Elektronické vlastnosti nízkorozměrných elektronických systémů princip kvantování velikosti. Kvant
Atomové jádro, stejně jako ostatní objekty mikrosvěta, je kvantový systém. To znamená, že teoretický popis jeho charakteristik vyžaduje zapojení kvantové teorie. V kvantové teorii je popis stavů fyzikálních systémů založen na vlnové funkce, nebo amplitudy pravděpodobnostiψ(α,t). Druhá mocnina modulu této funkce určuje hustotu pravděpodobnosti detekce studovaného systému ve stavu s charakteristikou α – ρ (α,t) = |ψ(α,t)| 2. Argumentem vlnové funkce mohou být např. souřadnice částice.
Celková pravděpodobnost je obvykle normalizována na jednu:
Každá fyzikální veličina je spojena s lineárním hermitovským operátorem působícím v Hilbertově prostoru vlnových funkcí ψ . Spektrum hodnot, kterých může fyzikální veličina nabývat, je určeno spektrem vlastních hodnot jejího operátora.
Průměrná hodnota fyzikální veličiny ve stavu ψ je
() * = <ψ ||ψ > * = <ψ | + |ψ > = <ψ ||ψ > = .
Stavy jádra jako kvantového systému, tzn. funkce ψ(t) , dodržovat Schrödingerovu rovnici ("u. Sh.")
 |
(2.4) |
Operátor je Hermitian Hamilton operátor ( hamiltonián) systémy. Spolu s počáteční podmínkou na ψ(t) určuje rovnice (2.4) stav systému v libovolném okamžiku. Pokud to nezávisí na čase, tak celková energie systému je integrálem pohybu. Stavy, ve kterých má celková energie soustavy určitou hodnotu, se nazývají stacionární. Stacionární stavy jsou popsány vlastními funkcemi operátoru (hamiltonovské):
| ψ(α,t) = Eψ(α,t); ψ (α ) = Eψ( α ). |
(2.5) |
Poslední z rovnic - stacionární Schrödingerova rovnice, který určuje zejména soubor (spektrum) energií stacionárního systému.
Ve stacionárních stavech kvantového systému lze kromě energie uchovat i další fyzikální veličiny. Podmínkou zachování fyzikální veličiny F je rovnost 0 komutátoru jejího operátoru s Hamiltonovým operátorem:
| [,] ≡ – = 0. | (2.6) |
1. Spektra atomových jader
Kvantová povaha atomových jader se projevuje ve vzorcích jejich excitačních spekter (viz např. obr. 2.1). Spektrum v oblasti excitačních energií jádra 12 C pod (přibližně) 16 MeV Má to diskrétní charakter. Nad touto energií je spektrum spojité. Diskrétní povaha excitačního spektra neznamená, že šířky hladin v tomto spektru jsou rovné 0. Protože každá z vybuzených úrovní spektra má konečnou průměrnou životnost τ, je šířka hladiny Г také konečná a souvisí s průměrná životnost vztahem, který je důsledkem vztahu nejistoty pro energii a čas ∆t ∆E ≥ ћ :
Diagramy spekter jader ukazují energie hladin jádra v MeV nebo keV, stejně jako spin a paritu stavů. Diagramy také ukazují, pokud je to možné, isospin stavu (protože diagramy spekter udávají úroveň excitační energie energie základního stavu se bere jako původ). V oblasti excitačních energií E< E отд - т.е. при энергиях, меньших, чем энергия отделения нуклона, спектры ядер - oddělený. Znamená to, že šířka spektrálních úrovní je menší než vzdálenost mezi úrovněmi G< Δ E.
Kabardin O.F. Jaderná spektra // Kvant. - 1987. - č. 3. - S. 42-43.
Po zvláštní dohodě s redakční radou a redakcí časopisu "Kvant"
Jak víte, atomová jádra se skládají z nukleonů - protonů a neutronů, mezi nimiž působí jaderné síly přitažlivosti a Coulombovy odpudivé síly. Co se může stát s jádrem, když se srazí s jiným jádrem, částicí nebo gama zářením? Experimenty E. Rutherforda provedené v roce 1919 například ukázaly, že vlivem alfa částice může dojít k vyražení protonu z jádra. V experimentech provedených D. Chadwickem v roce 1932 bylo zjištěno, že částice alfa mohou také vyřadit neutrony z atomových jader („Fyzika 10“, § 106). Ale skončí proces kolize vždy takto? Nemůže atomové jádro absorbovat energii přijatou při srážce a přerozdělit ji mezi nukleony, z nichž se skládá, a tím změnit svou vnitřní energii? Co bude s takovým jádrem dál?
Odpovědi na tyto otázky poskytly přímé experimenty na studium interakce protonů s atomovými jádry. Jejich výsledky jsou velmi podobné výsledkům experimentů Franka a Hertze o studiu srážek elektronů s atomy ("Fyzika 10", § 96). Ukazuje se, že s postupným nárůstem energie protonů jsou pozorovány nejprve pouze elastické srážky s atomovými jádry, kinetická energie se nepřevádí na jiné druhy energie, ale pouze přerozděluje mezi proton a atomové jádro jako jednu částici. Od určité hodnoty energie protonu však může docházet i k nepružným srážkám, při kterých je proton pohlcen jádrem a zcela mu předá svou energii. Jádro každého izotopu je charakterizováno přesně definovaným souborem „porcí“ energie, které může přijmout.
Transformace jádra dusíku se záchytem částice alfa a emisí protonu.
Tyto experimenty dokazují, že jádra mají diskrétní spektra možných energetických stavů. Kvantování energie a řada dalších parametrů je tedy vlastností nejen atomů, ale i atomových jader. Stav atomového jádra s minimální energetickou rezervou se nazývá zem, nebo normální, stavy s přebytkem energie (oproti základnímu stavu) se nazývají excitované.
Atomy jsou obvykle v excitovaných stavech asi 10 -8 sekund a excitovaná atomová jádra se zbaví přebytečné energie za mnohem kratší dobu - asi 10 -15 - 10 -16 sekund. Stejně jako atomy se excitovaná jádra uvolňují z přebytečné energie emitováním kvant elektromagnetického záření. Tato kvanta se nazývají gama kvanta (nebo gama paprsky). Samostatný soubor energetických stavů atomového jádra odpovídá diskrétnímu spektru frekvencí, které vyzařují gama záření. Gama paprsky jsou příčné elektromagnetické vlny, stejně jako rádiové vlny, viditelné světlo nebo rentgenové záření. Jedná se o nejkratší známý typ elektromagnetického záření a jejich odpovídající vlnové délky se pohybují od přibližně 10 -11 m do 10 -13 m.
Energetické stavy atomových jader a přechody jader z jednoho stavu do druhého s absorpcí nebo emisí energie se obvykle popisují pomocí energetických diagramů podobných energetickým diagramům atomů („Fyzika 10“, § 94). Obrázek ukazuje energetický diagram jádra izotopu železa - \(~^(58)_(26)Fe\), získaný na základě experimentů s protonovým bombardováním. Všimněte si, že zatímco energetické diagramy atomů a jader jsou kvalitativně podobné, existují mezi nimi značné kvantitativní rozdíly. Jestliže přechod atomu ze základního stavu do excitovaného vyžaduje energii několika elektronvoltů, pak excitace atomového jádra vyžaduje energii v řádu stovek tisíc nebo milionů elektronvoltů. Tento rozdíl je způsoben tím, že jaderné síly působící mezi nukleony v jádře do značné míry převyšují síly coulombovské interakce elektronů s jádrem.
Diagram energetické hladiny jádra izotopu železa.
Schopnost atomových jader spontánně přecházet ze stavů s velkou zásobou energie do stavu s menší energií vysvětluje vznik nejen gama záření, ale i radioaktivního rozpadu jader.
Mnoho vzorů v jaderných spektrech lze vysvětlit pomocí tzv. skořápkového modelu struktury atomového jádra. Podle tohoto modelu nejsou nukleony v jádře neuspořádaně smíšené, ale stejně jako elektrony v atomu jsou uspořádány ve vázaných skupinách, které vyplňují povolené jaderné obaly. V tomto případě jsou protonové a neutronové obaly plněny nezávisle na sobě. Maximální počet neutronů: 2, 8, 20, 28, 40, 50, 82, 126 a protonů: 2, 8, 20, 28, 50, 82 v naplněných skořápkách se nazývá magie. Jádra s magickými čísly protonů a neutronů mají mnoho pozoruhodných vlastností: zvýšenou hodnotu specifické vazebné energie, nižší pravděpodobnost vstupu do jaderné interakce, odolnost vůči radioaktivnímu rozpadu atd.
Přechod jádra ze základního stavu do excitovaného stavu a jeho návrat do základního stavu se z pohledu skořápkového modelu vysvětluje přechodem nukleonu z jedné slupky do druhé a zpět.
S velkým množstvím výhod není obalový model jádra schopen vysvětlit vlastnosti všech jader v různých typech interakcí. V mnoha případech se jako plodnější ukazuje koncept jádra jako kapky jaderné kapaliny, ve které jsou nukleony vázány jadernými silami, Coulombovými silami a silami povrchového napětí. Existují i jiné modely, ale žádný z navrhovaných nelze stále považovat za univerzální.
Bohrův model atomu byl pokusem sladit myšlenky klasické fyziky s nově vznikajícími zákony kvantového světa.
E. Rutherford, 1936:
Jak jsou uspořádány elektrony ve vnější části atomu? Původní Bohrovu kvantovou teorii spektra považuji za jednu z nejrevolučnějších, jaké kdy byly ve vědě vytvořeny; a nevím o žádné jiné teorii, která by měla větší úspěch. Byl v té době v Manchesteru a pevně věřil v jadernou strukturu atomu, která se ukázala v rozptylových experimentech, snažil se pochopit, jak by měly být elektrony uspořádány, aby se získala známá spektra atomů. Základ jeho úspěchu spočívá v zavádění zcela nových myšlenek do teorie. Vnesl do našich myslí myšlenku akčního kvanta, stejně jako myšlenku, cizí klasické fyzice, že elektron může obíhat kolem jádra, aniž by vyzařoval záření. Při předkládání teorie jaderné struktury atomu jsem si byl plně vědom, že podle klasické teorie by elektrony měly dopadat na jádro, a Bohr postuloval, že se tak z nějakého neznámého důvodu neděje a na základě tento předpoklad, jak víte, byl schopen vysvětlit původ spekter. Pomocí celkem rozumných předpokladů vyřešil krok za krokem problém uspořádání elektronů ve všech atomech periodické tabulky. Bylo zde mnoho obtíží, protože rozložení muselo odpovídat optickým a rentgenovým spektrům prvků, ale nakonec se Bohrovi podařilo navrhnout uspořádání elektronů, které ukazovalo význam periodického zákona.
V důsledku dalších vylepšení, zaváděných především Bohrem samotným, a úprav provedených Heisenbergem, Schrödingerem a Diracem, byla změněna celá matematická teorie a byly zavedeny myšlenky vlnové mechaniky. Kromě těchto dalších vylepšení považuji Bohrovo dílo za největší triumf lidského myšlení.
Abychom si uvědomili význam jeho práce, stačí vzít v úvahu mimořádnou složitost spekter prvků a představit si, že během 10 let byly všechny hlavní charakteristiky těchto spekter pochopeny a vysvětleny, takže nyní je teorie optických spekter taková. Úplné, že mnozí to považují za vyčerpanou otázku, podobně jako tomu bylo před několika lety se zvukem.
V polovině dvacátých let bylo zřejmé, že semiklasická teorie atomu N. Bohra nemůže poskytnout adekvátní popis vlastností atomu. V letech 1925–1926 V pracích W. Heisenberga a E. Schrödingera byl vyvinut obecný přístup k popisu kvantových jevů – kvantová teorie.
Kvantová fyzika |
|---|
(x,y,z,p x,p y,pz)
=∂H/∂p, = -∂H/∂t,
x, y, z, px, py, pz
ΔхΔp x ~
∆y∆p y ~
∆z∆p z ~
Determinismus
|(x,y,z)| 2
Stav klasické částice v libovolném časovém okamžiku je popsán nastavením jejích souřadnic a hybnosti (x,y,z,p x ,p y ,p z ,t). Znát tyto hodnoty v té době t, je možné určit vývoj systému působením známých sil ve všech následujících časových okamžicích. Souřadnice a hybnost částic jsou samy o sobě veličiny, které lze přímo experimentálně měřit. V kvantové fyzice je stav systému popsán vlnovou funkcí ψ(x, y, z, t).
Protože u kvantové částice není možné současně přesně určit hodnoty jejích souřadnic a hybnosti, pak nemá smysl mluvit o pohybu částice po určité trajektorii, můžete určit pouze pravděpodobnost nalezení částice v daném bodě v daném čase, který je určen druhou mocninou modulu vlnové funkce W ~ |ψ( x,y,z)| 2.
Evoluce kvantového systému v nerelativistickém případě je popsána vlnovou funkcí, která splňuje Schrödingerovu rovnici
kde je Hamiltonův operátor (operátor celkové energie systému).
V nerelativistickém případě − 2 /2m + (r), kde t
je hmotnost částice, je operátor hybnosti, (x,y,z) je operátor potenciální energie částice. Stanovit pohybový zákon částice v kvantové mechanice znamená určit hodnotu vlnové funkce v každém časovém okamžiku v každém bodě prostoru. Ve stacionárním stavu je vlnová funkce ψ(x, y, z) řešením stacionární Schrödingerovy rovnice ψ = Eψ. Jako každý vázaný systém v kvantové fyzice má jádro diskrétní spektrum vlastních energetických hodnot.
Stav s nejvyšší vazebnou energií jádra, tj. s nejnižší celkovou energií E, se nazývá základní stav. Stavy s vyšší celkovou energií jsou excitované stavy. Nejnižší energetickému stavu je přiřazen nulový index a energie E 0
=
0.
E0 → Mc 2 = (Zm p + Nm n)c 2 − W 0;
W 0 je vazebná energie jádra v základním stavu.
Energie E i (i = 1, 2, ...) excitovaných stavů se měří od základního stavu.
Schéma nižších úrovní jádra 24 Mg.
Nižší úrovně jádra jsou diskrétní. S rostoucí excitační energií se průměrná vzdálenost mezi úrovněmi zmenšuje.
Růst hustoty hladiny s rostoucí energií je charakteristickou vlastností mnohočásticových systémů. Vysvětluje se to tím, že s nárůstem energie takových systémů se rychle zvyšuje počet různých způsobů distribuce energie mezi nukleony.
kvantová čísla- celá čísla nebo zlomková čísla, která určují možné hodnoty fyzikálních veličin charakterizujících kvantový systém - atom, atomové jádro. Kvantová čísla odrážejí diskrétnost (kvantizaci) fyzikálních veličin charakterizujících mikrosystém. Soubor kvantových čísel, které vyčerpávajícím způsobem popisují mikrosystém, se nazývá úplný. Stav nukleonu v jádře je tedy určen čtyřmi kvantovými čísly: hlavním kvantovým číslem n (může nabývat hodnot 1, 2, 3, ...), které určuje energii E n nukleonu; orbitální kvantové číslo l = 0, 1, 2, …, n, které určuje hodnotu L
orbitální moment hybnosti nukleonu (L = ћ 1/2); kvantové číslo m ≤ ±l, které určuje směr vektoru orbitální hybnosti; a kvantové číslo m s = ±1/2, které určuje směr nukleonového spinového vektoru.
kvantová čísla
| n | Hlavní kvantové číslo: n = 1, 2, … ∞. |
| j | Kvantové číslo celkového momentu hybnosti. j není nikdy záporné a může být celé číslo (včetně nuly) nebo poloviční celé číslo v závislosti na vlastnostech daného systému. Hodnota celkového momentu hybnosti soustavy J souvisí s j vztahem J2 = ћ 2 j(j+1). = + kde a jsou vektory orbitálního a spinového momentu hybnosti. |
| l | Kvantové číslo orbitálního momentu hybnosti. l může nabývat pouze celočíselných hodnot: l= 0, 1, 2, … ∞, Hodnota orbitálního momentu hybnosti soustavy L souvisí s l vztah L 2 = ћ 2 l(l+1). |
| m | Projekce celkového, orbitálního nebo spinového momentu hybnosti na preferovanou osu (obvykle osu z) se rovná mћ. Pro celkový okamžik m j = j, j-1, j-2, …, -(j-1), -j. Pro orbitální moment m l = l, l-1, l-2, …, -(l-1), -l. Pro spinový moment elektronu, protonu, neutronu, kvarku m s = ±1/2 |
| s | Kvantové číslo rotačního momentu hybnosti. s může být buď celé číslo, nebo poloviční celé číslo. s je konstantní charakteristika částice, určená jejími vlastnostmi. Hodnota spinového momentu S je vztažena k s vztahem S 2 = ћ 2 s(s+1) |
| P | Prostorová parita. Rovná se buď +1 nebo -1 a charakterizuje chování systému při zrcadlovém odrazu P = (-1) l . |
Spolu s touto množinou kvantových čísel lze stav nukleonu v jádře charakterizovat také další množinou kvantových čísel n, l, j, jz . Výběr souboru kvantových čísel je určen pohodlností popisu kvantového systému.
Existence konzervovaných (v čase neměnných) fyzikálních veličin pro daný systém úzce souvisí se symetrickými vlastnostmi tohoto systému. Pokud se tedy izolovaný systém během libovolných rotací nemění, zachovává si orbitální moment hybnosti. To je případ atomu vodíku, ve kterém se elektron pohybuje ve sféricky symetrickém Coulombově potenciálu jádra, a proto je charakterizován konstantním kvantovým číslem l. Vnější porucha může narušit symetrii systému, což vede ke změně samotných kvantových čísel. Foton absorbovaný atomem vodíku může přenést elektron do jiného stavu s různými hodnotami kvantových čísel. Tabulka uvádí některá kvantová čísla používaná k popisu atomových a jaderných stavů.
Kromě kvantových čísel, která odrážejí časoprostorovou symetrii mikrosystému, hrají důležitou roli tzv. vnitřní kvantová čísla částic. Některé z nich, jako je spin a elektrický náboj, jsou zachovány ve všech interakcích, jiné nejsou zachovány v některých interakcích. Takže kvantové číslo podivnosti, které je zachováno v silných a elektromagnetických interakcích, není zachováno ve slabé interakci, což odráží odlišnou povahu těchto interakcí.
Atomové jádro v každém stavu je charakterizováno celkovým momentem hybnosti. Tento moment v klidovém rámci jádra se nazývá nukleární spin.
Pro jádro platí následující pravidla:
a) A je sudé J = n (n = 0, 1, 2, 3,...), tj. celé číslo;
b) A je liché J = n + 1/2, tj. poloviční celé číslo.
Kromě toho bylo experimentálně stanoveno ještě jedno pravidlo: pro sudá-sudá jádra v základním stavu Jgs
= 0. To udává vzájemnou kompenzaci momentů nukleonů v základním stavu jádra, což je zvláštní vlastnost internukleonové interakce.
Invariance systému (hamiltonian) vzhledem k prostorovému odrazu - inverze (náhrada → -) vede k zákonu zachování parity a kvantovému číslu parita R. To znamená, že jaderný Hamiltonián má odpovídající symetrii. Ve skutečnosti jádro existuje díky silné interakci mezi nukleony. Kromě toho hraje v jádrech významnou roli elektromagnetická interakce. Oba tyto typy interakcí jsou invariantní k prostorové inverzi. To znamená, že jaderné stavy musí být charakterizovány určitou hodnotou parity P, tj. buď sudé (P = +1) nebo liché (P = -1).
Mezi nukleony v jádře však působí i slabé síly, které nezachovávají paritu. Důsledkem toho je, že ke stavu s danou paritou se přidá (obvykle nevýznamná) příměs stavu s opačnou paritou. Typická hodnota takové nečistoty v jaderných stavech je pouze 10 -6 -10 -7 a ve většině případů ji lze ignorovat.
Paritu jádra P jako systému nukleonů lze vyjádřit jako součin parit jednotlivých nukleonů p i:
P \u003d p 1 p 2 ... p A ,
navíc parita nukleonu p i v centrálním poli závisí na orbitálním momentu nukleonu, kde π i je vnitřní parita nukleonu rovna +1. Proto lze paritu jádra ve sféricky symetrickém stavu reprezentovat jako součin orbitálních parit nukleonů v tomto stavu:
Diagramy jaderných úrovní obvykle ukazují energii, rotaci a paritu každé úrovně. Rotace je označena číslem a parita je označena znaménkem plus pro sudé úrovně a znaménkem mínus pro liché úrovně. Tento znak je umístěn napravo od horní části čísla označujícího rotaci. Například symbol 1/2 + označuje sudou úroveň s otočením 1/2 a symbol 3 - označuje lichou úroveň s otočením 3.
Isospin atomových jader. Další charakteristikou jaderných stavů je isospin I. Jádro (A, Z) sestává z nukleonů A a má náboj Ze, který lze vyjádřit jako součet nábojů nukleonů qi, vyjádřený pomocí průmětů jejich izospinů (I i) 3
je projekce isospinu jádra na osu 3 isospinového prostoru.
Celkový isospin nukleonového systému A
Všechny stavy jádra mají hodnotu izospinové projekce I 3 = (Z - N)/2. V jádře sestávajícím z nukleonů A, z nichž každý má isospin 1/2, jsou možné hodnoty isospinu od |N - Z|/2 do A/2
|N - Z|/2 ≤ I ≤ A/2.
Minimální hodnota I = |I 3 |. Maximální hodnota I je rovna A/2 a odpovídá všem i směřujícím stejným směrem. Experimentálně bylo zjištěno, že čím vyšší je excitační energie jaderného stavu, tím větší je hodnota isospinu. Proto má isospin jádra v přízemním a málo vybuzeném stavu minimální hodnotu
I gs = |I 3 | = |Z - N|/2.
Elektromagnetická interakce rozbíjí izotropii izospinového prostoru. Interakční energie systému nabitých částic se při rotacích v izoprostoru mění, neboť při rotacích se náboje částic mění a v jádře část protonů přechází na neutrony nebo naopak. Proto skutečná isospinová symetrie není přesná, ale přibližná.
Potenciální studna. Pojem potenciální jámy se často používá k popisu vázaných stavů částic. Potenciální díra - omezená oblast prostoru se sníženou potenciální energií částice. Potenciální jáma obvykle odpovídá přitažlivým silám. V oblasti působení těchto sil je potenciál negativní, mimo - nulový.
Energie částice E je součtem její kinetické energie T ≥ 0 a potenciální energie U (může být kladná i záporná). Pokud je částice uvnitř jámy, pak je její kinetická energie T 1 menší než hloubka jámy U 0, energie částice je E 1 = T 1 + U 1 = T 1 - U 0 V kvantové mechanice je energie částice ve vázaném stavu může nabývat pouze určitých diskrétních hodnot, tzn. existují diskrétní úrovně energie. V tomto případě leží nejnižší (hlavní) hladina vždy nad dnem potenciální studny. Řádově vzdálenost Δ E mezi hladinami částice o hmotnosti m v hluboké studni o šířce a je dána
ΔE ≈ ћ 2 / ma 2.
Příkladem potenciální jámy je potenciálová jáma atomového jádra o hloubce 40-50 MeV a šířce 10 -13 -10 -12 cm, ve které se nacházejí nukleony s průměrnou kinetickou energií ≈ 20 MeV různé úrovně.
Za takových okrajových podmínek je částice uvnitř potenciálové jámy 0< x < l, не может выйти за ее пределы, т. е.
ψ(x) = 0, x ≤ 0, x ≥ L.
Pomocí stacionární Schrödingerovy rovnice pro oblast, kde U = 0,
získáme polohu a energetické spektrum částice uvnitř potenciálové jámy.
Pro nekonečnou jednorozměrnou potenciálovou studnu máme následující:
Vlnová funkce částice v nekonečné pravoúhlé jámě (a), druhá mocnina modulu vlnové funkce (b) určuje pravděpodobnost nalezení částice v různých bodech potenciální jámy.
Schrödingerova rovnice hraje v kvantové mechanice stejnou roli jako druhý Newtonův zákon v klasické mechanice.
Nejnápadnějším rysem kvantové fyziky se ukázala být její pravděpodobnostní povaha.
Pravděpodobnostní povaha procesů probíhajících v mikrosvětě je základní vlastností mikrosvěta.
E. Schrödinger:
„Obvyklá kvantizační pravidla mohou být nahrazena jinými ustanoveními, která již nezavádějí žádná „celá čísla“. Integrita je v tomto případě získána přirozeným způsobem sama o sobě, stejně jako se celočíselný počet uzlů získává sám při uvažování vibrující struny. Tuto novou reprezentaci lze zobecnit a myslím, že úzce souvisí se skutečnou povahou kvantování.
Je zcela přirozené spojovat funkci ψ s nějaký oscilační proces v atomu, ve kterém byla v poslední době opakovaně zpochybňována realita elektronických trajektorií. Nejprve jsem chtěl také zdůvodnit nové chápání kvantových pravidel naznačeným poměrně jasným způsobem, ale pak jsem dal přednost čistě matematické metodě, protože umožňuje lépe objasnit všechny podstatné aspekty problematiky. Zdá se mi zásadní, že kvantová pravidla již nejsou zaváděna jako tajemná celočíselný požadavek“, ale jsou určeny potřebou ohraničenosti a jedinečnosti nějaké konkrétní prostorové funkce.
Nepovažuji za možné, dokud se složitější problémy úspěšně nevypočítají novým způsobem, zabývat se podrobněji interpretací zavedeného oscilačního procesu. Je možné, že takové výpočty povedou k jednoduché shodě se závěry konvenční kvantové teorie. Pokud například uvažujeme o relativistickém Keplerovi problému podle výše uvedené metody, budeme-li jednat podle pravidel uvedených na začátku, získáme pozoruhodný výsledek: půlceločíselná kvantová čísla(radiální a azimut)…
Předně nelze nezmínit, že hlavním počátečním impulsem, který vedl ke vzniku zde prezentovaných argumentů, byla de Broglieho disertační práce, která obsahuje mnoho hlubokých myšlenek, ale i úvahy o prostorovém rozložení „fázových vln“, který, jak ukazuje de Broglie, pokaždé odpovídá periodickému nebo kvaziperiodickému pohybu elektronu, pokud pouze tyto vlny zapadají do trajektorií celé číslo jednou. Hlavní rozdíl od de Broglieho teorie, která hovoří o přímočarě se šířící vlně, je zde v tom, že uvažujeme, pokud použijeme vlnovou interpretaci, stojaté přirozené vibrace.
M. Laue:
„Úspěchy kvantové teorie se hromadily velmi rychle. To mělo obzvláště pozoruhodný úspěch v jeho aplikaci k radioaktivnímu rozpadu emisí α-paprsků. Podle této teorie dochází k „tunelovému efektu“, tzn. průnik přes potenciální bariéru částice, jejíž energie je podle požadavků klasické mechaniky nedostatečná k tomu, aby jí prošla.
G. Gamov podal v roce 1928 vysvětlení emise α-částic na základě tohoto tunelového efektu. Podle Gamowovy teorie je atomové jádro obklopeno potenciální bariérou, ale α-částice mají určitou pravděpodobnost, že ji „překročí“. Empiricky zjištěný Geigerem a Nettolem byl vztah mezi akčním poloměrem α-částice a půlperiodou rozpadu uspokojivě vysvětlen na základě Gamowovy teorie.
Statistika. Pauliho princip. Vlastnosti kvantově mechanických systémů sestávajících z mnoha částic jsou určeny statistikou těchto částic. Klasické systémy sestávající z identických, ale rozlišitelných částic se řídí Boltzmannovým rozdělením
V systému kvantových částic stejného typu se objevují nové rysy chování, které nemají v klasické fyzice obdoby. Na rozdíl od částic v klasické fyzice jsou kvantové částice nejen stejné, ale také nerozeznatelné – totožné. Jedním z důvodů je, že v kvantové mechanice se částice popisují pomocí vlnových funkcí, které umožňují vypočítat pouze pravděpodobnost nalezení částice v libovolném bodě prostoru. Pokud se vlnové funkce několika stejných částic překrývají, pak nelze určit, která z částic je v daném bodě. Protože fyzikální význam má pouze druhá mocnina modulu vlnové funkce, vyplývá z principu identity částic, že když se zamění dvě stejné částice, vlnová funkce buď změní znaménko ( antisymetrický stav), nebo nezmění znaménko ( symetrický stav).
Symetrické vlnové funkce popisují částice s celočíselným spinem - bosony (piony, fotony, částice alfa ...). Bosony se řídí Bose-Einsteinovými statistikami
V jednom kvantovém stavu může být současně neomezený počet identických bosonů.
Antisymetrické vlnové funkce popisují částice s polocelým spinem - fermiony (protony, neutrony, elektrony, neutrina). Fermionové se řídí statistikami Fermi-Dirac
Na vztah mezi symetrií vlnové funkce a spinem poprvé poukázal W. Pauli.
Pro fermiony platí Pauliho princip - dva stejné fermiony nemohou být současně ve stejném kvantovém stavu.
Pauliho princip určuje strukturu elektronových obalů atomů, plnění nukleonových stavů v jádrech a další rysy chování kvantových systémů.
Vytvořením proton-neutronového modelu atomového jádra lze považovat za ukončenou první etapu vývoje jaderné fyziky, ve které byla stanovena základní fakta o struktuře atomového jádra. První etapa začala v základním konceptu Demokrita o existenci atomů - nedělitelných částic hmoty. Zavedení periodického zákona Mendělejevem umožnilo systematizovat atomy a vyvolalo otázku důvodů, které jsou základem této systematiky. Objev elektronů v roce 1897 J. J. Thomsonem zničil koncept nedělitelnosti atomů. Podle Thomsonova modelu jsou elektrony stavebními kameny všech atomů. Objev fenoménu radioaktivity uranu A. Becquerelem v roce 1896 a následný objev radioaktivity thoria, polonia a radia P. Curie a M. Sklodowské-Curie poprvé ukázaly, že chemické prvky nejsou věčné útvary. mohou se samovolně rozkládat, přeměňovat se na jiné chemické prvky . V roce 1899 E. Rutherford zjistil, že v důsledku radioaktivního rozpadu mohou atomy ze svého složení vyvrhnout α-částice – ionizované atomy helia a elektrony. V roce 1911 E. Rutherford, zobecňující výsledky experimentu Geigera a Marsdena, vyvinul planetární model atomu. Podle tohoto modelu se atomy skládají z kladně nabitého atomového jádra o poloměru ~10 -12 cm, ve kterém je soustředěna veškerá hmotnost atomu a kolem něj rotující záporné elektrony. Velikost elektronových obalů atomu je ~10 -8 cm V roce 1913 N. Bohr vyvinul reprezentaci planetárního modelu atomu na základě kvantové teorie. V roce 1919 E. Rutherford dokázal, že protony jsou součástí atomového jádra. V roce 1932 J. Chadwick objevil neutron a ukázal, že neutrony jsou součástí atomového jádra. Vytvoření proton-neutronového modelu atomového jádra v roce 1932 D. Ivanenkem a W. Heisenbergem završilo první etapu ve vývoji jaderné fyziky. Byly stanoveny všechny základní prvky atomu a atomového jádra.
1869 Periodická soustava prvků D.I. Mendělejev
Do druhé poloviny 19. století chemici nashromáždili rozsáhlé informace o chování chemických prvků v různých chemických reakcích. Bylo zjištěno, že danou látku tvoří pouze určité kombinace chemických prvků. Bylo zjištěno, že některé chemické prvky mají zhruba stejné vlastnosti, zatímco jejich atomové hmotnosti se značně liší. D. I. Mendělejev analyzoval vztah mezi chemickými vlastnostmi prvků a jejich atomovou hmotností a ukázal, že chemické vlastnosti prvků nacházejících se při zvyšování atomové hmotnosti se opakují. To posloužilo jako základ pro periodický systém prvků, který vytvořil. Mendělejev při sestavování tabulky zjistil, že atomové hmotnosti některých chemických prvků vypadly z pravidelnosti, kterou získal, a upozornil, že atomové hmotnosti těchto prvků byly stanoveny nepřesně. Pozdější přesné experimenty ukázaly, že původně stanovené váhy byly skutečně nesprávné a nové výsledky odpovídaly Mendělejevovým předpovědím. Ponechal některá místa v tabulce prázdná, Mendělejev poukázal na to, že by zde měly být nové, dosud neobjevené chemické prvky, a předpověděl jejich chemické vlastnosti. Tak bylo předpovězeno a následně objeveno gallium (Z = 31), skandium (Z = 21) a germanium (Z = 32). Mendělejev přenechal úkol vysvětlit periodické vlastnosti chemických prvků svým potomkům. Teoretické vysvětlení Mendělejevovy periodické soustavy prvků, podané N. Bohrem v roce 1922, bylo jedním z přesvědčivých důkazů správnosti vznikající kvantové teorie.
Atomové jádro a periodický systém prvků
Základem úspěšného sestrojení periodického systému prvků Mendělejeva a Logara Meyera byla myšlenka, že atomová hmotnost může sloužit jako vhodná konstanta pro systematickou klasifikaci prvků. Moderní atomová teorie však přistoupila k výkladu periodického systému, aniž by se vůbec dotkla atomové hmotnosti. Místnost kteréhokoli prvku v tomto systému a zároveň jeho chemické vlastnosti jsou jednoznačně určeny kladným nábojem atomového jádra, respektive počtem záporných elektronů umístěných kolem něj. Hmotnost a struktura atomového jádra v tom nehraje žádnou roli; v současné době tedy víme, že existují prvky, či spíše typy atomů, které mají při stejném počtu a uspořádání vnějších elektronů značně rozdílné atomové hmotnosti. Takové prvky se nazývají izotopy. Takže například v galaxii izotopů zinku je atomová hmotnost rozložena od 112 do 124. Naopak existují prvky s výrazně odlišnými chemickými vlastnostmi, které vykazují stejnou atomovou hmotnost; nazývají se izobary. Příkladem je atomová hmotnost 124 zjištěná pro zinek, telur a xenon.
K určení chemického prvku stačí jedna konstanta, a to počet záporných elektronů umístěných kolem jádra, protože mezi těmito elektrony probíhají všechny chemické procesy.
Počet protonů n 2
, umístěné v atomovém jádře, určují jeho kladný náboj Z, a tím počet vnějších elektronů, které určují chemické vlastnosti tohoto prvku; nějaký počet neutronů n 1
uzavřený ve stejném jádru, celkem s n 2
dává jeho atomovou hmotnost
A=n 1
+n 2
. Naopak pořadové číslo Z udává počet protonů obsažených v atomovém jádře a z rozdílu mezi atomovou hmotností a nábojem jádra A - Z se získá počet jaderných neutronů.
S objevem neutronu se periodickému systému dostalo určité doplnění v oblasti malých sériových čísel, protože neutron lze považovat za prvek s pořadovým číslem rovným nule. V oblasti vysokých řadových čísel, konkrétně od Z = 84 do Z = 92, jsou všechna atomová jádra nestabilní, spontánně radioaktivní; lze tedy předpokládat, že atom s jaderným nábojem ještě vyšším než má uran, pokud jej lze pouze získat, by měl být také nestabilní. Fermi a jeho spolupracovníci nedávno informovali o svých experimentech, při kterých byl při bombardování uranu neutrony pozorován výskyt radioaktivního prvku s atomovým číslem 93 nebo 94. Je docela možné, že periodický systém má v této oblasti pokračování. také. Zbývá jen dodat, že Mendělejevova důmyslná předvídavost zajistila rámec periodického systému tak široce, že každý nový objev, který zůstal v jeho rámci, jej dále posiluje.
ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKODIMENZIONÁLNÍCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMŮ Princip kvantování velikosti Celý komplex jevů obvykle chápaný slovy „elektronické vlastnosti nízkorozměrných elektronických systémů“ je založen na zásadní fyzikální skutečnosti: na změně energetického spektra elektronů, resp. otvory ve strukturách s velmi malými rozměry. Ukažme si základní myšlenku kvantování velikosti na příkladu elektronů ve velmi tenkém kovovém nebo polovodičovém filmu o tloušťce a.
ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKOROZMĚRNÝCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMŮ Princip kvantifikace Elektrony ve filmu jsou v potenciálové jámě s hloubkou rovnou pracovní funkci. Hloubku potenciální studny lze považovat za nekonečně velkou, protože pracovní funkce převyšuje tepelnou energii nosičů o několik řádů. Typické hodnoty pracovní funkce u většiny pevných látek jsou W = 4 -5 Oe. B, která je o několik řádů vyšší než charakteristická tepelná energie nosičů o řádu k. T, rovná se při teplotě místnosti 0,026 e. C. Podle zákonů kvantové mechaniky je energie elektronů v takové jámě kvantována, to znamená, že může nabývat pouze některých diskrétních hodnot En, kde n může nabývat celočíselných hodnot 1, 2, 3, …. Tyto diskrétní energetické hodnoty se nazývají kvantovací úrovně velikosti.
ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKOROZMĚRNÝCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMŮ Princip kvantifikace Pro volnou částici s efektivní hmotností m*, jejíž pohyb v krystalu ve směru osy z je omezen neprostupnými bariérami (tj. bariérami s nekonečnou potenciální energií), je energie základní stav roste oproti stavu bez omezení Tento nárůst energie se nazývá velikostní kvantizační energie částice. Kvantovací energie je důsledkem principu neurčitosti v kvantové mechanice. Je-li částice prostorově omezena podél osy z ve vzdálenosti a, zvýší se nejistota složky z její hybnosti o hodnotu v řádu ħ/a. Odpovídajícím způsobem vzroste kinetická energie částice o hodnotu E 1. Proto se uvažovaný efekt často nazývá efekt kvantové velikosti.
ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKOROZMĚRNÝCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMŮ Princip kvantování velikosti Závěr o kvantování energie elektronického pohybu se týká pouze pohybu napříč potenciálovou jámou (podél osy z). Potenciál studny neovlivňuje pohyb v rovině xy (paralelně s hranicemi filmu). V této rovině se nosiče pohybují jako volné a jsou charakterizovány jako u hromadného vzorku spojitým energetickým spektrem kvadratickým v hybnosti s efektivní hmotností. Celková energie nosičů ve filmu s kvantovou studnou má smíšené diskrétně spojité spektrum
ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKOROZMĚRNÝCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMŮ Princip kvantování velikosti Kromě zvýšení minimální energie částice vede efekt kvantové velikosti také ke kvantování energií jejích excitovaných stavů. Energetické spektrum kvantově-rozměrného filmu - hybnost nosičů náboje v rovině filmu
ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKOROZMĚRNÝCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMŮ Princip kvantování velikosti Nechť elektrony v systému mají energie menší než E 2 a patří tedy do nižší úrovně kvantování velikosti. Pak žádný elastický proces (například rozptyl nečistotami nebo akustickými fonony), stejně jako rozptyl elektronů mezi sebou, nemůže změnit kvantové číslo n přenesením elektronu na vyšší úroveň, protože by to vyžadovalo dodatečné náklady na energii. To znamená, že při elastickém rozptylu mohou elektrony měnit svou hybnost pouze v rovině filmu, tj. chovají se jako čistě dvourozměrné částice. Proto se kvantově-rozměrné struktury, ve kterých je vyplněna pouze jedna kvantová úroveň, často nazývají dvourozměrné elektronické struktury.
ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKOROZMĚRNÝCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMŮ Princip kvantování velikosti Existují další možné kvantové struktury, kde je pohyb nosičů omezen ne v jednom, ale ve dvou směrech, jako u mikroskopického drátu nebo vlákna (kvantová vlákna nebo dráty). Unášeče se v tomto případě mohou volně pohybovat pouze jedním směrem, po závitu (říkejme tomu osa x). V příčném řezu (rovina yz) je energie kvantována a nabývá diskrétních hodnot Emn (jako každý dvourozměrný pohyb je popsán dvěma kvantovými čísly m a n). Celé spektrum je také diskrétně spojité, ale pouze s jedním spojitým stupněm volnosti:
ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKODIMENZIONÁLNÍCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMŮ Princip kvantování Je také možné vytvářet kvantové struktury připomínající umělé atomy, kde je pohyb nosičů omezen ve všech třech směrech (kvantové tečky). V kvantových tečkách již energetické spektrum neobsahuje spojitou složku, to znamená, že se neskládá z dílčích pásem, ale je čistě diskrétní. Stejně jako v atomu je popsán třemi diskrétními kvantovými čísly (nepočítaje spin) a lze jej zapsat jako E = Elmn , a stejně jako v atomu mohou být energetické hladiny degenerované a závisejí pouze na jednom nebo dvou číslech. Společným znakem nízkorozměrných struktur je skutečnost, že pokud je pohyb nosičů alespoň v jednom směru omezen na velmi malou oblast srovnatelnou velikostí s de Broglieho vlnovou délkou nosičů, jejich energetické spektrum se nápadně mění a stává se částečně resp. zcela diskrétní.
ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKOROZMĚRNÝCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMŮ Definice Kvantové tečky - kvantové tečky - struktury, jejichž rozměry ve všech třech směrech jsou několik meziatomových vzdáleností (nulové dimenze). Kvantové dráty (vlákna) - kvantové dráty - struktury, jejichž rozměry ve dvou směrech se rovnají několika meziatomovým vzdálenostem a ve třetím - makroskopické hodnotě (jednorozměrné struktury). Kvantové jámy - kvantové jámy - struktury, jejichž velikost v jednom směru je několik meziatomových vzdáleností (dvourozměrné struktury).
ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKOROZMĚRNÝCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMŮ Minimální a maximální velikosti Spodní mez kvantování velikosti je určena kritickou velikostí Dmin, při které existuje alespoň jedna elektronická úroveň ve struktuře kvantové velikosti. Dmin závisí na přerušení vodivostního pásu DEc v odpovídající heteropřechodě použité k získání struktur kvantové velikosti. V kvantové jámě existuje alespoň jedna elektronická hladina, pokud DEc překročí hodnotu h - Planckova konstanta, me* - efektivní hmotnost elektronu, DE 1 QW - první úroveň v pravoúhlé kvantové jámě s nekonečnými stěnami.
ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKOROZMĚRNÝCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMŮ Minimální a maximální rozměry Pokud se vzdálenost mezi energetickými hladinami stane srovnatelnou s tepelnou energií. BT, pak se populace vysokých úrovní zvyšuje. Pro kvantovou tečku je podmínka, za které lze zanedbat populaci vyšších úrovní, zapsána jako E 1 QD, E 2 QD jsou energie první a druhé kvantizační úrovně. To znamená, že výhody kvantování velikosti lze plně realizovat, pokud Tato podmínka stanoví horní limity pro kvantování velikosti. Pro Ga. As-Alx. Ga 1-x. Protože tato hodnota je 12 nm.
ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKODIMENZIONÁLNÍCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMŮ Rozložení kvantových stavů v nízkorozměrných strukturách Důležitou charakteristikou každého elektronického systému je vedle jeho energetického spektra hustota stavů g(E) (počet stavů na jednotkový energetický interval E) . Pro trojrozměrné krystaly se hustota stavů určuje pomocí Born-Karmanových cyklických okrajových podmínek, z nichž vyplývá, že složky vektoru elektronových vln se nemění spojitě, ale nabývají řadu diskrétních hodnot, zde ni = 0 , ± 1, ± 2, ± 3, a jsou rozměry krystalu (ve tvaru krychle se stranou L). Objem k-prostoru na jeden kvantový stav je roven (2)3/V, kde V = L 3 je objem krystalu.
ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKODIMENZIONÁLNÍCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMŮ Rozložení kvantových stavů v nízkorozměrných strukturách Počet elektronových stavů na objemový prvek dk = dkxdkydkz, přepočteno na jednotku objemu, zde tedy bude stejný, faktor 2 zohledňuje dva možné spiny zaměření. Počet stavů na jednotku objemu v reciprokém prostoru, tj. hustota stavů) nezávisí na vlnovém vektoru Jinými slovy, v reciprokém prostoru jsou povolené stavy distribuovány s konstantní hustotou.
ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKODIMENZIONÁLNÍCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMŮ Rozložení kvantových stavů v nízkorozměrných strukturách V obecném případě je prakticky nemožné vypočítat funkci hustoty stavů vzhledem k energii, protože izoenergetické povrchy mohou mít poměrně složitý tvar. V nejjednodušším případě zákona izotropní parabolické disperze, který platí pro okraje energetických pásů, lze zjistit počet kvantových stavů na objem kulové vrstvy uzavřené mezi dvěma blízkými izoenergetickými plochami odpovídajícími energiím E a E+d. E.
ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKODIMENZIONÁLNÍCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMŮ Rozložení kvantových stavů v nízkorozměrných strukturách Objem kulové vrstvy v k-prostoru. dk je tloušťka vrstvy. Tento objem bude představovat d. N stavů Vezmeme-li v úvahu vztah mezi E a k podle parabolického zákona, dostaneme Hustota stavů z hlediska energie bude rovna m * - efektivní hmotnost elektronu
ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKODIMENZIONÁLNÍCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMŮ Rozložení kvantových stavů v nízkorozměrných strukturách U trojrozměrných krystalů s parabolickým energetickým spektrem se tedy s rostoucí energií bude úměrně zvyšovat hustota povolených energetických hladin (hustota stavů). na hustotu hladin ve vodivostním pásu a ve valenčním pásmu. Plocha zastíněných oblastí je úměrná počtu úrovní v energetickém intervalu d. E
ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKODIMENZIONÁLNÍCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMŮ Rozložení kvantových stavů v nízkorozměrných strukturách Vypočítejme hustotu stavů pro dvourozměrný systém. Celková energie nosičů pro zákon izotropní parabolické disperze ve filmu s kvantovou jamkou, jak je ukázáno výše, má smíšené diskrétně spojité spektrum. Ve dvourozměrném systému jsou stavy vodivostního elektronu určeny třemi čísly (n, kx, ky). Energetické spektrum je rozděleno do samostatných dvourozměrných En subpásem odpovídajících pevným hodnotám n.
ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKODIMENZIONÁLNÍCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMŮ Rozložení kvantových stavů v nízkorozměrných strukturách Křivky konstantní energie představují kruhy v reciprokém prostoru. Každému diskrétnímu kvantovému číslu n odpovídá absolutní hodnota složky z vlnového vektoru. Proto je objem v reciprokém prostoru ohraničený uzavřeným povrchem dané energie E v případě dvourozměrného systému rozdělena do několika sekcí.
ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKODIMENZIONÁLNÍCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMŮ Rozložení kvantových stavů v nízkorozměrných strukturách Stanovme energetickou závislost hustoty stavů pro dvourozměrný systém. K tomu pro dané n najdeme plochu S prstence ohraničenou dvěma izoenergetickými plochami odpovídajícími energiím E a E+d. E: Zde Hodnota dvourozměrného vlnového vektoru odpovídající danému n a E; dkr je šířka prstenu. Protože jeden stav v rovině (kxky) odpovídá oblasti, kde L 2 je plocha dvourozměrného filmu o tloušťce a, počet elektronických stavů v prstenci, vypočtený na jednotku objemu krystalu, bude rovna, s přihlédnutím ke spinu elektronů
ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKODIMENZIONÁLNÍCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMŮ Rozložení kvantových stavů v nízkorozměrných strukturách Protože zde je energie odpovídající spodní části n-tého subpásma. Hustota stavů ve dvourozměrném filmu je tedy taková, kde Q(Y) je funkce Heavisideovy jednotky, Q(Y) =1 pro Y≥ 0 a Q(Y) =0 pro Y
ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKODIMENZIONÁLNÍCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMŮ Rozložení kvantových stavů v nízkorozměrných strukturách Hustotu stavů ve dvourozměrném filmu lze také vyjádřit jako celočíselnou část rovnající se počtu dílčích pásem, jejichž dno je pod energií E. Pro dvourozměrné filmy se zákonem parabolické disperze je tedy hustota stavů v libovolném dílčím pásmu konstantní a nezávisí na energii. Každé dílčí pásmo přispívá k celkové hustotě stavů stejným dílem. Pro pevnou tloušťku filmu se hustota stavů náhle změní, když se nemění po jednotce.
ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKODIMENZIONÁLNÍCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMŮ Rozložení kvantových stavů v nízkorozměrných strukturách Závislost hustoty stavů dvourozměrného filmu na energii (a) a tloušťce a (b).
ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKODIMENZIONÁLNÍCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMŮ Rozložení kvantových stavů v nízkorozměrných strukturách V případě libovolného disperzního zákona nebo s jiným typem potenciální jámy se mohou závislosti hustoty stavu na energii a tloušťce filmu lišit od uvedených. výše, ale hlavní rys, nemonotónní průběh, zůstane.
ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKODIMENZIONÁLNÍCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMŮ Rozložení kvantových stavů v nízkorozměrných strukturách Vypočítejme hustotu stavů pro jednorozměrnou strukturu - kvantový drát. Zákon izotropní parabolické disperze lze v tomto případě zapsat tak, že x směřuje podél kvantového vlákna, d je tloušťka kvantového vlákna podél os yaz, kx je jednorozměrný vlnový vektor. m, n jsou kladná celá čísla charakterizující, kde na ose jsou kvantová dílčí pásma. Energetické spektrum kvantového drátu je tak rozděleno do samostatných překrývajících se jednorozměrných subpásem (parabol). Pohyb elektronů podél osy x se ukazuje jako volný (ale s efektivní hmotností), zatímco pohyb podél dalších dvou os je omezený.
ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKODIMENZIONÁLNÍCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMŮ Rozložení kvantových stavů v nízkorozměrných strukturách Energetické spektrum elektronů pro kvantový drát
ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKODIMENZIONÁLNÍCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMŮ Rozložení kvantových stavů v nízkorozměrných strukturách Hustota stavů v kvantovém drátu versus energie Počet kvantových stavů na interval dkx , počítáno na jednotku objemu kde je energie odpovídající spodní části subpásma s dáno n a m.
ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKODIMENZIONÁLNÍCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMŮ Rozložení kvantových stavů v nízkorozměrných strukturách Hustota stavů v kvantovém drátu jako funkce energie. Při odvozování tohoto vzorce tedy vychází spinová degenerace stavů a skutečnost, že jeden interval d. E odpovídá dvěma intervalům ±dkx každého dílčího pásma, pro které (E-En, m) > 0. Energie E se počítá od spodní části vodivostního pásma hromadného vzorku.
ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKODIMENZIONÁLNÍCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMŮ Rozložení kvantových stavů v nízkorozměrných strukturách Hustota stavů v kvantovém drátu na energii Závislost hustoty stavů kvantového drátu na energii. Čísla vedle křivek ukazují kvantová čísla n a m. Faktory degenerace úrovní subpásem jsou uvedeny v závorkách.
ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKODIMENZIONÁLNÍCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMŮ Rozložení kvantových stavů v nízkorozměrných strukturách Hustota stavů v kvantovém drátu jako funkce energie V rámci jednoho dílčího pásma hustota stavů klesá s rostoucí energií. Celková hustota stavů je superpozicí identických rozpadových funkcí (odpovídajících jednotlivým dílčím pásmům) posunutých podél energetické osy. Pro E = Em, n je hustota stavů rovna nekonečnu. Dílčí pásma s kvantovými čísly n m se ukazují jako dvojnásobně degenerovaná (pouze pro Ly = Lz d).
ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKODIMENZIONÁLNÍCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMŮ Rozložení kvantových stavů v nízkorozměrných strukturách Hustota stavů v kvantové tečce jako funkce energie S trojrozměrným omezením pohybu částic se dostáváme k problému hledání povolených stavů v kvantová tečka nebo systém nulové dimenze. Při použití efektivní aproximace hmotnosti a parabolického disperzního zákona bude mít pro okraj izotropního energetického pásma spektrum povolených stavů kvantové tečky se stejnými rozměry d podél všech tří souřadnicových os tvar n, m, l = 1 , 2, 3 ... - kladná čísla číslující dílčí pásma. Energetické spektrum kvantové tečky je souborem diskrétních povolených stavů odpovídajících pevným n, m, l.
ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKODIMENZIONÁLNÍCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMŮ Rozložení kvantových stavů v nízkorozměrných strukturách Hustota stavů v kvantové tečce jako funkce energie Degenerace hladin je primárně určena symetrií problému. g je faktor degenerace úrovně
ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKODIMENZIONÁLNÍCH ELEKTRONICKÝCH SYSTÉMŮ Rozložení kvantových stavů v nízkorozměrných strukturách Hustota stavů v kvantové tečce versus energie Degenerace hladin je primárně určena symetrií problému. Například v uvažovaném případě kvantové tečky se stejnými rozměry ve všech třech dimenzích budou úrovně třikrát degenerované, pokud jsou dvě kvantová čísla navzájem rovna a nerovnají se třetímu, a šestkrát degenerované, pokud jsou všechna kvantová čísla. čísla se navzájem nerovnají. Specifický typ potenciálu může také vést k dodatečné, tzv. náhodné degeneraci. Například pro uvažovanou kvantovou tečku na trojnásobnou degeneraci úrovní E(5, 1, 1); E(1,5,1); E(1, 1, 5), spojené se symetrií problému, je přidána náhodná degenerace E(3, 3, 3) (n 2+m 2+l 2=27 v prvním i druhém případě), spojené s potenciálem omezujícím formu (nekonečná obdélníková potenciálová jáma).
ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKODIMENZIONÁLNÍCH SYSTÉMŮ Rozložení kvantových stavů v nízkorozměrných strukturách Hustota stavů v kvantové tečce versus energie Rozložení počtu povolených stavů N v pásmu vodivosti pro kvantovou tečku se stejnými rozměry ve všech třech dimenzích. Čísla představují kvantová čísla; v závorkách jsou uvedeny faktory degenerace úrovně.
ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKODIMENZIONÁLNÍCH SYSTÉMŮ Statistika nosičů v nízkorozměrných strukturách Trojrozměrné elektronové systémy Vlastnosti rovnovážných elektronů v polovodičích závisí na Fermiho distribuční funkci, která určuje pravděpodobnost, že elektron bude v kvantovém stavu s energií E EF je Fermiho hladina nebo elektrochemický potenciál, T je absolutní teplota, k je Boltzmannova konstanta. Výpočet různých statistických veličin je značně zjednodušen, pokud Fermiho hladina leží v energetickém zakázaném pásmu a je daleko od spodní části vodivostního pásma Ec (Ec – EF) > k. T. Pak ve Fermi-Diracově rozdělení lze jednotku ve jmenovateli zanedbat a přecházet do Maxwell-Boltzmannova rozdělení klasické statistiky. To je případ nedegenerovaného polovodiče
ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKODIMENZIONÁLNÍCH SYSTÉMŮ Statistika nosičů v nízkorozměrných strukturách Trojrozměrné elektronové systémy Funkce rozdělení hustoty stavů ve vodivostním pásmu g(E), Fermi-Diracova funkce pro tři teploty a Maxwellova-Boltzmannova funkce pro trojrozměrný elektronový plyn. Při T = 0 má Fermi-Diracova funkce tvar nespojité funkce. Pro E EF je funkce rovna nule a odpovídající kvantové stavy jsou zcela volné. Pro T > 0, Fermiho funkce. Dirac se rozmazává v blízkosti Fermiho energie, kde se rychle mění z 1 na 0 a toto rozmazání je úměrné k. T, tj. čím více, tím vyšší teplota. (Obr. 1. 4. Hrany)
ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKOROZMĚRNÝCH SYSTÉMŮ Statistika nosičů v nízkorozměrných strukturách Trojrozměrné elektronické systémy Elektronová hustota ve vodivém pásmu se zjistí součtem přes všechny stavy Všimněte si, že bychom měli brát energii horního okraje vodivého pásma jako horní mez v tomto integrálu. Ale protože Fermi-Diracova funkce pro energie E >EF exponenciálně klesá s rostoucí energií, nahrazení horní hranice nekonečnem nezmění hodnotu integrálu. Dosazením hodnot funkcí do integrálu získáme efektivní hustotu stavů ve vodivostním pásmu
ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKODIMENZIONÁLNÍCH SYSTÉMŮ Statistika nosičů v nízkorozměrných strukturách Dvourozměrné elektronové systémy Stanovme koncentraci nosiče náboje v dvourozměrném elektronovém plynu. Vzhledem k tomu, že hustota stavů dvourozměrného elektronového plynu dostáváme Zde je také horní mez integrace brána rovna nekonečnu, přičemž se bere v úvahu ostrá závislost Fermi-Diracovy distribuční funkce na energii. Integrace kde
ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKODIMENZIONÁLNÍCH SYSTÉMŮ Statistika nosičů v nízkorozměrných strukturách Dvourozměrné elektronové systémy Pro nedegenerovaný elektronový plyn, kdy V případě ultratenkých filmů, kdy lze vzít v úvahu pouze spodní subpásmovou výplň Pro silnou degeneraci elektronový plyn, když kde n 0 je celočíselná část
ELEKTRONICKÉ VLASTNOSTI NÍZKODIMENZIONÁLNÍCH SYSTÉMŮ Statistika přenašečů v nízkorozměrných strukturách Je třeba poznamenat, že v kvantově-jamkových systémech vzhledem k nižší hustotě stavů nevyžaduje podmínka úplné degenerace extrémně vysoké koncentrace ani nízké teploty a je poměrně často implementován v experimentech. Například v n-Ga. Stejně jako u N 2 D = 1012 cm-2 bude degenerace probíhat již při pokojové teplotě. V kvantových drátech se integrál pro výpočet, na rozdíl od dvourozměrných a trojrozměrných případů, nepočítá analyticky libovolnou degenerací a jednoduché vzorce lze psát pouze v omezujících případech. V nedegenerovaném jednorozměrném elektronovém plynu, v případě hypertenkých vláken, kdy lze vzít v úvahu pouze obsazení nejnižší hladiny energií E 11, je koncentrace elektronů tam, kde je jednorozměrná efektivní hustota stavů
Energetické hladiny (atomové, molekulární, jaderné)
1. Charakteristika stavu kvantového systému
2. Energetické hladiny atomů
3. Energetické hladiny molekul
4. Energetické hladiny jader
Charakteristika stavu kvantového systému
Jádrem výkladu sv v atomech, molekulách a atomových jádrech, tzn. jevy vyskytující se v objemových prvcích s lineárními měřítky 10 -6 -10 -13 cm leží kvantová mechanika. Podle kvantové mechaniky je každý kvantový systém (tj. systém mikročástic, který se řídí kvantovými zákony) charakterizován určitým souborem stavů. V obecném případě může být tato množina stavů buď diskrétní (diskrétní spektrum stavů) nebo spojitá (spojité spektrum stavů). Charakteristika stavu izolované soustavy yavl. vnitřní energie systému (všude dole jen energie), celkový moment hybnosti (MKD) a parita.
Energie systému.
Kvantový systém, který je v různých stavech, má obecně různé energie. Energie vázaného systému může nabývat libovolné hodnoty. Tato sada možných energetických hodnot se nazývá. diskrétní energetické spektrum a energie se říká, že je kvantovaná. Příkladem může být energetika. spektrum atomu (viz níže). Nevázaný systém interagujících částic má spojité energetické spektrum a energie může nabývat libovolných hodnot. Příkladem takového systému je volný elektron (E) v Coulombově poli atomového jádra. Spojité energetické spektrum lze znázornit jako soubor nekonečně velkého počtu diskrétních stavů, mezi kterými je energie. mezery jsou nekonečně malé.
Stav, to-rum odpovídá nejnižší možné energii pro daný systém, tzv. základní: všechny ostatní stavy se nazývají. vzrušený. Často je vhodné použít podmíněnou škálu energie, ve které je energie základní. za výchozí se považuje stav, tzn. se předpokládá, že je nula (v této podmíněné škále je energie všude pod písmenem označena E). Pokud je systém ve stavu n(a index n=1 je přiřazeno k hlavnímu. stát), má energii E n, pak se říká, že systém je na energetické úrovni E n. Číslo n, číslování U.e., volal. kvantové číslo. V obecném případě každý U.e. lze charakterizovat nikoli jedním kvantovým číslem, ale jejich kombinací; pak index n znamená souhrn těchto kvantových čísel.
Pokud státy n 1, n 2, n 3,..., nk odpovídá stejné energii, tzn. jedna U.e., pak se tato úroveň nazývá degenerovaná a číslo k- mnohočetnost degenerace.
Při jakýchkoli přeměnách uzavřeného systému (stejně jako systému v konstantním vnějším poli) zůstává jeho celková energie, energie, nezměněna. Energie se proto týká tzv. konzervované hodnoty. Zákon zachování energie vyplývá z homogenity času.
Celkový moment hybnosti.
Tato hodnota je yavl. vektor a získá se přidáním MCD všech částic v systému. Každá částice má obě své vlastní MCD - spin a orbitální moment hybnosti v důsledku pohybu částice vzhledem ke společnému těžišti systému. Kvantování MCD vede k tomu, že jeho abs. velikost J nabývá přesně definovaných hodnot: , kde j- kvantové číslo, které může nabývat nezáporných celočíselných a polovičních celočíselných hodnot (kvantové číslo orbitálního MCD je vždy celé číslo). Projekce MKD na c.-l. název osy magn. kvantové číslo a může vzít 2j+1 hodnoty: m j = j, j-1,...,-j. Pokud k.-l. moment J
yavl součet dvou dalších momentů, pak podle pravidel pro sčítání momentů v kvantové mechanice kvantové číslo j může nabývat následujících hodnot: j=|j 1 -j 2 |, |j 1 -j 2 -1|, ...., |j 1 +j 2 -1|, j 1 +j 2, a. Podobně se provádí sčítání většího počtu momentů. Pro stručnost je zvykem mluvit o systému MCD j, implikující okamžik, abs. jehož hodnota je ; o magn. O kvantovém čísle se jednoduše mluví jako o projekci hybnosti.
Při různých přeměnách systému v centrálně symetrickém poli se celkový MCD zachovává, tedy stejně jako energie je zakonzervovanou veličinou. MKD zákon zachování vyplývá z izotropie prostoru. V osově symetrickém poli je zachována pouze projekce plného MCD na osu symetrie.
Státní parita.
V kvantové mechanice jsou stavy systému popsány tzv. vlnové funkce. Parita charakterizuje změnu vlnové funkce systému při provozu prostorové inverze, tzn. změna znamének souřadnic všech částic. Při takové operaci se energie nemění, přičemž vlnová funkce může buď zůstat nezměněna (sudý stav), nebo změnit své znaménko na opačné (lichý stav). Parita P nabývá dvou hodnot, resp. Pokud v systému fungují jaderné nebo el.-magnety. sil je zachována parita při atomových, molekulárních a jaderných přeměnách, tzn. toto množství platí i pro konzervovaná množství. Zákon zachování parity yavl. je důsledkem symetrie prostoru vzhledem k zrcadlovým odrazům a je narušena v těch procesech, ve kterých jsou zapojeny slabé interakce.
Kvantové přechody
- přechody systému z jednoho kvantového stavu do druhého. Takové přechody mohou vést jak ke změně energie. stavu systému a jeho kvalit. Změny. Jsou to přechody vázané, volně vázané, volné volné (viz Interakce záření s hmotou), například excitace, deaktivace, ionizace, disociace, rekombinace. Je to také chem. a jaderné reakce. Přechody mohou nastat vlivem záření - radiační (nebo radiační) přechody, nebo při kolizi daného systému s c.-l. jiný systém nebo částice - nezářivé přechody. Důležitá charakteristika kvantového přechodu yavl. jeho pravděpodobnost v jednotkách. čas, udávající, jak často k tomuto přechodu dojde. Tato hodnota se měří v s -1 . Radiační pravděpodobnosti. přechody mezi úrovněmi m A n (m>n) s emisí nebo absorpcí fotonu, jehož energie je rovna, jsou určeny koeficientem. Einstein A mn, B mn A B nm. Přechod úrovní m na úroveň n může dojít spontánně. Pravděpodobnost vyzáření fotonu Bmn v tomto případě se rovná Amn. Typové přechody působením záření (indukované přechody) jsou charakterizovány pravděpodobnostmi emise fotonů a absorpce fotonů, kde je hustota energie záření s frekvencí.
Možnost implementace kvantového přechodu z daného R.e. na k.-l. další w.e. znamená, že charakteristika srov. čas, během kterého může být systém na tomto UE samozřejmě. Je definována jako převrácená hodnota celkové pravděpodobnosti rozpadu dané úrovně, tzn. součet pravděpodobností všech možných přechodů z uvažované úrovně do všech ostatních. Pro záření přechodů, celková pravděpodobnost je , a . Konečnost času podle vztahu neurčitosti znamená, že energii hladiny nelze určit absolutně přesně, tzn. U.e. má určitou šířku. Emise nebo absorpce fotonů během kvantového přechodu tedy neprobíhá na přesně definované frekvenci , ale v určitém frekvenčním intervalu ležícím v blízkosti hodnoty . Rozložení intenzity v tomto intervalu je dáno profilem spektrální čáry , který určuje pravděpodobnost, že frekvence fotonu emitovaného nebo absorbovaného v daném přechodu je rovna:
(1)
kde je poloviční šířka profilu čáry. Pokud rozšíření W.e. a spektrální čáry jsou způsobeny pouze spontánními přechody, pak se takové rozšíření nazývá. přírodní. Pokud v rozšíření hrají určitou roli srážky systému s jinými částicemi, pak má rozšíření kombinovaný charakter a veličinu je třeba nahradit součtem , kde se počítá podobně jako , ale radiát. pravděpodobnosti přechodu by měly být nahrazeny pravděpodobnostmi kolizí.
Přechody v kvantových systémech se řídí určitými pravidly výběru, tzn. pravidla, která stanoví, jak se kvantová čísla charakterizující stav systému (MKD, parita atd.) mohou měnit během přechodu. Nejjednodušší pravidla výběru jsou formulována pro radiáty. přechody. V tomto případě jsou určeny vlastnostmi počátečního a konečného stavu a také kvantovými charakteristikami emitovaného nebo absorbovaného fotonu, zejména jeho MCD a parity. Takzvaný. elektrické dipólové přechody. Tyto přechody se provádějí mezi úrovněmi opačné parity, kompletní MCD to-rykh se liší o množství (přechod není možný). V rámci současné terminologie se těmto přechodům říká. povoleno. Všechny ostatní typy přechodů (magnetický dipól, elektrický kvadrupól atd.) se nazývají. zakázáno. Význam tohoto termínu je pouze v tom, že jejich pravděpodobnosti jsou mnohem menší než pravděpodobnosti elektrických dipólových přechodů. Nejsou však yavl. absolutně zakázáno.
