Analiza comparativă a eficacității celor mai simple sisteme de așteptare. Structura și indicatorii de performanță ai sistemelor de așteptare Principalele caracteristici ale sistemelor de așteptare și indicatorii eficacității acestora

Teoria QS este dedicată dezvoltării metodelor de analiză, proiectare și organizare rațională a sistemelor legate de diverse domenii de activitate, cum ar fi comunicațiile, tehnologia computerelor, comerțul, transporturile și afacerile militare. În ciuda toată diversitatea lor, sistemele de mai sus au o serie de proprietăți tipice, și anume.

Sistemele de așteptare (sisteme de așteptare) sunt modele de sistem, în care cererile (cerințele) sunt primite la momente aleatorii din exterior sau din interior. Ele trebuie să fie deservite de sistem într-un fel sau altul. Durata serviciului este cel mai adesea aleatorie.
QS este totalitate servire echipamenteȘi personal cu organizarea adecvată a procesului de servicii.
A seta un QMS înseamnă a-l seta structura si statistica caracteristicile succesiunii cererilor primite și succesiunea deservirii acestora.

Sarcina de a analiza un QS constă în determinarea unui număr de indicatori ai eficienței sale, care pot fi împărțiți în următoarele grupe:

indicatori care caracterizează sistemul în ansamblu: număr n canale de servicii ocupate, numărul de servicii deservite (λ b), serviciul în așteptare sau cereri respinse (λ c) pe unitatea de timp etc.;
caracteristici probabilistice: probabilitatea ca cererea să fie servită ( P obs) sau primiți o refuz de serviciu ( P deschis) că toate dispozitivele sunt gratuite ( p 0) sau un anumit număr dintre ele sunt ocupate ( p k), probabilitatea unei cozi etc.;
indicatori economici: costul pierderilor asociate cu plecarea unei aplicații care nu a fost deservită dintr-un motiv sau altul din sistem, efectul economic obținut ca urmare a deservirii aplicației etc.

Unii indicatori tehnici (primele două grupe) caracterizează sistemul din punct de vedere al consumatorului, cealaltă parte caracterizează sistemul din punct de vedere al proprietăţilor sale operaţionale. Adesea, alegerea indicatorilor enumerați poate îmbunătăți proprietățile operaționale ale sistemului, dar poate înrăutăți sistemul din punctul de vedere al consumatorilor și invers. Utilizarea indicatorilor economici ne permite să rezolvăm această contradicție și să optimizăm sistemul ținând cont de ambele puncte de vedere.
În timpul testului acasă, sunt studiate cele mai simple QS-uri. Acestea sunt sisteme în buclă deschisă; o sursă nesfârșită de aplicații nu este inclusă în sistem. Fluxul de intrare al cererilor, fluxurile de servicii și așteptările acestor sisteme sunt cele mai simple. Nu există priorități. Sisteme monofazate.

Sistem multicanal cu defecțiuni

Sistemul constă dintr-un nod de serviciu care conține n canale de servicii, fiecare dintre acestea putând deservi o singură cerere.
Toate canalele de servicii au aceleași performanțe și nu se pot distinge pentru modelul de sistem. Dacă o solicitare intră în sistem și găsește cel puțin un canal liber, acesta începe imediat să fie deservit. Dacă în momentul primirii unei cereri în sistem toate canalele sunt ocupate, atunci aplicația lasă sistemul neservit.

Sisteme mixte

Sistem cu limitare după lungimea cozii .
Constă dintr-un dispozitiv de stocare (coadă) și un nod de serviciu. O aplicație părăsește coada și părăsește sistemul dacă există deja m aplicații în stocare în momentul în care apare (m este numărul maxim posibil de locuri în coadă). Dacă o solicitare a intrat în sistem și găsește cel puțin un canal liber, acesta începe imediat să fie deservit. Dacă în momentul în care o aplicație ajunge în sistem, toate canalele sunt ocupate, atunci aplicația nu părăsește sistemul, ci ia un loc în coadă. O aplicație lasă sistemul neservit dacă, în momentul în care intră în sistem, toate canalele de servicii și toate locurile din coadă sunt ocupate.
Pentru fiecare sistem se determină o disciplină de coadă. Acesta este un sistem de reguli care determină ordinea în care solicitările ajung de la coadă la nodul de serviciu. Dacă toate cererile și canalele de servicii sunt egale, atunci cel mai adesea se aplică regula „cine vine primul este servit primul”.
Sistem cu limitare pe durata rămânerii aplicației în coadă.
Constă dintr-un dispozitiv de stocare (coadă) și un nod de serviciu. Diferă de sistemul anterior prin faptul că o solicitare primită în stocare (coadă) poate aștepta ca serviciul să înceapă doar pentru un timp limitat Asa de(cel mai adesea aceasta este o variabilă aleatorie). Dacă e timpul Asa de a expirat, apoi aplicația iese din coadă și lasă sistemul neservit.

Descrierea matematică a QS

QS-urile sunt considerate ca unele sisteme fizice cu stări discrete x 0, x 1, ..., x n, operează la timp continuu t. Numărul de stări n poate fi finit sau numărabil (n → ∞). Sistemul se poate muta de la o stare x i (i= 1, 2, … , n) la alta x j (j= 0, 1,... ,n) oricand t. Pentru a arăta regulile pentru astfel de tranziții, utilizați o diagramă numită grafic de stare. Pentru tipurile de sisteme enumerate mai sus, graficele de stare formează un lanț în care fiecare stare (cu excepția celor extreme) este conectată prin direct și feedback cu două stări vecine. Aceasta este diagrama moartea și reproducerea .
Tranzițiile de la stat la stat au loc în momente aleatorii. Este convenabil să presupunem că aceste tranziții apar ca urmare a acțiunii unora cursuri(fluxuri de cereri de intrare, refuzuri la cereri de service, flux de restaurare a dispozitivului etc.). Dacă toate firele protozoare, apoi fluxul aleator care are loc în sistem un proces cu stare discretă și timp continuu va fi markovian .
Flux de evenimente este o succesiune de evenimente similare care au loc în momente aleatorii în timp. Poate fi privit ca o secvență de momente aleatorii în timp t 1 ,t 2 , ... apariția unor evenimente.
Cel mai simplu este un flux care are următoarele proprietăți:

Ordinaritatea. Evenimentele urmează unul câte unul (opusul unui flux, unde evenimentele urmează în grupuri).
Staționaritate. Probabilitatea ca un anumit număr de evenimente să apară într-un interval de timp T depinde doar de lungimea intervalului și nu depinde de locul în care se află acest interval pe axa timpului.
Nici un efect secundar. Pentru două intervale de timp care nu se suprapun τ 1 și τ 2, numărul de evenimente care cad pe unul dintre ele nu depinde de câte evenimente cad pe celălalt interval.

În cel mai simplu flux, intervale de timp T 1 , T 2,... între momente t 1 ,t 2 , ... aparițiile evenimentelor sunt aleatoare, independente unele de altele și au o distribuție de probabilitate exponențială f(t)=λe -λt , t≥0, λ=const, unde λ este parametrul distribuției exponențiale, care este de asemenea intensitate flux și reprezentând numărul mediu de evenimente care au loc pe unitatea de timp. Astfel, t =M[T]=1/λ.
Evenimentele aleatoare Markov sunt descrise de obișnuit ecuatii diferentiale. Variabilele din ele sunt probabilitățile stărilor R 0 (t), p 1 (t),…,p n (t).
Pentru momente foarte mari în timp ale funcționării sistemelor (teoretic la t → ∞) în cele mai simple sisteme (sisteme în care toate fluxurile sunt cele mai simple, iar graficul este o schemă de moarte și reproducere) se observă constant, sau staționar mod de operare. În acest mod, sistemul își va schimba starea, dar probabilitățile acestor stări ( probabilități finale) r k, k= 1, 2 ,…, n, nu depind de timp și pot fi considerate ca timp relativ mediu sistemul rămâne în starea corespunzătoare.

2 - coadă- cerinţe care aşteaptă serviciul.

Coada este în curs de evaluare lungime medie g - numărul de obiecte sau clienți care așteaptă serviciul.

3 - dispozitive de service(canale de servicii) - un set de locuri de muncă, performeri, echipamente care deservesc cerințele utilizând o anumită tehnologie.

4 - fluxul de ieșire al cerințelor co"(r) este fluxul de cerințe care au trecut de QS. În general, fluxul de ieșire poate consta din cerințe întreținute și nedeservite. Un exemplu de cerințe nereparate: lipsa unei piese necesare pentru o mașină care este reparată.

5 - scurt circuit(posibil) QS - o stare a sistemului în care fluxul de cerințe de intrare depinde de fluxul de ieșire.

În transportul rutier, după cerințele de întreținere (întreținere, reparații), vehiculul trebuie să fie solid din punct de vedere tehnic.

Sistemele de așteptare sunt clasificate după cum urmează.

1. Conform restricțiilor privind lungimea cozii:

QS cu pierderi - cererea lasă QS-ul neservit dacă la momentul sosirii toate canalele sunt ocupate;

QS fără pierderi - cererea ia o coadă, chiar dacă toate canalele sunt ocupate;

QS cu restricții privind lungimea cozii T sau timp de așteptare: dacă există o limită la coadă, atunci cererea nou sosită (/?/ + 1) lasă sistemul neservit (de exemplu, capacitatea limitată a zonei de depozitare din fața unei benzinării).

2. După numărul de canale de servicii n:

Un singur canal: P= 1;

Multicanal P^ 2.

3. După tipul de canale de servicii:

Același tip (universal);

Diverse tipuri (specializate).

4. În ordinea serviciului:

Monofazat - întreținerea se realizează pe un singur dispozitiv (post);

Multifazic - cerinţele sunt trecute secvenţial prin mai multe dispozitive de service (de exemplu, linii de producţie de întreţinere; linie de asamblare auto; linie de îngrijire externă: curăţare -> spălare -> uscare -> lustruire).

5. După prioritatea serviciului:

Fără prioritate - cererile sunt deservite în ordinea în care sunt primite
SMO;

Cu prioritate - cerințele sunt deservite în funcție de cel alocat
ei la primirea unui rang de prioritate (de exemplu, realimentarea mașinilor
ambulanță la o benzinărie; reparații prioritare la vehiculele ATP,
aducând cel mai mare profit pe transport).

6. După mărimea fluxului de cerințe de intrare:

Cu flux de intrare nelimitat;

Cu un flux de intrare limitat (de exemplu, în cazul preînregistrării pentru anumite tipuri de lucrări și servicii).

7. Conform structurii S MO:

Închis - fluxul de cereri de intrare, toate celelalte lucruri fiind egale, depinde de numărul de cereri deservite anterior (ATP complex care deservește doar propriile mașini (5 în Fig. 6.6));

Deschis - fluxul de cereri de intrare nu depinde de numărul celor deservite anterior: benzinării publice, un magazin care vinde piese de schimb.

8. În funcție de relația dintre dispozitivele de serviciu:

Cu asistență reciprocă - capacitatea aparatelor este variabilă și depinde de ocuparea altor dispozitive: întreținerea în echipă a mai multor posturi de service; utilizarea muncitorilor „glisante”;

Fără asistență reciprocă - debitul dispozitivului nu depinde de funcționarea altor dispozitive QS.

În ceea ce privește funcționarea tehnică a automobilelor, se răspândesc sistemele de așteptare închise și deschise, mono și multicanal, cu același tip sau dispozitive de service specializate, cu serviciu monofazat sau multifazic, fără pierderi sau cu restricții privind lungimea cozii sau timpul petrecut în ea.

Următorii parametri sunt utilizați ca indicatori ai performanței QS.

Intensitatea serviciului

Lățimea de bandă relativă determină ponderea cererilor deservite din numărul lor total.

Probabilitatea ca că toate postările sunt gratuite R (), caracterizează starea sistemului în care toate obiectele sunt operaționale și nu necesită intervenții tehnice, i.e. nu există cerințe.

Probabilitatea de refuzare a serviciului R ogk are sens pentru un QS cu pierderi și cu o limitare a lungimii cozii sau a timpului petrecut în ea. Acesta arată ponderea cerințelor „pierdute” pentru sistem.

Probabilitatea formării cozilor P ot determină starea sistemului în care toate dispozitivele de service sunt ocupate, iar următoarea cerință „stă” într-o coadă cu numărul de cereri de așteptare r.

Dependențele pentru determinarea parametrilor numiți ai funcționării QS sunt determinate de structura acestuia.

Timp mediu petrecut la coadă

Datorită caracterului aleatoriu al fluxului de cerințe de intrare și a duratei de finalizare a acestora, există întotdeauna un număr mediu de vehicule inactiv. Prin urmare, este necesar să se distribuie numărul de dispozitive de serviciu (posturi, locuri de muncă, interpreți) între diferite subsisteme, astfel încât ȘI - min. Această clasă de probleme se ocupă de modificările discrete ale parametrilor, deoarece numărul de dispozitive se poate modifica doar într-un mod discret. Prin urmare, atunci când se analizează sistemul de performanță al vehiculului, se folosesc metode din cercetarea operațională, teoria cozilor de așteptare, programare și simulare liniară, neliniară și dinamică.

Exemplu.Întreprinderea de transport cu motor are o stație de diagnosticare (P= 1). În acest caz, lungimea cozii este practic nelimitată. Determinați parametrii de performanță ai postului de diagnosticare dacă costul timpului de inactivitate al vehiculului în coadă este CU\= 20 de freci. (unități de cont) pe schimb și costul perioadei de nefuncționare a posturilor C 2 = 15 ruble. Restul datelor inițiale sunt aceleași ca pentru exemplul anterior.

Exemplu. La aceeași întreprindere de transport cu motor, numărul posturilor de diagnostic a fost majorat la două (n = 2), adică a fost creat un sistem multicanal. Deoarece sunt necesare investiții de capital (spațiu, echipamente etc.) pentru a crea un al doilea post, costul perioadei de nefuncționare a echipamentelor de întreținere crește la C2 = 22 rub. Determinați parametrii de performanță ai sistemului de diagnosticare. Restul datelor inițiale sunt aceleași ca pentru exemplul anterior.

Intensitatea de diagnosticare și densitatea redusă a fluxului rămân aceleași:

}