Ekvivalent tenglamalar. Tenglamalar uchun ekvivalentlik teoremalari
Yechilayotgan tenglamadan atalmish tenglamaga o'tishga ruxsat berish ekvivalent tenglamalar Va xulosa tenglamalari, ularning yechimlari orqali dastlabki tenglamaning yechimini aniqlash mumkin. Ushbu maqolada qaysi tenglamalar ekvivalent va qaysi biri xulosa tenglamalar deb atalishini batafsil tahlil qilamiz, tegishli ta’riflarni beramiz, tushuntiruvchi misollar keltiramiz, ekvivalent tenglamaning ma’lum ildizlaridan tenglamaning ildizlarini topishni tushuntiramiz. xulosa tenglama.
Ekvivalent tenglamalar, ta'rif, misollar
Ekvivalent tenglamalarga ta’rif beraylik.
Ta'rif
Ekvivalent tenglamalar bir xil ildizga ega yoki ildizi bo'lmagan tenglamalar.
Maʼnosi oʻxshash, ammo soʻzlashuvida birmuncha farq qiladigan taʼriflar turli matematika darsliklarida berilgan, masalan:
Ta'rif
f(x)=g(x) va r(x)=s(x) ikkita tenglama deyiladi ekvivalent, agar ular bir xil ildizlarga ega bo'lsa (yoki, xususan, ikkala tenglamada ham ildiz bo'lmasa).
Ta'rif
Ildizlari bir xil bo'lgan tenglamalar deyiladi ekvivalent tenglamalar. Ildizlari bo'lmagan tenglamalar ham ekvivalent hisoblanadi.
Xuddi shu ildizlar deganda quyidagilar tushuniladi: agar biron bir son ekvivalent tenglamalardan birining ildizi bo'lsa, u boshqa tenglamalarning ildizi ham bo'ladi va ekvivalent tenglamalarning birortasi ham tenglama bo'lmagan ildizga ega bo'lishi mumkin emas. bu tenglamalarning boshqa har qanday ildizi.
Ekvivalent tenglamalarga misollar keltiramiz. Masalan, uchta tenglama 4 x=8 , 2 x=4 va x=2 ekvivalentdir. Haqiqatan ham, ularning har biri noyob ildiz 2 ga ega, shuning uchun ular ta'rifi bo'yicha ekvivalentdir. Yana bir misol: ikkita x 0=0 va 2+x=x+2 tenglamalar ekvivalent, ularning yechimlari to‘plamlari bir xil: ularning birinchi va ikkinchisining ildizi istalgan son. Ikki x=x+5 va x 4 =−1 tenglamalari ham ekvivalent tenglamalarga misol bo‘lib, ularning har ikkalasining ham haqiqiy yechimi yo‘q.
Rasmni to'ldirish uchun ekvivalent bo'lmagan tenglamalarga misollar keltirish kerak. Masalan, x=2 va x 2 =4 tenglamalar ekvivalent emas, chunki ikkinchi tenglama birinchi tenglamaning ildizi bo'lmagan -2 ildizga ega. Tenglamalar va ham ekvivalent emas, chunki ikkinchi tenglamaning ildizlari har qanday sonlar va nol soni birinchi tenglamaning ildizi emas.
Ekvivalent tenglamalarning aniq ta'rifi bitta o'zgaruvchiga ega tenglamalarga ham, o'zgaruvchilari ko'p bo'lgan tenglamalarga ham tegishli. Biroq, ikki, uch va boshqalar bilan tenglamalar uchun. o'zgaruvchilar, ta'rifdagi "ildiz" so'zi "yechimlar" so'zi bilan almashtirilishi kerak. Shunday qilib,
Ta'rif
Ekvivalent tenglamalar yechishlari bir xil bo‘lgan yoki yo‘q tenglamalardir.
Keling, bir nechta o'zgaruvchiga ega ekvivalent tenglamalarga misol keltiraylik. x 2 +y 2 +z 2 =0 va 5 x 2 +x 2 y 4 z 8 =0 - bu erda uchta o'zgaruvchili x, y va z bo'lgan ekvivalent tenglamalarga misol, ularning ikkalasi ham yagona yechimga ega (0, 0) , 0). Ammo x + y = 5 va x y = 1 ikkita o'zgaruvchiga ega bo'lgan tenglamalar ekvivalent emas, chunki, masalan, x=2, y=3 qiymatlar juftligi birinchi tenglamaning yechimidir (bu qiymatlar almashtirilganda Birinchi tenglamada biz to'g'ri tenglikni olamiz 2+3=5 ), lekin ikkinchisining yechimi emas (bu qiymatlarni ikkinchi tenglamaga almashtirganda, biz noto'g'ri tenglikni olamiz 2 3=1 ).
Xulosa tenglamalari
Mana maktab darsliklaridan xulosa tenglamalarining ta'riflari:
Ta'rif
Agar f(x)=g(x) tenglamaning har bir ildizi bir vaqtning o‘zida p(x)=h(x) tenglamaning ildizi bo‘lsa, u holda p(x)=h(x) tenglama deyiladi. oqibat f(x)=g(x) tenglamalari.
Ta'rif
Agar birinchi tenglamaning barcha ildizlari ikkinchi tenglamaning ildizlari bo'lsa, ikkinchi tenglama deyiladi. oqibat birinchi tenglama.
Keling, natijaviy tenglamalarga bir nechta misol keltiraylik. x 2 =3 2 tenglama x−3=0 tenglamaning natijasidir. Darhaqiqat, ikkinchi tenglama bitta ildizga ega x=3, bu ildiz ham x 2 =3 2 tenglamaning ildizidir, shuning uchun ta'rifga ko'ra, x 2 =3 2 tenglama x−3= tenglamaning natijasidir. 0 . Yana bir misol: (x−2) (x−3) (x−4)=0 tenglama tenglamaning natijasidir. 
, chunki ikkinchi tenglamaning barcha ildizlari (ulardan ikkitasi bor, bular 2 va 3 ), aniqki, birinchi tenglamaning ildizlari.
Natija tenglamasining ta'rifidan kelib chiqadiki, mutlaqo har qanday tenglama ildizga ega bo'lmagan har qanday tenglamaning natijasidir.
Ekvivalent tenglamalarning ta'rifi va natijaviy tenglamaning ta'rifidan bir nechta aniq natijalarni eslatib o'tish kerak:
- Agar ikkita tenglama ekvivalent bo'lsa, ularning har biri ikkinchisining natijasidir.
- Agar ikkita tenglamaning har biri ikkinchisining natijasi bo'lsa, bu tenglamalar ekvivalentdir.
- Ikki tenglama, agar ularning har biri boshqasining natijasi bo'lsa, ekvivalent hisoblanadi.
1. Ikki teng o'yinchi o'yinni o'ynaydi, unda duranglar hisobga olinmaydi. Birinchi o'yinchining g'alaba qozonish ehtimoli qanday: a) ikkitadan bitta o'yin? b) to'rtdan ikkitasi? c) oltitadan uchtasi?
Javob: A) ; b) ; V)
3. Kesish AB nuqta bilan ajratilgan BILAN 2: 1 nisbatda. Ushbu segmentga tasodifiy to'rtta nuqta tashlanadi. Ulardan ikkitasi C nuqtaning chap tomonida, ikkitasi o‘ngda bo‘lish ehtimolini toping.
Javob:
4. Har bir sinovda bu hodisaning sodir bo‘lish ehtimoli 0,25 ga teng bo‘lsa, A hodisasining 243 ta sinovda roppa-rosa 70 marta sodir bo‘lish ehtimolini toping.
Javob: .
5. O'g'il tug'ilish ehtimoli 0,515 ga teng. 100 ta yangi tug'ilgan o'g'il va qiz bolalar orasida teng bo'linish ehtimolini toping.
Javob: 0,0782
6. Do'konga shisha idishlarda 500 ta shisha keldi. Har qanday shishaning tashish paytida sinishi ehtimoli 0,003 ga teng. Do'konga singan shishalarni olish ehtimolini toping: a) aniq ikkita; b) ikkitadan kam; c) kamida ikkita; d) kamida bitta.
Javob: a) 0,22; b) 0,20; c) 0,80; d) 0,95
7. Avtomobil zavodi 80% avtomobillarni sezilarli nuqsonlarisiz ishlab chiqaradi. Zavoddan avtomobil birjasiga kelgan 600 ta mashina ichida kamida 500 tasi sezilarli nuqsoni boʻlmagan mashinalar boʻlish ehtimoli qanday?
Javob: 0,02.
8. 0,95 ehtimollik bilan gerbning nisbiy chastotasi ehtimollikdan chetga chiqishini kutishingiz uchun tangani necha marta aylantirishingiz kerak. R\u003d Bir tanga otishda gerbning 0,5 ko'rinishi 0,02 dan oshmaydimi?
Javob: n ≥ 2401.
9. 100 ta mustaqil hodisaning har birida sodir bo'ladigan hodisaning ehtimoli doimiy va teng p=0,8. Hodisa sodir bo'lish ehtimolini toping: a) kamida 75 marta va ko'pi bilan 90 marta; b) kamida 75 marta; v) 74 martadan ko'p bo'lmagan.
Javob: a B C).
10. Mustaqil sinovlarning har birida sodir bo'ladigan hodisaning ehtimoli 0,2 ga teng. 5000 ta sinovda 0,9128 ehtimollik bilan hodisaning yuzaga kelishining nisbiy chastotasining uning ehtimolidan qanday og‘ishini kutish mumkinligini toping.
Javob:
11. Tangani necha marta tashlash kerakki, 0,6 ehtimol bilan gerb ko‘rinishining nisbiy chastotasining ehtimollikdan chetlanishini kutish mumkin. p=0,5 mutlaq qiymatda 0,01 dan oshmaydi.
Javob: n = 1764.
12. 10 000 ta mustaqil sinovning har birida sodir bo'ladigan hodisaning ehtimoli 0,75 ga teng. Hodisa yuzaga kelishining nisbiy chastotasi uning mutlaq qiymatdagi ehtimolidan 0,01 dan ko‘p bo‘lmagan chetga chiqish ehtimolini toping.
Javob: .
13. Mustaqil sinovlarning har birida sodir bo'ladigan hodisaning ehtimolligi 0,5 ga teng. Sinovlar sonini toping n, bunda 0,7698 ehtimollik bilan voqea sodir bo'lishining nisbiy chastotasi uning mutlaq qiymatdagi ehtimolidan 0,02 dan ko'p bo'lmagan chetga chiqishini kutish mumkin.
2-bo'lim. Formulalarning mantiqiy ekvivalentligi. Taklif algebra formulalari uchun normal shakllar
Ekvivalentlik munosabati
Haqiqat jadvallari yordamida kiritilgan o'zgaruvchilarning qaysi haqiqat qiymatlari to'plami ostida formula haqiqiy yoki noto'g'ri qiymat olishini (shuningdek, tegishli mantiqiy tuzilishga ega bo'lgan bayonot), qaysi formulalar tavtologiya bo'lishini aniqlash mumkin. yoki qarama-qarshiliklar, shuningdek, ikkita berilgan formulalar yoki yo'qligini aniqlang ekvivalent.
Mantiqda ikkita gapning ikkalasi ham to‘g‘ri yoki ikkalasi ham yolg‘on bo‘lsa, ekvivalent deyiladi. Bu iboradagi "bir vaqtning o'zida" so'zi noaniq. Demak, "Ertaga seshanba bo'ladi" va "Kecha yakshanba edi" jumlalari uchun bu so'z to'g'ridan-to'g'ri ma'noga ega: dushanba kuni ikkalasi ham to'g'ri, haftaning qolgan qismida ikkalasi ham yolg'on. Tenglamalar uchun " x = 2"Va" 2x = 4» "bir vaqtning o'zida" "o'zgaruvchining bir xil qiymatlari bilan" degan ma'noni anglatadi. "Ertaga yomg'ir yog'adi" va "Ertaga yomg'ir yog'maydi" degan bashoratlar bir vaqtning o'zida tasdiqlanadi (to'g'ri bo'lib chiqadi) yoki tasdiqlanmaydi (noto'g'ri bo'lib chiqadi). Aslida, bu formulalar bilan ifodalanishi mumkin bo'lgan ikki xil shaklda ifodalangan bir xil prognozdir. X Va . Ushbu formulalar bir vaqtning o'zida "to'g'ri" yoki "noto'g'ri" qiymatini oladi. Tekshirish uchun haqiqat jadvalini tuzish kifoya:
| X | ||
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
Birinchi va oxirgi ustunlardagi haqiqat qiymatlari bir xil ekanligini ko'ramiz. Bunday formulalar, shuningdek, ularga mos keladigan jumlalar tabiiy ravishda ekvivalent hisoblanadi.
F 1 va F 2 formulalari ekvivalent deb ataladi, agar ularning ekvivalenti tavtologiya bo'lsa.
Ikki formulaning ekvivalentligi quyidagicha yoziladi: (o'qing: formula F1 formulaga teng F2).
Formulalarning ekvivalentligini tekshirishning uchta usuli mavjud: 1) ularning ekvivalentini yarating va uning tavtologiya ekanligini tekshirish uchun haqiqat jadvalidan foydalaning; 2) har bir formula uchun haqiqat jadvalini tuzing va yakuniy natijalarni taqqoslang; o'zgaruvchan qiymatlarning bir xil to'plamlari uchun umumiy ustunlarda bo'lsa ikkala formulaning haqiqat qiymatlari teng bo'ladi, keyin formulalar ekvivalent bo'ladi; 3) ekvivalent transformatsiyalar yordamida.
2.1-misol: Formulalar ekvivalentligini aniqlang: 1) , ; 2) , .
1) Ekvivalentlikni aniqlash uchun birinchi usuldan foydalanamiz, ya'ni formulalar ekvivalentligi tavtologiya ekanligini aniqlaymiz.
Formulalar ekvivalentini tuzamiz: . Olingan formula ikki xil o'zgaruvchini o'z ichiga oladi ( A Va IN) va 6 ta amal: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6). Bu shuni anglatadiki, mos keladigan haqiqat jadvali 5 qator va 8 ustunga ega bo'ladi:
| A | IN | ||||||
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
Haqiqat jadvalining yakuniy ustunidan ko'rinib turibdiki, tuzilgan ekvivalentlik tavtologiya va shuning uchun .
2) va formulalarining ekvivalentligini aniqlash uchun ikkinchi usuldan foydalanamiz, ya'ni formulalarning har biri uchun haqiqat jadvalini tuzamiz va yakuniy ustunlarni solishtiramiz. ( Izoh. Ikkinchi usuldan samarali foydalanish uchun barcha tuzilgan haqiqat jadvallari bir xil tarzda boshlanishi kerak, ya'ni o'zgaruvchan qiymatlar to'plami tegishli qatorlarda bir xil edi .)
Formula ikki xil o'zgaruvchiga va 2 ta amalga ega, ya'ni mos keladigan haqiqat jadvali 5 qator va 4 ustunga ega:
| A | IN | ||
| 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
Formulada ikki xil o'zgaruvchi va 3 ta amal mavjud, ya'ni mos keladigan haqiqat jadvali 5 qator va 5 ustunga ega:
| A | IN | |||
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
Tuzilgan haqiqat jadvallarining yakuniy ustunlarini solishtirsak (jadvallar xuddi shunday boshlanganligi sababli, biz o'zgaruvchan qiymatlar to'plamini e'tiborsiz qoldira olamiz), biz ularning mos kelmasligini va shuning uchun formulalar ekvivalent emasligini ko'ramiz ().
Ifoda formula emas (chunki " " belgisi hech qanday mantiqiy amalni bildirmaydi). U ifodalaydi munosabat formulalar orasidagi (shuningdek, raqamlar orasidagi tenglik, chiziqlar orasidagi parallellik va boshqalar).
Ekvivalentlik munosabatining xossalari haqidagi teorema o'rinli:
2.1 teorema. Taklifli algebra formulalari orasidagi ekvivalentlik munosabati:
1) refleksli ravishda: ;
2) simmetrik tarzda: agar , keyin ;
3) o‘timli: agar va bo‘lsa, keyin .
Mantiq qonunlari
Taklif mantiqiy formulalarining ekvivalentlari ko'pincha deyiladi mantiq qonunlari. Biz ulardan eng muhimlarini sanab o'tamiz:
1. - o'ziga xoslik qonuni.
2. - chiqarib tashlangan o'rta qonuni
3. - qarama-qarshilik qonuni
4. - nol bilan diszyunksiya
5. - nol bilan birikma
6. - birlik bilan diszyunksiya
7. - birlik bilan bog`lanish
8. - ikkilamchi inkor qonuni
9. - qo‘shma gapning kommutativligi
10. – diszyunksiyaning kommutativligi
11. - qo‘shma gapning assosiativligi
12. - diszyunksion assotsiativlik
13. – qo‘shma gapning taqsimlanishi
14. – distributiv dis’yunksiya
15. - identifikatorlik qonunlari
16. 
; 
- absorbsiya qonunlari
17. 
; 
- De Morgan qonunlari
18. 
diszyunksiya orqali imo-ishorani ifodalovchi qonundir
19. 
- qarama-qarshilik qonuni
20. - ekvivalentlikni boshqa mantiqiy amallar orqali ifodalovchi qonunlar
Mantiq qonunlari murakkab formulalarni soddalashtirish va formulalar bir xil to'g'ri yoki yolg'on ekanligini isbotlash uchun ishlatiladi.
Ekvivalent transformatsiyalar. Formulalarni soddalashtirish
Agar hamma joyda ekvivalent formulalarda biron bir o'zgaruvchi o'rniga bir xil formulani almashtirsak, yangi olingan formulalar ham almashtirish qoidasiga muvofiq ekvivalent bo'lib chiqadi. Shunday qilib, har bir ekvivalentdan istalgan miqdordagi yangi ekvivalentlarni olish mumkin.
1-misol: Agar o'rniga De Morgan qonunida X o'rniga, o'rniga Y o'rniga, keyin biz yangi ekvivalentini olamiz. Olingan ekvivalentlikning haqiqiyligini haqiqat jadvali yordamida tekshirish oson.
Formulaning bir qismi bo'lgan har qanday formula bo'lsa F, formulaga ekvivalent formula bilan almashtirilsin, keyin hosil bo'lgan formula formulaga teng bo'ladi. F.
Keyin 2-misoldagi formula uchun quyidagi almashtirishlarni amalga oshirishimiz mumkin:
- ikkilamchi inkor qonuni;
- De Morgan qonuni;
- ikkilamchi inkor qonuni;
– assotsiativlik qonuni;
idempotentlik qonunidir.
Ekvivalentlik munosabatining tranzitivlik xususiyatiga ko'ra, buni aytishimiz mumkin 
.
Bir formulani unga ekvivalent boshqa formula bilan almashtirish deyiladi ekvivalent transformatsiya formulalar.
ostida soddalashtirish implikatsiya va ekvivalentlik belgilarini o'z ichiga olmagan formulalar elementar bo'lmagan formulalarning inkorlarini (xususan, qo'shaloq inkorlarni) o'z ichiga olmaydigan yoki jami asl nusxadagidan kamroq sonli birikma va ayirma belgilarini o'z ichiga olgan formulaga olib keladigan ekvivalent transformatsiyani tushunadi. bitta.
2.2-misol: Keling, formulani soddalashtiraylik 
.
Birinchi bosqichda biz implikatsiyani diszyunksiyaga aylantiruvchi qonunni qo'lladik. Ikkinchi bosqichda kommutativ qonun qo'llanildi. Uchinchi bosqichda identifikatorlik qonuni qo'llanildi. To'rtinchidan - De Morgan qonuni. Va beshinchisi - ikki tomonlama inkor qonuni.
Izoh 1. Agar ma'lum bir formula tavtologiya bo'lsa, unga teng keladigan har qanday formula ham tavtologiya hisoblanadi.
Shunday qilib, ekvivalent transformatsiyalar ma'lum formulalarning bir xil haqiqatini isbotlash uchun ham ishlatilishi mumkin. Buning uchun ushbu formulani tavtologiya bo'lgan formulalardan biriga ekvivalent o'zgartirishlar bilan kamaytirish kerak.
Izoh 2. Ayrim tavtologiya va ekvivalentlar juftlarga birlashtiriladi (qarama-qarshilik qonuni va alternativ, kommutativ, assotsiativ qonunlar qonuni va boshqalar). Ushbu yozishmalarda, deb atalmish ikkilik printsipi .
Izoh va ekvivalentlik belgilarini o'z ichiga olmaydigan ikkita formula deyiladi ikkilik , agar ularning har biri mos ravishda belgilarini almashtirish orqali boshqasidan olinishi mumkin bo'lsa.
Ikkilik printsipi quyidagilarni ta'kidlaydi:
2.2 teorema: Agar implikatsiya va ekvivalentlik belgilari bo'lmagan ikkita formula ekvivalent bo'lsa, ularning ikkilik formulalari ham ekvivalentdir.
normal shakllar
normal shakl berilgan funksiyani amalga oshiradigan formulani sintaktik jihatdan aniq yozish usulidir.
Mantiqning ma'lum qonunlaridan foydalanib, har qanday formulani shaklning ekvivalent formulasiga aylantirish mumkin 
, bu yerda va har biri oʻzgaruvchi, yoki oʻzgaruvchining inkori, yoki oʻzgaruvchilar birikmasi yoki ularning inkori. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, har qanday formulani oddiy standart shaklning ekvivalent formulasiga keltirish mumkin, bu elementlarning diszyunksiyasi bo'ladi, ularning har biri alohida turli mantiqiy o'zgaruvchilarning birikmasi, inkor belgisi bilan yoki bo'lmasdan.
2.3-misol: Katta formulalarda yoki bir nechta o'zgarishlarda qo'shma belgisini tashlab qo'yish odatiy holdir (ko'paytirish belgisi bilan o'xshashlik bo'yicha): . Amalga oshirilgan transformatsiyalardan so'ng formula uchta birikmaning diszyunksiyasi ekanligini ko'ramiz.
Ushbu shakl deyiladi disjunktiv normal shakl (DNF). DNF ning bitta elementi deyiladi elementar birikma yoki tarkibiy birlik.
Xuddi shunday, har qanday formulani ekvivalent formulaga keltirish mumkin, bu elementlarning birikmasi bo'ladi, ularning har biri mantiqiy o'zgaruvchilarning inkor belgisi bo'lgan yoki bo'lmagan diszyunksiyasi bo'ladi. Ya'ni, har bir formulani shaklning ekvivalent formulasiga keltirish mumkin 
, bu yerda va har biri oʻzgaruvchi yoki oʻzgaruvchining inkori yoki oʻzgaruvchilarning diszyunksiyasi yoki ularning inkori. Ushbu shakl deyiladi konyunktiv normal shakl
(KNF).
2.4-misol:
CNF ning yagona elementi deyiladi elementar disjunktsiya yoki nolning tarkibiy qismi.
Shubhasiz, har bir formulada cheksiz ko'p DNF va CNF mavjud.
2.5-misol: Keling, formula uchun bir nechta DNFlarni topamiz 
.
Mukammal oddiy shakllar
SDNF (mukammal DNF) shunday DNF bo'lib, unda har bir elementar birikma barcha elementar gaplarni o'z ichiga oladi yoki ularning inkorlari bir marta, elementar birikmalar takrorlanmaydi.
SKNF (mukammal CNF) shunday CNF bo'lib, unda har bir elementar dis'yunktsiya barcha elementar takliflarni yoki ularning inkorlarini bir marta o'z ichiga oladi, elementar dis'yunktsiyalar takrorlanmaydi.
2.6-misol: 1) - SDNF
2) 1 - SKNF
Keling, SDNF (SKNF) ning xarakterli xususiyatlarini shakllantiramiz.
1) Dizyunksiyaning (qo‘shma gapning) barcha a’zolari har xil;
2) Har bir bog‘lovchining (dizyunksiyaning) barcha a’zolari har xil;
3) Birorta ham bog‘lovchi (dizyunksiya) o‘zgaruvchini ham, uning inkorini ham o‘z ichiga olmaydi;
4) Har bir birikma (dizyunksiya) dastlabki formulaga kiritilgan barcha o‘zgaruvchilarni o‘z ichiga oladi.
Ko'rib turganimizdek, xarakteristikalar (lekin shakllar emas!) duallik ta'rifini qondiradi, shuning uchun ikkalasini ham olishni o'rganish uchun bitta shaklni tushunish kifoya.
Ekvivalent transformatsiyalar yordamida DNF (CNF) dan SDNF (SKNF) ni olish oson. Mukammal normal shakllarni olish qoidalari ham ikki tomonlama bo'lganligi sababli, biz SMNFni olish qoidasini batafsil tahlil qilamiz va ikkilik ta'rifidan foydalanib, SKNFni mustaqil ravishda olish qoidasini shakllantiramiz.
Ekvivalent transformatsiyalar yordamida formulani SDNF ga qisqartirishning umumiy qoidasi:
Formulani berish uchun F, SDNF uchun bir xil noto'g'ri bo'lsa, bu etarli:
1) uni ba'zi DNF-ga keltiring;
2) o'zgaruvchini o'z ichiga olgan diszyunksiya a'zolarini inkori bilan birga olib tashlash (mavjud bo'lsa);
3) ayrilishning bir xil a'zolaridan (mavjud bo'lsa) bittadan boshqasini olib tashlang;
4) har bir bog‘lovchining bir xil a’zosidan tashqari hammasini olib tashlash (mavjud bo‘lsa);
5) agar biron bir birikmada dastlabki formulaga kiritilgan oʻzgaruvchilar orasidan oʻzgaruvchi boʻlmasa, bu birikmaga atama qoʻshing va tegishli taqsimot qonunini qoʻllang;
6) agar paydo bo'lgan dis'yunksiya bir xil atamalarni o'z ichiga olsa, 3-retseptdan foydalaning.
Olingan formula bu formulaning SDNF sidir.
2.7-misol: Formula uchun SDNF va SKNF ni topamiz 
.
Ushbu formula uchun DNF allaqachon topilganligi sababli (2.5-misolga qarang), biz SDNFni olishdan boshlaymiz:
2) hosil bo'lgan dis'yunktsiyada ularning inkorlari bilan birga o'zgaruvchilar yo'q;
3) diszyunksiyada bir xil a'zolar mavjud emas;
4) hech qanday qo‘shma gapda bir xil o‘zgaruvchilar yo‘q;
5) birinchi elementar bog‘lanishda asl formulaga kiritilgan barcha o‘zgaruvchilar bor, ikkinchi elementar bog‘lanishda esa o‘zgaruvchi yo‘q. z, shuning uchun unga atama qo'shamiz va taqsimlash qonunini qo'llaymiz: ;
6) disjunksiyada bir xil atamalar paydo bo'lganligini ko'rish oson, shuning uchun biz bittasini olib tashlaymiz (3-retsept);
3) bir xil ajratmalardan birini olib tashlang: 
;
4) qolgan diszyunksiyalarda bir xil atamalar mavjud emas;
5) elementar ayirmalarning birortasi ham dastlabki formulaga kiritilgan barcha o‘zgaruvchilarni o‘z ichiga olmaydi, shuning uchun ularning har birini qo‘shma gap bilan to‘ldiramiz: ;
6) hosil bo‘lgan qo‘shma gapda bir xil ayirma gaplar bo‘lmaydi, shuning uchun topilgan qo‘shma shakl mukammal bo‘ladi.
Chunki SKNF va SDNF agregatlarida formulalar mavjud F 8 a'zo bo'lsa, ehtimol ular to'g'ri topilgan.
Har bir qoniqarli (rad etish mumkin) formulada bitta SDNF va bitta SKNF mavjud. Tavtologiyada SKNF yo'q, qarama-qarshilikda esa SDNF yo'q.
Ta'rif. Mantiq algebrasining ikkita formulasi A va B chaqirdi ekvivalent agar ular formulalarga kiritilgan elementar takliflarning har qanday qiymatlari to'plamida bir xil mantiqiy qiymatlarni qabul qilsalar.
Formulalarning ekvivalentligi belgi va yozuv bilan belgilanadi A IN formulalarni bildiradi A va B ekvivalentdir.
Masalan, quyidagi formulalar ekvivalentdir:
Formula A deb ataladi xuddi shunday haqiqat (yoki tavtologiya), agar unga kiritilgan o'zgaruvchilarning barcha qiymatlari uchun 1 qiymatini qabul qilsa.
Masalan, formulalar ham to'g'ri , .
Formula A chaqirdi xuddi shunday yolg'on, agar unga kiritilgan o'zgaruvchilarning barcha qiymatlari uchun 0 qiymatini qabul qilsa.
Masalan, formula xuddi shunday noto'g'ri.
Ko'rinib turibdiki, ekvivalentlik munosabati refleksiv, simmetrik va o'tish xususiyatiga ega.
Ekvivalentlik va ekvivalentlik tushunchalari o'rtasida quyidagi bog'liqlik mavjud: formulalar bo'lsa A Va IN ekvivalent, keyin formula A IN- tavtologiya va aksincha, formula bo'lsa A IN- tavtologiya, keyin formulalar A Va IN ekvivalentdir.
Mantiq algebrasining eng muhim ekvivalentlarini uch guruhga bo'lish mumkin.
1. Asosiy ekvivalentlar:
Yutish qonunlaridan birini isbotlaylik. Formulani ko'rib chiqing . Agar bu formula A= 1 keyin, shubhasiz, va ikki to'g'ri takliflar birikmasi esa. Keling, formulada A x = 0. Ammo keyin bog‘lovchi amalning ta’rifiga ko‘ra, bog‘lovchi yolg‘on va bog‘lovchi bo‘ladi. . Shunday qilib, barcha holatlarda formulaning qiymatlari A qiymatlarga mos keladi A, va shuning uchun A x.
2. Ayrim mantiqiy amallarni boshqalar bilan ifodalovchi ekvivalentlar:
5 va 6 ekvivalentlar mos ravishda 3 va 4 ekvivalentlardan olinadi, agar ikkinchisining ikkala qismidan inkorlar olib, qo'sh inkorlarni olib tashlash qonunidan foydalansak. Shunday qilib, birinchi to'rtta ekvivalentlik isbotga muhtoj. Keling, ulardan ikkitasini isbotlaylik: birinchi va uchinchi.
Chunki bir xil mantiqiy qiymatlar uchun X Va da, , , to‘g‘ri formulalar bo‘lsa, bog‘lovchi ham to‘g‘ri bo‘ladi 
.
Shuning uchun, bu holda, ekvivalentlikning ikkala qismi ham bir xil haqiqiy qiymatlarga ega.
Keling X Va da turli mantiqiy qiymatlarga ega. Keyin ekvivalentlik va ikkita ta'sirdan biri yoki noto'g'ri bo'ladi. Xuddi o'sha payt
yolg‘on va bog‘lovchi bo‘ladi . Shunday qilib, bu holda, ekvivalentlikning ikkala qismi ham bir xil mantiqiy qiymatlarga ega.
Ekvivalentlikni ko'rib chiqing 3. Agar X Va da bir vaqtning o'zida haqiqiy qiymatlarni qabul qiling, shunda birikma haqiqat bo'ladi x&y va birikmaning noto‘g‘ri inkori. Shu bilan birga, va ikkalasi ham yolg'on bo'ladi, shuning uchun diszyunktsiya ham yolg'on bo'ladi .
Keling, o'zgaruvchilardan kamida bittasini olaylik X yoki da false qiymatini qabul qiladi. Shunda soxta birikma paydo bo'ladi x&y va uning haqiqiy inkori. Shu bilan birga, o'zgaruvchilardan kamida bittasining inkori to'g'ri bo'ladi va shuning uchun dis'yunksiya ham to'g'ri bo'ladi. .
Demak, barcha holatlarda 3 ekvivalentining ikkala qismi ham bir xil mantiqiy qiymatlarni oladi.
2 va 4 ekvivalentlari xuddi shunday isbotlangan.
Bu guruhning ekvivalentlaridan kelib chiqadiki, mantiq algebrasining har qanday formulasini faqat ikkita mantiqiy amalni o'z ichiga olgan unga ekvivalent formula bilan almashtirish mumkin: konyunksiya va inkor yoki diszyunksiya va inkor.
Keyinchalik mantiqiy operatsiyalarni istisno qilish mumkin emas. Shunday qilib, agar biz faqat birikmani ishlatsak, unda inkor kabi formula allaqachon mavjud X bog‘lovchi operator yordamida ifodalab bo‘lmaydi.
Biroq, biz foydalanadigan beshta mantiqiy amaldan istalganini ifodalash mumkin bo'lgan operatsiyalar mavjud. Bunday operatsiya, masalan, "Shaffer insult" operatsiyasi. Ushbu operatsiya ramziy ma'noga ega x|y va quyidagi haqiqat jadvali bilan aniqlanadi:
| x | y | x|y |
Shubhasiz, ekvivalentlar mavjud:
2) x&y (x|y)|(x|y).
Bu ikki ekvivalentlikdan kelib chiqadiki, mantiq algebrasining istalgan formulasini faqat “Sxeffer zarbasi” amalini o‘z ichiga olgan ekvivalent formula bilan almashtirish mumkin.
Shu esta tutilsinki .
Xuddi shunday, operatsiya ham kiritilishi mumkin 
.
3. Mantiq algebrasining asosiy qonunlarini ifodalovchi ekvivalentlar:
1. x&y y&x - birikmaning kommutativligi.
2. x da y X-dizyunksiyaning kommutativligi.
3. x& (y& z) (x & y) & z- qo‘shma gapning assotsiativligi.
4. X(yz ) (X y) z - dis'yunksiyaning assotsiativligi.
5. x& (y z) (x&y) (x&z)- qo‘shma gapning diszyunksiyaga nisbatan taqsimlanishi.
6. X (y&z) (X y)& (x z ) -dizyunksiyaning birikmaga nisbatan taqsimlanishi.
Keling, sanab o'tilgan qonunlarning oxirgisini isbotlaylik. Agar X= 1 bo'lsa, formulalar to'g'ri bo'ladi X (y& z), X y, x z . Ammo keyin qo'shma gap ham to'g'ri bo'ladi (X y)& (x z ). Shunday qilib, da X= 1 ekvivalentlikning ikkala qismi 6 bir xil mantiqiy qiymatlarni oladi (to'g'ri).
Keling x = 0. Keyin X (y&z) y&z, x da da Va x z z , va shuning uchun birikma X (y&z) y&z. Demak, bu yerda 6-ekvivalentning ikkala qismi bir xil formulaga ekvivalentdir y&z, va shuning uchun bir xil mantiqiy qiymatlarni oling.
§ 5. Formulalarni ekvivalent o'zgartirishlar
I, II va III guruhlarning ekvivalentligidan foydalanib, formulaning bir qismini yoki formulani ekvivalent formulaga almashtirish mumkin. Formulalarning bunday o'zgarishi deyiladi ekvivalent.
Ekvivalent transformatsiyalar ekvivalentlikni isbotlash, formulalarni berilgan shaklga keltirish, formulalarni soddalashtirish uchun ishlatiladi.
Formula A ekvivalent formuladan oddiyroq hisoblanadi IN, agar u kamroq harflarni o'z ichiga olsa, kamroq mantiqiy operatsiyalar. Bunda ekvivalentlik va implikatsiya amallari odatda dis'yunksiya va konyunksiya amallari bilan almashtiriladi va inkor elementar takliflar deb ataladi. Keling, ba'zi misollarni ko'rib chiqaylik.
1. Ekvivalentlikni isbotlang 
.
I, II va III guruhlarning ekvivalentlaridan foydalanish
2.
Formulani soddalashtiring 
.
Ekvivalent formulalar zanjirini yozamiz:
3. Formulaning bir xil haqiqatini isbotlang
Ekvivalent formulalar zanjirini yozamiz:
Boole algebrasi
III guruh ekvivalentlari mantiq algebrasi konyunksiya va dis’yunksiya amallariga nisbatan kommutativ va assotsiativ qonunlarga va dis’yunksiyaga nisbatan konyunksiyaning distributiv qonuniga ega ekanligini aytadi; bu qonunlar sonlar algebrasida ham amal qiladi. Demak, mantiq algebrasi formulalari ustida ham sonlar algebrasida amalga oshiriladigan o'zgarishlarni (qavsni ochish, qavs olish, umumiy omilni qavsga olish) bajarish mumkin.
Ammo mantiq algebrasida ekvivalentlardan foydalanishga asoslangan boshqa o'zgarishlar ham mumkin:
Bu xususiyat bizga keng qamrovli umumlashmalarga kelish imkonini beradi.
Bo'sh bo'lmagan to'plamni ko'rib chiqing M har qanday tabiatning elementlari ( x,y,z,...} , "=" (teng) munosabatini va uchta amalni belgilaydi: "+" (qo'shish), "" (ko'paytirish) va "-" (inkor), quyidagi aksiomalarga rioya qilgan holda:
Kommutativ qonunlar:
1a. x + y = y + x, 1b. X y = y X.
Uyushma qonunlari:
2a. x + (y + z)= (x + y) + z, 2b. X (da z) = (x y) z.
Tarqatish qonunlari:
3a. (x + y) z = (x z ) + (y G) 3b. (x y) + z = (x+z) (y + z).
Idepotentlik qonunlari:
4a. x + x = x, 4b. X x = x.
Ikki tomonlama inkor qonuni:
De Morgan qonunlari:
6a. , 6b . .
Absorbtsiya qonunlari:
7a. x + (y X)= X, 7b. X (y + x) = x.
Bunday ko'pchilik M chaqirdi mantiqiy algebra.
Agar asosiy elementlar ostida bo'lsa x, y, z, ... mos ravishda “+”, “”, “-” dis’yunksiya, konyunksiya, inkor amallari ostidagi gaplarni anglatib, tenglik belgisini tenglik belgisi sifatida ko‘rib chiqsak, I, II va III guruh ekvivalentlaridan kelib chiqadigan bo‘lsak. , mantiqiy algebraning barcha aksiomalari bajarilgan.
Aksiomalarning ma'lum bir tizimi uchun barcha aksiomalar qondirilishi uchun aniq ob'ektlarni va ular orasidagi o'ziga xos munosabatlarni tanlash mumkin bo'lgan hollarda, biz aytamizki, talqin qilish(yoki modeli) bu aksiomalar tizimi.
Demak, mantiq algebrasi mantiqiy algebraning talqinidir. Bul algebrasining boshqa talqinlari ham bor. Misol uchun, agar asosiy elementlar ostida bo'lsa x, y, z, ... to'plamlar M o'rtacha to'plamlar, mos ravishda "+", "", "-" birlashma, kesishma, to'ldiruvchi amallar ostida va teng belgisi ostida - to'plamlarning tenglik belgisi, keyin biz to'plamlar algebrasiga kelamiz. To'plamlar algebrasida mantiqiy algebraning barcha aksiomalari qanoatlantirilganligini tekshirish oson.
Mantiqiy algebraning turli talqinlari orasida texnik xarakterdagi talqinlar mavjud. Ulardan biri quyida muhokama qilinadi. Ko'rsatilgandek, u zamonaviy avtomatlashtirishda muhim rol o'ynaydi.
Mantiq algebrasining vazifalari
Yuqorida aytib o'tilganidek, mantiq algebrasi formulasining ma'nosi butunlay ushbu formulaga kiritilgan bayonotlarning ma'nolariga bog'liq. Demak, mantiq algebrasining formulasi unga kiritilgan elementar takliflarning funktsiyasidir.
Masalan, formula funktsiyadir
uchta o'zgaruvchi f(x,y,z). Ushbu funktsiyaning o'ziga xos xususiyati shundaki, uning argumentlari ikkita qiymatdan birini oladi: nol yoki bitta, funktsiya ikkita qiymatdan birini oladi: nol yoki bitta.
Ta'rif. Algebra mantiqiy funksiyasi ha o'zgaruvchilari (yoki Mantiqiy funktsiya) n ta o'zgaruvchidan iborat funktsiya chaqiriladi, bunda har bir o'zgaruvchi ikkita qiymatni oladi: 0 va 1 va shu bilan birga, funktsiya ikkita qiymatdan faqat bittasini olishi mumkin: 0 yoki 1.
Ko'rinib turibdiki, mantiq algebrasining bir xil to'g'ri va bir xil noto'g'ri formulalari doimiy funktsiyalar bo'lib, ikkita ekvivalent formulalar bir xil funktsiyani ifodalaydi.
Keling, n ta o'zgaruvchining funksiyalar soni qancha ekanligini bilib olaylik. Shubhasiz, mantiq algebrasining har bir funktsiyasini (shuningdek, mantiq algebrasining formulasini) 2 n qatordan iborat bo'lgan haqiqat jadvali yordamida aniqlash mumkin. Shuning uchun n ta o'zgaruvchining har bir funksiyasi nol va birlikdan iborat 2n qiymatni oladi. Shunday qilib, n o'zgaruvchining funktsiyasi nol va uzunligi 2 n bo'lgan birliklar qiymatlari to'plami bilan to'liq aniqlanadi. (Nollar va uzunligi 2 n bo'lgan birliklardan iborat to'plamlarning umumiy soni tengdir. Demak, soni mantiq algebrasining turli vazifalari P o'zgaruvchilar ga teng.
Xususan, bitta o‘zgaruvchining to‘rt xil funksiyasi, ikki o‘zgaruvchining o‘n olti xil funksiyasi mavjud. Keling, mantiq algebrasining barcha funktsiyalarini yozamiz Va ikkita o'zgaruvchi.
Bitta o'zgaruvchining turli funktsiyalari uchun haqiqat jadvalini ko'rib chiqing. Bu aniq ko'rinadi:
| x | f 1 (x) | f 2 (x) | f 3 (x) | f 3 (x) |
| 1 | ||||
Ushbu jadvaldan kelib chiqadiki, bitta o'zgaruvchining ikkita funktsiyasi doimiy bo'ladi: f 1 (x)= 1, f 4 (x) = 0, va f 2 (x) X, Va f 3 (x) .
Ikki o‘zgaruvchining barcha mumkin bo‘lgan funksiyalari uchun haqiqat jadvali:
f i = f i (x, y)
| x | y | f1 | f2 | f 3 | f4 | f5 | f6 | f7 | f 8 | f9 | f 10 | f 11 | f 12 | f 13 | f 14 | f 15 | f 16 |
Bu funksiyalarning analitik ifodalarini quyidagicha yozish mumkinligi aniq.
Ta'rif. Ikki f 1 (x) = g 1 (x) va f 2 (x) = g 2 (x) tenglamalar, agar ularning ildizlari to'plamlari bir xil bo'lsa, ekvivalent deyiladi.
Masalan, tenglamalar x 2 - 9 = 0 va (2 X + 6)(X- 3) = 0 ekvivalentdir, chunki ikkalasining ildizi sifatida 3 va -3 raqamlari mavjud. Tenglamalar (3 X + 1)-2 = x 2- + 1 va x 2+ 1 = 0, chunki ikkalasida ham ildiz yo'q, ya'ni. ularning ildizlari to'plami bir xil.
Ta'rif. Tenglamani ekvivalent tenglama bilan almashtirish ekvivalent o'zgartirish deyiladi.
Keling, qanday o'zgarishlar ekvivalent tenglamalarni olishga imkon berishini bilib olaylik.
Teorema 1. Tenglama bo'lsin f(x) va g(x) to'plamda berilgan va h(x) bir xil to‘plamda aniqlangan ifodadir. Keyin tenglamalar f(x) = g(x)(1) va f(x) + h(x) =g(x) + h(x) (2) ekvivalentdir.
Isbot. tomonidan belgilang T 1 -(1) tenglama yechimlari to'plami va orqali T 2 -(2) tenglama yechimlari to'plami. U holda (1) va (2) tenglamalar agar bo'lsa ekvivalent bo'ladi T 1 \u003d T 2. Buni tekshirish uchun har qanday ildiz ekanligini ko'rsatish kerak T 1(2) tenglamaning ildizi va aksincha, ning har qanday ildizi T 2(1) tenglamaning ildizidir.
Raqamga ruxsat bering A(1) tenglamaning ildizidir. Keyin a? T 1 va (1) tenglamaga almashtirilganda uni haqiqiy sonli tenglikka aylantiradi f(a) = g(a), va ifoda h(x) sonli ifodaga aylantiradi h(a) bu to'plamda mantiqiy x. Haqiqiy tenglikning ikkala tomoniga qo'shing f(a) = g(a) raqamli ifoda h(a). Haqiqiy sonli tengliklarning xossalariga ko'ra haqiqiy sonli tenglikni olamiz f(a) + h(a) =g(a) + h(a), bu shuni ko'rsatadiki A(2) tenglamaning ildizidir.
Demak, (1) tenglamaning har bir ildizi ham (2) tenglamaning ildizi ekanligi isbotlangan, ya’ni. T 1 Bilan T2.
Keling A -(2) tenglamaning ildizi. Keyin A? T2 va (2) tenglamaga almashtirilganda uni haqiqiy sonli tenglikka aylantiradi f(a) + h(a) =g(a) + h(a). Keling, bu tenglikning ikkala qismiga raqamli ifodani qo'shamiz - h(a), biz haqiqiy sonli tenglikni olamiz f(x) = g(x), bu raqam ekanligini bildiradi A -(1) tenglamaning ildizi.
Demak, (2) tenglamaning har bir ildizi ham (1) tenglamaning ildizi ekanligi isbotlangan, ya’ni. T2 Bilan T 1 .
Chunki T 1 Bilan T 2 Va T 2 Bilan T 1 keyin teng to'plamlar ta'rifi bilan T 1= T 2, bu (1) va (2) tenglamalar ekvivalent ekanligini bildiradi.
Bu teorema boshqacha shakllantirilishi mumkin: agar tenglamaning ikkala tomoni ta'rif sohasi bilan bo'lsa X bir xil to'plamda aniqlangan o'zgaruvchi bilan bir xil ifodani qo'shing, keyin biz berilgan tenglamaga ekvivalent yangi tenglamani olamiz.
Tenglamalarni yechishda foydalaniladigan bu teoremadan kelib chiqadigan oqibatlar:
1. Agar tenglamaning ikkala tomoniga bir xil sonni qo'shsak, berilganga teng bo'lgan tenglamani olamiz.
2. Agar biron-bir atama (sonli ifoda yoki o'zgaruvchili ifoda) tenglamaning bir qismidan ikkinchi qismiga o'tkazilsa, atama belgisini teskarisiga o'zgartirsa, biz berilganga ekvivalent tenglamani olamiz.
Teorema 2. Tenglama bo'lsin f(x) = g(x) to'plamga o'rnating X Va h(x) - bir xil to'plamda aniqlangan va hech qanday qiymat uchun yo'qolmaydigan ifoda X ko'pchilikdan x. Keyin tenglamalar f(x) = g(x) Va f(x) h(x) =g(x) h(x) ekvivalentdir.
Bu teoremaning isboti 1-teoremaning isbotiga o'xshaydi.
2-teorema boshqacha shakllantirilishi mumkin: agar tenglamaning ikkala tomoni domen bilan bo'lsa X bir xil to'plamda aniqlangan va unda yo'qolmaydigan bir xil ifodaga ko'paytirilsa, biz berilgan tenglamaga ekvivalent yangi tenglamani olamiz.
Bu teoremadan xulosa kelib chiqadi: agar tenglamaning ikkala qismi ham noldan boshqa bir xil songa ko'paytirilsa (yoki bo'linsa), u holda biz berilganga ekvivalent tenglamani olamiz.
Bitta o‘zgaruvchili tenglamalarni yechish
1- tenglamani yechish x/3 = x/6, x ? R va biz hal qilish jarayonida amalga oshiradigan barcha o'zgarishlarni oqlang.
| Transformatsiyalar | Konvertatsiya qilish uchun asos |
| 1. Tenglamaning chap va o‘ng tomonidagi ifodalarni umumiy maxrajga keltiramiz: (6-2) X)/ 6 = X/6 | Tenglamaning chap tomonidagi ifodani bir xil o'zgartirishni amalga oshirdi. |
| 2. Umumiy maxrajni tushiring: 6-2 X = X | Biz tenglamaning ikkala qismini 6 ga ko'paytirdik (2-teorema), biz berilgan tenglamaga ekvivalentni oldik. |
| 3. -2x ifodasini qarama-qarshi ishorali tenglamaning o'ng tomoniga o'tkazamiz: 6 = X+2X. | Biz 1-teoremadan olingan xulosadan foydalandik va avvalgisiga, demak, berilganga teng tenglamani oldik. |
| 4. Tenglamaning o'ng tomonida o'xshash shartlarni keltiramiz: 6 = 3 X. | Ifodaning bir xil o'zgarishini amalga oshirdi. |
| 5. Tenglamaning ikkala tomonini 3 ga bo‘ling: X = 2. | Biz 2-teoremadan olingan natijadan foydalandik, avvalgisiga teng tenglamani oldik, shuning uchun bu tenglamaga. |
Ushbu tenglamani yechishda biz qilgan barcha o'zgarishlar ekvivalent bo'lganligi sababli, bu tenglamaning ildizi 2 ekanligini ta'kidlash mumkin.
Agar tenglamani yechish jarayonida 1 va 2 teoremalarning shartlari bajarilmasa, u holda ildizlarning yo'qolishi yoki begona ildizlar paydo bo'lishi mumkin. Shuning uchun tenglamani o'zgartirishni amalga oshirayotganda oddiyroqni olish uchun ular berilgan tenglamaga ekvivalent bo'lishini ta'minlash muhimdir.
Masalan, tenglamani ko'rib chiqing x(x - 1) = 2x, x? R. Keling, ikkala qismni ham ajratamiz X, tenglamani olamiz X - 1 = 2, qaerdan X= 3, ya'ni bu tenglama bitta ildizga ega - 3 raqami. Lekin bu to'g'rimi? Bu tenglamada o'zgaruvchi o'rniga if ekanligini ko'rish oson X 0 o'rniga qo'yilsa, u haqiqiy sonli tenglikka aylanadi 0 (0 - 1) = 2 0. Va bu shuni anglatadiki, 0 bu tenglamaning ildizi bo'lib, biz transformatsiyalarni amalga oshirishda yo'qotdik. Keling, ularni tahlil qilaylik. Biz qilgan birinchi narsa tenglamaning ikkala tomonini bo'lish edi X, bular. ifodaga ko'paytiriladi1/ x, lekin da X= Oh, bu mantiqqa to'g'ri kelmaydi. Binobarin, biz 2-teorema shartini bajarmadik, bu esa ildizning yo'qolishiga olib keldi.
Bu tenglamaning ildizlar to'plami ikkita 0 va 3 raqamlaridan iborat ekanligiga ishonch hosil qilish uchun biz boshqa yechimni taqdim etamiz. 2-ifodani harakatlantiramiz X o'ngdan chapga: x(x- 1) - 2x \u003d 0. Tenglamaning chap tomonidagi qavslarni chiqaramiz. X va shunga o'xshash shartlarni bering: x(x - 3) = 0. Ikki omilning ko‘paytmasi nolga teng bo‘ladi, agar va faqat ulardan kamida bittasi nolga teng bo‘lsa, shuning uchun x= 0 yoki X- 3 = 0. Bu yerdan biz bu tenglamaning ildizlari 0 va 3 ekanligini tushunamiz.
Matematikaning boshlang’ich kursida tenglamalarni yechishning nazariy asosi komponentlar va harakatlar natijalari o’rtasidagi bog’liqlikdir. Masalan, tenglamani yechish ( X 9):24 = 3 quyidagicha oqlanadi. Noma'lum narsa dividendda bo'lganligi sababli, dividendni topish uchun bo'luvchini bo'linmaga ko'paytirish kerak: X 9 = 24 3 yoki X 9 = 72.
Noma'lum omilni topish uchun mahsulotni ma'lum omilga bo'lish kerak: x = 72:9 yoki x = 8, shuning uchun bu tenglamaning ildizi 8 raqamidir.
Mashqlar
1 . Quyidagi yozuvlardan qaysi biri bitta o‘zgaruvchili tenglama ekanligini aniqlang:
A) ( X-3) 5 = 12 X; d) 3 + (12-7) 5 = 16;
b) ( X-3) 5 = 12; e) ( X-3) y =12X;
V) ( X-3) 17 + 12; e) x 2 - 2x + 5 = 0.
2. Tenglama 2 X 4 + 4X Natural sonlar to'plamida 2 -6 = 0 berilgan. Nima uchun 1 raqami bu tenglamaning ildizi, lekin 2 va -1 uning ildizi emasligini tushuntiring.
3. tenglamada ( X+ ...)(2X + 5) - (X - 3)(2X+ 1) = 20 bitta raqam o'chiriladi va nuqtalar bilan almashtiriladi. Agar siz ushbu tenglamaning ildizi 2 raqami ekanligini bilsangiz, o'chirilgan raqamni toping.
4. Quyidagi shartlarni tuzing:
a) 5 raqami tenglamaning ildizidir f(x) = g(x);
b) 7 raqami tenglamaning ildizi emas f(x) = g(x).
5. Quyidagi juft tenglamalardan qaysi biri haqiqiy sonlar to‘plamiga ekvivalent ekanligini aniqlang:
a) 3 + 7 X\u003d -4 va 2 (3 + 7l X) = -8;
6)3 + 7X= -4 va 6 + 7 X = -1;
c) 3 + 7 X= -4 va l X + 2 = 0.
6. Tenglama ekvivalentlik munosabatining xossalarini tuzing. Ulardan qaysi biri tenglamani yechish jarayonida ishlatiladi?
7. Tenglamalarni yeching (ularning barchasi haqiqiy sonlar to‘plamida berilgan) va ularni soddalashtirish jarayonida bajarilgan barcha o‘zgarishlarni asoslang:
a) (7 x+4)/2 – x = (3x-5)/2;
b) x –(3x-2)/5 = 3 – (2x-5)/3;
2 da X)2-X (X + 1,5) = 4.
8. Talaba 5-tenglamani yechdi X + 15 = 3 X+ 9 quyidagicha: chap tomondagi qavslardan 5 raqamini va o'ng tomondagi 3 raqamini qo'ying, tenglamani oldi 5(x+ 3) = 3(X+ 3) va keyin ikkala qismni ifodaga ajrating X+ 3. Men 5 = 3 tengligini oldim va bu tenglamaning ildizi yo'q degan xulosaga keldim. Talaba haqmi?
9. 2/(2-) tenglamani yeching x) – ½ = 4/((2- x)x); X? R. 2 raqami bu tenglamaning ildizimi?
10. Komponentlar va harakatlar natijalari o'rtasidagi bog'liqlikdan foydalanib, tenglamalarni yeching:
A) ( X+ 70) 4 = 328; c) (85 X + 765): 170 = 98;
b) 560: ( X+ 9) - 56; G) ( X - 13581):709 = 306.
11. Masalalarni arifmetik va algebraik usullarda yechish:
a) Birinchi javonda ikkinchisiga qaraganda 16 ta ko'proq kitob bor. Agar siz har bir javondan 3 ta kitobni olib tashlasangiz, birinchi javonda ikkinchisiga qaraganda bir yarim baravar ko'p kitoblar bo'ladi. Har bir javonda nechta kitob bor?
b) Velosipedchi lagerdan stansiyagacha bo'lgan barcha yo'lni 26 km ga teng 1 soat 10 daqiqada bosib o'tdi. Bu vaqtning dastlabki 40 daqiqasida u xuddi shu tezlikda, qolgan vaqtda esa 3 km/soat kamroq tezlikda yurdi. Sayohatning birinchi bosqichida velosipedchining tezligini toping.
