Альтернативный признак – это признак, которым обладает часть единиц и не обладает другая часть единиц совокупности.

Дисперсия равна произведению доли (р ) на дополняющее эту долю до единицы число (q ):

где p – доля единиц, обладающих признаком;

q – доля единиц, не обладающих признаком.

Предельное значение дисперсии альтернативного признака равно 0,25 при р = 0,5.

Пример 6.1 . Из 200 студентов факультета - 60 чел. – неуспевающие.

Доля неуспевающих студентов равна p = 60 / 200 = 0,3

Доля успевающих студентов равна q = 1 – 0,3 = 0,7

Дисперсия доли равна = 0,3 · 0,7 = 0,21

Пример 6.2 . Расчет по несгруппированным данным. Имеются данные о стаже 10 работников - 1, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 7, 9, 12. Рассчитать показатели вариации.

Составим рабочую таблицу для расчёта.

Номер работник	Стаж, лет (х i )				x 2
		-4
		-3
		-2
		-2
		-1
		-1
Итого

Средний стаж равен лет.

Размах вариации R =12–1= 11 лет.

Далее рассчитываем отклонения от средней , и

Среднее линейное отклонение лет.

Дисперсия

Средняя из квадратов

Второй способ расчёта дисперсии = 35,4 – 5 2 = 10,4

года

Коэффициент вариации V = 3,22 / 5 = 0,645 или 64,5%

V d = 2,6 / 5 = 0,520 или 52,0%.

Пример 6.3 . Расчёт по интервальному вариационному ряду.

Имеются данные о распределении рабочих по зарплате

Решение: Составим рабочую таблицу для расчёта.

Зарплата	f	Середина интервала (х )	x i ·f i
до 10				-21
10–20				-11
20–30				-1
30–40
40 и более
Итого

Средняя зарплата тыс.руб.

Среднее линейное отклонение тыс.руб.

Дисперсия

Среднее квадратическое отклонение тыс.руб.

Коэффициент вариации V = 12,45 / 26 = 0,479 или 47,9%

Линейный коэффициент вариации: V d = 10,36 / 26 = 0,398 или 39,8%.

Виды дисперсий

Общая дисперсия s 2 измеряет вариацию результативного признака (y ) во всей совокупности под влиянием всех факторов (x 1 , x 2 , x 3 …) обусловивших эту вариацию.

Межгрупповая дисперсия характеризует систематическую вариацию, т.е. различия в величине изучаемого признака, возникающие под влиянием признака-фактора (x ), положенного в основание группировки. Она рассчитывается по формуле

,

где `y i и n i - соответственно групповые средние и численности по отдельным группам.

Внутригрупповая дисперсия () отражает случайную вариацию, т. е. часть вариации, происходящую под влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки. Она исчисляется следующим образом:

Средняя из внутригрупповых дисперсий ():

Существует закон, связывающий три вида дисперсии. Общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповой дисперсией:

В статистическом анализе широко используется показатель, представляющий собой долю межгрупповой дисперсии в общей дисперсии. Он носит название эмпирического коэффициента детерминации ():

.

Этот коэффициент показывает долю (удельный вес) общей вариации изучаемого признака обусловленную вариацией группировочного признака.

Корень квадратный из эмпирического коэффициента детерминации носит название эмпирического корреляционного отношения (h ):

.

Оно характеризует влияние признака, положенного в основание группировки, на вариацию результативного признака. Эмпирическое корреляционное отношение изменяется в пределах от 0 до 1. Если h = 0, то группировочный признак не оказывает влияние на результативный. Если h = 1, то результативный признак изменяется только в зависимости от признака, положенного в основание группировки, а влияние прочих факторных признаков равно нулю. Промежуточные значения оцениваются в зависимости от их близости к предельным значениям.

Пример 6.4 . Имеются данные о группе рабочих.

Оценить силу связи между признаками.

Решение: Даны групповые средние и внутригрупповые дисперсии.

Определим среднюю общую используя групповые средние

Средняя из внутригрупповых дисперсий

Межгрупповая дисперсия

Общая дисперсия s 2 =6,955 + 34,65 = 41,605

Эмпирический коэффициент детерминации

34,65 / 41,605 = 0,833

Эмпирическое корреляционное отношение

Такое значение (близко к 1) характеризует очень сильную связь между числом обслуживаемых станков и средней зарплатой.

6. Дисперсия альтернативного признака

Частный случай атрибутивного (неколичественного) признака – признак альтернативный. Когда единицы совокупности либо имеют данный изучаемый признак, либо не имеют его. Примером таких признаков является: наличие бракованной продукции, ученая степень у преподавателей вуза, работа по полученной специальности, превышение среднедушевых денежных доходов их общероссийского уровня, наличие детей в семье и т.д.

В случае наличия альтернативного признака единице совокупности присваивается значение «1». В случае отсутствия – «0».

Весами в расчетах служат:

Доля единиц обладающих данным признаком;

Доля единиц, не обладающих данным признаком

Тогда средняя величина альтернативного признака равна:

дисперсия примет вид:

Дисперсия альтернативного признака изменяется в пределах от 0 до 0,25. Максимального значения 0,25 достигает при 0,5

Пример 4.11. При выборочном опросе 300 жителей Курска 60 из них высказались положительно по поводу хранения личных денежных сбережений в коммерческих банках города

Определить средний уровень, дисперсию и среднее квадратическое отклонение признака

Практическое применение вариации альтернативного признака в основном состоит в построении доверительных интервалов при проведении выборочного наблюдения.

7. Изучение формы распределения признака. Основные характеристики закономерностей распределения

Непременным условием успешности построений, исчислений и выводов на основе вариационных рядов является однородность обобщаемых в них совокупностей, устанавливаемая на базе глубокого теоретического анализа.

Четко выраженный порядок изменения частот в соответствии с изменением величины признака называют закономерностью распределения.

Знание типа закономерности распределения, (а следовательно, и формы кривой) необходимо прежде всего:

1. Для выяснения типичности условий получения первичного статистического материала. Так, появление многовершинной или существенно асимметричной кривой говорит о разнотипном составе совокупности и о необходимости перегруппировки данных с целью выявления более однородных групп.

2. Для обеспечения правильности выполнения практических расчетов и прогнозов. Так, применение формулы Г. Стерджесса для расчета оптимального числа групп интервального ряда, правила «трех сигм», коэффициента вариации Vσ в качестве индикатора однородности совокупности, метода наименьших квадратов при моделировании корреляционной связи явлений, методов дисперсионного анализа и других правомочно лишь в условиях нормального и близких к нему распределений.

Закономерности вариационных рядов, выражающие в типе распределения их частот, наглядно выступают на графиках – гистограмме и полигоне распределения частот. Их рассмотрение показывает, что в гистограмме наблюдается большая скачкообразность распределения, а в полигоне обнаруживается постепенность перехода от одной группы к другой. Ломаная линия полигона частично сглаживает скачкообразность гистограммы, является более обобщенным приемом анализа распределения.

При увеличении строк интервального вариационного ряда и соответственном уменьшении величины его интервалов число сторон полигона распределения будет расти и ломаной линии будет присуща тенденция превратиться в пределе в некую кривую. Такая кривая называется кривой распределения. В ней происходит наибольшее освобождение данных от влияния случайных факторов. Она выявляет и показывает в максимально обобщенном виде характер вариации, закономерность распределения частот внутри однокачественной совокупности явлений.

Кривые распределения могут быть разных типов. В практике социально-экономических исследований широко применяется кривая нормального распределения. Она представляет собой одновершинную симметричную колоколообразную фигуру, правая и левая ветви которой равномерно и симметрично убывают, асимптотически приближаясь к оси абсцисс.

Отличительной особенностью этой кривой является совпадение в ней средней арифметической, моды и медианы. Если всю площадь между кривой и осью абсцисс принять за 100%, то в пределах заключено 68,3% частот, в пределах - 95,4%, в пределах 99,7% («правило трех сигм»).

Хотя нормальное, или симметричное, распределение соответствует природе ряда явлений, однако для общественных явлений оно нехарактерно, так как в нем отражаются различия, вызванные внешними воздействиями, присущие не развивающейся, а лишь колеблющейся совокупности единиц. Для социальных явлений характерно развитие, динамизм. Поэтому ряды и кривые распределения частот общественных явлений, как правило, асимметричны, в них частоты возрастают до максимума и убывают от него неравномерно. Именно наличие асимметрии, или скошенности, в рядах однородных совокупностей служит косвенным указанием на то, что исследуемый процесс проходит активную стадию развития.

Асимметричные ряды и соответствующие кривые имеют различные формы распределений, исследованные математической статистикой. Такими формами являются распределение Пуассона, распределение Максвелла, распределение Пирсона и др. Здесь асимметричность рассматривается в целом как единый тип распределения. При этом различают правостороннюю и левостороннюю асимметрии (скошенность).

Если длинная ветвь кривой расположена правее вершины, то асимметрия называется правосторонней, если эта ветвь расположена левее вершины – левосторонней. При правосторонней асимметрии при левосторонней . Поэтому разность между ними, отнесенную к , называют коэффициентом К. Пирсона и используют в качестве коэффициента асимметрии:

. (20)

При правосторонней асимметрии этот коэффициент положителен, при левосторонней – отрицателен. Если = 0, вариационный ряд симметричен. Чем больше абсолютная величина коэффициента, тем больше степень скошенности.

Наиболее точным показателем асимметрии распределения является коэффициент асимметрии , вычисляемый по формуле

(21)

где n – число единиц совокупности. Как и в случае коэффициента Пирсона, при > 0 имеет место правосторонняя асимметрия, при < 0 левосторонняя. В симметричных распределениях = 0.

Чем больше величина ||, тем более асимметрично распределение. Установлена следующая оценочная шкала асимметричности:

|| - асимметрия незначительная;

0,25 < || - асимметрия заметная (умеренная);

|| > 0,5 - асимметрия существенная.

Поскольку коэффициенты и являются относительными безразмерными величинами, они часто применяются для сравнительного анализа асимметричности различных рядов распределения.

Характер асимметрии иногда указывает на направление развития. При исследовании вариации признаков, в отношении которых имеется заинтересованность в их увеличении (выполнение норм, выпуск продукции и т.д.), правосторонняя асимметрия свидетельствует о прогрессивности развития, о том, что оно идет в сторону увеличения показателя, а левосторонняя асимметрия указывает на наличие большого числа отстающих участков.

При исследовании вариации признаков, в отношении которых имеется заинтересованность в их уменьшении (себестоимость, трудоемкость, расход сырья на единицу продукции и т.п.), правосторонняя асимметрия свидетельствует о недостатках в развитии изучаемого процесса, левосторонняя – о прогрессивности его развития, о том, что последнее идет в сторону уменьшения показателя. В распределении работников по стажу (см. пример 4.9 = 5,75 ) наблюдается правосторонняя асимметрия, так как коэффициент асимметрии положителен: (5,955-5,75):2,47=0,095. Такая асимметрия для данного ряда прогрессивна, она свидетельствует о развитии ряда в сторону увеличения исследуемого показателя.

Форму распределения можно ориентировочно определить непосредственно рассмотрением эмпирических данных ряда, особенно если они изображены гистограммой и полигоном. Чтобы убедиться в правильности ориентировочного определения формы распределения, эмпирические данные ряда исследуются на их близость к теоретическому распределению, устанавливаемому с помощью построения соответствующей кривой распределения. Однако во многих случаях ни теория, ни непосредственное рассмотрение эмпирических данных не дают ответов на вопрос о форме распределения. Тогда обычно ведется исследование на близость эмпирических данных к нормальному распределению, так как распределения с небольшой или умеренной асимметричностью в большинстве случаев по своему типу относятся к нормальным.

Для объективного суждения о степени соответствия эмпирического распределения нормальному в статистике используется ряд критериев, называемых критериями согласия или соответствия.

К ним относятся критерии Пирсона, Романовского, Ястремского, Колмогорова, основанные на использовании различных теоретических представлений.

Например, наиболее используемый критерий согласия Пирсона («хи-квадрат») определяется по формуле:

, (22)

где - эмпирические частоты (частости)

Теоретические частоты (частости)

Для оценки близости эмпирического распределения к теоретическому определяется вероятность достижения этим критерием данной величины. Если эта вероятность превышает 0,05, то отклонения фактических частот от теоретических считаются случайными, несущественными. Если же , то отклонения считаются существенными, а эмпирическое распределение – принципиально отличным от теоретического.

Для характеристики степени отклонения симметричного распределения от нормального рассчитывается показатель эксцесса. Он приближенно может быть определен с помощью коэффициента Линдберга.

, (23)

где - доля (в%) количества вариант, лежащих в интервале равном половине среднего квадратического отклонения (в ту и другую сторону от величины средней) в общем количестве вариант данного ряда;

38,29 – доля (в %) количества вариант, лежащих в интервале, равном половине среднего квадратического отклонения (в ту и другую сторону от величины средней) в общем количестве вариант ряда нормального распределения

Эксцесс может быть положительным, отрицательным и равным нулю.

У высоковершинных кривых показатель эксцесса имеет положительный знак, у низковершинных кривых – отрицательный знак. Для кривой нормального распределения его величина равна нулю.

Для более точной характеристики степени отклонения симметричного распределения от нормального рассчитывается показатель островершинности (показатель эксцесса) (Ek) по формуле:

(24)

Он, как и коэффициент Линдберга, может быть положительным, отрицательным и равным нулю. Показатель эксцесса, как и показатель асимметрии, - число отвлеченное. Предельным значением отрицательного эксцесса является значение Ek= -2; величина же положительного эксцесса является величиной бесконечной.

Определение показателей асимметрии и эксцесса имеет не только описательное значение, часто их величины дают определенные указания для дальнейшего исследования изучаемых явлений. Так, например, появление значительного отрицательного эксцесса может указывать на качественную неоднородность исследуемой совокупности.

Современные компьютерные технологии открывают широкие возможности для выполнения громоздких вычислительных операций по анализу вариационных рядов. Если материал теоретически осмыслен и выдвинута разумная гипотеза о форме распределения (последнее, кстати, ЭВМ тоже в состоянии проверить), вычислительные устройства могут быстро исчислить различные обобщающие показатели и критерии, построить графики и т.д. Это тем более возможно, так как показатели вариации сравнительно несложны и хорошо формализованы.

Список использованной литературы

1. Виноградова Н.М., Евдокимова В.Т., Хитарова Е.М. и др. Общая теория статистики: Учебное пособие /Под ред. И.Г. Венецкого/ – М.: Статистика, 1968г- 380с

2. Гусаров Виктор Максимович. Статистика: Учеб. пособие для студентов вузов обучающихся по экономическим специальностям/ В.М. Гусаров, Е.И. Кузнецова.- 2-е изд., перераб. и доп. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007.- 479с

3. Гусаров, Виктор Максимович. Обшая теория статистики: Учеб. пособие для студентов вузов обучающихся по экономическим специальностям/ В.М. Гусаров, С.М. Проява.- 2-е изд., перераб. и доп. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2008.- 207с

4. Ильишев Анатолий Михайлович. Общая теория статистики: учебник для студентов вузов, обучающихся по специальностям экономики и управления / А.М. Ильишев, - М.: ЮНИТИ- ДАНА, 2008. – 535с

5. Ряузов Н.Н. Общая теория статистики: Учебник для студ. экон. спец. вузов – 4-е изд. перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 1984.- 343с

6. Салин В.Н., Чурилова Э.Ю. Курс теории статистики для подготовки специалистов финансово-экономического профиля: Учебник. – М.: Финансы и статистика, 2006- 480с

7. Статистические методы анализа факторов повышения эффективности общественного производства. Учебное пособие. Под ред. Ряузова Н.Н. Акиншиной М.К.- М. ВЗФЭИ. 1980-88с

8. Статистика: Учеб. пособие / А.В. Багат, М.М. Конкина, В.М. Симчера и др.; Под ред. В.М. Симчеры. – М.: Финансы и статистика, 2005.- 368с

9. Статистика. Компьютерные лабораторные работы: Методические указания к лабораторной работе №1 « Автоматизированный априорный анализ статистической совокупности в среде MS Excel». / Г.П. Кожевникова, А.В. Голикова, А.М. Каманина, А.М. Бобров. Под ред. проф. Г.П. Кожевниковой- М.: Вузовский учебник, 2005.-72с.

10. Теория статистики: Учебник / Под ред. проф. Р.А. Шмойловой – 3-е изд., перераб. – М.: Финансы и статистика, 1999.- 560с.

ения – отчетность и специально организованное наблюдение. Отчетность – это такая форма наблюдения, при которой предприятия, организации представляют в статистические и вышестоящие органы постоянные сведения, характеризующие их деятельность. Отчетность предоставляется по заранее определенной программе в строго определенные сроки и содержит важнейшие показатели, необходимые в процессе ежедневной...

С каждым годом увеличивается, за счет внедрения новых технологий, научного подхода к делу с помощью Иркутской Сельскохозяйственной Академии. 3. Экономико-статистический анализ себестоимости яиц 3.1. Статистическое наблюдение Статистическое наблюдение представляет собой планомерное, научно организованное и, как правило, систематическое собирание данных о явлениях и процессах общественной...

23.Дисперсия альтернат. Признака

Дисперсия альтернативного признака (если в статистической совокупности признак изменяется так, что имеются только два взаимно исключающих друг друга варианта, то такая изменчивость называется альтернативной) может быть вычислена по формуле:

Подставляя в данную формулу дисперсии q =1- р, получаем:

Коэффициент роста K i определяется как отношение данного уровня к предыдущему или базисному, показывает относительную скорость изменения ряда. Если коэффициент роста выражается в процентах, то его называют темпом роста.

Коэффициент роста базисный

Коэффициент роста цепной

24.Изучение основной тенденции развития

Одной из важнейших задач статистики является определение в рядах динамики общей тенденции развития явления. На развитие явления во времени оказывают влияние различные факторы. Поэтому при анализе динами речь идет об основной тенденции, достаточно стабильной (устойчивой) на протяжении изученного этапа развития. Основной тенденцией развития (ТРЕНДОМ) называется плавное и устойчивое изменение уровня явления во времени, свободное от случайных колебаний. С этой целью ряды динамики подвергаются обработке методами укрупнения интервалов, скользящей средней и аналитического выравнивания. Наиболее простым методом изучения основной тенденции в рядах динамики является укрупнение интервалов. Данный метод основан на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни ряда динамики (одновременно уменьшается количество интервалов). Выявление основной тенденции может осуществляться также методом скользящей (подвижной) средней. Сущность его заключается в том, что исчисляется средний уровень из определенного числа, обычно нечетного (3, 5, 7 и т.д.), первых по счету уровней ряда, затем – из такого же числа уровней, но начиная со второго по счету, далее – начиная со среднего и т.д. Таким образом, средняя как бы «скользит» по ряду динамики, передвигаясь на один срок. Недостатком сглаживания ряда является «укорачивание» сглаженного ряда по сравнению с фактическим, а следовательно, происходит потеря информации. Для того, чтобы дать количественную модель, выражающую основную тенденцию изменения уровней динамического ряда во времени, используется аналитическое выравнивание ряда динамики. Основным содержанием метода аналитического выравнивания в рядах динамики является то, что общая тенденция развития рассчитывается как функция времени:, где уровни динамического ряда, вычисленные по соответствующему аналитическому уравнению на момент времени.

^ Выравнивание ряда динамики по прямой:
. Параметры а 0 , а 1 согласно методу наименьших квадратов находятся решением следующей системы нормальных уравнений:
, где у – фактические (эмпирические) уровни ряда; t – время (порядковый номер периода или момента времени). Расчет параметров значительно упрощается, если за начало отсчета времени (t = 0) принять центральный интервал (момент). Т.о., система принимает вид
. Таким образом, получаем:
;
.
25.Аналит.выравн. по способу наимен. Квадрата

Метод наименьших квадратов применяется для более точной количественной оценки динамики изучаемого явления. Наиболее простой и часто встречающейся в практике является линейная зависимость, описываемая уравнением:

У х = а + вХ, либо У теоретич. = У среднее + вХ,

где У х - теоретические (расчетные) уровни ряда за каждый период;
а - среднеарифметический показатель уровня ряда, рассчитывается по формуле:
а=ΣУ факт. /n;
в - параметр прямой, коэффициент, показывающий различие между теоретическими уровнями ряда за смежные периоды, определяется путем расчета по формуле: в = Σ(ХУ факт)/ΣХ 2
где n-число уровней динамического ряда;
X - временные точки, натуральные числа, проставляемые от середины (центра) ряда в оба конца.

При наличии нечетного ряда уровень, занимающий срединное положение, принимается за 0. Например, при 9 уровнях ряда: -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4.

При четном числе уровней ряда две величины, занимающие срединное положение, обозначаются через -1 и +1, а все остальные - через 2 интервала. Например, при 6 уровнях ряда: -5, -3, -1, +1, +3, +5.

Расчеты проводят в следующей последовательности:

1. 
   Представляют фактические уровни динамического ряда (У ф) (см. табл.).
2. 
   Суммируют фактические уровни ряда и получают сумму У факт.
3. 
   Находят условные (теоретические) временные точки ряда X, чтобы их сумма (ΣХ) была равна 0.
4. 
   Возводят теоретические временные точки в квадрат и суммируют их, получая ЕX 2 .
5. 
   Рассчитывают произведение Х на У и суммируют, получая ΣХУ.
6. 
   Рассчитывают параметры прямой:
   а = ΣУ факт / n в = Σ(Х У факт) / ΣX 2
7. 
   Подставляя последовательно в уравнение У х = а + аУ значения X, находят выровненные уровни У х.

26.Анализ сезонных колебаний

При сравнении квартальных и месячных данных многих социально-экономических явлений часто обнаруживаются периодические колебания, возникающие под влиянием смены времён года. В статистике периодические колебания, которые имеют определённый и постоянный период, равный годовому промежутку, называются сезонные колебания или сезонные волны, динамический ряд называют сезонным рядом динамики. В статистике существуют методы изучения и измерения сезонных колебаний. Самый простой – построение специальных показателей, которые называются индексами сезонности (Is). Совокупность этих показателей отражает сезонную волну. Индексы сезонности - % отношения фактических (эмпирических) внутригрупповых уровней к теоретическим (расчётным) уровням, выступающим в качестве базы сравнения. Для того, чтобы выявить устойчивую сезонную волну их вычисляют по данным за несколько лет (не менее 3), распределенным по месяцам. Для каждого месяца рассчитывается средняя величина уровня (), затем вычисляется среднемесячный уровень для всего ряда y¯. После чего определяется показатель сезонной волны – индекс сезонности Is как процентное отношение средних для каждого месяца к общему среднемесячному уровню ряда, %. Средний индекс сезонности для 12 месяцев должен быть равен 100%, тогда сумма индексов должна составлять 1200. Когда уровень проявляет тенденцию к росту или снижению, то отклонение от постоянного среднего уровня могут исказить сезонные колебания. В этом случае фактические данные сопоставляют с выравнеными, т. е. полученные аналитическим выравниванием. Формула:
.

27.И. нтерполяция и экстраполяция

При изучении длительной динамики иногда возникает необходимость определения неизвестных уровней внутри ряда динамики.

Интерполяцией называется приблизительный расчет недостающих уровней внутри однородного периода, когда известны прилегающие по обе стороны уровни.

Экстраполяцией называется расчет недостающего уровня, когда известен уровень только по одну сторону. Если рассчитывается уровень в сторону будущего, это называется перспективной экстраполяцией, в сторону прошлого - ретроспективной экстраполяцией.

Как интерполяция, так и экстраполяция должны производиться в период действия одной закономерности. Предполагается, что закономерность развития, найденная внутри ряда, сохраняется.

Приемы расчета неизвестного уровня зависят от характера изменения исследуемого явления. При плавном характере изменения уровня можно недостающий уровень определить: полусуммой двух прилегающих уровней, по среднему абсолютному приросту, по среднему темпу роста.

При сохранении пост-х абсолютных приростов недостающих ур-ней динамич.ряда рассчитыв-ся: =+

Начальный уровень

Если предполагаются постоянные темпы роста недостающий ур-нь ряда вычисляется по ф-ле:

Если в ряду динамики отмечаются резкие колебания, то лучше применять средний абсолютный прирост или средний темп роста за весь период исследования, как указано в формулах.

Индексами называют сравнительные относительные величины, которые характеризуют изменение сложных социально-экономических показателей (показатели, состоящие из несуммируемых элементов) во времени, в пространстве, по сравнению с планом.

Индекс - это результат сравнения двух одноименных показателей, при исчислении которого следует различать числитель индексного отношения (сравниваемый или отчетный уровень) и знаменатель индексного отношения (базисный уровень, с которым производится сравнение). Выбор базы зависит от цели исследования. Если изучается динамика, то за базисную величину может быть взят размер показателя в периоде, предшествующем отчетному. Если необходимо осуществить территориальное сравнение, то за базу можно принять данные другой территории. За базу сравнения могут приниматься плановые показатели, если необходимо использовать индексы как показатели выполнения плана.

Индексы формируют важнейшие экономические показатели национальной экономики и ее отдельных отраслей. Индексные показатели позволяют осуществить анализ результатов деятельности предприятий и организаций, выпускающих самую разнообразную продукцию или занимающихся различными видами деятельности. С помощью индексов можно проследить роль отдельных факторов при формировании важнейших экономических показателей, выявить основные резервы производства. Индексы широко используются в сопоставлении международных экономических показателей при определении уровня жизни, деловой активности, ценовой политики и т.д.

Существует два подхода в интерпретации возможностей индексных показателей: обобщающий (синтетический) и аналитический, которые в свою очередь определяются разными задачами.

29.Агрегатные индексы

Общий индекс отражает изменение всех элементов сложного явления. Если индексы охватывают не все элементы, то их называют групповыми или субиндексами. Различают индексы агрегатные и средние, исчисление которых и составляет особый прием исследования, именуемый индексным методом. При построении общих индексов: 1. необходимо выбрать элементы, которые следует объединить в одном индексе; 2. правильно выбрать соизмеритель или вес, т.е. постоянный признак.Выбор веса зависит от того, какой индексируется признак – количественный или качественный. Основной формой общих индексов является агрегатная форма. Индекс агрегатной формы строится по методу сумм. Агрегатная форма применяется, если мы имеем данные поэлементные в отчетном и базисном периоде. Индекс товарооб:
; ин-с физ объем прод
; ^ Индекс потребительских цен является общим измерителем инфляции. Индексируемой величиной в нем будет цена товара. При построении индекса цен в качестве весов индекса обычно берут количество товаров, проданных в текущем (отчетном) периоде. Агрегатный индекс цен с отчетными весами впервые предложен Пааше и носит его имя: формула агрегатного индекса цен Пааше
, где
- фактическая стоимость продукции (товарооборот) отчетного периода;
- условная стоимость товаров, реализованных в отчетном периоде по базисным ценам.

формулу агрегатного индекса цен Ласпейреса:

30.Ср.арифм. и гармон.инд.,связь с агрег.

Основной формой общих индексов является агрегатная форма. Индекс агрегатной формы строится по методу сумм. Агрегатная форма применяется, если мы имеем данные поэлементные в отчетном и базисном периоде. Многие статистические показатели, характеризующие различные стороны общественных явлений, находятся между собой в определенной связи (часто в виде произведения). Статистика характеризует эти взаимосвязи количественно. Многие экономические показатели тесно связаны между собой и образуют индексные системы . Принята следующая практика факторного анализа : если результативный показатель = произведению объемного и качественного факторов, то качественный фактор фиксируется на уровне базисного периода; если же определяется влияние качественного показателя, то объемный фактор фиксируется на уровне отчетного периода. Рассмотрим построение взаимосвязанных индексов на примере индексов цен, физического объема продукции (если речь идет об отпускных ценах) или физического объема товарооборота (если речь идет о розничных ценах) и индекса стоимости продукции (товарооборота в фактических ценах). Индексы физического объема и цен являются факторными по отношению к индексу стоимости продукции (товарооборота в фактических ценах):
, или
. Таким образом, произведение индекса цен на индекс физического объема продукции дает индекс стоимости продукции (товарооборота в фактических ценах). Индексная система позволяет по двум известным значениям индексов найти значение третьего неизвестного. Индекс физического объема продукции: ;Помимо агрегатного способа расчета общих индексов существует и другой способ, который состоит в расчете общих индексов как средних из соответствующих индивидуальных индексов. К исчислению таких средневзвешенных индексов прибегают тогда, когда имеющаяся в распоряжении информация не позволяет рассчитать агрегатный индекс. Так, если неизвестны количества произведенных отдельных продуктов в натуральных измерителях, но известны индивидуальные индексы
и стоимость продукции базисного периода (p 0 q 0 ), можно определить средний арифметический индекс физического объема продукции. Исходной базой построения служит агрегатная форма. Из имеющихся данных можно получить только знаменатель этой формулы. Для нахождения числителя используется формула индивидуального индекса объема продукции, из которой следует, что q 1 = q 0 i q . Подставляя данное выражение в числитель агрегатной формы, получаем общий индекс физического объема в форме среднего арифметического индекса физического объема продукции , где весами служит стоимость отдельных видов продукции в базисном периоде (q 0 p 0 ):
.

Если данные представлены в виде аналитической группировки, то можно вычислить дисперсию общую, межгрупповую и внутригрупповую (табл. 11).

Таблица 11

Виды дисперсий и правило сложения дисперсий

Наименование дисперсии	Формула расчета
простая (незвешенная)	взвешенная
Общая дисперсия измеряет вариацию признака во всей совокупности под влиянием всех факторов
Межгрупповая дисперсия измеряет систематическую вариацию, возникшую под влиянием группировочного признака
Средняя по -той группе; - средняя по всей совокупности; - число единиц совокупности- число единиц в -той группе
Внутригрупповая (частная) дисперсия, рассчитывается отдельно для каждой группы
Индивидуальные значения признака в -той группе; - средняя -той группы; - число единиц в совокупности; - число единиц в -той группе
Средняя внутригрупповая дисперсия измеряет случайную вариацию, возникающую под влиянием всех факторов, кроме группировочного признака
Правило сложения дисперсий

На основании правила сложения дисперсий рассчитывают:

1) эмпирический коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака, обусловленную вариацией группировочного признака:

2) эмпирическое корреляционное отношение показывает тесноту связи между группировочным и результативным признаками:

Эмпирическое корреляционное отношение варьирует от 0 до 1. При связи нет, при - связь полная.

Промежуточные значения оцениваются по шкале Чэддока:

Дисперсия альтернативного признака

Альтернативный признак - качественный признак, который может принимать только одно значение из двух. Например, пол - мужской или женский; семейное положение - состоит в браке или нет; продукция - годная или бракованная. Одна часть совокупности обладает альтернативным признаком, другая нет. Доля единиц обладающих альтернативным (изучаемым) признаком обозначается - р, необладающих - q. Наличие альтернативного признака у единиц совокупности обозначается 1, отсутствие - 0.

Понятие вариации

Средняя дает обобщающую характеристику всей совокупности изучаемого явления.

Вариацией признака называется различие индивидуальных значений признака внутри изучаемой совокупности.

Средняя величина является абстрактной, обобщающей характеристикой признака изучаемой совокупности, но она не показывает строение совокупности.

Средняя величина не дает представления о том, как отдельные значения изучаемого признака группируются вокруг средней, сосредоточены ли они вблизи или значительно отклоняются от неё.

Если отдельные значения признака близки к средней арифметической, то в этом случае средняя хорошо представляет всю совокупность. И наоборот.

Колеблемость отдельных значений характеризуют показатели вариации.

Термин «вариация» произошел от латинского variatio – изменение, колеблемость, различие. Однако не всякие различия принято называть вариацией.

Под вариацией в статистике понимают такие количественные изменения величины исследуемого признака в пределах однородной совокупности, которые обусловлены перекрещивающимся влиянием действия различных факторов. Различают вариацию признака в абсолютных и относительных величинах. Абсолютная – R, L, σ, σ 2 .

Показатели вариации

1 совокупность	2 совокупность
n=5 80, 100, 120, 200, 300	n=8 145, 150, 155, 160, 160, 162, 168, 180

80 100 120 x 200 300

Поэтому в этом случае возникает необходимость определить вариацию признака, т.е. соотношение отдельных значений ряда относительно друг друга.

Показатели вариации

1. Размах вариации, представляет собой разность между максимальным и минимальным значением признака.

R = X max - X min

R 1 = 300-80=220 R 2 =180-145=35

Практика: для однородной совокупности, для контроля качества продукции.

2. Показатели, учитывающие отклонения всех вариантов от средней арифметической.

а) Среднее линейное отклонение

б) Среднее квадратическое отклонение

Среднее линейное отклонение представляет собой среднее арифметическое из абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от средней.

для не сгруппированных:

;

для сгруппированных:

Практика: с его помощью анализируется:

1. Состав работающих

2. Ритмичность производства

3. Равномерность поставок материалов

Недостаток: этот показатель усложняет расчеты вероятного типа, затрудняет применение методов математической статистики

Среднее квадратическое отклонение (стандартное) – это

для не сгруппированных данных

для сгруппированных данных

Для умеренно асимметричных распределений

Среднее квадратическое отклонение, как и среднее линейное отклонение – это абсолютный показатель, выражается в тех же единицах, что и среднее арифметическое.

Показатели среднего квадратического или среднего линейного отклонений для двух совокупностей оказываются несопоставимыми, если сами признака у этих совокупностей неодинаковы. Несопоставляются эти показатели и для разных признаков одной совокупности. Т.е. когда средние в обеих совокупностях выражены в одних и тех же единицах измерения и одинаковы, сопоставление возможно и отразит различия в вариации признака.

Среднее квадратическое отклонение является мерилом надежности средней. Чем меньше σ, тем лучше среднее арифметическое отражает собой всю представляемую совокупность.

3. Дисперсия используется для измерения колеблемости признака. Этот показатель более объективно отражает меру вариации

для не сгруппированных

для сгруппированных

Отличительной особенностью данного показатели является то, что при возведении в квадрат удельный вес малых отклонений падает, а больших увеличивается в общей сумме отклонений.

Это тоже абсолютный показатель

Дисперсия обладает рядом свойств, некоторые из них позволяют упростить её вычисление:

1. Дисперсия постоянной величины равна 0

2. Если все варианты значений признака (x) ↓ на одно и то же число, то дисперсия не уменьшается

3. Если все варианты ↓ в одно и то же число раз (K раз), то дисперсия ↓ в К 2 раз

x	f	x "

x в 100 раз

Дисперсия σ равна 0,909*10000=9090

Выше был рассмотрен расчет показателей вариации для количественных признаков, но может ставиться задача оценки вариации качественных признаков . Например, при изучении качества изготовленной продукции можно разделить на годную и бракованную.

В таком случае речь идет об альтернативных признаках.

Дисперсия альтернативного признака

Альтернативными признаками называются такие, которыми одни единицы совокупности обладают, а другие нет. Например, наличие производственного стажа у абитуриентов, ученая степень у преподавателей ВУЗов и т.д. Наличие признака у единиц совокупности условно обозначаем через 1, а отсутствие – 0. х 1 =1, х 2 =0. Долю единиц, обладающих признаком (в общей совокупности) обозначаем через р, а долю единиц, не обладающих – через q. Т.е. p+q=1, q=1-p.

Рассчитаем среднее значение альтернативного признака

; ;

Т.е. среднее значение альтернативного признака равно доли единиц, обладающих данными признаками, на долю единиц, не обладающих данными признаками.

Среднее квадратическое отклонение равно Б p =

Проверяется качество: 1000 готовых изделий, 20 бракованных.

Находим долю брака: (20/1000)*100%=0,02%

Дисперсия обладает рядом свойств , которые позволяют упростить расчет.

1. Если из всех значений вариант отнять какое-то постоянное число А, то среднее квадратическое отклонение от этого не изменится.