Докажете обратната теорема на Питагора. Урокът "теорем - теоремата на Пиртагор"

Теоремата на Питагор казва:

В правоъгълен триъгълник сумата на квадратите на катетите е равна на квадрата на хипотенузата:

2 + B 2 \u003d C 2,

а. и б. - корени, които образуват прав ъгъл.
от - Триъгълник хипотенуза.

Формули на теорема Pythagora

a \u003d sqrt (c ^ (2) - b ^ (2))
b \u003d sqrt (c ^ (2) - a ^ (2))
c \u003d sqrt (a ^ (2) + b ^ (2))

Доказателство за теоремата Pythagora

Площта на правоъгълния триъгълник се изчислява по формулата:

S \u003d frac (1) (2) ab

За да се изчисли площта на арбитратен триъгълник формула:

пс. - полумер. P \u003d frac (1) (2) (a + b + с), \\ t
r. - Радиус е вписан кръг. За правоъгълник \u003d frac (1) (2) (a + b-c).

След това приравняваме правилните части на двете формули за областта на триъгълника:

FRAC (1) (2) AB \u003d FRAC (1) (2) (A + B + с) FRAC (1) (2) (А + В-С)

2 AB \u003d (A + B + с) (A + B-C)

2 AB \u003d ляво ((a + b) ^ (2) -C ^ (2) вдясно)

2 ab \u003d a ^ (2) + 2AB + b ^ (2) -C ^ (2) \\ t

0 \u003d a ^ (2) + b ^ (2) -C ^ (2)

c ^ (2) \u003d a ^ (2) + b ^ (2)

Pythagorean обратна теорема:

Ако квадрата от едната страна на триъгълника е равна на сумата на квадратите от другите две страни, тогава триъгълникът е правоъгълен. Това е, за всичките три положителни числа а, Б. и ° С., такова

2 + B 2 \u003d C 2,

има правоъгълен триъгълник с митниците а. и б. и хипотенуза ° С..

Питагорова теорема - една от основните теореми на евклидовата геометрия, която създава съотношението между страните на правоъгълия триъгълник. Тя се доказва от учен математик и философ Питагор.

Теорема В това, с помощта си, можете да докажете други теореми и да решавате проблеми.

Допълнителен материал:

Питагорова теорема - една от основните теореми на евклидовата геометрия, създаваща съотношението

между страните на правоъгълия триъгълник.

Смята се, че се доказва от гръцкия математик Питагор, в чест и наречен.

Геометрична формулировка на питагоровата теорема.

Първоначално теоремата е формулирана, както следва:

В правоъгълен триъгълник квадратът на квадрата, изграден върху хипотенузата, е равен на сумата на квадратите на квадратите,

построени върху кетеши.

Алгебрична формулировка на питагоровата теорема.

В правоъгълен триъгълник, квадрата на дължината на хипотенузата е равна на сумата на квадратите на дължината на каретата.

Т.е. обозначава дължината на триъгълника хипотенза ° С.и дължината на катетите а. и б.:

И двете формулировки pythagora Теоремиеквивалент, но втората формулировка е по-елементарна, тя не е така

изисква концепцията за района. Това означава, че второто твърдение може да бъде проверено, нищо не знае за района и

измерване само на дължината на страните на правоъгълния триъгълник.

Pythagorean обратна теорема.

Ако квадрата от едната страна на триъгълника е равна на сумата на квадратите от другите две страни, тогава

триъгълникът е правоъгълен.

Или, с други думи:

За всичките три положителни числа а., б. и ° С., такова

има правоъгълен триъгълник с митниците а. и б.и хипотенуза ° С..

Pythagora теорема за уравнителен триъгълник.

Теорема Pythagora за равностранен триъгълник.

Доказателство за питагоровата теорема.

В момента 367 доказателства за тази теорема бяха записани в научната литература. Вероятно теорема

Питагора е единствената теорема с такъв впечатляващ брой доказателства. Такъв сорт

може да се обясни само по фундаменталната стойност на теоремата на геометрията.

Разбира се, концептуално всички те могат да бъдат разделени на малък брой часове. Най-известните от тях:

доказателство за метод на космоса, аксиоматични и екзотични доказателства (например,

без значение диференциални уравнения).

1. Доказателство за теоремата на Пиртагор чрез такива триъгълници.

Следните доказателства за алгебрична формулировка са най-простите доказателства в строеж.

директно от аксиома. По-специално, той не използва концепцията за фигурата на фигурата.

Нека бъде АВС Има правоъгълен триъгълник с прав ъгъл ° С.. Да прекараме височината на ° С. И означават

неговата фондация чрез Х..

Триъгълник ACH. Като триъгълник AB.В за два ъгъла. По същия начин, триъгълник CBH. като АВС.

Въвеждане на нотация:

получаваме:

какво отговаря на -

Съчетаване а. 2 I. б. 2, получаваме:

или, което се изискваше да докаже.

2. Доказателство за теоремата Pythagore от областта на района.

По-долу, доказателствата, въпреки тяхната привидната простота, не е толкова проста. Всички тях

използвайте свойствата на района, доказателствата за които е по-сложно от доказателството на самата теорема на Pythagora.

Доказателство чрез равнодука.

Поставете четири равни правоъгълни

триъгълник, както е показано на снимката

на дясно.

Quadril със страни ° С. - Квадрат,

тъй като сумата от два остри ъгли от 90 ° и

разположен ъгъл - 180 °.

Площта на цялата фигура е равна на едната ръка,

квадратна площ със страна ( a + B.), а от друга страна, сумата на площта на четири триъгълника и

Q.E.D.

3. Доказателство за теоремата Pythagore по метода на безкрайно малък.

Като се има предвид рисунката, показана на фигурата и

наблюдение на смяна на странатаа., ние можем

запишете следното съотношение за безкрайно

малък стъпки от странаот и а. (Използване на подобие

триъгълници):

Използване на метода за разделяне на променливите, намираме:

По-общ израз за промяна на хипотенузата в случай на увеличаване на двете катети:

Интегриране на това уравнение и използване на първоначалните условия, ние получаваме:

Така стигаме до желания отговор:

Тъй като не е трудно да се види, квадратичната зависимост в крайната формула се появява поради линейното

пропорционалност между страните на триъгълника и стъпки, докато сумата е свързана с независима

депозити от увеличаването на различни катетри.

Може да се получи по-просто доказателство, ако приемем, че един от катедрите не изпитва увеличение

(в този случай catat б.). След това, за постоянната интеграция, получаваме:

Според Van der Varden е много вероятно съотношението като цяло да е известно във Вавилон близо до XVIII век пр. Хр. д.

Приблизително 400 г. пр. Хр. Д. Според сондата Платон дал метода за намиране на Pythagora Trok, съчетаваща алгебра и геометрия. Около 300 г. пр. Хр. д. В "началото на" Евклидея "се появи най-старото аксиоматично доказателство за теоремата Pythagoreo.

Формулиране

Основната формулировка съдържа алгебрични действия - в правоъгълен триъгълник, чиито катетри са равни A (dispresstyle a) и B (displaySyle b)и дължината на хипотензите - C (displessstyle c)Съотношението е завършено:

Възможна е еквивалентна геометрична формулировка, прибягваща до концепцията за област от фигурата: в правоъгълен триъгълник, квадратът на квадрата, изграден върху хипотенузата, е равен на сумата на квадратите на квадратите, изградени върху категориите. В тази форма теоремата е формулирана в началото на евклидея.

Pythagora обратен теорема - одобряване на правоъгълниците на всеки триъгълник, дължината на които са свързани с връзката A 2 + B 2 \u003d C2 (DisplaySyle A ^ (2) + B ^ (2) \u003d C ^ (2)). В резултат на това за всичките три положителни числа A (dispresstyle a), B (displaySyle b) и C (displessstyle c), такова A 2 + B 2 \u003d C2 (DisplaySyle A ^ (2) + B ^ (2) \u003d C ^ (2))Има правоъгълен триъгълник с митниците A (dispresstyle a) и B (displaySyle b) и хипотенуза C (displessstyle c).

Доказателство за

Научната литература отбеляза най-малко 400 доказателства за теоремата Pythagora, която се обяснява като основна стойност за геометрията и елементарността на резултата. Основните направления на доказателствата: алгебричното използване на връзката на триъгълните елементи (като например популярния метод на сходство), метода на пространството, има и различни екзотични доказателства (например, използване на диференциални уравнения).

Чрез такива триъгълници

Класическите доказателства за евклидея са насочени към установяване на равенство между правоъгълниците, образувани от миграцията на квадрата над хипотенурската височина на директния ъгъл с квадрати над митниците.

Дизайнът, използван за доказателството, е следният: за правоъгълен триъгълник с директен ъгъл C (displessstyle c), квадрати над митниците и квадратите над хипотенузата A b i k (displessstyle abik) Построена височина C h (displaySyle ch) и продължавайки лъча си S (displessSyle s), счупване на квадрата над хипотенура с два правоъгълника и. Доказателствата са насочени към установяване на равнопоставеност на правоъгълника A h J k (displessstyle ahjk) Квадрат над катед A c (displessSyle AC)Шпакловка Равенството на площта на втория правоъгълник, съставляващ квадрата над хипотенузата, и правоъгълникът над другата кателка е поставен по същия начин.

Равенство на правоъгълните квадратчета A h J k (displessstyle ahjk) и A c e d (DisplaySyle Aced) Инсталиран чрез конфликт на триъгълниците △ A C K \u200b\u200b(DisplessSley Triangle ACK) и △ A B D (DisplaySley Triangle ABD), площта на всеки от които е равна на половината квадратен квадрат A h J k (displessstyle ahjk) и A c e d (DisplaySyle Aced) Съответно, поради следния имот: триъгълникът е равен на половината от правоъгълната площ, ако цифрите имат обща партия, а височината на триъгълника към общата страна е другата страна на правоъгълника. Spormce на триъгълниците следва от равенството на двете страни (страни на квадратите) и ъгъла между тях (съставен от прав ъгъл и ъгъл в A (dispresstyle a).

Така доказателството установява, че квадратът на квадрата над хипотенузата, съставена от правоъгълници A h J k (displessstyle ahjk) и B h j i (displessstyle bhji)е равна на сумата от квадрати от квадрати над митниците.

Доказателство Леонардо да Винчи

Доказателството на Леонардо да Винчи е намерено в района на площада. Нека правоъгълен триъгълник △ a b c (displaySley триъгълник abc) С директен ъгъл C (displessstyle c) и квадрати A c e d (DisplaySyle Aced), B c f g (displaystyle bcfg) и A b h j (displessstyle abhj) (Виж фигурата). В това доказателство от страна H j (displessstyle hj) Последният отвън е триъгълник, който игмент △ a b c (displaySley триъгълник abc)освен това, отразено както спрямо хипотензията, така и с относително височина на него (т.е. J i \u003d B C (DisplaySyle Ji \u003d BC) и H i \u003d a c (displessstyle hi \u003d AC)). Прав C i (displessstyle ci) прекъсва квадрата, изградена върху хипотенуза на две равни части, тъй като триъгълниците △ a b c (displaySley триъгълник abc) и △ J I (DisplessSley Triangle JHI) равен на сградата. Доказателството установява конфликта на квадрилата C a j i (displessstyle caji) и D a b g (DisplaySyle DABG)Районът на всеки от които се оказва, че е от една страна, равна на сумата на половината от квадратите на квадратите на катехите и площта на оригиналния триъгълник, от друга страна, половин квадрат площад на хипотенузата плюс зоната на оригиналния триъгълник. Общо, половината от квадратите от квадрати над категориите е равна на половината квадрат на квадрата над хипотенузата, която е еквивалентна на геометричната формулировка на теоремата на питагорите.

Доказателство по метода на безкрайно малък

Има няколко доказателства, които прибягват до техниката на диференциалните уравнения. По-специално, Харди се приписва на доказателството, като използва безкрайно малки увеличения на катедрите A (dispresstyle a) и B (displaySyle b) и хипотензи C (displessstyle c)и запазване на приликата с първоначалния правоъгълник, т.е. предоставяне на следните диференциални отношения:

d a d c \u003d c a (dispressyle (frac (da) (dc) \u003d (frac (c) (a))), d b d c \u003d c b (displaysyle (frac (dB) (dc)) \u003d (frac (c) (b))).

Диференциалното уравнение се получава чрез разделяне на променливите c d c \u003d a d a + b d b (dispressyle c dc \u003d a, da + b, dB)чиято интеграция дава съотношението C 2 \u003d A 2 + B 2 + C ON S T (DisplaySyle C ^ (2) \u003d a ^ (2) + b ^ (2) + mathrm (const)). Прилагане на първоначални условия a \u003d b \u003d c \u003d 0 (displaySyle a \u003d b \u003d c \u003d 0) Определя постоянната като 0, което води до изявлението на теоремата.

Квентичната зависимост в крайната формула се появява поради линейната пропорционалност между страните на триъгълника и стъпки, докато количеството е свързано с независими отлагания от увеличаването на различни катетри.

Вариации и обобщения

Подобни геометрични форми от трите страни

Важна геометрична обобщаване на питагоровата теорема даде евклия в "началото", пресичайки квадратите на квадратите отстрани на произволни подобни геометрични фигури: сумата на областите на такива фигури, изградени върху керети, ще бъде равна на площта на Фигурата, подобна на хипотенузата.

Основната идея на това обобщение е, че площта на такава геометрична форма е пропорционална на квадрата на всеки линеен размер и по-специално квадрата на дължината на всяка страна. Следователно, за подобни форми с квадрати A (dispresstyle a), B (displaySyle b) и C (displessstyle c)построени върху обичайни дължини A (dispresstyle a) и B (displaySyle b) и хипотенуза C (displessstyle c) Съответно съотношението е:

A a a 2 \u003d b b 2 \u003d c2 ⇒ A + B \u003d А2С2С + В2С2С (DisplaySyle (Frac (A) (A ^ (2))) \u003d (FRAC (B) (B) ^ (2))) \u003d (frac (c) (c ^ (2))), дясното, a + b \u003d (frac (a ^ (2)) (c ^ (2)) c + (Frac (b ^ (2)) (c ^ (2)) в).

Тъй като теоремата на Питагора A 2 + B 2 \u003d C2 (DisplaySyle A ^ (2) + B ^ (2) \u003d C ^ (2))след това се изпълнява.

В допълнение, ако е възможно да се докаже, без да привлича теоремата Pythagora, че за районите с три подобни геометрични фигури отстрани на правоъгълния триъгълник се извършва съотношението A + b \u003d c (displaysyle a + b \u003d c), Използвайки обратен ход на доказателството за обобщаването на евклидея, може да се получи доказателството на теоремата Pythagora. Например, ако върху хипотенузата за изграждане на съотношение първоначално правоъгълно триъгълно пространство C (displessstyle c)и по категории - два подобни правоъгълни триъгълника с квадрати A (dispresstyle a) и B (displaySyle b)Оказва се, че триъгълниците върху килери се формират в резултат на разделяне на първоначалния триъгълник на височината му, т.е. сумата от две по-малки триъгълници е равна на площта на третата, така че A + b \u003d c (displaysyle a + b \u003d c) И, прилагане на съотношението за такива цифри, се показва теоремата Pythagora.

Косинус теорема

Теоремата Pythagoreo е специален случай на по-общ косинус теорема, който свързва дължините на страните в произволен триъгълник:

a 2 + b 2 - 2 a b cos \u2061 θ \u003d c 2 (displaySyle a ^ (2) + b ^ (2) -2AB] COS (ETA) \u003d C ^ (2)),

където - ъгълът между страните A (dispresstyle a) и B (displaySyle b). Ако ъгълът е 90 °, тогава cos \u2061 θ \u003d 0 (displessSley cos eta \u003d 0)И формулата е опростена за обичайната теорема за Pythagoreo.

Произволен триъгълник

Налице е обобщение на теоремата Pythagora на произволен триъгълник, който работи изключително от съотношението на дължините на страните, се смята, че то е създадено първо от Sabi Astronomer Sabit Ibn Kury. В него за произволен триъгълник със страните, подравнен триъгълник се вписва в нея с основата от страната C (displessstyle c), връх, който съвпада с горната част на оригиналния триъгълник, обратната страна C (displessstyle c) и ъгли в основата, равна на ъгъла θ (displessstyle theta), обратната страна C (displessstyle c). В резултат на това се формират два триъгълника, подобни на оригинала: първата - със страните A (dispresstyle a), дългогодишната страна на страничните страни, вписани от издигнат триъгълник и R (displessstyle r) - Части за части C (displessstyle c)Шпакловка Вторият е симетрично за него от страна B (displaySyle b) отстрани S (displessSyle s) - съответната част от частта C (displessstyle c). В резултат на това връзката: връзка:

А2 + В2 \u003d С (R + S) (DisplaySyle A ^ (2) + B ^ (2) \u003d С (R + S)),

дегенерират в теоремата на Pythagora с θ \u003d π / 2 (displaySyle] thata \u003d pi / 2). Съотношението е следствие от приликата на формираните триъгълници:

Ca \u003d AR, CB \u003d BS ⇒ CR + CS \u003d A 2 + B 2 (DisplaySyle (FRAC (C) (A)) \u003d (FRAC (A) (R)), (FRAC (C), (FRAC (с)), \\ t б)) \u003d (frac (b) (и)), дясно, CR + cs \u003d a ^ (2) + b ^ (2)).

Pappa теорема на квадрати

Геометрия на Невклидова

Теоремата Pythagoreo е получена от аксиома на евклидовата геометрия и е невалидна за геометрия на не-дете - прилагането на питагоровата теорема е еквивалентно на постулат на евклидея на паралелизма.

В геометрията на не-дете съотношението между страните на правоъгълия триъгълник ще бъде задължително във формата, различна от питагеровата теорема. Например, в сферична геометрия, трите страни на правоъгълен триъгълник, които ограничават самолета на една сфера, имат дължина π / 2 (displessstyle pi / 2)което противоречи на питагоровата теорема.

В този случай, теоремата Pythagora е валидна при хиперболична и елиптична геометрия, ако изискването на правоъгълника на триъгълника се заменя с условието, че сумата от два триъгълни ъгли трябва да бъде равна на третата.

Сферична геометрия

За всеки правоъгълен триъгълник в сферата на радиуса R (displessstyle r) (например, ако ъгълът в триъгълника е прав) със страните A, B, C (DisplaySyle A, B, C) Съотношението между страните има формата:

Cos \u2061 (c r) \u003d cos \u2061 (a r) ⋅ cos \u2061 (b r) (displaysyle] cos zaul ((frac (c) (r)) вдясно) \u003d cos \\ t (R)) вдясно) ccot cos old ((frac (b) (r))).

Това равенство може да бъде получено като специален случай на сферичната теорема за косин, която е валидна за всички сферични триъгълници:

Cos \u2061 (c r) \u003d cos \u2061 (a r) ⋅ cos \u2061 (b r) + sin \u2061 (a r) ⋅ sin \u2061 (b r) ⋅ cos \u2061 γ (displaySyle] cos left (()) \\ t ) Вдясно) \u003d cos left ((frac (a) (r)) вдясно) ccot icos zaul ((frac (b) (r)) вдясно) + \\ t Frac (a) (r)) дясно) cdot греха наляво ((frac (b) (r)) дясно) ccot \\ t. Ch \u2061 c \u003d ch \u2061 a ⋅ ch \u2061 b (DisplaySyle \\ t,

където Ch (displessstyle оператор (ch)) - хиперболичен косинус. Тази формула е специален случай на хиперболична косинус теорема, която е валидна за всички триъгълници:

СН \u2061 c \u003d ch \u2061 a ⋅ ch \u2061 b - sh \u2061 a ⋅ sh \u2061 b ⋅ cos \u2061 γ (DisplaySyle операторNAME (CH) c \u003d водеща база (CH) CDOT операторNAME (CH) B- \\ t (Sh) ccot операторNAME (sH) b cdot cos \\ t,

където γ (displessstyle gamma) - ъгъл, чийто връх е обратното на страната C (displessstyle c).

Използване на серия от Тейлър за хиперболичен косинус ( Ch \u2061 x ≈ 1 + x 2/2 (DisplaySyle операторNAME (CH) x прибл 1 + x ^ (2) / 2)) Може да се покаже, че ако хиперболичният триъгълник намалява (т.е. кога A (dispresstyle a), B (displaySyle b) и C (displessstyle c) Те се стремят към нула), след това хиперболичните отношения в правоъгълен триъгълник се приближават към съотношението на теоремата на класическата питагор.

Приложение

Разстояние в двуизмерни правоъгълни системи

Най-важната употреба на теоремата Pythagora е определянето на разстоянието между две точки в правоъгълната координатна система: разстояние S (displessSyle s) между точките с координати (A, b) (displaySyle (a, b)) и (C, d) (dispresstyle (c, d)) по равно:

S \u003d (A - с) 2 + (B - D) 2 (DisplaySyle S \u003d (SQRT ((A-C) ^ (2) + (B - D) ^ (2)))).

За сложни номера, теоремата Pythagorea дава естествена формула за намиране на сложен интегриран модул - за z \u003d x + y i (displaySyle z \u003d x + yi) Това е равно на дължината

Предмет: Теорема, обратната теорема Питагора.

Цели Урок: 1) разгледа теоремата обратната питагора; използването му в процеса на решаване на проблеми; Фиксирайте теоремата на Pythagora и подобрете уменията за решаване на проблеми за неговото използване;

2) Разработване на логическо мислене, творческо търсене, когнитивен интерес;

3) Създайте ученици с отговорно отношение към ученията, културата на математическата реч.

Вид на урока. Урок засилване на нови знания.

По време на класовете

І. Организиране на времето

ІІ. Актуализация Знание

Урок меби билоискахзапочнете с Quatrain.

Да, пътят на знанието не се радва

Но ние знаем от учебните години,

Загадки повече от въображението

И няма търсене на лимита!

Така че, в миналото, урокът научихте теоремата на Пиртагор. Въпроси:

Теоремата Pythagora е валидна за коя фигура?

Какъв триъгълник се нарича правоъгълна?

Формулирайте теоремата на Пиртагор.

Как ще бъде написана теоремата Pythagora за всеки триъгълник?

Какви триъгълници се наричат \u200b\u200bравни?

Думите на знаците на равенството на триъгълниците?

И сега ще прекараме малка независима работа:

Решаване на задачи според рисунките.

№1

(1 b.) Намерете: AV.

№2

(1 b.) Намерете: Sun.

№3

( 2 б.)Намерете: AC.

№4

(1 b.)Намерете: AC.

№5 Дано: ABC.Д. Ромб

(2 b.) AV \u003d 13 cm

AC \u003d 10 cm

Открий вД.

Самостоятелен номер 1. пет

№2. 5

№3. 16

№4. 13

№5. 24

ІІІ. Проучване Нов материал.

Древните египтяни построиха прав ъгли на земята по този начин: те споделиха бурлата на 12 равни части, краищата бяха свързани, след което въжето беше опъната така насам, така че да се формира триъгълник с партита 3, 4 и 5 дивизии . Ъгълът на триъгълника, който лежеше срещу страната с 5 дивизии, беше прав.

Можете ли да обясните коректността на това решение?

В резултат на търсенето на отговор на въпроса, учениците трябва да разберат, че от математическа гледна точка въпросът е определен: дали триъгълникът е правоъгълен.

Ние поставяме проблема: как, без да правим измервания, определете дали триъгълникът с посочените страни е правоъгълен. Решението на този проблем е целта на урока.

Запишете урока за тема.

Теорема. Ако сумата на квадратите от двете страни на триъгълника е равна на квадрата на третата страна, тогава такъв триъгълник е правоъгълен.

Самостоятелно доказват теорема (компилирайте план за доказване на учебника).

От тази теорема следва, че триъгълникът със страните 3, 4, 5 е правоъгълен (египетски).

Като цяло, числата, за които се извършва равенство , Обадете се на Pythagora Troika. И триъгълниците, дължините на страните от които се изразяват от войските на Питагора (6, 8, 10), - триъгълници на Питагора.

Закрепване.

Като , след това триъгълникът със страните 12, 13, 5 не е правоъгълен.

Като , след това триъгълникът със страните 1, 5, 6 е правоъгълен.

№ 430 (A, B, B)

( - не е)

Цели Урок:

Образование: формулиране и доказване на теоремата на Питагора и теорема, обратната теорема за питагрео. Показват своето историческо и практическо значение.

Разработване: Разработване на внимание, памет, логично мислене на учениците, способността да се разсъждават, сравняват, да се правят заключения.

Нагряване: Да се \u200b\u200bобразоват интереса и любовта към темата, точността, способността да слушате другари и учители.

Оборудване: Портрет на Питагора, плакати със задачи за консолидация, учебник "Геометрия" 7-9 Класове (I.F. Sharygin).

План на урока:

I. Организационен момент - 1 мин.

II. Проверка на домашното - 7 мин.

III. Встъпителна дума на учителя, историческа справка - 4-5 минути.

IV. Текстът и доказателството за теоремата на Питагор е 7 минути.

V. Текстът и доказателството на теоремата, обратната теорема на Питагора - 5 мин.

Закрепване на нов материал:

а) перорален - 5-6 минути.
б) Писане - 7-10 минути.

VII. Домашна работа - 1 мин.

VIII. Обобщаване на урока - 3 мин.

По време на класовете

I. Организационен момент.

II. Проверете домашното.

стр.7.1, № 3 (на дъските на готовия чертеж).

Състояние: Височината на правоъгълния триъгълник разделя хипотенузата на сегментите с дължина 1 и 2. Намерете катерещите от този триъгълник.

BC \u003d A; Ca \u003d B; Ba \u003d C; BD \u003d a 1; Da \u003d B 1; CD \u003d H c

Допълнителен въпрос: Напишете връзки в правоъгълен триъгълник.

стр.7.1, № 5. Нарежете правоъгълния триъгълник до три подобни триъгълника.

Обяснете.

Asn ~ abc ~ sn

(насочете вниманието на учениците до коректността на записа на съответните върхове на такива триъгълници)

III. Въвеждащата дума на учителя, историческа справка.

Постоянната истина ще бъде, веднага щом слаб човек я знае!

И сега теоремата на Питагора е вярна, както в далечната си възраст.

Не случайно започнах урока си от думите на германския писател-писател Шамиса. Нашият урок днес е посветен на теоремата Pythagora. Пишем темата на урока.

Пред вас, портрет на великия питагорейски. Роден в 576 г. пр. Хр. Като е живял 80 години, умира през 496 до нашата епоха. Известен като древен гръцки философ и учител. Той беше син на търговец на менарх, който го взе често на пътуванията си, благодарение на който момчето имаше любознание и желанието да знаят новия. Питагор е прякор, даден за красноречието ("Питагор" означава "Аз съм убедителна реч"). Самият той не пише нищо. Всичките му мисли записаха учениците си. В резултат на първата лекция Питагора придоби 2000 студенти, които заедно със съпругите и децата си са формирали огромно училище и създадоха държава, наречена "голяма Гърция", която се основава на законите и правилата на Питагора, почитани като божествени Заповеди. Той беше първият, който извика разсъжденията му за смисъла на живота на философията (Любоматрий). Беше склонен към мистификация и демонстрация в поведение. Веднъж, Питагор се крие под земята и всичко се случваше от майката. След това изсъхна като скелет, той заяви в събранието на народа, което беше в Аида и показа невероятно осъзнаване на земните събития. Защото този засегнат жители го познаха от Бога. Питагор никога не плака и обикновено не е достъпен от страсти и вълнение. Вярваше, че идва от семето, най-доброто сравнително с човека. Целият живот на Питагора е легенда, която дойде в нашето време и ни разказа за талантливия човек на древния свят.

IV. Формулировката и доказателството за теоремата Pythagoreo.

Формулирането на теоремата Pythagore ви е известно от хода на алгебра. Нека го помним.

В правоъгълен триъгълник квадратът на хипотенузата е равен на сумата на квадратите на катетите.

Въпреки това, тази теорема знаеше много години преди Питагора. В продължение на 1500 години преди Пипхагора, древните египтяни знаеха, че триъгълникът със страните 3, 4 и 5 е правоъгълен и използвал този имот за изграждане на директни ъгли при планиране на парцели и сгради. В най-древните времена за нас, китайското математическо-астрономическо есе на "Zhiu-Bi", написано през 600 години преди Питагора, наред с други предложения, свързани с правоъгълния триъгълник, съдържа теоремата на Питагора. По-рано, този теореем е известен на индус. Така Питагор не е отворил това свойство на правоъгълен триъгълник, той вероятно е успял да го обобщи и да го докаже, да го преведе от практиката на практикуване на науката.

С дълбока античност на математиката се откриват все повече доказателства за теоремата Pythagoreo. Те са известни повече от една и половина сто. Нека си спомним алгебричното доказателство за теоремата Pythagora, известно ни от хода на алгебра. ("Математика. Algebra. Функции. Анализ на данни" G.V. Dorofeev, M., "Drop", 2000 g).

Предложете на учениците да си спомнят доказателство до чертежа и да го напишат на дъската.

(a + b) 2 \u003d 4 · 1/2 a * b + c 2 b a

a 2 + 2A * B + B 2 \u003d 2A * B + C 2

a 2 + b 2 \u003d c 2 a a b

Древните индианци, които притежават това разсъждение, обикновено не са записани и придружават чертежа само с една дума: "Виж".

Помислете за съвременното представяне едно от доказателствата, принадлежащи към Питагора. В началото на урока си спомнихме теоремата за съотношенията в правоъгълен триъгълник:

h 2 \u003d A 1 * B 1 A 2 \u003d A 1 * с B 2 \u003d B 1 *

Преместване на скорошното ново равенство:

b 2 + A 2 \u003d B 1 * C + A 1 * C \u003d (В1 + А1) * С1 \u003d С * С \u003d С2; 2 + B 2 \u003d C 2

Въпреки привидната простота на тези доказателства, тя далеч от най-простите. В края на краищата, за това беше необходимо да се прекара височина в правоъгълен триъгълник и да се разгледа такива триъгълници. Запишете, моля, това е доказателство в тетрадката.

V. Формулировката и доказателството за теоремата, питагорската обратна теорема.

И какъв теорем се нарича обратното на това? (... ако състоянието и заключението се променят местата.)

Нека сега се опитаме да формулираме теорема, обратната теорема за Pythagoreo.

Ако триъгълникът със страните А, В и С се извършва с равенството С2 \u003d А2 + В2, тогава този триъгълник е правоъгълен и правият ъгъл се противопоставя на страната с.

(Доказателство за обратната теорема на плаката)

ABC, Sun \u003d A,

AC \u003d b, Va \u003d s.

2 + B 2 \u003d C 2

Докажи

ABC - правоъгълна,

Доказателство:

Помислете за правоъгълен триъгълник А 1 в 1 С1,

където от 1 \u003d 90 °, и 1 s 1 \u003d А, и 1 s 1 \u003d b.

След това, според теоремата Pytagora в 1 A 1 2 \u003d A 2 + B 2 \u003d С2.

Това е, в 1 A 1 \u003d С 1 в 1 C 1 \u003d ABC за три партии ABC - правоъгълна

C \u003d 90 °, което се изискваше да докаже.

VI. Фиксиране на изследвания материал (орално).

1. На плакат с готови чертежи.

Фиг.1: Намерете рекламата IF CD \u003d 8, Va \u003d 30 °.

Фиг.2: Намерете компактдиска, ако ние \u003d 5, Way \u003d 45 °.

Фиг.3: Намерете Vd, ако SUN \u003d 17, AD \u003d 16.

2. Дали триъгълникът е израснал, ако страните са изразени по брой:


5 2 + 6 2? 7 2 (Не)	9 2 + 12 2 \u003d 15 2 (да)	15 2 + 20 2 \u003d 25 2 (да)

Какви са първите трима числа в последните два случая? (Pythagoras).

VI. Решаване на задачи (писане).

№ 9. Страната на равностранения триъгълник е равна на a. Намерете височината на този триъгълник, описаният радиус на кръга, радиусът на вписания кръг.

№ 14. Докажете, че в правоъгълен триъгълник радиусът на описаната обиколка е равен на медианата, проведена в хипотенузата и е равна на половината хипотенуза.

VII. Домашна работа.

Параграф 7.1, стр. 175-177, разглобяват теорема 7.4 (обобщена Pythagora теорема), № 1 (орално), № 2, № 4.

VIII. Резултатите от урока.

Какво ново знаехте днес в урока? ............

Питагор е преди всичко философ. Сега искам да прочета няколко от неговите проверки, подходящи и в нашето време за нас с вас.

Не отглеждайте прах върху живота път.
Направете точно това по-късно не ви разстройва и няма да се побере.
Не правете това, което не знаете, но научете какво трябва да знаете, и тогава ще доведете тиха живот.
Не затваряйте очите си, когато искам да спя, не повдигайте всичките ви действия последния ден.
Вземете да живеете само и без лукс.