Osy trojúhelníku. Obecná lekce „Věty Menelaovy a Chevy“ Řešení problémů – workshop

• opakovat a zobecňovat probrané věty;
• zvážit jejich využití při řešení řady problémů;
• příprava studentů na přijímací zkoušky na vysoké školy;
• kultivovat estetické provedení výkresů pro úkoly.

Vybavení: multimediální projektor. Příloha 1 .

Během lekcí:

1. Organizační moment.

2. Kontrola domácího úkolu:

• důkaz teorémů – 2 studenti + 2 studenti – konzultanti (kontroloři);
• řešení domácích úloh – 3 žáci;
• práce se třídou - ústní řešení problémů:

Bod C 1 dělí stranu AB trojúhelníku ABC v poměru 2 : 1. bod B 1 leží na pokračování strany AC za bodem C a AC = CB 1. V jakém poměru dělí přímka B 1 C 1 stranu BC? (na snímku 2).

Řešení: Podle podmínky Pomocí Menelaovy věty zjistíme: .

V trojúhelníku ABC je AD medián, bod O je středem mediánu. Přímka BO protíná stranu AC v bodě K.

V jakém poměru dělí bod K AC, počítáno od bodu A? (na snímku 3).

Řešení: Nechť ВD = DC = a, АО = ОD = m. Přímka BK protíná dvě strany a pokračování třetí strany trojúhelníku ADC. Podle Menelaovy věty .

V trojúhelníku ABC na straně BC je bod N brán tak, že NC = 3ВN; na pokračování strany AC se bod M bere jako bod A, takže MA = AC. Přímka MN protíná stranu AB v bodě F. Najděte poměr. (na snímku 4).

Řešení: Podle podmínek úlohy MA = AC, NC = 3 ВN. Nechť MA = AC = b, BN = k, NC = 3k. Přímka MN protíná dvě strany trojúhelníku ABC a pokračování třetí. Podle Menelaovy věty

Bod N je vzat na straně PQ trojúhelníku PQR a bod L je vzat na straně PR, přičemž NQ = LR. Průsečík úseček QL a NR dělí QR v poměru m:n, počítáno od bodu Q. Najděte PN:PR. (na snímku 5).

Řešení: Podle podmínky NQ = LR, . Nechť NA = LR = a, QF = km, LF = kn. Přímka NR protíná dvě strany trojúhelníku PQL a pokračování třetí. Podle Menelaovy věty

3. Nácvik praktických dovedností.

1. Řešení problémů:

Dokažte větu: Mediány trojúhelníku se protínají v jednom bodě; průsečík rozděluje každý z nich v poměru 2:1, počítáno od vrcholu. (Obrázek 1 snímek 6).

Důkaz: Nechť AM 1, VM 2, CM 3 jsou mediány trojúhelníku ABC. Abychom dokázali, že se tyto segmenty protínají v jednom bodě, stačí to ukázat Poté se podle Chevovy (obrácené) věty segmenty AM 1, VM 2 a CM 3 protínají v jednom bodě. My máme:

Bylo tedy prokázáno, že mediány trojúhelníku se protínají v jednom bodě.

Nechť O je průsečík mediánů. Přímka M 3 C protíná dvě strany trojúhelníku ABM 2 a pokračování třetí strany tohoto trojúhelníku. Podle Menelaovy věty

nebo .

Uvážíme-li Menelaovu větu pro trojúhelníky AM 1 C a AM 2 C, získáme to

. Věta byla prokázána.

Dokažte větu: Osy trojúhelníku se protínají v jednom bodě.(Obrázek 2 snímek 6).

Důkaz: Stačí to ukázat . Pak se podle Cevovy (obrácené) věty AL 1, BL 2, CL 3 protnou v jednom bodě. Podle vlastnosti osy trojúhelníku:

. Vynásobením výsledných rovností člen po členu dostaneme: . Takže pro osy trojúhelníku je Chevova rovnost splněna, proto se protínají v jednom bodě. Věta byla prokázána.

Problém 7

Dokažte větu: Výšky ostroúhlého trojúhelníku se protínají v jednom bodě.(Obrázek 3 snímek 6).

Důkaz: Nechť AH 1, AH 2, AH 3 jsou výšky trojúhelníku ABC se stranami a, b, c. Pomocí Pythagorovy věty vyjádříme z pravoúhlých trojúhelníků ABN 2 a BSN 2 druhou mocninu společné nohy BN 2, označující AH 2 = x, CH 2 = b – x.

(VN 2) 2 = c 2 – x 2 a (VN 2) 2 = a 2 – (b – x) 2. když dáme rovnítko mezi pravé strany výsledných rovností, dostaneme c 2 – x 2 = a 2 – (b – x) 2, odkud x =.

Potom b –x = b - = .

Takže, AN2=, CH2=.

Uvažováním obdobně pro pravoúhlé trojúhelníky ASN 2 a VSN 3, VAN 1 a SAN 1 získáme AN ​​3 =, VN 3 = a VN 1 =,

K prokázání věty stačí ukázat, že . Poté se podle Chevovy (obrácené) věty segmenty AN 1, VN 2 a CH 3 protínají v jednom bodě. Dosadíme-li do levé strany rovnosti výrazy pro délky úseků AN 3, VN 3, VN 1, CH 1, CH 2 a AN 2 až a, b, c, jsme přesvědčeni, že Chevova rovnost pro nadmořské výšky trojúhelník je splněn. Věta byla prokázána.

Úlohy 5 – 7 samostatné řešení 3 studenty. (kresby na obrazovce).

2. ostatní:

Dokažte větu: Je-li do trojúhelníku vepsána kružnice, pak se úsečky spojující vrcholy trojúhelníku s body dotyku protilehlých stran protínají v jednom bodě. (Obrázek 4 snímek 6).

Důkaz: Nechť A 1, B 1 a C 1 jsou tečné body kružnice vepsané trojúhelníku ABC. Abychom dokázali, že se segmenty AA 1, BB 1 a CC 1 protínají v jednom bodě, stačí ukázat, že Cheva platí rovnost:

. Pomocí vlastnosti tečen vedených z jednoho bodu zavedeme zápis: BC 1 = BA 1 = x, CA 1 = CB 1 = y, AB 1 = AC 1 = z.

. Chevova rovnost je splněna, což znamená, že naznačené úsečky (osy trojúhelníku) se protínají v jednom bodě. Tento bod se nazývá Gergonův bod. Věta byla prokázána.

3. Analýza problémů 5, 6, 7.

Problém 9

Nechť AD je medián trojúhelníku ABC. Na straně AD je bod K vzat tak, že AK: KD = 3: 1. Přímka BK rozděluje trojúhelník ABC na dvě části. Najděte poměr ploch těchto trojúhelníků. (Obrázek 1 na snímku 7)

Řešení: Nechť AD = DC = a, KD = m, pak AK = 3m. Nechť P je průsečík přímky BK se stranou AC. Musíte si najít vztah. Protože trojúhelníky ABP a RVS mají stejnou výšku nakreslenou z vrcholu B, pak = . Podle Menelaovy věty pro trojúhelník ADC a sečnu PB máme: . Takže, =.

Problém 10

V trojúhelníku ABC opsaném kolem kruhu platí AB = 8, BC = 5, AC = 4. A 1 a C 1 jsou body tečnosti, které patří stranám BC a BA. P – průsečík segmentů AA 1 a CC 1. Bod P leží na ose BB1. Najít AR: RA 1.

(na snímku 7 obrázek 2)

Řešení: Bod dotyku kružnice se stranou AC se neshoduje s B1, protože trojúhelník ABC je zmenšený. Nechť C 1 B = x, pak pomocí vlastnosti tečen vedených ke kružnici z jednoho bodu zavedeme zápis (viz obrázek) 8 – x + 5 – x = 4, x = .

To znamená C 1 B = VA 1 =, A 1 C = 5 - =, AC 1 = 8 - =.

V trojúhelníku ABA 1 protíná přímka C 1 C jeho dvě strany a pokračování třetí strany. Podle Menelaovy věty .

Odpověď: 70:9.

Strany trojúhelníku jsou 5, 6 a 7. Najděte poměr úseček, na které je rozdělena sečna většího úhlu tohoto trojúhelníku středem kružnice vepsané trojúhelníku. (na snímku 7).

Řešení: Nechť v trojúhelníku ABC AB = 5, BC = 7, AC = 6. Úhel BAC leží proti větší straně trojúhelníku ABC, což znamená, že úhel BAC je větší úhel trojúhelníku. Střed kružnice trojúhelníku leží v průsečíku os. Nechť O je průsečík os. Musíte najít AO: OD. Protože AD je osa trojúhelníku ABC, tedy BD = 5k, DC = 6k. protože BF je osa trojúhelníku ABC, to znamená AF = 5m, FC = 7m. Přímka BF protíná dvě strany a prodloužení třetí strany trojúhelníku ADC. Podle Menelaovy věty .

4. Samostatné řešení úloh 9, 10, 11.– 3 studenti.

Úloha 12 (pro všechny zbývající studenty ve třídě):

Osy BE a AD trojúhelníku ABC se protínají v bodě Q. Najděte obsah trojúhelníku ABC, pokud je obsah trojúhelníku BQD = 1, 2AC = 3 AB, 3BC = 4 AB. (Obrázek 4 na snímku 7).

Řešení: Nechť AB = a, pak AC = , BC = . AD je tedy osa trojúhelníku ABC , to znamená BD = 2p, DC = 3p. BE je tedy osa trojúhelníku ABC AE = 3k, EC = 4k. V trojúhelníku BEC protíná přímka AD dvě jeho strany a prodloužení třetí strany. Podle Menelaovy věty ... to znamená, EQ = 9m, QB = 14m. Trojúhelníky QBD a EBC mají společný úhel, což znamená , S EBC = .

Trojúhelníky ABC a BEC mají stejnou výšku vytaženou z vrcholu B, což znamená , pak S ABC = .

5. Rozbor problémů 9, 10, 11.

Řešení problémů – workshop:

A. Na stranách BC, CA, AB rovnoramenného trojúhelníku ABC se základnou AB jsou brány body A 1, B 1, C 1, takže úsečky AA 1, BB 1, CC 1 jsou konkurenční.

Dokázat to

Důkaz:

Podle Cevovy věty máme: (1).

Podle sinusového zákona: , odkud CA 1 = CA.,

, odkud A 1 B = AB. , ,

odkud AB 1 = AB. , , odkud B 1 C = BC. , protože CA = BC podle podmínky. Dosazením výsledných rovností do rovnosti (1) získáme:

Q.E.D.

B. Na straně AC trojúhelníku ABC je bod M takový, že AM = ?AC, a na pokračování strany BC je bod N takový, že BN = CB. V jakém vztahu bod P, průsečík úseků AB a MN, rozděluje každý z těchto úseků?

Podle Menelaovy věty pro trojúhelník ABC a sečnu MN platí:

. Podle stavu proto,

od 0.5. (-2). x = 1, - 2x = - 2, x = 1.

Pro trojúhelník MNC a sečnu AB podle Menelaovy věty platí: podle podmínky

znamená, - , odkud, .

8. Nezávislé řešení problémů: Možnost 1:

1. Na pokračováních stran AB, BC, AC trojúhelníku ABC se vezmou body C 1, A 1, B 1 tak, že AB = BC 1, BC = CA 1, CA = AB 1. Najděte poměr, ve kterém přímka AB 1 rozděluje stranu A 1 C 1 trojúhelníku A 1 B 1 C 1. (3 body).

2. Na střednici CC 1 trojúhelníku ABC je vzat bod M. Přímky AM a BM protínají strany trojúhelníku v bodech A 1 a B 1. Dokažte, že přímky AB a A 1 B 1 jsou rovnoběžné. (3 body).

3. Na pokračování stran AB, BC a AC trojúhelníku ABC vezměme body C 1, A 1 a B 1. Dokažte, že body A 1, B 1, C 1 leží na stejné přímce právě tehdy, když rovnost platí . (4 body).

6. Body C 1, A 1 a B 1 vezměme na stranách AB, BC a AC trojúhelníku ABC tak, aby se přímky AA 1, BB 1, CC 1 protínaly v bodě O. Dokažte, že platí rovnost . (5 bodů).

7 . Na hranách AB, BC, CD a AD čtyřstěnu ABCD vezměme body A 1, B 1, C 1, D 1. Dokažte, že body A 1, B 1, C 1, D 1 leží ve stejném rovina tehdy a jen tehdy, když je splněna rovnost (5 bodů).

Možnost 2:

1. Body A 1 a B 1 rozdělují strany BC a AC trojúhelníku ABC v poměrech 2: 1 a 1: 2. Přímky AA 1 a BB 1 se protínají v bodě O. Plocha trojúhelníku ABC je rovna 1. Najděte oblast trojúhelníku OBC. (3 body).

2. Úsečka MN spojující středy stran AD a BC čtyřúhelníku ABCD je rozdělena úhlopříčkami na tři stejné části. Dokažte, že ABCD je lichoběžník, jedna ze základen AB nebo CD, která je dvakrát větší než druhá. (3 body).

3. Mějme body C 1, A 1 a B 1 na straně AB a pokračování stran BC a AC trojúhelníku ABC. Dokažte, že přímky AA 1, BB 1, СС 1 se protínají v jednom bodě nebo jsou rovnoběžné právě tehdy, když platí rovnost . (4 body).

4. Pomocí Cevovy věty dokažte, že výšky trojúhelníku nebo jejich prodloužení se protínají v jednom bodě. (4 body).

5. Dokažte, že přímky procházející vrcholy trojúhelníku a tečnými body kružnic se protínají v jednom bodě (Nagelův bod). (Kruh se nazývá excircle v trojúhelníku, pokud se dotýká jedné strany tohoto trojúhelníku a prodloužení jeho dvou dalších stran). (5 bodů).

6. Mějme body C 1, A 1, B 1 na stranách AB, BC a AC trojúhelníku ABC tak, aby se přímky AA 1, BB 1 a CC 1 protínaly v bodě O. Dokažte, že platí rovnost . (5 bodů).

7. Na hranách AB, BC, CD a AD čtyřstěnu ABCD vezměme body A 1, B 1, C 1, D 1. Dokažte, že body A 1, B 1, C 1, D 1 leží v stejná rovina pak a pouze tehdy, když je splněna rovnost (5 bodů).

9. Domácí úkol: učebnice § 3, č. 855, č. 861, č. 859.

„Typy trojúhelníků“ - Typy trojúhelníků. Na základě srovnávací délky stran se rozlišují následující typy trojúhelníků. Na základě velikosti úhlů se rozlišují následující typy. Body se nazývají vrcholy a segmenty se nazývají strany.

"Úhly trojúhelníku" - Akutní trojúhelník. Může mít trojúhelník dva pravé úhly? Rovnostranný trojúhelník. Rovnoramenný trojúhelník. Pravoúhlý trojuhelník. Tupý trojúhelník. Může mít trojúhelník dva tupé úhly? V rovnostranném trojúhelníku jsou úhly rovné 600. V pravostranném rovnoramenném trojúhelníku jsou ostré úhly rovné 450.

"Lekce geometrie v 7. třídě" - Řešení problémů." Nohy BC a SA. Práce podle hotových výkresů. „Součet úhlů trojúhelníku. Nový materiál. Pravoúhlý trojuhelník. Úkol č. 1. Řešení problémů pomocí hotových výkresů. č. 232 (ústní), čp. 231. Dokažte: úhel ABC je menší než úhel ADC. Ústní zkouška. Hodina geometrie v 7. třídě. Hypotenze AB.

„Pravý trojúhelník“ – Informace o Euklidovi jsou extrémně vzácné. Trojúhelník je mnohoúhelník se třemi stranami (nebo třemi úhly). Euklides je autorem děl o astronomii, optice, hudbě atd. Vnější úhel trojúhelníku je roven součtu vnitřních úhlů, které s ním nesousedí. Euclid je prvním matematikem alexandrijské školy. Definice. Kontrolní test.

„Rovnoramenný trojúhelník a jeho vlastnosti“ – Pojmenujte základnu a strany těchto trojúhelníků. Najděte hodnotu úhlu 1, pokud je hodnota úhlu 2 40 stupňů? A, C – úhly na základně rovnoramenného trojúhelníku. Jsou trojúhelníky stejné? Kde se v životě nacházejí rovnoramenné trojúhelníky? AM – medián. TROJÚHELNÍK, jehož všechny strany jsou si rovny, se nazývá ROVNOSTRANNÝ.

"Geometry Right Triangle" - Egyptská čísla: Vypočítejte plochu trojúhelníkového pozemku egyptského rolníka. Geodeti. Jak Egypťané nazývali pravoúhlý trojúhelník? Egyptští stavitelé: Noha a přepona v Egyptě Pythagoras: Noha a přepona v geometrii. Otázky zeměměřičů: - Noha je větší než přepona. Noha naproti úhlu 60 stupňů se rovná polovině přepony.

Ze školy víme, že tři osy vnitřních úhlů trojúhelníku se protínají v jednom bodě – ve středu kružnice vepsané do tohoto trojúhelníku.

Věta 1. Osa úhlu A trojúhelník ABC průsečík os je rozdělen v poměru , počítáno od strany odkud a, b, c- délky stran BC, AC, AB respektive.

Důkaz. Nechat AA 1 a BB 1 – osy úhlu A A V respektive v trojúhelníku ABC, L– jejich průsečík, a, b, c- délky stran BC, AC, AB podle toho (obr. 62). Potom pomocí věty o sesektoru aplikované na trojúhelník ABC budu mít

Nebo b VA 1 = ac – s VA 1, popř VA 1 (b + c)= ac, znamená, VA 1 = S. Podle stejné věty platí pro trojúhelník AVA 1 dostaneme A 1 L : Los Angeles = : S, nebo = .

Věta 2. Li L ABC kruh tedy

Ð ALB= 90° + R S.

Důkaz. Vzhledem k tomu, že součet úhlů trojúhelníku je 180° a že střed L vepsaná kružnice je průsečíkem os trojúhelníku, budeme mít (obr. 62):

Ð ALB= 180° – ( Ð ABL + Ð VAL) = 180° – ( Ð ABC + Ð VAS) =

180° – (180° - DC) = 180° – 90° + R S= 90° + R S.

Věta 3. Li L– bod na sečině úhlu S trojúhelník ABC takové, že Ð ALB= 90° + R S, Že L– střed vepsaného trojúhelníku ABC kruh.

Důkaz. Dokažme, že žádný z bodů L 1 mezi C A L nemůže být středem vepsané kružnice (obr. 62a).

My máme Ð AL 1 S 1 < Ð ALC 1, protože vnější úhel trojúhelníku AL 1 L větší než jakýkoli vnitřní úhel, který s ním nesousedí. Taky Ð VL 1 S < Р ВЛС 1 .

Proto Ð AL 1 V < Ð ALB= 90° + R S. Prostředek, L 1 není středem kružnice vepsané, protože není splněna podmínka pro znaménko středu kružnice vepsané (viz věta 2).

Pokud bod L 2 na ose SS 1 nepatří do segmentu CL, Že Ð AL 2 V > Ð ALB= 90° + R S a opět není splněna podmínka pro znaménko středu vepsané kružnice. To znamená, že středem vepsané kružnice je bod L.

Věta 4. Vzdálenost od vrcholu trojúhelníku k tečnému bodu vepsané kružnice se stranou procházející tímto vrcholem je rovna polovině obvodu tohoto trojúhelníku zmenšenému o opačnou stranu.

Důkaz. Nechat A 1 , V 1 , S 1 – tečné body kružnice vepsané se stranami trojúhelníku ABC(obr. 63), a, b, c- délky stran BC, AC, AB respektive.

Nechat AC 1 = X, Pak AB 1 = x, slunce 1 = c – x = VA 1 , V 1 S = b – x = CA 1 ,

a = BC = VA 1 + SA 1 = (c – x) + (b – x) = c + b – 2 X.

Pak a + a = a + b + c – 2 X, nebo 2 A = 2 R – 2 X nebo x = p – a.

Věta 5. V libovolném trojúhelníku ABC přes bod L průsečík os jeho dvou vnějších úhlů prochází osou třetího úhlu a bod L je ve stejné vzdálenosti od čar obsahujících strany trojúhelníku.

Důkaz. Nechat L– průsečík dvou vnějších úhlů V A S trojúhelníku ABC(obr. 64). Protože každý bod osy je ve stejné vzdálenosti od stran úhlu, pak bod L AB A slunce, protože patří k ose ВL. Nachází se ve stejné vzdálenosti od přímek slunce A AC, protože patří k ose CL. Proto bod L je ve stejné vzdálenosti mezi přímkami A VY A slunce. Od věci L je ve stejné vzdálenosti od čar AB A AC, Že JSC– úhlová osa VY.

Kružnice, která se dotýká strany trojúhelníku a prodloužení ostatních dvou stran, se nazývá excircle tohoto trojúhelníku.

Důsledek 1. Středy kružnic excentrických k trojúhelníku jsou umístěny v průsečících dvojic os jeho vnějších úhlů.

Věta 6. Poloměr kružnice vepsané do trojúhelníku se rovná poměru strany tohoto trojúhelníku a kosinu poloviny opačného úhlu, vynásobeného siny polovin ostatních dvou úhlů.