Уравнение гармонических колебаний имеет вид. Гармонические колебания (уравнение, характеристика, график)

Основы теории Максвелла для электромагнитного поля

Вихревое электрическое поле

Из закона Фарадея ξ=dФ/dt следует, что любое изменение сцепленного с контуром потока магнитной индукции приводит к возникновению элек­тродвижущей силы индукции и вследствие этого появляется индукционный ток. Сле­довательно, возникновение э.д.с. электро­магнитной индукции возможно и в непод­вижном контуре, находящемся в перемен­ном магнитном поле. Однако э.д.с. в любой цепи возникает только тогда, когда в ней на носители тока действуют сторонние силы - силы неэлектростатического про­исхождения (см. § 97). Поэтому возника­ет вопрос о природе сторонних сил в дан­ном случае.

Опыт показывает, что эти сторонние силы не связаны ни с тепловыми, ни с хи­мическими процессами в контуре; их воз­никновение также нельзя объяснить сила­ми Лоренца, так как они на неподвижные заряды не действуют. Максвелл высказал гипотезу, что всякое переменное магнит­ное поле возбуждает в окружающем про­странстве электрическое поле, которое

и является причиной возникновения ин­дукционного тока в контуре. Согласно представлениям Максвелла, контур, в ко­тором появляется э.д.с., играет второсте­пенную роль, являясь своего рода лишь «прибором», обнаруживающим это поле.

первое уравнение Максвелла утверждает, что изменения электрического поля порождают вихревое магнитное поле.

Второе уравнен ие Максвелла выражает закон электромагнитной индукции Фарадея: ЭДС в любом замкнутом контуре равна скорости изменения (т. е. производной по времени) магнитного потока. Но ЭДС равна касательной составляющей вектора напряженности электрического поля Е, помноженной на длину контура. Чтобы перейти к ротору, как и в первом уравнении Максвелла, достаточно разделить ЭДС на площадь контура, а последнюю устремить к нулю, т. е. взять маленький контур, охватывающий рассматриваемую точку пространства (рис. 9,в). Тогда в правой части уравнения будет уже не поток, а магнитная индукция, поскольку поток равен индукции, помноженной на площадь контура.
Итак, получаем: rotE = - dB/dt.
Таким образом, вихревое электрическое поле порождается изменениями магнитного, что и подано на рис. 9,в и представлено только что приведенной формулой.
Третье и четвертое уравнения Максвелла имеют дело с зарядами и порождаемыми ими полями. Они основаны на теореме Гаусса, утверждающей, что поток вектора электрической индукции через любую замкнутую поверхность равен заряду внутри этой поверхности.

На уравнениях Максвелла основана целая наука - электродинамика, позволяющая строгими математическими методами решить множество полезных практических задач. Можно рассчитать, например, поле излучения различных антенн как в свободном пространстве, так и вблизи поверхности Земли или около корпуса какого-либо летательного аппарата, например, самолета или ракеты. Электродинамика позволяет рассчитать конструкцию волноводов и объемных резонаторов - устройств, применяющихся на очень высоких частотах сантиметрового и миллиметрового диапазонов волн, где обычные линии передачи и колебательные контуры уже непригодны. Без электродинамики невозможно было бы развитие радиолокации, космической радиосвязи, антенной техники и многих других разделов современной радиотехники.

Ток смещения

ТОК СМЕЩЕ́НИЯ, величина, пропорциональная скорости изменения переменного электрического поля в диэлектрике или вакууме. Название «ток» связано с тем, что ток смещения, так же как и ток проводимости, порождает магнитное поле.

При построении теории электромагнитного поля Дж. К. Максвелл выдвинул гипотезу (впоследствии подтвержденную на опыте) о том, что магнитное поле создается не только движением зарядов (током проводимости, или просто током), но и любым изменением во времени электрического поля.

Понятие ток смещения введено Максвеллом для установления количественных соотношений между изменяющимся электрическим полем и вызываемым им магнитным полем.

В соответствии с теорией Максвелла, в цепи переменного тока, содержащей конденсатор, переменное электрическое поле в конденсаторе в каждый момент времени создает такое магнитное поле, какое создавал бы ток, (названный током смещения), если бы он протекал между обкладками конденсатора. Из этого определения следует, что J см = J (т. е., численные значения плотности тока проводимости и плотности тока смещения равны), и, следовательно, линии плотности тока проводимости внутри проводника непрерывно переходят в линии плотности тока смещения между обкладками конденсатора. Плотность тока смещения j см характеризует скорость изменения электрической индукции D во времени:

J см = + ?D/?t.

Ток смещения не выделяет джоулевой теплоты, его основное физическое свойство - способность создавать в окружающем пространстве магнитное поле.

Вихревое магнитное поле создается полным током, плотность которого j , равна сумме плотности тока проводимости и тока смещения?D/?t. Именно поэтому для величины?D/?t и было введено название ток.

Гармоническим осциллятором называется система, которая совершает колебания, описываемые выражением вида d 2 s/dt 2 + ω 0 2 s = 0 или

где две точки сверху означают двукратное дифференцирование по времени. Колебания гармонического осциллятора есть важный пример периодического движения и служат точной или приближенной моделью во многих задачах классической и квантовой физики. В качестве примеров гармонического осциллятора могут быть пружинный, физический и математический маятники, колебательный контур (для токов и напряжений настолько малых, что можно было бы элементы контура считать линейными).

Гармонические колебания

Наряду с поступательными и вращательными движениями тел в механике значительный интерес представляют и колебательные движения. Механическими колебанияминазывают движения тел, повторяющиеся точно (или приблизительно) через одинаковые промежутки времени. Закон движения тела, совершающего колебания, задается с помощью некоторой периодической функции времени x = f (t ). Графическое изображение этой функции дает наглядное представление о протекании колебательного процесса во времени.

Примерами простых колебательных систем могут служить груз на пружине или математический маятник (рис. 2.1.1).

Механические колебания, как и колебательные процессы любой другой физической природы, могут быть свободными и вынужденными . Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы, после того, как система была выведена из состояния равновесия. Колебания груза на пружине или колебания маятника являются свободными колебаниями. Колебания, происходящие под действием внешних периодически изменяющихся сил, называются вынужденными Простейшим видом колебательного процесса являются простые гармонические колебания , которые описываются уравнением

Частота колебаний f показывает, сколько колебаний совершается за 1 с. Единица частоты – герц (Гц). Частота колебаний f связана с циклической частотой ω и периодом колебаний T соотношениями:

дает зависимость колеблющейся величины S от времени t ; это и есть уравнение свободных гармонических колебаний в явном виде. Однако обычно под уравнением колебаний понимают иную запись этого уравнения, в дифференциальной форме. Возьмем для определенности уравнение (1) в виде

дважды продифференцируем его по времени:

Видно, что выполняется следующее соотношение:

которое и называется уравнением свободных гармонических колебаний (в дифференциальной форме). Уравнение (1) является решением дифференциального уравнения (2). Поскольку уравнение (2) - дифференциальное уравнение второго порядка, необходимы два начальных условия для получения полного решения (то есть определения входящих в уравнение (1) констант A и j 0); например, положение и скорость колебательной системы при t = 0.

Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты. Биения

Пусть совершаются два гармонических колебания одного направления и одинаковой частоты

Уравнение результирующего колебания будет иметь вид

Убедимся в этом, сложив уравнения системы (4.1)

Применив теорему косинусов суммы и сделав алгебраические преобразования:

Можно найти такие величины А и φ0 , чтобы удовлетворялись уравнения

Рассматривая (4.3) как два уравнения с двумя неизвестными А и φ0, найдем, возведя их в квадрат и сложив, а затем разделив второе на первое:

Подставляя (4.3) в (4.2), получим:

Или окончательно, используя теорему косинусов суммы, имеем:

Тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты, совершает также гармоническое колебание в том же направлении и с той же частотой, что и складываемые колебания. Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз (φ2-φ1) сгладываемых колебаний.

В зависимости от разности фаз (φ2-φ1):

1) (φ2-φ1) = ±2mπ (m=0, 1, 2, …), тогда A= А1+А2, т. е. амплитуда результирующего колебания А равна сумме амплитуд складываемых колебаний;

2) (φ2-φ1) = ±(2m+1)π (m=0, 1, 2, …), тогда A= |А1-А2|, т. е. амплитуда результирующего колебания равна разности амплитуд складываемых колебаний

Периодические изменения амплитуды колебания, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называются биением.

Пусть два колебания мало отличаются по частоте. Тогда амплитуды складываемых колебаний равны А, а частоты равны ω и ω+Δω, причем Δω намного меньше ω. Начало отсчета выберем так, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю:

Решим систему

Решение системы:

Результирующее колебание можно рассматривать как гармоническое с частотой ω, амплитуда А, которого изменяется по следующему периодическому закону:

Частота изменения А в два раза больше частоты изменения косинуса. Частота биений равна разности частот складываемых колебаний: ωб = Δω

Период биений:

Определение частоты тона (звука определенной высоты биений эталонным и измеряемым колебаниями - наиболее широко применяемый на метод сравнения измеряемой величины с эталонной. Метод биений используется для настройки музыкальных инструментов, анализа слуха и т. д.

Похожая информация.

Колебания, возникающие под действием внешних, периодически изменяющихся сил (при периодическом поступлении энергии извне к колебательной системе)

Превращение энергии

Пружинный маятник

Циклическая частота и период колебаний равны, соответственно:

Материальная точка, закрепленная на абсолютно упругой пружине

Ø график зависимости потенциальной и кинетической энергии пружинного маятника от координаты х.

Ø качественные графики зависимостей кинетической и потенциальной энергии от времени.

Ø Вынужденные

Ø Частота вынужденных колебаний равна частоте изменения внешней силы

Ø Если Fbc изменяется по закону синуса или косинуса, то вынужденные колебания будут гармоническими

Ø При автоколебаниях необходимо периодическое поступлении энергии от собственного источника внутри колебательной системы

Гармонические колебания – это колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса

уравнения гармонических колебаний (законы движения точек) имеют вид

Гармоническими колебаниями называются такие колебания, при которых колеблющаяся величина меняется от времени по закону синуса или косинуса .
Уравнение гармонических колебаний имеет вид:

,
где A - амплитуда колебаний (величина наибольшего отклонения системы от положения равновесия) ; - круговая (циклическая) частота. Периодически изменяющийся аргумент косинуса - называется фазой колебаний . Фаза колебаний определяет смещение колеблющейся величины от положения равновесия в данный момент времени t. Постояннаяφ представляет собой значение фазы в момент времени t = 0 и называется начальной фазой колебания . Значение начальной фазы определяется выбором начала отсчета. Величина x может принимать значения, лежащие в пределах от -A до +A.
Промежуток времени T, через который повторяются определенные состояния колебательной системы, называется периодом колебаний . Косинус - периодическая функция с периодом 2π, поэтому за промежуток времени T, через который фаза колебаний получит приращение равное 2π, состояние системы, совершающей гармонические колебания, будет повторяться. Этот промежуток времени T называется периодом гармонических колебаний.
Период гармонических колебаний равен : T = 2π/.
Число колебаний в единицу времени называется частотой колебаний ν.
Частота гармонических колебаний равна: ν = 1/T. Единица измерения частоты герц (Гц) - одно колебание в секунду.
Круговая частота = 2π/T = 2πν дает число колебаний за 2π секунд.

Обобщенное гармоническое колебание в дифференциальном виде

Графически гармонические колебания можно изображать в виде зависимости x от t (рис.1.1.А), так и методом вращающейся амплитуды (метод векторных диаграмм) (рис.1.1.Б).

Метод вращающейся амплитуды позволяет наглядно представить все параметры, входящие в уравнение гармонических колебаний. Действительно, если вектор амплитуды А расположен под углом φ к оси х (см. Рисунок 1.1. Б), то его проекция на ось х будет равна: x = Acos(φ). Угол φ и есть начальная фаза. Если вектор А привести во вращение с угловой скоростью , равной круговой частоте колебаний, то проекция конца вектора будет перемещаться по оси х и принимать значения, лежащие в пределах от -A до +A, причем координата этой проекции будет меняться со временем по закону:
.
Таким образом, длина вектора равна амплитуде гармонического колебания, направление вектора в начальный момент образует с осью x угол равный начальной фазе колебаний φ, а изменение угла направления от времени равно фазе гармонических колебаний. Время, за которое вектор амплитуды делает один полный оборот, равно периоду Т гармонических колебаний. Число оборотов вектора в секунду равно частоте колебаний ν.

Уравнение гармонического колебания

Уравнение гармонического колебания устанавливает зависимость координаты тела от времени

График косинуса в начальный момент имеет максимальное значение, а график синуса имеет в начальный момент нулевое значение. Если колебание начинаем исследовать из положения равновесия, то колебание будет повторять синусоиду. Если колебание начинаем рассматривать из положения максимального отклонения, то колебание опишет косинус. Или такое колебание можно описать формулой синуса с начальной фазой .

Изменение скорости и ускорения при гармоническом колебании

Не только координата тела изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Но и такие величины, как сила , скорость и ускорение , тоже изменяются аналогично. Сила и ускорение максимальные, когда колеблющееся тело находится в крайних положениях, где смещение максимально, и равны нулю, когда тело проходит через положение равновесия. Скорость, наоборот, в крайних положениях равна нулю, а при прохождении телом положения равновесия - достигает максимального значения.

Если колебание описывать по закону косинуса

Если колебание описывать по закону синуса

Максимальные значения скорости и ускорения

Проанализировав уравнения зависимости v(t) и a(t), можно догадаться, что максимальные значения скорость и ускорение принимают в том случае, когда тригонометрический множитель равен 1 или -1. Определяются по формуле

Гармоническое колебание - явление периодического изменения какой-либо величины, при котором зависимость от аргумента имеет характер функции синуса или косинуса. Например, гармонически колеблется величина, изменяющаяся во времени следующим образом:

где х - значение изменяющейся величины, t - время, остальные параметры - постоянные: А - амплитуда колебаний, ω - циклическая частота колебаний, - полная фаза колебаний, - начальная фаза колебаний.

Обобщенное гармоническое колебание в дифференциальном виде

(Любое нетривиальное решение этого дифференциального уравнения - есть гармоническое колебание с циклической частотой )

Виды колебаний

Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы после того, как система была выведена из положения равновесия. Чтобы свободные колебания были гармоническими, необходимо, чтобы колебательная система была линейной (описывалась линейными уравнениями движения), и в ней отсутствовала диссипация энергии (последняя вызвала бы затухание).

Вынужденные колебания совершаются под воздействием внешней периодической силы. Чтобы они были гармоническими, достаточно чтобы колебательная система была линейной (описывалась линейными уравнениями движения), а внешняя сила сама менялась со временем как гармоническое колебание (то есть чтобы зависимость от времени этой силы была синусоидальной).

Уравнение гармонических колебаний

Уравнение (1)

дает зависимость колеблющейся величины S от времени t; это и есть уравнение свободных гармонических колебаний в явном виде. Однако обычно под уравнением колебаний понимают иную запись этого уравнения, в дифференциальной форме. Возьмем для определенности уравнение (1) в виде

дважды продифференцируем его по времени:

Видно, что выполняется следующее соотношение:

которое и называется уравнением свободных гармонических колебаний (в дифференциальной форме). Уравнение (1) является решением дифференциального уравнения (2). Поскольку уравнение (2) - дифференциальное уравнение второго порядка, необходимы два начальных условия для получения полного решения (то есть определения входящих в уравнение (1) констант A и  ); например, положение и скорость колебательной системы при t = 0.

Математи́ческий ма́ятник - осциллятор, представляющий собой механическую систему, состоящую изматериальной точки, находящейся на невесомой нерастяжимой нити или на невесомом стержне в однородном поле сил тяготения. Период малых собственных колебаний математического маятника длины l неподвижно подвешенного в однородном поле тяжести с ускорением свободного падения g равен

и не зависит от амплитуды и массы маятника.

Физический маятник - осциллятор, представляющий собой твёрдое тело, совершающее колебания в поле каких-либо сил относительно точки, не являющейся центром масс этого тела, или неподвижной оси, перпендикулярной направлению действия сил и не проходящей через центр масс этого тела.

Простейшим видом колебаний являются гармонические колебания - колебания, при которых смещение колеблющейся точки от положения равновесия изменяется с течением времени по закону синуса или косинуса.

Так, при равномерном вращении шарика по окружности его проекция (тень в параллельных лучах света) совершает на вертикальном экране (рис. 1) гармоническое колебательное движение.

Смещение от положения равновесия при гармонических колебаниях описывается уравнением (его называют кинематическим законом гармонического движения) вида:

где х - смешение - величина, характеризующая положение колеблющейся точки в момент времени t относительно положения равновесия и измеряемая расстоянием от положения равновесия до положения точки в заданный момент времени; А - амплитуда колебаний - максимальное смещение тела из положения равновесия; Т - период колебаний - время совершения одного полного колебания; т.е. наименьший промежуток времени, по истечении которого повторяются значения физических величин, характеризующих колебание; - начальная фаза;

Фаза колебании в момент времени t. Фаза колебаний - это аргумент периодической функции, который при заданной амплитуде колебаний определяет состояние колебательной системы (смещение, скорость, ускорение) тела в любой момент времени.

Если в начальный момент времени колеблющаяся точка максимально смещена от положения равновесия, то , а смещение точки от положения равновесия изменяется по закону

Если колеблющаяся точка при находится в положении устойчивого равновесия, то смещение точки от положения равновесия изменяется по закону

Величину V, обратную периоду и равную числу полных колебаний, совершаемых за 1 с, называют частотой колебаний:

Если за время t тело совершает N полных колебаний, то

Величину , показывающую, сколько колебаний совершает тело за с, называют циклической (круговой) частотой .

Кинематический закон гармонического движения можно записать в виде:

Графически зависимость смещения колеблющейся точки от времени изображается косинусоидой (или синусоидой).

На рисунке 2, а представлен график зависимости от времени смещения колеблющейся точки от положения равновесия для случая .

Выясним, как изменяется скорость колеблющейся точки со временем. Для этого найдем производную по времени от этого выражения:

где - амплитуда проекции скорости на ось х.

Эта формула показывает, что при гармонических колебаниях проекция скорости тела на ось х изменяется тоже по гармоническому закону с той же частотой, с другой амплитудой и опережает по фазе смешение на (рис. 2, б).

Для выяснения зависимости ускорения найдем производную по времени от проекции скорости:

где - амплитуда проекции ускорения на ось х.

При гармонических колебаниях проекция ускорения опережает смещение по фазе на к (рис. 2, в).

Аналогично можно построить графики зависимостей