Das Polyeder, das aus zwei flachen Polygonen besteht. Polyeder und ihre Typen

Einführung

Die Oberfläche aus Polygonen und Begrenzung eines geometrischen Körpers wird als vielflammte Oberfläche oder Polyeder bezeichnet.

Das Polyeder wird als begrenzter Körper bezeichnet, dessen Oberfläche aus einer endlichen Anzahl von Polygonen besteht. Polygone, die das Polyeder einschränken, werden Kanten genannt, die Linienkreuzungsleitungen werden Rippen bezeichnet.

Das Polyhedra kann eine Vielzahl von und sehr komplexer Struktur haben. Beispiele für Polyhedra sind verschiedene Gebäude, wie Gebäude, die aus Ziegeln und Betonblöcken gebaut wurden. Andere Beispiele finden sich zwischen den Möbeln wie dem Tisch. In der Chemie ist die Form der Kohlenwasserstoffmoleküle ein Tetrahedron, das rechte zwanzig Moor, Cube. In der Physik dient das Beispiel der Polyhedra Kristalle.

Seit der Antike war die Präsentation der Schönheit mit Symmetrie verbunden. Erklärt wahrscheinlich das Interesse einer Person an Polyhedra - erstaunliche Symbole der Symmetrie, die die Aufmerksamkeit hervorragender Denker angreifen, die Schönheit getroffen, Perfektion, die Harmonie dieser Figuren.

Die ersten Erwähnungen über Polyhedra sind für weitere dreitausend Jahre vor unserer Zeit in Ägypten in Ägypten und Babylon bekannt. Es reicht aus, an den berühmten ägyptischen Pyramiden und den berühmtesten von ihnen - die Pyramide von Heops zu erinnern. Dies ist die rechte Pyramide, an deren Basis das Quadrat mit einer Seite von 233 m und deren Höhe 146,5 m erreicht. Es ist nicht zufällig, dass die Peyramide von Cheops eine dumme Abhandlung auf Geometrie ist.

Die Geschichte des rechten Polyhedra ging tiefe Antike. Ab dem 7. Jahrhundert BC werden philosophische Schulen im antiken Griechenland erstellt, in denen ein allmählicher Übergang von der praktischen bis philosophischen Geometrie auftritt. Von großer Bedeutung in diesen Schulen erwerben die Argumentation, mit deren Hilfe neue geometrische Eigenschaften erhielten.

Eine der ersten und berühmtesten Schulen war pythagorisch, benannt nach seinem Gründer von Pythagora. Ein unverwechselbares Zeichen der Pythagoraner war ein Pentagramm in der Sprache der Mathematik - dies ist das korrekte, nicht tiefe oder star-Pentagon. Das Pentagramm wurde die Fähigkeit zugewiesen, eine Person vor bösen Geistern zu schützen.

Pythagoräer glaubten, dass die Angelegenheit aus vier Hauptelementen besteht: Feuer, Land, Luft und Wasser. Das Vorhandensein der fünf rechten Polyeder, sie bezeichneten auf die Struktur der Materie und des Universums. Nach dieser Meinung sollten die Atome der Hauptelemente in Form verschiedener Tel sein:

§ Universum - Dodekaeder

§ Land - Cube

§ Feuer - Tetraeder

§ Wasser - Ikosaeder

§ AIR - Oktaeder

Später setzte der Lehren der Pythagoraner über das richtige Polyhedra einen weiteren alten griechischen Wissenschaftler in seinen Schriften auf, der Philosoph ist idealistisches Platon. Seitdem wurde das richtige Polyhedra als platonische Körper bekannt.

Platonkörper werden als korrektes homogenes konvexes Polyhedra bezeichnet, dh konvexen Polyeder, alle Gesichter und die Winkel, deren Winkel gleich sind, und die Kanten - die richtigen Polygone. Jeder Scheitelpunkt des richtigen Polyeders konvergiert die gleiche Anzahl von Ryubers. Alle Dugrani-Winkel mit Ribren und allen vielfältigen Ecken an den Oberseiten des richtigen Polygons sind gleich. Der platonische Körper ist ein dreidimensionales Analogon von flachen regulären Polygonen.

Die Theorie von Polyhedra ist ein moderner Abschnitt der Mathematik. Es ist eng mit der Topologie verbunden, die Theorie der Grafiken, ist sowohl für theoretische Studien über Geometrie als auch für praktische Anwendungen in anderen Bereichen der Mathematik von großer Bedeutung, beispielsweise in Algebra, der Zahlenentheorie, der angewandten Mathematik - lineare Programmierung, optimale Steuerung Theorie. Daher ist dieses Thema relevant, und das Wissen zu dieser Frage ist für die moderne Gesellschaft wichtig.

Hauptteil

Ein begrenzter Körper ist vielfältig, dessen Oberfläche aus einer endlichen Anzahl von Polygonen besteht.

Wir geben die Definition eines Polyeders, das der ersten Definition eines Polyeders entspricht.

Polyeder – Diese Figur, eine Vereinigung der letzten Anzahl von Tetrahedra, für die die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1) Jeder zwei Tetrahedra hat keine gemeinsamen Punkte oder haben einen Gesamtvertex oder nur eine gemeinsame Kante oder eine ganze gemeinsame Linie;

2) Von jedem Tetraeder ist es möglich, durch die Tetraeder-Kette zu gelangen, in der sich jeweils angrenzend an der vorherigen an der gesamten Seite angrenzt.

Elemente eines Polyeders

Die Kante des Polygons ist ein Polygon (ein Polygon ist ein begrenzter geschlossener Bereich, dessen Begrenzung aus einer endlichen Anzahl von Segmenten besteht).

Die Facetten der Gesichter werden als Rippen eines Polyeders bezeichnet, und die Oberteile der Flächen sind ein Spitze der Scheitelpunkte. Zu den Elementen des Polyeders enthalten neben seinen Scheitelpunkten, Rippen und Flächen auch die flachen Ecken ihrer Gesichter und Dogani-Winkel mit seinen Rippen. Der Dwarbb-Winkel an der Kante des Polyeders wird durch seine für diese Kante geeignete Flasse bestimmt.

Klassifizierung von Polyeder.

Konvexes Polyeder -dies ist ein Polyeder, von denen zwei Punkte durch ein Segment verbunden sind. Konvexe Polyhedra besitzen viele wunderbare Eigenschaften.

Theorem Euler. Für jeden konvexen Polyeder In p + g \u003d 2,

Wo IM - die Anzahl seiner Scheitelpunkte, R. - die Anzahl seiner Rippen, G. - die Anzahl seiner Gesichter.

Cauchy theorem. Zwei geschlossene konvexe Polyhedra, gleichermaßen aus jeweils gleichen Gesichtsflächen, gleich.

Das konvexe Polyeder wird als korrekt angesehen, wenn alle ihre Gesichter gleich den richtigen Polygonen sind und in jedem seiner Oberseite die gleiche Anzahl von Rippen zusammenlaufen.

Richtiges Polyeder

Das Polyeder wird korrekt genannt, wenn er zuerst konvex ist, zweitens sind alle seine Gesichter gleich den richtigen Polygonen, drittens, drittens, in jedem seiner Spitze gibt es in jedem seiner Spitze die gleiche Anzahl von Gesichtern, und vierter, alle seine Dugrani Ecken werden konvergiert. Gleich.

Es gibt fünf konvexe rechte Polyeder - Tetraeder, Octaeder und Ikosaeder mit dreieckigen Gesichtern, einem Würfel (Hexaheder) mit quadratischen Gesichtern und einem Dodekaeder mit fünfeckigen Gesichtern. Der Nachweis dieser Tatsache ist bereits seit mehr als zweitausend Jahren bekannt; Diese Beweise und das Studium der fünf Rechtsorgane werden durch den "Beginn" Euclidea (alter griechischer Mathematiker, dem Autor der theoretischen Abhandlungen der Mathematik, die uns erreicht haben) abgeschlossen. Warum hat das richtige Polyhedra solche Namen bekommen? Dies ist auf die Anzahl ihrer Gesichter zurückzuführen. Tetrahedron hat 4 Gesichter, übersetzt aus dem griechischen "Tetra" - Vier, "Edron" - das Gesicht. Hexahedron (Cube) hat 6 Gesichter, "Hex" - Sechs; Oktaeder - Oktaeder, "Octo" - acht; Dodecaeder - Twelveman, "Dodeca" - zwölf; Ikosaedr hat 20 Gesichter, "ikoshi" - zwanzig.

2.3. Arten von richtigem Polyhedra:

1) Rechtes Tetrahedron. (Bestehend aus vier gleichseitigen Dreiecke. Jeder Peak ist ein obere dreieckige Dreiecke. Daher beträgt die Summe der flachen Winkel an jedem Scheitelpunkt 180 0);

2) Kubisch - Parallelepiped, alle Facetten, deren Quadrate sind. Cube besteht aus sechs Quadraten. Jeder Kuba-Gipfel ist die Spitze von drei Quadraten. Folglich beträgt die Summe der flachen Ecken an jedem Scheitelpunkt 270 0.

3) Richtige Oktaederoder einfach oktaeder– ein Polyeder, der acht eigentliche dreieckige Flächen hat und in jeder Oberseite vier Gesichter zusammenlaufen. Oktaeder bestehend aus acht gleichseitigen Dreiecke. Jeder Scheitelpunkt von Oktaedra ist ein Scheitelpunkt von vier Dreiecke. Folglich beträgt die Summe der flachen Ecken an jedem Scheitelpunkt 240 0. Es kann durch Falten von zwei Pyramiden konstruiert werden, an denen die Quadrate und die Seitenflächen die richtigen Dreiecke sind. Die Ränder des Oktaeders können durch Anschließen der Zentren der benachbarten Kanten des Würfels erhalten werden, wenn Sie die Zentren der benachbarten Kanten des richtigen Oktaeders anschließen, dann erhalten wir den Rand des Würfels. Es wird gesagt, dass der Würfel und der Oktaeder miteinander doppelt sind.

4)Ikosaeder. - bestehend aus zwanzig gleichseitigen Dreiecke. Jede Oberseite des Ikosaeders ist ein Scheitelpunkt von fünf Dreiecke. Folglich beträgt die Summe der flachen Ecken an jedem Scheitelpunkt 300 0.

5) Dodekaeder. - ein Polyeder, das von den zwölf rechten Pentagonen zusammengestellt wurde. Jeder Scheitelpunkt des Dodekaeders ist die Oberseite der drei rechten Pentagons. Folglich beträgt die Summe der flachen Ecken an jedem Scheitelpunkt 324 0.

Dodekaeder und Ikosaeder sind auch doppelt in dem Sinne, dass wir durch den Anschluss der Zentren der Zentren der angrenzenden Gesichter von Ikosaeder ein Dodekaeder bekommen, und umgekehrt.

Das richtige Tetrahedron ist doppelt zu sich selbst.

Gleichzeitig gibt es kein korrektes Polyeder, dessen Ränder die rechten Sechsecke, Sevengoles und allgemeine N-KOMs bei n ≥ 6 sind.

Das richtige Polyeder wird ein Polyeder bezeichnet, in dem alle Flächen korrekt sind, gleiche Polygone sind, und alle Zwerfranienkeeer sind gleich. Es gibt jedoch auch solche Polyeder, in denen alle vielfältigen Ecken gleich und rechts, die richtige, aber die Vielfalt der regulären Polygone sind. Das Polyhedra dieses Typs wird als gleichmäßig-halbbutter-Polyhedra bezeichnet. Zum ersten Mal ist das Polyhedra so, wie die Archimedes geöffnet wurden. Sie beschreibt 13 Polyhedra im Detail, die später zu Ehren des Grand Scientific von den Körpern von Archimedes benannt wurden. Dieses abgeschnittene Tetrahedron, abgeschnittenes Oxaeder, verkürztes Ikosaeder, kürzertem Würfel, abgeschnittenes Dodekaeder, Cubouthtaeder, Ikosododekaeder, Kürzel Kaisergüredon verkürzter Ikosodtekaeder, Rhombocaboocothre, Rhomboicosodecaheder, "Floppy" (Drunken) Cube, "flach" (Drinned) Dodekaeder.

2.4. Halbumweltpolyhedra- oder Archimean-Körper - konvexe Polyedra mit zwei Eigenschaften:

1. Alle Gesichter sind die richtigen Polygone von zwei oder mehr Typen (wenn alle Kanten die richtigen Polygone desselben Typs sind, ist dies das richtige Polyeder).

2. Für jedes Paar von Scheitelpunkten gibt es eine Symmetrie eines Polyeders (dh die Bewegung durch das übersetzende Polyeder), die einen Scheitelpunkt in einen anderen übersetzen. Insbesondere alle vielfältigen Ecken an den Scheitelpunkten von kongruenten.

Neben halbumweltiger Polyhedra von den richtigen polyedra-platonischen Körpern ist es möglich, das sogenannte reguläre Star-Polyhedra zu erhalten. Es gibt nur vier von ihnen, sie werden auch Kepler-Ponaso-Körpern genannt. Kepler eröffnete ein kleines Dodekaeder, das von einem Stachel oder einem Igel genannt wurde, und ein großes Dodekaeder. Ponaso öffnete zuerst zwei andere richtige Stern-Polyhedra, doppelte, doppelte Zwei: Big Star Dodekaeder und Big Ikosaeder.

Zwei Tetrahedra, die einen durch die andere Form einen Oktober bestanden haben. Johann KeplerPrisvoyed Diese Figur der Name "Stella Okatgul" - "achteckiger Stern". Es trifft sich in der Natur: Dies ist der sogenannte Doppelkristall.

Bei der Bestimmung des richtigen Polyeders bewusst - bei der Berechnung scheinbarer Beweise - das Wort "konvex" wurde nicht betont. Und es bedeutet eine zusätzliche Anforderung: "Und alle Ränder, die auf einer Seite von der Ebene liegen, die durch eines von ihnen passiert." Wenn Sie eine solche Einschränkung ablehnen, dann zu platonischen Körper, mit Ausnahme des "fortgesetzten Oktaeders" müssen Sie vier weitere Polyeder hinzufügen (sie werden Kepler-Körper - Puenau), von denen jedes "fast richtig" sein wird. Alle werden von "Lobster" Platonov erhalten Körper, das heißt, die Verlängerung seiner Gesichter, bevor sich einander überquert und somit Stern genannt wird. Der Würfel und Tetrahedron erzeugen keine neuen Figuren - das Gesicht von ihnen, wie viel weiterentwickelt wird, kreuzt nicht.

Wenn Sie alle Ränder des Oktaeders vor der Kreuzung von ihnen miteinander ausdehnten, wird die Figur herausstellen, dass es erscheint, dass er erscheint, wenn die beiden Tetrahedra interviewt werden - "Stella OkTangul", das als "Fortsetzung" genannt wird Oktaedrome.

Ikosaeder und Dodekaeder geben der Welt auf einmal vier "fast rechte Polyeder". Einer von ihnen ist ein kleiner Stern-Dodekaeder, der zum ersten Mal von Johann Kepler erhalten wird.

Die Jahrhunderte der Mathematik wurden nicht für alle Arten der Stars des Rechts anerkannt, mit der Tatsache, dass ihre Parteien kreuzen. Ludwig Schlefli wirgte keinen geometrischen Körper aus einer Familie von Polyhedra nur für die Tatsache, dass seine Facetten selbstspielt, dennoch blieb, sobald wir über einen kleinen Stern-Dodekaeder redeten. Das Argument war einfach und Gewicht: Dieses Kepler-Tier gehorcht nicht der Euler-Formel! Seine Stacheln sind gebildet Zwölf Sorten, dreißig Rippen und zwölf Scheitelpunkte, und daher ist in + Mr. nicht nur zweimal gleich.

Schlefli war richtig und nicht richtig. Natürlich ist der geometrische Igel nicht so stachelig, um gegen die unfehlbare Formel zu rebellieren. Es ist nur notwendig, nicht davon auszunehmen, dass es durch zwölf kreuzende Stereos gebildet wird, sondern als einen einfachen, ehrlichen geometrischen Körper ansehen, der aus 60 Dreiecke besteht, mit 90 Rippen und 32 Scheitelpunkten.

Dann ist B + Mr \u003d 32 + 60-90, wie es sein sollte, aber dann ist das Wort "richtig" nicht auf dieses Polyeder anwendbar - schließlich ist es nicht gleichermaßen gleichseitig, sondern nur ein isolierte Dreiecke. Kepler N. Ich dachte, dass die von ihm empfangene Figur ein doppeltes ist.

Das Polyeder, das als "Big Dodekaeder" genannt wird, errichtete zweihundert Jahre nach den Kepler-Stern-Figuren einen französischen Geometer-Louis Ponoxo.

Big ikosahedrbel beschrieb erstmals Louis Ponaso im Jahr 1809. Und wieder, Kepler, sah einen großen Stern-Dodekaeder, der Ehre der Öffnung der zweiten Figur nach Louis Puenau. Diese Zahlen gehorcht auch die Hälfte der Euler-Formel.

Praktischer Nutzen

Polyeder in der Natur.

Right Polyhedra sind die profitabelsten Figuren, so dass sie in der Natur weit verbreitet sind. Dies wird durch Form einiger Kristalle bestätigt. Beispielsweise haben die Kristalle des Kochsalzes die Form eines Würfels. Bei der Herstellung von Aluminium werden Aluminium-Kaliumquarz verwendet, deren Einkristall die Form des richtigen Oktaeders hat. Die Herstellung von Schwefelsäure, Eisen, speziellen Zementstufen ist nicht ohne Schwefelschwefel. Die Kristalle dieser chemischen Substanz haben eine Form eines Dodekaeders. In unterschiedlichen chemischen Reaktionen wird das Notiernatriumnatrium verwendet - eine Substanz, die von Wissenschaftlern synthetisiert wird. Natrium Anti-Raffinerie-Kristall hat die Form eines Tetrahedrons. Das letzte korrekte Polyeder - Ikosaeder überträgt die Form von Borkristallen.

Star Polyhedra sind sehr dekorativ, wodurch sie in der Herstellung aller Art von Dekorationen in der Schmuckindustrie häufig verwendet werden können. Sie werden in der Architektur verwendet. Viele Formen von Stern-Polyhedra fordern die Natur selbst auf. Schneeflocken sind Stern-Polyhedra. Mit der Antike versuchten die Menschen, alle möglichen Arten von Schneeflocken zu beschreiben, von besonderen Atlanten ausgerichtet. Jetzt gibt es mehrere tausend verschiedene Schneeflocken.

Das richtige Polyhedra ist auch in der Wildtiere gefunden. Beispielsweise ähnelt das Skelett eines einzelzelligen Organismus von Feudalia (Circjgjnia ikosahtdra) in der Form IKOSAHEDRON. Die meisten feodariy leben in der Tiefe von Meere und dienen der Beute von Korallenfischen. Das einfachste Tier schützt sich jedoch mit zwölf Nadeln, die von 12 Scheitelpunkten des Skeletts verlässt. Es sieht eher aus wie ein Stern-Polyeder.

Wir können auch Polyhedra in Form von Blumen beobachten. Ein lebendiges Beispiel kann Kakteen sein.

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Insgesamt im Gegenstand von 29 Präsentationen

Würfel, Kugel, Pyramide, Zylinder, Kegelgeometrische Körper. Unter ihnen weisen Sie Polyhedra an. Polyeder Sie rufen den geometrischen Körper an, dessen Oberfläche aus einer endlichen Anzahl von Polygonen besteht. Jede dieser Polygone wird als gerade Linie eines Polyeders, einer Seite und Scheitelpunkte dieser Polygone bezeichnet - jeweils Rippen und Scheitelpunkte eines Polyeders.

Doppele Ecken zwischen benachbarten Kanten, d. H. Kanten mit einer gemeinsamen Seite - eine Polyederkante - sind auch zwerfranische Köpfe eines Polyeders. Ecken von Polygonen - Gesichter eines konvexen Polygons - sind flache Köpfe eines Polyeders. Neben flachen und längigen Ecken hat das konvexe Polyeder auch vielfältige Winkel. Diese Winkel bilden Gesichter mit einem Gesamtverteiler.

Unter den Polyeden werden unterschieden prisma und pyramiden.

Prisma - Dies ist ein Polyeder, dessen Oberfläche aus zwei gleichen Polygonen und Parallelogrammen besteht, die mit jeder Basis gemeinsam genutzten Seiten haben.

Zwei gleiche Polygone werden genannt becken Ggrizimg und Parallelogramme - sie seite Gesichter. Seitenteile Form. seitenfläche Prisma. Rippen, die nicht auf dem Gelände liegen, werden aufgerufen seitenrippen Prisma.

Das Prisma wird genannt p-kohle, Wenn sein Gelände ME-Quadrate sind. In FIG. 24.6 dargestelltes viereckiges Prisma Avda "in" mit "d".

Das Prisma wird genannt gerade, Wenn seine Seitenflächen Rechtecke sind (Abb. 24.7).

Das Prisma wird genannt recht , Wenn es gerade ist und seine Basen die richtigen Polygone sind.

Das viereckige Prisma wird genannt parallelepiped. Wenn seine Basen Parallelogramme sind.

Parallelepiped angerufen rechteckig Wenn alle seine Gesichter Rechtecke sind.

Diagonale von Parallelpipeda. - Dies ist ein Segment, das seine gegenüberliegenden Scheitelpunkte verbindet. Par Allepipeda hat vier Diagonalen.

Geprüft, dassdie Diagonalen des Parallelepiped-Kreuzes an einem Punkt und sind in dieser Hälfte durch diesen Punkt aufgeteilt. Die Diagonalen der rechteckigen Parallelepiped sind gleich.

Pyramide - Dies ist ein Polyeder, dessen Oberfläche aus einem Polygon - der Basis der Pyramide besteht, und Dreiecke mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt, den seitlichen Rändern der Pyramide genannt werden. Der Gesamtgipfel dieser Dreiecke wird genannt verch Pyramiden, Rippen, die aus der Spitze kommen, - seitenrippen Pyramiden.

Senkrecht, von der Spitze der Pyramide an der Basis abgesenkt, sowie die Länge dieses Senkrechts wird aufgerufen höhe Pyramiden.

Die einfachste Pyramide - dreieckig oder Tetraeder (Abb. 24.8). Die Besonderheit der dreieckigen Pyramide ist, dass jede Kante als Basis betrachtet werden kann.

Pyramide rief an richtig Wenn es an der Basis das richtige Polygon liegt, und alle Seitenrippen sind gleich einander.

Beachten Sie, dass es unterschieden werden sollte rechtes Tetrahedron. (d. H. Tetraeder, in dem alle Kanten gleich sind) und rechte dreieckige Pyramide (In seiner Fundament liegt das rechte Dreieck, und die Seitenrippen sind gleich einander, aber ihre Länge kann von der Länge der Seite des Dreiecks abweichen, was die Grundlage des Prismens ist).

Unterscheiden prägung und nonyubeye Polyeder. Bestimmen des konvexen Polyeders kann verwendet werden, wenn Sie das Konzept eines konvexen geometrischen Körpers verwenden: Ein Polyeder wird aufgerufen konvex.wenn es sich um eine konvexe Figur handelt, d. H. Zusammen mit zwei anderen Punkten enthält es vollständig miteinander verbunden sein Segment.

Sie können ein konvexes Polyeder ansonsten definieren: Ein Polyeder wird aufgerufen konvex Wenn es auf einer Seite von jedem der einschränkenden Polygone vollständig liegt.

Diese Definitionen sind gleichwertig. Der Nachweis dieser Tatsache gibt nicht.

Alle bisher behandelten Polyhedra waren konvex (Cube, Parallelepiped, Prism, Pyramid usw.). Das Polyhedron, das in FIG. 24.9, der Convex ist nicht.

Geprüft, dassim konvexen Polyeder sind alle Gesichter konvexe Polygone.

Betrachten Sie mehrere konvexe Polyhedra (Tabelle 24.1)

Es folgt aus dieser Tabelle, dass die Gleichstellung in P + für alle als konvexen Polyhedra stattfindet G.\u003d 2. Es stellte sich heraus, dass es für jeden konvexen Polyeder trifft. Zum ersten Mal wurde diese Eigenschaft von L. Steeler bewiesen und den Namen des Euler-Satzes erhielt.

Konvexes Polyeder rief an recht Wenn seine Gesichter gleich normale Polygone sind und jede Oberseite die gleiche Anzahl von Gesichtern konvergiert.

Mithilfe der Eigenschaft eines konvexen, vielfältigen Winkels können Sie das beweisen es gibt nicht mehr als fünf verschiedene Arten von korrekten Polyeder.

Wenn der Fan und der Polyhedra - die rechten Dreiecke, dann in einem Scheitelpunkt, können sie 3, 4 und 5 als 60 "3 zusammenlaufen< 360°, 60° - 4 < 360°, 60° 5 < 360°, но 60° 6 = 360°.

Wenn in jeder Oberseite der Multifunque drei rechte Dreiecke vorhanden sind, erhalten wir pRS. Tetrahedron, das aus den Füßen übersetzt bedeutet "Quadroentnik" (Abb. 24.10, aber).

Wenn in jeder Spitze des Polyeders vier korrekte Dreiecke vorhanden sind, dann bekommen wir oktaeder (Abb. 24.10, im). Seine Oberfläche besteht aus acht richtigen Dreiecke.

Wenn der Fiat der richtigen Dreiecke in jeder Oberseite des Polyeders konvergiert, dann bekommen wir ikosaeder. (Abb. 24.10, d). Seine Oberfläche besteht aus zwanzig korrekten Dreiecke.

Wenn der Rand einer Multifunnik-Quadrate, dann in einem Scheitelpunkt nur drei, als 90 ° 3 konvergieren können< 360°, но 90° 4 = 360°. Этому условию удовлетворяет только куб. Куб имеет шесть фаней и поэтому называется также hexaheDrom. (Abb. 24.10, b).

Wenn das Getreide des Multi-Piano die richtigen Pentagons ist, können sie in einem Scheitelpunkt nur FI, als 108 ° 3 konvergieren können< 360°, пятиугольники и в каждой вершине сходится три грани, называется dodecahedrome. (Abb. 24.10, e). Seine Oberfläche besteht aus zwölf regulären Pentagons.

Sechsecke und mehr Kanten des Polyeders können nicht sein, denn auch für ein Sechseck 120 ° 3 \u003d 360 °.

In der Geometrie beweist es, dass in einem dreidimensionalen euklidischen Raum genau fünf verschiedene Arten des richtigen Polyhedras sind.

Um ein Modell eines Polyeders herzustellen, müssen Sie es machen kratzen (Genauer gesagt, der Scan seiner Oberfläche).

Die Abtastung eines Polyeders ist eine Figur auf der Ebene, die sich herausstellt, wenn die Oberfläche des Polyeders, aber irgendeine Art von Rand geschnitten ist, und sich entfalten, so dass alle in diese Oberfläche in diese Oberfläche eintretenden Polygone in derselben Ebene liegen.

Beachten Sie, dass das Polyeder mehrere verschiedene Sweeps aufweisen kann, je nachdem, welche Rippen wir geschnitten haben. Fig. 24.11 zeigt Abb. "URA, die unterschiedliche Sweeps der richtigen viereckigen Pyramide sind, d. H. Pyramiden, an deren Basis das Quadrat lügt, und alle Seitenrippen sind gleich einander gleich.

Damit die Figur auf der Ebene ein konvexes Polyeder gescannt wird, muss er eine Reihe von Anforderungen erfüllen, die mit den Merkmalen des Polyeders verbunden sind. Beispielsweise in FIG. 24.12 sind nicht fegen der rechten viereckigen Pyramide: In der in FIG. 24.12, aber, Oben M. Vier Gesichter sind konvergiert, die nicht in der rechten viereckigen Pyramide sein können; Und in der in FIG. 24.12, b, Seitenkanten A B. und Sonne nicht gleich.

Im Allgemeinen kann die Abtastung eines Polyeders erhalten werden, indem seine Oberfläche nicht nur mit Rippen geschnitten wird. Ein Beispiel für einen solchen Würfel-Sweep ist in Fig. 2 gezeigt. 24.13. Darüber hinaus kann der Multi-Finger-Scan genauer als ein flaches Polygon definiert werden, von dem die Oberfläche dieses Polyeders ohne Decke hergestellt werden kann.

Rotationskörper

Rotationskörper Rufen Sie den Körper an, der als Folge der Rotation einiger Form (normalerweise flach) um die gerade Linie erhalten wird. Diese Straight wird genannt drehachse.

Zylinder - der Ego-Körper, der sich als Ergebnis der Drehung des Rechtecks \u200b\u200bum eine seiner Seiten herausstellt. Zur gleichen Zeit ist die angegebene Seite zylinderachse. In FIG. 24.14 Zylinder mit Achse Oo ' Rechteckrotation. Aa "o" oum direkte Oo. Punkte ÜBER und ÜBER" - Zylinder-Basiszentren.

Der Zylinder, der sich als Ergebnis der Drehung des Rechtecks \u200b\u200bum eine seiner Seiten herausstellt, wird genannt direktkreis. Zylinder, da seine Basen zwei gleiche Kreise in parallelen Ebenen befinden, so dass das Segment, das die Zentren der Kreise verbindet, senkrecht zu diesen Ebenen senkrecht. Die Seitenfläche der Zylinderform-Segmente gleich der Seite des Rechtecks \u200b\u200bparallel zur Achse des Zylinders.

Kratzen Die Seitenfläche des direkten Kreiszylinders, wenn es durch Umformen geschnitten wird, ist ein Rechteck, dessen, dessen, dessen, dessen Seite der Länge des Bildens ist, und der andere - die Länge des Basisumfangs ist.

Kegel - Dies ist der Körper, der zur Drehung des rechteckigen Dreiecks um einen der Katheten führt.

Gleichzeitig ist der angegebene Catat unbeweglich und genannt die Achse des Kegels. In FIG. 24.15 zeigt einen Kegel mit der so erhaltenen so-Achse, der als Folge des Drehens des SOA-rechteckigen Dreiecks mit einem direkten Winkel um die Kategorie S0 erreicht wird. Punkt S aufgerufen. top Cone, OA - Radius seiner Gründung.

Kegel, der als Folge der Drehung eines rechteckigen Dreiecks um eine seiner Katheten erhalten wird, wird genannt direktkreiskegel GAK als Fundament ist ein Kreis, und der Peak ist für die Mitte dieses Kreises ausgelegt. Die seitliche Oberfläche der Kegelform-Segmente entspricht dem Dreieck-Hypothenuze, wenn der Kegel gedreht wird.

Wenn die Seitenfläche des Kegels das Bilden schneidet, kann es in der Ebene "bereitgestellt" werden. Kratzen Die Seitenfläche des direkten Kreiskegels ist ein kreisförmiger Sektor mit einem Radius, der der Länge des Umforms entspricht.

Beim Kreuzung des Zylinders, des Kegels oder eines anderen Drehreichkörpers in die Ebene wird die Drehachse von erhalten axialquerschnitt. Der axiale Querschnitt des Zylinders ist ein Rechteck, ein axialer Querschnitt eines Kegels - ein verkettetes Dreieck.

Ball - Dies ist ein Körper, der als Folge der Drehung des Halbkreises und um seinen Durchmesser erhalten wird. In FIG. 24.16 zeigt eine Kugel, die als Ergebnis der Drehung des Halbkreiss um den Durchmesser erhalten wird AA ". Punkt ÜBERanruf mittlerer Ball Und der Radius des Kreises ist ein Radius des Balls.

Die Oberfläche des Balls wird genannt kugel. Die Kugel ist unmöglich, sich in der Ebene auszudehnen.

Jeder Abschnitt eines Balls mit einer Ebene ist ein Kreis. Der Radius der Abschnitte des Balls ist der größte, wenn das Flugzeug durch die Mitte des Balls durchläuft. Daher wird der Querschnitt der Kugel mit einer durch die Mitte des Balls verlaufenden Ebene genannt großer Kreisball Und der Kreis, seine Begrenzung, - großer Umfang.

Bild von geometrischen Körpern auf dem Flugzeug

Im Gegensatz zu flachen Figuren können geometrische Körper nicht genau dargestellt werden, beispielsweise auf einem Blatt Papier. Mit Hilfe von Zeichnungen in der Ebene können Sie jedoch ein ausreichend visuelles Bild von räumlichen Figuren erhalten. Dies verwendet besondere Bildungsmöglichkeiten solcher Figuren in der Ebene. Einer von ihnen ist parallelgestaltung.

Lassen Sie das Flugzeug ein und überqueren Sie XI gerade aber. Nehmen Sie den Raum einen willkürlichen Punkt L ein, der nicht zur Linie gehört aber, und ausgeben X. Gerade aber", Parallel direkt. aber(Abb. 24.17). Gerade aber" kreuzt das Flugzeug irgendwann X " welches heisst parallelprojektionspunkt x auf einer Ebene a.

Wenn der Punkt A "auf einer geraden Linie liegt aber, Dann E-Parallel-Projektion X " ist ein Punkt, in dem direkt aber Kreuzflugzeug aber.

Wenn Punkt X. gehört zum Flugzeug A, dann der Punkt X " Soclies mit einem Punkt X.

Wenn also das Flugzeug A und Überquerung gerade aber. Dass jeder Punkt X. Räume können in Übereinstimmung mit dem einzigen Punkt A "Parallel Point-Projektion" eingehalten werden X.auf der Ebene A (beim Entwerfen von Parallel direkt aber). Flugzeug aber namens flugzeug der Projektionen.Über direkte aber Sag, sie schließt designrichtung - GGRI Ersatz direkt. aber Alle anderen parallel zu ihrem direkten Design-Ergebnis ändert sich nicht. Alles gerade, parallel direkt aber, Die Quaste ist derselbe Design des Designs und wird mit direkter Weise aufgerufen aber Gerade entwerfen.

Projektion Zahlen F. Anrufsatz F ' Projektion aller Abschnitte. Anzeige, die jedem Punkt entspricht X. Zahlen F."Sein Parallelprojektionspunkt X " Zahlen F ", namens parallelgestaltung Zahlen F.(Abb. 24.18).

Eine parallele Vorsprung des echten Objekts ist der Schatten, der auf eine ebene Fläche mit Solarbeleuchtung fällt, da die Sonnenstrahlen parallel betrachtet werden können.

Parallelgestaltung hat eine Reihe von Eigenschaften, deren Kenntnisse in dem Bild der geometrischen Körper in der Ebene notwendig ist. Wir formulieren den Hauptteil, der ihren Beweis nicht leitet.

Satz 24.1. Mit parallelem Design für direkte, nicht parallele Konstruktionsrichtung, und für die darauf liegenden Segmente werden folgende Eigenschaften durchgeführt:

1) Die Projektion der Direct ist gerade und die Projektion des Segments - Schnitt;

2) Vorsprünge paralleler direkter paralleler oder übereinstimmender Parallel;

3) Das Verhältnis von Längen von Vorsprüngen von Segmenten, die auf einer geraden oder parallelen geraden Linien liegen, gleich dem Verhältnis der Längen der Segmente selbst.

Von diesen Theorem fließt folge: Mit parallelem Design ist die Mitte des Segments in der Mitte seiner Projektion konzipiert.

Wenn die geometrischen Körper in der Ebene erscheinen, ist es notwendig, die Ausführung dieser Eigenschaften zu befolgen. Ansonsten kann es willkürlich sein. Somit können die Winkel und die Verhältnisse von nicht parallelen Segmenten beliebig geändert werden, d. H. Zum Beispiel wird ein Dreieck mit parallelem Design von einem beliebigen Dreieck dargestellt. Wenn das Dreieck jedoch gleichseitig ist, muss die Projektion seiner Medianer von der mittleren gegenüberliegenden Seite dem Scheitelpunkt des Dreiecks anschließen.

Und ein weiterer Anforderung ist im Bild von räumlichen Körper auf der Ebene zu beachten - um die Erstellung einer korrekten Idee von ihnen zu fördern.

Zeigen Sie zum Beispiel ein geneigtes Prisma, deren Gründe, deren Felder sind.

Bauen Sie zuerst die untere Basis des Prismas auf (Sie können mit der Oberseite beginnen). Gemäß den Regeln der parallelen Konstruktion ist das Oggo durch ein beliebige Parallelogramm des AVD dargestellt (Abb. 24.19, A). Da die Ränder des Prismas parallel sind, bauen wir parallel gerade, indem wir durch die Scheitelpunkte des starken Parallelogramms passieren und ihnen gleiche Segmente von AA, BB ', SS', DD ', deren Länge beliebig ist, anziehen. Durch den Verbinden konsistent Punkte a ", in", c ", d", wir bekommen ein vierseitiges A "in" mit "d", der die oberste Basis des Prismas darstellt. Es ist nicht schwierig, das zu beweisen Ein "in" mit "d" - Parallelogramm gleich dem Parallelogramm Assd. Und daher haben wir ein Prismenbild, dessen Basen gleiche Quadrate sind, und der Rest des Gesichts - Parallelogramme.

Wenn Sie ein gerades Prisma darstellen müssen, davon, deren Gründe Quadrate sind, zeigen, dass die Seitenrippen dieses Prismas senkrecht zur Basis sind, da in Fig. 2 möglich ist. 24.19, b.

Neben Tog o Zeichnung in FIG. 24.19, b. Es kann als ein Bild des richtigen Prismas betrachtet werden, da seine Basis das Quadrat ist - das richtige Viereck sowie der rechteckige Parallelepiped, da alle ihre Gesichter Rechtecke sind.

Finden Sie jetzt heraus, wie Sie die Pyramide in der Ebene darstellen.

Um die richtige Pyramide darzustellen, zeichnen Sie zunächst das richtige Polygon, das an der Unterseite liegen, und sein Mittelpunkt ÜBER. Dann verbringen Sie einen vertikalen Schnitt Os, Die Höhe der Pyramide darstellen. Beachten Sie, dass die Vertikalität des Segments Osbietet mehr Klarheit der Zeichnung. Schließlich ist der Punkt S mit allen Scheitelpunkten der Basis verbunden.

Wir werden zum Beispiel die richtige Pyramide gezeigt, die Grundlage des rechten Sechsecks ist.

Um das korrekte Sechskant in parallelem Design zu kontaktieren, ist es notwendig, auf das Folgende zu achten. Lassen Sie den AssDEF das rechte Sechseck sein. Dann ist alles ein Rechteck (Abb. 24.20) und es bedeutet, dass es mit parallelem Design mit einem beliebigen Parallelogramm in "mit" E "F" dargestellt ist. Da die Anzeigendiagonale den Punkt der Mitte des Avdef-Polygons und parallel zu den Segmenten durchläuft. Sun und EF und JSC \u003d OD, dann mit parallelem Design wird es von einem willkürlichen Segment A "D" dargestellt , Durch den Punkt gehen ÜBER" parallel In "c" und E "f"und ausserdem, Ein "o" \u003d o "d".

Somit ist die Sequenz des Aufbaus der Basis der hexagonalen Pyramide derartig (Abb. 24.21):

§ Zeigen Sie willkürliche Parallelogramme dar In "mit" E "F" und seine Diagonale; Markieren Sie den Punkt ihrer Kreuzung Ö ";

§ durch den Punkt ÜBER" verbringen Sie eine gerade parallele V's " (oder E "f ');

§ Wählen Sie in der ergebundenen Direkt einen beliebigen Punkt aus ABER" Und Punktpunkt. D " So dass O "d" = Ein "o", und verbinden Sie den Punkt ABER"mit Punkten IM" und F.", Ein Punkt D "- mit Punkte VON" und E ".

Um den Bau der Pyramide abzuschließen, geben Sie ein vertikales Segment aus OS. (Seine Länge wird willkürlich gewählt) und verbinden Sie den Punkt S mit allen Scheitelpunkten der Basis.

Mit parallelem Design ist der Ball in Form eines Kreises desselben Radius dargestellt. Um ein Bild von einem Schüssel mehr visuell zu machen, ziehen Sie eine Projektion eines großen Kreises, dessen Ebene nicht senkrecht zur Projektionsebene ist. Diese Projektion ist eine Ellipse. Das Kugelzentrum ist durch die Mitte dieser Ellipse dargestellt (Abb. 24.22). Jetzt können Sie die entsprechenden Pole finden N. und S, vorausgesetzt, das Segment, das sie senkrecht zur Äquatorebene verbindet. Denn dies durch den Punkt ÜBER Wir führen eine gerade, senkrecht aus Au. und feiern Sie den Punkt C - die Kreuzung dieser geraden Linie mit der Ellipse; Dann durch einen Punkt mit einer Tangente zu einer Ellipse, die den Äquator darstellt. Es wurde bewiesen, dass Entfernung CM Gleiche Abstand von der Mitte des Balls zu jedem der Polen. Daher die Abschiebung von Segmenten AUF. und Os, gleich CM, Wir bekommen Polen N und s.

Betrachten Sie eine der Methoden zum Erstellen einer Ellipse (es basiert auf der ebenen Transformation, der als Kompression genannt ist): Bauen Sie einen Kreis mit einem Durchmesser auf und leiten Sie Akkorde senkrecht zu Durchmesser (Abb. 24.23). Die Hälfte jedes der Akkord wird um die Hälfte geteilt, und die erhaltenen Punkte werden mit einer glatten Kurve kombiniert. Diese Kurve - Ellipse, deren große Achse ein Segment ist Ab und Mitte-Punkt ÜBER.

Diese Technik wird verwendet, wobei ein direkter Kreiszylinder in der Ebene (Fig. 24.24) und einen direkten Kreiskegel (Abb. 24.25) darstellt.

Der direkte Kreiskegel zeigt sich so. Erstellen Sie zuerst eine Ellipse - die Basis, dann finden Sie das Zentrum der Basis - den Punkt ÜBER Und senkrecht verbringen ein Segment Os, Das zeigt die Höhe des Kegels. Aus dem Punkt S verbringen Sie die Tangenten zur Ellipse (dies macht "auf dem Auge", das Anwenden eines Lineals) und segregieren SC und SD.diese direkt von Punkt S bis zum Berührungsort C und D. Beachten Sie, dass das Segment CD. stimmt nicht mit dem Durchmesser der Basis des Kegels überein.

Geometrische Körperkörper

Einführung

Die Stereometriestudien formen in einem genannten Raum geometrische Körperkörper.

Die Idee von geometrischen Körpern gibt den Gegenständen um uns herum. Im Gegensatz zu echten Objekten sind geometrische Körper imaginäre Objekte. Obstin. geometrischer Körper Es ist notwendig, sich als Teil des von Materie besetzten Raums vorzustellen (Ton, Holz, Metall, ...) und begrenzte Oberfläche.

Alle geometrischen Körper sind in eingeteilt polyhedra und runder Körper.

Polyhedra

Polyeder - Dies ist ein geometrischer Körper, dessen Oberfläche aus einer endlichen Anzahl flacher Polygone besteht.

Bürger ein Polyeder, das als Polygone genannt wird, die seine Oberfläche bilden.

Rippen ein Polyeder, das die Facetten der Polyeder-Gesichter genannt hat.

Verdammte Das Polyeder wird die Scheitelpunkte der Polyeder-Gesichter bezeichnet.

Polyeder sind geteilt durch konvexund nonyubeye.

Das Polyeder wird genannt konvexWenn er alle auf einer Seite eines seines Gesichts liegt.

Die Aufgabe. Angeben gesicht, rippen und verhin Kuba im Bild dargestellt.

Konvexe Polyeder sind in eingeteilt prisma und pyramiden.

Prisma

Prisma - Dies ist ein Polyeder, der zwei gleiche Gesichter gleich und parallel hat
n.-Golts und der Rest n. Begriffe - Parallelogramm.

Zwei n.Nebel heißt grundlagen des Prisma., Parallelogramm - seitenkanten. Seite der Seitenflächen und der Gründe werden genannt rippenprisma.Die Enden der Rippen werden genannt verse Prisma.. Die Seitenrippen werden Rippen bezeichnet, die nicht zu den Gründen gehören.

Polygone A 1 A 2 ... A N und B 1 B 2 ... B N - Die Basis des Prismas.

Parallelogramm A 1 A 2 B 2 B 1, ... - Seitenflächen.

Prismeneigenschaften:

· Die Basen des Prismas sind gleich und parallel.

· Seitenkanten Prisma sind gleich und parallel.

Diagonales Prisma. Es wird als Segment bezeichnet, das zwei Scheitelpunkte verbindet, die nicht zu einem Gesicht gehören.

Höhenprisma. Es wird senkrecht genannt, von dem Punkt der oberen Basis in die untere Basisebene abgesenkt.

Prisma namens 3 Kohle, 4-Kohle, ..., n.-Gely, wenn seine Fundamente
3-Kohl, 4-Quadrate, ..., n.Frames.

Direktes Prisma. Das Prisma wird als seitliche Rippen senkrecht zu den Gründen bezeichnet. Die Seitenflächen des direkten Prismens sind Rechtecke.

Genuges Prisma. als Prisma genannt, was nicht direkt ist. Die Seitenflächen des geneigten Prismas sind Parallelogramme.

Richtiges Prisma. namens gerade Das Prisma, in dem die richtigen Polygone an den Basen liegen.

Quadrat volle Oberfläche Prisma Die Summe der Bereiche aller seiner Gesichter wird aufgerufen.

Quadrat seitenfläche Prisma Die Summe des Bereichs seiner Seitenflächen wird aufgerufen.

S. voll \u003d S. Seite + 2 · S. Osn-

Polyeder

• Polyeder- Dies ist ein Körper, dessen Oberfläche aus einer endlichen Anzahl flacher Polygone besteht.

Das Polyeder wird genannt konvex

• Das Polyeder wird genannt konvex Wenn sich auf einer Seite jedes flachen Polygons auf seiner Oberfläche befindet.

• EUCLID (vermutlich 330 bis 277 v. Chr.) - Mathematik der Alexandria-Schule des antiken Griechenlands, der Autor der ersten Abhandlung, die uns auf die Mathematik erreichte, "Anfang" (in 15 Büchern)

seitenkanten.

• Prisma-ein Polygon, das aus zwei flachen Polygonen besteht, die in verschiedenen Ebenen liegen und mit der parallelen Übertragung kombiniert werden, und alle Segmente, die die entsprechenden Punkte dieser Polygone verbinden. Polygone F und F1, die in parallelen Flugzeugen liegen, werden als Gründe für das Prisma genannt, und der Rest des Gesichts - seitenkanten.

• Die Oberfläche des Prismas besteht somit aus zwei gleichen Polygonen (Basen) und Parallelogrammen (Seitenflächen). Die Prismen sind dreieckig, viereckig, fünfeckig usw. Abhängig von der Anzahl der Scheitelpunkte der Basis.

• Wenn der Seitenkante der Prismen senkrecht zur Ebene seiner Basis senkrecht ist, wird ein solcher Prisma genannt gerade ; Wenn die Seitenkante der Prismen nicht senkrecht zur Ebene seiner Basis senkt, wird ein solcher Prisma genannt geneigt . Das direkte Prisma ist die Seitenflächen - Rechtecke.

Die Basen des Prismas sind gleich.

• Die Basen des Prismas sind gleich.

• Das Prisma der Basen liegt in parallelen Ebenen.

• Das Prisma hat Seitenrippen parallel und gleich.

• Die Höhe des Prismas ist der Abstand zwischen den Ebenen seiner Basen.

• Es stellt sich heraus, dass das Prisma nicht nur ein geometrischer Körper sein kann, sondern auch ein künstlerisches Meisterwerk. Ich selbst wurde die Basis von Picasso-Gemälden, Ehe, Grasse usw.

• Es stellt sich heraus, dass die Schneeflocke die Form eines Hexagon-Prismens ergreifen kann, aber er hängt von der Lufttemperatur ab.

• Im dritten Jahrhundert v. Chr. e. Der Leuchtturm wurde gebaut, damit die Schiffe auf dem Weg zur Alexandria-Bucht sicher sein könnten. Nachts haben sie ihnen bei dieser Reflexion der Flammsprachen und dem Tag des Rauches geholfen. Es war der erste Leuchtturm der Welt, und es stand 1500 Jahre lang.

• Der Leuchtturm wurde auf der kleinen Insel Faros im Mittelmeer in der Nähe der Ufer von Alexandria gebaut. Es dauerte 20 Jahre bis zur Konstruktion, und es wurde etwa 280 v. Chr. Fertiggestellt.

• Im XIV-Jahrhundert wurde der Leuchtturm durch ein Erdbeben zerstört. Seine Trümmer wurden beim Bau eines Militärmittels eingesetzt. Das Fort wird wiederholt umgebaut und steht immer noch auf dem Gelände des weltweit ersten Leuchtturms.

Mauulsol war der Herrscher des Autos. Die Hauptstadt der Region war Galicarnas. Mawsol heiratete ihre Schwester von Artemisia. Er beschloss, ein Grab für sich selbst und seine Königin zu bauen. Mauulsol träumte von einem majestätischen Denkmal, das die Welt über seinen Reichtum und seine Macht wünschen würde. Er starb vor dem Ende der Arbeit auf dem Grab. Artemisia führte weiterhin den Bau an. Das Grab wurde in 350 v. Chr. e. Sie wurde Mausoleum namens Tsar genannt.

Die Asche des königlichen Paars wurde in goldenen Urnen in einem Grab an der Basis des Gebäudes aufbewahrt. Eine Reihe von Steinlöwen stumm dieses Zimmer. Die Struktur selbst ähnelte dem griechischen Tempel, umgeben von Säulen und Statuen. An der Spitze des Gebäudes befand sich eine stufenlose Pyramide. In einer Höhe von 43 m über dem Boden war es ein skulpturales Bild eines Wagens, der Pferde gegründet. Es war wahrscheinlich auf den Statuen des Königs und der Königin stand.

• Nach achtzehn Jahrhundert zerstörte das Erdbeben das Mausoleum auf den Boden. Dreihundert Jahre sind vergangen, bevor Archäologen zu Ausgrabungen gingen. Im Jahr 1857 wurden alle Funde in das britische Museum in London transportiert. Jetzt an Ort und Stelle, wo einmal ein Mausoleum stattfand, blieb nur eine Handvoll Steine.

kristalle.

Es gibt nicht nur geometrische Formen, die von den Händen einer Person erzeugt werden. Und es gibt viele und in der Natur selbst. Aktivitäten zum Erscheinungsbild der Erdoberfläche solcher natürlicher Faktoren, wie Wind, Wasser, Sonnenlicht, sehr spontan und trägt einen ungeordneten Charakter . Jedoch Sanddünen, Kieselsteine \u200b\u200ban der Küste, der Krater des ausgestorbenen Vulkans ist in der Regel geometrisch korrekte Formen. In der Erde finden die Steine \u200b\u200bmanchmal so ein Formular, als wäre jemand sorgfältig gehackt, mahlen, poliert. Das ist - kristalle.

parallelepiped..

• Wenn die Basis des Prismas Parallelogramme ist, wird es aufgerufen parallelepiped..

• Modelle des rechteckigen Parallelepiped dienen:

• cooles Zimmer

• Es stellt sich heraus, dass Calcit-Kristalle, wie viele von ihnen in kleineren Teilen keine Fraktion sind, immer in Fragmente mit einer Form von Parallelepiped zerfallen.

• Städtische Gebäude haben meistens die Form von Polyeder. In der Regel sind dies gewöhnliche Parallelepipeds. Und nur unerwartete architektonische Lösungen schmücken die Städte.

• 1. Ist der Prisma korrekt, wenn seine Rippen gleich sind?

• a) ja; C) Nein. Rechtfertige deine Antwort.

• 2. Der Wert des korrekten dreieckigen Prismas beträgt 6 cm. Die Basisseite beträgt 4 cm. Finden Sie die gesamte Oberfläche dieses Prismas.

• 3. Das Quadrat der beiden Seitenflächen des geneigten dreieckigen Prismas betragen 40 und 30 cm². Der Winkel zwischen diesen Kanten ist gerade. Finden Sie die Seitenoberfläche des Prismas.

• In der Parallelepiped ABCDA1B1C1D1 wurden Abschnitte A1bc und Cb1d1 durchgeführt. In welchen Einstellungen dieser Ebenen werden durch die AC1-Diagonale geteilt.

• 1) ein Tetrahedron mit 4 Gesichtern, 4 Scheitelpunkten, 6 Rippen;

• 2) Würfel - 6 Gesichter, 8 Scheitelpunkte, 12 Rippen;

• 3) Oktaeder - 8 Gesichter, 6 Scheitelpunkte, 12 Rippen;

• 4) Dodekaeder - 12 Gesichter, 20 Scheitelpunkte, 30 Rippen;

• 5) Ikosaeder - 20 Gesichter, 12 Scheitelpunkte, 30 Rippen.

Falez Miretsky., Gründer. ionisch Pythagora Samosky.

Wissenschaftler und Philosophen des antiken Griechenlands wahrgenommen und überarbeiteten die Errungenschaften von Kultur und Wissenschaft des alten Ostens. Fales, Pythagoras, Demokritis, Orientox usw. Wir gingen nach Ägypten und Babylon, um Musik, Mathematik und Astronomie zu studieren. Es ist nicht zufällig, dass das Primitiv der griechischen geometrischen Wissenschaft mit dem Namen verbunden ist Falez Miretsky., Gründer. ionischschulen. Die Ionianer, die das Territorium bewohnt hatten, das die östlichen Länder grenzte, lernten sich der erste, der sich das Wissen des Ostens ausleihen, und begannen, sie zu entwickeln. Die Wissenschaftler der ionischen Schule wurden zuerst einer logischen Verarbeitung ausgesetzt und systematisierte mathematische Informationen, die von den alten Völkern, insbesondere in Babylonian, geliehen wurden. Fales, das Kapitel dieser Schule, die Kreuzung und andere Historiker tragen viele geometrische Entdeckungen zu. Über die Einstellung Pythagora Samosky.für die Geometrie schreibt das Problem in seinem Kommentar an den "Beginn von" Euclid Folgendes: "Er studierte diese Wissenschaft (d. H. Geometrie), basierend auf seinen ersten Gründen und versuchte, Theorems mit rein logischem Denken zu bekommen." Die Borne-Attribute von Pythagora, mit Ausnahme des berühmten Satzes auf dem Square von Hypotenuse, einer weiteren Bau von fünf richtigen Polyhedra:

Body Platon

Body Platon -Dieser konvexer Polyhedra, alle Gesichter, auf denen sich die richtigen Polygone befinden. Alle vielfältigen Ecken des richtigen Polyeders kongruent. Da dies aus dem Zählen der Menge der flachen Ecken an der Spitze folgt, korrigiert das konvexe korrekte Polyhedra nicht mehr als fünf. Der folgende Weg kann beweisen, dass es genau fünf reguläre Polyhedra (erwiesenes Euclium) gibt. Sie sind das richtige Tetrahedron, Cube, Octaeder, Dodekaeder und Ikosaeder.

Oktaeder (Abb. 3).

• Oktaeder -Oktaeder; Der Körper limitierte auf acht Dreiecke; Das richtige Oktaeder ist auf acht gleichseitige Dreiecke begrenzt; Eines der fünf rechten Polyeder. (Abb. 3).

• Dodekaeder. -denthagran, Körper auf zwölf Polygone begrenzt; das rechte Pentagon; eines der fünf rechten Polyeder . (Abb.4).

• Ikosaeder. -Dadginger, Körper, limitiert auf zwanzig Polygone; Das richtige Ikosaeder ist auf zwanzig gleichseitige Dreiecke begrenzt; Eines der fünf rechten Polyeder. (Abb. 5).

Die Kanten des Dodekaeders sind die richtigen Pentagons. Die Diagonale des richtigen Pentagons wird von dem sogenannten Stern-Pentagon gebildet - eine Figur, die als Emblem diente, die für pythagorische Studenten identifiziert. Es ist bekannt, dass die Pythagorin-Union gleichzeitig eine philosophische Schule, eine politische Partei und eine religiöse Brüderlichkeit war. Laut der Legende fiel ein Pythagoraner auf ein fremdes Land und konnte den Besitzer des Hauses nicht mit dem Besitzer bezahlen, der sich um ihn kümmerte. Letztere zeichnete ein Sternpentagon an der Wand seines Hauses. Nachdem er dieses Zeichen in einigen Jahren gesehen hatte, fragte ein weiterer wandernder Pythagoraner nach dem, was vom Besitzer passiert ist und ihn großzügig belohnt hatte.

• Von zuverlässigen Informationen über das Leben und die wissenschaftlichen Aktivitäten von Pythagora wurde nicht erhalten. Er wird der Schaffung von Lehren über die Ähnlichkeit der Figuren zurückgeführt. Er gehörte wahrscheinlich zu den ersten Wissenschaftlern, die Geometrie nicht als praktische und angewandte Disziplin betrachteten, sondern als abstrakte logische Wissenschaft.

In der Schule von Pythagora wurde das Vorhandensein von unverzerrbaren Werten eröffnet, dh der Zweck der Beziehung, zwischen der es unmöglich ist, jede ganze Zahl oder eine fraktionale Zahl auszudrücken. Ein Beispiel ist das Verhältnis der Länge der Diagonale des Quadrats bis zur Länge seiner Seite, gleich C2. Die Zahl ist nicht rational (d. H. Das Ganze oder das Verhältnis von zwei Ganzzahlen) und wird irrational genannt, d. H. irrational (aus der Haltung der lateinischen Verhältnis).

Tetraeder. (Abb. 1).

• Tetraeder. -Cheligrats, das ganze Gesicht von denen Dreiecke, d. H. Dreieckige Pyramide; Das richtige Tetrahedron ist auf vier gleichseitige Dreiecke begrenzt; Eines der fünf richtigen Polygone. (Abb. 1).

• Würfel oder rechts Hexaeder (Abb.2).

Tetraeder. -Cheligrats, das ganze Gesicht von denen Dreiecke, d. H. Dreieckige Pyramide; Das richtige Tetrahedron ist auf vier gleichseitige Dreiecke begrenzt; Eines der fünf richtigen Polygone. (Abb. 1).

• Tetraeder. -Cheligrats, das ganze Gesicht von denen Dreiecke, d. H. Dreieckige Pyramide; Das richtige Tetrahedron ist auf vier gleichseitige Dreiecke begrenzt; Eines der fünf richtigen Polygone. (Abb. 1).

• Würfel oder rechts Hexaeder - richtiges viereckiges Prisma mit gleichen Rippen, begrenzt auf sechs Quadrate. (Abb.2).

Pyramide

• Pyramide- MnOGRANNIK, der aus einer flachen Polygonbasis der Pyramide, Punkte besteht, die nicht in der Ebene des Base-Scheitelpunkts der Pyramide liegen, und alle Segmente, die den Scheitelpunkt der Pyramide mit den Punkten der Basis verbinden

Abbildung zeigt eine Pentagonale Pyramide Sabcde. Und ihr Scan. Dreiecke mit einem totalen Scheitelpunkt seitenkantenpyramiden; General Vertex-Seitenflächen - verchpyramiden; Ein Polygon, das nicht zu diesem Scheitelpunkt gehört - basepyramiden; Die Rippen der Pyramide konvergieren in ihrem Oberteil, - seitenrippenpyramiden. Höhepyramiden sind ein Segment eines senkrecht, der durch seinen Scheitelpunkt in der Basisebene mit den Enden an der Oberseite und in der Ebene der Basis der Pyramide durchgeführt wird. In der Zeichnung des Schnittes SO.- Höhe der Pyramide.

• Definition . Die Pyramide, deren Basis - das richtige Polygon und der Scheitelpunkt in seiner Mitte ausgelegt sind, wird ordnungsgemäß bezeichnet.

• Die Abbildung zeigt die richtige hexagonale Pyramide.

Die Volumina von Getreidetren und anderen Strukturen in Form von Würfeln, Prismen und Zylindern der Ägypter und Babylonier, die Chinesen und den Indianern, wurden durch Multiplizieren des Basisbereichs in Höhe berechnet. Der alte Osten wurde jedoch meistens nur von individuellen Regeln bekannt, die von der experimentellen Art und Weise gefunden wurden, die verwendet wurden, um Volumina für die Figuren der Figuren zu finden. Zu einem späteren Zeitpunkt, als die Geometrie als Wissenschaft gebildet wurde, wurde festgestellt, dass ein allgemeiner Ansatz die Volumina von Polyeder berechnet.

• Unter den wunderbaren griechischen Wissenschaftlern V-IV-Jahrhunderten. BC, der die Theorie der Volumes entwickelte, waren Demokritter aus dem Buchen von Abdra und Evdox.

• Euclide wendet den Begriff "Volume" nicht an. Für ihn bedeutet der Begriff "Cube" zum Beispiel das Volumen des Würfels. Im XI-Buch "Vorteile" sind unter anderem und den Satzungen des folgenden Inhalts dargelegt.

• 1. Parallelepipeds mit den gleichen Höhen und isometrischen Gründen ist esometrisch.

• 2. Das Verhältnis des Volumens von zwei Parallelepipeds mit gleichen Höhen ist gleich dem Verhältnis ihrer Basen.

• 3. In isometrischen Parallelepiped-Bereiche von Basen sind umgekehrt proportional zu Höhenständen.

• Euklidanische Theorems werden nur mit Volumina verglichen, da die direkte Berechnung des Volumens der Euclidea-Leiche von Euclidea wahrscheinlich die Arbeit praktischer Richtlinien für die Geometrie betrachtet hat. In den Werken der angewandten Natur von Geron Alexandria gibt es Regeln zur Berechnung des Volumens des Würfels, des Prismens, der Parallelepiped und anderer räumlicher Figuren.

• Prisma, die Grundlage, deren Parallelogramme als Parallelepiped bezeichnet wird.

• In Übereinstimmung mit der Definition parallelepiped ist ein viereckiges Prisma, auf denen alle Gesichter - Parallelogramme . Parallelpipeda, wie Prismen, kann es sein geradeund geneigt. Fig. 1 zeigt die geneigte Parallelepiped und in Fig. 2 - direkt parallelepiped.

• Gerade Parallelepiped, deren Basis das Rechteck ist, wird genannt rechteckig parallelepiped.. Bei rechteckigem Parallelepiped sind alle Gesichter Rechtecke. Modelle der rechteckigen Parallelepiped servieren ein Klassenzimmer, Ziegel, Matchbox.

• Die Länge der drei Rippen eines rechteckigen Parallelepipeds mit einem Gesamtende, nennen es messungen. Beispielsweise gibt es Matchboxen mit Messungen 15, 35, 50 mm. Cube ist rechteckig mit gleichen Messungen parallelpipiert. Alle sechs Gesichter des Würfels sind gleiche Quadrate.

• Betrachten Sie einige der Eigenschaften der Parallelepiped.

• Satz. Das Parallelpipid ist symmetrisch um die Mitte von ihm ist diagonal.

• Aus dem Theorem folgen direkt wichtige Eigenschaften von Parallelpipeda:

• 1. Jedes Segment mit den von der Oberfläche des Parallelepipeds gehörenden Enden der Parallelepiped und der Durchlauf der Mitte ist diagonal, es ist in zwei Hälften in sie unterteilt; Insbesondere sind alle Diagonalen von Parallelepiped an einem Punkt und teilen es in der Hälfte. 2. Die gegenüberliegenden Gesichter der Parallelepiped parallel und gleich