Prezentace proporcionálních úseček k definování podobných trojúhelníků. Prezentace na téma "Identifikace podobných trojúhelníků"

Snímek 8

Proporcionální úsečky. Definice podobných trojúhelníků Poměr obsahů podobných trojúhelníků První test podobnosti trojúhelníků (Proof) Druhý test podobnosti trojúhelníků (Důkaz) Třetí test podobnosti trojúhelníků (Důkaz) Praktická aplikace

Snímek 9

Pokračování

Základní informace Měřící práce na zemi Určení výšky objektu Stanovení vzdálenosti k nepřístupnému bodu Stanovení vzdálenosti stavbou podobných trojúhelníků (1) (2) (5) (4) (3)

Snímek 10

Proporcionální úsečky

Poměr segmentů AB a CD je poměr jejich délek, tj. AB / CD. Říká se, že segmenty AB a CD jsou úměrné segmentům A1 B1 a C1 D1, pokud AB / A1B1 = CD / C1D1. Pro velký počet segmentů je také zaveden koncept proporcionality

Snímek 11

Definice podobných trojúhelníků.

Dva trojúhelníky se nazývají podobné, pokud jsou jejich úhly stejné a strany jednoho trojúhelníku jsou úměrné podobným stranám druhého.

Snímek 12

Poměr ploch podobných trojúhelníků

Věta Poměr ploch dvou podobných trojúhelníků je roven druhé mocnině koeficientu podobnosti

Snímek 13

Důkaz.

Nechť jsou trojúhelníky ABC a A1B1C1 podobné a koeficient podobnosti roven r. Označme písmeny S a S1 plochy těchto trojúhelníků. Protože úhel A = úhel A1, pak S / S1 = AB * AC / A1B1 * A1C1 (podle věty o poměru ploch poměru podobnosti trojúhelníků se stejným úhlem). Podle vzorců (2) máme: AB / A1B1 = R, AC / A1C1 = R, tedy S / S = R 2

Snímek 14

První známka podobnosti trojúhelníků

Pokud se dva úhly jednoho trojúhelníku rovnají dvěma úhlům jiného, ​​pak se takové trojúhelníky rovnají A B C

Snímek 15

Druhý znak podobnosti trojúhelníků

Pokud jsou dvě strany jiného trojúhelníku úměrné dvěma stranám druhého trojúhelníku a úhly mezi těmito stranami jsou stejné, pak jsou takové trojúhelníky podobné.

Snímek 16

Třetí znak podobnosti trojúhelníků

Pokud jsou tři strany jednoho trojúhelníku úměrné třem stranám druhého, pak jsou takové trojúhelníky podobné. A B C

Snímek 17

Důkaz. (1)

Dáno: ABC a A1B1C1 jsou dva trojúhelníky s úhlem A = úhel A1, úhel B = úhel B1 Dokážeme, že trojúhelník ABC je trojúhelník A! B1C1

Snímek 18

Důkaz.

Podle věty o součtu úhlů trojúhelníku úhel C = 180 stupňů-úhel A-úhel B, úhel C = 180 stupňů-úhel A je úhel B, a proto úhel C = úhel C. trojúhelníku ABC se rovnají úhlům trojúhelníku ABC 1 1 1 1 1 1 1

Snímek 19

Dokažme, že strany trojúhelníku ABC jsou úměrné podobným stranám trojúhelníku AB C. Protože úhel A = úhel A a úhel C = úhel C, pak S abc / Sa c = AB * AC / AB * ACS abc / Sab c = CA * SV / CA * C B. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Snímek 20

Z těchto rovností vyplývá, že AB / AB = BC / BC Podobně, pomocí rovností úhel A = úhel A Úhel B = úhel B, dostaneme BC / BC = CA / C A. Strany trojúhelníku ABC jsou tedy úměrné podobné strany trojúhelníku A V C. Věta je dokázána. 1 1 1 1 1 1 1 1

Snímek 21

důkaz (2)

Jsou dány: dva trojúhelníky ABC a ABC, pro které AB / AB = AC / AC, úhel A = úhel A. B = roh B 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Snímek 22

Uvažujme trojúhelník ABC, ve kterém úhel1 = úhelA, úhel2 = úhel B. Trojúhelníky ABC ABC jsou si podobné v prvním znaménku podobnosti trojúhelníků, proto AB / AB = AC / AC C. Na druhou stranu podle podmínky AB / AB = AC / A C. Z těchto dvou rovností dostaneme AC = AC. 2 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2

Snímek 23

Trojúhelníky ABC a ABC jsou stejné na dvou stranách mezi nimi (AB je společná strana, AC = AC a úhel A = úhel 1, protože úhel A = úhel A a úhel 1 = úhel A). Z toho vyplývá, že úhel B = úhel 2, a protože úhel 2 = úhel B, pak úhel B = úhel B. Věta je dokázána. 2 2 1 1 1 1

Snímek 24

důkaz (3)

Dáno: strany trojúhelníků ABC a ABC jsou úměrné. Dokažme, že trojúhelník ABC na trojúhelník ABC 1 1 1

Snímek 25

Důkaz

K tomu s přihlédnutím k druhému znaménku podobnosti trojúhelníků stačí dokázat, že úhel A = úhel A. Uvažujme trojúhelník ABC, ve kterém úhel 1 = úhel A, úhel 2 = úhel B. Trojúhelníky ABC a ABC jsou podobné v prvním znaménku podobnosti trojúhelníků, proto AB / А В = ВС / В С = С А / С A.

Snímek 26

Porovnáním těchto rovností s rovnostmi (1) dostaneme: BC = BC, CA = C A. Trojúhelníky ABC a ABC jsou stejné na třech stranách. Z toho vyplývá, že úhel A = úhel 1 a protože úhel 1 = úhel A, pak úhel A = úhel A. Věta je dokázána. 2 2 2 1 1

Snímek 27

Praktické aplikace podobnosti trojúhelníků

Při řešení mnoha úloh na konstrukci trojúhelníků se používá tzv. podobnostní metoda. Spočívá v tom, že nejprve na základě některých dat existuje trojúhelník podobný požadovanému trojúhelníku a poté pomocí zbytku dat je sestrojen požadovaný trojúhelník

Snímek 28

Problém číslo 1

Sestrojte trojúhelník, který má dva úhly a osičku ve vrcholu třetího úhlu

Snímek 29

Řešení

Nejprve si postavme jakýsi trojúhelník podobný tomu, který hledáme. K tomu nakreslete libovolnou úsečku A B a postavte trojúhelník A B C, ve kterém se úhly A a B rovnají daným úhlům.

Snímek 30

Pokračování

Dále sestrojíme osičku úhlu C a položíme na ni úsečku CD rovnou této úsečce. Nakreslete přímku bodem D rovnoběžnou s A B. Protíná strany úhlu C v některých bodech A a B. Požadovaný je trojúhelník ABC

Snímek 31

Ve skutečnosti, protože AB je rovnoběžná s AB, pak úhel A = úhel A, úhel B = úhel B, a proto se dva úhly trojúhelníku ABC rovnají těmto úhlům. Konstrukčně je osa CD trojúhelníku ABC rovna této úsečce, takže trojúhelník ABC splňuje všechny podmínky úlohy.

Snímek 32

Základy (1)

1. Trojúhelník ABC je podobný trojúhelníku ABC právě tehdy, když je splněna jedna z následujících ekvivalentních podmínek. 1 1 1

Snímek 33

Podmínky

A) AB: BC: CA = AB: BC: CA; B) AB: BC = AB: BC a úhel ABC = úhel ABC; B) úhel ABC = úhel A B C a úhel BAC = úhel B A C. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Snímek 34

Základy (2)

2) jestliže rovnoběžné přímky odříznou trojúhelníky AB C a AB C z rohu s vrcholem A, pak jsou tyto trojúhelníky podobné a AB: AB = AC: AC (body B a B leží na jedné straně rohu, C a C na druhé straně). 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2

Snímek 35

Základy (3)

3) střední čára trojúhelníku je segment spojující středy bočních stran. Tento segment je rovnoběžný se třetí stranou a je roven polovině jeho délky. Střední čára lichoběžníku je segment, který spojuje středy stran lichoběžníku. Tento segment je rovnoběžný se základnami a rovná se polovině součtu jejich délek

Snímek 36

Základy (4)

4) poměr ploch podobných trojúhelníků je roven druhé mocnině koeficientu podobnosti, tedy druhé mocnině poměru délek odpovídajících stran. Vyplývá to například ze vzorce Savs = 0,5 * AB * ACsinA.

Snímek 37

Klíčové informace (5)

Mnohoúhelníky А А ... А a В В ... В se nazývají podobné, pokud А А: А А: ...: А А = В В: В В: ... В В a úhly ve vrcholech A . .., A. Jsou rovné úhlům ve vrcholech А, …., A jsou stejné Poměr odpovídajících úhlopříček podobných mnohoúhelníků je roven koeficientu podobnosti; pro popsané podobné polygony je poměr poloměrů vepsaných kružnic rovněž roven koeficientu podobnosti 1 2 n 1 2 n 1 2 2 3 n 1 1 2 2 3 n 1 1 n 1 n

Snímek 38

Měřicí práce na zemi

Vlastnosti takových trojúhelníků lze využít k provádění různých měření na zemi. Budeme zvažovat dva úkoly: určení výšky předmětu na zemi a vzdálenost k nepřístupnému bodu.

Snímek 39

Problém číslo 1

Určení výšky objektu

Snímek 40

Pokračování

Předpokládejme, že potřebujeme určit výšku objektu, například výšku telegrafního sloupu AC, k tomu postavíme sloup AC s otočnou tyčí do určité vzdálenosti od sloupku a nasměrujeme tyč do horního bodu A A A se protíná s povrchem země. 1 1 1 1

Snímek 41

Obdélníkové trojúhelníky A C B a ACB jsou si podobné v prvním znaménku trojúhelníků (úhel C = úhel C = 90 stupňů, úhel B - společný). Z podobnosti trojúhelníků vyplývá А С / АС = ВС / ВС, odkud А С = АС * ВС / ВС změřením vzdálenosti mezi ВС a ВС a znalostí délky АС pólu podle získaného vzorce určíme výšku АС telegrafního sloupu 1 1 1 1 1 1 1 1 1 jeden

Snímek 42

výzva (2)

Určení vzdálenosti k nepřístupnému bodu

Snímek 43

Pokračování

Předpokládejme, že potřebujeme najít vzdálenost z bodu A do nepřístupného bodu B. K tomu vyberte bod C na zemi, upevněte segment AC a změřte jej. Potom pomocí astroláb změříme úhly A a C. Na list papíru postavíme jakýsi trojúhelník ABC, ve kterém úhel A = úhel A, úhel C = úhel C a změříme délky stran AB a AC tohoto trojúhelníku. 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Snímek 44

Protože jsou trojúhelníky ABC a ABC podobné (prvním znaménkem podobnosti trojúhelníků), pak AB / AB = AC AC, odkud dostaneme AB = AC * AB / AC C. Tento vzorec umožňuje známé vzdálenosti AC, AC a A B, najděte vzdálenost AB. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Snímek 45

Pro zjednodušení výpočtů je vhodné sestrojit trojúhelník ABC tak, že AC: AC = 1: 1000. pokud je například АС = 130 m, pak se vzdálenost АС bere rovna 130 mm. V tomto případě AB = AC / A C * A B = 1000 * A B, proto, když změříme vzdálenost AB v milimetrech, okamžitě dostaneme vzdálenost AB v metrech 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Snímek 46

Příklad

Nechť AC = 130 m, úhel A = 73 stupňů, úhel C = 58 stupňů Na papíře postavíme trojúhelník ABC tak, aby úhel A = 73 stupňů, úhel C = 58 stupňů, AC = 130 mm, a změříme úsečku A B. je rovna 153 mm, proto je požadovaná vzdálenost raných 153 m. 1 1 1 1 1

Snímek 47

Určení vzdálenosti sestrojením podobných trojúhelníků

Při určování vzdálenosti ke vzdáleným nebo nepřístupným objektům můžete použít následující techniku. Na obyčejnou zápalku je třeba nanést dvoumilimetrové dělení inkoustem nebo tužkou. Musíte také znát přibližnou výšku objektu, ke kterému se vzdálenost určuje. Takže výška člověka je 1,7-1,8 m, kolo auta je 0,5 m, jezdec je 2,2 m, telegrafní sloup je 6 m, jednopatrový dům bez střechy je 2,5-4 m.

Snímek 48

Pokračování

Řekněme, že potřebujete určit vzdálenost ke sloupku. Na nataženou paži na něj směřujeme zápalku, jejíž délka je přibližně 60 cm, předpokládejme, že výška sloupu vypadá jako dvě dělení zápalky, tzn. 4 mm. S těmito údaji sestavíme podíl: 0,6 / x = 0,004 / 6,0 x = (0,6 * 6) /0y004 = 900. Tedy do pilíře je 900 m.

Zobrazit všechny snímky

"Geometrie" Podobné trojúhelníky "" - Základní trigonometrická identita. Druhý znak podobnosti trojúhelníků. Sinus, kosinus a tangens. Hodnoty sinus, kosinus a tangens pro úhly 30°, 45°, 60°. Podobné trojúhelníky. Podobnost pravoúhlých trojúhelníků. Pokračování stran. Proporcionální úsečky. Věta o poměru ploch podobných trojúhelníků. Hodnoty sinus, kosinus a tangens. Dvě strany trojúhelníku byly spojeny segmentem, který nebyl rovnoběžný se třetí.

"Nalezení oblasti lichoběžníku" - Výsledky. Vlastnosti pravoúhlého trojúhelníku. Najděte oblast lichoběžníku. Porovnejte čtverce. Označte základny. Sebekontrolní úkoly. Oblast trapézu. Opakování probrané látky. Past. Zapište vzorce. Vytvořte schopnost aplikovat vzorec. Najděte oblast. Oblast buňky. Řešení problému. Pojďme si to shrnout. Náměstí.

"Čtyřúhelníky, jejich znaky a vlastnosti" - Kosočtverec. Čtyřúhelníky, jejich znaky a vlastnosti. Představte typy čtyřúhelníků. Obdélník. Vlastnosti rovnoběžníku. Obdélník se všemi stranami stejnými. Čtyřúhelník, jehož vrcholy jsou ve středních bodech stran. Úhlopříčky. Typy čtyřúhelníků. Testy. Které dva stejné trojúhelníky lze složit do čtverce. Typy lichoběžníků. Rohy kosočtverce. Náměstí. Paralelní znaky. Čtyřúhelníky.

"Věta o vepsaném úhlu" - Poloměr kružnice je 4 cm. Odpověď. Ostrý roh. Konsolidace studovaného materiálu. Aktualizace znalostí studentů. Aktualizace znalostí. Učení nového materiálu. Poloměr kruhu. Jak se jmenuje úhel s vrcholem ve středu kružnice. Najděte úhel mezi tětivami. Pojem vepsaného úhlu. Trojúhelník. Najděte mezi nimi úhel. Řešení. Vyzkoušej se. Správná odpověď. Kruhy se protínají. Věta o vepsaném úhlu.

"Pythagorova věta pro pravoúhlý trojúhelník" - Pravoúhlý trojúhelník. Jméno Pythagoras. Kombinace dvou protichůdných principů. Herodotos. Prohlášení věty. Starověcí autoři. Pythagoras ze Samosu. Mince s obrazem Pythagora. Pythagorova věta. Pythagorova nauka.

"Koncept oblasti mnohoúhelníku" - Přilehlé strany rovnoběžníku. Oblast trojúhelníku. Matematický diktát. Rovnoběžník. Oblast kosočtverce. Koncept oblasti polygonu. Oblast obdélníku. Oblast trapézu. Výšky. Oblast polygonů. Oblast pravoúhlého trojúhelníku. Teorém. Ostrý roh. Plocha rovnoběžníku. Vypočítejte plochu kosočtverce. Najděte obsah pravoúhlého trojúhelníku. Trojúhelníky. Plošné jednotky.

PODOBNÉ TROJÚHELNÍKY

Gymnázium MBOU №14

Učitel matematiky: E.D. Lazareva

Proporcionální úsečky

přístup segmentů AB a CD se nazývá poměr jejich délek, tzn.

Sekce AB a CD úměrný segmenty A 1 B 1 a C 1 D 1, pokud

Definování podobných trojúhelníků

Dva trojúhelníky se nazývají jako, pokud jsou jejich úhly stejné a strany jednoho trojúhelníku jsou úměrné podobným stranám druhého.

Nazývá se číslo k, které se rovná poměru podobných stran trojúhelníků koeficient podobnosti

B 1

A 1

C 1

Poměr ploch podobných trojúhelníků

Poměr ploch dvou podobných trojúhelníků je čtvercový koeficient podobnosti

Osa trojúhelníku rozděluje protilehlou stranu na segmenty úměrné sousedním stranám trojúhelníku.

B 1

A 1

C 1

já

Pokud se dva úhly jednoho trojúhelníku rovnají dvěma úhlům jiného trojúhelníku, pak jsou takové trojúhelníky podobné

 ABC,  A 1 B 1 C 1,

 A =  A 1,  B =  B 1

Dokázat:

 ABC  A 1 B 1 C 1

B 1

A 1

C 1

Znaky podobnosti trojúhelníků

II podobnost trojúhelníků

Pokud jsou dvě strany jednoho trojúhelníku úměrné dvěma stranám druhého trojúhelníku a úhly mezi těmito stranami jsou stejné, pak jsou takové trojúhelníky podobné

 ABC,  A 1 B 1 C 1,

Dokázat:

 ABC  A 1 B 1 C 1

B 1

A 1

C 1

Znaky podobnosti trojúhelníků

III podobnost trojúhelníků

Pokud jsou tři strany jednoho trojúhelníku úměrné třem stranám jiného trojúhelníku, pak jsou takové trojúhelníky podobné

 ABC,  A 1 B 1 C 1,

Dokázat:

 ABC  A 1 B 1 C 1

B 1

A 1

C 1

Střední čára trojúhelníku

Střední čára trojúhelníku je segment spojující středy dvou stran.

Střední čára trojúhelníku

rovnoběžně s jednou z jejích stran

a rovná se polovině této strany

 ABC, MN - střední čára

Dokázat:

MN  AC, MN = AC

Mediány trojúhelníku se protínají v jednom bodě, který dělí každý medián v poměru 2:1, počítáno od vrcholu

A 1

C 1

B 1

Použití podobnosti při řešení problémů

Výška pravoúhlého trojúhelníku, nakreslená od vrcholu pravého úhlu, rozděluje trojúhelník na dva podobné pravoúhlé trojúhelníky, z nichž každý je podobný tomuto trojúhelníku.

 ABC  ACD,

Použití podobnosti na důkazy teorémů

1.Výška pravoúhlého trojúhelníku nakresleného z vrcholu pravého úhlu je proporcionální průměr mezi segmenty, na které je přepona rozdělena touto výškou.

Použití podobnosti na důkazy teorémů

2. Rameno pravoúhlého trojúhelníku je průměrná úměrnost mezi přeponou a segmentem přepony, uzavřená mezi ramenem a výškou nakreslenou od vrcholu pravého úhlu.

1.1. Proporcionální úsečky Definice podobných trojúhelníků 1.2. Definice podobných trojúhelníků 1.3. Poměr ploch podobných trojúhelníků Poměr ploch podobných trojúhelníků Podobnostní vlastnosti.

1.1 Proporcionální úsečky. Poměr úseků AB a CD je poměr jejich délek, to znamená, že úseky AB a CD jsou úměrné úsekům A 1 B 1 a C 1 D 1, pokud PŘÍKLAD 1. Úseky AB a CD, délky které jsou 2 cm a 1 cm, úměrné segmentům A 1 B 1 a C 1 D 1, jejichž segmenty jsou rovny 3 cm a 1,5 cm. Vskutku,

1.2. Definice podobných trojúhelníků. V každodenním životě existují předměty stejného tvaru, ale různých velikostí, jako jsou fotbalové a tenisové míče, kulatý talíř a velký kulatý talíř. V geometrii se postavy stejného tvaru obvykle nazývají podobné. Jakékoli dva čtverce, jakékoli dva kruhy jsou tedy podobné. Pojďme si představit koncept podobných trojúhelníků.

1.2. Definice podobných trojúhelníků. LIKE, geometrický koncept, který charakterizuje přítomnost stejného tvaru v geometrických obrazcích, bez ohledu na jejich velikost. Dvě obrázky F1 a F2 se nazývají podobné, pokud lze mezi jejich body vytvořit vzájemnou shodu, ve které je poměr vzdáleností mezi libovolnými dvojicemi odpovídajících bodů obrázků F1 a F2 roven stejné konstantě k, se nazývá koeficient podobnosti. Úhly mezi odpovídajícími čarami podobných obrazců jsou stejné. Podobné tvary F1 a F2.

Definice. Říká se, že dva trojúhelníky jsou podobné, pokud jsou jejich úhly stejné a strany jednoho trojúhelníku jsou úměrné podobným stranám druhého trojúhelníku. Jinými slovy, dva trojúhelníky jsou podobné, pokud je lze označit písmeny ABC a A 1 B 1 C 1 tak, že A = A 1, B = B 1, C = C 1, Číslo k se rovná poměru podobné strany trojúhelníků se nazývají koeficient podobnosti ...

1.3. Poměr ploch podobných trojúhelníků. Teorém. Poměr ploch dvou podobných trojúhelníků se rovná druhé mocnině koeficientu podobnosti. Důkaz. Nechť jsou trojúhelníky ABC a A1B1C1 podobné a koeficient podobnosti je k. Označme písmeny S a S1 plochy těchto trojúhelníků. Protože A = A1, tak

Vlastnosti podobnosti. Úloha 2. Dokažte, že osa trojúhelníku rozděluje protější stranu na úsečky úměrné sousedním stranám trojúhelníku Řešení. Nechť AD je sečna trojúhelníku ABC. Dokažme, že trojúhelníky ABD a ACD mají společnou výšku AH, tedy 12 A H B D C

Důkaz: Podle věty o součtu úhlů: C = A - B, a C 1 = A 1 - B 1, pak C = C 1. Protože A = A 1 a C = C 1, vyplývá z toho: Ukazuje se, že podobnosti jsou úměrné. Dáno: ABC a A 1 B 1 C 1 A = A 1 B = B 1 Dokažte: ABC A 1 B 1 C 1 A C B A1A1 B1B1 C1C1

ABC 2 A 1 B 1 C 1 (podle prvního kritéria), což na druhou stranu znamená z těchto rovností AC = = AC 2. ABC = ABC 2 - na dvě strany a úhel mezi nimi (AB- společná strana, AC = AC 2 a, protože i).Tak a, pak ABC A1B1C1 Dáno: ABC a A 1 B 1 C 1 D-tý: Důkaz: Uvažujme ABC 2, ve kterém a

Důkaz: A 1 B 1 je střední čára, a A 1 B 1 // AB, tedy a znamená AOB A 1 OV 1 (ve dvou rozích), pak Ale AB = A 1 B 1, tedy AO = 2A 1 O a BO = 2B 1 O. Takže bod O- průsečík mediánů AA 1 a BB 1 rozděluje každý z nich v poměru 2:1, počítáno shora. Podobně je dokázáno, že bod O - průsečík mediánů BB 1 a CC 1 rozděluje každý z nich v poměru 2:1, počítáno shora. Tedy bod O - průsečík mediánů AA 1, BB 1 a CC 1 je rozděluje v poměru 2:1, počítáno shora.

Chcete-li použít náhled prezentací, vytvořte si účet Google (účet) a přihlaste se do něj: https://accounts.google.com

Popisky snímků:

Podobné trojúhelníky

Podobné figury Je zvykem nazývat podobné figury, pokud mají stejný tvar (podobného vzhledu).

Podobnost v životě (mapy oblasti)

Proporcionální čáry Definice: O úsecích se říká, že jsou proporcionální, pokud jsou úměrné jejich délce. 12 6 8 4 A 1 B 1 AB C 1 K 1 SC Říkají, že segmenty A 1 B 1 a C 1 K 1 jsou úměrné segmentům AB a SK. Jsou segmenty AB a SK úměrné segmentům EP a NT, jestliže: a) AB = 15 cm, SK = 2,5 cm, EP = 3 cm, NT = 0,5 cm? b) AB = 12 cm, SK = 2,5 cm, EP = 36 cm, NT = 5 cm? c) AB = 24 cm, SK = 2,5 cm, EP = 12 cm, NT = 5 cm? ano ne ne А В 6 cm С К 4 cm А 1 В 1 12 cm С 1 8 cm К 1

b Proporcionální segmenty Test 1. Označte správné tvrzení: a) segmenty AB a PH jsou úměrné segmentům CK a ME; b) segmenty ME a AB jsou úměrné segmentům PH a SK; c) segmenty AB a ME jsou úměrné segmentům PH a SK. А В 3 cm С К 2 cm М Е 9 cm Р Н 6 cm Dodatek: rovnost ME AB PH SK lze zapsat ve třech dalších rovnostách: PH SK ME AB; ME RN AB SK; AV SK ME RN.

Proporcionální čáry 2. Test F Y Z R L S N 1 cm 2 cm 4 cm 2 cm 3 cm Který segment musí být zadán, aby tvrzení bylo pravdivé: segmenty FY a YZ jsou úměrné segmentům LS a ……. a) RL; b) RS; c) SN a) RL

Proporcionální úsečky (požadovaná vlastnost) Osa trojúhelníku rozděluje protější stranu na úsečky úměrné sousedním stranám trojúhelníku. N Dáno: ABC, AK - osa. Důkaz: 1 A B K C 2 Protože AK je osa, pak 1 = 2, což znamená, že AVK a ASK mají stejný úhel, proto dokažte: VK AV KS AS S AVK S ASK AV ∙ AK AS ∙ AK AB AC AVK a ASK mají běžná výška AH, což znamená, že S ABK S ASK VK KC AB AC BK KC VK AV KS AS Proveďme tedy AN VS.

Definice podobných trojúhelníků: Říká se, že trojúhelníky jsou podobné, pokud se úhly jednoho trojúhelníku rovnají úhlům druhého trojúhelníku a strany jednoho trojúhelníku jsou úměrné podobným stranám toho druhého. A 1 B 1 C 1 A B C Podobné strany v podobných trojúhelníkech jsou strany, které leží protilehlé shodným úhlům. А 1 = А, В 1 = В, С 1 = С А 1 В 1 В 1 С 1 А 1 С 1 AB ВС АС k A 1 B 1 C 1 ABC K - koeficient podobnosti ~

Podobné trojúhelníky A 1 B 1 C 1 A B C Požadovaná vlastnost: A 1 = A, B 1 = B, C 1 = C, AB BC AC A 1 B 1 B 1 C 1 A 1 C 1 1 k ABC ~ A 1 B 1 C 1, - koeficient podobnosti 1 k A 1 B 1 C 1 ABC, K - koeficient podobnosti ~

Řešte úlohy 3. Podle údajů na nákresu najděte strany AB a B 1 C 1 podobných trojúhelníků ABC a A 1 B 1 C 1: A B C A 1 C 1 B 1 6 3 4 2,5? ? Najděte strany А 1 В 1 С 1, podobně jako ABC, pokud AB = 6, BC = 12. AC = 9 ak = 3. 2. Najděte strany А 1 В 1 С 1, podobně jako ABC, pokud AB = 6, BC = 12. AC = 9 ak = 1/3.

Věta 1. Poměr obvodů podobných trojúhelníků se rovná koeficientu podobnosti. M K E A B C Dáno: MKE ~ ABC, K - koeficient podobnosti. Dokažte: P MKE: P ABC = k Důkaz: K, MK AB KE VS ME AS So, MK = k ∙ AB, KE = k ∙ VS, ME = k ∙ AS. Protože podle podmínky MKE ~ ABC je k koeficient podobnosti, pak P MKE = MK + KE + ME = k ∙ AB + k ∙ BC + k ∙ AC = k ∙ (AB + BC + AC) = k ∙ R ABC. Proto P MKE: P ABC = k.

Věta 2. Poměr ploch podobných trojúhelníků je roven druhé mocnině koeficientu podobnosti a. M K E A B C Dáno: MKE ~ ABC, K - koeficient podobnosti. Dokažte: S MKE: S ABC = k 2 Důkaz: Protože podle podmínky MKE ~ ABC je k koeficient podobnosti, pak M = A, k, MK AB ME AC znamená MK = k ∙ AB, ME = k ∙ AC . S MKE S ABC MK ∙ ME AB ∙ AC k ∙ AB ∙ k ∙ АС AB ∙ АС k 2

Řešte úlohy Dvě podobné strany podobných trojúhelníků jsou 8 cm a 4 cm Obvod druhého trojúhelníku je 12 cm Jaký je obvod prvního trojúhelníku? 24 cm 2. Dvě podobné strany podobných trojúhelníků jsou 9 cm a 3 cm. Plocha druhého trojúhelníku je 9 cm 2. Jaká je plocha prvního trojúhelníku? 81 cm 2 3. Dvě podobné strany podobných trojúhelníků jsou 5 cm a 10 cm. Plocha druhého trojúhelníku je 32 cm 2. Jaká je plocha prvního trojúhelníku? 8 cm 2 4. Plochy dvou podobných trojúhelníků jsou 12 cm 2 a 48 cm 2. Jedna ze stran prvního trojúhelníku má 4 cm. Jaká je podobná strana druhého trojúhelníku? 8 cm

Řešení úlohy Plochy dvou podobných trojúhelníků jsou 50 dm 2 a 32 dm 2, součet jejich obvodů je 117 dm 2. Najděte obvod každého trojúhelníku. Najděte: P ABC, P REC Řešení: Protože podle podmínky jsou trojúhelníky ABC a REC podobné, pak: Dáno: ABC, REC jsou podobné, S ABC = 50 dm 2, S REK = 32 dm 2, P ABC + P REC = 117 dm. S ABC S REK 50 32 25 16 K 2. Tedy k = 5 4 K, P ABC P REC P ABC P REC 5 4 1,25 Tedy, P ABC = 1,25 R REC Nechť P ABC = x dm, pak P ABC = 1,25 x dm T. k pomocí podmínky P ABC + P REK = 117 dm, pak 1,25 x + x = 117, x = 52. Tedy, P REK = 52 dm, P ABC = 117 - 52 = 65 (dm). Odpověď: 65 dm, 52 dm.

„Matematika by se měla vyučovat jen tehdy, aby udělala pořádek v mysli“ MV Lomonosov Přeji vám hodně úspěchů ve studiu! Michajlova L.P. GOU TsO č. 173.