Mnohostěn, který se skládá ze dvou plochých mnohoúhelníků. Mnohostěn a jejich typy

Úvod

Povrch tvořený mnohoúhelníky a ohraničující nějaké geometrické těleso se nazývá polyhedrální povrch nebo mnohostěn.

Mnohostěn je ohraničené těleso, jehož povrch se skládá z konečného počtu mnohoúhelníků. Mnohoúhelníky, které vázaly mnohostěn, se nazývají plochy a protínající se čáry ploch se nazývají hrany.

Mnohostěn může mít pestrou a velmi složitou strukturu. Příkladem mnohostěnů jsou různé stavby, jako jsou cihlové a betonové bloky ve výstavbě. Další příklady lze nalézt mezi nábytkem, jako je například stůl. V chemii je tvar molekul uhlovodíků čtyřstěn, pravidelná krychle o 20 stranách. Ve fyzice jsou krystaly příkladem mnohostěnů.

Od starověku je pojem krásy spojován se symetrií. Pravděpodobně to vysvětluje lidský zájem o mnohostěny - úžasné symboly symetrie, které přitahovaly pozornost prominentních myslitelů, kteří byli zasaženi krásou, dokonalostí a harmonií těchto postav.

První zmínky o mnohostěnech jsou známy již tři tisíce let před naším letopočtem v Egyptě a Babylonu. Stačí si připomenout slavné egyptské pyramidy a nejznámější z nich - Cheopsovu pyramidu. Jedná se o pravidelnou pyramidu, na jejímž základně je čtverec o straně 233 ma výšce 146,5 m. Není náhodou, že říkají, že Cheopsova pyramida je tlumeným pojednáním o geometrii.

Historie pravidelné mnohostěny sahá až do starověku. Počínaje 7. stoletím před naším letopočtem byly ve starověkém Řecku vytvořeny filozofické školy, ve kterých došlo k postupnému přechodu od praktické k filozofické geometrii. Na těchto školách mají velký význam úvahy, pomocí nichž bylo možné získat nové geometrické vlastnosti.

Jednou z prvních a nejznámějších škol byla Pythagorean, pojmenovaná po svém zakladateli Pythagorasovi. Výrazným znakem Pythagorejců byl pentagram, v jazyce matematiky je to pravidelný nekonvexní nebo hvězdicovitý pětiúhelník. Pentagramu byla přidělena schopnost chránit člověka před zlými duchy.

Pythagorejci věřili, že hmotu tvoří čtyři základní prvky: oheň, země, vzduch a voda. Přisuzovali existenci pěti pravidelných mnohostěnů struktuře hmoty a vesmíru. Podle tohoto názoru by atomy hlavních prvků měly mít formu různých těl:

§ Vesmír je dvanáctistěn

§ Země - kostka

§ Oheň je čtyřstěn

§ Voda je dvacetistěn

§ Vzduch je osmistěn

Později výuku Pythagorejců o pravidelném mnohostěnu uvedl ve svých spisech další starověký řecký vědec, filozof - idealista Platón. Od té doby se běžným mnohostěnům říká platonické pevné látky.

Platonické pevné látky se nazývají pravidelné homogenní konvexní mnohostěny, to znamená konvexní mnohostěny, jejichž všechny plochy a úhly jsou stejné a plochy jsou pravidelné mnohoúhelníky. Stejný počet hran konverguje ke každému vrcholu pravidelného mnohostěnu. Všechny dihedrální úhly na okrajích a všechny polyhedrální úhly na vrcholech pravidelného mnohoúhelníku jsou stejné. Platonické pevné látky jsou trojrozměrný analog plochých pravidelných mnohoúhelníků.

Teorie mnohostěnů je moderní obor matematiky. Úzce souvisí s topologií, teorií grafů, má velký význam jak pro teoretický výzkum geometrie, tak pro praktické aplikace v jiných oborech matematiky, například v algebře, teorii čísel, aplikované matematice - lineární programování, teorii optimálního řízení. Toto téma je tedy relevantní a znalosti o této problematice jsou důležité pro moderní společnost.

Hlavní část

Mnohostěn je ohraničené těleso, jehož povrch se skládá z konečného počtu mnohoúhelníků.

Dejme definici mnohostěnu, která je ekvivalentní s první definicí mnohostěnu.

Mnohostěn – je to údaj, který je spojením konečného počtu čtyřstěnů, pro které jsou splněny následující podmínky:

1) každé dva čtyřstěny nemají žádné společné body nebo mají společný vrchol nebo jen společnou hranu nebo celou společnou plochu;

2) z každého čtyřstěnu do druhého můžete procházet řetězcem čtyřstěnu, ve kterém každý následující sousedí s předchozím podél celé tváře.

Mnohostěn prvky

Plocha mnohostěnu je nějaký mnohoúhelník (ohraničená uzavřená oblast se nazývá mnohoúhelník, jehož hranice se skládá z konečného počtu segmentů).

Boky ploch se nazývají hrany mnohostěnů a vrcholy ploch se nazývají vrcholy mnohostěnů. Mezi prvky mnohostěnu patří kromě jeho vrcholů, hran a ploch také ploché úhly jeho ploch a vzepětí na jeho okrajích. Úhel vzepětí na okraji mnohostěnu je určen jeho plochami, které odpovídají tomuto okraji.

Klasifikace mnohostěnů

Konvexní mnohostěn - je to mnohostěn, jehož dva body jsou v něm spojeny segmentem. Konvexní mnohostěny mají mnoho pozoruhodných vlastností.

Eulerova věta. Pro jakýkoli konvexní polytop V-R + G = 2,

Kde V - počet jeho vrcholů, R - počet žeber, D - počet jeho tváří.

Cauchyova věta. Dvě uzavřené konvexní mnohostěny, které se rovnoměrně skládají z odpovídajících stejných ploch, jsou stejné.

Konvexní mnohostěn je považován za pravidelný, pokud jsou všechny jeho plochy stejné jako pravidelné mnohoúhelníky a stejný počet hran se sbíhá v každém z jeho vrcholů.

Pravidelný mnohostěn

Mnohostěn se nazývá pravidelný, pokud je zaprvé konvexní, zadruhé jsou všechny jeho tváře navzájem stejné jako pravidelné mnohoúhelníky, zatřetí, stejný počet tváří se sbíhá v každém z jejích vrcholů a za čtvrté jsou všechny její vzepětí úhly stejné .

Existuje pět konvexních pravidelných mnohostěnů - čtyřstěn, osmistěn a dvacetistěn s trojúhelníkovými plochami, krychle (šestistěn) se čtvercovými plochami a dvanáctistěn s pětiúhelníkovými plochami. Důkaz této skutečnosti je znám již více než dva tisíce let; tímto důkazem a studiem pěti regulárních těles jsou dokončeny „počátky“ Euklida (starořeckého matematika, autora prvních teoretických pojednání o matematice, která k nám přišla). Proč dostala pravidelná mnohostěna taková jména? To je způsobeno počtem jejich tváří. Čtyřstěn má 4 tváře, v překladu z řeckého „tetra“ - čtyři, „edron“ - tvář. Hexahedron (krychle) má 6 tváří, „hexa“ - šest; octahedron - osmistěn, „octo“ - osm; dodecahedron - dodecahedron, "dodeca" - dvanáct; dvacetistěn má 20 tváří, ikosi dvacet.

2.3. Typy pravidelných mnohostěnů:

1) Pravidelný čtyřstěn(složený ze čtyř rovnostranných trojúhelníků. Každý z jeho vrcholů je vrcholem tří trojúhelníků. Proto je součet plochých úhlů u každého vrcholu 180 0);

2)Krychle- rovnoběžnostěn, jehož všechny plochy jsou čtverce. Kostka se skládá ze šesti čtverců. Každý vrchol krychle je vrcholem tří čtverců. Proto je součet plochých úhlů v každém vrcholu 270 0.

3) Pravidelný osmistěn nebo jednoduše osmistěn– mnohostěn s osmi pravidelnými trojúhelníkovými plochami a čtyřmi plochami sbíhajícími se v každém vrcholu. Oktaedr se skládá z osmi rovnostranných trojúhelníků. Každý vrchol osmistěnu je vrcholem čtyř trojúhelníků. Proto je součet plochých úhlů v každém vrcholu 240 0. Lze jej postavit přidáním dvou pyramid na základnách, na jejichž základně jsou čtverce a boční plochy jsou pravidelné trojúhelníky. Okraje osmistěnu lze získat spojením středů sousedních ploch krychle, ale pokud spojíme středy sousedních ploch pravidelného osmistěnu, dostaneme hrany krychle. Kostka a osmistěn jsou považovány za vzájemně dvojí.

4)Dvacetistěnu- skládá se z dvaceti rovnostranných trojúhelníků. Každý vrchol ikosahedronu je vrcholem pěti trojúhelníků. Proto je součet plochých úhlů v každém vrcholu 300 0.

5) Dodecahedron- mnohostěn složený z dvanácti pravidelných pětiúhelníků. Každý vrchol dodekaedru je vrcholem tří pravidelných pětiúhelníků. Proto je součet plochých úhlů v každém vrcholu 324 0.

Dodecahedron a icosahedron jsou také vzájemně dvojí v tom smyslu, že spojením středů sousedních ploch icosahedronu segmenty získáme dodecahedron a naopak.

Pravidelný čtyřstěn je pro sebe dvojí.

Kromě toho neexistuje pravidelný mnohostěn, jehož plochy jsou pravidelné šestiúhelníky, sedmiúhelníky a obecně n-úhly pro n ≥ 6.

Pravidelný mnohostěn je mnohostěn, ve kterém jsou všechny plochy pravidelné stejné mnohoúhelníky a všechny vzepětí jsou stejné. Existují však také takové mnohostěny, ve kterých jsou všechny mnohostěnné úhly stejné a plochy jsou pravidelné, ale naproti pravidelným mnohoúhelníkům. Polytopy tohoto typu se nazývají ekvisemiiregulární polytopy. Poprvé byly mnohostěny tohoto typu objeveny Archimédem. Podrobně popsal 13 mnohostěnů, které byly později pojmenovány těly Archimeda na počest velkého vědce. Jedná se o zkrácený čtyřstěn, zkrácený oxahedron, zkrácený ikosahedron, zkrácený krychle, zkrácený dodekahedron, cuboctahedron, icosidodecahedron, zkrácený cubooctahedron, zkrácený icosidodecahedron, rhombocubooedah, rhombocubooedah, rhombocubooedah

2.4. Semiregular polyhedra nebo Archimedean pevné látky jsou konvexní mnohostěn se dvěma vlastnostmi:

1. Všechny plochy jsou pravidelné mnohoúhelníky dvou nebo více typů (pokud jsou všechny plochy pravidelné polygony stejného typu, jedná se o pravidelný mnohostěn).

2. Pro jakoukoli dvojici vrcholů existuje symetrie mnohostěnu (tj. Pohyb, který transformuje mnohostěn na sebe), který bere jeden vrchol do druhého. Zejména všechny polyedrické úhly vrcholů jsou shodné.

Kromě semiregulárních mnohostěnů lze z pravidelných mnohostěnů - platónských pevných látek získat tzv. Pravidelný hvězdný mnohostěn. Jsou jen čtyři, také se jim říká Kepler-Poinsotova těla. Kepler objevil malý dvanáctistěn, kterému říkal pichlavý nebo ježek, a velký dvanáctistěn. Poinsot objevil dva další pravidelné hvězdné mnohostěny, respektive duální k prvnímu dva: velký hvězdný dvanáctistěn a velký dvacetistěn.

Dva čtyřstěny, procházející jedním skrz druhý, tvoří osmistěn. Johannes Kepler dal této postavě jméno „stella octangula“ - „osmiboká hvězda“. Vyskytuje se také v přírodě: jedná se o takzvaný dvojitý krystal.

V definici správného mnohostěnu nebylo slovo „konvexní“ záměrně - na základě zjevné zjevnosti - zdůrazněno. A to znamená další požadavek: „a všechny tváře, které leží na jedné straně roviny procházející kteroukoli z nich.“ Pokud takové omezení odmítneme, pak k platonickým pevným látkám budeme muset kromě „rozšířeného osmistěnu“ přidat další čtyři mnohostěny (nazývají se Kepler-Poinsotovy tělesa), z nichž každý bude „téměř pravidelný“. Všechny jsou získány „zíráním“ Platonova tělesa, tj. prodloužení jeho hran, dokud se neprotínají navzájem, a proto se nazývají ve tvaru hvězdy. Kostka a čtyřstěn negenerují nové postavy - jejich tváře, bez ohledu na to, kolik jdete, se neprotínají.

Pokud roztáhneme všechny tváře osmistěnu, dokud se neprotínají navzájem, dostaneme číslo, které vznikne vzájemným pronikáním dvou čtyřstěnů - „stéla octangula“, která se nazývá „pokračování osmistěn ".

Dvacetistěn a dvanáctistěn dávají světu čtyři „téměř pravidelné mnohostěny“ najednou. Jedním z nich je malý hvězdný dvanáctistěn, který poprvé získal Johannes Kepler.

Po staletí matematici neuznávali právo nazývat se polygony pro všechny druhy hvězd, protože se jejich strany protínají. Ludwig Schläfli nevyloučil geometrické těleso z rodiny mnohostěnů jen proto, že jeho tváře se navzájem protínají; nicméně zůstal neoblomný, jakmile se diskutovalo o malém hvězdném dodekahedronu. Jeho argument byl jednoduchý a závažný: toto kepleriánské zvíře neposlouchá Eulerův vzorec! Jsou vytvořeny jeho trny dvanáct ploch, třicet hran a dvanáct vrcholů, a proto se B + G-R vůbec nerovná dvěma.

Schläfli měl pravdu i chybu. Geometrický ježek samozřejmě není tak pichlavý, aby se vzbouřil proti neomylnému vzorci. Je pouze nutné nepředpokládat, že je tvořeno dvanácti protínajícími se hvězdami ve tvaru tváře, ale dívat se na to jako na jednoduché, poctivé geometrické těleso, složené ze 60 trojúhelníků, s 90 hranami a 32 vrcholy.

Pak В + Г-Р = 32 + 60-90 je rovno, jak by mělo být, 2. Ale slovo „správný“ je pak pro tento mnohostěn nepoužitelné - koneckonců jeho tváře nejsou nyní rovnostranné, ale pouze rovnoramenné trojúhelníky. Kepler ne myslel, že postava, kterou dostal, má dvojníka.

Mnohostěn, kterému se říká „velký dvanáctistěn“, postavil francouzský geometr Louis Poinseau dvě stě let po Keplerových hvězdných postavách.

Velký dvacetistěn poprvé popsal Louis Poinseau v roce 1809. Když Kepler znovu uviděl velký hvězdný dvanáctistěn, opustil Louis Poinseau se ctí otevřít druhou postavu. Tyto údaje také odpovídají polovině Eulerova vzorce.

Praktické použití

Mnohostěn v přírodě

Pravidelné mnohostěny jsou nejvýhodnějšími tvary, a proto jsou v přírodě velmi rozšířené. To potvrzuje tvar některých krystalů. Například krystaly stolní soli mají tvar krychle. Při výrobě hliníku se používá hliník-draselný křemen, jehož monokrystal má tvar pravidelného osmistěnu. Výroba kyseliny sírové, železa a speciálních druhů cementu není bez pyritu úplná. Krystaly této chemikálie mají tvar dodekaedru. Antimon sulfát sodný, látka syntetizovaná vědci, se používá při různých chemických reakcích. Krystal síranu antimonitého sodného má tvar čtyřstěnu. Poslední pravidelný mnohostěn, dvacetistěn, dává tvar krystalů boru.

Hvězdné mnohostěny jsou velmi dekorativní, což umožňuje jejich široké použití v klenotnickém průmyslu při výrobě všech druhů šperků. Používají se také v architektuře. Mnoho forem hvězdných mnohostěn navrhuje sama příroda. Sněhové vločky jsou hvězdné mnohostěny. Od starověku se lidé snažili popsat všechny možné typy sněhových vloček, vytvořili speciální atlasy. Nyní je známo několik tisíc různých druhů sněhových vloček.

Pravidelné mnohostěny se vyskytují také v přírodě. Například kostra jednobuněčného organismu Feodaria (Circjgjnia icosahtdra) svým tvarem připomíná icosahedron. Většina feudárií žije v hlubokém moři a slouží jako kořist pro korálové ryby. Ale nejjednodušší zvíře se chrání dvanácti jehlami vyčnívajícími z 12 vrcholů kostry. Vypadá to spíš jako hvězdný mnohostěn.

Můžeme také pozorovat mnohostěn ve formě květin. Kaktusy jsou ukázkovým příkladem.

Podobné informace.

„Druhy polyhedra“ - Pravidelná hvězdná mnohostěna. Dodecahedron. Malý hvězdný dvanáctistěn. Mnohostěn. Hexahedron. Platónova těla. Hranolovitý. Pyramida. Dvacetistěnu. Osmistěn. Tělo ohraničené konečným počtem letadel. Stellated octahedron. Dvě tváře. Zákon vzájemnosti. Matematik. Čtyřstěn.

„Geometrické tělo mnohostěn“ - Mnohostěn. Hranoly. Existence nepominutelných množství. Poincaré. Okraj. Měření objemů. Tváře rovnoběžnostěn. Obdélníkový rovnoběžnostěn. Na ulici často vidíme pyramidu. Mnohostěn. Zajímavosti. Alexandrijský maják. Geometrické tvary. Vzdálenost mezi rovinami. Memphis.

„Kaskády mnohostěnů“ - hrana kostky. Hrana oktaedronu. Krychle a dvanáctistěn. Jednotkový čtyřstěn. Dodekeded a dvacetistěn. Dodekeded a čtyřstěn. Octahedron a icosahedron. Mnohostěn. Pravidelný mnohostěn. Octahedron a dodecahedron. Ikosahedron a osmistěn. Jediný dvacetistěn. Čtyřstěn a dvacetistěn. Jednotka dvanáctistěn. Oktaedron a čtyřstěn. Krychle a čtyřstěn.

"Polyhedrons" stereometry "- Polyhedrons in architecture. Sekce mnohostěnů. Pojmenujte mnohostěn. Velká pyramida v Gíze. Platonické pevné látky. Opravte logický řetězec. Mnohostěn. Historický odkaz. Nejlepší hodina mnohostěnů. Řešení problémů. Cíle lekce. "Hraní s publikem". Zda se geometrické tvary a jejich názvy shodují.

„Stelované formy mnohostěnů“ - Velký hvězdný dodekahedron. Mnohostěn zobrazený na obrázku. Hvězda mnohostěn. Boční žebra. Stellated cuboctahedra. Stellated komolý dvacetistěn. Mnohostěn získaný zkrácením zkráceného zkráceného dvacetistěnu. Vrcholy velkého hvězdného dodekaedru. Stellated dvacetistěny. Velký dvanáctistěn.

„Sekce mnohostěnu rovinou“ - Sekce mnohostěnu. Mnohoúhelníky. Řezy tvořily pětiúhelník. Vystřihněte rovinu. Sekce. Najdeme průsečík přímek. Letadlo. Postavte část kostky. Sestavte část hranolu. Najdeme bod. Hranol. Metody krájení. Výsledný šestiúhelník. Sekce krychle. Axiomatická metoda.

K dispozici je celkem 29 prezentací

Krychle, koule, pyramida, válec, kužel - geometrická tělesa. Mezi nimi se vyznačují mnohostěny. Mnohostěn se nazývá geometrické těleso, jehož povrch se skládá z konečného počtu mnohoúhelníků. Každý z těchto mnohoúhelníků se nazývá plocha mnohostěnu, strany a vrcholy těchto mnohoúhelníků se nazývají hrany a vrcholy mnohostěnů.

Dihedrální úhly mezi sousedními plochami, tj. jsou také tváře, které mají společnou stranu - hranu mnohostěnu vzepětí mysli mnohostěnu. Rohy mnohoúhelníků - plochy konvexního mnohoúhelníku - jsou ploché mysli mnohostěnu. Kromě rovinných a vzepětných úhlů má také konvexní mnohostěn polyedrické rohy. Tyto rohy tvoří plochy, které mají společný vrchol.

Mezi mnohostěnem existují hranoly a pyramidy.

Hranol - je to mnohostěn, jehož povrch se skládá ze dvou stejných mnohoúhelníků a rovnoběžníků, které mají společné strany s každou ze základen.

Jsou volány dva stejné polygony důvody yyprism a rovnoběžníky jsou jeho postranní tváře. Boční plochy se tvoří boční povrch hranoly. Žebra, která neleží v základech, se nazývají boční žebra hranoly.

Hranol se nazývá n-uhlí, pokud jsou jeho základny i-gony. Na obr. 24.6 zobrazuje čtyřúhelníkový hranol ABCDA „B“ C „D“.

Hranol se nazývá rovný, pokud jsou jeho boční plochy obdélníky (obr. 24.7).

Hranol se nazývá opravit , pokud je rovný a jeho základny jsou pravidelné polygony.

Čtyřhranný hranol se nazývá rovnoběžnostěn pokud jsou jeho základny rovnoběžníky.

Rovnoběžník se volá obdélníkový, pokud jsou všechny jeho plochy obdélníky.

Úhlopříčka rovnoběžnostěnu je úsečka spojující protilehlé vrcholy. Rovnoběžník má čtyři úhlopříčky.

Je dokázáno, žeúhlopříčky rovnoběžnostěnu se setkávají v jednom bodě a jsou o polovinu tímto bodem. Úhlopříčky obdélníkového rovnoběžnostěnu jsou stejné.

Pyramida- Jedná se o mnohostěn, jehož povrch se skládá z mnohoúhelníku - základny pyramidy a trojúhelníků, které mají společný vrchol, který se nazývá boční plochy pyramidy. Společný vrchol těchto trojúhelníků se nazývá vrchol pyramidy, hrany sahající od vrcholu, - boční žebra pyramidy.

Kolmá klesla z vrcholu pyramidy na základnu, stejně jako délka této kolmice se nazývá výška pyramidy.

Nejjednodušší pyramida - trojúhelníkový nebo čtyřstěn (obrázek 24.8). Zvláštností trojúhelníkové pyramidy je, že jakoukoli tvář lze považovat za základ.

Pyramida se jmenuje opravit, pokud pravidelný mnohoúhelník leží na jeho základně a všechny boční hrany jsou navzájem stejné.

Pamatujte, že je třeba rozlišovat pravidelný čtyřstěn(tj. čtyřstěn, ve kterém jsou všechny hrany stejné) a pravidelná trojúhelníková pyramida(na jeho základně leží pravidelný trojúhelník a boční hrany jsou si navzájem rovné, ale jejich délka se může lišit od délky strany trojúhelníku, která je základnou hranolu).

Rozlišovat zvracení a nekonvexní mnohostěn. Konvexní mnohostěn můžete definovat, pokud použijete koncept konvexního geometrického tělesa: mnohostěn se nazývá konvexní. pokud je to konvexní postava, tj. spolu s libovolnými dvěma jeho body zcela obsahuje segment, který je spojuje.

Konvexní mnohostěn můžete definovat odlišně: mnohostěn se nazývá konvexní, pokud leží úplně na jedné straně každého ze svých ohraničujících polygonů.

Tyto definice jsou rovnocenné. Důkaz této skutečnosti vynecháváme.

Všechny mnohostěny, které byly dosud považovány, byly konvexní (krychle, hranol, hranol, pyramida atd.). Mnohostěn zobrazený na obr. 24.9 není konvexní.

Je dokázáno, že v konvexním mnohostěnu jsou všechny plochy konvexní mnohoúhelníky.

Zvažte několik konvexních mnohostěnů (tabulka 24.1)

Z této tabulky vyplývá, že pro všechny uvažované konvexní polytopy je rovnost B - P + D= 2. Ukázalo se, že je také platný pro jakýkoli konvexní mnohostěn. Tuto vlastnost poprvé prokázal L. Euler a nazývá se Eulerova věta.

Konvexní mnohostěn se nazývá opravit, pokud jsou jeho tváře stejné pravidelné mnohoúhelníky a stejný počet tváří konverguje u každého vrcholu.

Použitím vlastnosti konvexního mnohostěnného úhlu to lze dokázat neexistuje více než pět různých druhů pravidelných mnohostěnů.

Pokud jsou vějíř a mnohostěn pravidelné trojúhelníky, pak 3, 4 a 5 mohou konvergovat na jednom vrcholu, protože 60 "3< 360°, 60° - 4 < 360°, 60° 5 < 360°, но 60° 6 = 360°.

Pokud se tři pravidelné trojúhelníky sbíhají v každém vrcholu polyfanu, pak získáme pravostranný čtyřstěn, což v překladu z fey znamená „čtyřstěn“ (obr. 24.10, ale).

Pokud se v každém vrcholu mnohostěnu sbíhají čtyři pravidelné trojúhelníky, získáme je osmistěn(obr. 24.10, v). Jeho povrch se skládá z osmi pravidelných trojúhelníků.

Pokud se v každém vrcholu mnohostěnu sbíhá pět pravidelných trojúhelníků, získáme je dvacetistěnu(Obrázek 24.10, d). Jeho povrch se skládá z dvaceti pravidelných trojúhelníků.

Jsou-li plochy polyfanu čtverce, pak pouze tři z nich mohou konvergovat na jednom vrcholu, protože 90 ° 3< 360°, но 90° 4 = 360°. Этому условию удовлетворяет только куб. Куб имеет шесть фаней и поэтому называется также šestistěn(obr. 24.10, b).

Pokud jsou zrnky polyfanu pravidelnými pětiúhelníky, pak může pouze phi konvergovat na jednom vrcholu, protože 108 ° 3< 360°, пятиугольники и в каждой вершине сходится три грани, называется dvanáctistěn(obr. 24.10, E). Jeho povrch se skládá z dvanácti pravidelných pětiúhelníků.

Plochy mnohostěnů nemohou být šestihranné nebo více, protože ani pro šestiúhelník 120 ° 3 = 360 °.

V geometrii je dokázáno, že v trojrozměrném euklidovském prostoru existuje přesně pět různých druhů pravidelných mnohostěnů.

Chcete-li vytvořit model mnohostěnu, musíte jej vytvořit zametat(přesněji, skenování jeho povrchu).

Rozložení mnohostěnu je postava v rovině, která se získá, pokud je povrch mnohostěnu vyříznut, ale některé hrany jsou rozloženy tak, že všechny polygony obsažené v tomto povrchu leží ve stejné rovině.

Všimněte si, že mnohostěn může mít několik různých tažení, v závislosti na tom, které hrany ořízneme. Obrázek 24.11 ukazuje obr. „Urs, což jsou různé tahy pravidelné čtyřúhelníkové pyramidy, tj. Pyramidy, u jejíž základny je čtverec, a všechny boční okraje jsou navzájem stejné.

Má-li být postava v rovině vývojem konvexního mnohostěnu, musí splňovat řadu požadavků týkajících se singularit mnohostěnu. Například číslice na obr. 24.12 nejsou zametání pravidelné čtyřhranné pyramidy: na obrázku zobrazeném na obr. 24.12, ale, Nahoře M sbíhají se čtyři tváře, které nemohou být v pravidelné čtyřúhelníkové pyramidě; a na obrázku zobrazeném na Obr. 24.12, b, boční žebra A B a slunce nerovná se.

Obecně lze rozložení mnohostěnu dosáhnout řezáním jeho povrchu nejen podél okrajů. Příklad rozložení takové krychle je uveden na obr. 24.13. Přesněji tedy lze rozložení mnohostěnu definovat jako plochý mnohoúhelník, ze kterého lze povrch tohoto mnohostěnu vytvořit bez překrytí.

Rotační tělesa

Tělo rotace se nazývá tělo vzniklé rotací postavy (obvykle ploché) kolem přímky. Tato linka se nazývá osa otáčení.

Válec- tělo ega, které se získá otáčením obdélníku kolem jedné z jeho stran. V tomto případě je zadaná strana osa válce. Na obr. 24.14 zobrazuje válec s nápravou OO ', otočený obdélník AA „O“ O kolem rovinky OO ". Body O a O"- středy základen válce.

Válec, který se získá otáčením obdélníku kolem jedné z jeho stran, se nazývá rovný kruhový válec, protože jeho základny jsou dva stejné kruhy umístěné v rovnoběžných rovinách, takže segment spojující středy kruhů je kolmý na tyto roviny. Boční povrch válce je tvořen segmenty rovnajícími se straně obdélníku rovnoběžně s osou válce.

Zametat boční plocha přímého kruhového válce, je-li proříznuta podle generatrixu, je obdélník, jehož jedna strana se rovná délce generatrixu a druhá obvodu obvodu základny.

Kužel- toto je tělo, které se získá rotací pravoúhlého trojúhelníku kolem jedné z nohou.

V tomto případě je zadaná noha nehybná a je volána osa kužele. Na obr. 24.15 ukazuje kužel s osou SO získaný jako výsledek rotace pravoúhlého trojúhelníku SOA s pravým úhlem O kolem nohy SO. Volá se bod S. vrchol kužele, OA- poloměr jeho základny.

Kužel, který je získán v důsledku rotace pravoúhlého trojúhelníku kolem jedné z jeho nohou, se nazývá rovný kruhový kužel, Protože jeho základna je kruh a horní část se promítá do středu této kružnice. Boční povrch kužele je tvořen segmenty rovnajícími se přeponě trojúhelníku, jejichž rotace tvoří kužel.

Pokud je boční povrch kužele vyříznut podél generatrixu, lze jej „otočit“ do roviny. Zametat boční povrch přímého kruhového kuželu je kruhový sektor s poloměrem rovným délce generatrix.

Když se válec, kužel nebo jiné těleso otáčení protíná rovinou obsahující osu otáčení, dostaneme axiální řez. Axiální část válce je obdélník, axiální část kužele je rovnoramenný trojúhelník.

Míč je tělo, které se získá otáčením půlkruhu a kolem jeho průměru. Na obr. 24.16 zobrazuje míč získaný rotací půlkruhu kolem průměru AA ". Směřovat O se nazývají střed míče, a poloměr kruhu je poloměr koule.

Povrch koule se nazývá koule. Kouli nelze srovnat.

Jakákoli část koule rovinou je kruh. Poloměr koule bude největší, pokud rovina prochází středem koule. Proto se nazývá úsek koule rovinou procházející středem koule velký kruh míče, a kruh, který ji ohraničuje - velký kruh.

OBRAZ GEOMETRICKÝCH ORGÁNŮ V RÁMCI

Na rozdíl od plochých obrazců nelze geometrická tělesa přesně zobrazit, například na listu papíru. Pomocí výkresů v letadle však můžete získat poměrně vizuální znázornění prostorových obrazců. K tomu se používají speciální metody k zobrazení takových obrazců v rovině. Jedním z nich je paralelní design.

Nechte rovinu a přímku protínající ji ale. Vezměme libovolný bod A “v prostoru, který nepatří k přímce ale, a vést skrz X rovný ale", paralelní linie ale(obr. 24.17). Rovný ale" protíná rovinu v určitém bodě X ", který se nazývá paralelní projekce bodu X na rovinu a.

Pokud bod A "leží na přímce ale, pak s paralelní projekcí X " je bod, ve kterém je čára ale protíná letadlo ale.

Pokud bod X patří do roviny a, pak do bodu X " se shoduje s bodem X.

Pokud je tedy uvedena rovina a a přímka protínající ji ale. pak každý bod X prostor může být spojen s jediným bodem A "- paralelním průmětem bodu X v rovině a (při navrhování rovnoběžně s přímkou ale). Letadlo ale volala rovina projekcí. Asi rovně aleříkají, že bude štěkat směr návrhu - při výměně přímky ale jakýkoli další přímý výsledek návrhu, který se s ním paralelně změní, se nezmění. Všechny přímky rovnoběžné s přímkou ale, jeden a stejný směr designu a jsou volány společně s přímkou ale promítání přímek.

Projekcečísla F hodně zavolat F ' projekce všech bodů. Zobrazit mapování ke každému bodu Xčísla F"jeho paralelní projekce je bod X "čísla F ", volala paralelní designčísla F(obr. 24.18).

Paralelní projekce skutečného objektu je jeho stín dopadající na rovný povrch pod slunečním zářením, protože sluneční paprsky lze považovat za paralelní.

Paralelní návrh má řadu vlastností, jejichž znalost je nutná při zobrazování geometrických těles v rovině. Pojďme formulovat ty hlavní, aniž bychom předložili jejich důkazy.

Věta 24.1. V paralelním návrhu jsou pro přímé čáry, které nejsou rovnoběžné se směrem návrhu, a pro segmenty na nich ležící splněny následující vlastnosti:

1) projekce přímky je přímka a projekce segmentu je segment;

2) projekce rovnoběžných čar jsou rovnoběžné nebo shodné;

3) poměr délek projekcí segmentů ležících na jedné přímce nebo na rovnoběžkách je roven poměru délek samotných segmentů.

Tato věta naznačuje následek: v paralelní projekci se střed segmentu promítne do středu jeho projekce.

Při zobrazování geometrických těles v rovině je nutné sledovat plnění stanovených vlastností. Jinak to může být libovolné. Úhly a poměry délek neparalelních segmentů se tedy mohou libovolně měnit, tj. Například trojúhelník v paralelní projekci je reprezentován libovolným trojúhelníkem. Pokud je však trojúhelník rovnostranný, pak by projekce jeho mediánu měla spojit vrchol trojúhelníku se středem opačné strany.

Při zobrazování prostorových těles v rovině je třeba dodržet ještě jeden požadavek - přispět k vytvoření jejich správného zobrazení.

Představme si například nakloněný hranol, jehož základny jsou čtverce.

Nejprve postavíme spodní základnu hranolu (můžete začít od horního). Podle pravidel paralelního designu bude oggo reprezentováno libovolným rovnoběžníkem ABCD (obr. 24.19, a). Protože hrany hranolu jsou rovnoběžné, vytvoříme rovnoběžné přímky procházející vrcholy vytvořeného rovnoběžníku a položíme na ně stejné segmenty AA ", BB ', CC", DD ", jejichž délka je libovolná. Spojování postupně bodů A ", B", C ", D", získáme čtyřúhelník A "B" C "D", představující horní základnu hranolu. Je snadné dokázat, že ABECEDA"- rovnoběžník rovnající se rovnoběžníku abeceda a proto máme obraz hranolu, jehož základny jsou stejné čtverce a zbytek ploch je rovnoběžník.

Pokud potřebujete zobrazit přímý hranol, jehož základny jsou čtverce, můžete ukázat, že boční hrany tohoto hranolu jsou kolmé k základně, jak je to provedeno na obr. 24,19, b.

Navíc výkres na Obr. 24,19, b lze považovat za obraz pravidelného hranolu, protože jeho základna je čtverec - pravidelný čtyřúhelník a také obdélníkový rovnoběžnostěn, protože všechny jeho plochy jsou obdélníky.

Pojďme nyní zjistit, jak zobrazit pyramidu v letadle.

Chcete-li znázornit pravidelnou pyramidu, nejprve nakreslete pravidelný mnohoúhelník ležící na základně a jeho středem je bod O. Poté se vezme svislý segment OS, zobrazující výšku pyramidy. Všimněte si, že svislost segmentu OS poskytuje větší jasnost výkresu. Nakonec je bod S připojen ke všem vrcholům základny.

Nakreslíme například pravidelnou pyramidu, jejíž základnou je pravidelný šestiúhelník.

Chcete-li správně zobrazit pravidelný šestiúhelník v paralelním provedení, musíte věnovat pozornost následujícímu. Nechť ABCDЕF je pravidelný šestiúhelník. Pak BCEF je obdélník (obr. 24.20), a proto bude v paralelním provedení představován libovolným rovnoběžníkem B "C" E "F". Protože úhlopříčka AD prochází bodem O - středem mnohoúhelníku ABCDEF a je rovnoběžná se segmenty. BC a EF a AO = OD, pak s paralelním designem bude reprezentován libovolným segmentem A "D" , procházející bodem O" paralelní V „C“ a E „F“ a kromě toho A „O“ = O „D“.

Sekvence pro konstrukci základny hexagonální pyramidy je tedy následující (obr. 24.21):

§ znázorňují libovolný rovnoběžník B „C“ E „F“ a jeho úhlopříčky; označit bod jejich průsečíku O ";

§ bodem O" vést rovně, paralelně B(nebo E „F“);

§ na konstruované přímce je zvolen libovolný bod ALE" a označte bod D " takhle O „D“ = „O“ a připojte bod ALE" s tečkami V" a F„a ukázat D "- s tečky Z" a E “.

Chcete-li dokončit konstrukci pyramidy, nakreslete svislý segment OS(jeho délka je zvolena libovolně) a spojte bod S se všemi vrcholy základny.

V paralelním provedení je koule nakreslena jako kruh se stejným poloměrem. Aby byl obraz míče více vizuální, je nakreslena projekce nějakého velkého kruhu, jehož rovina není kolmá k rovině projekce. Tato projekce bude elipsa. Střed koule bude zobrazen středem této elipsy (obr. 24.22). Odpovídající póly lze nyní najít N a S za předpokladu, že segment, který je spojuje, je kolmý k rovníkové rovině. Chcete-li to udělat, přes bod O nakreslete přímku kolmo AB a označte bod C - průsečík této přímky s elipsou; pak bodem C nakreslíme tečnu elipsy představující rovník. Je prokázáno, že vzdálenost CM se rovná vzdálenosti od středu míče ke každému z pólů. Proto odkládání segmentů NA a OS, rovnat se CM, dostat tyče N a S.

Zvažte jednu z technik konstrukce elipsy (je založena na rovinné transformaci zvané komprese): vytvořte kruh s průměrem a nakreslete akordy kolmo k průměru (obr. 24.23). Polovina každého z akordů je poloviční a výsledné body jsou spojeny hladkou křivkou. Tato křivka je elipsa, jejíž hlavní osou je segment AB, a střed je bod O.

Tuto techniku ​​lze použít tak, že se na rovině zobrazí přímý kruhový válec (obr. 24.24) a přímý kruhový kužel (obr. 24.25).

Přímý kruhový kužel je znázorněn následovně. Nejprve je postavena elipsa - základna, poté je nalezen střed základny - bod O a kolmo nakreslete segment OS, což představuje výšku kužele. Z bodu S se tečny nakreslí na elipsu (to se provádí „okem“ pomocí pravítka) a vyberou se segmenty SC a SD tyto úsečky od bodu S k bodům tečnosti C a D. Všimněte si, že segment CD neodpovídá průměru základny kužele.

Geometrická tělesa

Úvod

Ve stereometrii se studují postavy ve vesmíru, které se nazývají geometrická tělesa.

Objekty kolem nás dávají představu o geometrických tělesech. Na rozdíl od skutečných objektů jsou geometrická těla imaginárními objekty. Jasně geometrické tělo si musíme představit jako část prostoru obsazeného hmotou (jíl, dřevo, kov, ...) a omezenou povrchem.

Všechna geometrická těla jsou rozdělena na mnohostěn a kulatá těla.

Mnohostěn

Mnohostěn Je geometrické těleso, jehož povrch se skládá z konečného počtu plochých polygonů.

Tváře mnohostěn se nazývá mnohoúhelníky, které tvoří jeho povrch.

Žebra mnohostěn se nazývá strany tváří mnohostěnu.

Vrcholy mnohostěn se nazývají vrcholy ploch mnohostěnu.

Mnohostěny se dělí na konvexní a nekonvexní.

Mnohostěn se nazývá konvexní pokud vše leží na jedné straně kteréhokoli z jeho okrajů.

Úkol... Prosím Ukaž fazety, žebra a vrcholy kostka zobrazená na obrázku.

Konvexní mnohostěny se dělí na hranoly a pyramidy.

Hranol

Hranol Je mnohostěn se dvěma stejnými a rovnoběžnými plochami
n-gony a zbytek n tváře - rovnoběžníky.

Dva n-gony jsou volány hranolové základny, rovnoběžníky - boční plochy... Strany bočních ploch a základen se nazývají hranolová žebra, jsou nazývány konce žeber vrcholy hranolu... Boční žebra jsou žebra, která nepatří k základnám.

Polygony A 1 A 2 ... A n a B 1 B 2 ... B n jsou základny hranolu.

Rovnoběžníky А 1 А 2 B 2 B 1,… - boční plochy.

Vlastnosti hranolu:

· Základny hranolu jsou stejné a paralelní.

· Boční hrany hranolu jsou stejné a rovnoběžné.

Diagonální hranol nazývá se segment spojující dva vrcholy, které nepatří ke stejné ploše.

Výška hranolu se nazývá kolmá klesla z bodu horní základny do roviny spodní základny.

Hranol se nazývá 3stranný, 4stranný, ..., n-gonal pokud jeho základny
3-gons, 4-gons, ..., n-gons.

Rovný hranol nazývá se hranol, ve kterém jsou boční hrany kolmé k základnám. Boční plochy přímého hranolu jsou obdélníky.

Šikmý hranol nazývá se hranol, který není rovný. Boční plochy nakloněného hranolu jsou rovnoběžníky.

Správný hranol volala rovný hranol s pravidelnými polygony na svých základnách.

Náměstí celý povrch hranoly zavolal součet ploch všech jeho tváří.

Náměstí boční povrch hranoly nazývá se součet ploch jeho postranních ploch.

S plný = S boční + 2 S hlavní

Mnohostěn

• Mnohostěn je těleso, jehož povrch se skládá z konečného počtu plochých polygonů.

Mnohostěn se nazývá konvexní

• Mnohostěn se nazývá konvexní pokud je umístěn na jedné straně každého plochého mnohoúhelníku na jeho povrchu.

• Euclid (pravděpodobně 330–277 př. N. L.) - matematik alexandrijské školy starověkého Řecka, autor prvního dochovaného pojednání o matematice „Počátek“ (v 15 knihách)

boční plochy.

• Hranolový mnohostěn, který se skládá ze dvou plochých polygonů ležících v různých rovinách a kombinovaných paralelním překladem a všech segmentů spojujících odpovídající body těchto polygonů. Mnohoúhelníky Ф a Ф1 ležící v rovnoběžných rovinách se nazývají základy hranolu a zbývající plochy se nazývají boční plochy.

• Povrch hranolu se tedy skládá ze dvou stejných polygonů (bází) a rovnoběžníků (postranních ploch). Existují trojúhelníkové, čtyřúhelníkové, pětiúhelníkové hranoly atd. v závislosti na počtu vrcholů základny.

• Pokud je boční hrana hranolu kolmá k rovině jeho základny, pak se takový hranol nazývá rovný ; pokud boční hrana hranolu není kolmá k rovině jeho základny, pak se takový hranol nazývá šikmý ... Rovný hranol má boční plochy - obdélníky.

Základny hranolu jsou stejné.

• Základny hranolu jsou stejné.

• U hranolu leží základny v rovnoběžných rovinách.

• Boční hrany hranolu jsou rovnoběžné a stejné.

• Výška hranolu je vzdálenost mezi rovinami jeho základen.

• Ukazuje se, že hranol může být nejen geometrickým tělesem, ale také uměleckým mistrovským dílem. Byl to hranol, který se stal základem obrazů Picassa, Braqua, Grissa atd.

• Ukazuje se, že sněhová vločka může mít tvar šestiúhelníkového hranolu, ale to bude záviset na teplotě vzduchu.

• V III století před naším letopočtem. E. byl postaven maják, aby lodě mohly bezpečně projít útesy na cestě do Alexandrijského zálivu. V noci jim v tom pomohl odraz plamenů a během dne sloup kouře. Byl to první maják na světě a stál 1500 let.

• Maják byl postaven na malém ostrově Pharos ve Středomoří, nedaleko pobřeží Alexandrie. Stavba trvala 20 let a byla dokončena kolem roku 280 př. N.l.

• V XIV století byl maják zničen zemětřesením. Jeho fragmenty byly použity při stavbě vojenské pevnosti. Pevnost byla přestavěna více než jednou a stále stojí na místě prvního majáku na světě.

Mausol byl vládcem Kariy. Hlavním městem regionu byl Halikarnas. Mavsol se oženil se svou sestrou Artemisií. Rozhodl se postavit hrobku pro sebe a svou královnu. Mavsol snil o majestátním pomníku, který by světu připomínal jeho bohatství a moc. Zemřel před dokončením prací na hrobce. Artemisia nadále dohlížela na stavbu. Hrobka byla postavena v roce 350 před naším letopočtem. E. Bylo pojmenováno mauzoleum po králi.

Popel královského páru byl uložen ve zlatých urnách v pohřební klenbě ve spodní části budovy. Tuto místnost hlídala řada kamenných lvů. Samotná stavba připomínala řecký chrám obklopený sloupy a sochami. V horní části budovy byla stupňovitá pyramida. Ve výšce 43 m nad zemí byl korunován sochařským obrazem vozu taženého koňmi. Pravděpodobně na něm byly sochy krále a královny.

• O osmnáct století později zemětřesení zničilo mauzoleum až do jeho základů. Uplynulo dalších tři sta let, než archeologové začali s vykopávkami. V roce 1857 byly všechny nálezy převezeny do Britského muzea v Londýně. Nyní, na místě, kde kdysi bylo mauzoleum, zůstala jen hrstka kamenů.

krystaly.

Lidské ruce nevytvářejí pouze geometrické tvary, v přírodě je jich mnoho. Dopad přírodních faktorů, jako je vítr, voda, sluneční světlo, na vzhled zemského povrchu je velmi spontánní a chaotický. Písečné duny, oblázky na břehu moře, krátery vyhaslé sopky mají zpravidla geometricky pravidelné tvary. V zemi se někdy nacházejí kameny v takovém tvaru, jako kdyby je někdo opatrně vyřezal, vybrousil, vyleštil. krystaly.

rovnoběžnostěn.

• Pokud je základnou hranolu rovnoběžník, je volán rovnoběžnostěn.

• Modely obdélníkového rovnoběžnostěnu jsou:

• chladná místnost

• Ukázalo se, že krystaly kalcitu, bez ohledu na to, jak moc jsou to frakce na menší části, se vždy rozpadají na fragmenty ve tvaru rovnoběžnostěnu.

• Městské budovy jsou nejčastěji ve tvaru mnohostěnu; jsou to zpravidla obyčejné rovnoběžnostěny a města zdobí pouze nečekaná architektonická řešení.

• 1. Je hranol správný, pokud jsou jeho hrany stejné?

• a) ano; c) č. Zdůvodněte svou odpověď.

• 2. Výška pravidelného trojúhelníkového hranolu je 6 cm. Strana základny je 4 cm. Najděte celkovou plochu tohoto hranolu.

• 3. Plochy dvou postranních ploch nakloněného trojúhelníkového hranolu jsou 40 a 30 cm2. Úhel mezi těmito plochami je rovný. Najděte plochu boční plochy hranolu.

• 4. Sekce A1BC a CB1D1 jsou nakresleny v rovnoběžnostěnu ABCDA1B1C1D1. V jakém poměru rozdělují tyto roviny úhlopříčku AC1.

• 1) čtyřstěn se 4 plochami, 4 vrcholy, 6 hranami;

• 2) kostka - 6 ploch, 8 vrcholů, 12 hran;

• 3) osmistěn - 8 ploch, 6 vrcholů, 12 hran;

• 4) dvanáctistěn - 12 ploch, 20 vrcholů, 30 okrajů;

• 5) dvacetistěn - 20 tváří, 12 vrcholů, 30 okrajů.

Thales z Milétu, zakladatel Ionian Pythagoras ze Samosu

Vědci a filozofové starověkého Řecka přijali a revidovali úspěchy kultury a vědy starověkého východu. Thales, Pythagoras, Democritus, Eudoxus a další cestovali do Egypta a Babylonu studovat hudbu, matematiku a astronomii. Není náhodou, že počátky řecké geometrické vědy jsou spojeny s tímto jménem Thales z Milétu, zakladatel Ionianškoly. Ionians, kteří obývali území, které hraničilo s východními zeměmi, si jako první vypůjčili znalosti Východu a začali je rozvíjet. Vědci z jónské školy poprvé podrobili logickému zpracování a systematizovali matematické informace vypůjčené od starověkých východních národů, zejména od Babyloňanů. Thales, vedoucí této školy, Proclus a další historici připisují mnoho geometrických objevů. O přístupu Pythagoras ze Samosu k geometrii Proclus píše ve svém komentáři k Euklidovým „Principům“ toto: „Studoval tuto vědu (tj. geometrii), vycházel z jejích prvních základů a pokusil se získat věty pomocí čistě logického myšlení.“ Proclus připisuje Pythagorasovi, kromě známé věty o čtverci přepony, konstrukce pěti pravidelných mnohostěnů:

Platónova těla

Platónova těla jsou konvexní mnohostěny, jejichž všechny plochy jsou pravidelné mnohoúhelníky. Všechny mnohostěnné úhly pravidelného mnohostěnu jsou shodné. Jak vyplývá z výpočtu součtu rovinných úhlů na vrcholu, není více než pět konvexních pravidelných mnohostěnů. Způsobem uvedeným níže lze prokázat, že existuje přesně pět pravidelných mnohostěnů (to prokázal Euclid). Jsou to pravidelný čtyřstěn, krychle, osmistěn, dvanáctistěn a dvacetistěn.

Osmistěn (obr. 3).

• Osmistěn -oktaedron; tělo ohraničené osmi trojúhelníky; pravidelný osmistěn je ohraničen osmi rovnostrannými trojúhelníky; jeden z pěti pravidelných mnohostěnů. (obr. 3).

• Dodecahedron - dvanáctistranné tělo, tělo ohraničené dvanácti polygony; pravidelný pětiúhelník; jeden z pěti pravidelných mnohostěnů ... (obr. 4).

• Dvacetistěnu -adtsatihedron, tělo ohraničené dvaceti polygony; pravidelný dvacetistěn je ohraničen dvaceti rovnostrannými trojúhelníky; jeden z pěti pravidelných mnohostěnů. (obr. 5).

Tváře dvanáctistěny jsou pravidelné pětiúhelníky. Úhlopříčky pravidelného pětiúhelníku tvoří takzvaný hvězdicovitý pětiúhelník - postava, která sloužila jako znak, identifikační značka pro Pythagorovy studenty. Je známo, že Pythagorovská unie byla současně filozofickou školou, politickou stranou a náboženským bratrstvím. Podle legendy jeden Pythagorejec onemocněl v cizí zemi a nemohl splatit majitele domu, který se o něj staral před jeho smrtí. Ten namaloval na zeď svého domu hvězdicový pětiúhelník. Když toto znamení viděl o několik let později, další putující Pythagorean se zeptal na incident od majitele a velkoryse ho odměnil.

• Spolehlivé informace o životě a vědeckých činnostech Pythagorase se nedochovaly. On je připočítán s vytvořením doktríny podobnosti postav. Byl pravděpodobně jedním z prvních vědců, kteří geometrii nepovažovali za praktickou a aplikovanou disciplínu, ale za abstraktní logickou vědu.

Ve škole Pythagoras byla objevena existence nesměřitelných veličin, tj. Vztah, který nelze vyjádřit žádným celým nebo zlomkovým číslem. Příkladem je poměr délky úhlopříčky čtverce k délce jeho strany, rovný Ts2. Toto číslo není racionální (tj. Celé číslo nebo poměr dvou celých čísel) a nazývá se iracionální, tj. iracionální (z latinského poměru - postoj).

Čtyřstěn (Obr. 1).

• Čtyřstěn - čtyřstěn, jehož všechny plochy jsou trojúhelníky, tj. trojúhelníková pyramida; pravidelný čtyřstěn je ohraničen čtyřmi rovnostrannými trojúhelníky; jeden z pěti pravidelných polygonů. (Obr. 1).

• Krychle nebo obyčejný šestistěn (obr. 2).

Čtyřstěn - čtyřstěn, jehož všechny plochy jsou trojúhelníky, tj. trojúhelníková pyramida; pravidelný čtyřstěn je ohraničen čtyřmi rovnostrannými trojúhelníky; jeden z pěti pravidelných polygonů. (Obr. 1).

• Čtyřstěn - čtyřstěn, jehož všechny plochy jsou trojúhelníky, tj. trojúhelníková pyramida; pravidelný čtyřstěn je ohraničen čtyřmi rovnostrannými trojúhelníky; jeden z pěti pravidelných polygonů. (Obr. 1).

• Krychle nebo obyčejný šestistěn - pravidelný čtyřhranný hranol se stejnými hranami, ohraničený šesti čtverci. (obr. 2).

Pyramida

• Pyramida- mnohostěn, který se skládá z plochého mnohoúhelníku - základna pyramidy, body, které neleží v rovině základny pyramidy a všech segmentů spojujících vrchol pyramidy s body základny

Obrázek ukazuje pětiúhelníkovou pyramidu SABCDE a jeho zametání. Trojúhelníky se společným vrcholem se nazývají boční plochy pyramidy; společný vrchol bočních ploch - vrchol pyramidy; mnohoúhelník, ke kterému tento vrchol nepatří - základ pyramidy; okraje pyramidy, sbíhající se nahoře, - boční žebra pyramidy. Výška pyramida je segment kolmice nakreslený jejím vrcholem k rovině základny, s konci na vrcholu a na rovině základny pyramidy. Obrázek ukazuje segment TAK- výška pyramidy.

• Definice . Pyramida, jejíž základnou je pravidelný mnohoúhelník a vrchol se promítá do jeho středu, se nazývá pravidelná.

• Obrázek ukazuje pravidelnou šestihrannou pyramidu.

Objemy obilných stodol a dalších struktur ve formě kostek, hranolů a válců byly vypočítány Egypťany a Babyloňany, Číňany a Indy vynásobením plochy základny výškou. Starověký východ si však byl vědom hlavně empiricky nalezených pouze jednotlivých pravidel, která se používala k vyhledání objemů pro oblasti postav. V pozdější době, kdy se geometrie formovala jako věda, byl nalezen obecný přístup k výpočtu objemů mnohostěnů.

• Mezi pozoruhodnými řeckými vědci 5. - 4. století. BC, kteří vyvinuli teorii objemů, byli Democritus z Abdera a Eudoxus z Cnidus.

• Euclid nepoužívá výraz „objem“. Například pro něj výraz „krychle“ znamená objem krychle. V XI knize „Začátky“ jsou mimo jiné uvedeny věty následujícího obsahu.

• 1. Rovnoběžnostěn se stejnými výškami a stejnými základnami stejné velikosti.

• 2. Poměr objemů dvou rovnoběžnostěn se stejnou výškou se rovná poměru ploch jejich základen.

• 3. U rovnoběžnostěn stejné velikosti jsou plochy základen nepřímo úměrné výškám.

• Euklidovy věty se týkají pouze srovnání objemů, protože přímý výpočet objemů těles Euklid pravděpodobně považoval za otázku praktických příruček o geometrii. V pracích aplikované povahy Herona Alexandrijského existují pravidla pro výpočet objemu krychle, hranolu, rovnoběžnostěnu a dalších prostorových obrazců.

• Hranol, jehož základnou je rovnoběžník, se nazývá rovnoběžnostěn.

• Podle definice rovnoběžnostěn je čtyřúhelníkový hranol, jehož všechny tváře jsou rovnoběžníky... Rovnoběžnostěn, jako hranoly, může být rovný a šikmý... Obrázek 1 ukazuje šikmý rovnoběžnostěn a obrázek 2 ukazuje rovný rovnoběžnostěn.

• Rovná hranolka, jejíž základnou je obdélník, se nazývá obdélníkový rovnoběžnostěn... Všechny plochy obdélníkového rovnoběžnostěnu jsou obdélníky. Modely obdélníkového kvádru jsou učebna, cihla, krabička od zápalky.

• Říkají to délky tří hran obdélníkového rovnoběžnostěnu se společným koncem Měření... Například existují krabičky na zápalky o rozměrech 15, 35, 50 mm. Krychle je obdélníkový rovnoběžnostěn se stejnými rozměry. Všech šest stran krychle jsou stejné čtverce.

• Uvažujme o některých vlastnostech rovnoběžnostěnu.

• Teorém. Rovnoběžnostěn je symetrický přibližně uprostřed své úhlopříčky.

• Věta okamžitě naznačuje důležité vlastnosti rovnoběžnostěnu:

• 1. Jakýkoli segment, jehož konce patří k povrchu rovnoběžnostěnu a prochází středem jeho úhlopříčky, je jím rozpůlen; zejména se všechny úhlopříčky rovnoběžnostěnu setkávají v jednom bodě a jsou jimi rozděleny. 2. Protilehlé plochy rovnoběžnostěnu jsou rovnoběžné a stejné