Системы, у которых входная и выходная последовательности и связаны линейным разностным уравнением с постоянными коэффициентами, образуют подмножество класса линейных систем с постоянными параметрами. Описание ЛПП-систем разностными уравнениями очень важно, так как оно часто позволяет найти эффективные способы построения таких систем. Более того, по разностному уравнению можно определить многие характеристики рассматриваемой системы, включая собственные частоты и их кратность, порядок системы, частоты, соответствующие нулевому коэффициенту передачи, и т. д.

В самом общем случае линейное разностное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами, относящееся к физически реализуемой системе, имеет вид

(2.18)

где коэффициенты и описывают конкретную систему, причем . Каким именно образом порядок системы характеризует математические свойства разностного уравнения, будет показано ниже. Уравнение (2.18) записано в виде, удобном для решения методом прямой подстановки. Имея набор начальных условий [например, , для ] и входную последовательность , по формуле (2.18) можно непосредственно вычислить выходную последовательность для . Например, разностное уравнение

(2.19)

с начальным условием и можно решить подстановкой, что дает

Хотя решение разностных уравнений прямой подстановкой и целесообразно в некоторых случаях, значительно полезнее получить решение уравнения в явном виде. Методы нахождения таких решений подробно освещены в литературе по разностным Уравнениям, и здесь будет дан лишь краткий обзор. Основная идея сводится к получению двух решений разностного уравнения: однородного и частного. Однородное решение получается путем подстановки нулей вместо всех членов, содержащих элементы входной последовательности , и определения отклика при нулевой входной последовательности. Именно этот класс решений описывает основные свойства заданной системы. Частное решение получают, подбирая вид последовательности на выходе при заданной входной последовательности . Для определения произвольных постоянных однородного решения используются начальные условия. В качестве примера решим этим методом уравнение (2.19). Однородное уравнение имеет вид

(2.20)

Известно, что характеристическими решениями однородных уравнений, соответствующих линейным разностным уравнениям с постоянными коэффициентами, являются решения вида .Поэтому, подставив в уравнение (2.20) вместо , получим

(2.21)

Частное решение, соответствующее входной последовательности , попробуем найти в виде

(2.22)

Из уравнения (2.19) получаем

Поскольку коэффициенты при равных степенях должны совпадать, B,СиDдолжны быть равны

(2.24)

Таким образом, общее решение имеет вид

(2.25)

Коэффициент определяется из начального условия , откуда и

(2.26)

Выборочная проверка решения (2.26) при показывает полное его совпадение с приведенным выше прямым решением. Очевидное преимущество решения (2.26) состоит в том, что оно позволяет весьма просто определить для любого конкретного .

Фиг. 2.7. Схема реализации простого разностного уравнения первого порядка.

Важное значение разностных уравнений состоит в том, что они непосредственно определяют способ построения цифровой системы. Так, разностное уравнение первого порядка самого общего вида

можно реализовать с помощью схемы, изображенной на фиг. 2.7. Блок «задержка» осуществляет задержку на один отсчет. Рассмотренная форма построения системы, в которой для входной и выходной последовательностей используются раздельные элементы задержки, называется прямой формой 1. Ниже мы обсудим различные методы построения этой и других цифровых систем.

Разностное уравнение второго порядка самого общего вида

Фиг. 2.8. Схема реализации разностного уравнения второго порядка.

может быть реализовано с помощью схемы, приведенной на фиг. 2.8. В этой схеме для входной и выходной последовательностей также используются раздельные элементы задержки.

Из последующего изложения материалов этой главы станет ясно, что системы первого и второго порядка могут быть использованы при реализации систем более высокого порядка, так как последние могут быть представлены в виде последовательно или параллельно соединенных систем первого и второго порядка.

Решение обыкновенных линейных разностных уравнений

с постоянными коэффициентами

Связь выхода и входа линейной дискретной системы может быть описана обыкновенным линейным разностным уравнением с постоянными коэффициентами

,

где y[ n] - выходной сигнал в момент n ,

x[ n] - входной сигнал в момент n ,

a i , b k – постоянные коэффициенты.

Для решения таких уравнений могут использоваться два метода

• Прямой метод,
• Метод Z – преобразования.

Вначале рассмотрим решение линейного разностного уравнения с помощью прямого метода.

Общее решение неоднородного (с отличной от нуля правой частью) линейного разностного уравнения равно сумме общего решения линейного однородного разностного уравнения и частного решения неоднородного уравнения

Общее решение однородного разностного уравнения (zero- input response ) y h [ n]

определяется в виде

.

Подставляя это решение в однородное уравнение, получаем

Такой полином называют характеристическим полиномом системы. Он имеет N корней . Корни могут быть действительными или комплексными и некоторые корни - совпадающими (кратными).

Если корни являются действительными и разными, то решение однородного уравнения имеет вид

где коэффициенты

Если некоторый корень, например, λ 1 имеет кратность m , то соответствующий ему член решения приобретает форму

Если все коэффициенты однородного уравнения и соответственно характеристического многочлена действительны, то два члена решения, соответствующие простым комплексно сопряженным корням можно представить (записать) в виде , при этом коэффициенты A, B определяются по начальным условиям.

Вид частного решения y p [ n] уравнения зависит от правой части (входного сигнала) и определяется согласно нижеприведенной таблице

Таблица 1. Вид частного решения для различного характера правой части

Входной сигнал x[n]	Частное решение y p [n]
A (константа)

Решение линейного разностного уравнения методом Z – преобразования заключается в применении Z – преобразования к уравнению с использованием свойств линейности и временного сдвига. В результате получается линейное алгебраическое уравнение относительно Z - изображения искомой функции. Обратное Z – преобразование дает искомое решение во временной области. Для получения обратного Z – преобразования чаще всего используется разложение рационального выражения на простые (элементарные) дроби, так как обратное преобразование от отдельной элементарной дроби имеет простой вид.

Заметим, что для перехода во временную область могут использоваться и другие методы вычисления обратного Z – преобразования.

Пример . Определим отклик (выходной сигнал) системы, описываемой линейным разностным уравнением , на входной сигнал

Решение .

1. Прямой метод решения уравнения.

Однородное уравнение . Его характеристический полином .

Корни полинома .

Решение однородного уравнения .

Поскольку,то частное решение определяем в виде .

Подставляем его в уравнение

Для нахождения константы К примем n = 2 . Тогда

Или , К=2,33

Отсюда частное решение и общее решение разностного уравнения (1)

Найдем константы С 1 и С 2 . Для этого положим n = 0 , тогда из исходного разностного уравнения получаем . Для данного уравнения

Поэтому . Из выражения (1)

Следовательно,

.

Из выражения (1) для n = 1 имеем .
Получаем следующие два уравнения для С 1 и С 2

.

Решение этой системы дает следующие значения: С 1 =0,486 и С 2 = -0,816.

Следовательно, общее решение данного уравнения

2. Решение методом Z – преобразования.

Возьмем Z – преобразование от исходного разностного уравнения , учитывая свойство (теорему) временного сдвига . Получаем

Контрольные вопросы:

1. Какая функция называется сеточной?

2. Какое уравнение называется разностным?

3. Какие уравнения называются разностными уравнениями 1-го порядка?

4. Как находится общее решение неоднородного разностного уравнения 1-го порядка?

5. Какое решение разностного уравнения называется фундаментальным?

6. Почему общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид геометрической прогрессии?

Задания.

1. Написать процедуру решения разностного уравнения первого порядка с начальным условием .

2. Для заданного уравнения найти общее и частное решение аналитически.

3. Сравнить результаты вычислений по рекуррентной формуле с аналитическим решением.

4. Выяснить, как влияет на результат возмущение начального условия, коэффициентов уравнения, правой части.

				Указания

Найдем общее решение разностного уравнения 1-го порядка

. (1)

Частное решение однородного уравнения при получим, используя рекуррентную формулу: . Поскольку значение Y в каждом следующем узле сетки удваивается, получается геометрическая прогрессия со знаменателем q=2:

Частное решение неоднородного уравнения найдем в виде:, где А - неопределенный коэффициент. Тогда , , и, приравняв полученное значение к заданной правой части, найдем неопределенный коэффициент A=. Окончательно, общее решение: .

Используя начальное условие , находим константу: . Окончательно, частное решение при заданном начальном условии:

.

Для исследования устойчивости решения к возмущению самого решения и начального условия рассмотрим следующее уравнение:

с возмущенным начальным условием

(здесь - величина возмущения). Вычитая исходное уравнение (1), получим разностное уравнение для возмущения:

с начальным условием . Решение этого уравнения имеет вид: , т.е. даже малое возмущение в каком-либо узле экспоненциально растет с увеличением номера узла.

Студенту необходимо проиллюстрировать сказанное выше: исследовать влияние возмущений начального условия, правых частей и коэффициентов уравнения, изменив рекуррентную формулу.

Вариант, в соответствии с номером студента по списку в журнале, необходимо решить на языке программирования C++ (допускается использование среды Builder) или Pascal (допускается использование среды Delphi).

1. Рекуррентная формула для получения численного решения.
2. Аналитическое решение разностного уравнения. Общее решение и частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
3. Исследовать устойчивость решения к возмущению начального условия и решения аналитически.

б) при возмущении коэффициентов уравнения;

в) при возмущении правой части.

Тема:Разностные уравнения 2 порядка

Контрольные вопросы:

1. Какие уравнения называются разностными уравнениями 2-го порядка?

2. Что такое характеристическое уравнение?

3. Как выглядит частное решение однородного разностного уравнения 2-го порядка с действительными корнями характеристического уравнения?

4. Как выглядит частное решение однородного разностного уравнения 2-го порядка с комплексными корнями характеристического уравнения?

5. Как находится общее решение неоднородного разностного уравнения 2-го порядка?

6. Что такое численное и аналитическое решение разностного уравнения 2-го порядка?

7. Какие задачи называются хорошо обусловленными?

Задания

1. Написать процедуру решения разностной краевой задачи для уравнения второго порядка с граничными условиями , .

2. Для заданного уравнения найти общее и частное решение аналитически и проверить критерий обусловленности.

3. Сравнить результаты вычислений по рекуррентной формуле с аналитическим решением.

4. Выяснить, как влияет на результат возмущение граничных условий и правой части.

						Найдем общее решение разностного уравнения 2-го порядка можно найти выбором произвольных постоянных . Наряду с задачами Коши, для уравнений 2-го порядка рассматриваются также двухточечные краевые задачи, в которых заданы значения сеточной функции в двух узлах, расположенных не подряд, а на концах некоторого конечного отрезка: (граничные условия ). Аналитическое решение такой задачи можно получить подходящим выбором произвольных постоянных в общем решении. Однако, в отличие от задачи с начальными условиями, краевая задача не обязательно будет однозначно разрешимой. Поэтому большое значение имеет выяснение класса краевых задач, которые обладают однозначной разрешимостью и слабой чувствительностью к возмущению (вследствие ошибок округления) правых частей и граничных условий. Такие задачи будем называть хорошо обусловленными Рассмотрим пример плохо обусловленной краевой задачи Постановка задачи. Исходное разностное уравнение и граничные условия. Процедура для получения численного решения. Аналитическое решение разностной краевой задачи. Общее решение и частное решение, удовлетворяющее заданным граничным условиям. Проверка критерия обусловленности. Графики численного решения и аналитического решения (в одних осях). График разности численного и аналитического решения. Графики возмущенных численных решений и разности возмущенного и невозмущенного решений: а) при возмущении начального условия; б) при возмущении правой части. Вывод об обусловленности краевой задачи.

Введение

В последние десятилетия математические методы всё настойчивее проникают в гуманитарные науки и в частности, в экономику. Благодаря математике и её эффективному применению можно надеяться на экономический рост и процветание государства. Эффективное, оптимальное развитие невозможно без использования математики.

Целью данной работы является изучение применения разностных уравнений в экономической сфере общества.

Перед данной работой ставятся следующие задачи: определение понятия разностных уравнений; рассмотрение линейных разностных уравнений первого и второго порядка и их применение в экономике.

При работе над курсовым проектом были использованы доступные для изучения материалы учебных пособий по экономике, математическому анализу, работы ведущих экономистов и математиков, справочные издания, научные и аналитические статьи, опубликованные в Интернет - изданиях.

Разностные уравнения

§1. Основные понятия и примеры разностных уравнений

Разностные уравнения играют большую роль в экономической теории. Многие экономические законы доказывают с помощью именно этих уравнений. Разберем основные понятия разностных уравнений.

Пусть время t выступает как независимая переменная, а зависимая переменная определяется для времени t, t-1, t-2 и т.д.

Обозначим через значение в момент времени t; через - значение функции в момент, сдвинутый назад на единицу (например, в предыдущем часу, на предыдущей неделе и т.д.); через - значение функции y в момент, сдвинутый на две единицы назад, и т.д.

Уравнение

где - постоянные, называется разностным неоднородным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами.

Уравнение

В котором =0, называется разностным однородным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами. Решить разностное уравнение n-го порядка - значит найти функцию, которая обращает это уравнение в верное тождество.

Решение, в котором отсутствует произвольная постоянная, называется частным решением разностного уравнения; если же в решении есть произвольная постоянная, то оно называется общим решением. Можно доказать следующие теоремы.

Теорема 1. Если однородное разностное уравнение (2) имеет решения и, то решением будет также функция

где и - произвольные постоянные.

Теорема 2. Если - частное решение неоднородного разностного уравнения (1) и - общее решение однородного уравнения (2), то общим решением неоднородного уравнения (1) будет функция

Произвольные постоянные. Эти теоремы сходны с теоремами для дифференциальных уравнений. Системой линейных разностных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами называется система вида

где - вектор из неизвестных функций, - вектор из известных функций.

Есть матрица размера nn.

Эта система может быть решена сведением к разностному уравнению n-го порядка по аналогии с решением системы дифференциальных уравнений.

§ 2. Решение разностных уравнений

Решение разностного уравнения первого порядка. Рассмотрим неоднородное разностное уравнение

Соответствующее однородное уравнение есть

Проверим, будет ли функция

решением уравнения (3).

Подставляя в уравнение (4), получаем

Следовательно, есть решение уравнения (4).

Общее решение уравнения (4) есть функция

где C - произвольная постоянная.

Пусть - частное решение неоднородного уравнения (3). Тогда общее решение разностного уравнения (3) есть функция

Найдем частное решение разностного уравнения (3), если f(t)=c, где c - некоторая переменная.

Будем искать решение в виде постоянной m. Имеем

Подставив эти постоянные в уравнение

получаем

Следовательно, общее решение разностного уравнения

Пример1 . Найти с помощью разностного уравнения формулу прироста денежного вклада А в сбербанке, положенного под p % годовых.

Решение . Если некоторая сумма положена в банк под сложный процент p, то к концу года t её размер составит

Это однородное разностное уравнение первого порядка. Его решение

где C - некоторая постоянная, которую можно рассчитать по начальным условиям.

Если принять, то C=A, откуда

Это известная формула подсчета прироста денежного вклада, положенного в сбербанк под сложный процент.

Решение разностного уравнения второго порядка. Рассмотрим неоднородное разностное уравнение второго порядка

и соответствующее однородное уравнение

Если k является корнем уравнения

есть решение однородного уравнения (6).

Действительно, подставляя в левую часть уравнения (6) и учитывая (7), получаем

Таким образом, если k - корень уравнения (7), то - решение уравнения (6). Уравнение (7) называется характеристическим уравнением для уравнения (6). Если дискриминант характеристическое уравнение (7) больше нуля, то уравнение (7) имеет два разных действительных корня и, а общее решение однородного уравнения (6) имеет следующий вид.

Часто одно лишь упоминание дифференциальных уравнений вызывает у студентов неприятное чувство. Почему так происходит? Чаще всего потому, что при изучении основ материала возникает пробел в знаниях, из-за которого дальнейшее изучение диффуров становиться просто пыткой. Ничего не понятно, что делать, как решать, с чего начать?

Однако мы постараемся вам показать, что диффуры – это не так сложно, как кажется.

Основные понятия теории дифференциальных уравнений

Со школы нам известны простейшие уравнения, в которых нужно найти неизвестную x. По сути дифференциальные уравнения лишь чуточку отличаются от них – вместо переменной х в них нужно найти функцию y(х) , которая обратит уравнение в тождество.

Дифференциальные уравнения имеют огромное прикладное значение. Это не абстрактная математика, которая не имеет отношения к окружающему нас миру. С помощью дифференциальных уравнений описываются многие реальные природные процессы. Например, колебания струны, движение гармонического осциллятора, посредством дифференциальных уравнений в задачах механики находят скорость и ускорение тела. Также ДУ находят широкое применение в биологии, химии, экономике и многих других науках.

Дифференциальное уравнение (ДУ ) – это уравнение, содержащее производные функции y(х), саму функцию, независимые переменные и иные параметры в различных комбинациях.

Существует множество видов дифференциальных уравнений: обыкновенные дифференциальные уравнения, линейные и нелинейные, однородные и неоднородные, дифференциальные уравнения первого и высших порядков, дифуры в частных производных и так далее.

Решением дифференциального уравнения является функция, которая обращает его в тождество. Существуют общие и частные решения ДУ.

Общим решением ДУ является общее множество решений, обращающих уравнение в тождество. Частным решением дифференциального уравнения называется решение, удовлетворяющее дополнительным условиям, заданным изначально.

Порядок дифференциального уравнения определяется наивысшим порядком производных, входящих в него.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения – это уравнения, содержащие одну независимую переменную.

Рассмотрим простейшее обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно имеет вид:

Решить такое уравнение можно, просто проинтегрировав его правую часть.

Примеры таких уравнений:

Уравнения с разделяющимися переменными

В общем виде этот тип уравнений выглядит так:

Приведем пример:

Решая такое уравнение, нужно разделить переменные, приведя его к виду:

После этого останется проинтегрировать обе части и получить решение.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Такие уравнения имеют вид:

Здесь p(x) и q(x) – некоторые функции независимой переменной, а y=y(x) – искомая функция. Приведем пример такого уравнения:

Решая такое уравнение, чаще всего используют метод вариации произвольной постоянной либо представляют искомую функцию в виде произведения двух других функций y(x)=u(x)v(x).

Для решения таких уравнений необходима определенная подготовка и взять их “с наскока” будет довольно сложно.

Пример решения ДУ с разделяющимися переменными

Вот мы и рассмотрели простейшие типы ДУ. Теперь разберем решение одного из них. Пусть это будет уравнение с разделяющимися переменными.

Сначала перепишем производную в более привычном виде:

Затем разделим переменные, то есть в одной части уравнения соберем все "игреки", а в другой – "иксы":

Теперь осталось проинтегрировать обе части:

Интегрируем и получаем общее решение данного уравнения:

Конечно, решение дифференциальных уравнений – своего рода искусство. Нужно уметь понимать, к какому типу относится уравнение, а также научиться видеть, какие преобразования нужно с ним совершить, чтобы привести к тому или иному виду, не говоря уже просто об умении дифференцировать и интегрировать. И чтобы преуспеть в решении ДУ, нужна практика (как и во всем). А если у Вас в данный момент нет времени разбираться с тем, как решаются дифференциальные уравнения или задача Коши встала как кость в горле или вы не знаете, как правильно оформить презентацию , обратитесь к нашим авторам. В сжатые сроки мы предоставим Вам готовое и подробное решение, разобраться в подробностях которого Вы сможете в любое удобное для Вас время. А пока предлагаем посмотреть видео на тему "Как решать дифференциальные уравнения":