом чертеже нашлись углы в 100, 110, 120, 130 и 140. Запишите, какие именно
0 класс... (баллов) Найдите все целые решения неравенства: x + y 5,5 + x y 005 00. Ответ: (;). Пусть (x; y) решение неравенства. Тогда из условия задачи следует, что x y
Решения заданий второго заочного тура олимпиады «Абитуриент - 06» Вычислите 5, Решение Разделим обе части равенства 5 на Это возможно, тк если 0, то 0, те 0, что противоречит условию Имеем: 5 0 Значит,
Объединенная межвузовская математическая олимпиада 000 Общие критерии оценивания По результатам проверки каждого задания выставляется одна из следующих оценок (перечислены в порядке убывания): задача решена
9 класс Первый тур (10 минут; каждая задача 6 баллов). 1.1. Прямые у = k + b, у = k + b и у = b + k различны и пересекаются в одной точке. Какими могут быть ее координаты? Ответ: (1; 0). Из уравнения первой
Открытая олимпиада школьников по математике Решения 8 класс 1 вариант 1. (2 балла) Сколькими способами можно разбить изображјнную фигуру на прямоугольники 1 Ч 3? Ответ: 6 На каждой из сторон фигуры находится
Математическая олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Первый тур. Вариант.0.0. В каждой параллели предлагалось 5 задач, максимальная оценка каждой задачи 0 баллов 9 класс. К числу 0 припишите
Условия задач 1 Муниципальный этап 8 класс 1. На доске написаны два числа. Одно из них увеличили в 6 раз, а другое уменьшили на 2015, при этом сумма чисел не изменилась. Найдите хотя бы одну пару таких
Решения и примерные критерии первой проверки ОММО-010 Приведённые ниже критерии, конечно, не могут охватить все случаи И если какое-то решение под критерии не подпадает, то стоит оценивать его по здравому
Решения А Изобразим все данные числа на числовой оси То из них которое расположено левее всех и является наименьшим Это число 4 Ответ: 5 А Проанализируем неравенство На числовой оси множество чисел удовлетворяющих
Второй (заключительный) этап олимпиады школьников «Шаг в будущее» для 8-0 классов по общеобразовательному предмету «Математика», 8 класс, весна 08 г. Вариант 3 Задача. (5 баллов) Найти все натуральные
Класс Число 890 обладает таким свойством: изменив любую его цифру на (увеличив или уменьшив), можно получить число, кратное Найдите наименьшее трехзначное число, обладающее таким же свойством Ответ: 0
Всероссийская олимпиада школьников 013-014 в городе Москве Типовые задания I (школьного) этапа олимпиады по математике 5 класс. Краткие решения. 1. Вася может получить число 100, используя десять двоек,
И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Теорема Пифагора Мы готовы вывести важнейшую теорему геометрии теорему Пифагора. С помощью теоремы Пифагора выполняются многие геометрические вычисления.
Всероссийская олимпиада школьников «Миссия выполнима. Твое призвание-финансист!» ЗАДАНИЯ, РЕШЕНИЯ, КРИТЕРИИ ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ (ОЧНЫЙ) ЭТАП Математика 8-9 класс, 2016/2017 учебный год Задание 1. (10 баллов)
Тема I. Четность Задача 1. Квадратная таблица 25 25 раскрашена в 25 цветов так, что в каждой строке и в каждом столбце представлены все цвета. Докажите, что если расположение цветов симметрично относительно
7 класс 71 Расставите в кружки на картинке числа от 2 до 9 (без повторений) так, чтобы никакое число не делило бы нацело ни одного из своих соседей 72 Прямоугольник разрезан на несколько прямоугольников,
Условия и решения задач Межрегиональной олимпиады школьников на базе ведомственных образовательных учреждений по математике 0-0 учебного года Приводимые задания предлагались в трех возрастных категориях
1.1. (6 баллов) Сколько корней имеет уравнение x 6 x cos(x) 0? Ответ: пять. x 6 x x x 6 0, x 6 x 0, x или x 15, cos(x) 0 cos(x) 0, x k, k Z x 0, 5 k, k Z. x 6 x 0 x x x 6 0 1, 5 Таким образом, корнями
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНОГО (ОЧНОГО) ЭТАПА ОЛИМПИАДЫ МГТУ ИМ Н Э БАУМАНА «ШАГ В БУДУЩЕЕ» ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ 8-0 КЛАССОВ 03-04 УЧЕБНОГО ГОДА ВАРИАНТ (0 класс) Петя, Вася и Толя соревнуются в беге на
ОЛИМПИАДА «ПУТЬ К ОЛИМПУ», 8 К Л А С С 1. К чётному числу n прибавили его наибольший делитель, отличный от n. Может ли полученная сумма равняться 018?. Собранный мёд заполняет несколько 50-литровых бидонов.
Школьный этап всероссийской олимпиады школьников по математике, 2018/2019 учебный год. ОТВЕТЫ 8 класс 1. Шарик весит больше кота Матроскина на половину веса дяди Фёдора, Дядя Фёдор столько, сколько Шарик
Задания и решения для районных (городских) олимпиад по математике 7-8 учебный год 9 класс Найдите наименьшее целое x, удовлетворяющее неравенству Ответ -7 x 7 8 x Квадратный трехчлен P(x) ax bx c (a,
Математика. класс. Вариант МА06 Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом а) Решите уравнение 0. cos x π sin x б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку а) Преобразуем уравнение:
XXVI Межрегиональная олимпиада школьников по математике «САММАТ-8» Заключительный тур класс Известно, что функция f() непрерывна в точке 0 и для любых действительных удовлетворяет уравнению f(8) f() +
Наука 1 3 7 класс Оглавление 7 класс... 2 8 класс... 3 9 класс... 4 10 класс... 5 11 класс... 6 7 класс Наука 1 3 7 класс 1. По кругу в произвольном порядке расставили числа от 1 до 31 и подсчитали все
Муниципальное образование «Гурьевский городской округ» Всероссийская олимпиада школьников по математике (школьный этап) 216-217 учебный год 11 класс Максимальное количество баллов 2 Время выполнения 4
Математическая олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Финальный тур. 6.03.06 7 класс 7.. Имеется кг крупы. Можно ли с помощью трех взвешиваний на чашечных весах отмерить кг, если есть одна трехкилограммовая
7 класс Первый тур (10 минут; каждая задача 6 баллов). 1.1. Существуют ли такие натуральные числа а и b, что число b является натуральной степенью числа a и число b в 16 раз больше числа а? Ответ: да,
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ВСЕХ Ю.Л.Калиновский Оглавление 1 Медиана, биссектриса, высота................................. 5 1.1 Медианы треугольника 5 1.2 Биссектрисы треугольника 7 1.3 Высоты треугольника 10 Медианы
7 класс 8 февраля 06г Время написания работы 4 астрономических часа Каждая задача оценивается в 7 баллов 7.. Доказать, что если целое число, то и целое число. 7.. Можно ли покрасить плоскость в 06 цветов
ub-70x70.jpg)
