Уравнение на права линия в сегменти

Нека се даде общото уравнение на правата линия:

Уравнение на права линия в сегменти, където са отсечките, които се отрязват от правата линия по съответните координатни оси.

Построете права линия, дадена от общото уравнение:

От което можете да построите уравнението на тази права линия на сегменти:

Взаимно подреждане на прави линии върху равнина.

Изявление 1.

За правите линии и дадени от уравненията:

Съвпаднало е необходимо и достатъчно, че:

Доказателство: и съвпадат, техните вектори на посоката и са колинеарни, т.е.:

Вземете точка М 0 по тези линии, след което:

Умножавайки първото уравнение по и добавяйки към второто по силата на (2), получаваме:

Така че формулите (2), (3) и (4) са еквивалентни. Нека (2) е изпълнено, тогава уравненията на системата (*) са еквивалентни; съответните прави линии съвпадат.

Изявление 2.

Правите линии и дадени от уравненията (*) са успоредни и не съвпадат, ако и само ако:

доказателство:

Дори и да не съвпадат:

Непоследователно, т.е. според теоремата на Кронекер-Капели:

Това е възможно само ако:

Тоест при условие (5).

Когато първото равенство (5) е изпълнено, - неизпълнението на второто равенство дава несъвместимост на системата (*), правите са успоредни и не съвпадат.

Забележка 1.

Полярна координатна система.

Фиксираме точка на равнината и я наричаме полюс. Лъчът, който излиза от полюса, ще се нарича полярна ос.

Нека изберем скала за измерване на дължините на сегментите и се съгласим, че въртенето около m обратно на часовниковата стрелка ще се счита за положително. Разгледайте всяка точка от дадена равнина, означете с нейното разстояние до полюса и я наречете полярен радиус. Ъгълът, с който трябва да завъртите полярната ос, така че да съвпада, ще бъде обозначен с и наречен полярен ъгъл.

Определение 3.

Полярните координати на точка се наричат ​​нейния полярен радиус и полярен ъгъл:

Забележка 2. на полюса. Стойността за точки, различни от точка, се определя до сбор.

Помислете за декартова правоъгълна координатна система: полюсът съвпада с началото, а полярната ос съвпада с положителната полуос. Тук. Тогава:

Каква е връзката между правоъгълната декартова и полярната координатна система.

Лемнискатно уравнение на Бернули. Запишете го в полярна координатна система.

Нормално уравнение на права линия върху равнина. Нека полярната ос съвпада с, - оста, минаваща през началото. Позволявам:

Нека тогава:

Условие (**) за точка:

Уравнение на права линия в полярна координатна система.

Ето дължината, изтеглена от началото до права линия, е ъгълът на наклон на нормалата към оста.

Уравнение (7) може да се пренапише:

Нормално уравнение на права линия върху равнина.

Нека е дадена някаква афинна координатна система OXY.

Теорема 2.1.Всяко право лкоординатна система ОX е дадена от линейно уравнение от вида

А х+ Б г+ C = O, (1)

където А, В, С R и А 2 + В 2 0. Обратно, всяко уравнение от вида (1) дефинира права линия.

Уравнение от вида (1) - общо уравнение на правата .

Нека в уравнение (1) всички коефициенти A, B и C са различни от нула. Тогава

Ax-By = -C и.

Да обозначим -C / A = a, -C / B = b. Получаваме

-уравнение на линейния сегмент .

Наистина, числата | a | и | b | посочете стойностите на сегментите, отрязани от правата линия лпо осите OX и OY, съответно.

Нека бъде направо лсе дава от общото уравнение (1) в правоъгълна координатна система и нека точките M 1 (x 1, y 1) и M 2 (x 2, y 2) принадлежат на л... Тогава

А х 1 + B в 1 + C = A х 2 + B в 2 + C, тоест A ( х 1 -х 2) + B ( в 1 -в 2) = 0.

Последното равенство означава, че векторът = (A, B) е ортогонален на вектора = (x 1 -x 2, y 1 -y 2). тези. Векторът (A, B) се нарича нормален вектор на правата l.

Да разгледаме вектор = (- B, A). Тогава

A (-B) + BA = 0. тези. ^

Следователно векторът = (- B, A) е насочващият вектор на лютото л.

Параметрични и канонични уравнения на права линия

Уравнение на права линия, минаваща през две дадени точки

Нека в афинната координатна система (0, X, Y) е дадена права линия л, неговия вектор на посока = (m, n) и точка M 0 ( х 0 ,г 0) притежавани л... Тогава за произволна точка M ( х,в) от този ред имаме

и така как .

Ако означим и

Радиус векторите на точките M и M 0, съответно, тогава

- уравнение на права линия във векторна форма.

Тъй като = ( х,в), =(х 0 ,в 0), тогава

х= х 0 + mt,

г= г 0 + nt

- параметрично уравнение на права линия .

Оттук следва, че

- канонично уравнение на правата .

И накрая, ако е по права линия лдве точки M 1 ( х 1 ,в 1) и

M 2 ( х 2 ,в 2), тогава вектор = ( х 2 -х 1 ,г 2 -в 1) е насочване векторна права линия л... Тогава

- уравнение на права линия, минаваща през две дадени точки.

Относителното положение на две прави линии.

Нека правите линии л 1 и л 2 са дадени от техните общи уравнения

л 1: А 1 х+ B 1 в+ С 1 = 0, (1)

л 2: А 2 х+ B 2 в+ C 2 = 0.

Теорема... Нека правите линии л 1 и л 2 са дадени от уравнения (1). Тогава и само тогава:

1) прави се пресичат, когато няма число λ такова, че

A 1 = λA 2, B 1 = λB 2;

2) линиите съвпадат, когато има число λ такова, че

А 1 = λA 2, B 1 = λB 2, С 1 = λС 2;

3) линиите са различни и успоредни, когато има число λ такова, че

А 1 = λA 2, В 1 = λВ 2, С 1 λС 2.

Пакет от прави линии

Куп прави линии се нарича множеството от всички прави в равнината, минаващи през точка, наречена център лъч.

За да зададете уравнението на гредата, достатъчно е да знаете всякакви две прави линии л 1 и л 2, преминаващ през центъра на лъча.

Нека в афинната координатна система правите л 1 и л 2 са дадени от уравненията

л 1: А 1 х+ B 1 г+ C 1 = 0,

л 2: А 2 х+ B 2 г+ C 2 = 0.

уравнението:

А 1 х+ B 1 г+ C + λ (A 2 х+ B 2 г+ C) = 0

- уравнението на молива на правите линии, определено от уравненията l 1 и l 2.

По-нататък под координатна система имаме предвид правоъгълна координатна система .

Условия за успоредност и перпендикулярност на две прави

Нека правите линии л 1 и л 2. техните общи уравнения; = (A 1, B 1), = (A 2, B 2) - нормални вектори на тези линии; к 1 = tgα 1, к 2 = tgα 2 - наклони; = ( м 1 ,н 1), (м 2 ,н 2) - вектори на посоката. След това направо л 1 и л 2 са успоредни, ако и само ако е изпълнено едно от следните условия:

или едно от двете к 1 =к 2 или.

Нека правите линии сега л 1 и л 2 са перпендикулярни. Тогава, очевидно, тоест A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0.

Ако прави л 1 и л 2 са дадени от уравненията

л 1: в=к 1 х+ б 1 ,

л 2: в=к 2 х+ б 2 ,

тогава tgα 2 = tg (90º + α) = .

Оттук следва, че

И накрая, ако и векторите на посоката на прави линии, то ^, т.е.

м 1 м 2 + н 1 н 2 = 0

Последните отношения изразяват необходимото и достатъчно условие за перпендикулярност на две равнини.

Ъгъл между две прави линии

Под ъгъл φ между две прави л 1 и л 2 ще разберем най-малкия ъгъл, през който една права линия трябва да се завърти, така че да стане успоредна на друга права линия или да съвпада с нея, тоест 0 £ φ £

Нека правите са дадени от общи уравнения. Очевидно е, че

cosφ =

Нека правите линии сега л 1 и л 2 е дадено от уравнения с коефициенти на наклон к 1 инч к 2 съответно. Тогава

Очевидно е, че ( х-х 0) + B ( в-в 0) + C ( z-z 0) = 0

Нека разширим скобите и означим D = -A х 0 - Б в 0 - C z 0 Получаваме

А х+ Б г+ C z+ D = 0 (*)

- общо уравнение на равнинатаили общо уравнение на равнината.

Теорема 3.1Линейното уравнение (*) (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) е уравнението на равнината и обратно, всяко уравнение на равнината е линейно.

1) D = 0, тогава равнината минава през началото.

2) A = 0, тогава равнината е успоредна на оста OX

3) A = 0, B = 0, тогава равнината е успоредна на равнината OXY.

Нека всички коефициенти в уравнението са различни от нула.

- равнинно уравнение в отсечки... Числата | a |, | b |, | c | посочете стойностите на линейните сегменти, отрязани от равнината по координатните оси.

И ние ще анализираме подробно специална форма на уравнението на правата линия -. Нека започнем с формата на уравнението на права линия в сегменти и да дадем пример. След това ще се съсредоточим върху изграждането на права линия, която се дава от уравнението на права линия в сегменти. В заключение показваме как се осъществява преходът от пълното общо уравнение на права линия към уравнението на права линия в сегменти.

Навигация в страницата.

Уравнение на права линия в отсечки - описание и пример.

Нека Oxy да бъде фиксиран върху самолета.

Уравнение на права линия в сегментина равнина в правоъгълна координатна система Oxy има формата, където a и b са някои ненулеви реални числа.

Не случайно уравнението на права линия в сегменти получи такова име - абсолютните стойности на числата a и b са равни на дължините на сегментите, които са отрязани от правата линия на координатните оси Ox и Oy, като се брои от произхода.

Нека изясним тази точка. Знаем, че координатите на всяка точка от права линия удовлетворяват уравнението на тази права линия. Тогава ясно се вижда, че правата, дадена от уравнението на правата линия в отсечките, минава през точките и тъй като и ... И точките и са точно разположени на координатните оси Ox и Oy, съответно, и са отстранени от началото с a и b единици. Знаците за числата a и b показват посоката, в която трябва да бъдат положени отсечките. Знакът „+“ означава, че сегментът е разположен в положителната посока на координатната ос, знакът „-“ означава обратното.

Нека нарисуваме схематичен чертеж, обясняващ всичко по-горе. Показва местоположението на прави линии спрямо фиксирана правоъгълна координатна система Oxy, в зависимост от стойностите на числата a и b в уравнението на права линия в сегменти.

Сега стана ясно, че уравнението на права линия в сегменти улеснява конструирането на тази права линия в правоъгълна координатна система Oxy. За да построите права линия, която се дава от уравнението на права линия в сегменти на изгледа, трябва да маркирате точки в правоъгълна координатна система на равнината и след това да ги свържете с права линия с помощта на линийка.

Нека дадем пример.

Пример.

Начертайте права линия, определена от уравнението на права линия в сегменти на изглед.

Решение.

От даденото уравнение на правата в отсечките се вижда, че правата минава през точките ... Маркираме ги и ги свързваме с права линия.

Свеждане на общото уравнение на права линия до уравнението на права на отсечки.

При решаване на някои задачи, свързани с права линия на равнина, е удобно да се работи с уравнението на правата на отсечки. Има обаче и други видове уравнения, които определят права линия върху равнина. Следователно е необходимо да се извърши преходът от дадено уравнение на права линия към уравнение на тази права линия на сегменти.

В този подраздел ще покажем как да получим уравнението на права линия на сегменти, ако е дадено пълно общо уравнение на права линия.

Нека знаем пълното общо уравнение на права линия в равнината ... Тъй като A, B и C не са равни на нула, можете да прехвърлите числото C в дясната страна на равенството, да разделите двете страни на полученото равенство на –C и да изпратите коефициентите за x и y към знаменателите:
.

(При последния преход използвахме равенството ).

Значи сме от общото уравнение на правата линия преминава към уравнението на права на отсечки, където .

Пример.

Права линия в правоъгълна координатна система Oxy се дава от уравнението ... Напишете уравнението на тази права в отсечки.

Решение.

Нека прехвърлим една секунда в дясната страна на даденото равенство: ... Сега нека разделим полученото равенство на двете части: ... Остава да трансформираме полученото равенство в желаната форма: ... Така получихме необходимото уравнение на права линия в сегменти.

Отговор:

Ако правата линия е определена

Ако в общото уравнение на правата линия Ax + Vy + C = 0 C ¹ 0, тогава, разделяйки на –C, получаваме: или

Геометричното значение на коефициентите е, че коефициентът ае координатата на пресечната точка на правата линия с оста Ox, и б- координатата на пресечната точка на правата линия с оста Oy.

Пример. Дадено е общото уравнение на правата x - y + 1 = 0. Намерете уравнението на тази права на отсечки.

C = 1, a = -1, b = 1.

Нормално уравнение на права линия.

Ако двете страни на уравнението Ax + Vy + C = 0 се разделят на число, наречено нормализиращ фактор, тогава получаваме

Xcosj + ysinj - p = 0 -

нормално уравнение на права линия.

Знакът ± на нормализиращия фактор трябва да бъде избран така, че m × С< 0.

p е дължината на перпендикуляра, спуснат от началото към правата линия, а j е ъгълът, образуван от този перпендикуляр с положителната посока на оста Ox.

Пример. Дадено е общо уравнение на правата 12x - 5y - 65 = 0. Необходимо е да се напишат различни видове уравнения на тази права линия.

уравнението на тази права линия в сегменти:

уравнение на тази права линия с наклон: (разделете на 5)

нормално уравнение на правата:

; cosj = 12/13; sinj = -5/13; р = 5.

Трябва да се отбележи, че не всяка права линия може да бъде представена с уравнение на сегменти, например прави линии, успоредни на осите или минаващи през началото.

Пример. Правата линия отрязва равни положителни отсечки по координатните оси. Направете уравнение на права линия, ако площта на триъгълника, образуван от тези сегменти, е 8 cm 2.

Правото уравнение има вида: a = b = 1; ab / 2 = 8; а = 4; -4.

a = -4 не съответства на формулировката на проблема.

Общо: или x + y - 4 = 0.

Пример. Начертайте уравнението на правата линия, минаваща през точка А (-2, -3) и началото.

Праволинейното уравнение има вида:, където x 1 = y 1 = 0; х 2 = -2; y 2 = -3.

Уравнение на права линия, минаваща през дадена точка

Перпендикулярно на дадената права.

Определение.Правата линия, минаваща през точка M 1 (x 1, y 1) и перпендикулярна на правата линия y = kx + b, се представя с уравнението:

Ъгълът между правите в равнината.

Определение.Ако са дадени две прави линии y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, тогава острият ъгъл между тези прави линии ще бъде определен като

Две прави линии са успоредни, ако k 1 = k 2.

Две прави линии са перпендикулярни, ако k 1 = -1 / k 2.

Теорема. Правите Ax + Vy + C = 0 и A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 са успоредни, когато пропорционалните коефициенти A 1 = lA, B 1 = lB. Ако и С 1 = lС, тогава линиите съвпадат.

Координатите на пресечната точка на две прави линии се намират като решение на системата от уравнения на тези прави.

Разстояние от точка до линия.

Теорема. Ако е дадена точка M (x 0, y 0), тогава разстоянието до правата линия Ax + Vy + C = 0 се определя като

Доказателство.Нека точка M 1 (x 1, y 1) е основата на перпендикуляра, спуснат от точка M върху дадена права линия. Тогава разстоянието между точките M и M 1:

Координатите x 1 и y 1 могат да бъдат намерени като решение на системата от уравнения:

Второто уравнение на системата е уравнението на права линия, минаваща през дадена точка M 0 перпендикулярно на дадена права линия.

Ако трансформираме първото уравнение на системата във вида:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

тогава, решавайки, получаваме:

Замествайки тези изрази в уравнение (1), намираме:

Теоремата е доказана.

Пример . Определете ъгъла между правите: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k1 = -3; k 2 = 2 tgj =; j = p / 4.

Пример. Покажете, че правите 3x - 5y + 7 = 0 и 10x + 6y - 3 = 0 са перпендикулярни.

Откриваме: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, следователно правите линии са перпендикулярни.

Пример. Дадени са върховете на триъгълника A (0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Намерете уравнението за височината, изтеглена от връх C.

Намираме уравнението на страната AB:; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

Необходимото уравнение за височина е: Ax + By + C = 0 или y = kx + b.

k =. Тогава y =. Защото височина минава през точка C, тогава нейните координати удовлетворяват това уравнение: откъдето b = 17. Общо:.

Отговор: 3x + 2y - 34 = 0.

Криви от втори ред.

Кривата от втори ред може да бъде дадена от уравнението

Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0.

Има координатна система (не е задължително правоъгълна декартова), в която това уравнение може да бъде представено в една от формите по-долу.

1) - уравнението на елипсата.

2) - уравнението на "въображаемата" елипса.

3) - уравнението на хиперболата.

4) a 2 x 2 - c 2 y 2 = 0 - уравнението на две пресичащи се прави.

5) y 2 = 2px - параболно уравнение.

6) y 2 - a 2 = 0 е уравнението на две успоредни прави.

7) y 2 + a 2 = 0 е уравнението на две „въображаеми“ успоредни прави.

8) y 2 = 0 е двойка съвпадащи прави линии.

9) (x - a) 2 + (y - b) 2 = R 2 е уравнението на окръжността.

кръг.

В кръга (x - a) 2 + (y - b) 2 = R 2, центърът има координати (a; b).

Пример. Намерете координатите на центъра и радиуса на окръжността, ако нейното уравнение е дадено във формата:

2x 2 + 2y 2 - 8x + 5y - 4 = 0.

За да се намерят координатите на центъра и радиуса на окръжността, това уравнение трябва да се сведе до формата, посочена по-горе в параграф 9. За да направите това, изберете пълните квадрати:

x 2 + y 2 - 4x + 2,5y - 2 = 0

x 2 - 4x + 4 –4 + y 2 + 2,5y + 25/16 - 25/16 - 2 = 0

(x - 2) 2 + (y + 5/4) 2 - 25/16 - 6 = 0

(x - 2) 2 + (y + 5/4) 2 = 121/16

От тук намираме O (2; -5/4); R = 11/4.

Елипса.

Определение. Елипсанаречена крива, дадена от уравнението.

Определение. Фокусиратакива две точки се наричат, сборът от разстоянията, от които до която и да е точка на елипсата е константа.

F 1, F 2 - фокусира. F1 = (c; 0); F 2 (-c; 0)

c - половината разстояние между фокусите;

а - голяма полуос;

b - малка полуос.

Теорема. Фокусното разстояние и полуосите на елипсата са свързани чрез съотношението:

a 2 = b 2 + c 2.

доказателство:Ако точка M е в пресечната точка на елипсата с вертикалната ос, r 1 + r 2= 2 (по теоремата на Питагор). Ако точка M е в пресечната точка на елипсата с хоризонталната ос, r 1 + r 2 = a - c + a + c.Защото по дефиниция сумата r 1 + r 2Е постоянна стойност, тогава, приравнявайки, получаваме:

a 2 = b 2 + c 2

r 1 + r 2 = 2a.

Определение.Формата на елипсата се определя от характеристика, която е съотношението на фокусното разстояние към основната ос и се нарича ексцентричност.

Защото С< a, то е < 1.

Определение.Нарича се величината k = b / a степен на компресияелипса, а количеството 1 - k = (a - b) / a се нарича притисканеелипса.

Степента на сгъстяване и ексцентриситета са свързани със съотношението: k 2 = 1 - e 2.

Ако a = b (c = 0, e = 0, фокусите се сливат), тогава елипсата се превръща в кръг.

Ако за точка M (x 1, y 1) е изпълнено условието:, тогава тя е вътре в елипсата, а ако, тогава точката е извън елипсата.

Теорема. За произволна точка M (x, y), принадлежаща на елипса, са валидни следните отношения::

R 1 = a - ех, r 2 = a + ex.

Доказателство.По-горе беше показано, че r 1 + r 2 = 2a. Освен това по геометрични причини можете да напишете:

След квадратура и намаляване на подобни термини:

По подобен начин може да се докаже, че r 2 = a + ex. Теоремата е доказана.

Две прави линии са свързани към елипсата, наречена директори... Техните уравнения са:

X = a/e; x = -a / e.

Теорема. За да лежи точка върху елипса, е необходимо и достатъчно отношението на разстоянието до фокуса към разстоянието до съответната директриса да е равно на ексцентриситета e.

Пример. Приравнете правата линия, минаваща през левия фокус и долния връх на елипсата, дадена от уравнението:

1) Координати на долния връх: x = 0; y 2 = 16; y = -4.

2) Координати на левия фокус: c 2 = a 2 - b 2 = 25 - 16 = 9; c = 3; F 2 (-3; 0).

3) Уравнение на права линия, минаваща през две точки:

Пример. Начертайте уравнението на елипса, ако фокусите й са F 1 (0; 0), F 2 (1; 1), голямата ос е 2.

Уравнението на елипсата има вида:. Разстояние между фокусите:

2c =, така че a 2 - b 2 = c 2 = ½

по условие 2a = 2, следователно a = 1, b =

Хипербола.

Определение. Хиперболасе нарича набор от точки на равнината, за които модулът на разликата между разстоянията от две дадени точки, наречен триковеима постоянна стойност, по-малка от разстоянието между фокусите.

По дефиниция ïr 1 - r 2 ï = 2a. F 1, F 2 - фокуси на хипербола. F 1 F 2 = 2c.

Нека изберем произволна точка M (x, y) на хиперболата. Тогава:

обозначете c 2 - a 2 = b 2 (геометрично тази стойност е малката полуос)

Получи каноничното уравнение на хипербола.

Хиперболата е симетрична около средата на сегмента, свързващ фокусите, и около координатните оси.

Оста 2а се нарича реална ос на хиперболата.

Оста 2b се нарича въображаема ос на хиперболата.

Хиперболата има две асимптоти, чиито уравнения са

Определение.Връзката се нарича ексцентричностхиперболи, където c е половината от разстоянието между фокусите и е реалната полуос.

Като се има предвид, че c 2 - a 2 = b 2:

Ако a = b, e =, тогава хиперболата се нарича равнобедрен (равностранен).

Определение.Две прави линии, перпендикулярни на реалната ос на хиперболата и разположени симетрично около центъра на разстояние a / e от нея, се наричат директорихипербола. Техните уравнения са:.

Теорема. Ако r е разстоянието от произволна точка M на хиперболата до всеки фокус, d е разстоянието от същата точка до директрисата, съответстваща на този фокус, тогава съотношението r / d е постоянна стойност, равна на ексцентриситета.

Доказателство.Нека скицираме хипербола.

От очевидните геометрични отношения можете да напишете:

a / e + d = x, следователно d = x - a / e.

(x - c) 2 + y 2 = r 2

От каноничното уравнение:, като се вземе предвид b 2 = c 2 - a 2:

След това, тъй като c / a = e, тогава r = ex - a.

За левия клон на хиперболата доказателството е подобно. Теоремата е доказана.

Пример. Намерете уравнението на хипербола, чиито върхове и фокуси са в съответните върхове и фокуси на елипсата.

За елипса: c 2 = a 2 - b 2.

За хипербола: c 2 = a 2 + b 2.

Хиперболно уравнение:.

Пример. Напишете уравнението на хиперболата, ако нейният ексцентриситет е 2, а фокусите съвпадат с фокусите на елипсата с уравнението на параметъра на параболата. Нека изведем каноничното уравнение на параболата.

От геометрични отношения: AM = MF; AM = x + p / 2;

MF 2 = y 2 + (x - p / 2) 2

(x + p / 2) 2 = y 2 + (x - p / 2) 2

x 2 + xp + p 2/4 = y 2 + x 2 - xp + p 2/4

Уравнение на директрисата: x = -p / 2.

Пример . На параболата y 2 = 8x намерете точка, чието разстояние от директрисата е 4.

От уравнението на параболата намираме, че p = 4.

r = x + p / 2 = 4; следователно:

х = 2; y 2 = 16; y = ± 4. Точки за търсене: M 1 (2; 4), M 2 (2; -4).

Пример. Уравнението на кривата в полярната координатна система е:

Намерете уравнението на крива в декартова правоъгълна координатна система, определете вида на кривата, намерете фокуси и ексцентриситет. Изградете схематично крива.

Нека използваме връзката между декартовата правоъгълна и полярната координатна система:;

Получи каноничното уравнение на хипербола. От уравнението се вижда, че хиперболата е изместена по оста Ox с 5 наляво, голямата полуос a е равна на 4, малката полуос b е равна на 3, от което получаваме c 2 = a 2 + b 2; c = 5; e = c / a = 5/4.

Фокусира F 1 (-10; 0), F 2 (0; 0).

Нека начертаем тази хипербола.

Уравнение на права линия върху равнина.
Векторът на посоката е права линия. Нормален вектор

Правата линия на равнина е една от най-простите геометрични фигури, които познавате от началните класове и днес ще научим как да се справяме с нея, използвайки методите на аналитичната геометрия. За да овладеете материала, трябва да можете да изградите права линия; знаете какво уравнение се използва за дефиниране на права линия, по-специално права линия, минаваща през началото и прави линии, успоредни на координатните оси. Тази информация може да бъде намерена в ръководството Графики и свойства на елементарни функции, аз го създадох за matan, но разделът за линейната функция се оказа много сполучлив и подробен. Затова, скъпи чайници, първо загрейте там. Освен това трябва да имате основни познания за вектори, в противен случай разбирането на материала ще бъде непълно.

В този урок ще разгледаме начините, по които можете да напишете уравнението на права линия върху равнина. Препоръчвам да не пренебрегвате практическите примери (дори и да изглеждат много прости), тъй като ще ги снабдя с елементарни и важни факти, техники, които ще са необходими в бъдеще, включително в други раздели на висшата математика.

• Как да напиша уравнението на права линия с наклон?
• Как ?
• Как да намерим вектора на посоката по общото уравнение на права линия?
• Как да напиша уравнението на права линия от точка и нормален вектор?

и започваме:

Уравнение на права линия с наклон

Нарича се добре познатата "училищна" форма на уравнението на правата линия уравнение на права линия с наклон... Например, ако права линия е дадена от уравнение, тогава нейният наклон е:. Помислете за геометричното значение на този коефициент и как неговата стойност влияе върху местоположението на правата линия:

Курсът по геометрия доказва това наклонът на правата линия е тангенс на ъгълмежду положителната посока на остаи тази линия:, а ъгълът се "развива" обратно на часовниковата стрелка.

За да не претрупвам чертежа, нарисувах ъгли само за две линии. Помислете за "червената" линия и нейния наклон. Както по-горе: (ъгъл "алфа" е обозначен със зелена дъга). За "синята" линия с наклона е вярно равенството (ъгълът "бета" е обозначен с кафявата дъга). И ако тангенсът на ъгъла е известен, тогава, ако е необходимо, е лесно да се намери и самият ъгълизползвайки обратната функция - арктангенс. Както се казва, тригонометрична таблица или микрокалкулатор в ръка. По този начин, наклонът характеризира степента на наклон на правата линия към оста на абсцисата.

В този случай са възможни следните случаи:

1) Ако наклонът е отрицателен:, тогава линията, грубо казано, върви отгоре надолу. Примери са "сини" и "пурпурни" прави линии в чертежа.

2) Ако наклонът е положителен: тогава линията върви отдолу нагоре. Примери са "черни" и "червени" линии в чертежа.

3) Ако наклонът е нула:, тогава уравнението приема формата и съответната права линия е успоредна на оста. Пример е "жълта" права линия.

4) За семейство прави линии, успоредни на оста (няма пример на чертежа, освен самата ос), наклонът не съществува (тангента 90 градуса не е дефинирана).

Колкото по-голям е наклонът на модула, толкова по-стръмна е графиката на правата линия.

Например, помислете за два реда. Ето защо линията има по-стръмен наклон. Нека ви напомня, че модулът ви позволява да игнорирате знака, само нас ни интересува абсолютни стойностикоефициенти на наклон.

От своя страна правата линия е по-стръмна от правите. .

Обратно: колкото по-малък е наклонът по модул, толкова по-плоска е правата линия.

За директно неравенството е вярно, следователно правата линия е по-плоска. Детска пързалка, за да не засаждате синини и подутини върху себе си.

Защо е необходимо това?

Удължете мъките си Познаването на горните факти ви позволява незабавно да видите грешките си, по-специално грешките в графиката - ако чертежът се оказа "очевидно нещо не е наред". Препоръчително е вие незабавнобеше ясно, че например правата линия е много стръмна и върви отдолу нагоре, а правата линия е много плитка, близо до оста и върви отгоре надолу.

В геометричните задачи често се появяват няколко прави линии, така че е удобно да ги обозначим по някакъв начин.

Обозначения: правите линии са обозначени с малки латински букви:. Популярна опция е обозначаването със същата буква с естествени индекси. Например петте прави линии, които току-що разгледахме, могат да бъдат обозначени с .

Тъй като всяка права линия се определя еднозначно от две точки, тя може да бъде обозначена с тези точки: и т.н. Нотацията ясно предполага, че точките принадлежат на права линия.

Време е да загреем малко:

Как да напиша уравнението на права линия с наклон?

Ако точка, принадлежаща на определена права линия, и наклонът на тази права линия са известни, тогава уравнението на тази права линия се изразява с формулата:

Пример 1

Приравнете права с наклон, ако е известно, че точката принадлежи на тази права линия.

Решение: Уравнението на правата линия се съставя по формулата ... В такъв случай:

Отговор:

Прегледсе изпълнява елементарно. Първо, разглеждаме полученото уравнение и се уверяваме, че нашият наклон е на място. Второ, координатите на точката трябва да отговарят на това уравнение. Нека ги заместим в уравнението:

Получава се правилното равенство, което означава, че точката удовлетворява полученото уравнение.

Заключение: Уравнението е правилно.

По-сложен пример за решение "направи си сам":

Пример 2

Направете уравнението на права линия, ако е известно, че нейният ъгъл на наклон спрямо положителната посока на оста е и точката принадлежи на тази права линия.

Ако имате някакви затруднения, прочетете отново теоретичния материал. По-точно, по-практично, пропускам много от доказателствата.

Последният звънец удари, абитуриентското тържество утихна, а зад портите на родното ни училище всъщност ни очаква аналитичната геометрия. Шегите свършиха.... Или може би тепърва започват =)

Носталгично размахваме химикалка към познатото и се запознаваме с общото уравнение на права линия. Тъй като именно това се използва в аналитичната геометрия:

Общото уравнение на правата линия има вида:, къде са някои числа. Освен това коефициентите едновременноне са равни на нула, тъй като уравнението губи смисъла си.

Нека облечем уравнението на наклона в костюм и вратовръзка. Първо, нека преместим всички термини в лявата страна:

Терминът с "x" трябва да бъде поставен на първо място:

По принцип уравнението вече има формата, но според правилата на математическия етикет коефициентът на първия член (в този случай) трябва да е положителен. Смяна на знаците:

Запомнете тази техническа характеристика!Правим първия коефициент (най-често) положителен!

В аналитичната геометрия уравнението на права линия почти винаги ще бъде дадено в общ вид. Е, ако е необходимо, лесно е да го приведете до изгледа "училище" с наклона (с изключение на прави линии, успоредни на оста на ординатата).

Нека се запитаме какво достатъчнознаете как да изградите права линия? Две точки. Но повече за този случай от детството по-късно, сега придържа към правилото на стрелките. Всяка права линия има добре дефиниран наклон, към който е лесно да се "адаптира" вектор.

Вектор, който е успореден на права, се нарича вектор на посоката на тази права.... Очевидно всяка права линия има безкрайно много вектори на посоката и всички те ще бъдат колинеарни (съпосочени или не - няма значение).

Ще обозначя вектора на посоката, както следва:.

Но един вектор не е достатъчен за изграждане на права линия, векторът е свободен и не е обвързан с нито една точка от равнината. Следователно е необходимо допълнително да се знае някаква точка, която принадлежи на правата линия.

Как да приравним права линия от точка и вектор на посока?

Ако е известна точка, принадлежаща на права линия, и векторът на посоката на тази права линия , то уравнението на тази права линия може да бъде съставено по формулата:

Понякога се нарича каноничното уравнение на правата .

Какво да правя кога една от координатитее нула, ще видим практически примери по-долу. Между другото, забележете - и двете наведнъжкоординатите не могат да бъдат равни на нула, тъй като нулевият вектор не определя конкретна посока.

Пример 3

Приравнете права линия от точка и вектор на посока

Решение: Уравнението на правата линия се съставя по формулата. В такъв случай:

Използвайки свойствата на пропорцията, ние се отърваваме от фракциите:

И привеждаме уравнението в общ вид:

Отговор:

Рисуването в такива примери, като правило, не е необходимо да се прави, а в името на разбирането:

На чертежа виждаме началната точка, първоначалния вектор на посоката (може да бъде отделен от всяка точка на равнината) и конструираната линия. Между другото, в много случаи е най-удобно да се построи права линия с помощта на уравнение с наклон. Лесно е да трансформираме нашето уравнение във формата и лесно да изберете още една точка, за да построите права линия.

Както беше отбелязано в началото на този раздел, правата линия има безкрайно много вектори на посоката и всички те са колинеарни. Например, нарисувах три такива вектора: ... Който и вектор на посока да изберем, резултатът винаги ще бъде едно и също уравнение на права линия.

Нека съставим уравнението на права линия по точка и вектор на посоката:

Ние уреждаме пропорцията:

Разделяме двете страни на –2 и получаваме познатото уравнение:

Желаещите могат по подобен начин да тестват вектори или всеки друг колинеарен вектор.

Сега нека решим обратната задача:

Как да намерим вектора на посоката по общото уравнение на права линия?

Много просто:

Ако една линия е дадена от общо уравнение, тогава векторът е векторът на посоката на тази линия.

Примери за намиране на вектори на посоката на прави линии:

Твърдението ни позволява да намерим само един насочен вектор от безкрайно множество, но нямаме нужда от повече. Въпреки че в някои случаи е препоръчително да се намалят координатите на векторите на посоката:

И така, уравнението дефинира права линия, която е успоредна на оста и координатите на получения вектор на посоката се разделят удобно на –2, като се получава точно основният вектор като вектор на посоката. Логично е.

По същия начин, уравнението определя права линия, успоредна на оста, и, разделяйки координатите на вектора на 5, получаваме орта като вектор на посоката.

Сега нека изпълним проверете пример 3... Примерът се повиши, така че ви напомням, че в него сме направили уравнението на права линия по точка и вектор на посока

Първо, по уравнението на правата линия възстановяваме нейния вектор на посоката: - всичко е наред, получихме оригиналния вектор (в някои случаи той може да се окаже колинеарен с оригиналния вектор и това обикновено е лесно да се забележи от пропорционалността на съответните координати).

Второ, координатите на точката трябва да отговарят на уравнението. Заместваме ги в уравнението:

Получи се правилното равенство, за което много се радваме.

Заключение: Задачата е изпълнена правилно.

Пример 4

Приравнете права линия от точка и вектор на посока

Това е пример за решение "направи си сам". Решение и отговор в края на урока. Силно препоръчително е да направите проверка според току-що разгледания алгоритъм. Винаги се опитвайте (ако е възможно) да проверите черновата. Глупаво е да се правят грешки, където те могат да бъдат 100% избегнати.

В случай, че една от координатите на вектора на посоката е нула, те действат много просто:

Пример 5

Решение: Формулата не работи, защото знаменателят на дясната страна е нула. Има изход! Използвайки свойствата на пропорцията, пренаписваме формулата във формата, а останалата част се търкаля по дълбока коловоза:

Отговор:

Преглед:

1) Реконструирайте вектора на посоката на правата линия:
- полученият вектор е колинеарен с оригиналния вектор на посоката.

2) Заменете координатите на точката в уравнението:

Получава се правилното равенство

Заключение: задачата е изпълнена правилно

Възниква въпросът, защо да се занимавам с формулата, ако има универсална версия, която така или иначе ще работи? Има две причини. Първо, дробната формула много по-добре запомнени... И второ, липсата на универсална формула е това рискът от объркване се увеличава значителнопри заместване на координати.

Пример 6

Приравнете права линия по протежение на точка и вектор на посоката.

Това е пример за решение "направи си сам".

Нека се върнем към вездесъщите две точки:

Как да направим уравнението на права линия от две точки?

Ако са известни две точки, тогава уравнението на права линия, минаваща през тези точки, може да се състави по формулата:

Всъщност това е един вид формула и ето защо: ако са известни две точки, тогава векторът ще бъде векторът на посоката на тази права. На урока Вектори за манекениразгледахме най-простия проблем - как да намерим координатите на вектор по две точки. Според този проблем координатите на вектора на посоката:

Забележка : точките могат да се „разменят“ и да се използва формула. Такова решение би било еквивалентно.

Пример 7

Приравнете права линия от две точки .

Решение: Използваме формулата:

Сресваме знаменателите:

И разбъркайте тестето:

Сега е удобно да се отървете от дробни числа. В този случай трябва да умножите и двете части по 6:

Отваряме скобите и си спомняме уравнението:

Отговор:

Прегледочевидно - координатите на първоначалните точки трябва да отговарят на полученото уравнение:

1) Заменете координатите на точката:

Истинско равенство.

2) Заменете координатите на точката:

Истинско равенство.

Заключение: уравнението на правата линия е правилно.

Ако поне единот точки не удовлетворява уравнението, потърсете грешката.

Струва си да се отбележи, че графичната проверка в този случай е трудна, тъй като можете да построите права линия и да видите дали точките принадлежат към нея. , не е толкова лесно.

Ще отбележа и няколко технически аспекта на решението. Може би в тази задача е по-изгодно да използвате огледалната формула и в същите точки направи уравнение:

Това са по-малки фракции. Ако желаете, можете да следвате решението до края и резултатът трябва да е същото уравнение.

Втората точка е да погледнете крайния отговор и да разберете дали може да се опрости допълнително? Например, ако се получи уравнение, тогава е препоръчително да го намалите с две: - уравнението ще зададе същата права линия. Това обаче вече е тема за разговор относително положение на правите линии.

След като получи отговора в пример 7 за всеки случай проверих дали ВСИЧКИ коефициенти на уравнението се делят на 2, 3 или 7. Въпреки че най-често такива намаления се извършват дори по време на решението.

Пример 8

Приравнете права линия през точки .

Това е пример за независимо решение, което просто ще ви позволи да разберете и изработите по-добре изчислителната техника.

Подобно на предишния параграф: ако във формулата един от знаменателите (координата на вектора на посоката) изчезва, тогава го пренаписваме като. Отново забележете колко неудобна и объркваща изглежда тя. Не виждам особен смисъл да давам практически примери, тъй като вече сме решили такъв проблем (виж № 5, 6).

Линия нормален вектор (нормален вектор)

Какво е нормално? Казано по-просто, нормата е перпендикуляр. Тоест нормалният вектор на права е перпендикулярен на тази права. Очевидно всяка права линия има безкрайно много от тях (както и вектори на посоката) и всички нормални вектори на правата линия ще бъдат колинеарни (съпосочени или не - няма разлика).

Разглобяването с тях ще бъде дори по-лесно, отколкото с векторите на посоката:

Ако една права е дадена от общо уравнение в правоъгълна координатна система, тогава векторът е нормален вектор на тази права.

Ако координатите на вектора на посоката трябва внимателно да бъдат "извадени" от уравнението, тогава координатите на нормалния вектор просто се "отстраняват".

Нормалният вектор винаги е ортогонален на вектора на посоката на правата линия. Нека проверим ортогоналността на тези вектори с помощта на точков продукт:

Ще дам примери със същите уравнения като за вектора на посоката:

Възможно ли е да се образува уравнението на права линия, като се знае една точка и нормален вектор? Можеш да го усетиш в червата си. Ако нормалният вектор е известен, тогава посоката на правата линия се определя еднозначно - това е "твърда структура" с ъгъл от 90 градуса.

Как да напиша уравнението на права линия от точка и нормален вектор?

Ако е известна точка, принадлежаща на права линия и нормалният вектор на тази права линия, тогава уравнението на тази права линия се изразява с формулата:

Тук всичко беше направено без дроби и други изненади. Това е нашият нормален вектор. Обичам го. И уважение =)

Пример 9

Приравнете права линия по една точка и нормален вектор. Намерете вектора на посоката на правата линия.

Решение: Използваме формулата:

Получава се общото уравнение на правата линия, нека проверим:

1) „Премахнете“ координатите на нормалния вектор от уравнението: - да, наистина, първоначалният вектор е получен от условието (или трябва да се получи колинеарен вектор).

2) Проверете дали точката отговаря на уравнението:

Истинско равенство.

След като сме се уверили, че уравнението е правилно, ще изпълним втората, по-лесна част от задачата. Изваждаме насочващия вектор на правата линия:

Отговор:

На чертежа ситуацията изглежда така:

За учебни цели подобна задача за независимо решение:

Пример 10

Приравнете права линия от точка и нормален вектор. Намерете вектора на посоката на правата линия.

Последният раздел на урока ще бъде посветен на по-рядко срещаните, но също така важни видове уравнения на права линия върху равнина.

Уравнение на права линия в сегменти.
Уравнение на права линия в параметричен вид

Уравнението на права линия в сегменти има вида, където са ненулеви константи. Някои видове уравнения не могат да бъдат представени в тази форма, например пряка пропорционалност (тъй като свободният член е равен на нула и няма начин да се получи едно от дясната страна).

Това е, образно казано, "технически" тип уравнение. Обикновена задача е да се представи общото уравнение на права линия под формата на уравнение на права линия на отсечки. Как е удобно? Уравнението на права линия в сегменти ви позволява бързо да намерите точките на пресичане на права линия с координатни оси, което е много важно в някои задачи на висшата математика.

Намерете пресечната точка на правата с оста. Ние нулираме "играта" и уравнението приема формата. Желаната точка се получава автоматично:.

По същия начин с оста - точката, в която правата пресича оста на ординатата.