Definice a znaky sinus, kosinus, tangens úhlu. Jak si zapamatovat hodnoty kosinusu a sinusu hlavních bodů číselného kruhu Trigonometrický kruh kladný a záporný

Jednoduše řečeno, jde o zeleninu vařenou ve vodě podle speciální receptury. Zvážím dvě počáteční složky (zeleninový salát a voda) a konečný výsledek - boršč. Geometricky to může být znázorněno jako obdélník, ve kterém jedna strana označuje salát, druhá strana označuje vodu. Součet těchto dvou stran bude označovat boršč. Úhlopříčka a plocha takového obdélníku "boršč" jsou čistě matematické pojmy a nikdy se nepoužívají v receptech na boršč.

Jak se hlávkový salát a voda promění v boršč z hlediska matematiky? Jak se může součet dvou segmentů proměnit v trigonometrii? Abychom to pochopili, potřebujeme lineární úhlové funkce.

O lineárních úhlových funkcích v učebnicích matematiky nic nenajdete. Ale bez nich nemůže být žádná matematika. Zákony matematiky, stejně jako zákony přírody, fungují, ať víme, že existují, nebo ne.

Lineární úhlové funkce jsou zákony sčítání. Podívejte se, jak se algebra mění v geometrii a geometrie v trigonometrii.

Je možné se obejít bez lineárních úhlových funkcí? Můžete, protože matematici se bez nich stále obejdou. Trik matematiků spočívá v tom, že nám vždy říkají jen o těch problémech, které sami dokážou vyřešit, a nikdy nám neřeknou o problémech, které vyřešit neumí. Vidět. Známe-li výsledek sčítání a jeden člen, pomocí odčítání najdeme druhý člen. Všechno. Jiné problémy neznáme a nejsme schopni je řešit. Co dělat, když známe pouze výsledek sčítání a neznáme oba pojmy? V tomto případě je třeba výsledek sčítání rozložit na dva členy pomocí lineárních úhlových funkcí. Dále si sami vybíráme, jaký může být jeden člen, a lineární úhlové funkce ukazují, jaký by měl být druhý člen, aby výsledek sčítání byl přesně takový, jaký potřebujeme. Takových dvojic pojmů může být nekonečně mnoho. V běžném životě si vedeme velmi dobře, aniž bychom součet rozkládali, stačí nám odčítání. Ale při vědeckých studiích přírodních zákonů může být rozšíření součtu na termíny velmi užitečné.

Další zákon sčítání, o kterém matematici neradi mluví (jejich další trik), vyžaduje, aby výrazy měly stejnou měrnou jednotku. U salátu, vody a boršče to mohou být jednotky hmotnosti, objemu, ceny nebo měrné jednotky.

Obrázek ukazuje dvě úrovně rozdílu pro matematiku. První úrovní jsou rozdíly v poli čísel, které jsou uvedeny A, b, C. To je to, co dělají matematici. Druhou úrovní jsou rozdíly v oblasti měrných jednotek, které jsou uvedeny v hranatých závorkách a jsou označeny písmenem U. To je to, co fyzikové dělají. Můžeme chápat třetí rovinu – rozdíly v rozsahu popisovaných objektů. Různé objekty mohou mít stejný počet stejných měrných jednotek. Jak je to důležité, můžeme vidět na příkladu trigonometrie boršče. Pokud ke stejnému zápisu měrných jednotek různých objektů přidáme dolní indexy, můžeme přesně říci, jaká matematická veličina popisuje konkrétní objekt a jak se mění v čase nebo v souvislosti s naším jednáním. dopis W Vodu označím písmenem S Salát označím písmenem B- boršč. Zde je návod, jak by vypadaly funkce lineárního úhlu pro boršč.

Pokud odebereme část vody a část salátu, společně se promění v jednu porci boršče. Zde vám navrhuji, abyste si trochu odpočinuli od boršče a zavzpomínali na své vzdálené dětství. Pamatujete si, jak nás učili skládat zajíčky a kachny dohromady? Bylo nutné zjistit, kolik zvířat dopadne. Co nás tedy učili dělat? Naučili nás oddělovat jednotky od čísel a sčítat čísla. Ano, libovolné číslo lze přidat k libovolnému jinému číslu. To je přímá cesta k autismu moderní matematiky – nerozumíme čemu, není jasné proč, a velmi špatně rozumíme tomu, jak to souvisí s realitou, protože matematici operují pouze na jedné úrovni rozdílu. Bude správnější naučit se přecházet z jedné jednotky měření na druhou.

A zajíčci, kachny a zvířátka se dají spočítat na kusy. Jedna společná jednotka měření pro různé objekty nám umožňuje je sčítat. Toto je dětská verze problému. Podívejme se na podobný problém pro dospělé. Co získáte, když přidáte zajíčky a peníze? Zde jsou dvě možná řešení.

První možnost. Určíme tržní hodnotu zajíčků a přidáme ji k dostupné hotovosti. Dostali jsme celkovou hodnotu našeho bohatství v penězích.

Druhá možnost. K počtu bankovek, které máme, můžete přidat počet zajíčků. Množství movitého majetku získáme na kusy.

Jak vidíte, stejný zákon sčítání umožňuje získat různé výsledky. Vše záleží na tom, co přesně chceme vědět.

Ale zpět k našemu boršči. Nyní vidíme, co se stane pro různé hodnoty úhlu funkcí lineárního úhlu.

Úhel je nulový. Máme salát, ale žádnou vodu. Nemůžeme vařit boršč. Nulové je také množství boršče. To vůbec neznamená, že nulový boršč se rovná nule vody. Nulový boršč může být i na nulovém salátu (pravý úhel).

Pro mě osobně je to hlavní matematický důkaz toho, že . Nula po přidání nemění číslo. Je to proto, že samotné sčítání je nemožné, pokud existuje pouze jeden člen a druhý člen chybí. Můžete se k tomu vztahovat, jak chcete, ale pamatujte – všechny matematické operace s nulou vymysleli sami matematici, takže zahoďte logiku a hloupě cpete definice vymyšlené matematiky: „dělení nulou je nemožné“, „libovolné číslo vynásobené nulou“ rovná se nule“, „za bodem nula“ a další nesmysly. Stačí si jednou zapamatovat, že nula není číslo, a už nikdy nebudete mít otázku, zda je nula přirozené číslo nebo ne, protože taková otázka obecně ztrácí veškerý význam: jak lze považovat číslo za číslo, které není číslem? . Je to jako ptát se, jaké barvě přiřadit neviditelnou barvu. Přidání nuly k číslu je jako malování barvou, která neexistuje. Zamávali suchým štětcem a všem řekli, že „máme natřeno“. Ale to jsem trochu odbočil.

Úhel je větší než nula, ale menší než čtyřicet pět stupňů. Máme hodně salátu, ale málo vody. V důsledku toho získáme hustý boršč.

Úhel je čtyřicet pět stupňů. Máme stejné množství vody a salátu. Tohle je perfektní boršč (nech mi kuchařky prominou, je to jen matematika).

Úhel je větší než čtyřicet pět stupňů, ale menší než devadesát stupňů. Máme hodně vody a málo salátu. Získejte tekutý boršč.

Pravý úhel. Máme vodu. Na salát zůstaly jen vzpomínky, protože pokračujeme v měření úhlu od čáry, která kdysi salát označovala. Nemůžeme vařit boršč. Množství boršče je nulové. V tom případě vydržte a pijte vodu, dokud je k dispozici)))

Tady. Něco takového. Mohu zde vyprávět další příběhy, které se zde budou více než hodit.

Oba přátelé měli své podíly na společném podnikání. Po vraždě jednoho z nich vše připadlo na druhého.

Vznik matematiky na naší planetě.

Všechny tyto příběhy jsou vyprávěny jazykem matematiky pomocí lineárních úhlových funkcí. Někdy jindy vám ukážu skutečné místo těchto funkcí ve struktuře matematiky. Mezitím se vraťme k trigonometrii boršče a uvažujme projekce.

Sobota 26. října 2019

Shlédl jsem zajímavé video o Grandiho řada Jedna mínus jedna plus jedna mínus jedna - Numberphile. Matematici lžou. Ve svých úvahách neprovedli test rovnosti.

To rezonuje s mým uvažováním o .

Podívejme se blíže na známky toho, že nás matematici podvádějí. Hned na začátku úvahy matematici říkají, že součet posloupnosti ZÁVISÍ na tom, zda je v ní počet prvků sudý či nikoliv. To je OBJEKTIVNĚ ZJISTITÝ FAKT. Co se stane dál?

Dále matematici odečítají posloupnost od jednoty. K čemu to vede? To vede ke změně počtu prvků v posloupnosti – sudé číslo se změní na liché, liché na sudé. Koneckonců jsme do sekvence přidali jeden prvek rovný jedné. Přes veškerou vnější podobnost se sekvence před transformací nerovná sekvenci po transformaci. I když mluvíme o nekonečné posloupnosti, musíme si pamatovat, že nekonečná posloupnost s lichým počtem prvků se nerovná nekonečné posloupnosti se sudým počtem prvků.

Vložením rovnítka mezi dvě posloupnosti různé v počtu prvků matematici tvrdí, že součet posloupnosti NEZÁVISÍ na počtu prvků v posloupnosti, což je v rozporu s OBJEKTIVNĚ PROVEDENÝM FAKTEM. Další úvahy o součtu nekonečné posloupnosti jsou nepravdivé, protože jsou založeny na falešné rovnosti.

Pokud vidíte, že matematici v průběhu důkazů umisťují závorky, přeskupují prvky matematického výrazu, něco přidávají nebo ubírají, buďte velmi opatrní, pravděpodobně se vás snaží oklamat. Stejně jako zaklínači karet i matematici odvádějí vaši pozornost různými manipulacemi s výrazem, aby vám nakonec dali falešný výsledek. Pokud nemůžete zopakovat trik s kartami, aniž byste znali tajemství podvádění, pak je v matematice všechno mnohem jednodušší: o podvádění nemáte ani podezření, ale opakování všech manipulací s matematickým výrazem vám umožní přesvědčit ostatní o tom, správnost výsledku, stejně jako když vás přesvědčili.

Otázka z publika: A nekonečno (jako počet prvků v posloupnosti S), je sudé nebo liché? Jak můžete změnit paritu něčeho, co žádnou paritu nemá?

Nekonečno pro matematiky je jako Království nebeské pro kněze - nikdo tam nikdy nebyl, ale každý přesně ví, jak tam všechno funguje))) Souhlasím, po smrti vám bude naprosto lhostejné, zda jste žili sudý nebo lichý počet dní , ale ... Když přidáme jen jeden den na začátku tvého života, dostaneme úplně jiného člověka: jeho příjmení, jméno a patronymie jsou úplně stejné, jen datum narození je úplně jiné - narodil se jako jeden den před vámi.

A teď k věci))) Předpokládejme, že konečná posloupnost, která má paritu, tuto paritu ztratí při přechodu do nekonečna. Pak každý konečný segment nekonečné posloupnosti musí také ztratit paritu. Toto nepozorujeme. To, že nemůžeme s jistotou říci, zda je počet prvků v nekonečné posloupnosti sudý nebo lichý, vůbec neznamená, že parita zmizela. Parita, pokud existuje, nemůže zmizet v nekonečnu beze stopy, jako v obalu ostřejší karty. Pro tento případ existuje velmi dobrá analogie.

Už jste se někdy zeptali kukačky sedící v hodinách, kterým směrem se otáčí hodinová ručička? U ní se šipka otáčí v opačném směru, než tomu říkáme „ve směru hodinových ručiček“. Může to znít paradoxně, ale směr otáčení závisí výhradně na tom, ze které strany rotaci pozorujeme. A tak máme jedno kolo, které se otáčí. Nemůžeme říci, kterým směrem rotace nastává, protože ji můžeme pozorovat jak z jedné strany roviny rotace, tak z druhé. O tom, že dochází k rotaci, můžeme jen dosvědčit. Úplná analogie s paritou nekonečné posloupnosti S.

Nyní přidáme druhé rotující kolo, jehož rovina rotace je rovnoběžná s rovinou rotace prvního rotačního kola. Stále nemůžeme přesně říci, kterým směrem se tato kola točí, ale můžeme s naprostou jistotou říci, zda se obě kola točí stejným směrem nebo opačným směrem. Porovnání dvou nekonečných sekvencí S a 1-S, ukázal jsem pomocí matematiky, že tyto posloupnosti mají různou paritu a dávat mezi ně rovnítko je chyba. Osobně matematice věřím, matematikům nevěřím))) Mimochodem, abychom plně pochopili geometrii transformací nekonečných posloupností, je nutné zavést pojem "simultánnost". To bude potřeba nakreslit.

Středa 7. srpna 2019

Na závěr rozhovoru o , musíme zvážit nekonečnou množinu. Dá se říci, že koncept „nekonečna“ působí na matematiky jako hroznýš na králíka. Chvějící se hrůza z nekonečna připravuje matematiky o zdravý rozum. Zde je příklad:

Původní zdroj je umístěn. Alfa označuje reálné číslo. Rovnítko ve výše uvedených výrazech znamená, že pokud k nekonečnu přidáte číslo nebo nekonečno, nic se nezmění, výsledkem bude stejné nekonečno. Vezmeme-li jako příklad nekonečnou množinu přirozených čísel, lze uvažované příklady znázornit následovně:

Aby matematici vizuálně dokázali svůj případ, přišli s mnoha různými metodami. Osobně se na všechny tyto metody dívám jako na tance šamanů s tamburínami. V podstatě všichni dojdou na to, že buď některé pokoje nejsou obsazené a jsou v nich usazeni noví hosté, nebo je část návštěvníků vyhozena na chodbu, aby uvolnila místo pro hosty (velmi lidsky). Svůj pohled na taková rozhodnutí jsem prezentovala formou fantastického příběhu o Blondýně. Na čem je založena moje úvaha? Přesun nekonečného počtu návštěvníků trvá nekonečně dlouho. Poté, co vyklidíme první pokoj pro hosty, bude vždy jeden z návštěvníků chodit po chodbě ze svého pokoje do dalšího až do konce času. Časový faktor lze samozřejmě hloupě ignorovat, ale to už bude z kategorie „zákon není psán pro hlupáky“. Vše závisí na tom, co děláme: přizpůsobujeme realitu matematickým teoriím nebo naopak.

Co je to „nekonečný hotel“? Infinity inn je hostinec, který má vždy libovolný počet volných míst, bez ohledu na počet obsazených pokojů. Pokud jsou všechny pokoje v nekonečné chodbě „pro návštěvy“ obsazeny, je zde další nekonečná chodba s pokoji pro „hosty“. Takových chodeb bude nekonečně mnoho. „Nekonečný hotel“ má přitom nekonečný počet pater v nekonečném počtu budov na nekonečném počtu planet v nekonečném počtu vesmírů stvořených nekonečným počtem Bohů. Matematici se naproti tomu nedokážou vzdálit banálním každodenním problémům: Bůh-Alláh-Buddha je vždy jen jeden, hotel je jeden, chodba je jen jedna. Matematici se tedy snaží žonglovat se sériovými čísly hotelových pokojů a přesvědčují nás, že je možné „strčit do nešvaru“.

Logiku své úvahy vám předvedu na příkladu nekonečné množiny přirozených čísel. Nejprve musíte odpovědět na velmi jednoduchou otázku: kolik množin přirozených čísel existuje - jedna nebo mnoho? Na tuto otázku neexistuje správná odpověď, protože jsme sami vynalezli čísla, v přírodě žádná čísla nejsou. Ano, příroda umí perfektně počítat, ale k tomu používá jiné matematické nástroje, které nám nejsou známé. Jak si příroda myslí, řeknu vám to jindy. Protože jsme vynalezli čísla, sami rozhodneme, kolik množin přirozených čísel existuje. Zvažte obě možnosti, jak se na skutečného vědce sluší a patří.

Možnost jedna. „Nechte nás dostat“ jedinou sadu přirozených čísel, která leží klidně na polici. Bereme tuto sadu z police. To je vše, žádná další přirozená čísla na poličce nezůstala a není ani kde vzít. Nemůžeme přidat jeden do této sady, protože ji již máme. Co když opravdu chceš? Žádný problém. Můžeme vzít jednotku z již odebrané sady a vrátit ji do police. Poté můžeme vzít jednotku z police a přidat ji k tomu, co nám zbylo. Výsledkem je opět nekonečná množina přirozených čísel. Všechny naše manipulace můžete napsat takto:

Zapsal jsem operace v algebraickém zápisu a v zápisu teorie množin s podrobným výčtem prvků množiny. Dolní index označuje, že máme jednu a jedinou sadu přirozených čísel. Ukazuje se, že množina přirozených čísel zůstane nezměněna pouze tehdy, když se od ní jedno odečte a stejné se přičte.

Možnost dvě. Na poličce máme mnoho různých nekonečných množin přirozených čísel. Zdůrazňuji - JINÉ, přesto, že jsou prakticky k nerozeznání. Bereme jednu z těchto sad. Pak vezmeme jedno z jiné množiny přirozených čísel a přidáme ho k množině, kterou jsme již vzali. Můžeme dokonce sečíst dvě sady přirozených čísel. Zde je to, co získáme:

Indexy „jedna“ a „dva“ označují, že tyto prvky patřily do různých sad. Ano, pokud přidáte jedničku k nekonečné množině, výsledkem bude také nekonečná množina, ale nebude stejná jako původní množina. Pokud se k jedné nekonečné množině přidá další nekonečná množina, výsledkem je nová nekonečná množina sestávající z prvků prvních dvou množin.

Množina přirozených čísel se používá k počítání stejně jako pravítko pro měření. Nyní si představte, že jste k pravítku přidali jeden centimetr. Toto již bude jiný řádek, který se nebude rovnat původnímu.

Můžete přijmout nebo nepřijmout moji úvahu - je to vaše věc. Pokud ale někdy narazíte na matematické problémy, zamyslete se, zda nejdete cestou falešného uvažování, prošlapaného generacemi matematiků. Hodiny matematiky v nás totiž v první řadě utvářejí ustálený stereotyp myšlení a teprve pak nám přidávají rozumové schopnosti (nebo naopak zbavují svobodného myšlení).

pozg.ru

Neděle 4. srpna 2019

Psal jsem příspěvek k článku o a viděl jsem tento úžasný text na Wikipedii:

Čteme: "...bohatý teoretický základ babylonské matematiky neměl celostní charakter a byl zredukován na soubor nesourodých technik, postrádající společný systém a důkazní základnu."

Páni! Jak jsme chytří a jak dobře dokážeme vidět nedostatky druhých. Je pro nás slabé dívat se na moderní matematiku ve stejném kontextu? Mírně parafrázuji výše uvedený text, osobně jsem dostal následující:

Bohatý teoretický základ moderní matematiky nemá celostní charakter a je redukován na soubor nesourodých oddílů, postrádajících společný systém a důkazní základnu.

Nebudu chodit daleko, abych potvrdil svá slova – má jazyk a konvence, které se liší od jazyka a konvencí mnoha jiných odvětví matematiky. Stejná jména v různých odvětvích matematiky mohou mít různé významy. Nejviditelnějším omylům moderní matematiky chci věnovat celý cyklus publikací. Brzy se uvidíme.

Sobota 3. srpna 2019

Jak rozdělit množinu na podmnožiny? Chcete-li to provést, musíte zadat novou měrnou jednotku, která je přítomna v některých prvcích vybrané sady. Zvažte příklad.

Ať máme mnoho ALE skládající se ze čtyř lidí. Tato sada je tvořena na základě "lidí" Označme prvky této sady prostřednictvím písmene A, dolní index s číslem bude uvádět pořadové číslo každé osoby v této sadě. Zaveďme novou měrnou jednotku „sexuální charakteristika“ a označme ji písmenem b. Protože sexuální charakteristiky jsou vlastní všem lidem, násobíme každý prvek souboru ALE na pohlaví b. Všimněte si, že naše sada „lidé“ se nyní stala sadou „lidé s pohlavím“. Poté můžeme pohlavní znaky rozdělit na mužské bm a dámské bw genderové charakteristiky. Nyní můžeme použít matematický filtr: vybereme jednu z těchto sexuálních charakteristik, nezáleží na tom, která je mužská nebo ženská. Je-li v člověku přítomen, pak ho vynásobíme jednou, pokud takový znak neexistuje, vynásobíme ho nulou. A pak aplikujeme obvyklou školní matematiku. Podívejte se, co se stalo.

Po násobení, redukcích a přeskupení jsme dostali dvě podmnožiny: mužskou podmnožinu bm a podskupina žen bw. Přibližně stejným způsobem uvažují matematici, když aplikují teorii množin v praxi. Ale nepouštějí nás do detailů, ale dávají nám hotový výsledek – „spousta lidí se skládá z podmnožiny mužů a podmnožiny žen“. Přirozeně vás může napadnout otázka, jak správně aplikovat matematiku ve výše uvedených transformacích? Troufám si vás ujistit, že ve skutečnosti jsou transformace provedeny správně, stačí znát matematické zdůvodnění aritmetiky, Booleovy algebry a dalších úseků matematiky. co to je? Někdy jindy vám o tom povím.

Pokud jde o nadmnožiny, je možné spojit dvě sady do jedné nadmnožiny výběrem měrné jednotky, která je přítomna v prvcích těchto dvou sad.

Jak vidíte, jednotky měření a běžná matematika dělají z teorie množin minulost. Známkou toho, že s teorií množin není vše v pořádku, je to, že matematici přišli s vlastním jazykem a notací pro teorii množin. Matematici dělali to, co kdysi dělali šamani. Jen šamani vědí, jak „správně“ uplatnit své „znalosti“. Tyto "znalosti" nás učí.

Na závěr vám chci ukázat, jak matematici manipulují
Řekněme, že Achilles běží desetkrát rychleji než želva a je tisíc kroků za ní. Během doby, během které Achilles uběhne tuto vzdálenost, želva ujde sto kroků stejným směrem. Když Achilles uběhne sto kroků, želva se plazí dalších deset kroků a tak dále. Proces bude pokračovat donekonečna, Achilles želvu nikdy nedohoní.

Tato úvaha se stala logickým šokem pro všechny následující generace. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Ti všichni tak či onak považovali Zenónovy aporie. Šok byl tak silný, že " ... diskuse pokračují i ​​v současné době, vědecká komunita se dosud nedokázala shodnout na podstatě paradoxů ... do studia problematiky byla zapojena matematická analýza, teorie množin, nové fyzikální a filozofické přístupy ; žádný z nich se nestal všeobecně přijímaným řešením problému..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Každý chápe, že je klamán, ale nikdo nechápe, co je to podvod.

Z hlediska matematiky Zeno ve svých aporiích jasně demonstroval přechod od hodnoty k. Tento přechod znamená použití místo konstant. Pokud jsem pochopil, matematický aparát pro aplikaci proměnných jednotek měření buď ještě nebyl vyvinut, nebo nebyl aplikován na Zenónovu aporii. Použití naší obvyklé logiky nás zavede do pasti. My setrvačností myšlení aplikujeme konstantní jednotky času na reciproční. Z fyzického hlediska to vypadá na zpomalení času až úplné zastavení ve chvíli, kdy Achilles želvu dožene. Pokud se čas zastaví, Achilles už nemůže želvu předběhnout.

Pokud obrátíme logiku, na kterou jsme zvyklí, vše do sebe zapadne. Achilles běží konstantní rychlostí. Každý následující úsek jeho cesty je desetkrát kratší než ten předchozí. Čas strávený na jeho překonání je tedy desetkrát kratší než ten předchozí. Pokud v této situaci použijeme pojem "nekonečno", pak by bylo správné říci "Achilles nekonečně rychle předběhne želvu."

Jak se této logické pasti vyhnout? Zůstaňte v konstantních jednotkách času a nepřecházejte na reciproční hodnoty. V Zenoově jazyce to vypadá takto:

Za dobu, kterou Achilles uběhne tisíc kroků, se želva plazí sto kroků stejným směrem. Během dalšího časového intervalu, který se rovná prvnímu, uběhne Achilles dalších tisíc kroků a želva ujde sto kroků. Nyní je Achilles osm set kroků před želvou.

Tento přístup adekvátně popisuje realitu bez jakýchkoli logických paradoxů. Ale to není úplné řešení problému. Einsteinův výrok o nepřekonatelnosti rychlosti světla je velmi podobný Zenónově aporii „Achilles a želva“. Tento problém musíme ještě studovat, přehodnotit a vyřešit. A řešení je třeba hledat ne v nekonečně velkém počtu, ale v měrných jednotkách.

Další zajímavá aporie Zeno vypráví o létajícím šípu:

Letící šíp je nehybný, protože je v každém okamžiku v klidu, a protože je v každém okamžiku v klidu, je vždy v klidu.

V této aporii se logický paradox překonává velmi jednoduše – stačí si ujasnit, že v každém okamžiku letící šíp spočívá v různých bodech prostoru, což je ve skutečnosti pohyb. Zde je třeba poznamenat ještě jeden bod. Z jedné fotografie auta na silnici není možné určit ani skutečnost jeho pohybu, ani vzdálenost k němu. K určení skutečnosti pohybu automobilu jsou zapotřebí dvě fotografie pořízené ze stejného bodu v různých časových okamžicích, ale nelze je použít k určení vzdálenosti. Pro určení vzdálenosti k autu potřebujete dvě fotografie pořízené z různých bodů v prostoru současně, ale nemůžete z nich určit skutečnost pohybu (přirozeně stále potřebujete další data pro výpočty, pomůže vám trigonometrie). Chci poukázat zejména na to, že dva body v čase a dva body v prostoru jsou dvě různé věci, které by se neměly zaměňovat, protože poskytují různé příležitosti k průzkumu.
Postup ukážu na příkladu. Vybíráme "červená pevná látka v pupínku" - to je náš "celek". Zároveň vidíme, že tyto věci jsou s mašlí a jsou bez mašle. Poté vybereme část „celku“ a vytvoříme sadu „s mašličkou“. Takto se šamani živí tím, že spojují svou teorii množin s realitou.

Nyní uděláme malý trik. Vezměme „pevné v pupínku s mašlí“ a sjednoťme tyto „celek“ podle barvy a vybereme červené prvky. Dostali jsme hodně "červené". Nyní záludná otázka: jsou přijaté sady "s mašličkou" a "červenou" stejnou sadou nebo dvěma různými sadami? Odpověď znají jen šamani. Přesněji oni sami nic nevědí, ale jak říkají, tak je.

Tento jednoduchý příklad ukazuje, že teorie množin je zcela zbytečná, pokud jde o realitu. Jaké je tajemství? Vytvořili jsme sadu "červený pevný pupínek s mašlí". Formování probíhalo podle čtyř různých měrných jednotek: barva (červená), síla (plná), drsnost (v hrbolu), dekorace (s mašlí). Pouze množina měrných jednotek umožňuje adekvátně popsat skutečné objekty v jazyce matematiky. Tady je to, jak to vypadá.

Písmeno "a" s různými indexy označuje různé jednotky měření. V závorkách jsou zvýrazněny měrné jednotky, podle kterých je v předběžné fázi přidělen „celek“. Jednotka měření, podle které je sestava tvořena, je vyjmuta ze závorek. Poslední řádek zobrazuje konečný výsledek - prvek sady. Jak vidíte, pokud použijeme jednotky k vytvoření množiny, pak výsledek nezávisí na pořadí našich akcí. A to je matematika a ne tance šamanů s tamburínami. Šamani mohou „intuitivně“ dojít ke stejnému výsledku a argumentovat „samozřejmostí“, protože jednotky měření nejsou zahrnuty v jejich „vědeckém“ arzenálu.

Pomocí měrných jednotek je velmi snadné rozbít jednu nebo spojit několik sad do jedné nadmnožiny. Podívejme se blíže na algebru tohoto procesu.

V minulé lekci jsme si úspěšně osvojili (nebo zopakovali – jak kdo chce) klíčové pojmy celé trigonometrie. to trigonometrický kruh , úhel na kruhu , sinus a kosinus tohoto úhlu a také zvládnuté znaky goniometrických funkcí ve čtvrtinách . Naučil se podrobně. Na prstech, dalo by se říci.

Ale to stále nestačí. Abychom mohli všechny tyto jednoduché koncepty úspěšně aplikovat v praxi, potřebujeme další užitečnou dovednost. Totiž ten správný práce s rohy v trigonometrii. Bez této dovednosti v trigonometrii - nic. I v těch nejprimitivnějších příkladech. Proč? Ano, protože úhel je klíčovou hereckou postavou v celé trigonometrii! Ne, ne goniometrické funkce, ne sinus s kosinus, ne tangens s kotangens, jmenovitě samotný roh. Žádný úhel - žádné goniometrické funkce, ano ...

Jak pracovat s rohy na kruhu? K tomu se musíme ironicky naučit dva body.

1) Jak Počítají se úhly na kružnici?

2) Co jsou počítány (měřeny)?

Odpověď na první otázku je tématem dnešní lekce. První otázkou se budeme podrobně zabývat právě tady a teď. Odpověď na druhou otázku zde nebude uvedena. Protože je dost vyvinutá. Stejně jako samotná druhá otázka je velmi kluzká, ano.) Zatím nebudu zacházet do podrobností. Toto je téma další samostatné lekce.

Můžeme začít?

Jak se počítají úhly na kružnici? Pozitivní a negativní úhly.

Těm, kteří si přečetli nadpis odstavce, už možná vstávají vlasy na hlavě. Jak to?! Negativní rohy? Je to vůbec možné?

k negativnímu čísla už jsme si zvykli. Můžeme je znázornit na číselné ose: kladné napravo od nuly, záporné nalevo od nuly. Ano a pravidelně se díváme na teploměr za oknem. Hlavně v zimě, v mrazu.) A peníze na telefonu jsou v "minusu" (t.j. povinnost) někdy odejít. Je to všechno známé.

Ale co rohy? Ukazuje se, že negativní úhly v matematice také stát! Vše záleží na tom, jak počítat právě tento úhel ... ne, ne na číselné ose, ale na číselném kruhu! Tedy v kruhu. Kruh - tady to je, analogie číselné osy v trigonometrii!

Tak, Jak se počítají úhly na kružnici? Nedá se nic dělat, nejdříve budeme muset nakreslit právě tento kruh.

Nakreslím tento krásný obrázek:

Je velmi podobný obrázkům z předchozí lekce. Existují osy, existuje kruh, existuje úhel. Objevují se ale i nové informace.

Dále jsem přidal čísla pro 0°, 90°, 180°, 270° a 360° na osách. Teď je to zajímavější.) Jaká jsou tato čísla? Správně! Toto jsou hodnoty úhlů naměřených z naší pevné strany, které spadají na souřadnicových osách. Připomínáme, že pevná strana úhlu je vždy pevně připojena ke kladné poloose OX. A jakýkoli úhel v trigonometrii se měří od této poloosy. Tento základní původ úhlů je třeba mít ironicky na paměti. A osy - protínají se v pravém úhlu, ne? V každé čtvrtině tedy přidáme 90°.

A další přidané červená šipka. S plusem. Ta červená má schválně upoutat pozornost. A utkvělo mi to v paměti dobře. Neboť to je třeba si spolehlivě zapamatovat.) Co znamená tato šipka?

Tak to dopadne, když zahneme za roh plus šipka(proti směru hodinových ručiček, v průběhu číslování čtvrtin), pak úhel bude považováno za pozitivní! Obrázek ukazuje jako příklad úhel +45°. Mimochodem, vezměte prosím na vědomí, že axiální úhly 0°, 90°, 180°, 270° a 360° jsou také přesně přetočeny v plusu! Podle červené šipky.

Nyní se podívejme na další obrázek:

Téměř vše je zde stejné. Očíslovány jsou pouze úhly na osách obrácený. Ve směru hodinových ručiček. A mají znaménko mínus.) modrá šipka. Taky s mínusem. Tato šipka je směr záporného čtení úhlů na kružnici. Ukazuje nám, že když odložíme náš koutek ve směru hodinových ručiček, pak úhel bude považován za záporný. Například jsem ukázal úhel -45°.

Mimochodem, mějte na paměti, že číslování čtvrtletí se nikdy nemění! Je jedno, jestli zatáčky namotáváme plus nebo mínus. Vždy přísně proti směru hodinových ručiček.)

Zapamatovat si:

1. Začátek počítání úhlů je od kladné poloosy ОХ. Za hodinu - "mínus", proti času - "plus".

2. Číslování čtvrtin je vždy proti směru hodinových ručiček, bez ohledu na směr výpočtu úhlů.

Mimochodem, podepisování úhlů na osách 0°, 90°, 180°, 270°, 360° při každém kreslení kružnice není vůbec podmínkou. To je čistě pro pochopení podstaty. Ale tato čísla musí být přítomna v tvojí hlavě při řešení jakéhokoli problému v trigonometrii. Proč? Ano, protože tato základní znalost dává odpovědi na mnoho dalších otázek v celé trigonometrii! Nejdůležitější otázkou je do které čtvrtiny spadá úhel, který nás zajímá? Věřte nebo ne, správná odpověď na tuto otázku řeší lví podíl všech ostatních problémů s trigonometrií. Této důležité lekci (rozdělení úhlů na čtvrtiny) se budeme věnovat ve stejné lekci, ale o něco později.

Hodnoty úhlů ležících na souřadnicových osách (0°, 90°, 180°, 270° a 360°) je třeba si zapamatovat! Pamatuj pevně, na automatismus. A to jak v plusu, tak v mínusu.

Od této chvíle ale začínají první překvapení. A spolu s nimi záludné otázky adresované mně, ano...) A co se stane, když negativní úhel na kruhu odpovídat pozitivnímu? Ukázalo se, že stejný bod na kruhu lze označit jako kladný úhel a záporný ???

Docela správný! Tak to je.) Například kladný úhel +270° zabírá na kružnici stejnou pozici , což je záporný úhel -90°. Nebo například kladný úhel +45° na kružnici zabere stejnou pozici , což je záporný úhel -315°.

Podíváme se na další obrázek a vidíme vše:

Podobně kladný úhel +150° půjde tam, kde negativní úhel -210°, kladný úhel +230° půjde do stejného místa jako negativní úhel -130°. A tak dále…

A co teď můžu dělat? Jak přesně počítat úhly, je-li to možné tak a tak? Jak správně?

Odpovědět: každopádně správně! Matematika nezakazuje žádný ze dvou směrů počítání úhlů. A výběr konkrétního směru závisí pouze na úkolu. Pokud úloha neříká nic v prostém textu o znaménku úhlu (např „určit největší negativní roh" atd.), pak pracujeme s pro nás nejvhodnějšími úhly.

Samozřejmě, že například v tak cool tématech, jako jsou goniometrické rovnice a nerovnice, může mít směr výpočtu úhlů obrovský vliv na odpověď. A v příslušných tématech se budeme těmito úskalími zabývat.

Zapamatovat si:

Jakýkoli bod na kružnici lze označit kladnými i zápornými úhly. Kdokoliv! Co chceme.

Nyní se nad tím zamysleme. Zjistili jsme, že úhel 45° je přesně stejný jako úhel -315°? Jak jsem se o těchto stejných 315 dozvěděl° ? Neuhodnete? Ano! Úplným otočením.) O 360°. Máme úhel 45°. Kolik chybí do úplné zatáčky? Odečíst 45° od 360° - tady máme 315° . Navíjíme v negativním směru - a získáme úhel -315 °. Stále nejasné? Pak se znovu podívejte na obrázek výše.

A to by se mělo dělat vždy při převodu kladných úhlů na záporné (a naopak) - nakreslete kruh, pozn. o daný úhel zvážíme, kolik stupňů chybí do úplného otočení, a výsledný rozdíl natočíme opačným směrem. A to je vše.)

Co dalšího je zajímavého na rozích, které zaujímají stejnou pozici na kruhu, co myslíte? A skutečnost, že takové rohy přesně to samé sinus, kosinus, tangens a kotangens! Je vždy!

Například:

Sin45° = hřích (-315°)

Cos120° = cos(-240°)

Tg249° = Tg(-111°)

Ctg333° = ctg(-27°)

A to je teď nesmírně důležité! za co? Ano, vše za stejné!) Pro zjednodušení výrazů. Pro zjednodušení výrazů je klíčový postup pro úspěšné řešení žádnýúkoly z matematiky. A také trigonometrie.

Takže jsme přišli na obecné pravidlo pro počítání úhlů na kružnici. No, kdybychom zde naznačili úplné zatáčky, zhruba čtvrtiny, pak by bylo načase zkroutit a nakreslit právě tyto rohy. Budeme kreslit?)

Začněme s pozitivní rohy. Budou se snadněji kreslit.

Kreslení úhlů v rámci jedné otáčky (mezi 0° a 360°).

Narýsujme si například úhel 60°. Vše je zde jednoduché, žádné kudrlinky. Kreslíme souřadnicové osy, kružnici. Můžete přímo ručně, bez jakéhokoli kompasu a pravítka. Kreslíme schematicky A: Nemáme s vámi draftování. Není třeba dodržovat GOST, nebudou potrestáni.)

Můžete (pro sebe) označit hodnoty úhlů na osách a označit šipku ve směru proti hodinám. Koneckonců, budeme šetřit peníze jako plus?) Nemůžete to udělat, ale musíte mít vše v hlavě.

A nyní nakreslíme druhou (pohyblivou) stranu rohu. Jaké čtvrtletí? V první, samozřejmě! Pro 60 stupňů je přesně mezi 0° a 90°. V první čtvrtině tedy remizujeme. pod úhlem o 60 stupňů na pevnou stranu. Jak počítat o 60 stupňů bez úhloměru? Snadno! 60° je dvě třetiny pravého úhlu! První čtvrtinu kruhu mentálně rozdělíme na tři části, dvě třetiny si vezmeme pro sebe. A kreslíme ... Kolik se tam skutečně dostaneme (pokud připojíme úhloměr a změříme to) - 55 stupňů nebo 64 - na tom nezáleží! Důležité je, že stále někde asi 60°.

Dostaneme obrázek:

To je vše. A nebyly potřeba žádné nástroje. Rozvíjíme oko! Bude se to hodit při problémech s geometrií.) Tato nevzhledná kresba může být nepostradatelná, když potřebujete ve spěchu poškrábat kruh a úhel, aniž byste skutečně mysleli na krásu. Ale zároveň čmárat že jo, bez chyb, se všemi potřebnými informacemi. Například jako pomůcka při řešení goniometrických rovnic a nerovnic.

Nyní nakreslíme úhel, například 265°. Hádejte, kde by to mohlo být? No, je jasné, že ne v prvním čtvrtletí a dokonce ani ve druhém: končí na 90 a 180 stupních. Můžete si myslet, že 265° je 180° plus dalších 85°. To znamená, že k záporné poloose OX (kde 180°) je třeba přičíst o 85°. Nebo, ještě snadněji, odhadnout, že 265° nedosahuje záporné poloosy OY (kde 270°) nějakých nešťastných 5°. Jedním slovem, ve třetí čtvrtině bude tento roh. Velmi blízko k záporné ose OY, na 270 stupňů, ale stále ve třetí!

Kreslit:

Opět zde není vyžadována absolutní přesnost. Nechť se ve skutečnosti tento úhel ukáže jako řekněme 263 stupňů. Ale nejdůležitější otázka (jaké čtvrtletí?) odpověděli jsme správně. Proč je to nejdůležitější otázka? Ano, protože každá práce s úhlem v trigonometrii (ať už tento úhel kreslíme nebo ne) začíná právě odpovědí na tuto otázku! Je vždy. Pokud tuto otázku ignorujete nebo se na ni pokusíte v duchu odpovědět, pak jsou chyby téměř nevyhnutelné, ano ... Potřebujete to?

Zapamatovat si:

Jakákoli práce s úhlem (včetně kreslení právě tohoto úhlu na kružnici) vždy začíná určením čtvrtiny, do které tento úhel spadá.

Teď doufám, že úhly nakreslíte správně, např. 182°, 88°, 280°. V opravitčtvrtletí. Ve třetím, prvním a čtvrtém, pokud něco ...)

Čtvrtá čtvrtina končí v úhlu 360°. Toto je jedna celá otočka. Pepper je jasné, že tento úhel zaujímá stejnou polohu na kružnici jako 0° (tj. referenční bod). Ale rohy tím nekončí, jo...

Co dělat s úhly většími než 360°?

"Existují takové věci?"- ptáš se. Existují, jak! Stává se to například v úhlu 444°. A někdy, řekněme, úhel 1000 °. Existují nejrůznější úhly.) Jen vizuálně jsou takové exotické úhly vnímány o něco komplikovaněji než obvyklé úhly v rámci jedné otáčky. Ale také musíte umět nakreslit a vypočítat takové úhly, to ano.

Chcete-li správně nakreslit takové úhly na kruhu, musíte udělat totéž - zjistit do které čtvrtiny spadá úhel zájmu. Zde je schopnost přesně určit čtvrtinu mnohem důležitější než u úhlů od 0° do 360°! Samotný postup stanovení kvartálu je komplikovaný pouze jedním krokem. Který, to už brzy uvidíte.

Potřebujeme tedy například zjistit, do které čtvrtiny spadá úhel 444°. Začínáme se točit. Kde? Jako plus, samozřejmě! Dali nám pozitivní úhel pohledu! +444°. Kroutíme, stáčíme ... Otočili jsme jednu otáčku - dosáhli jsme 360 ​​°.

Kolik zbývá do 444°?Počítáme zbývající ocas:

444°-360° = 84°.

Takže 444° je jedna celá otáčka (360°) plus dalších 84°. Je zřejmé, že toto je první čtvrtletí. Padne tedy úhel 444° v prvním čtvrtletí. Napůl hotovo.

Nyní zbývá znázornit tento úhel. Jak? Velmi jednoduché! Uděláme jednu celou otáčku podél červené šipky (plus) a přidáme dalších 84 °.

Takhle:

Zde jsem kresbu nezaneřádil - podepisujte čtvrtiny, nakreslete úhly na osy. Všechny ty dobroty mi měly ležet v hlavě už dlouho.)

Ale ukázal jsem "šnekem" nebo spirálou, jak přesně se tvoří úhel 444° z úhlů 360° a 84°. Tečkovaná červená čára je jedna celá otáčka. Ke kterému jsou dodatečně přišroubovány 84° (plná čára). Mimochodem, vezměte prosím na vědomí, že pokud bude tato velmi plná zatáčka vyřazena, pak to nijak neovlivní pozici naší zatáčky!

Ale tohle je důležité! Úhlová poloha 444° zcela shoduje s úhlovou polohou 84°. Neexistují žádné zázraky, prostě se to stane.)

Je možné odhodit ne jedno celé kolo, ale dvě nebo více?

Proč ne? Pokud je roh statný, pak je to nejen možné, ale dokonce nutné! Úhel se nezmění! Přesněji řečeno, úhel se bude samozřejmě měnit co do velikosti. Ale jeho pozice na kruhu - v žádném případě!) Proto oni úplný hybnost, že bez ohledu na to, kolik kopií přidáte, bez ohledu na to, kolik odečtete, stále dosáhnete stejného bodu. Pěkné, že?

Zapamatovat si:

Přičteme-li (odečteme) k úhlu libovolný Celý počet úplných otáček, poloha původního rohu na kruhu se NEZMĚNÍ!

Například:

Do které čtvrtiny spadá úhel 1000°?

Žádný problém! Uvažujeme, kolik plných otáček sedí v tisíci stupních. Jedna otáčka je 360°, další už 720°, třetí 1080°… Stop! Poprsí! Takže v úhlu 1000° sedí dva plný obrat. Vyhoďte je z úhlu 1000° a vypočítejte zbytek:

1000° - 2 360° = 280°

Tedy poloha úhlu 1000° na kružnici stejný, což je stejný jako úhel 280°. S kým je již mnohem příjemnější pracovat.) A kam tento kout spadá? Spadá do čtvrtého čtvrtletí: 270° (záporná poloosa OY) plus dalších deset.

Kreslit:

Zde jsem již nekreslil dvě plné otáčky tečkovanou spirálou: ukazuje se, že je bolestivě dlouhá. Jen nakresli zbytek culíku od nuly, vyřazení Všechno zatáčky navíc. Jako by ani neexistovaly.)

Ještě jednou. V dobrém slova smyslu se liší úhly 444° a 84° a také 1000° a 280°. Ale pro sinus, kosinus, tangens a kotangens tyto úhly jsou stejný!

Jak vidíte, abyste mohli pracovat s úhly většími než 360°, musíte definovat kolik plných otáček sedí v daném velkém úhlu. Toto je velmi dodatečný krok, který je třeba udělat předem, když pracujete s takovými úhly. Nic složitého, že?

Vypouštění plných zatáček je samozřejmě příjemný zážitek.) Ale v praxi se při práci s naprosto děsivými úhly také objevují potíže.

Například:

Do které čtvrtiny spadá úhel 31240°?

A co, přidáme 360 ​​stupňů mnohokrát? Je to možné, pokud to zvlášť nehoří. Ale umíme nejen sčítat.) Můžeme i dělit!

Rozdělme tedy náš obrovský úhel na 360 stupňů!

Touto akcí jen zjistíme, kolik plných otáček se skrývá v našich 31240 stupních. Můžete sdílet koutek, můžete (šeptat si do ucha :)) na kalkulačce.)

Dostaneme 31240:360 = 86,777777….

Skutečnost, že se číslo ukázalo jako zlomkové, není děsivé. Jsme jen my Celý Zajímají mě obraty! Proto není třeba rozdělovat až do konce.)

Takže v našem huňatém rohu sedí celých 86 otáček. Hrůza…

Ve stupních to bude86 360° = 30960°

Takhle. Tolik stupňů lze bezbolestně vychýlit z daného úhlu 31240°. Zůstává:

31240° - 30960° = 280°

Všechno! Úhlová poloha 31240° plně identifikována! Na stejném místě jako 280°. Tito. Zdá se, že jsme tento úhel již zobrazili dříve? Kdy byl nakreslen úhel 1000°?) Tam jsme také šli o 280 stupňů. Náhoda.)

Morálka příběhu je tedy tato:

Pokud dostaneme příšerně mohutný roh, pak:

1. Určete, kolik plných otáček se nachází v tomto rohu. Chcete-li to provést, vydělte původní úhel 360 a zahoďte zlomkovou část.

2. Uvažujeme, kolik stupňů je v přijatém počtu otáček. Chcete-li to provést, vynásobte počet otáček 360.

3. Odečtěte tyto otáčky od původního úhlu a pracujte s obvyklým úhlem v rozsahu od 0° do 360°.

Jak pracovat s negativními úhly?

Žádný problém! Stejně jako u pozitivních, jen s jedním jediným rozdílem. Co? Ano! Musíte zahnout za rohy opačná strana, mínus! ve směru hodinových ručiček.)

Narýsujme si např. úhel -200°. Nejprve je vše jako obvykle pro kladné úhly - osy, kruh. Nakreslíme modrou šipku s mínusem a podepíšeme úhly na osách jiným způsobem. Samozřejmě se budou muset počítat i v záporném směru. Budou to všechny stejné úhly, krokování přes 90°, ale počítané v opačném směru, mínus: 0°, -90°, -180°, -270°, -360°.

Obrázek bude vypadat takto:

Při práci s negativními úhly je často cítit mírné zmatení. Jak to?! Ukazuje se, že stejná osa je řekněme +90° i -270°? Ne, tady je něco špatně...

Ano, vše je čisté a průhledné! Vždyť už víme, že jakýkoli bod na kružnici lze nazvat kladným i záporným úhlem! Naprosto jakékoli. Včetně některých souřadnicových os. V našem případě potřebujeme negativní výpočet úhlů. Takže odlomíme všechny rohy do mínusu.)

Nyní není problém nakreslit pravý úhel -200°. To je -180° a mínus dalších 20°. Začínáme navíjet od nuly do mínusu: prolétáme čtvrtou čtvrtinu, třetí je také za námi, dosahujeme -180 °. Kam namotat zbývajících dvacet? Ano, tam je vše v pořádku! Podle hodin.) Celkový úhel -200° spadá do druhýčtvrťák.

Nyní chápete, jak důležité je zapamatovat si úhly na souřadnicových osách?

Úhly na souřadnicových osách (0°, 90°, 180°, 270°, 360°) je třeba si přesně zapamatovat, aby bylo možné přesně určit čtvrtinu, kam úhel spadá!

A pokud je úhel velký, s několika plnými otáčkami? To je v pořádku! Jaký je rozdíl, kde jsou tyto plné otáčky natočeny - v plusu nebo mínusu? Bod na kružnici nezmění svou polohu!

Například:

Do kterého kvadrantu spadá úhel -2000°?

Pořád to samé! Nejprve zvážíme, kolik plných revolucí se nachází v tomto zlém rohu. Abychom se nepletli ve znacích, ponechme zatím mínus a vydělme 2000 360. Dostaneme 5 s ocasem. Ocas nás zatím netrápí, spočítáme ho o něco později, až roh nakreslíme. Věříme Pět plné otáčky ve stupních:

5 360° = 1800°

Voot. Tolik stupňů navíc můžete bezpečně vyhodit z našeho koutku bez újmy na zdraví.

Počítáme zbývající ocas:

2000° – 1800° = 200°

A teď si můžete vzpomenout i na mínus.) Kam natočíme ocas 200°? Nevýhoda, samozřejmě! Je nám dán záporný úhel.)

2000° = -1800° - 200°

Takže nakreslíme úhel -200 °, pouze bez dalších otáček. Právě jsem to nakreslil, ale budiž, namaluji to ještě jednou. Ručně.

U pepře je jasné, že do daného úhlu -2000° i -200° spadá druhá čtvrtina.

Takže se namotáme na kruh... pardon... na knír:

Pokud je dán velmi velký záporný úhel, pak první část práce s ním (zjištění počtu plných otáček a jejich zahození) je stejná jako při práci s kladným úhlem. Znaménko mínus v této fázi řešení nehraje žádnou roli. Znamení se bere v úvahu až na samém konci, při práci s úhlem zbývajícím po odstranění plných otáček.

Jak vidíte, kreslení záporných úhlů na kružnici není o nic obtížnější než kreslení kladných.

Všechno je stejné, jen v opačném směru! Do hodiny!

A teď - to nejzajímavější! Pokryli jsme kladné úhly, záporné úhly, velké úhly, malé úhly – celý rozsah. Zjistili jsme také, že jakýkoli bod na kružnici lze nazvat kladným a záporným úhlem, zavrhli jsme plné otáčky... Žádné myšlenky? Mělo by být odloženo...

Ano! Jakýkoli bod na kruhu, který vezmete, bude odpovídat nekonečné úhly! Velké a ne tak, pozitivní a negativní - všichni! A rozdíl mezi těmito úhly bude Celý počet úplných otáček. Je vždy! Takže trigonometrický kruh je uspořádán, ano ...) Proto zvrátitúkolem je najít úhel o známý sinus / kosinus / tangens / kotangens - je vyřešen nejednoznačně. A mnohem obtížnější. Na rozdíl od přímého problému - najít celou množinu jeho goniometrických funkcí pro daný úhel. A ve vážnějších tématech trigonometrie ( oblouky, trigonometrické rovnic a nerovnosti ) se s tímto čipem budeme setkávat neustále. Zvykat si.)

1. Do jaké čtvrtiny spadá úhel -345°?

2. Do které čtvrtiny spadá úhel 666°?

3. Do jaké čtvrtiny spadá úhel 5555°?

4. Do jaké čtvrtiny spadá úhel -3700°?

5. Jaké je znamenícos999°?

6. Jaké je znameníctg999°?

A povedlo se? Báječné! Vyskytl se problém? Pak ty.

Odpovědi:

1. 1

2. 4

3. 2

4. 3

5. "+"

6. "-"

Tentokrát jsou odpovědi uvedeny v pořadí, v rozporu s tradicí. Neboť jsou jen čtyři čtvrti a jsou jen dvě znamení. Neutečeš...)

V další lekci si povíme něco o radiánech, o tajemném čísle „pí“, naučíme se, jak snadno a jednoduše převádět radiány na stupně a naopak. A s překvapením zjistíme, že i tyto jednoduché znalosti a dovednosti nám již zcela postačí k úspěšnému vyřešení mnoha netriviálních problémů v trigonometrii!

Jednoduše řečeno, jde o zeleninu vařenou ve vodě podle speciální receptury. Zvážím dvě počáteční složky (zeleninový salát a voda) a konečný výsledek - boršč. Geometricky to může být znázorněno jako obdélník, ve kterém jedna strana označuje salát, druhá strana označuje vodu. Součet těchto dvou stran bude označovat boršč. Úhlopříčka a plocha takového obdélníku "boršč" jsou čistě matematické pojmy a nikdy se nepoužívají v receptech na boršč.

Jak se hlávkový salát a voda promění v boršč z hlediska matematiky? Jak se může součet dvou segmentů proměnit v trigonometrii? Abychom to pochopili, potřebujeme lineární úhlové funkce.

O lineárních úhlových funkcích v učebnicích matematiky nic nenajdete. Ale bez nich nemůže být žádná matematika. Zákony matematiky, stejně jako zákony přírody, fungují, ať víme, že existují, nebo ne.

Lineární úhlové funkce jsou zákony sčítání. Podívejte se, jak se algebra mění v geometrii a geometrie v trigonometrii.

Je možné se obejít bez lineárních úhlových funkcí? Můžete, protože matematici se bez nich stále obejdou. Trik matematiků spočívá v tom, že nám vždy říkají jen o těch problémech, které sami dokážou vyřešit, a nikdy nám neřeknou o problémech, které vyřešit neumí. Vidět. Známe-li výsledek sčítání a jeden člen, pomocí odčítání najdeme druhý člen. Všechno. Jiné problémy neznáme a nejsme schopni je řešit. Co dělat, když známe pouze výsledek sčítání a neznáme oba pojmy? V tomto případě je třeba výsledek sčítání rozložit na dva členy pomocí lineárních úhlových funkcí. Dále si sami vybíráme, jaký může být jeden člen, a lineární úhlové funkce ukazují, jaký by měl být druhý člen, aby výsledek sčítání byl přesně takový, jaký potřebujeme. Takových dvojic pojmů může být nekonečně mnoho. V běžném životě si vedeme velmi dobře, aniž bychom součet rozkládali, stačí nám odčítání. Ale při vědeckých studiích přírodních zákonů může být rozšíření součtu na termíny velmi užitečné.

Další zákon sčítání, o kterém matematici neradi mluví (jejich další trik), vyžaduje, aby výrazy měly stejnou měrnou jednotku. U salátu, vody a boršče to mohou být jednotky hmotnosti, objemu, ceny nebo měrné jednotky.

Obrázek ukazuje dvě úrovně rozdílu pro matematiku. První úrovní jsou rozdíly v poli čísel, které jsou uvedeny A, b, C. To je to, co dělají matematici. Druhou úrovní jsou rozdíly v oblasti měrných jednotek, které jsou uvedeny v hranatých závorkách a jsou označeny písmenem U. To je to, co fyzikové dělají. Můžeme chápat třetí rovinu – rozdíly v rozsahu popisovaných objektů. Různé objekty mohou mít stejný počet stejných měrných jednotek. Jak je to důležité, můžeme vidět na příkladu trigonometrie boršče. Pokud ke stejnému zápisu měrných jednotek různých objektů přidáme dolní indexy, můžeme přesně říci, jaká matematická veličina popisuje konkrétní objekt a jak se mění v čase nebo v souvislosti s naším jednáním. dopis W Vodu označím písmenem S Salát označím písmenem B- boršč. Zde je návod, jak by vypadaly funkce lineárního úhlu pro boršč.

Pokud odebereme část vody a část salátu, společně se promění v jednu porci boršče. Zde vám navrhuji, abyste si trochu odpočinuli od boršče a zavzpomínali na své vzdálené dětství. Pamatujete si, jak nás učili skládat zajíčky a kachny dohromady? Bylo nutné zjistit, kolik zvířat dopadne. Co nás tedy učili dělat? Naučili nás oddělovat jednotky od čísel a sčítat čísla. Ano, libovolné číslo lze přidat k libovolnému jinému číslu. To je přímá cesta k autismu moderní matematiky – nerozumíme čemu, není jasné proč, a velmi špatně rozumíme tomu, jak to souvisí s realitou, protože matematici operují pouze na jedné úrovni rozdílu. Bude správnější naučit se přecházet z jedné jednotky měření na druhou.

A zajíčci, kachny a zvířátka se dají spočítat na kusy. Jedna společná jednotka měření pro různé objekty nám umožňuje je sčítat. Toto je dětská verze problému. Podívejme se na podobný problém pro dospělé. Co získáte, když přidáte zajíčky a peníze? Zde jsou dvě možná řešení.

První možnost. Určíme tržní hodnotu zajíčků a přidáme ji k dostupné hotovosti. Dostali jsme celkovou hodnotu našeho bohatství v penězích.

Druhá možnost. K počtu bankovek, které máme, můžete přidat počet zajíčků. Množství movitého majetku získáme na kusy.

Jak vidíte, stejný zákon sčítání umožňuje získat různé výsledky. Vše záleží na tom, co přesně chceme vědět.

Ale zpět k našemu boršči. Nyní vidíme, co se stane pro různé hodnoty úhlu funkcí lineárního úhlu.

Úhel je nulový. Máme salát, ale žádnou vodu. Nemůžeme vařit boršč. Nulové je také množství boršče. To vůbec neznamená, že nulový boršč se rovná nule vody. Nulový boršč může být i na nulovém salátu (pravý úhel).

Pro mě osobně je to hlavní matematický důkaz toho, že . Nula po přidání nemění číslo. Je to proto, že samotné sčítání je nemožné, pokud existuje pouze jeden člen a druhý člen chybí. Můžete se k tomu vztahovat, jak chcete, ale pamatujte – všechny matematické operace s nulou vymysleli sami matematici, takže zahoďte logiku a hloupě cpete definice vymyšlené matematiky: „dělení nulou je nemožné“, „libovolné číslo vynásobené nulou“ rovná se nule“, „za bodem nula“ a další nesmysly. Stačí si jednou zapamatovat, že nula není číslo, a už nikdy nebudete mít otázku, zda je nula přirozené číslo nebo ne, protože taková otázka obecně ztrácí veškerý význam: jak lze považovat číslo za číslo, které není číslem? . Je to jako ptát se, jaké barvě přiřadit neviditelnou barvu. Přidání nuly k číslu je jako malování barvou, která neexistuje. Zamávali suchým štětcem a všem řekli, že „máme natřeno“. Ale to jsem trochu odbočil.

Úhel je větší než nula, ale menší než čtyřicet pět stupňů. Máme hodně salátu, ale málo vody. V důsledku toho získáme hustý boršč.

Úhel je čtyřicet pět stupňů. Máme stejné množství vody a salátu. Tohle je perfektní boršč (nech mi kuchařky prominou, je to jen matematika).

Úhel je větší než čtyřicet pět stupňů, ale menší než devadesát stupňů. Máme hodně vody a málo salátu. Získejte tekutý boršč.

Pravý úhel. Máme vodu. Na salát zůstaly jen vzpomínky, protože pokračujeme v měření úhlu od čáry, která kdysi salát označovala. Nemůžeme vařit boršč. Množství boršče je nulové. V tom případě vydržte a pijte vodu, dokud je k dispozici)))

Tady. Něco takového. Mohu zde vyprávět další příběhy, které se zde budou více než hodit.

Oba přátelé měli své podíly na společném podnikání. Po vraždě jednoho z nich vše připadlo na druhého.

Vznik matematiky na naší planetě.

Všechny tyto příběhy jsou vyprávěny jazykem matematiky pomocí lineárních úhlových funkcí. Někdy jindy vám ukážu skutečné místo těchto funkcí ve struktuře matematiky. Mezitím se vraťme k trigonometrii boršče a uvažujme projekce.

Sobota 26. října 2019

Shlédl jsem zajímavé video o Grandiho řada Jedna mínus jedna plus jedna mínus jedna - Numberphile. Matematici lžou. Ve svých úvahách neprovedli test rovnosti.

To rezonuje s mým uvažováním o .

Podívejme se blíže na známky toho, že nás matematici podvádějí. Hned na začátku úvahy matematici říkají, že součet posloupnosti ZÁVISÍ na tom, zda je v ní počet prvků sudý či nikoliv. To je OBJEKTIVNĚ ZJISTITÝ FAKT. Co se stane dál?

Dále matematici odečítají posloupnost od jednoty. K čemu to vede? To vede ke změně počtu prvků v posloupnosti – sudé číslo se změní na liché, liché na sudé. Koneckonců jsme do sekvence přidali jeden prvek rovný jedné. Přes veškerou vnější podobnost se sekvence před transformací nerovná sekvenci po transformaci. I když mluvíme o nekonečné posloupnosti, musíme si pamatovat, že nekonečná posloupnost s lichým počtem prvků se nerovná nekonečné posloupnosti se sudým počtem prvků.

Vložením rovnítka mezi dvě posloupnosti různé v počtu prvků matematici tvrdí, že součet posloupnosti NEZÁVISÍ na počtu prvků v posloupnosti, což je v rozporu s OBJEKTIVNĚ PROVEDENÝM FAKTEM. Další úvahy o součtu nekonečné posloupnosti jsou nepravdivé, protože jsou založeny na falešné rovnosti.

Pokud vidíte, že matematici v průběhu důkazů umisťují závorky, přeskupují prvky matematického výrazu, něco přidávají nebo ubírají, buďte velmi opatrní, pravděpodobně se vás snaží oklamat. Stejně jako zaklínači karet i matematici odvádějí vaši pozornost různými manipulacemi s výrazem, aby vám nakonec dali falešný výsledek. Pokud nemůžete zopakovat trik s kartami, aniž byste znali tajemství podvádění, pak je v matematice všechno mnohem jednodušší: o podvádění nemáte ani podezření, ale opakování všech manipulací s matematickým výrazem vám umožní přesvědčit ostatní o tom, správnost výsledku, stejně jako když vás přesvědčili.

Otázka z publika: A nekonečno (jako počet prvků v posloupnosti S), je sudé nebo liché? Jak můžete změnit paritu něčeho, co žádnou paritu nemá?

Nekonečno pro matematiky je jako Království nebeské pro kněze - nikdo tam nikdy nebyl, ale každý přesně ví, jak tam všechno funguje))) Souhlasím, po smrti vám bude naprosto lhostejné, zda jste žili sudý nebo lichý počet dní , ale ... Když přidáme jen jeden den na začátku tvého života, dostaneme úplně jiného člověka: jeho příjmení, jméno a patronymie jsou úplně stejné, jen datum narození je úplně jiné - narodil se jako jeden den před vámi.

A teď k věci))) Předpokládejme, že konečná posloupnost, která má paritu, tuto paritu ztratí při přechodu do nekonečna. Pak každý konečný segment nekonečné posloupnosti musí také ztratit paritu. Toto nepozorujeme. To, že nemůžeme s jistotou říci, zda je počet prvků v nekonečné posloupnosti sudý nebo lichý, vůbec neznamená, že parita zmizela. Parita, pokud existuje, nemůže zmizet v nekonečnu beze stopy, jako v obalu ostřejší karty. Pro tento případ existuje velmi dobrá analogie.

Už jste se někdy zeptali kukačky sedící v hodinách, kterým směrem se otáčí hodinová ručička? U ní se šipka otáčí v opačném směru, než tomu říkáme „ve směru hodinových ručiček“. Může to znít paradoxně, ale směr otáčení závisí výhradně na tom, ze které strany rotaci pozorujeme. A tak máme jedno kolo, které se otáčí. Nemůžeme říci, kterým směrem rotace nastává, protože ji můžeme pozorovat jak z jedné strany roviny rotace, tak z druhé. O tom, že dochází k rotaci, můžeme jen dosvědčit. Úplná analogie s paritou nekonečné posloupnosti S.

Nyní přidáme druhé rotující kolo, jehož rovina rotace je rovnoběžná s rovinou rotace prvního rotačního kola. Stále nemůžeme přesně říci, kterým směrem se tato kola točí, ale můžeme s naprostou jistotou říci, zda se obě kola točí stejným směrem nebo opačným směrem. Porovnání dvou nekonečných sekvencí S a 1-S, ukázal jsem pomocí matematiky, že tyto posloupnosti mají různou paritu a dávat mezi ně rovnítko je chyba. Osobně matematice věřím, matematikům nevěřím))) Mimochodem, abychom plně pochopili geometrii transformací nekonečných posloupností, je nutné zavést pojem "simultánnost". To bude potřeba nakreslit.

Středa 7. srpna 2019

Na závěr rozhovoru o , musíme zvážit nekonečnou množinu. Dá se říci, že koncept „nekonečna“ působí na matematiky jako hroznýš na králíka. Chvějící se hrůza z nekonečna připravuje matematiky o zdravý rozum. Zde je příklad:

Původní zdroj je umístěn. Alfa označuje reálné číslo. Rovnítko ve výše uvedených výrazech znamená, že pokud k nekonečnu přidáte číslo nebo nekonečno, nic se nezmění, výsledkem bude stejné nekonečno. Vezmeme-li jako příklad nekonečnou množinu přirozených čísel, lze uvažované příklady znázornit následovně:

Aby matematici vizuálně dokázali svůj případ, přišli s mnoha různými metodami. Osobně se na všechny tyto metody dívám jako na tance šamanů s tamburínami. V podstatě všichni dojdou na to, že buď některé pokoje nejsou obsazené a jsou v nich usazeni noví hosté, nebo je část návštěvníků vyhozena na chodbu, aby uvolnila místo pro hosty (velmi lidsky). Svůj pohled na taková rozhodnutí jsem prezentovala formou fantastického příběhu o Blondýně. Na čem je založena moje úvaha? Přesun nekonečného počtu návštěvníků trvá nekonečně dlouho. Poté, co vyklidíme první pokoj pro hosty, bude vždy jeden z návštěvníků chodit po chodbě ze svého pokoje do dalšího až do konce času. Časový faktor lze samozřejmě hloupě ignorovat, ale to už bude z kategorie „zákon není psán pro hlupáky“. Vše závisí na tom, co děláme: přizpůsobujeme realitu matematickým teoriím nebo naopak.

Co je to „nekonečný hotel“? Infinity inn je hostinec, který má vždy libovolný počet volných míst, bez ohledu na počet obsazených pokojů. Pokud jsou všechny pokoje v nekonečné chodbě „pro návštěvy“ obsazeny, je zde další nekonečná chodba s pokoji pro „hosty“. Takových chodeb bude nekonečně mnoho. „Nekonečný hotel“ má přitom nekonečný počet pater v nekonečném počtu budov na nekonečném počtu planet v nekonečném počtu vesmírů stvořených nekonečným počtem Bohů. Matematici se naproti tomu nedokážou vzdálit banálním každodenním problémům: Bůh-Alláh-Buddha je vždy jen jeden, hotel je jeden, chodba je jen jedna. Matematici se tedy snaží žonglovat se sériovými čísly hotelových pokojů a přesvědčují nás, že je možné „strčit do nešvaru“.

Logiku své úvahy vám předvedu na příkladu nekonečné množiny přirozených čísel. Nejprve musíte odpovědět na velmi jednoduchou otázku: kolik množin přirozených čísel existuje - jedna nebo mnoho? Na tuto otázku neexistuje správná odpověď, protože jsme sami vynalezli čísla, v přírodě žádná čísla nejsou. Ano, příroda umí perfektně počítat, ale k tomu používá jiné matematické nástroje, které nám nejsou známé. Jak si příroda myslí, řeknu vám to jindy. Protože jsme vynalezli čísla, sami rozhodneme, kolik množin přirozených čísel existuje. Zvažte obě možnosti, jak se na skutečného vědce sluší a patří.

Možnost jedna. „Nechte nás dostat“ jedinou sadu přirozených čísel, která leží klidně na polici. Bereme tuto sadu z police. To je vše, žádná další přirozená čísla na poličce nezůstala a není ani kde vzít. Nemůžeme přidat jeden do této sady, protože ji již máme. Co když opravdu chceš? Žádný problém. Můžeme vzít jednotku z již odebrané sady a vrátit ji do police. Poté můžeme vzít jednotku z police a přidat ji k tomu, co nám zbylo. Výsledkem je opět nekonečná množina přirozených čísel. Všechny naše manipulace můžete napsat takto:

Zapsal jsem operace v algebraickém zápisu a v zápisu teorie množin s podrobným výčtem prvků množiny. Dolní index označuje, že máme jednu a jedinou sadu přirozených čísel. Ukazuje se, že množina přirozených čísel zůstane nezměněna pouze tehdy, když se od ní jedno odečte a stejné se přičte.

Možnost dvě. Na poličce máme mnoho různých nekonečných množin přirozených čísel. Zdůrazňuji - JINÉ, přesto, že jsou prakticky k nerozeznání. Bereme jednu z těchto sad. Pak vezmeme jedno z jiné množiny přirozených čísel a přidáme ho k množině, kterou jsme již vzali. Můžeme dokonce sečíst dvě sady přirozených čísel. Zde je to, co získáme:

Indexy „jedna“ a „dva“ označují, že tyto prvky patřily do různých sad. Ano, pokud přidáte jedničku k nekonečné množině, výsledkem bude také nekonečná množina, ale nebude stejná jako původní množina. Pokud se k jedné nekonečné množině přidá další nekonečná množina, výsledkem je nová nekonečná množina sestávající z prvků prvních dvou množin.

Množina přirozených čísel se používá k počítání stejně jako pravítko pro měření. Nyní si představte, že jste k pravítku přidali jeden centimetr. Toto již bude jiný řádek, který se nebude rovnat původnímu.

Můžete přijmout nebo nepřijmout moji úvahu - je to vaše věc. Pokud ale někdy narazíte na matematické problémy, zamyslete se, zda nejdete cestou falešného uvažování, prošlapaného generacemi matematiků. Hodiny matematiky v nás totiž v první řadě utvářejí ustálený stereotyp myšlení a teprve pak nám přidávají rozumové schopnosti (nebo naopak zbavují svobodného myšlení).

pozg.ru

Neděle 4. srpna 2019

Psal jsem příspěvek k článku o a viděl jsem tento úžasný text na Wikipedii:

Čteme: "...bohatý teoretický základ babylonské matematiky neměl celostní charakter a byl zredukován na soubor nesourodých technik, postrádající společný systém a důkazní základnu."

Páni! Jak jsme chytří a jak dobře dokážeme vidět nedostatky druhých. Je pro nás slabé dívat se na moderní matematiku ve stejném kontextu? Mírně parafrázuji výše uvedený text, osobně jsem dostal následující:

Bohatý teoretický základ moderní matematiky nemá celostní charakter a je redukován na soubor nesourodých oddílů, postrádajících společný systém a důkazní základnu.

Nebudu chodit daleko, abych potvrdil svá slova – má jazyk a konvence, které se liší od jazyka a konvencí mnoha jiných odvětví matematiky. Stejná jména v různých odvětvích matematiky mohou mít různé významy. Nejviditelnějším omylům moderní matematiky chci věnovat celý cyklus publikací. Brzy se uvidíme.

Sobota 3. srpna 2019

Jak rozdělit množinu na podmnožiny? Chcete-li to provést, musíte zadat novou měrnou jednotku, která je přítomna v některých prvcích vybrané sady. Zvažte příklad.

Ať máme mnoho ALE skládající se ze čtyř lidí. Tato sada je tvořena na základě "lidí" Označme prvky této sady prostřednictvím písmene A, dolní index s číslem bude uvádět pořadové číslo každé osoby v této sadě. Zaveďme novou měrnou jednotku „sexuální charakteristika“ a označme ji písmenem b. Protože sexuální charakteristiky jsou vlastní všem lidem, násobíme každý prvek souboru ALE na pohlaví b. Všimněte si, že naše sada „lidé“ se nyní stala sadou „lidé s pohlavím“. Poté můžeme pohlavní znaky rozdělit na mužské bm a dámské bw genderové charakteristiky. Nyní můžeme použít matematický filtr: vybereme jednu z těchto sexuálních charakteristik, nezáleží na tom, která je mužská nebo ženská. Je-li v člověku přítomen, pak ho vynásobíme jednou, pokud takový znak neexistuje, vynásobíme ho nulou. A pak aplikujeme obvyklou školní matematiku. Podívejte se, co se stalo.

Po násobení, redukcích a přeskupení jsme dostali dvě podmnožiny: mužskou podmnožinu bm a podskupina žen bw. Přibližně stejným způsobem uvažují matematici, když aplikují teorii množin v praxi. Ale nepouštějí nás do detailů, ale dávají nám hotový výsledek – „spousta lidí se skládá z podmnožiny mužů a podmnožiny žen“. Přirozeně vás může napadnout otázka, jak správně aplikovat matematiku ve výše uvedených transformacích? Troufám si vás ujistit, že ve skutečnosti jsou transformace provedeny správně, stačí znát matematické zdůvodnění aritmetiky, Booleovy algebry a dalších úseků matematiky. co to je? Někdy jindy vám o tom povím.

Pokud jde o nadmnožiny, je možné spojit dvě sady do jedné nadmnožiny výběrem měrné jednotky, která je přítomna v prvcích těchto dvou sad.

Jak vidíte, jednotky měření a běžná matematika dělají z teorie množin minulost. Známkou toho, že s teorií množin není vše v pořádku, je to, že matematici přišli s vlastním jazykem a notací pro teorii množin. Matematici dělali to, co kdysi dělali šamani. Jen šamani vědí, jak „správně“ uplatnit své „znalosti“. Tyto "znalosti" nás učí.

Na závěr vám chci ukázat, jak matematici manipulují
Řekněme, že Achilles běží desetkrát rychleji než želva a je tisíc kroků za ní. Během doby, během které Achilles uběhne tuto vzdálenost, želva ujde sto kroků stejným směrem. Když Achilles uběhne sto kroků, želva se plazí dalších deset kroků a tak dále. Proces bude pokračovat donekonečna, Achilles želvu nikdy nedohoní.

Tato úvaha se stala logickým šokem pro všechny následující generace. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Ti všichni tak či onak považovali Zenónovy aporie. Šok byl tak silný, že " ... diskuse pokračují i ​​v současné době, vědecká komunita se dosud nedokázala shodnout na podstatě paradoxů ... do studia problematiky byla zapojena matematická analýza, teorie množin, nové fyzikální a filozofické přístupy ; žádný z nich se nestal všeobecně přijímaným řešením problému..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Každý chápe, že je klamán, ale nikdo nechápe, co je to podvod.

Z hlediska matematiky Zeno ve svých aporiích jasně demonstroval přechod od hodnoty k. Tento přechod znamená použití místo konstant. Pokud jsem pochopil, matematický aparát pro aplikaci proměnných jednotek měření buď ještě nebyl vyvinut, nebo nebyl aplikován na Zenónovu aporii. Použití naší obvyklé logiky nás zavede do pasti. My setrvačností myšlení aplikujeme konstantní jednotky času na reciproční. Z fyzického hlediska to vypadá na zpomalení času až úplné zastavení ve chvíli, kdy Achilles želvu dožene. Pokud se čas zastaví, Achilles už nemůže želvu předběhnout.

Pokud obrátíme logiku, na kterou jsme zvyklí, vše do sebe zapadne. Achilles běží konstantní rychlostí. Každý následující úsek jeho cesty je desetkrát kratší než ten předchozí. Čas strávený na jeho překonání je tedy desetkrát kratší než ten předchozí. Pokud v této situaci použijeme pojem "nekonečno", pak by bylo správné říci "Achilles nekonečně rychle předběhne želvu."

Jak se této logické pasti vyhnout? Zůstaňte v konstantních jednotkách času a nepřecházejte na reciproční hodnoty. V Zenoově jazyce to vypadá takto:

Za dobu, kterou Achilles uběhne tisíc kroků, se želva plazí sto kroků stejným směrem. Během dalšího časového intervalu, který se rovná prvnímu, uběhne Achilles dalších tisíc kroků a želva ujde sto kroků. Nyní je Achilles osm set kroků před želvou.

Tento přístup adekvátně popisuje realitu bez jakýchkoli logických paradoxů. Ale to není úplné řešení problému. Einsteinův výrok o nepřekonatelnosti rychlosti světla je velmi podobný Zenónově aporii „Achilles a želva“. Tento problém musíme ještě studovat, přehodnotit a vyřešit. A řešení je třeba hledat ne v nekonečně velkém počtu, ale v měrných jednotkách.

Další zajímavá aporie Zeno vypráví o létajícím šípu:

Letící šíp je nehybný, protože je v každém okamžiku v klidu, a protože je v každém okamžiku v klidu, je vždy v klidu.

V této aporii se logický paradox překonává velmi jednoduše – stačí si ujasnit, že v každém okamžiku letící šíp spočívá v různých bodech prostoru, což je ve skutečnosti pohyb. Zde je třeba poznamenat ještě jeden bod. Z jedné fotografie auta na silnici není možné určit ani skutečnost jeho pohybu, ani vzdálenost k němu. K určení skutečnosti pohybu automobilu jsou zapotřebí dvě fotografie pořízené ze stejného bodu v různých časových okamžicích, ale nelze je použít k určení vzdálenosti. Pro určení vzdálenosti k autu potřebujete dvě fotografie pořízené z různých bodů v prostoru současně, ale nemůžete z nich určit skutečnost pohybu (přirozeně stále potřebujete další data pro výpočty, pomůže vám trigonometrie). Chci poukázat zejména na to, že dva body v čase a dva body v prostoru jsou dvě různé věci, které by se neměly zaměňovat, protože poskytují různé příležitosti k průzkumu.
Postup ukážu na příkladu. Vybíráme "červená pevná látka v pupínku" - to je náš "celek". Zároveň vidíme, že tyto věci jsou s mašlí a jsou bez mašle. Poté vybereme část „celku“ a vytvoříme sadu „s mašličkou“. Takto se šamani živí tím, že spojují svou teorii množin s realitou.

Nyní uděláme malý trik. Vezměme „pevné v pupínku s mašlí“ a sjednoťme tyto „celek“ podle barvy a vybereme červené prvky. Dostali jsme hodně "červené". Nyní záludná otázka: jsou přijaté sady "s mašličkou" a "červenou" stejnou sadou nebo dvěma různými sadami? Odpověď znají jen šamani. Přesněji oni sami nic nevědí, ale jak říkají, tak je.

Tento jednoduchý příklad ukazuje, že teorie množin je zcela zbytečná, pokud jde o realitu. Jaké je tajemství? Vytvořili jsme sadu "červený pevný pupínek s mašlí". Formování probíhalo podle čtyř různých měrných jednotek: barva (červená), síla (plná), drsnost (v hrbolu), dekorace (s mašlí). Pouze množina měrných jednotek umožňuje adekvátně popsat skutečné objekty v jazyce matematiky. Tady je to, jak to vypadá.

Písmeno "a" s různými indexy označuje různé jednotky měření. V závorkách jsou zvýrazněny měrné jednotky, podle kterých je v předběžné fázi přidělen „celek“. Jednotka měření, podle které je sestava tvořena, je vyjmuta ze závorek. Poslední řádek zobrazuje konečný výsledek - prvek sady. Jak vidíte, pokud použijeme jednotky k vytvoření množiny, pak výsledek nezávisí na pořadí našich akcí. A to je matematika a ne tance šamanů s tamburínami. Šamani mohou „intuitivně“ dojít ke stejnému výsledku a argumentovat „samozřejmostí“, protože jednotky měření nejsou zahrnuty v jejich „vědeckém“ arzenálu.

Pomocí měrných jednotek je velmi snadné rozbít jednu nebo spojit několik sad do jedné nadmnožiny. Podívejme se blíže na algebru tohoto procesu.

Rozmanité. Některé z nich jsou o tom, ve kterých čtvrtích je kosinus kladný a záporný, ve kterých čtvrtích je sinus kladný a záporný. Všechno se ukáže být jednoduché, pokud víte, jak vypočítat hodnotu těchto funkcí v různých úhlech a znáte princip vykreslování funkcí do grafu.

Jaké jsou hodnoty kosinu

Pokud vezmeme v úvahu, pak máme následující poměr stran, který jej určuje: kosinus úhlu A je poměr přilehlé nohy BC k přeponě AB (obr. 1): cos A= BC/AB.

Pomocí stejného trojúhelníku můžete najít sinus úhlu, tečnu a kotangens. Sinus bude poměr opačného úhlu nohy AC k přeponě AB. Tangenta úhlu se najde, jestliže sinus požadovaného úhlu vydělí kosinus stejného úhlu; dosazením odpovídajících vzorců pro nalezení sinus a kosinus dostaneme, že tg A\u003d AC / BC. Kotangens, jako funkce inverzní k tečně, bude nalezen takto: ctg A= BC/AC.

To znamená, že pro stejné hodnoty úhlu bylo zjištěno, že v pravoúhlém trojúhelníku je poměr stran vždy stejný. Zdálo by se, že je jasné, odkud tyto hodnoty pocházejí, ale proč se získávají záporná čísla?

Chcete-li to provést, musíte vzít v úvahu trojúhelník v kartézském souřadnicovém systému, kde existují kladné i záporné hodnoty.

Jasně o ubikacích, kde je která

Co jsou kartézské souřadnice? Pokud mluvíme o dvourozměrném prostoru, máme dvě směrované přímky, které se protínají v bodě O - to je osa úsečky (Ox) a osa pořadnice (Oy). Z bodu O ve směru přímky jsou kladná čísla a v opačném směru záporná. V konečném důsledku na tom přímo závisí, ve kterých čtvrtích je kosinus kladný a ve kterých záporný.

První čtvrtina

Pokud umístíte pravoúhlý trojúhelník do první čtvrtiny (od 0 o do 90 o), kde osy x a y mají kladné hodnoty (segmenty AO a BO leží na osách, kde hodnoty ​mají znaménko „+“), pak co je sinus a co je také kosinus, bude mít kladné hodnoty a je jim přiřazena hodnota se znaménkem plus. Co se ale stane, když trojúhelník přesunete do druhé čtvrtiny (z 90 o na 180 o)?

Druhá čtvrtina

Vidíme, že podél osy y získal AO zápornou hodnotu. Kosinus úhlu A nyní má tuto stranu ve vztahu k mínusu, a proto se jeho konečná hodnota stává zápornou. Ukazuje se, že ve které čtvrtině je kosinus kladný, závisí na umístění trojúhelníku v kartézském souřadnicovém systému. A v tomto případě dostane kosinus úhlu zápornou hodnotu. Pro sinus se ale nic nezměnilo, protože k určení jeho znaménka je potřeba strana OB, která zůstala v tomto případě se znaménkem plus. Pojďme si shrnout první dvě čtvrtletí.

Abychom zjistili, ve kterých čtvrtích je kosinus kladný a ve kterých záporný (stejně jako sinus a další goniometrické funkce), je třeba se podívat na to, které znaménko je přiřazeno té či oné noze. Pro kosinus úhlu A důležitá je AO noha, pro sinus - OB.

První čtvrť je zatím jedinou, která odpovídá na otázku: „Ve kterých kvartálech je sinus a kosinus kladný zároveň?“. Podívejme se dále, zda ve znamení těchto dvou funkcí bude více náhod.

Ve druhém čtvrtletí AO noha začala mít zápornou hodnotu, což znamená, že kosinus se stal záporným. Pro sinus je uložena kladná hodnota.

Třetí čtvrtina

Nyní jsou obě nohy AO a OB negativní. Vzpomeňte si na poměry pro kosinus a sinus:

Cos a \u003d AO / AB;

Sin a \u003d BO / AB.

AB má v daném souřadnicovém systému vždy kladné znaménko, protože nesměřuje k žádné ze dvou stran definovaných osami. Ale nohy se staly zápornými, což znamená, že výsledek pro obě funkce je také záporný, protože pokud provádíte operace násobení nebo dělení s čísly, mezi nimiž má jedna a jen jedna znaménko mínus, výsledek bude také s tímto znaménkem .

Výsledek v této fázi:

1) V jaké čtvrtině je kosinus kladný? V prvním ze tří.

2) Ve které čtvrtině je sinus kladný? V prvním a druhém ze tří.

Čtvrtá čtvrtina (od 270 o do 360 o)

Zde AO větev opět získává znaménko plus, a tedy i kosinus.

Pro sinus jsou věci stále "negativní", protože noha OB zůstala pod výchozím bodem O.

závěry

Abyste pochopili, ve kterých čtvrtích je kosinus kladný, záporný atd., musíte si zapamatovat poměr pro výpočet kosinus: noha sousedící s úhlem dělená přeponou. Někteří učitelé navrhují zapamatovat si toto: k (osine) \u003d (k) roh. Pokud si pamatujete na tento "cheat", pak automaticky chápete, že sinus je poměr protikladu k úhlu nohy k přeponě.

Zapamatovat si, ve kterých čtvrtích je kosinus kladný a který záporný, je poměrně obtížné. Existuje mnoho goniometrických funkcí a všechny mají své vlastní hodnoty. Ale přesto ve výsledku: kladné hodnoty sinusu - 1, 2 čtvrtiny (od 0 o do 180 o); pro kosinus 1 4 čtvrtiny (od 0 o do 90 o a od 270 o do 360 o). Ve zbývajících čtvrtletích mají funkce hodnoty s mínusem.

Snad pro někoho bude snazší si zapamatovat, kde je který znak, podle obrázku funkce.

Pro sinus je vidět, že od nuly do 180 o je hřeben nad čarou hodnot sin (x), což znamená, že funkce je zde kladná. Pro kosinus je to stejné: ve které čtvrtině je kosinus kladný (foto 7) a ve které záporný, to lze vidět posunutím čáry nad a pod osu cos (x). V důsledku toho si můžeme pamatovat dva způsoby, jak určit znaménko funkcí sinus, kosinus:

1. V pomyslné kružnici o poloměru rovném jedné (i když ve skutečnosti nezáleží na poloměru kružnice, ale v učebnicích se tento příklad uvádí nejčastěji; tím je snazší vnímání, ale při zároveň, pokud neuvedete, že na tom nezáleží, mohou se děti zmást).

2. Podle obrázku závislosti funkce na (x) na samotném argumentu x, jako na posledním obrázku.

Pomocí první metody můžete POCHOPIT, na čem přesně znak závisí, a to jsme podrobně vysvětlili výše. Obrázek 7, postavený na těchto datech, vizualizuje výslednou funkci a její příslušnost ke znaménku nejlepším možným způsobem.

Obecně si tato otázka zaslouží zvláštní pozornost, ale vše je zde jednoduché: v úhlu stupňů jsou sinus i kosinus kladné (viz obrázek), pak vezmeme znaménko plus.

Nyní zkuste na základě výše uvedeného najít sinus a kosinus úhlů: a

Můžete podvádět: zejména pro úhel ve stupních. Protože pokud je jeden úhel pravoúhlého trojúhelníku roven stupňům, pak se druhý rovná stupňům. Nyní vstoupí v platnost známé vzorce:

Od té doby, potom a. Od té doby a. Se stupni je to ještě jednodušší: takže pokud je jeden z úhlů pravoúhlého trojúhelníku roven stupňům, pak se druhý také rovná stupňům, což znamená, že takový trojúhelník je rovnoramenný.

Nohy má tedy rovné. Jeho sinus a kosinus jsou tedy stejné.

Nyní najděte podle nové definice (přes x a y!) sinus a kosinus úhlů ve stupních a stupních. Nejsou zde žádné trojúhelníky k kreslení! Jsou příliš ploché!

Měli jste mít:

Tangentu a kotangens si můžete najít sami pomocí vzorců:

Všimněte si, že nelze dělit nulou!

Nyní lze všechna přijatá čísla shrnout do tabulky:

Zde jsou hodnoty sinus, kosinus, tangens a kotangens úhlů I čtvrt. Pro usnadnění jsou úhly uváděny jak ve stupních, tak v radiánech (teď však znáte vztah mezi nimi!). Věnujte pozornost 2 pomlčkám v tabulce: konkrétně kotangens nuly a tangens stupňů. To není náhoda!

Zejména:

Nyní zobecněme pojem sinus a kosinus do zcela libovolného úhlu. Budu zde uvažovat o dvou případech:

1. Úhel se pohybuje od do stupňů
2. Úhel větší než stupňů

Obecně se dá říct, že jsem si trochu pokřivil duši, mluvil jsem o „celkem všech“ zákoutích. Mohou být i negativní! Tomuto případu se ale budeme věnovat v jiném článku. Nejprve se zaměřme na první případ.

Pokud úhel leží v 1 čtvrtině, pak je vše jasné, tento případ jsme již zvažovali a dokonce jsme nakreslili tabulky.

Nyní ať je náš úhel větší než stupňů a ne větší než. To znamená, že se nachází buď ve 2. nebo 3. nebo 4. čtvrtletí.

Jak se máme? Ano, přesně to samé!

Uvažujme místo něčeho takového...

... takhle:

To znamená, že uvažujte úhel ležící ve druhé čtvrtině. Co o něm můžeme říci?

Bod, který je průsečíkem paprsku a kružnice, má stále 2 souřadnice (nic nadpřirozeného, ​​že?). Toto jsou souřadnice a

Navíc první souřadnice je záporná a druhá kladná! Znamená to, že v rozích druhé čtvrtiny je kosinus záporný a sinus kladný!

Úžasné, že? Předtím jsme se nikdy nesetkali s negativním kosinusem.

Ano, a v zásadě to tak být nemohlo, když jsme goniometrické funkce považovali za poměry stran trojúhelníku. Mimochodem, zamyslete se nad tím, které úhly mají kosinus rovný? A která má sinus?

Podobně můžete uvažovat úhly ve všech ostatních čtvrtích. Jen připomínám, že úhel se počítá proti směru hodinových ručiček! (jak je znázorněno na posledním obrázku!).

Samozřejmě můžete počítat v opačném směru, ale přístup k takovým úhlům bude poněkud odlišný.

Na základě výše uvedené úvahy můžete umístit znaménka sinus, kosinus, tangens (jako sinus dělený kosinus) a kotangens (jako kosinus dělený sinem) pro všechny čtyři čtvrtiny.

Ale ještě jednou opakuji, nemá smysl se tuto kresbu učit nazpaměť. Vše, co potřebujete vědět:

Pojďme si s vámi trochu zacvičit. Velmi jednoduché hádanky:

Zjistěte, jaké znamení mají následující množství:

Pojďme zkontrolovat?

1. stupně - to je úhel, větší a menší, což znamená, že leží ve 3 čtvrtinách. Nakreslete libovolný úhel ve 3 čtvrtinách a podívejte se, jaké má y. Vyjde to negativně. Pak.
   stupně - úhel 2 čtvrtiny. Sinus je kladný a kosinus záporný. Plus děleno mínus je mínus. Prostředek.
   stupně - úhel, větší a menší. Takže leží ve 4 čtvrtích. Jakýkoli roh čtvrté čtvrtiny „X“ bude kladný, což znamená
2. Obdobně pracujeme s radiány: jedná se o úhel druhé čtvrtiny (od a. Sinus druhé čtvrtiny je kladný.
   .
   , to je roh čtvrté čtvrtiny. Kosinus je pozitivní.
   - opět roh čtvrté čtvrtiny. Kosinus je kladný a sinus záporný. Pak bude tečna menší než nula:

Možná je pro vás obtížné určit čtvrtiny v radiánech. V takovém případě můžete vždy jít na stupně. Odpověď bude samozřejmě úplně stejná.

Nyní bych se rád krátce zastavil u dalšího bodu. Znovu si připomeňme základní goniometrickou identitu.

Jak jsem řekl, z toho můžeme vyjádřit sinus přes kosinus nebo naopak:

Volbu znaménka ovlivní pouze čtvrtina, ve které se nachází náš úhel alfa. U posledních dvou vzorců je ve zkoušce spousta úloh, například tyto:

Úkol

Najděte, zda a.

Ve skutečnosti je to úkol pro čtvrtinu! Podívejte se, jak se to řeší:

Řešení

Od té doby zde dosadíme hodnotu. Teď je to na malém: vypořádejte se se znamením. Co k tomu potřebujeme? Vědět, ve které čtvrti je náš koutek. Podle stavu problému: . Co je to za čtvrtletí? Čtvrtý. Jaké je znaménko kosinusu ve čtvrtém kvadrantu? Kosinus ve čtvrtém kvadrantu je kladný. Pak nám zbývá vybrat znaménko plus předtím. , pak.

Nebudu se nyní těmito úkoly zabývat, jejich podrobnou analýzu najdete v článku "". Jen jsem vás chtěl upozornit na důležitost toho, které znaménko má ta či ona goniometrická funkce v závislosti na čtvrtletí.

Úhly větší než stupně

Poslední věc, kterou bych chtěl v tomto článku poznamenat, je, jak se vypořádat s úhly většími než stupně?

Co to je a s čím to můžete jíst, abyste se neudusili? Vezměme, řekněme, úhel ve stupních (radiánech) a půjdeme od něj proti směru hodinových ručiček ...

Na obrázku jsem nakreslil spirálu, ale chápete, že ve skutečnosti žádnou spirálu nemáme: máme pouze kruh.

Kam se tedy dostaneme, když začneme z určitého úhlu a projdeme celou kružnici (stupně nebo radiány)?

Kam jdeme? A přijdeme do stejného rohu!

Totéž samozřejmě platí pro jakýkoli jiný úhel:

Když vezmeme libovolný úhel a projdeme celým kruhem, vrátíme se ke stejnému úhlu.

co nám to dá? Tady je co: pokud, tak

Odkud se nakonec dostaneme:

Pro libovolné celé číslo. Znamená to, že sinus a kosinus jsou periodické funkce s periodou.

Není tedy problém najít znaménko nyní libovolného úhlu: stačí zahodit všechny „celé kruhy“, které se nám vešly do rohu, a zjistit, ve které čtvrtině leží zbývající roh.

Chcete-li například najít značku:

Kontrolujeme:

1. Ve stupních se hodí časy ve stupních (stupních):
   stupně zbývají. Toto je úhel 4. čtvrtiny. Existuje záporný sinus, takže
2. . stupně. Toto je úhel 3. čtvrtiny. Kosinus je záporný. Pak
3. . . Od té doby - roh prvního čtvrtletí. Kosinus je pozitivní. Pak cos
4. . . Od toho pak náš úhel leží ve druhé čtvrtině, kde je sinus kladný.

Totéž můžeme udělat pro tečnu a kotangens. Ve skutečnosti je to s nimi však ještě jednodušší: jsou to také periodické funkce, jen jejich perioda je 2krát menší:

Takže chápete, co je trigonometrický kruh a k čemu slouží.

Ale stále máme spoustu otázek:

1. Co jsou negativní úhly?
2. Jak vypočítat hodnoty goniometrických funkcí v těchto úhlech
3. Jak využít známé hodnoty goniometrických funkcí 1. čtvrtletí k hledání hodnot funkcí v ostatních čtvrtletích (opravdu potřebujete nacpat tabulku?!)
4. Jak pomocí kruhu zjednodušit řešení goniometrických rovnic?

PRŮMĚRNÁ ÚROVEŇ

V tomto článku budeme pokračovat ve studiu trigonometrického kruhu a diskutovat o následujících bodech:

1. Co jsou negativní úhly?
2. Jak vypočítat hodnoty goniometrických funkcí v těchto úhlech?
3. Jak pomocí známých hodnot goniometrických funkcí 1. čtvrtletí hledat hodnoty funkcí v ostatních čtvrtletích?
4. Co je osa tečny a osa kotangens?

Nebudeme potřebovat žádné další znalosti, kromě základních dovedností práce s jednotkovým kruhem (předchozí článek). No, pojďme k první otázce: co jsou negativní úhly?

Negativní úhly

Záporné úhly v trigonometrii jsou položeny na trigonometrickém kruhu od začátku dolů ve směru pohybu hodinových ručiček:

Připomeňme si, jak jsme dříve vykreslovali úhly na trigonometrické kružnici: Šli jsme z kladného směru osy proti směru hodinových ručiček:

Potom v našem obrázku sestrojíme úhel rovný. Podobně jsme postavili všechny rohy.

Nic nám však nebrání jít z kladného směru osy ve směru hodinových ručiček.

Dostaneme také různé úhly, ale již budou negativní:

Následující obrázek ukazuje dva úhly, které jsou stejné v absolutní hodnotě, ale opačné ve znaménku:

Obecně lze pravidlo formulovat takto:

• Jdeme proti směru hodinových ručiček – dostáváme kladné úhly
• Jdeme po směru hodinových ručiček – dostáváme záporné úhly

Schematicky je pravidlo znázorněno na tomto obrázku:

Můžete mi položit docela rozumnou otázku: dobře, potřebujeme úhly, abychom změřili jejich hodnoty sinus, kosinus, tangens a kotangens.

Je tedy rozdíl, když máme pozitivní úhel a když máme negativní? Odpovím vám: zpravidla existuje.

Vždy však můžete snížit výpočet goniometrické funkce ze záporného úhlu na výpočet funkce v úhlu pozitivní .

Podívejte se na následující obrázek:

Nakreslil jsem dva úhly, jsou stejné v absolutní hodnotě, ale mají opačné znaménko. Poznamenejte si pro každý z úhlů jeho sinus a kosinus na osách.

Co ty a já vidíme? A tady je co:

• Sinusy jsou v rozích a mají opačné znaménko! Pak kdyby
• Kosiny rohů a shodují se! Pak kdyby
• Od té doby:
• Od té doby:

Vždy se tedy můžeme zbavit záporného znaménka uvnitř jakékoli goniometrické funkce: buďto jeho prostým zničením, jako u kosinusu, nebo jeho umístěním před funkci, jako u sinus, tangens a kotangens.

Mimochodem, zapamatujte si, jak se funkce jmenuje, ve které pro všechny přípustné platí: ?

Taková funkce se nazývá lichá.

A pokud je pro nějaké přípustné splněno: ? V tomto případě se funkce nazývá sudá.

Tak jsme právě ukázali, že:

Sinus, tangens a kotangens jsou liché funkce, zatímco kosinus je sudý.

Jak tedy chápete, není rozdíl, zda hledáme sinus z kladného nebo záporného úhlu: vypořádat se s mínusem je velmi jednoduché. Nepotřebujeme tedy samostatné tabulky pro záporné úhly.

Na druhou stranu, musíte uznat, že by bylo velmi pohodlné, znát pouze goniometrické funkce úhlů první čtvrtiny, umět vypočítat podobné funkce pro zbývající čtvrtiny. Dá se to udělat? Ano, určitě můžete! Máte alespoň 2 způsoby: první je postavit trojúhelník a použít Pythagorovu větu (takto jsme vy a já našli hodnoty goniometrických funkcí pro hlavní úhly první čtvrtiny) a druhý - zapamatování si hodnot funkcí pro úhly v prvním čtvrtletí a několik jednoduchých pravidel, umět vypočítat goniometrické funkce pro všechny ostatní čtvrtletí. Druhý způsob vám ušetří spoustu povyku s trojúhelníky a s Pythagoras, takže to vidím jako nadějnější:

Tato metoda (nebo pravidlo) se tedy nazývá - redukční vzorce.

Odlévat vzorce

Zhruba řečeno, tyto vzorce vám pomohou si takovou tabulku nepamatovat (mimochodem obsahuje 98 čísel!):

pokud si pamatujete toto (pouze 20 čísel):

To znamená, že se nemůžete obtěžovat zcela zbytečnými 78 čísly! Potřebujeme například počítat. Je jasné, že v malém stolku nic takového není. Co děláme? A tady je co:

Nejprve potřebujeme následující znalosti:

1. Sinus a kosinus mají periodu (stupně), tzn.

   Tangenta (kotangens) má tečku (stupně)

   Jakékoli celé číslo

2. Sinus a tangens jsou liché funkce a kosinus je sudý:

První tvrzení jsme s vámi již dokázali a platnost druhého byla prokázána poměrně nedávno.

Skutečné pravidlo castingu vypadá takto:

1. Počítáme-li hodnotu goniometrické funkce ze záporného úhlu, učiníme ji pozitivní pomocí skupiny vzorců (2). Například:
2. Vyřadíme pro sinus a kosinus jeho periody: (ve stupních) a pro tečnu - (stupně). Například:
3. Pokud je zbývající "roh" menší než stupňů, pak je problém vyřešen: hledáme ho v "malé tabulce".
4. Jinak hledáme, ve které čtvrti leží náš roh: bude to 2., 3. nebo 4. čtvrtletí. Podíváme se na znaménko požadované funkce ve čtvrtině. Pamatujte na toto znamení!
5. Představte úhel v jedné z následujících forem:

   (pokud ve druhém čtvrtletí)
   (pokud ve druhém čtvrtletí)
   (pokud ve třetím čtvrtletí)
   (pokud ve třetím čtvrtletí)
   
   (pokud ve čtvrtém čtvrtletí)

   takže zbývající úhel je větší než nula a menší než stupně. Například:

   V zásadě je jedno, ve které ze dvou alternativních forem pro jednotlivé čtvrti roh představujete. To neovlivní konečný výsledek.

6. Nyní se podívejme, co jsme dostali: pokud jste zvolili záznam přes nebo stupně plus mínus něco, pak se znaménko funkce nezmění: pouze odstraníte nebo a zapíšete sinus, kosinus nebo tangens zbývajícího úhlu. Pokud jste zvolili záznam přes nebo stupně, změňte sinus na kosinus, kosinus na sinus, tečnu na kotangens, kotangens na tečnu.
7. Znak z odstavce 4 dáme před výsledný výraz.

Pojďme si vše výše uvedené ukázat na příkladech:

1. Vypočítat
2. Vypočítat
3. Najděte-di-tyto významy you-ra-same-nia:

Začneme popořadě:

1. Jednáme podle našeho algoritmu. Vyberte celočíselný počet kruhů pro:

   Obecně dojdeme k závěru, že celek je umístěn do rohu 5krát, ale kolik zbývá? Vlevo, odjet. Pak

   No, přebytek jsme zahodili. Nyní se pojďme zabývat znamením. leží ve 4 čtvrtích. Sinus čtvrté čtvrtiny má znaménko mínus a neměl bych to zapomenout uvést do odpovědi. Dále uvádíme podle jednoho ze dvou vzorců odstavce 5 redukčních pravidel. vyberu si:

   Nyní se podíváme na to, co se stalo: máme případ se stupni, pak ho zahodíme a změníme sinus na kosinus. A dejte před něj znaménko mínus!

   stupně je úhel v první čtvrtině. Známe (slíbil jste mi, že se naučíte malý stůl!!) jeho význam:

   Pak dostaneme konečnou odpověď:

   Odpovědět:

2. vše je stejné, ale místo stupňů - radiány. To je v pořádku. Hlavní věc, kterou je třeba si zapamatovat, je to

   Ale nemůžete nahradit radiány stupni. Je to věc vašeho vkusu. nic nezměním. Začnu znovu vyřazením celých kruhů:

   Vyřadíme - to jsou dva celé kruhy. Zbývá spočítat. Tento úhel je ve třetí čtvrtině. Kosinus třetího čtvrtletí je záporný. Nezapomeňte v odpovědi uvést znaménko mínus. lze si představit jako. Opět si připomínáme pravidlo: máme případ „celého“ čísla (nebo), pak se funkce nemění:

   Pak.
   Odpovědět: .

3. . Musíte udělat to samé, ale se dvěma funkcemi. Budu trochu stručnější: a stupně jsou úhly druhé čtvrtiny. Kosinus druhé čtvrtiny má znaménko minus a sinus znaménko plus. může být reprezentováno jako: ale jak, pak

   Oba případy jsou „poloviny celku“. Pak se sinus stane kosinusem a kosinus se stane sinusem. Navíc je před kosinusem znaménko mínus:

Odpovědět: .

Nyní si procvičte sami s následujícími příklady:

A zde jsou řešení:

1. 
   Nejprve se zbavme mínus tím, že jej posuneme před sinus (protože sinus je lichá funkce!!!). Pak zvažte úhly:

   Vyřadíme celočíselný počet kruhů - tedy tři kruhy ().
   Zbývá spočítat: .
   Totéž uděláme s druhým rohem:

   Smažte celý počet kruhů – 3 kruhy () a poté:

   Nyní přemýšlíme: ve které čtvrtině leží zbývající roh? Na všechno „nedosáhne“. Co je tedy čtvrtina? Čtvrtý. Jaké je znaménko kosinusu čtvrtého čtvrtletí? Pozitivní. Teď si to představme. Protože odečítáme od celého čísla, neměníme znaménko kosinu:

   Všechna přijatá data dosadíme do vzorce:

   Odpovědět: .

2. 
   Standard: odstraníme mínus z kosinusu s využitím skutečnosti, že.
   Zbývá počítat kosinus stupňů. Odebereme celé kruhy: . Pak

   Pak.
   Odpovědět: .

3. Postupujeme jako v předchozím příkladu.

   Protože si pamatujete, že perioda tečny je (nebo) na rozdíl od kosinusu nebo sinu, ve kterých je 2krát větší, odebereme celé číslo.

   stupňů je úhel ve druhé čtvrtině. Tangenta druhé čtvrtiny je záporná, pak nezapomínejme na „mínus“ na konci! lze napsat jako. Tangenta se mění na kotangensu. Nakonec dostaneme:

   Pak.
   Odpovědět: .

No, zbylo jich velmi málo!

Osa tečen a osa kotangens

Poslední věcí, u které bych se zde chtěl pozastavit, jsou dvě další osy. Jak jsme již uvedli, máme dvě osy:

1. Osa - kosinusová osa
2. Axis - sinusová osa

Ve skutečnosti nám došly souřadnicové osy, že? Ale co tangenty a kotangensy?

Opravdu pro ně neexistuje žádný grafický výklad?

Ve skutečnosti je, můžete to vidět na tomto obrázku:

Zejména z těchto obrázků můžeme říci následující:

1. Tangenta a kotangensa mají stejná znaménka ve čtvrtinách
2. Jsou pozitivní v 1. a 3. čtvrtletí
3. Ve 2. a 4. čtvrtletí jsou negativní
4. Tečna není definována v úhlech
5. Kotangens není definován v úhlech

K čemu jinému jsou tyto obrázky? Naučíte se na pokročilé úrovni, kde vám řeknu, jak si pomocí trigonometrické kružnice můžete zjednodušit řešení goniometrických rovnic!

POKROČILÁ ÚROVEŇ

V tomto článku popíšu jak jednotkový kruh (trigonometrický kruh) mohou být užitečné při řešení goniometrických rovnic.

Mohu zdůraznit dva případy, kdy to může být užitečné:

1. V odpovědi nezískáme „krásný“ úhel, ale přesto musíme vybrat kořeny
2. Odpovědí je příliš mnoho řad kořenů

Nepotřebujete žádné specifické znalosti, kromě znalosti tématu:

Pokusil jsem se napsat téma "trigonometrické rovnice" bez použití kruhu. Mnozí by mě za takový přístup nepochválili.

Ale preferuji vzorec, tak co se dá dělat. V některých případech však vzorce nestačí. K napsání tohoto článku mě motivoval následující příklad:

Řešte rovnici:

Takže. Samotné řešení rovnice je snadné.

Zpětná výměna:

Naše původní rovnice je tedy ekvivalentní čtyřem nejjednodušším rovnicím! Opravdu potřebujeme napsat 4 řady kořenů:

V zásadě se to mohlo zastavit. Ale jen ne čtenářům tohoto článku, který tvrdí, že je jakousi „složitostí“!

Podívejme se nejprve na první řadu kořenů. Takže vezmeme jednotkovou kružnici, nyní aplikujme tyto kořeny na kružnici (zvlášť pro a pro):

Věnujte pozornost: jaký úhel se ukázal mezi rohy a? Tohle je roh. Nyní udělejme totéž pro sérii: .

Mezi kořeny rovnice se opět získá úhel c. Nyní spojíme tyto dva obrázky:

co vidíme? A pak jsou všechny úhly mezi našimi kořeny stejné. Co to znamená?

Pokud začneme od rohu a vezmeme úhly, které jsou stejné (pro libovolné celé číslo), pak vždy zasáhneme jeden ze čtyř bodů na horním kruhu! Takže 2 řady kořenů:

Lze spojit do jednoho:

Bohužel, pro řadu kořenů:

Tyto argumenty již neplatí. Udělejte si obrázek a pochopte, proč tomu tak je. Lze je však kombinovat takto:

Pak má původní rovnice kořeny:

Což je docela krátká a výstižná odpověď. A co znamená stručnost a výstižnost? O úrovni vaší matematické gramotnosti.

Toto byl první příklad, ve kterém použití trigonometrické kružnice přineslo užitečné výsledky.

Druhým příkladem jsou rovnice, které mají „ošklivé kořeny“.

Například:

1. Vyřešte rovnici.
2. Najděte její kořeny, které patří do mezery.

První část není obtížná.

Vzhledem k tomu, že se v tématu již orientujete, dovolím si být ve výpočtech stručný.

pak nebo

Takže jsme našli kořeny naší rovnice. Nic složitého.

Složitější je řešení druhé části úlohy, když nevíme, čemu se přesně rovná arkkosinus mínus jedna čtvrtina (nejedná se o tabulkovou hodnotu).

Nalezenou řadu kořenů však můžeme znázornit na jednotkové kružnici:

co vidíme? Za prvé, obrázek nám objasnil, v jakých mezích se arckosin skrývá:

Tato vizuální interpretace nám pomůže najít kořeny, které patří do segmentu: .

Nejprve se do něj dostane samotné číslo, pak (viz obr.).

také patří do segmentu.

Jednotková kružnice tedy pomáhá určit, do jakých limitů spadají „ošklivé“ rohy.

Měli byste mít ještě alespoň jednu otázku: Ale co tangenty a kotangensy?

Ve skutečnosti mají také své vlastní osy, i když mají trochu specifický vzhled:

Jinak bude způsob zacházení s nimi stejný jako se sinusem a kosinusem.

Příklad

Je dána rovnice.

• Vyřešte tuto rovnici.
• Uveďte kořeny této rovnice, které patří do intervalu.

Řešení:

Nakreslíme jednotkovou kružnici a označíme na ní naše řešení:

Z obrázku lze pochopit, že:

Nebo ještě více: od té doby

Poté najdeme kořeny patřící do segmentu.

, (protože)

Nechám na vás, abyste se ujistili, že naše rovnice nemá žádné další kořeny patřící do intervalu.

SHRNUTÍ A ZÁKLADNÍ VZORCE

Hlavním nástrojem trigonometrie je trigonometrický kruh, umožňuje měřit úhly, najít jejich sinus, kosinus a tak dále.

Existují dva způsoby měření úhlů.

1. Přes stupně
2. Přes radiány

A naopak: od radiánů ke stupňům:

Chcete-li najít sinus a kosinus úhlu, potřebujete:

1. Nakreslete jednotkovou kružnici se středem shodným s vrcholem rohu.
2. Najděte průsečík tohoto úhlu s kružnicí.
3. Jeho souřadnice "x" je kosinus požadovaného úhlu.
4. Jeho "herní" souřadnice je sinus požadovaného úhlu.

Odlévat vzorce

Jedná se o vzorce, které umožňují zjednodušit složité výrazy goniometrické funkce.

Tyto vzorce vám pomohou nepamatovat si takovou tabulku:

Shrnutí

Naučili jste se, jak vyrobit univerzální trigonometrickou ostruhu.

Naučili jste se řešit problémy mnohem snadněji a rychleji a hlavně bez chyb.

Uvědomili jste si, že nepotřebujete nacpat žádné stoly a obecně je toho málo co nacpat!

Teď chci slyšet váš názor!

Podařilo se vám zpracovat toto složité téma?

Co se ti líbilo? co se ti nelíbilo?

Možná jste našli chybu?

Pište do komentářů!

A hodně štěstí u zkoušky!