원을 그리며 움직일 때의 선형 속도. 원 안의 물질점 이동

일정한 절대 속도로 원을 그리는 신체의 움직임- 이것은 신체가 동일한 시간 간격으로 동일한 호를 그리는 움직임입니다.

원 위의 신체 위치가 결정됩니다. 반경 벡터\(~\vec r\)은 원의 중심에서 그려집니다. 반지름 벡터의 계수는 원의 반지름과 같습니다. 아르 자형(그림 1).

시간 동안 Δ 티한 지점에서 움직이는 몸 ㅏ정확히 안에, 변위 \(~\Delta \vec r\)를 코드와 동일하게 만듭니다. AB, 호의 길이와 같은 경로로 이동합니다. 엘.

반경 벡터는 각도 Δ만큼 회전합니다. φ . 각도는 라디안으로 표시됩니다.

궤적(원)을 따라 물체가 움직이는 속도 \(~\vec \upsilon\)는 궤적에 접하는 방향으로 향합니다. 그것은이라고 선형 속도. 선속도 계수는 원호 길이의 비율과 같습니다. 엘시간 간격 Δ 티이 호가 완성된 경우:

\(~\upsilon = \frac(l)(\Delta t).\)

이 회전이 발생한 기간에 대한 반경 벡터의 회전 각도의 비율과 수치적으로 동일한 스칼라 물리량을 호출합니다. 각속도:

\(~\omega = \frac(\Delta \varphi)(\Delta t).\)

각속도의 SI 단위는 초당 라디안(rad/s)입니다.

원 안의 등속 운동에서 각속도와 선형 속도 모듈은 일정한 양입니다. ω = const; υ = const.

물체의 위치는 반경 벡터의 계수 \(~\vec r\)와 각도에 따라 결정될 수 있습니다. φ , 축으로 구성됩니다. 황소(각도 좌표). 만약 초기 시점에 티 0 = 0 각도 좌표는 φ 0 및 시간 티그것은 평등하다 φ , 회전 각도 Δ φ 시간에 대한 반경 벡터 \(~\Delta t = t - t_0 = t\)는 \(~\Delta \varphi = \varphi - \varphi_0\)과 같습니다. 그러면 마지막 공식에서 우리는 다음을 얻을 수 있습니다. 원을 따른 물질 점의 운동 방정식:

\(~\varphi = \varphi_0 + \omega t.\)

언제든지 신체의 위치를 ​​​​결정할 수 있습니다. 티. \(~\Delta \varphi = \frac(l)(R)\)을 고려하면 \[~\omega = \frac(l)(R \Delta t) = \frac(\upsilon)(R)을 얻습니다. \오른쪽 화살표\]

\(~\upsilon = \omega R\) - 선형 속도와 각속도 간의 관계에 대한 공식입니다.

시간 간격 Τ 신체가 한 번의 완전한 회전을 하는 동안을 호출합니다. 순환 기간:

\(~T = \frac(\델타 t)(N),\)

어디 N- 시간 Δ 동안 신체가 만든 회전 수 티.

시간 동안 Δ 티 = Τ 몸은 \(~l = 2 \pi R\) 경로로 이동합니다. 따라서,

\(~\upsilon = \frac(2 \pi R)(T); \ \omega = \frac(2 \pi)(T) .\)

크기 ν , 단위 시간당 물체가 몇 바퀴를 회전하는지 보여주는 주기의 역수를 다음과 같이 부릅니다. 회전 속도:

\(~\nu = \frac(1)(T) = \frac(N)(\Delta t).\)

따라서,

\(~\upsilon = 2 \pi \nu R; \\omega = 2 \pi \nu .\)

문학

Aksenovich L. A. 중등 학교 물리학 : 이론. 작업. 테스트: 교과서. 일반 교육을 제공하는 기관에 대한 수당. 환경, 교육 / L. A. Aksenovich, N. N. Rakina, K. S. Farino; 에드. K. S. 파리노. - Mn.: Adukatsiya i vyakhavanne, 2004. - P. 18-19.

이 거리를 이동하는 데 걸리는 거리와 시간은 물리적 개념인 속도로 연결됩니다. 그리고 사람은 원칙적으로 이 값을 결정하는 데 질문이 없습니다. 100km/h의 속도로 자동차를 운전한다는 것은 한 시간에 100km를 운전한다는 것을 모두가 이해합니다.

하지만 몸이 회전한다면 어떨까요? 예를 들어 일반 가정용 선풍기는 초당 수십 번 회전합니다. 동시에 블레이드의 회전 속도는 사용자에게 해를 끼치지 않고 손으로 쉽게 멈출 수 있을 정도입니다. 별인 태양 주위의 지구는 1년에 한 번 회전하는데, 이는 3천만 초가 넘지만, 항성 주위 궤도에서의 이동 속도는 초당 약 30km입니다!

일반적인 속도와 회전 속도를 연결하는 방법, 각속도 공식은 어떻게 생겼습니까?

각속도의 개념

각속도의 개념은 회전 법칙 연구에 사용됩니다. 모든 회전체에 적용됩니다. 지구와 태양의 경우처럼 특정 질량이 다른 질량을 중심으로 회전하거나 극축을 중심으로 신체 자체가 회전하는 것(행성의 일일 회전)이 될 수 있습니다.

각속도와 선속도의 차이는 단위 시간당 거리가 아닌 각도의 변화를 기록한다는 점입니다. 물리학에서 각속도는 일반적으로 그리스 알파벳 "오메가"- Ω로 표시됩니다.

회전 각속도에 대한 고전적인 공식은 다음과 같이 고려됩니다.

육체가 특정 중심 A를 중심으로 일정한 속도로 회전한다고 상상해 봅시다. 중심을 기준으로 한 공간에서의 위치는 각도 ψ에 의해 결정됩니다. t1의 어느 시점에서 문제의 몸체는 B 지점에 있습니다. 몸체가 초기 Φ1에서 벗어난 각도입니다.

그런 다음 몸체는 C 지점으로 이동합니다. 시간 t2에 거기에 있습니다. 이 동작에 필요한 시간:

공간에서 신체의 위치도 변경됩니다. 이제 편향각은 Φ2입니다. Δt 기간 동안의 각도 변화는 다음과 같습니다.

ΔΦ = Φ2 - Φ1.

이제 각속도에 대한 공식은 다음과 같이 공식화됩니다. 각속도는 시간 Δt에 따른 각도 Δψ의 변화 비율로 정의됩니다.

각속도의 단위

신체의 선형 속도는 다양한 양으로 측정됩니다. 도로에서 차량의 이동은 일반적으로 시간당 킬로미터로 표시되며 해상 선박은 매듭을 만듭니다(시간당 해리). 우주체의 움직임을 고려하면 초당 킬로미터가 여기에 가장 자주 나타납니다.

회전하는 물체와 크기에 따라 각속도도 다른 단위로 측정됩니다.

초당 라디안(rad/s)은 국제 단위계(SI)의 고전적인 속도 측정 단위입니다. 이는 신체가 1초에 몇 라디안(1회전 시 2 ∙ 3.14 라디안)만큼 회전하는지 보여줍니다.

분당 회전수(rpm)는 기술에서 회전 속도를 나타내는 가장 일반적인 단위입니다. 전기 엔진과 자동차 엔진의 샤프트는 정확히 분당 회전수를 생성합니다(자동차의 회전 속도계를 보세요).

초당 회전 수(rps) - 주로 교육 목적으로 덜 자주 사용됩니다.

유통기간

때로는 회전 속도를 결정하기 위해 다른 개념을 사용하는 것이 더 편리합니다. 회전주기는 일반적으로 어떤 물체가 회전중심을 중심으로 360°(완전한 원) 회전하는 시간이라고 합니다. 회전 주기로 표현된 각속도 공식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

물체의 회전속도를 회전주기로 표현하는 것은 물체가 상대적으로 천천히 회전하는 경우에 타당하다. 별 주위의 행성의 움직임을 고려하는 것으로 돌아가 보겠습니다.

각속도 공식을 사용하면 회전 기간을 알면서 각속도를 계산할 수 있습니다.

Ω = 2P/31536000 = 0.000000199238499086111rad/s.

얻은 결과를 보면 천체의 자전을 고려할 때 공전주기를 사용하는 것이 더 편리한 이유를 이해할 수 있습니다. 사람은 자신 앞에 있는 명확한 숫자를 보고 그 규모를 명확하게 상상합니다.

각속도와 선형 속도의 관계

일부 문제에서는 선형 속도와 각속도를 결정해야 합니다. 변환 공식은 간단합니다. 몸체의 선형 속도는 각속도와 회전 반경의 곱과 같습니다. 그림과 같습니다.

표현은 또한 역순으로 "작동"하며, 이를 통해 각속도가 결정됩니다. 선형 속도를 통한 공식은 간단한 산술 조작을 통해 얻어집니다.

일반적으로 우리는 움직임에 대해 이야기할 때 직선으로 움직이는 물체를 상상합니다. 이러한 이동 속도는 일반적으로 선형이라고 하며 평균값 계산은 간단합니다. 이동 거리와 신체가 덮힌 시간의 비율을 찾는 것으로 충분합니다. 물체가 원을 그리며 움직이는 경우 이 경우 결정되는 것은 선형이 아니지만 이 양은 무엇이며 어떻게 계산됩니까? 이것이 바로 이 기사에서 논의될 내용입니다.

각속도: 개념 및 공식

원을 따라 이동할 때 이동 속도는 움직이는 물체를 이 원의 중심에 연결하는 반경의 회전 각도의 크기로 특징지어질 수 있습니다. 이 값은 시간에 따라 지속적으로 변하는 것이 분명합니다. 이 과정이 발생하는 속도는 각속도에 지나지 않습니다. 즉, 물체가 회전하는 데 걸린 시간에 대한 물체의 반경 벡터 편차의 비율입니다. 각속도 공식(1)은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

w = Φ / t, 여기서:

Φ - 반경 회전 각도,

t - 회전 기간.

측정 단위

국제 공통 단위 시스템(SI)에서는 회전을 특성화하는 데 라디안이 사용됩니다. 따라서 각속도 계산에 사용되는 기본 단위는 1rad/s입니다. 동시에 어느 누구도 각도 사용을 금지하지 않습니다(1라디안은 180/pi 또는 57˚18'와 동일함을 기억하세요). 또한 각속도는 분당 또는 초당 회전수로 표현될 수 있습니다. 원 주위의 움직임이 균일하게 발생하면 이 값은 공식 (2)를 사용하여 찾을 수 있습니다.

여기서 n은 회전 속도입니다.

그렇지 않으면 일반 속도와 동일한 방식으로 평균 또는 순간 각속도가 계산됩니다. 고려중인 양은 벡터 양이라는 점에 유의해야합니다. 방향을 결정하기 위해 일반적으로 물리학에서 자주 사용되는 것이 사용됩니다. 각속도 벡터는 오른쪽 나사산이 있는 나사와 동일한 방향으로 향합니다. 즉, 몸체가 회전하는 축을 따라 회전이 시계 반대 방향으로 발생하는 방향으로 향합니다.

계산 예

바퀴의 직경이 1미터이고 회전 각도가 법칙 Φ = 7t에 따라 변경되는 경우 바퀴의 선형 속도와 각속도를 결정해야 한다고 가정해 보겠습니다. 첫 번째 공식을 사용해 보겠습니다.

w = Φ / t = 7t / t = 7초 -1 .

이것이 원하는 각속도가 됩니다. 이제 우리에게 익숙한 이동 속도를 검색해 보겠습니다. 알려진 바와 같이, v = s/t입니다. 이 경우 s가 바퀴(l = 2π*r)이고 2π가 1회전임을 고려하면 다음을 얻습니다.

v = 2π*r / t = w * r = 7 * 0.5 = 3.5m/s

이 주제에 대한 또 다른 퍼즐이 있습니다. 적도에서는 6370km로 알려져 있습니다. 우리 행성이 축을 중심으로 회전한 결과로 발생하는 이 평행선에 위치한 점의 선형 및 각 이동 속도를 결정해야 합니다. 이 경우 두 번째 공식이 필요합니다.

w = 2π*n = 2*3.14 *(1/(24*3600)) = 7.268 *10 -5 rad/s.

선형 속도가 v = w*r = 7.268 * 10 -5 * 6370 * 1000 = 463 m/s와 같은지 알아내는 것이 남아 있습니다.

원 주위의 균일한 움직임- 가장 간단한 예입니다. 예를 들어, 시계 바늘 끝이 다이얼 주위의 원을 그리며 움직입니다. 원을 그리며 움직이는 물체의 속도를 선형 속도.

원 안의 물체가 등속 운동할 때 물체의 속도 모듈은 시간이 지나도 변하지 않습니다. 즉, v = const이고 속도 벡터의 방향만 변합니다. 이 경우에는 변화가 없습니다(a r = 0), 방향에 대한 속도 벡터의 변화는 다음과 같은 양으로 특징 지어집니다. 구심 가속도() n 또는 CS. 각 점에서 구심 가속도 벡터는 반경을 따라 원의 중심을 향합니다.

구심 가속도 계수는 다음과 같습니다.

CS =v 2 / R

v가 선형 속도인 경우 R은 원의 반경입니다.

쌀. 1.22. 원 안의 신체 움직임.

원 안의 신체 움직임을 설명할 때 다음을 사용합니다. 반경 회전 각도– 시간 t 동안 원의 중심에서 그 순간 움직이는 물체가 위치한 지점까지 그려진 반경이 회전하는 각도 ψ. 회전 각도는 라디안 단위로 측정됩니다. 원의 두 반경 사이의 각도와 같고, 그 사이의 호 길이는 원의 반경과 같습니다 (그림 1.23). 즉, l = R이면

1 라디안 = l / R

왜냐하면 둘레동일

엘 = 2πR

360o = 2πR / R = 2π 라디안.

따라서

1 라드. = 57.2958o = 57o 18'

각속도원 안의 몸체의 등속 운동은 값 Ω이며, 이 회전이 이루어지는 기간에 대한 반경 ψ의 회전 각도의 비율과 같습니다.

Ω = ψ / t

각속도 측정 단위는 초당 라디안[rad/s]입니다. 선형 속도 모듈은 이동 경로 길이 l과 시간 간격 t의 비율에 의해 결정됩니다.

v=1/t

선형 속도원 주위의 균일한 움직임으로 원의 주어진 지점에서 접선을 따라 이동합니다. 점이 움직일 때, 점이 지나는 원호의 길이 l은 다음 식에 의해 회전 각도 ψ와 관련됩니다.

엘 = RΦ

여기서 R은 원의 반지름입니다.

그런 다음 점의 등속 운동의 경우 선형 속도와 각속도는 다음 관계식으로 관련됩니다.

v = l / t = Rψ / t = RΩ 또는 v = RΩ

쌀. 1.23. 라디안.

유통기간– 몸체(점)가 원을 중심으로 1회전하는 시간 T입니다. 빈도– 이는 회전 기간의 역수입니다. – 단위 시간당(초당) 회전 수입니다. 순환 빈도는 문자 n으로 표시됩니다.

n=1/T

한 기간 동안 점의 회전 각도 ψ는 2π rad와 같으므로 2π = ΩT입니다.

T = 2π/Ω

즉, 각속도는 다음과 같습니다.

Ω = 2π / T = 2πn

구심 가속도주기 T와 순환 빈도 n으로 표현될 수 있습니다.

a CS = (4π 2 R) / T 2 = 4π 2 Rn 2

이번 단원에서는 곡선 운동, 즉 원 안에 있는 물체의 균일한 운동에 대해 살펴보겠습니다. 선속도, 즉 물체가 원을 그리며 움직일 때의 구심가속도가 무엇인지 배워보겠습니다. 또한 회전 운동을 특징짓는 수량(회전 주기, 회전 주파수, 각속도)을 소개하고 이러한 수량을 서로 연결합니다.

등속 원운동이란 물체가 동일한 시간 동안 동일한 각도로 회전한다는 것을 의미합니다(그림 6 참조).

쌀. 6. 원의 균일한 움직임

즉, 순간 속도 모듈은 변경되지 않습니다.

이 속도를 선의.

속도의 크기는 변하지 않지만 속도의 방향은 계속해서 변합니다. 점에서의 속도 벡터를 고려해 봅시다 ㅏ그리고 비(그림 7 참조). 서로 다른 방향으로 향하므로 동일하지 않습니다. 해당 지점의 속도에서 빼면 비지점의 속도 ㅏ, 우리는 벡터를 얻습니다.

쌀. 7. 속도 벡터

이 변화가 발생한 시간()에 대한 속도 변화()의 비율이 가속도입니다.

따라서 모든 곡선 움직임이 가속화됩니다..

그림 7에서 얻은 속도 삼각형을 고려하면 매우 가까운 점 배열이 있습니다. ㅏ그리고 비서로에 대해 속도 벡터 사이의 각도(α)는 0에 가까워집니다.

또한 이 삼각형은 이등변이므로 속도 모듈이 동일하다는 것도 알려져 있습니다(균일 운동).

따라서 이 삼각형 밑면의 두 각도는 무한히 가깝습니다.

이는 벡터를 따라 향하는 가속도가 실제로 접선에 수직임을 의미합니다. 접선에 수직인 원 안의 선은 반지름이라는 것이 알려져 있습니다. 가속도는 원의 중심을 향해 반경을 따라 향합니다. 이 가속도를 구심성이라고 합니다.

그림 8은 이전에 논의된 속도 삼각형과 이등변 삼각형을 보여줍니다(두 변은 원의 반지름입니다). 이 삼각형들은 서로 수직인 선(반지름과 벡터가 접선에 수직임)으로 형성된 동일한 각도를 갖기 때문에 유사합니다.

쌀. 8. 구심 가속도 공식 유도에 대한 그림

선분 AB이동()입니다. 우리는 원 안의 등속 운동을 고려하고 있습니다. 따라서:

결과 표현식을 다음으로 대체하겠습니다. AB삼각형 유사성 공식에:

"선형 속도", "가속", "좌표"라는 개념만으로는 곡선 궤적을 따른 움직임을 설명하기에 충분하지 않습니다. 그러므로 회전운동을 특징짓는 양을 도입할 필요가 있다.

1. 순환주기(티 ) 완전한 혁명의 시기라고 한다. 초 단위로 SI 단위로 측정됩니다.

기간의 예: 지구는 축을 중심으로 24시간(), 태양 주위를 1년()으로 회전합니다.

기간 계산 공식:

총 회전 시간은 어디에 있습니까? - 회전 수.

2. 회전수(N ) - 단위 시간당 몸체가 만드는 회전 수입니다. SI 단위(역초)로 측정됩니다.

빈도를 찾는 공식:

총 회전 시간은 어디에 있습니까? - 회전수

주파수와 주기는 반비례하는 수량입니다.

3. 각속도() 이 회전이 발생한 시간에 대한 몸체가 회전하는 각도의 변화 비율을 호출하십시오. 초 단위로 나눈 라디안 단위의 SI 단위로 측정됩니다.

각속도를 구하는 공식:

각도의 변화는 어디에 있습니까? - 각도를 통한 회전이 발생한 시간.