Das Verfahren zur Lösung von Systemen logischer Gleichungen. Logics.
Lassen Sie die logische Funktion von n Variablen sein. Die logische Gleichung ist:
Konstante C hat einen Wert von 1 oder 0.
Die logische Gleichung kann von 0 zu verschiedenen Lösungen haben. Wenn C gleich 1 ist, sind Lösungen alle Seiten von Variablen von der Wahrheitstabelle, auf denen die Funktion F den Wert der Wahrheit (1) nimmt. Die verbleibenden Kits sind Lösungen der Gleichung bei c gleich Null. Sie können immer nur die Gleichungen des Formulars berücksichtigen:
Lassen Sie die Gleichung eingestellt:
In diesem Fall können Sie zur äquivalenten Gleichung gehen:
Betrachten Sie das System von k logischen Gleichungen:
Die Lösung des Systems ist ein Satz von Variablen, auf denen alle Systemgleichungen durchgeführt werden. Um eine Lösung des logischen Gleichungssystems zu erhalten, sollten Sie in Bezug auf logische Funktionen ein Set finden, auf dem die logische Funktion F wahr ist, die die Konjunktion der Quellfunktionen darstellt:
Wenn die Anzahl der Variablen beispielsweise klein ist, beispielsweise weniger als 5, ist es nicht schwierig, eine Wahrheitstabelle für eine Funktion zu erstellen, mit der Sie sagen können, wie viele Lösungen ein System haben und welche Sets, die Lösungen ergeben.
In einigen Aufgaben der EGE, um Lösungen des Systems logischer Gleichungen zu finden, erreicht die Anzahl der Variablen einen Wert von 10. Aufbau einer Wahrheitstabelle wird zu einer praktisch einschädlichen Aufgabe. Um das Problem zu lösen, ist ein anderer Ansatz erforderlich. Für ein beliebiges Gleichungssystem von Gleichungen gibt es keine gemeinsame Methode als das Busting, mit dem Sie solche Aufgaben lösen können.
In den auf der Prüfung vorgeschlagenen Aufgaben basiert die Lösung in der Regel auf den Besonderheiten des Gleichungssystems. Ich wiederhole, neben der Suche nach allen Varianten des Variablensatzes gibt es keine allgemeine Möglichkeit, das Problem zu lösen. Die Entscheidung muss basierend auf den Besonderheiten des Systems erstellt werden. Es ist häufig nützlich, die Vorvereinbarkeit des Gleichungssystems mit bekannten Logikgesetzen zu vereinfachen. Ein weiterer nützlicher Empfang der Lösung dieser Aufgabe ist wie folgt. Wir sind nicht an allen Sätzen interessiert, sondern nur diejenigen, auf denen die Funktion wichtig ist für 1. Anstelle eines kompletten Wahrheitstisches bauen wir analog - ein binärer Baumlösungen. Jeder Zweig dieses Baums entspricht einer Lösung und legt den Set ein, auf dem die Funktion ankommt. Die Anzahl der Zweige des Lösungsbaums fällt mit der Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems zusammen.
Was ist ein binärer Entscheidungsbaum und wie es gebaut ist, erklärt die Beispiele mehrerer Aufgaben.
Aufgabe 18.
Wie viele verschiedene Werte von Werten der logischen Variablen X1, X2, X3, X4, X5, Y1, Y2, Y3, Y4, Y5, die das System von zwei Gleichungen erfüllen?
Antwort: Das System verfügt über 36 verschiedene Lösungen.
Lösung: Das Gleichungssystem enthält zwei Gleichungen. Wir finden die Anzahl der Lösungen für die erste Gleichung von 5 Variablen. Die erste Gleichung kann wiederum als System von 5 Gleichungen betrachten. Wie gezeigt, repräsentiert das Gleichungssystem tatsächlich die Verbindung logischer Funktionen. Die inverse Anweisung trifft ebenfalls zu, die Verbindung der Bedingungen kann als Gleichungssystem betrachtet werden.
Wir erstellen die Muscheln für Implikationen () - das erste Mitglied der Verbindung, das als erste Gleichung betrachtet werden kann. Hier sieht das grafische Bild dieses Baums aus
Der Baum besteht aus zwei Ebenen nach Anzahl der Gleichungsvariablen. Die erste Ebene beschreibt die erste Variable. Die beiden Zweige dieser Ebene spiegeln die möglichen Werte dieser Variablen - 1 und 0 auf. Auf der zweiten Ebene des Baumasts reflektieren nur diese möglichen variablen Werte, für die die Gleichung den Wert der Wahrheit ergreift. Da die Gleichung die Implikation angibt, erfordert der Zweig, auf dem er 1 wird, dass der Wert von 1. der Zweig, auf dem er 0 hat, zwei Zweige mit Werten erzeugt, wobei die Werte gleich 0 und 1. der aufgebaute Baum erzeugt drei Lösungen Welche Implikation nimmt einen Wert 1. In jedem Zweig ist ein geeigneter Satz variabler Werte, die die Lösung der Gleichung ergibt, entlassen.
Dies sind diese Sets: ((1, 1), (0, 1), (0, 0))
Wir werden weiterhin einen Lösungsbaum erstellen, indem wir folgende Implikation die folgende Gleichung hinzufügen. Die Besonderheiten unseres Gleichungssystems sind, dass jede neue Gleichung des Systems eine Variable von der vorherigen Gleichung verwendet und eine neue Variable hinzufügt. Da die Variable bereits Werte auf einem Baum hat, auf allen Zweigen, in denen die Variable 1 ist, hat die Variable auch einen Wert 1. Für solche Zweige wird der Bau eines Baums auf der nächsten Ebene fortgesetzt, aber neue Zweige dienen nicht auftauchen. Der einzige Zweig, in dem die Variable 0 ist, wird verzweigt in zwei Zweige, wobei die Variable den Wert 0 und 1 empfängt. Somit fügt jeweils eine neue Gleichung, angesichts seiner Spezifität, eine Lösung hinzu. Quelle erste Gleichung:
hat 6 Lösungen. Hier ist der volle Baum von Lösungen für diese Gleichung:
Die zweite Gleichung unseres Systems ist dem ersten ähnlich:
Der einzige Unterschied besteht darin, dass die Gleichungen Variablen y verwenden. Diese Gleichung hat auch 6 Lösungen. Da jede Lösung für Variablen mit jeder Lösung für Variablen kombiniert werden kann, ist die Gesamtzahl der Lösungen gleich 36.
Hinweis, der baute Lösungsbaum gibt nicht nur die Anzahl der Lösungen (durch die Anzahl der Zweige), sondern auch die Entscheidungen selbst, die sich auf jedem Zweig des Baums entlassen haben.
Aufgabe 19
Wie viele verschiedene Werte von Werten der logischen Variablen X1, X2, X3, X4, X5, Y1, Y2, Y3, Y4, Y5, die alle unten aufgeführten Bedingungen erfüllen?
Diese Aufgabe ist eine Änderung der vorherigen Aufgabe. Der Unterschied besteht darin, dass eine andere Gleichung, die die Variablen X und Y anschließt, zugegeben wird.
Es folgt aus der Gleichung, dass, wenn er einen Wert von 1 (eine solche Lösung existiert, vorhanden ist), dann ist es wichtig, dass es ankommt. Somit gibt es einen eingestellten, auf dem die Werte von 1. gleich 0 möglicherweise einen beliebigen Wert als 0 haben können So und 1. Daher entspricht jedes mit 0 eingestellte, und solche Sätze 5 entsprechen allen 6 Sätzen mit variabler y. Daher ist die Gesamtzahl der Lösungen gleich 31.
Aufgabe 20.
Lösung: Erinnern an die wichtigste Äquivalenz, schreibt unsere Gleichung in das Formular aus:
Die cyclische Kette der Implikationen bedeutet Identität von Variablen, so dass unsere Gleichung der Gleichung entspricht:
Diese Gleichung hat zwei Lösungen, wenn alle entweder 1 oder 0 gleich sind.
Aufgabe 21.
Wie viele Lösungen haben eine Gleichung:
Lösung: Wie bei dem Problem 20 bewegen wir uns mit zyklischen Auswirkungen auf die Identitäten, wodurch die Gleichung im Formular umgeschrieben wird:
Wir erstellen den Lösungsbaum für diese Gleichung:
Aufgabe 22.
Wie viele Lösungen haben das folgende Gleichungssystem?
Lösen des Systems logischer Gleichungen durch Austauschen von Variablen
Das variable Ersetzungsmethode wird verwendet, wenn einige Variablen nur als spezifischer Ausdruck in den Gleichungen enthalten sind und in keiner Weise anders ist. Dann kann dieser Ausdruck eine neue Variable bezeichnet werden.
Beispiel 1.
Wie viele verschiedene Werte von Werten der logischen Variablen X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7, X8, die alle unten aufgeführten Bedingungen erfüllen?
(x1 → x2) → (x3 → x4) \u003d 1
(x3 → x4) → (x5 → x6) \u003d 1
(x5 → x6) → (x7 → x8) \u003d 1
Als Antwort müssen Sie nicht alle unterschiedlichen Wertegruppen der Variablen X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7, X8 auflisten, unter denen dieses System der Gleichungen durchgeführt wird. Als Antwort müssen Sie die Anzahl solcher Sets angeben.
Entscheidung:
(x1 → x2) \u003d y1; (x3 → x4) \u003d y2; (x5 → x6) \u003d y3; (x7 → x8) \u003d y4.
Dann können Sie das System in Form einer Gleichung schreiben:
(Y1 → y2) ∧ (y2 → y3) ∧ (y3 → y4) \u003d 1. Die Verbindung beträgt 1 (true), wenn jeder Operand Wert 1 akzeptiert. Jede der Implikationen muss true sein, und dies wird bei allen Werten ausgeführt, außer (1 → 0). Jene. In der Tabelle der Werte der Variablen y1, y2, y3, y4 sollte das Gerät nicht links von der linken Seite von Null stehen:
Jene. Die Bedingungen werden für 5 Sätze von Y1-Y4 durchgeführt.
weil y1 \u003d x1 → x2, dann wird der Wert y1 \u003d 0 auf einem einzigen Satz X1, X2: (1, 0) erreicht, und der Wert Y1 \u003d 1 - an drei Sätzen X1, X2: (0,0), (0 , 1), (1,1). Ähnlich wie Y2, Y3, Y4.
Da jeder Satz (X1, X2) für eine Variable Y1 mit jedem Satz (X3, X4) für eine variable Y2 usw. kombiniert ist, wird die Anzahl der Variablensätze x multipliziert:
|
Anzahl der Sets auf x1 ... x8 |
||||
Bewegen der Anzahl der Sätze: 1 + 3 + 9 + 27 + 81 \u003d 121.
Antworten: 121
Beispiel 2.
Wie viele verschiedene Sätze logischer Variablen x1, x2, ... x9, y1, y2, ... y9, die alle unten aufgeführten Bedingungen erfüllen?
(¬ (x1 ≤ y1)) ≡ (x2 ≤ y2)
(¬ (x2 ≤ y2)) ≡ (x3 ≡ y3)
(¬ (x8 ≤ y8)) ≡ (x9 ≡ y9)
In Beantwortung nicht nötiglisten Sie alle verschiedenen Wertegruppen von Variablen X1, X2, ... x9, y1, y2, ... y9 auf, unter denen dieses System von Gleichungen gemacht wird. Als Antwort müssen Sie die Anzahl solcher Sets angeben.
Entscheidung:
Wir werden die Variablen ersetzen:
(x1 ≡ y1) \u003d z1, (x2 ≤ y2) \u003d z2, .... (x9 ≡ y9) \u003d z9
Das System kann als einzelne Gleichung geschrieben werden:
(¬ z1 ≡ z2) ∧ (¬ z2 ≡ z3) ∧ ... ..∧ (¬ z8 ≡ z9)
Die Äquivalenz ist nur wahr, wenn beide Operanden gleich sind. Entscheidungen dieser Gleichung werden zwei Sätze sein:
| z1. | z2. | z3. | z4. | z5. | z6. | z7. | z8. | z9. |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
weil Zi \u003d (xi ≡ yi), dann entspricht der Wert Zi \u003d 0 zwei Sätze (xi, yi): (0,1) und (1,0), und der Wert Zi \u003d 1 ist zwei Sätze (Xi, Yi): (0 0 ) und (1,1).
Dann entspricht der erste Satz Z1, Z2, ..., Z9 2 9 Sätze (x 1, y1), ..., (x9, y9), ..., (x9, y9).
Der gleiche Betrag entspricht dem zweiten Satz Z1, Z2, ..., Z9. Dann nur 2 9 +2 9 \u003d 1024 Sätze.
Antworten:1024
Lösen des Systems logischer Gleichungen durch das Verfahren der visuellen Bestimmung der Rekursion.
Diese Methode wird verwendet, wenn das Gleichungssystem ziemlich einfach ist und die Reihenfolge der Erhöhung der Anzahl der Sets beim Hinzufügen von Variablen offensichtlich ist.
Beispiel 3.
Wie viele verschiedene Lösungen hat ein System von Gleichungen?
¬x9 ∨ x10 \u003d 1,
wo x1, x2, ... x10 - logische Variablen?
Als Antwort müssen Sie nicht alle verschiedenen Wertesätze X1, X2, ... x10 auflisten, an denen dieses System von Gleichungen gemacht wird. Als Antwort müssen Sie die Anzahl solcher Sets angeben.
Entscheidung:
Führen Sie die erste Gleichung aus. Dyssiaation ist 1, wenn mindestens einer seiner Operanden 1 ist. Entscheidungen sind Kits:
Für X1 \u003d 0 gibt es zwei Werte X2 (0 und 1), und für X1 \u003d 1 ist nur ein Wert x2 (1), so dass der Satz (X1, X2) eine Lösung der Gleichung ist. Insgesamt 3 Sätze.
Fügen Sie eine Variable X3 hinzu und betrachten Sie die zweite Gleichung. Es ist dem ersten ähnlich, es bedeutet für X2 \u003d 0, es gibt zwei Werte x3 (0 und 1), und für X2 \u003d 1 ist nur ein Wert x3 (1), so dass der Satz (x2, x3) ist eine Lösung der Gleichung. Insgesamt 4 Sätze.
Es ist leicht zu bemerken, dass ein Satz beim Hinzufügen einer anderen Variablen hinzugefügt wird. Jene. Rekursive Formel für die Anzahl der Sets auf (i + 1) Variablen:
N i +1 \u003d n i + 1. Dann erhalten wir für zehn Variablen 11 Sätze.
Antworten: 11
Lösung von Systemen logischer Gleichungen verschiedener Typen
Beispiel 4.
Wie viele verschiedene Werte von logischen Variablen x 1, ..., x 4, y 1, ..., y 4, z 1, ..., z 4, die alle unten aufgeführten Bedingungen erfüllen?
(x 1 → X 2) ∧ (x 2 → x 3) ∧ (x 3 → x 4) \u003d 1
(Y 1 → y 2) ∧ (y 2 → y 3) ∧ (y 3 → y 4) \u003d 1
(Z 1 → Z 2) ∧ (Z 2 → Z 3) ∧ (Z 3 → Z 4) \u003d 1
x 4 ∧ y 4 ∧ z 4 \u003d 0
In Beantwortung nicht nötig Listen Sie alle verschiedenen Wertegruppen von Variablen X 1, ..., X 4, Y 1, ..., Y 4, Z 1, ..., Z 4 auf, unter dem dieses System der Gleichungen hergestellt ist.
Als Antwort müssen Sie die Anzahl solcher Sets angeben.
Entscheidung:
Beachten Sie, dass die drei Gleichungen des Systems auf verschiedenen unabhängigen Variablensätzen gleich sind.
Betrachten Sie die erste Gleichung. Die Verbindung trifft auf (gleich 1) nur, wenn alle ihre Operanden wahr sind (gleich 1). Die Implikation ist auf allen Sätzen 1, außer (1.0). Dies bedeutet, dass die Lösung der ersten Gleichung solche Kits X1, X2, X3, X4 sein wird, in denen 1 nicht wert ist, dass es 0 (5 Sätze) hinterlassen ist:
In ähnlicher Weise werden die Lösungen der zweiten und der dritten Gleichung absolut die gleichen Kits y1, ..., y4 und z1, ..., z4 sein.
Jetzt analysieren wir die vierte Gleichung des Systems: X 4 ∧ y 4 ∧ z 4 \u003d 0. Die Lösung ist alle Kits X4, Y4, Z4, in dem mindestens eine der Variablen 0 ist.
Jene. Für X4 \u003d 0 sind alle möglichen Kits (Y4, Z4) geeignet, und für x4 \u003d 1 sind Sätze (Y4, Z4) geeignet, in denen mindestens ein Null vorhanden ist: (0, 0) (0,1 ), (1, 0).
|
Anzahl der Sets. |
||||
Die Gesamtzahl der Sets 25 + 4 * 9 \u003d 25 + 36 \u003d 61.
Antworten: 61
Lösung von Systemen logischer Gleichungen durch das Verfahren zum Erstellen wiederkehrender Formeln
Das Verfahren zum Konstruieren von wiederkehrenden Formeln wird bei der Lösung komplexer Systeme verwendet, bei der die Reihenfolge der Erhöhung der Anzahl der Sätze nicht offensichtlich ist und der Bau des Baums aufgrund von Volumina unmöglich ist.
Beispiel 5
Wie viele verschiedene Sätze von logischen Variablen X1, X2, ... x7, y1, y2, ... x7, y1, y2, ... y7, die alle unten aufgeführten Bedingungen erfüllen?
(x1 ∨ y1) ∧ ((x2 ∧ y2) → (x1 ∧ y1)) \u003d 1
(x2 ∨ y2) ∧ ((x3 ∧ y3) → (x2 ∧ y2)) \u003d 1
(x6 ∨ y6) ∧ ((x7 ∧ y7) → (x6 ∧ y6)) \u003d 1
Die Antwort muss nicht alle verschiedenen Wertesätze der Variablen x1, x2, ..., x7, y1, y2, ..., x7, y1, y2, ..., y7 auflisten Dieses Gleichbarkeitssystem wird gemacht. Als Antwort müssen Sie die Anzahl solcher Sets angeben.
Entscheidung:
Beachten Sie, dass die ersten sechs Systemgleichungen gleich sind und sich nur in einem Satz von Variablen unterscheiden. Betrachten Sie die erste Gleichung. Seine Lösung wird die folgenden Variablensätze sein:
Bezeichnen:
die Anzahl der Sätze (0,0) auf Variablen (x1, y1) über eine 1,
anzahl der Sätze (0,1) auf Variablen (x1, y1) über B 1,
die Anzahl der Sets (1.0) auf den Variablen (x1, y1) bis c 1,
die Anzahl der Sätze (1.1) auf den Variablen (x1, y1) bis d 1.
die Anzahl der Sätze (0,0) auf Variablen (x2, y2) über A 2,
anzahl der Sätze (0,1) auf Variablen (x2, y2) über B 2,
anzahl der Sätze (1.0) auf Variablen (x2, y2) bis c 2,
die Anzahl der Sätze (1.1) auf den Variablen (x2, y2) bis d 2.
Aus Holzlösungen sehen Sie das
A 1 \u003d 0, B 1 \u003d 1, C 1 \u003d 1, D 1 \u003d 1.
Beachten Sie, dass der Satz (0,0) an den Variablen (x2, y2) von den Sätzen (0,1), (1,0) und (1,1) an den Variablen (x1, y1) erhalten wird. Jene. A 2 \u003d B 1 + C 1 + D 1.
Der Satz (0,1) an den Variablen (x2, y2) wird von den Sätzen (0,1), (1,0) und (1,1) an den Variablen (x1, y1) erhalten. Jene. B 2 \u003d B 1 + C 1 + D 1.
In ähnlicher Weise beachten wir, dass wir mit 2 \u003d B 1 + C 1 + D 1. D 2 \u003d d 1.
So erhalten wir wiederkehrende Formeln:
A i + 1 \u003d b i + c i + d i
B i + 1 \u003d b i + c i + d i
C i + 1 \u003d b i + c i + d i
D i + 1 \u003d a i + b i + c i + d i
Einen Tisch machen
| Sets | Besitzen. | Formel |
Anzahl der Sets. |
||||||
| i \u003d 1. | i \u003d 2. | i \u003d 3. | i \u003d 4. | i \u003d 5. | i \u003d 6. | i \u003d 7. | |||
| (0,0) | Ein I. | A i + 1 \u003d b i + c i + d i | 0 | 3 | 7 | 15 | 31 | 63 | 127 |
| (0,1) | B I. | B i + 1 \u003d b i + c i + d i | 1 | 3 | 7 | 15 | 31 | 63 | 127 |
| (1,0) | C I. | C i + 1 \u003d b i + c i + d i | 1 | 3 | 7 | 15 | 31 | 63 | 127 |
| (1,1) | D I. | D i + 1 \u003d d i | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Die letzte Gleichung (x7 ∨ y7) \u003d 1 erfüllt alle Kits, mit Ausnahme derjenigen, in denen x7 \u003d 0 und y7 \u003d 0 ist. Unser Tisch ist die Anzahl solcher Sätze A 7.
Dann ist die Gesamtzahl der Sätze B 7 + C 7 + D 7 \u003d 127 + 127 + 1 \u003d 255
Antworten: 255
UDC 004.023.
Semenov Sergey Maksimovich.
Wladiwostok State University of Economics and Service Russland. Wladiwostok.
Bei einer Methode zur Lösung von Systemen logischer Gleichungen
Es wird ein Verfahren zur Bestimmung der Anzahl der Lösungen eines Systems logischer Gleichungen berücksichtigt. Die Methode basiert auf dem Bau von Holzlösungen und der Bestimmung wiederkehrender Verhältnisse für N. Die Anwendung der entwickelten Methode stellt einen konstruktiven Ansatz zur Lösung des Problems von B15 EGE bereit.
Schlüsselwörter und -sätze: System der logischen Gleichungen, Holzlösungen, wiederkehrende Beziehungen, B15, EGE.
In der Praxis ist das System der logischen Gleichungen bei der Entwicklung digitaler Logikgeräte nützlich. Eine der Aufgaben der EGE auf der Computerwissenschaft wird der Lösung von logischen Gleichungen gewidmet. Leider erlauben verschiedene bekannte Wege, dieses Problem zu lösen, nicht zu einem Einsatz, um diese Aufgabe zu lösen. Infolgedessen verursacht die Lösung des Problems große Schwierigkeiten der Absolventen. Wir bieten einen Weg, um Systeme von logischen Gleichungen zu lösen, was einen Abschluss ermöglicht, einem gut definierten Algorithmus zu folgen. Die Idee dieser Methode ist in dargelegt. Wir haben diese Idee angewendet und entwickelt (bauen eine Baumlösungen), die fast die Wahrheitstische für den gesamten Baum verwendet. Bei der Lösung verschiedener Probleme stellte sich heraus, dass die Anzahl der Lösungen vieler logischer Gleichungen wiederkehrende Verhältnisse wie Fibonacci usw. unterliegt.
Systeme von logischen Gleichungen. Wir halten uns an den folgenden Bezeichnungen an: Disjunktion (+), Konjunktion (), ohne (©), Implikation (-\u003e ■), Äquivalenz (\u003d), Ablehnung (- ■). In den Figuren bezeichnet der dunkle Kreis 1, und der Lichtkreis ist 0. FL - Die Anzahl der Lösungen bei X1, gleich 1, gleich 1. FO - die Anzahl der Lösungen bei X1, gleich 0 - n - die Anzahl der Variablen in das Gleichungssystem. F (n) \u003d F1 (n) + F0 (n) ist die Gesamtzahl der Lösungen.
Aufgabe 1. Es ist notwendig, die Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems (, Testnummer 2) zu finden.
Zuerst nehmen wir X1 \u003d 1. Dann können dann für die erste Gleichung die Werte von x2 und xs beliebig sein. Somit ist der Baum auf der dritten Ebene gebaut. Als Nächstes, unter Berücksichtigung von X2 und XS, wählen Sie X4. Danach wird der Algorithmus für jedes Dreifach von Variablen wiederholt (Abb. 1). Ab dem vierten Pegel kann darauf hingewiesen werden, dass fl (4) \u003d fl (3) + fl (1), fl (5) \u003d fl (4) + fl (2). So erhalten wir fl (n) \u003d fl (n - 1) + fl (n-3) (1)
Feige. 1. Aufgabe 1.
Aus Gleichung (1) folgt:
BH (8) \u003d 16 + 7 \u003d 23,
FL (9) \u003d 23 + 11 \u003d 34.
Um einen Baum von Null zu erstellen, können Sie den unteren Zweig von FIG. 1. Es ist leicht zu sehen, dass es den Hauptbaum wiederholt, aber mit einer Verschiebung nach rechts auf 2
Gesamt, F (9) \u003d FL (9) + FO (9) \u003d 34 + 16 \u003d 50.
Beim Aufbau einer Baumlösungen können Sie sich visuell wiederkehrende Beziehungen herstellen, um die Anzahl der Lösungen in N zu bestimmen.
Das Prinzip der mathematischen Induktion liest: Lassen Sie eine Folge von FL-, F2-, FD-Anweisungen geben und die erste Aussage-Aussage richtig lassen. Wir können nachweisen, dass die Fantasie der Fn-Anweisung der Treue von FN + L folgt. Dann sind alle Anweisungen in dieser Reihenfolge wahr.
Betrachten 2 für die Aufgabe 1.
k2\u003e 3 x 5 Hb x7
Feige. 2. Analyse des Lösungsbaums
Fig. 2 zeigt die Formen mit einem Gesamtverteiler (Kombinationen variabler Werte) für die ersten fünf Systemgleichungen. In jeder Gleichung sind drei Variablen beteiligt, so dass die Figuren aus den Werten von drei Variablen (drei Holzstufen) zusammengestellt werden. Um die Zahlen zu ermitteln, wäre es möglich, Notation einzuführen. Wir werden jedoch wie folgt vorgehen: Jede Figur wird mit der Anzahl der Komponenten seiner Kreise (Variablenwerte) in Übereinstimmung gesetzt. Dann erhalten wir folgende Gleichungen für die Reihenfolge:
4. 7, 4, 4, 1, 7
5. 7, 4, 4, 1, 7, 7, 4.
Aus der Gleichung 4 ist ersichtlich, dass die Figuren für die Gleichung n aus den Figuren der N-1-Gleichung und den Figuren der N-3-Gleichung bestehen. Es ist wichtig, dass es keine anderen Figuren gibt und nicht für diese Art von Gleichungen sein kann, dh der Übergang von einer Gleichung zur anderen wird erzeugt, indem die Anzahl der Zahlen aus einem begrenzten Satz nach streng definierten Regeln erhöht wird. Diese Tatsache ist basic, um die Induktion zu behaupten, dass für die Gleichung n + 1 ein Satz von Figuren aus Figuren der Gleichung n und den Figuren der N-2-Gleichung bestehen wird.
Eine andere Möglichkeit, die Zahlen zu identifizieren, besteht darin, die Anzahl der Werte von Variablen auf der letzten Ebene für diese Gleichung zu ermitteln, d. H. Sie müssen von der Nummer der Gleichung auf die Baumstufennummer gehen, da wir das Bestimmen müssen Anzahl der Lösungen für das Gleichungssystem, dann erhalten wir für den aufgebauten Baum eine Sequenz: 1, 2, 4, 5, 7, 11, 16. Für diese Reihenfolge ist die Formel gültig: FN \u003d FN - 1 + FN- 3.
In Übereinstimmung mit unseren Argumenten trifft diese Formel für N + 1 und in der Induktion und in der Induktion und für jeden N.
Die angegebene Proof-Methode kann für alle Systeme dieses Typs verwendet werden. In der Praxis reicht es aus, das wiederkehrende Verhältnis für den Niveau n zu bestimmen, da er auf einem begrenzten Satz von Figuren und Verfahren ihrer Transformationen während des Übergangs von der Gleichung basiert, der dem Pegel N entsprechend der Gleichung der N + 1 entspricht Niveau.
Aufgabe 2. Es ist notwendig, die Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems (4.16) zu finden (4.16)
(X1 \u003d x2) + (x1 \u003d x3) \u003d 1 (x2 \u003d xs) + (x2 \u003d x4) \u003d 1 (xs \u003d x4) + (xs \u003d x5) \u003d 1 (x4 \u003d x5) + (x4 \u003d x6) \u003d 1 (x5 \u003d x6) + (x5 \u003d x7) \u003d 1
Xi x2 xs\u003e: 1 x 5 hb x7
Feige. 3. Task 2.
Um die Anzahl der Lösungen der Task 2 zu erhalten, konnte der Lösungsbaum nicht vollständig aufgebaut werden (Abb. 3), da es offensichtlich ist, dass fl (n) \u003d N. in ähnlicher Weise fo (n) \u003d n. insgesamt f (7) \u003d 7 + 7 \u003d vierzehn.
Aufgabe 3. Es ist notwendig, die Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems (, Testnummer 1) zu finden.
(X1 ^ x2) ■ (x2 ^ xs) ■ (xs ^ x4) ■ (x4 ^ x5) \u003d 1
(Yl ^ y2) ■ (u2 ^ yz) ■ (yz ^ y4) ■ (yz ^ y4) ■ (y4 ^ y5) \u003d 1
(Yl ^ x1) ■ (u2 ^ x2) ■ (yz ^ xs) ■ (Y4 ^ x4) ■ (y5 ^ x5) \u003d 1
Fig. 4 zeigt die Bäume von Lösungen für X und Y und die entsprechenden Wahrheitstabellen sind gezeigt.
Feige. 4. Aufgabe 3.
Von den ersten beiden Gleichungen, da X und Y unabhängig sind, folgt, dass die Gesamtzahl der Lösungen F (5) \u003d 6 * 6 \u003d 36. Um die dritte Gleichung zu berücksichtigen, ist es notwendig, für jede Variable y zu berechnen, Welche Anzahl von Sets aus Tabelle X erfüllt nicht die Gleichung. Die Implikation von yi ^ xi \u003d 0, wenn yi \u003d 1 und xi \u003d 0. Mit anderen Worten, für YL \u003d 1, erfüllt die dritte Gleichung nicht alle Linien von der Tabelle X, wobei x1 \u003d 0. die Anzahl von Solche Saiten sind 5. Für Y2 \u003d 1 Zeilen - 4 usw. Die Gesamtzahl der Zeilen, die die dritte Gleichung nicht erfüllen, beträgt 5 + 4 + 3 + 2 + 1 \u003d 15.
Somit beträgt die Gesamtzahl der zulässigen Lösungen gleich 36 - 15 \u003d 21. Aufgabe 4. Es ist notwendig, die Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems (4.17.A) zu finden (4.17.A)
(X1 \u003d x2) + (x1 \u003d x3) \u003d (x2 \u003d x3) + (x2 \u003d x4) \u003d (x4 \u003d x5) + (x4 \u003d x6) \u003d (x5 \u003d x6) \u003d (x5 \u003d x6) + (x5 \u003d x7) \u003d (Hb \u003d X7) + (Hb \u003d x8) \u003d (x5 \u003d x6) \u003d 0
Feige. 5. Task 4.
Für dieses Beispiel ist es schwierig, die endgültige Formel F (n) zu bestimmen, es ist einfacher, einen Lösungsbaum bis zum Ende (oder mindestens zu x6) zu erstellen. Abbildung 5 zeigt den aufgebauten Lösungsbaum. Infolgedessen erhalten wir F (8) \u003d FL (8) + FO (8) \u003d 5 + 5 \u003d 10.
Aufgabe 5. Es ist notwendig, die Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems (4.17.b) zu finden (4.17.b)
(X1 \u003d x2) + (x1 \u003d x3) \u003d 1 (x2 \u003d x3) + (x2 \u003d x4) \u003d 1 (x3 \u003d x4) + (x3 \u003d x5) \u003d 1 (x4 \u003d x5) + (x4 \u003d x6) + (x4 \u003d x6) \u003d 1 (x5 \u003d x6) + (x5 \u003d x7) \u003d 1 (x6 \u003d x8) \u003d 1
Für dieses Beispiel ist es für das vorherige Beispiel einfacher, ein Baumlösungen am Ende zu bauen (Abb. 6). Infolgedessen erhalten wir F (8) \u003d FL (8) + FO (8) \u003d 7 + 7 \u003d 14.
Aufgabe 6. Es ist notwendig, die Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems zu finden ([!]\u003e 4.17.V)
(X! 8 "x2) + (x2Hz) \u003d 1 (x2fx) + (xs \u003d x4) \u003d 1 (xs8" x4) + (x4 \u003d x5) \u003d 1 (x4 © x5) + (x5 \u003d Hb) \u003d 1 (X5FHB) + (Hb \u003d X7) \u003d 1 (Hb © x7) + (x7 \u003d x8) \u003d 1 Der Lösungsbaum ist in Fig. 1 gezeigt. 7.
XI x2 xs x4 x5 x6 x7 x7 x 5 x6 x4 x6 x6 x6 x6 x7 x8
Feige. 6. Task 5 FIG. 7. Aufgabe 6.
Für dieses Gleichungssystem war es nicht möglich, einen kompletten Lösungsbaum zu erstellen, da bereits aus dem dritten vierten Schritt klar ist, dass F1 (n) \u003d N. leicht zu sehen ist, dass fo (n) aus erhalten werden kann ein Baum, der auf der zweiten Ebene von Null beginnt. Dann fo (n) \u003d n. Insgesamt f (8) \u003d fl (8) + fo (8) \u003d 8 + 8 \u003d 16.
Aufgabe 7. Sie müssen die Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems finden
(X4h5) + (x4 © x6) \u003d 1 (x5 © HB) + (x5 © x7) \u003d 1
Beachten Sie das, wenn x! \u003d X2 \u003d 1, die erste Gleichung wird bei xs \u003d 0 ausgeführt. Wir erstellen zunächst einen Baum für XL \u003d X2 \u003d 1 (Fig. 8). Dann die Anzahl der Lösungen fl (n) \u003d fLL (n) + flo (n).
XI X2 XS X4 X5 X6 X7 X8
Feige. 8. Aufgabe 7.
Aus Fig. 8 ist ersichtlich, dass die Anzahl der Lösungen F11 (n) \u003d F11 (n - 1) + F11 (N-2). Mit anderen Worten, die Anzahl der Lösungen wird durch Fibonacci-Nummern beschrieben. Der zweite Baumzweig für F10 kann nicht gebaut werden, da er aus Fig. 2 herausstellt. 1, ab der zweiten Ebene. Dann f10 (n) \u003d f11 (n + 1). Wir erhalten schließlich diese FLL (8) \u003d 1Z und FLO (8) \u003d FLL (9) \u003d 1z + 8 \u003d 21. Dann fl (8) \u003d FLL (8) + FLO (8) \u003d 1z + 21 \u003d C4.
Um F0 (n) zu erhalten, ist es auch nicht erforderlich, den Lösungsbaum aufzubauen, da er aus Fig. 1 erhalten wird. 1 Ab der dritten Ebene. Dann fo (n) \u003d fll (n + 2). Von hier aus erhalten wir, dass fo (8) \u003d FLL (10) \u003d FLL (9) + FLL (8) \u003d 21 + 1Z \u003d C4. Somit die Gesamtzahl der Lösungen F (8) \u003d F1 (8) + F0 (8) \u003d Z4 + Z4 \u003d 68.
Aufgabe 8. Es ist notwendig, die Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems ([s], Task 2) zu finden.
(X1 + x2) ^ (xs + x4) \u003d 1 (xs + x4) ^ (x5 + x6) \u003d 1 (x 5 + x6) ^ (x7 + x8) \u003d 1 (x7 + x8) ^ (x9 + x10) ^ (x9 + x10) \u003d 1.
Ersetzen (x1 + x2) \u003d yl usw. Und wir erhalten das Gleichungssystem:
^ ^ Y2 \u003d 1 y2 ^ yz \u003d 1 yz ^ y4 \u003d 1 y4 ^ y5 \u003d 1
Der Lösungsbaum und die Wahrheitstabelle für dieses System sind genau mit dem Baum überfallen und der in Fig. 1 gezeigte Tabelle. 4. Unter Berücksichtigung der Substitution beachten wir, dass der Ausdruck (x1 + x2) in drei Fällen einem in drei Fällen entspricht (mit Ausnahme der Option, wenn beide Variablen Null sind).
Da die Variablen y unabhängig sind, dann für die erste Reihe der in Fig. 1 gezeigten Wahrheitstabelle. In Fig. 4 beträgt die Anzahl der verschiedenen Kombinationen 35, für die zweite Zeile - 34 usw. Die Gesamtzahl der verschiedenen Kombinationen beträgt 35 + 34 + 33 + 32 + 31 + 30 \u003d 364.
Aufgabe 9. Es ist notwendig, die Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems (, Task 4) zu finden.
(^ ^) ■ (-x ^ x) ■ № ^ x) ■ (-x ^ kz) \u003d 1 Nr. ^ Y2) ■ (U1 ^ yz) ■ (-G1 ^ y4) ■ (U1 ^ y5) \u003d 1 (-x + y 1) ■ (-x + y5) \u003d 1
Für X und Y haben wir folgende Lösungsbäume
Feige. 9. TASK 8.
Unter Berücksichtigung der dritten Gleichung erhalten wir folgende vier Kombinationsgruppen:
A - C: 4 * 4 \u003d 16 ((- £ 1 + y 1) ■ (-x + y5) \u003d (0 + 1) ■ (0 + 1) \u003d 1) B - C: 4 * 4 \u003d 16 ( (-X + y 1) ■ (-x + y5) \u003d (1 + 1) ■ (1 + 1) \u003d 1) A - D: \u003d 0 (0 + 0) ■ (-x + y5) \u003d 0) B - D: 4 * 4 \u003d 16 (1 + 0) ■ (1 + y5) \u003d 1) insgesamt sind 48 Lösungssätze.
Aufgabe 10. Es ist notwendig, die Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems (^ 1 \u003d b) + (xz \u003d x)) ■ \u003d ъ) + -fz \u003d x4)) \u003d 1 ((x3 x4) + ( x5 \u003d x6)) ■ (- (x \u003d x) + - (x \u003d x6)) \u003d 1 ((x5 \u003d x6) + ^ 7 \u003d x ") ■ (- (x \u003d x6) + - (^ 7 \u003d x8)) \u003d 1
((X9 \u003d x8) + (x9 \u003d xlo)) ■ (- ^ 7 \u003d x8) + \u003d XLO)) \u003d 1 Wir ersetzen: (xl \u003d b) \u003d yl (xz \u003d x4) \u003d y2
(X5 \u003d x) \u003d yz (x7 \u003d x8) \u003d y4 (x9 \u003d x10) \u003d y5
(Y ^ 2) ■ (- + ^) \u003d 1
(Y2 + yz) ■ № + -TZ) \u003d 1
(Yz + y4) ■ № + ^) \u003d 1
(Y4 + Y5) ■ (^ 4 + ^) \u003d 1
Abbildung 10 zeigt den Lösungsbaum
U1 U2 UZ U4 U5
Feige. 10. TASK 10.
Aufgabe 11. Es ist notwendig, die Anzahl der Lösungen des Systemsystems (Beispiel 2) zu finden.
X1 + x2 \u003d 1 -х2 + xs \u003d 1
Abbildung 11 zeigt den Lösungsbaum. Wir beschränkt auf die vier Ebenen anstelle von zehn, da es offensichtlich ist, dass F1 (n) \u003d 1 und F0 (n) \u003d N. dann p (s) \u003d p1 (s) + bosi) \u003d 1 + N. in unserem Fall p (10) \u003d 1 + 10 \u003d 11.
Feige. 11. Task 11.
Aufgabe 12. Es ist notwendig, die Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems (, Beispiel H) zu finden.
(X1 \u003d x2) + (x2 \u003d xs) \u003d 1
(X1 \u003d xs) + (xs \u003d x4) (x1 \u003d x4) + (x4 \u003d x5) (x1 \u003d x5) + (x5 \u003d x6) (x1 \u003d x6) + (x6 \u003d x7) + (x6 \u003d x7) (x1 \u003d x7) + (X7 \u003d x8) (x1 \u003d x) + (x8 \u003d x9) (x1 \u003d x9) + (x9 \u003d x10) (x1 \u003d x10) \u003d 0
Feige. 12. Task 12.
Durch den Bau des Lösungsbaums von "1" (limit auf fünf Ebenen), beachten wir, dass FL (n) \u003d N. und die Werte des HN aus n-1-Zoll-Werten und einem Wert "1 ". Die letzte Gleichung in unserem System verbietet jedoch den Wert "1" für X10. Daher ist die Anzahl der Lösungen FL (10) \u003d 10 - 1. Es ist nicht schwierig zu beachten, dass der Lösungsbaum von "0" symmetrisch ist (anstelle von Nullen sind Einheiten). Daher f0 \u003d 10 - 1. Schließlich
F (n) \u003d 2 x 9 \u003d 18.
Aufgabe 13. Es ist notwendig, die Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems (, Beispiel 4) zu finden.
- (x1 \u003d x2) + (xs \u003d x4) \u003d 1
- (xs \u003d x4) + (x5 \u003d x) \u003d 1
- (x \u003d x) + (x7 \u003d x) \u003d 1
- (x7 \u003d x8) + (x9 \u003d x10) \u003d 1
Wir werden ersetzen:
(X1 \u003d x2) \u003d yl
(X5 \u003d x) \u003d yz
(X7 \u003d x8) \u003d y4
(X9 \u003d x10) \u003d y5
Wir schreiben ein System von Gleichungen mit dem Ersatz neu:
Aus der Task 11 ist ersichtlich, dass f (5) \u003d 5 + 1 \u003d 6 die Wahrheitstabelle in Fig. 1 dargestellt ist. 13
U1 U2 UZ U4 U5
Feige. 13. TASK 13.
Unter Berücksichtigung der Substitution beachten wir, dass der Ausdruck ^ \u003d x2) in zwei Fällen einem (oder null) gleich ist (wenn die Werte der Variablen zusammenfallen). Unter Berücksichtigung der Unabhängigkeit der Variablen für jede Zeile der Tabelle erhalten wir, dass die Anzahl der Lösungsmengen 25 \u003d 32 beträgt. Die Gesamtzahl der Lösungsmengen beträgt 6 * 32 \u003d 192.
Aufgabe 14. Es ist notwendig, die Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems (, Aufgabe 1) zu finden.
((X \u003d ъ) ■ (xz \u003d x4)) + (4x1 \u003d ъ) ■ - (x \u003d x)) \u003d 0 ((xz \u003d x4) ■ (x5 \u003d x6)) + (4x3 \u003d x4) ■ - (X \u003d x6)) \u003d 0
((X5 \u003d x) ■ (x7 \u003d x8)) + (- (x \u003d x6) ■ 4x7 \u003d x8)) \u003d 0 (((x7 \u003d x8) ■ (x9 \u003d x ",)) + (- (^ 7 \u003d x8) ■ ^ 9 \u003d XLO)) \u003d 0 Wir ersetzen:
Kommersant) \u003d yl (x \u003d ^ 4) \u003d y2
(X5 \u003d x6) \u003d yz ^ 7 \u003d x8) \u003d y4 ^ 9 \u003d xlo) \u003d y5
Wir schreiben ein System von Gleichungen mit dem Ersatz neu:
(Ul) + (-u "■ -u2) \u003d 0
(Y2 yz) + (-U2 ■ -U3) \u003d 0 (U3-U4) + (-U3 ■ -U4) \u003d 0 (U4-U5) + (-U4 ■ -U5) \u003d 0
(U2 \u003d yz) \u003d 0 (UZ \u003d U4) \u003d 0 (U4 \u003d U5) \u003d 0
Abbildung 14 zeigt den Lösungsbaum
U1 U2 UZ U4 U5
Feige. 14. Task 14.
Unter Berücksichtigung der Substitution beachten wir, dass der Ausdruck (x1 \u003d x2) in zwei Fällen gleich einem (oder null) ist (wenn die Werte der Variablen zusammenfallen). Unter Berücksichtigung der Unabhängigkeit von Variablen für jeden Baum erhalten wir, dass die Anzahl der Lösungssätze 25 \u003d З2 beträgt. Die Gesamtzahl der Lösungs-Sets beträgt 64.
Aufgabe 15. Es ist notwendig, die Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems (, Task 2) zu finden.
(X4 x5) + (-h4 -х5) + (x4 \u003d x) \u003d 1
(X5 x) + (-х -х6) + (x5 \u003d x7) \u003d 1
(X x7) + (-х -х7) + (x \u003d x8) \u003d 1
(X7 x) + (-х7 -х8) + (x7 \u003d x9) \u003d 1
(X8 x9) + (-х -х9) + (x8 \u003d x10) \u003d 1
(X1 \u003d x2) + (x1 \u003d xs) \u003d 1
(X \u003d xs) + (x2 \u003d x4) \u003d 1
(Xs \u003d x4) + (xs \u003d x5) \u003d 1
(X4 \u003d x5) + (x4 \u003d x) \u003d 1
(X5 \u003d x6) + (x5 \u003d x7) \u003d 1
(X \u003d x7) + (x6 \u003d x8) \u003d 1
(X7 \u003d x8) + (x7 \u003d x9) \u003d 1
(X \u003d x9) + (x8 \u003d x10) \u003d 1
Dieses System wiederholt das System jedoch von der Aufgabe 5, nur ohne den Grenzzustand für n \u003d 10. Dann ist die Anzahl der Lösungen f (n) \u003d f1 (n) + f0 (n) \u003d n + n. Bei n \u003d 10 Wir erhalten f (n) \u003d 20.
Aufgabe 16. Es ist notwendig, die Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems (, Task 3) zu finden.
(X1 x2) + (-х1 -х2) + (x1 \u003d xs) \u003d 1
(X2 xs) + (-m -khz) + (x2 \u003d x4) \u003d 1
(Xs x4) + (-khz -х4) + (xs \u003d x5) \u003d 1
(X4 x5) + (-х -х5) + (x4 \u003d Hb) \u003d 1
(X5 hb) + (-h-cHB) + (x5 \u003d x7) \u003d 1
(Hb x7) + (-chb -х7) + (Hb \u003d x8) \u003d 1
(X7 x8) + (-х7 -х8) + (x7 \u003d x9) \u003d 1
(X8 x9) + (-х8 -х9) + (x8 \u003d x10) \u003d 0
Dieses Gleichungssystem kann, wie in der vorherigen Aufgabe, umgeschrieben werden, als:
(Xi \u003d x2) + (xi \u003d xs) \u003d 1 (x \u003d xs) + (x2 \u003d x) \u003d 1 (xs \u003d x) + (xs \u003d x5) \u003d 1 (x \u003d x5) + (x4 \u003d Hb) \u003d 1 (x5 \u003d Hb) + (x5 \u003d x7) \u003d 1 (Hb \u003d x7) + (Hb \u003d x8) \u003d 1 (x \u003d x8) + (x7 \u003d x9) \u003d 1 (x \u003d x9) + (x8 \u003d Xx) \u003d 0
Aus der letzten Gleichung ist es einfach zu überprüfen, dass nach n \u003d 8 die Anzahl der Lösungen nicht mehr erhöht wird. Dann f (10) \u003d f (8) \u003d 8 + 8 \u003d 16.
Aufgabe 17. Es ist notwendig, die Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems (, Task 4) zu finden.
(X1 x2) + (-х1 -х2) + (x2 xs) + (-х2-khz) \u003d 1
(X2 xs) + (-х2-khz) + (xs x) + (-khz ■ -х4) \u003d 1
(Xs x) + (-khz -х4) + (x4 x5) + (-х4 -х5) \u003d 1
(X4 x) + (-x5) + (x 5 Hb) + (-H5-CHB) \u003d 1
(X5 hb) + (-h-cHB) + (Hb x7) + (-chb ■ -х7) \u003d 1
(Hb x7) + (-KHB -х7) + (x7 x8) + (-х7 -х8) \u003d 1
(X7 x) + (-х7 -х8) + (x8 x9) + (-х8 -х9) \u003d 1
(X8 x9) + (-х8 -х9) + (x9 x10) + (-х9 ■ -х10) \u003d 1
Beachten Sie, dass das Gleichungssystem umgeschrieben werden kann:
(X \u003d x2) + (x \u003d xs) \u003d 1 (x \u003d x) + (x \u003d x) \u003d 1 (xs \u003d x4) + (x4 \u003d x5) \u003d 1 (x \u003d x5) + (x5 \u003d Hb) \u003d 1 (x5 \u003d Hb) + (Hb \u003d x7) \u003d 1
(Hb \u003d x7) + (x7 \u003d x) \u003d 1 (x7 \u003d x8) + (x8 \u003d x9) \u003d 1 (x9 \u003d x 9) + (x9 \u003d x10) \u003d 1
In Fig. 15 ist der Baum auf dem fünften Pegel gebaut und ersichtlich ist, dass die Anzahl der Lösungen durch die Zahlen von Fibonacci beschrieben wird, dh fl (n) \u003d fl (n - 1) + fl (n-2 ). Dann fl (10) \u003d 89. Es ist einfach zu überprüfen, dass für F0 (n) der Baum symmetrisch ist. Daher fo (10) \u003d 89. B (10) \u003d P1 (10) + PO (10) \u003d 89 + 89 \u003d 178.
Feige. 15. Aufgabe 17.
Aufgabe 18. Es ist notwendig, die Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems (, Task 5) zu finden.
(X1 x2) + (-х1 -х2) + (x2 xs) + (-х2 ■ -KHz) \u003d 1
(X2 xs) + (-h -Hz) + (xs x4) + (-khz -х4) \u003d 1
(Xs x4) + (-khz -х4) + (x4 x5) + (-х4 ■ -х5) \u003d 1
(X4 x5) + (-х4 -х5) + (x Hb) + (-х5 ■ -HB) \u003d 1
(X5 hb) + (-h5 -hb) + (Hb x7) + (-kb ■ -х7) \u003d 1
(Hb x7) + (-HB -H7) + (x7 x8) + (-х7 ■ -х8) \u003d 1
(X7 x8) + (-х7 -х8) + (x8 x9) + (-х8 -х9) \u003d 1
(X8 x9) + (-х8 -х9) + (x9 x10) + (-х9 ■ -х10) \u003d 0
Beachten Sie, dass das Gleichungssystem umgeschrieben werden kann:
(X \u003d x2) + (x2 \u003d x3) \u003d 1 (x2 \u003d xs) + (xs \u003d x4) \u003d 1
(Xs \u003d x) + (x4 \u003d x5) \u003d 1 (x \u003d x5) + (x5 \u003d Hb) \u003d 1 (x \u003d Hb) + (Hb \u003d x7) \u003d 1 (Hb \u003d x7) + (x7 \u003d x8) \u003d 1 (x7 \u003d x8) + (x8 \u003d x9) \u003d 1 (x8 \u003d x 9) + (x \u003d x10) \u003d 0
Die Aufgabe 18 ist der Aufgabe 17 ähnlich, die letztere Gleichung führt jedoch dazu, dass die Anzahl der Lösungen seit dem siebten Niveau nicht steigt. Infolgedessen f (10) \u003d fl (10) + fo (10) \u003d fl (7) + fo (7) \u003d 21 + 21 \u003d 42.
Aufgabe 19. Es ist notwendig, die Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems (, Task B) zu finden.
(X \u003d x2) + (x \u003d x10) \u003d 1 (x \u003d xs) + (x2 \u003d x10) \u003d 1 (xs \u003d x4) + (x \u003d x10) \u003d 1 (x \u003d x5) + (x \u003d x10) \u003d 1 (x \u003d hb) + (x5 \u003d x10) \u003d 1 (Hb \u003d x7) + (Hb \u003d x10) \u003d 1 (x7 \u003d x) + (x \u003d x10) \u003d 1 (x8 \u003d x9) + (x \u003d X10) \u003d 1 (x9 \u003d x10) + (x9 \u003d x10) \u003d 1 (x \u003d x10) \u003d 0
- - - -*- - - -*-Über
Feige. 1b. Aufgabe 19
Lösungsbäume zum Erhalten von F1 (n) und F0 (n) sind in Fig. 2 gezeigt. 1b. Die Gleichung (x9 \u003d x10) \u003d 1 kann jedoch nicht durchgeführt werden. Daher hat das Gleichungssystem keine Lösungen.
Aufgabe 20. Es ist notwendig, die Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems (, Task 7) zu finden.
(X ^ x2) + (x ^ xz) \u003d 1 (x2 ^ xs) + (x2 * x4) \u003d 1 (xs ^ x4) + (xs ^ x5) \u003d 1 (x ^ x5) + (x4 ^ hb) \u003d 1 (x5 ^ hb) + (x5 ^ x7) \u003d 1 (HB ^ x7) + (HB ^ x8) \u003d 1
(X7 ^ xs) + (x7 ^ x9) \u003d 1 (xs ^ x9) + (xs ^ x10) \u003d 1
Abbildung 17 zeigt den Lösungsbaum von "1".
Feige. 17. TASK 20 FIG. 18. Aufgabe 20.
Anstelle von zehn Ebenen beschränkt wir uns auf fünf, da die Aufgabe der Aufgabe 17 ähnlich ist. Von "0" wird der Baum jedoch anders aussehen (Abb. 18).
Beachten Sie, dass F0 (n) \u003d fx (n + 1) - 1. dann fx (10) \u003d 89 und f0 (10) \u003d fx (11) - 1 \u003d 144 - 1. Gesamt, f (10) \u003d F1 ( 10) + F0 (10) \u003d 89 + 143 \u003d 232.
Abschließend geben wir ein Programm auf einem grundlegenden VBA an, mit dem Sie das System logischer Gleichungen lösen können. Das Programm kann erforderlich sein, um neue Gleichungen von Gleichungen zu erstellen. Abbildung 19 zeigt das Programm, mit dem das Gleichungssystem von der Task 7 gelöst ist.
In dem in FIG. 19, ein M-Array und Variable C enthalten Werte von Variablen, die das Gleichungssystem von der Task 7 erfüllen. Das Programm gibt die Antwort 68. Das Programm verwendet die Tatsache, dass die Anzahl der unterschiedlichen Werte der N-Logik Variablen sind 2N. Um alle Sätze zu erhalten, müssen Sie einen Zyklus von 0 bis 2n-1 ausführen. Die Zyklusgröße in jedem Schritt wird in das Binärsystem übersetzt, das Ergebnis wird in ein Array M geschrieben, und dann sind die Bedingungen des Gleichungssystems bereits überprüft. Um ein anderes System von Gleichungen zu lösen, reicht es aus, die Abmessung des M-Arrays M zu ändern, den Wert der VG-Variablen (gleich der Abmessung) zu ändern und die Gültigkeit der Überprüfung zu ändern.
Dim m (s) als Ganzzahl, k als Ganzzahl, J. Als Ganzzahl. _ J als Ganzzahl. N als ganzgere, vg als ganzgerechte dim mit als string vg \u003d s j-0
Für 1 bis 2 ■ "■" ■ VG "Zyklus von 1 bis 2n. Wobei n \u003d,. G für k \u003d 1 bis vg
N \u003d) .- 1: Binärer E-PR E C INSTALLIERT E NNO Startet von Grund auf K \u003d 1
Tun "^ tiils n\u003e 0" Übersetzung e binär xuramp m (k) \u003d n mod 2 k \u003d n ■ 2 k \u003d k +! Schleife.
Ifim (l) o m (2) oder m (l) 0- ni (3)) und_ "Gleichungsbedingungen (M (2) c \u003d "" "Die Variable aus jedem Schritt kann die Lösung des Systems für k \u003d 1 enthalten, das vg c \u003d c - foimat (m (k) j next k j-j-1 ende, wenn das nächste I. MS ^ EOX I "Anzahl der Lösungen VVVVVVVVVVV- -1 I. Feige. 19. Programm für Task 7 1. Wings S.S. EGE 2014. Informatik. Thematische Testaufgaben / S.S. Wironen, d.m. Ushakov. - M.: Publishing House "Prüfung". - 245 p. 2. Standort K.YU. Polyakova. Zugriffsmodus: http: //kpolyakov.namd.-ru/download/inf-2011-14.pdf 3. Methodischer zertifizierter Kurs der Firma "1c" "Vorbereitung auf die Prüfung in der Informatik. Modul 1 ". - M.: Verlag "1c". - 218 p. 4. Erfolgreich, um ECH in der Informatik zu passieren. Zugriffsmodus: http://infoegeehelp.ru/index.php?Itemid\u003d77&id\u003d103&option\u003dcom_con- Dieses Material enthält eine Präsentation, in der Methoden zum Lösen logischer Gleichungen und Systeme von logischen Gleichungen in der Aufgabe von B15 (Nr. 23, 2015) der EGE auf Informatik vorgestellt werden. Es ist bekannt, dass diese Aufgabe einer der komplexesten unter den Aufgaben der EGE ist. Die Präsentation kann bei der Durchführung von Lektionen auf dem Thema "Logik" in Profilklassen nützlich sein, sowie bei der Vorbereitung der Verwendung der Verwendung. Um die Vorschau der Präsentationen zu genießen, erstellen Sie ein Konto (Konto) Google und melden Sie sich an ihn an: https://accounts.google.com Lösung der Aufgabe von B15 (System der logischen Gleichungen) Vishnevskaya M.P., MAOU "Gymnasia №3" 18. November 2013, Saratov Die Aufgabe B15 ist eine der am schwierigsten in der Prüfung in der Informatik !!! Fähigkeiten werden geprüft: Konvertieren von Ausdrücke, die logische Variablen enthalten; Um in der natürlichen Sprache eine Vielzahl von logischen Variablenwerten zu beschreiben, in denen ein bestimmter Satz logischer Variablen wahr ist; Berechnen Sie die Anzahl der binären Sätze, die die angegebenen Bedingungen erfüllen. Das schwierigste, weil Es gibt keine formalen Regeln, wie es geht, eine Aufgabe ist erforderlich. Ohne nichts tut es nicht! Ohne nichts tut es nicht! Verbindungskonjunktion: A / \\ B, A B, AB, A & B, A und B-Dysuunction: A \\ / B, A + B, A | B und oder B Negation: A, A, keine Äquivalenz: A B, A B, A B, ohne "Oder": a B, A XOR B Verfahren zum Ersetzen von Variablen Wie viele verschiedene Sätze von logischen Variablen X1, X2, ..., X9, X10, die alle unten aufgeführten Bedingungen erfüllen: ((x1 ≡ x2) \\ / (x3 ≡ x4)) / \\ (¬ x1 ≡ x2) \\ / ¬ (x3 ≡ x4)) \u003d 1 ((x3 ≡ x4) \\ / (x5 ≡ x6)) / \\ (¬ · (x3 ≡ x4) \\ / ¬ (x5 ≡ x6)) \u003d 1 ( (x5 ≡ x6) \\ / (x7 ≡ x8)) / \\ (¬ · (x5 ≡ x7) \\ / ¬ (x7 ≡ x8)) \u003d 1 ((x7 ≡ x8) \\ / (x9 ≡ x10)) / \\ ( ¬ (x9 ≡ x8) \\ / ¬ (x9 ≡ x10)) \u003d 1 Als Antwort müssen Sie nicht alle verschiedenen Sätze aufzulisten x1, x2, ..., x9, x10, mit der dieses System der Gleichungen durchgeführt wird. Als Antwort müssen Sie die Anzahl solcher Sets angeben (Demoversion 2012) Lösungsschritt 1. Wir vereinfachen, indem wir die Variablen ersetzen t1 \u003d x1 x2 t5 \u003d x3 x4 t3 \u003d x5 x6 t5 t5 \u003d x7 x8 t5 \u003d x9 x10 nach Vereinfachung: (t1 \\ / t2) / \\ (¬ t1) \\ / ¬ t2) \u003d 1 (t2 \\ / t3) / \\ (¬ t2 \\ / ¬ t3) \u003d 1 (t3 \\ / t4) / \\ (¬ t3 \\ / ¬ t5) \u003d 1 (t4 \\ / t5) / \\ (¬ t5) \u003d 1 Betrachten Sie eine der Gleichungen: (t1 \\ / t2) / \\ (¬ t1 \\ / ¬ t2) \u003d 1 offensichtlich it \u003d 1 nur wenn einer der Variablen 0 ist, und das andere ist 1. Wir verwenden die Formel zum Ausdruck eines XOR-Betriebs über Verbindung und Disjunktion: (T1 \\ / T2) / \\ (¬ t2 \\ / ¬ t2) \u003d t1 t2 \u003d ¬ · (t1 ≡ t2) \u003d 1 ¬ ( T1 ≡ T2) \u003d 1 ¬ (t2 ≡ t3) \u003d 1 ¬ (t3 ≡ t4) \u003d 1 ¬ (t4 ≡ t5) \u003d 1 Schritt 2. Analyse des Systems ¬ (T1 ≡ T2) \u003d 1 ¬ (t2 ≡ t3) \u003d 1 ¬ (t3 ≡ t5) \u003d 1 ¬ (t4 ≡ t5) \u003d 1 t2 t2 t3 t5 t5 0 1 0 1 0 1 0 1 t .zu. Tk \u003d x2k-1 ≡ x2k (t1 \u003d x1 x2, ....), jeder Wert von tk entspricht zwei Paare von X2K-1- und X2K-Werten, z. B. TK \u003d 0 entsprechen zwei Paaren - (0,1) und (1, 0) und TK \u003d 1 - Paare (0,0) und (1,1). Schritt 3. Zählen der Anzahl der Lösungen. Jeder t hat 2 Lösungen, die Anzahl der T-5 Für Variablen gibt es 2 5 \u003d 32 Lösungen. Aber jedes t entspricht einem Paar von Entscheidungen x, d. H. Das Quellsystem hat 2 * 32 \u003d 64-Lösungen. Antwort: 64. Verfahren zum Ausschluss eines Teils von Lösungen. Wie viele verschiedene Werte von logischen Variablen X1, X2, ..., X5, Y1, Y2, ..., Y5, die alle unten aufgeführten Bedingungen erfüllen: (x1 → x2 ) ∧ (x2 → x4) ∧ (x3 → x4) ∧ (x4 → x5) \u003d 1; (Y1 → y2) ∧ (y2 → y3) ∧ (y3 → y4) ∧ (y4 → y5) \u003d 1; Y5 → x5 \u003d 1. Die Antwort muss nicht alle verschiedenen Kits X1, X2, ..., X5, Y 1, Y2, ..., Y5 auflisten, in denen dieses System der Gleichungen durchgeführt wird. Als Antwort müssen Sie die Anzahl solcher Sets angeben. Entscheidung. Schritt 1. Konsistente Lösung der Gleichungen x1 1 0 x2 1 0 1 x3 1 0 1 1 x 4 1 0 1 1 1 x 5 1 0 1 1 1 1 Erste Gleichung - Die Verbindung mehrerer Implikationsoperationen ist 1, d. H. Jede der Implikationen ist wahr. Die Implikation von FALSE ist nur in einem Fall, wenn 1 0 in allen anderen Fällen (0 0, 0 1, 1 1) den Betrieb zurückgibt 1. Schreiben Sie es in Form einer Tabelle: Schritt 1. Die konsistente Lösung der T.O. Gleichungen 6 Sätze von Lösungen für X1, X2, X3, X4, X5, X3, X4, X5 werden erhalten: (00000), (00001), (00011), (00111), (01111), (11111). In ähnlicher Weise kommen wir zu dem Schluss, dass für Y1, Y2, Y3, Y4, Y5 dieselbe Menge von Lösungen gibt. weil Diese Gleichungen sind unabhängig, d. H. Sie haben keine gemeinsamen Variablen, dann wird die Lösung dieses Systemsystems (ohne die dritte Gleichung) 6 * 6 \u003d 36 Paare von "IKS" und "Igarekov" sein. Betrachten Sie die dritte Gleichung: y5 → x5 \u003d 1 Die Lösung sind Paare: 0 0 0 1 1 1 ist keine Dampflösung: 1 0 Wir vergleichen die erhaltenen Lösungen, bei denen Y5 \u003d 1 nicht geeignet ist x5 \u003d 0. Solche Paare 5. Die Anzahl der Systemlösungen: 36-5 \u003d 31. Antwort: 31 brauchte eine Kombinatorik !!! Die Methode der dynamischen Programmierung Wie viele verschiedene Lösungen hat eine logische Gleichung x 1 → x 2 → x 3 → x 4 → x 5 → x 6 \u003d 1, wobei x 1, x 2, ..., x 6 - logische Variablen? Als Antwort müssen Sie nicht alle verschiedenen Variablensätze auflisten, in denen diese Gleichstellung ausgeführt wird. Als Antwort müssen Sie die Menge solcher Sets angeben. Entscheidung Schritt1. Die Analyse des Zustands links in der Gleichung wird sequentiell durch den Implikationsvorgang aufgezeichnet, wobei die Priorität gleich ist. Wir schreiben neu aus: ((((((x 1 → x 2) → x 3) → x 4) → x 5) → x 6 \u003d 1 nb! Jede nächste Variable hängt nicht von der vorherigen ab, sondern auf dem Ergebnis der vorherigen Implikation! Schritt 2. Erkennung von Mustern betrachten die erste Implikation, x 1 → X 2. Tatac der Wahrheit: X 1 x 2 x 1 → X 2 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 von einem 0 empfangenen 2 Einheiten und von 1 empfangenen Ein 0 und eins 1 nur ein 0 und drei 1, dies ist das Ergebnis der ersten Operation. Schritt 2. Erkennung von Mustern Durch Anschluss des Ergebnisses des ersten Vorgangs X 3 erhalten wir: f (x 1, x 2) x 3 f (x 1, x 2) x 3 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 von zwei 0 - zwei 1, von jedem 1 (davon 3) ein 0 und 1 (3 + 3) Schritt 3. Die Ausgabe der Formel T.O. Sie können Formeln bilden, um die Anzahl der Zeros N i und die Anzahl der Einheiten E I für die Gleichung mit I-Variablen zu berechnen: Schritt 4. Füllen der Tabelle füllen von links nach rechts für i \u003d 6, berechnet die Anzahl der Nullen und Einheiten gemäß den obigen Formeln; Die Tabelle zeigt, wie die nächste Spalte gemäß der vorherigen Punkte aufgebaut ist :: Anzahl der Variablen 1 2 3 4 5 6 Anzahl der Nullen n i 1 1 3 5 11 21 Anzahl der Einheiten E i 1 2 * 1 + 1 \u003d 3 2 * 1 + 3 \u003d 5 11 21 43 Antwort: 43 Verfahren mit Vereinfachungen logischer Ausdrücke, wie viele verschiedene Lösungen eine Gleichung ((j → k) → (m n l)) ((m n l) → (¬ j k)) (m → j ) \u003d 1 wobei j, k, l, m, n logische Variablen sind? Als Antwort müssen Sie nicht alle verschiedenen Wertesätze von J, K, L, M und N auflisten, unter denen diese Gleichheit vorgenommen wird. Als Antwort müssen Sie die Anzahl solcher Sets angeben. Lösung Beachten Sie, dass J → k \u003d ¬ j k den Austausch der Variablen einführen: J → k \u003d A, m n l \u003d in der Umschreibungsgleichung unter Berücksichtigung des Austauschs: (a → B) (B → a) (m → j) \u003d 1 4. (a b) (m → j) \u003d 1 5. Es ist offensichtlich, dass ein B mit den gleichen Werten von A und 6 die neuesten betrachtet Implikation m → j \u003d 1 ist möglich, wenn: m \u003d j \u003d 0 m \u003d 0, j \u003d 1 m \u003d j \u003d 1 Lösung weil A B, dann bei M \u003d J \u003d 0 erhalten wir 1 + k \u003d 0. Keine Lösungen. Wenn m \u003d 0, j \u003d 1, erhalten wir 0 + k \u003d 0, k \u003d 0 und n und l - beliebige, 4 Lösungen: ¬ j k \u003d m n lkno 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 Lösung 10. Mit m \u003d j \u003d 1 erhalten wir 0 + k \u003d 1 * n * l, oder k \u003d n * l, 4-Lösungen: 11. Es hat 4 + 4 \u003d 8 Lösungen Antwort: 8 KNL 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 Informationsquellen: OB Bogomolova, d.yu. Usenkov. B15: Neue Aufgaben und eine neue Lösung // Informatik, Nr. 6, 2012, S. 35 - 39. K.YU. Stangen. Logische Gleichungen // Informatik, Nr. 14, 2011, S. 30-35. http://ege-go.ru/zadania/gh/b15/, [elektronische Ressource]. http://kpolyakov.narod.ru/school/ege.htm, [elektronische Ressource]. Methoden zur Lösung von Systemen logischer Gleichungen Es ist möglich, das System von logischen Gleichungen zu lösen, beispielsweise mit einer Wahrheitstabelle (wenn die Anzahl der Variablen nicht zu groß ist) oder mit dem Lösungsbaum, zuvor jede Gleichung vereinfacht. 1. Methode zum Ersetzen von Variablen. Mit der Eingabe neuer Variablen können Sie das Gleichungssystem vereinfachen, indem Sie die Anzahl der unbekannten Reduzierung reduzieren.Neue Variablen müssen unabhängig voneinander sein..
Nach dem Lösen des vereinfachten Systems ist es erforderlich, wieder in die Anfangsvariablen zurückzukehren. Berücksichtigen Sie die Anwendung dieser Methode in einem bestimmten Beispiel. Beispiel. ((X1 ≡ x2) ∧ (x3 ≡ x4)) ∨ (¬ · · ≡ x2) ∧ ¬ · · · · · · 0 (x3 ≡ x4)) \u003d 0 ((X3 ≡ x4) ∧ (x5 ≡ x6)) ∨ (¬ · (x3 ≡ x4) ∧ ¬ · · · · · 0 (x5 ≡ x6)) \u003d 0 ((X5 ≡ x6) ∧ (x7 ≡ x8)) ∨ (¬ · (x5 ≡ x6) ∧ ¬ · · · · · · 0 (x7 ≡ x8)) \u003d 0 ((X7 ≡ x8) ∧ (x9 ≡ x10)) ∨ (¬ · (x7 ≡ x8) ∧ ∧ ¬ · · · · · 0 (x9 ≡ x10)) \u003d 0 Entscheidung: Wir führen neue Variablen ein: a \u003d (x1≡ x2); B \u003d (x3 ≡ x4); C \u003d (x5 ≡ x6); D \u003d (x7 ≡ x8); E \u003d (x9 ≡ x10). (ACHTUNG! Jede ihrer Variablen X1, X2, ..., X10 sollte nur in einem der neuen Variablen A, B, C, D, E enthalten sein, und d. H. Neue Variablen sind unabhängig voneinander). Dann sieht das System der Gleichungen so aus: (A ∧ b) ∨ (¬ ∧ ¬ v) \u003d 0 (In ∧ c) ∨ (¬ b ∧ ∧ ∧) \u003d 0 (C ∧ d) ∨ (¬ c ∧ ∧ ·d) \u003d 0 (D ∧ e) ∨ (¬ ∧ ∧ ∧e) \u003d 0 Wir erstellen den Lösungsbaum des erhaltenen Systems: Betrachten Sie die Gleichung A \u003d 0, d. H. (X1.≡
X2) \u003d 0. Es hat 2 Wurzeln: X1 ≡ x2. Aus derselben Tabelle ist ersichtlich, dass die Gleichung A \u003d 1 auch 2 Wurzeln hat. Wählen Sie die Anzahl der Wurzeln an den Baumentscheidungen aus: Um die Anzahl der Lösungen eines Zweigs zu finden, multiplizieren Sie die Anzahl der Lösungen auf jeder Ebene. Linker Zweig hat 2⋅
2
⋅
2
⋅
2
⋅
2 \u003d 32 Lösungen; Der richtige Zweig hat auch 32 Lösungen. Jene. Das gesamte System verfügt über 32 + 32 \u003d 64 Lösungen. Antwort: 64. 2. Methode der Argumentation. Die Komplexität der Lösen von Systemen logischer Gleichungen besteht in der Buligkeit des Total Solutionsbaums. Die Begründungsmethode erlaubt es, den gesamten Baum nicht vollständig zu bauen, sondern zu verstehen, wie viel es Zweige haben wird. Betrachten Sie diese Methode zu bestimmten Beispielen. Beispiel 1. Wie viele verschiedene Werte von Werten der logischen Variablen X1, X2, X3, X4, X5, Y1, Y2, Y3, Y4, Y5, die alle unten aufgeführten Bedingungen erfüllen? (x1 → x2) / \\ (x2 → x3) / \\ (x3 → x4) / \\ (x4 → x5) \u003d 1 (Y1 → y2) / \\ (y2 → y3) / \\ (y3 → y4) / \\ (y4 → y5) \u003d 1 x1 \\ / y1 \u003d 1 Die Antwort muss nicht alle verschiedenen Variablensätze X1, X2, X3, X4, X5, Y1, Y2, X4, X5, Y1, Y2, Y3, Y4, Y5 auflisten, unter denen dieses System der Gleichungen hergestellt ist. Als Antwort müssen Sie die Anzahl solcher Sets angeben. Entscheidung: Die erste und das zweite Gleichung enthalten unabhängige Variablen, die dem dritten Zustand zugeordnet sind. Wir erstellen einen Baumstruktur der ersten und zweiten Gleichungen. Um eine Baumlösungen von der ersten und der zweiten Gleichung vorzustellen, sollte jeder Zweig des ersten Baums von einem Baum für Variablen fortgesetzt werdenw. . Der auf diese Weise konstruierte Baum enthält 36 Zweige. Einige dieser Zweige erfüllen nicht die dritte Gleichung des Systems. Hinweis auf den ersten Baum Die Anzahl der Baumzweige"U" das befriedigen die dritte Gleichung: Lassen Sie uns dies erklären: Um den dritten Zustand bei X1 \u003d 0 auszuführen, sollte U1 \u003d 1 sein, d. H. Alle Baumzweige"X" wobei x1 \u003d 0 nur von einem Holzzweig fortgesetzt werden kann"U" . Und nur für einen Baumzweig"X" (rechts) Schlagen Sie alle Baumzweige vor"U". Somit enthält der gesamte Baum des gesamten Systems 11 Zweige. Jeder Zweig repräsentiert eine Lösung für das ursprüngliche System von Gleichungen. Das ganze System hat also 11 Lösungen. Antwort: 11 Beispiel 2. Wie viele verschiedene Lösungen hat ein System von Gleichungen? (X1 ≡ x2) ∨ (x1 ∧ x10) ∨ (¬ × 1 ∧ ¬ x10) \u003d 1 (X2 ≡ x3) ∨ (x2 ∧ x10) ∨ (¬ × 2 ∧ ¬ x10) \u003d 1. ………………
(X9 ≡ x10) ∨ (x9 ∧ x10) ∨ (¬ × 9 ∧ ¬ x10) \u003d 1 (X1 ≡ x10) \u003d 0 wo x1, x2, ..., x10 - logische Variablen? Als Antwort müssen Sie nicht alle verschiedenen Variablensätze auflisten, in denen diese Gleichstellung ausgeführt wird. Als Antwort müssen Sie die Anzahl solcher Sets angeben. Entscheidung: Wir vereinfachen das System. Wir erstellen einen Tisch der Wahrheit des Teils der ersten Gleichung: X1 ∧ x10. ¬x1 ∧ ¬ x10 (X1 ∧ x10) ∨ (¬x1 ∧ ¬ x10) Achten Sie auf die letzte Spalte, es fällt mit dem Ergebnis der Aktion zusammenX1 ≡ x10. X1 ≡ x10. Nach Vereinfachung erhalten wir: (X1 ≡ x2) ∨ (x1 ≡ x10) \u003d 1 (X2 ≡ x3) ∨ (x2 ≡ x10) \u003d 1 (X3 ≡ x4) ∨ (x3 ≡ x10) \u003d 1 ……
(X9 ≡ x10) ∨ (x9 ≡ x10) \u003d 1 (X1 ≡ x10) \u003d 0 Betrachten Sie die letzte Gleichung:(X1 ≡ x10) \u003d 0, d. H. x1 sollte nicht mit x10 zusammenfallen. Um die erste Gleichung zu 1 zu sein, sollte die Gleichstellung durchgeführt werden.(X1 ≡ x2) \u003d 1, d. H. x1 muss mit x2 zusammenfallen. Wir erstellen einen Baum von Lösungen der ersten Gleichung: Betrachten Sie die zweite Gleichung: bei x10 \u003d 1 und bei x2 \u003d 0-Halterungsollte gleich 1 sein (d. H. X2 mit x3 zusammenfällt); bei x10 \u003d 0 und bei x2 \u003d 1-Halterung(X2 ≡ x10) \u003d 0 bedeutet, dass die Halterung (x2 ≡ x3) es muss gleich 1 sein (d. H. X2 mit x3 zusammenfällt): Auf diese Weise argumentieren wir den Lösungsbaum für alle Gleichungen: Somit hat das Gleichungssystem nur 2 Lösungen. Antwort: 2. Beispiel 3. Wie viele verschiedene Werte von Werten der logischen Variablen X1, X2, X3, X4, Y1, Y2, Y3, Y4, Z1, Z2, Z3, Z4, die alle unten aufgeführten Bedingungen erfüllen? (x1 → x2) / \\ (x2 → x3) / \\ (x3 → x4) \u003d 1 (¬ ¬ \\ \\ y1 / \\ z1) \\ / (x1 / \\ \\ \\ \\ z1) \\ / (x1 / \\ \\ \\ \\ z1) \\ / (x1 / \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ ~ \\ \\ ~ \\z1) \u003d 1 (¬x2 / \\ y2 / \\ z2) \\ / (x2 / \\ \\ \\ \\ z2) \\ / (x2 / \\ \\ \\ \\ z2) \\ / (x2 / \\ y2 / \\ z 2) \u003d 1 (¬x3 / \\ y3 / \\ z3) \\ / (x3 / \\ \\ \\ \\ z3) \\ / (x3 / \\ \\ \\ z3) \\ / (x3 / \\ y3 / \\ z3) \u003d 1 (¬ × 4 / \\ y4 / \\ z4) \\ / (x4 / \\ \\ \\ \\ z4) \\ / (x4 / \\ \\ \\ z4) \\ / (x4 / \\ y4 / ® \\ z4) \u003d 1 Entscheidung: Wir erstellen den Lösungsbaum der 1. Gleichung: Betrachten Sie die zweite Gleichung: Ähnlich den restlichen Gleichungen. Wir notieren die resultierende Anzahl von Lösungen von jedem Baumknoten: Um die Anzahl der Lösungen für jeden Zweig herauszufinden, wechseln Sie die Anzahl, die für jeden Zweig separat erhalten werden (links lebendig). 1 Zweig: 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 \u003d 1 Lösung 2 Zweig: 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 2 \u003d 2 Lösungen 3 Niederlassung: 1 ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ 2 \u003d 4 Lösungen 4 Niederlassung: 1 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 \u003d 8 Lösungen 5 Zweig: 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 \u003d 16 Lösungen Bewegen der erhaltenen Zahlen: Gesamt 31-Lösung. Antwort: 31 3. Erhöhung der Zunahme der Anzahl der Wurzeln In einigen Systemen hängt die Anzahl der Wurzeln der nächsten Gleichung von der Anzahl der Wurzeln der vorherigen Gleichung ab. Beispiel 1. Wie viele verschiedene Werte von Werten der logischen Variablen X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7, X8, X9, X10, die alle unten aufgeführten Bedingungen erfüllen? ¬ (x1 ≡ x2) ∧ ((x1 ∧ ∧ × 3) ∨ (¬ × 1 ∧ x3)) \u003d 0 ¬ (x2 ≡ x3) ∧ ((x2 ∧ ∧ × 4) ∨ (¬ × 2 ∧ x4)) \u003d 0 ¬ (x8 ≡ x9) ∧ ((x8 ∧ ∧ × 10) ∨ (¬x8 ∧ x10)) \u003d 0 Vereinfacht erste Gleichung:(x1 ∧ ∧ × 3) ∨ (¬ × 1 ∧ x3) \u003d x1 ⊕ x3 \u003d ¬ (x1 x3). Dann nimmt das System das Formular an: ¬ (x1 ≡ x2) ∧ ¬ · · · (x1 ≡ x3) \u003d 0 ¬ (x2 ≡ x3) ∧ ∧ ¬ · · · (x2 ≡ x4) \u003d 0 ¬ (x8 ≡ x9) ∧ ¬ · · · · · · 0 (x8 ≡ x10) \u003d 0 Usw. Jede nächste Gleichung hat 2 Wurzeln mehr als der vorherige. 4 Die Gleichung hat 12 Wurzeln; 5 Gleichung hat 14 Wurzeln 8 Die Gleichung hat 20 Wurzeln. Antwort: 20 Wurzeln. Manchmal wächst die Anzahl der Wurzeln nach dem Gesetz der Fibonacci-Nummern. Die Lösung des Systems logischer Gleichungen erfordert einen kreativen Ansatz.Herunterladen:
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