Základní elementární funkce, jejich vlastnosti a grafy. Mocninná funkce, její vlastnosti a graf Příklad použití mocninné funkce

Mocninná funkce je dána vzorcem ve tvaru .

Uvažujme typ grafů mocninné funkce a vlastnosti mocninné funkce v závislosti na hodnotě exponentu.

Začněme mocninnou funkcí s celočíselným exponentem A. V tomto případě závisí podoba grafů mocninných funkcí a vlastnosti funkcí na sudém nebo lichém exponentu a také na jeho znaménku. Proto nejprve uvažujeme mocninné funkce pro liché kladné hodnoty exponentu A, pak - pro sudé kladné, potom - pro liché záporné exponenty a nakonec pro sudé záporné A.

Vlastnosti mocninných funkcí se zlomkovými a iracionálními exponenty (a také typ grafů takových mocninných funkcí) závisí na hodnotě exponentu A. Nejprve je zvážíme, A od nuly do jedné, a za druhé, at A velké jednotky, za třetí, s A od mínus jedna do nuly, za čtvrté, kdy A menší mínus jedna.

Na závěr tohoto pododdílu si pro úplnost popíšeme mocninnou funkci s nulovým exponentem.

Mocninná funkce s lichým kladným exponentem.

Uvažujme mocninnou funkci s lichým kladným exponentem, tedy s a=1,3,5,….

Níže uvedený obrázek ukazuje grafy mocninných funkcí - černá čára, - modrá čára, - červená čára, - zelená čára. Na a=1 my máme lineární funkce y=x.

Vlastnosti mocninné funkce s lichým kladným exponentem.

Mocninná funkce se sudým kladným exponentem.

Uvažujme mocninnou funkci se sudým kladným exponentem, tedy pro a=2,4,6,….

Jako příklad si uveďme grafy mocninných funkcí - černá čára, - modrá čára, - červená čára. Na a=2 máme kvadratickou funkci, jejíž graf je kvadratická parabola.

Vlastnosti mocninné funkce se sudým kladným exponentem.

Mocninná funkce s lichým záporným exponentem.

Podívejte se na grafy mocninné funkce pro liché záporné hodnoty exponentu, tedy pro a=-1,-3,-5,….

Funkce napájení je funkcí formy y = xp, kde p je dané reálné číslo.

Vlastnosti funkce napájení

Pokud indikátor p = 2n- sudé přirozené číslo:
- definičním oborem jsou všechna reálná čísla, tj. množina R;
- sada hodnot - nezáporná čísla, tj. y ≥ 0;
- funkce je sudá;
- funkce je na intervalu x ≤ 0 klesající a na intervalu x ≥ 0 rostoucí.
Příklad funkce s p = 2n: y=x4.

Pokud indikátor p = 2n-1- liché přirozené číslo:
- doména definice - množina R;
- sada hodnot - sada R;
- funkce je lichá;
- funkce je rostoucí na celé reálné ose.
Příklad funkce s p = 2n - 1: y=x5.

Pokud indikátor p=-2n, Kde n- přirozené číslo:
- sada hodnot - kladná čísla y > 0;
- funkce je sudá;
- funkce roste na intervalu x 0.
Příklad funkce s p = -2n: y = 1/x2.

Pokud indikátor p = -(2n - 1), Kde n- přirozené číslo:
- definičním oborem je množina R, kromě x = 0;
- sada hodnot - sada R, kromě y = 0;
- funkce je lichá;
- funkce v intervalech x 0 klesá.
Příklad funkce s p = -(2n - 1): y = 1/x3.

Pokud indikátor p je kladné reálné necelé číslo:
- definiční obor - nezáporná čísla x ≥ 0;
- množina hodnot - nezáporná čísla y ≥ 0;
- funkce je rostoucí na intervalu x ≥ 0.
Příklad funkce s exponentem p, kde p je kladné reálné necelé číslo: y=x4/3.

Pokud indikátor p je záporné reálné necelé číslo:
- definiční obor - kladná čísla x > 0;
- sada hodnot - kladná čísla y > 0;
- funkce je na intervalu x > 0 klesající.
Příklad funkce s exponentem p, kde p je záporné reálné necelé číslo: y=x-1/3.

Vybavte si vlastnosti a grafy mocninných funkcí se záporným celočíselným exponentem.

Pro sudé n, :

Příklad funkce:

Všechny grafy takových funkcí procházejí dvěma pevnými body: (1;1), (-1;1). Charakteristickým rysem funkcí tohoto typu je jejich parita, grafy jsou symetrické vzhledem k ose op-y.

Rýže. 1. Graf funkce

Pro liché n:

Příklad funkce:

Všechny grafy takových funkcí procházejí dvěma pevnými body: (1;1), (-1;-1). Charakteristickým rysem funkcí tohoto typu je jejich zvláštnost, grafy jsou symetrické vzhledem k původu.

Rýže. 2. Graf funkcí

Připomeňme si hlavní definici.

Stupeň nezáporného čísla a s racionálním kladným exponentem se nazývá číslo.

Stupeň kladného čísla a s racionálním záporným exponentem se nazývá číslo.

Pro následující rovnost platí:

Například: ; - výraz neexistuje podle definice stupně se záporným racionálním exponentem; existuje, protože exponent je celé číslo,

Přejděme k uvažování mocninných funkcí s racionálním záporným exponentem.

Například:

Pro vykreslení této funkce můžete vytvořit tabulku. Uděláme to jinak: nejprve sestavíme a prostudujeme graf jmenovatele – známe ho (obrázek 3).

Rýže. 3. Graf funkce

Graf funkce jmenovatele prochází pevným bodem (1;1). Při konstrukci grafu původní funkce tento bod zůstává, když i odmocnina má tendenci k nule, funkce směřuje k nekonečnu. A naopak, jak x směřuje k nekonečnu, funkce směřuje k nule (obrázek 4).

Rýže. 4. Graf funkcí

Zvažte ještě jednu funkci z rodiny studovaných funkcí.

Je důležité, že z definice

Uvažujme graf funkce ve jmenovateli: , známe graf této funkce, zvětšuje se v definičním oboru a prochází bodem (1; 1) (obrázek 5).

Rýže. 5. Graf funkcí

Při sestrojování grafu původní funkce zůstává bod (1; 1), když i odmocnina směřuje k nule, funkce směřuje k nekonečnu. A naopak, jak x směřuje k nekonečnu, funkce směřuje k nule (obrázek 6).

Rýže. 6. Graf funkcí

Uvažované příklady pomáhají pochopit, jak graf probíhá a jaké jsou vlastnosti zkoumané funkce - funkce se záporným racionálním exponentem.

Grafy funkcí této rodiny procházejí bodem (1;1), funkce klesá v celém definičním oboru.

Rozsah funkce:

Funkce není omezena shora, ale zdola. Funkce nemá maximální ani minimální hodnotu.

Funkce je spojitá, přebírá všechny kladné hodnoty od nuly do plus nekonečna.

Funkce konvexní dolů (obrázek 15.7)

Na křivce se vezmou body A a B, protáhne se jimi úsečka, celá křivka je pod úsečkou, tato podmínka je splněna pro libovolné dva body křivky, funkce je tedy konvexní směrem dolů. Rýže. 7.

Rýže. 7. Konvexnost funkce

Je důležité pochopit, že funkce této rodiny jsou zespodu ohraničeny nulou, ale nemají nejmenší hodnotu.

Příklad 1 - najděte maximum a minimum funkce na intervalu \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \]

Graf (obr. 2).

Obrázek 2. Graf funkce $f\left(x\right)=x^(2n)$

Vlastnosti mocninné funkce s přirozeným lichým exponentem
Definiční obor jsou všechna reálná čísla.

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ je lichá funkce.

$f(x)$ je spojitý v celé oblasti definice.

Rozsah jsou všechna reálná čísla.

$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

Funkce se zvyšuje v celé definiční oblasti.

$f\left(x\right)0$, za $x\in (0,+\infty)$.

$f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right))"=2 \left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$
\ \
Funkce je konkávní pro $x\in (-\infty ,0)$ a konvexní pro $x\in (0,+\infty)$.

Graf (obr. 3).

Obrázek 3. Graf funkce $f\left(x\right)=x^(2n-1)$
Mocninná funkce s celočíselným exponentem
Pro začátek si představíme pojem stupně s celočíselným exponentem.
Definice 3

Stupeň reálného čísla $a$ s celočíselným exponentem $n$ je určen vzorcem:

Obrázek 4
Uvažujme nyní mocninnou funkci s celočíselným exponentem, její vlastnosti a graf.
Definice 4

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ se nazývá mocninná funkce s celočíselným exponentem.
Pokud je stupeň větší než nula, pak se dostáváme k případu mocninné funkce s přirozeným exponentem. Už jsme to probrali výše. Pro $n=0$ dostaneme lineární funkci $y=1$. Jeho zvážení necháme na čtenáři. Zbývá zvážit vlastnosti mocninné funkce se záporným celočíselným exponentem
Vlastnosti mocninné funkce se záporným celočíselným exponentem
Rozsah je $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Je-li exponent sudý, je funkce sudá, je-li lichý, je funkce lichá.

$f(x)$ je spojitý v celé oblasti definice.

Rozsah hodnot:

Pokud je exponent sudý, pak $(0,+\infty)$, pokud je lichý, pak $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Pokud je exponent lichý, funkce klesá jako $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. Pro sudý exponent se funkce snižuje jako $x\in (0,+\infty)$. a zvětšuje se jako $x\in \left(-\infty ,0\right)$.

$f(x)\ge 0$ přes celou doménu