Roztažení grafu y = sinx podél osy y. Graf funkce y = sin x Graf funkce y sinx 3

Lekce a prezentace na téma: "Funkce y = sin (x). Definice a vlastnosti"

Další materiály
Vážení uživatelé, nezapomeňte zanechat své komentáře, recenze, přání! Všechny materiály byly zkontrolovány antivirovým programem.

Návody a simulátory v internetovém obchodě Integral pro stupeň 10 od 1C
Řešíme problémy v geometrii. Interaktivní úkoly budov pro stupně 7-10
Softwarové prostředí "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Co budeme studovat:

Vlastnosti funkce Y = sin (X).
Funkční graf.
Jak sestavit graf a jeho měřítko.
Příklady

Vlastnosti sinusů. Y = hřích (X)

Lidi, už jsme se seznámili s goniometrickými funkcemi numerického argumentu. Pamatujete si je?

Podívejme se blíže na funkci Y = sin (X)

Zapišme si některé vlastnosti této funkce:
1) Definiční doména - množina reálných čísel.
2) Funkce je zvláštní. Vzpomeňme si na definici liché funkce. Funkce se nazývá lichá, pokud platí rovnost: y (-x) = - y (x). Jak si pamatujeme ze vzorců duchů: sin (-x) = - sin (x). Definice byla splněna, takže Y = sin (X) je lichá funkce.
3) Funkce Y = sin (X) se zvyšuje na segmentu a klesá na segmentu [π / 2; π]. Když se pohybujeme po první čtvrtině (proti směru hodinových ručiček), pořadnice se zvětšuje a když se pohybujeme po druhé čtvrtině, klesá.

4) Funkce Y = sin (X) je ohraničena nahoře a dole. Tato vlastnost vyplývá ze skutečnosti, že
-1 ≤ sin (X) ≤ 1
5) Nejmenší hodnota funkce je -1 (při x = - π / 2 + πk). Největší hodnota funkce je 1 (při x = π / 2 + πk).

Použijeme vlastnosti 1-5 ke grafu funkce Y = sin (X). Náš graf budeme sestavovat postupně pomocí našich vlastností. Začněme sestavovat graf na segmentu.

Zvláštní pozornost by měla být věnována stupnici. Na osu osy je pohodlnější vzít segment jednotky rovnající se 2 buňkám a na ose x - vzít segment jednotky (dvě buňky) rovný π / 3 (viz obrázek).

Vykreslete funkci sinus x, y = sin (x)

Vypočítáme hodnoty funkce v našem segmentu:

Vytvořme graf na základě našich bodů s přihlédnutím k třetí vlastnosti.

Převodní tabulka pro duchové vzorce

Použijme druhou vlastnost, která říká, že naše funkce je lichá, což znamená, že se může symetricky odrážet o původu:

Známe sin (x + 2π) = sin (x). To znamená, že na segmentu [- π; π] graf vypadá stejně jako na segmentu [π; 3π] nebo nebo [-3π; - π] a tak dále. Zbývá nám pečlivě překreslit graf na předchozím obrázku na celou osu úsečky.

Graf funkce Y = sin (X) se nazývá sinusoid.

Pojďme napsat několik dalších vlastností podle vytvořeného grafu:
6) Funkce Y = sin (X) se zvyšuje na libovolném segmentu formy: [- π / 2 + 2πk; π / 2 + 2πk], k je celé číslo a klesá v libovolném intervalu tvaru: [π / 2 + 2πk; 3π / 2 + 2πk], k je celé číslo.
7) Funkce Y = sin (X) je spojitá funkce. Podívejme se na graf funkce a ujistěte se, že naše funkce nemá žádné nespojitosti, což znamená spojitost.
8) Rozsah hodnot: segment [- 1; 1]. To je také jasně vidět z grafu funkce.
9) Funkce Y = sin (X) je periodická funkce. Podívejme se znovu na graf a uvidíme, že funkce v určitých intervalech nabývá stejných hodnot.

Příklady problémů se sinusem

1. Vyřešte rovnici sin (x) = x-π

Řešení: Postavíme 2 grafy funkce: y = sin (x) a y = x-π (viz obrázek).
Naše grafy se protínají v jednom bodě A (π; 0), toto je odpověď: x = π

2. Vykreslete funkci y = sin (π / 6 + x) -1

Řešení: Požadovaný graf se získá přesunutím grafu funkce y = sin (x) o π / 6 jednotek doleva a 1 jednotka dolů.

Řešení: Sestavíme graf funkce a vezmeme v úvahu náš segment [π / 2; 5π / 4].
Graf funkce ukazuje, že největších a nejmenších hodnot je dosaženo na koncích segmentu, v bodech π / 2, respektive 5π / 4.
Odpověď: sin (π / 2) = 1 je největší hodnota, sin (5π / 4) = nejmenší hodnota.

Sinusové problémy pro nezávislé řešení

Vyřešte rovnici: sin (x) = x + 3π, sin (x) = x-5π
Funkce grafu y = sin (π / 3 + x) -2
Funkce vykreslení y = sin (-2π / 3 + x) +1
Najděte v intervalu největší a nejmenší hodnotu funkce y = sin (x)
Najděte největší a nejmenší hodnotu funkce y = sin (x) na segmentu [- π / 3; 5π / 6]

Zjistili jsme, že chování trigonometrických funkcí a funkcí y = hřích x zejména, na celé číselné ose (nebo pro všechny hodnoty argumentu NS) je zcela určována jeho chováním v intervalu 0 < NS < π / 2 .

Proto nejprve vykreslíme funkci y = hřích x právě v tomto intervalu.

Sestavme následující tabulku hodnot naší funkce;

Označením odpovídajících bodů na rovině souřadnic a jejich spojením hladkou čarou získáme křivku zobrazenou na obrázku

Výslednou křivku lze sestavit geometricky bez kompilace tabulky hodnot funkcí y = hřích x .

1. Rozdělte první čtvrtinu kruhu o poloměru 1 na 8 stejných částí. Souřadnice bodů rozdělení kruhu jsou sinusy odpovídajících úhlů.

2. První čtvrtina kruhu odpovídá úhlům od 0 do π / 2 ... Proto na ose NS vezměte segment a rozdělte ho na 8 stejných částí.

3. Nakreslíme přímky rovnoběžné s osami NS, a z bodů dělení obnovíme kolmice na průsečík s vodorovnými čarami.

4. Propojte průsečíky hladkou čarou.

Nyní přejdeme k intervalu π / 2 < NS < π .
Každá hodnota argumentu NS z tohoto intervalu lze reprezentovat jako

X = π / 2 + φ

kde 0 < φ < π / 2 ... Redukčními formulemi

hřích ( π / 2 + φ ) = cos φ = hřích ( π / 2 - φ ).

Body osy NS s úsečkami π / 2 + φ a π / 2 - φ vzájemně symetrické k bodu osy NS s úsečkou π / 2 , a dutiny v těchto bodech jsou stejné. To vám umožní získat graf funkce y = hřích x v intervalu [ π / 2 , π ] jednoduchým symetrickým zobrazením grafu této funkce v intervalu vzhledem k přímce NS = π / 2 .

Nyní pomocí vlastnosti lichá funkce y = hřích x,

hřích (- NS) = - hřích NS,

je snadné vykreslit tuto funkci v intervalu [- π , 0].

Funkce y = sin x je periodická s periodou 2π ;. K vykreslení celého grafu této funkce tedy stačí křivka zobrazená na obrázku, pokračujte periodicky doleva a doprava s tečkou 2π .

Výsledná křivka se nazývá sinusoida ... Je to graf funkce y = hřích x.

Obrázek dobře ilustruje všechny tyto vlastnosti funkce. y = hřích x , které jsme dříve dokázali. Připomeňme si tyto vlastnosti.

1) Funkce y = hřích x definované pro všechny hodnoty NS , takže doménou její definice je shromažďování všech reálných čísel.

2) Funkce y = hřích x omezený. Všechny hodnoty, které potřebuje, jsou v rozsahu od -1 do 1, včetně těchto dvou čísel. Rozsah variací této funkce je tedy určen nerovností -1 < na < 1. Kdy NS = π / 2 + 2 tis π funkce bere nejvyšší hodnoty rovná 1 a pro x = - π / 2 + 2 tis π - nejmenší hodnoty rovnající se - 1.

3) Funkce y = hřích x je lichý (sinusoida je symetrická k původu).

4) Funkce y = hřích x periodický s periodou 2 π .

5) V intervalech 2n π < X < π + 2n π (n je libovolné celé číslo) je kladné a v intervalech π + 2 tis π < NS < 2π + 2 tis π (k je libovolné celé číslo) je záporné. Pro x = k π funkce zmizí. Proto tyto hodnoty argumentu x (0; ± π ; ± 2 π ; ...) se nazývají nuly funkce y = hřích x

6) V intervalech - π / 2 + 2n π < NS < π / 2 + 2n π funkce y = hřích X zvyšuje monotónně a v intervalech π / 2 + 2 tis π < NS < 3π / 2 + 2 tis π monotónně klesá.

Zvláštní pozornost věnujte chování funkce. y = hřích x blízký bod NS = 0 .

Například sin 0,012 ≈ 0,012; hřích (-0,05) ≈ -0,05;

hřích 2 ° = hřích π 2 / 180 = hřích π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.

Současně je třeba poznamenat, že pro jakékoli hodnoty x

| hřích X| < | x | . (1)

Skutečně nechť je poloměr kruhu znázorněného na obrázku 1,
A / AОВ = NS.

Pak hřích X= AC. Ale AC< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол NS... Délka tohoto oblouku je evidentně rovná NS, protože poloměr kruhu je 1. Takže v 0< NS < π / 2

hřích x< х.

Proto kvůli zvláštnosti funkce y = hřích x je snadné ukázat, že pro - π / 2 < NS < 0

| hřích X| < | x | .

Nakonec v X = 0

| hřích x | = | x |.

Proto pro | NS | < π / 2 je prokázána nerovnost (1). Ve skutečnosti tato nerovnost platí také pro | X | > π / 2 vzhledem k tomu, že | hřích NS | < 1, a π / 2 > 1

Cvičení

1. Funkce plánu y = hřích x určete: a) sin 2; b) sin 4; c) hřích (-3).

2. Funkce plánu y = hřích x určit, které číslo je z intervalu
[ - π / 2 , π / 2 ] má sinus rovný: a) 0,6; b) -0,8.

3. Podle plánu funkcí y = hřích x určit, která čísla mají sinus,
rovná 1/2.

4. Zjistěte přibližně (bez použití tabulek): a) sin 1 °; b) sin 0,03;
c) sin (-0,015); d) sin (-2 ° 30 ").

Jak vykreslit funkci y = sin x? Nejprve se podívejme na sinusový graf v intervalu.

Vezmeme jeden segment o délce 2 buněk notebooku. Označte jeden na ose Oy.

Pro pohodlí zaokrouhlíme číslo π / 2 na 1,5 (a ne na 1,6, jak to vyžadují pravidla zaokrouhlování). V tomto případě segment o délce π / 2 odpovídá 3 buňkám.

Na ose Ox neoznačujeme jednotkové segmenty, ale segmenty o délce π / 2 (každé 3 buňky). V souladu s tím segment o délce π odpovídá 6 buňkám, segment o délce π / 6 - 1 buňky.

Při této volbě jednotkového segmentu graf znázorněný na listu notebooku v krabici co nejvíce odpovídá grafu funkce y = sin x.

Vytvořme tabulku hodnot sinusů v intervalu:

Získané body označíme na souřadnicové rovině:

Protože y = sin x je lichá funkce, je sinusový graf symetrický k počátku - bodu O (0; 0). Vezmeme -li tuto skutečnost v úvahu, budeme pokračovat v vykreslování grafu doleva, poté body -π:

Funkce y = sin x je periodická s periodou T = 2π. Proto se graf funkce, převzatý na intervalu [-π; π], opakuje nekonečně mnohokrát vpravo a vlevo.

„Yoshkar-Ola technická škola služebních technologií“

Konstrukce a studium grafu goniometrické funkce y = sinx v tabulkovém procesoruSLEČNA Vynikat

/ metodický vývoj /

Yoshkar - Ola

Téma. Vynesení a zkoumání grafu trigonometrické funkcey = sinx v tabulkovém procesoru MS Excel

Typ lekce- integrovaný (získání nových znalostí)

Cíle:

Didaktický cíl - prozkoumat chování grafů trigonometrických funkcíy= sinxv závislosti na pravděpodobnosti použití počítače

Vzdělávací:

1. Zjistěte změnu v grafu goniometrické funkce y= hřích X v závislosti na koeficientech

2. Ukažte zavedení počítačových technologií do výuky matematiky, integraci dvou předmětů: algebry a informatiky.

3. Formovat dovednosti používání počítačových technologií v hodinách matematiky

4. Posílit dovednosti zkoumání funkcí a vytváření jejich grafů

Rozvíjející se:

1. Rozvíjet kognitivní zájem studentů o akademické obory a schopnost aplikovat své znalosti v praktických situacích

2. Rozvíjet schopnost analyzovat, porovnávat, zvýrazňovat to hlavní

3. Podporovat zlepšování obecná úroveň rozvoj studentů

Výchova :

1. Vychovávat nezávislost, přesnost, pečlivost

2. Podporovat kulturu dialogu

Formy práce v lekci - kombinovaný

Didaktické vybavení a vybavení:

1. Počítače

2. Multimediální projektor

4. Podkladový materiál

5. Prezentační snímky

Během vyučování

Já. Organizace začátku lekce

Zdravím studenty a hosty

Inspirace pro lekci

II... Stanovení cíle a aktualizace tématu

Studium funkce a sestavení jejího grafu zabere hodně času, musíte provést spoustu těžkopádných výpočtů, není to pohodlné, na záchranu přicházejí počítačové technologie.

Dnes se naučíme, jak vytvářet grafy trigonometrických funkcí v tabulkovém prostředí MS Excel 2007.

Téma naší lekce je „Konstrukce a studium grafu goniometrické funkce y= sinx v tabulkovém procesoru “

Z průběhu algebry známe schéma pro studium funkce a vykreslení jejího grafu. Vzpomeňme si, jak to udělat.

Snímek 2

Diagram funkční studie

1. Doména funkce (D (f))

2. Rozsah hodnot funkce E (f)

3. Stanovení parity

4. Frekvence

5. Nuly funkce (y = 0)

6. Intervaly stálosti (y> 0, y<0)

7. Intervaly monotónnosti

8. Extrémy funkce

III. Primární asimilace nového vzdělávacího materiálu

Otevřete MS Excel 2007.

Vykreslete funkci y = hřích X

Vykreslování v tabulkovém procesoruSLEČNA Vynikat 2007

Graf této funkce bude vykreslen na segmentu XЄ [-2π; 2π]

Hodnoty argumentů budou brány krok za krokem , aby byl graf přesnější.

Protože editor pracuje s čísly, převeďme radiány na čísla s vědomím toho P ≈ 3,14 ... (překladová tabulka v podkladu).

1. Najděte hodnotu funkce v bodě x = -2P. Pro zbytek argumentu editor vypočítá odpovídající hodnoty funkce automaticky.

2. Nyní máme tabulku s hodnotami argumentu a funkce. S těmito daty musíme vykreslit tuto funkci pomocí Průvodce grafem.

3. K sestavení grafu je třeba vybrat požadovaný rozsah dat, řádky s hodnotami argumentu a funkce

4..jpg "width =" 667 "height =" 236 src = ">

Závěry zapisujeme do sešitu (snímek 5)

Výstup. Graf funkce ve tvaru y = sinx + k je získán z grafu funkce y = sinx pomocí paralelního překladu podél osy OY o k jednotek

Pokud k> 0, pak se graf posune o k jednotek nahoru

Pokud k<0, то график смещается вниз на k единиц

Budování a zkoumání funkce formulářey =k* sinx,k- konst

Úkol 2. V práci Liste2 plotové funkce v jednom souřadném systému y= sinx y=2* sinx, y= * sinx, na intervalu (-2π; 2π) a podívejte se, jak se mění zobrazení grafu.

(Abychom znovu nenastavili hodnotu argumentu, zkopírujme stávající hodnoty. Nyní je třeba nastavit vzorec a z výsledné tabulky vytvořit graf.)

Výsledné grafy porovnáváme. Pojďme společně se studenty analyzovat chování grafu goniometrické funkce v závislosti na koeficientech. (Snímek 6)

https://pandia.ru/text/78/510/images/image005_66.gif "width =" 16 "height =" 41 src = "> x , na intervalu (-2π; 2π) a podívejte se, jak se mění zobrazení grafu.

Výsledné grafy porovnáváme. Pojďme společně se studenty analyzovat chování grafu goniometrické funkce v závislosti na koeficientech. (Snímek 8)

https://pandia.ru/text/78/510/images/image008_35.jpg "width =" 649 "height =" 281 src = ">

Závěry si zapisujeme do sešitu (snímek 11)

Výstup. Graf funkce ve tvaru y = sin (x + k) je získán z grafu funkce y = sinx pomocí paralelního překladu podél osy OX o k jednotek

Pokud k> 1, pak se graf posune doprava podél osy OX

Pokud 0

IV... Primární konsolidace získaných znalostí

Diferencované karty s úkolem pro sestavení a průzkum funkce pomocí grafu


	Y = 6* hřích (x)	Y =1-2 hříchNS	Y =- hřích(3x +)
1. Doména
2. Rozsah hodnot
3. Parita
4. Periodicita
5. Intervaly stálosti


6. Mezerymonotonie
Funkce se zvyšuje
Funkce klesá
7. Extrémy funkcí
Minimální
Maximum

PROTI... Organizace domácích úkolů

Vykreslete funkci y = -2 * sinx + 1, prozkoumejte a zkontrolujte správnost vykreslování v tabulkovém prostředí Microsoft Excel. (Snímek 12)

VI... Odraz

Roztažení grafu y = sinx podél osy y. Je dána funkce y = 3sinx. Chcete-li vykreslit jeho graf, musíte roztáhnout graf y = sinx tak, aby E (y): (-3; 3).

Obrázek 7 z prezentace „Sestavte graf funkce“ na lekce algebry na téma „Graf funkce“

Rozměry: 960 x 720 pixelů, formát: jpg. Chcete-li si zdarma stáhnout obrázek pro lekci algebry, klikněte na něj pravým tlačítkem a klikněte na „Uložit obrázek jako ...“. Chcete-li zobrazit obrázky v lekci, můžete si také zdarma stáhnout prezentaci „Funkce vykreslení graph.ppt“ se všemi obrázky v zip-archivu. Velikost archivu je 327 KB.

Stáhněte si prezentaci

Funkční graf

„Sestavte graf funkce“ - Obsah: Roztažení grafu y = sinx podél osy y. Dostanete funkci y = 3sinx. Je dána funkce y = sinx + 1. Je dána funkce y = 3cosx. Vykreslete funkci. Graf funkcí y = m * cos x. Vyplnil: výcviková skupina kadeta 52 Alexey Levin. Svislé posuny grafu y = cosx. Chcete -li přejít na příklady úkolů, klikněte na l. pomocí tlačítka myši.

„Souřadnicový systém ve vesmíru“ - Závora je zavřená. Výška, šířka, hloubka. Obdélníkový souřadnicový systém v prostoru. Souřadnice bodu v prostoru. Práce M. Eschera odráží myšlenku zavedení pravoúhlého souřadného systému do prostoru. Ox je osa osy x, Oy je osa osy, Oz je osa aplikace. Když Pythagoras naslouchá sférám sonáty, Atomy se počítají jako Demokritos.

"Souřadnicová rovina stupeň 6" - U. Matematika stupeň 6. 1. Najděte a zapište souřadnice bodů A, B, C, D: O. X. Souřadnicová rovina. -3. 1.

"Funkce a jejich grafy" - Příklady lichých funkcí: y = x3; y = x3 + x. (y = x3; y (1) = 13 = 1; y (-1) = (-1) 3 = -1; y (-1) = -y (1)). 3. Pokud k? 0 a b? 0, pak y = kx + b. Funkce je definována na množině všech reálných čísel. Lineární funkci tvaru y = kx se říká přímá úměrnost. Stupeň. y = hřích x. Periodicita.

"Výzkumná funkce" - Funkce. Dorokhova Yu.A. Pamatujme ... Pracovní plán lekce. Pomocí schématu studia funkce dokončete úkol: str. 24; Č. 296 (a; b), č. 299 (a; b). Věděli jste, že ... Cíl lekce: Použití derivátu. Cvičení. Ověřovací práce: Proveďte verbálně: Pro funkci f (x) = x3 určete D (f), paritu, zvýšení, snížení.

„Zvýšení a snížení funkcí“ - Zvýšení a snížení funkcí. Podívejme se na příklad s rostoucími a klesajícími funkcemi. Protože je sinusová funkce periodická, stačí provést důkaz pro interval [-? / 2; ? / 2]. Uveďme si další příklad. Pokud -? / 2? t1< t2 ? ?/2, то точка Pt2 имеет ординату большую, чем точка Pt1. Докажем, что синус возрастает на промеждутках [-?/2+2?n ; ?/2+2?n], n - целое.

K dispozici je celkem 25 prezentací