Watch Was ist "Angle" in anderen Wörterbüchern. Ecken mit beheizten Parteien

Dieses Material widmet sich einem solchen Konzept als den Winkel zwischen zwei sich kreuzenden Geraden. In der ersten Stelle werden wir erklären, was er ist, und zeigen Sie es in den Illustrationen. Dann werden wir analysieren, wie der Sinus gefunden werden kann, der Cosinus dieses Winkels und der Winkel selbst (in Betracht ziehen Fälle mit dem Flugzeug und dreidimensionalen Raum), geben wir die notwendigen Formeln an und zeigen die Beispiele in den Beispielen, wie genau sie sind werden in der Praxis angewendet.

Um zu verstehen, worauf ein Winkel durch die Kreuzung von zwei Direkts gebildet wird, müssen wir uns an die Bestimmung des Winkels, der Senkrechtheit und der Kreuzungspunkte erinnern.

Definition 1.

Wir nennen zwei gerade schneidende, wenn sie einen gemeinsamen Punkt haben. Dieser Punkt wird als Kreuzungspunkt von zwei geraden Linien bezeichnet.

Jede Direkte wird durch den Punkt der Kreuzung auf den Strahlen getrennt. Beide Gleichzeitig bilden sich gleichzeitig 4 Ecken, von denen zwei vertikal sind und zwei benachbart sind. Wenn wir das Maß eines von ihnen kennen, können wir andere verbleibend identifizieren.

Angenommen, wir wissen, dass einer der Ecken gleich α ist. In diesem Fall ist auch ein Winkel, der in Bezug auf sie vertikal ist, auch gleich α. Um die restlichen Winkel zu finden, müssen wir den Unterschied zwischen 180 ° - α berechnen. Wenn α gleich 90 Grad ist, sind alle Winkel gerade. Kreuzung an der rechten Ecke der Linie werden senkrecht genannt (einzelner Artikel ist dem Konzept der Senspendiktheit gewidmet).

Schauen Sie sich die Zeichnung an:

Lassen Sie uns zur Formulierung der Grunddefinition zuwenden.

Definition 2.

Der Winkel, der durch zweischneidende Gerade gebildet ist, ist ein Maß für einen kleineren der 4-Ecken-Ecken, der zwei davon gerade bilden.

Aus der Definition ist es notwendig, eine wichtige Schlussfolgerung vorzunehmen: Die Winkelgröße wird in diesem Fall durch jede reelle Zahl in dem Intervall (0, 90] ausgedrückt. Wenn direkt senkrecht ist, ist der Winkel zwischen ihnen gleich 90 Grad.

Die Fähigkeit, ein Maß für den Winkel zwischen zwei sich kreuzenden Direkten zu finden, ist nützlich, um viele praktische Aufgaben zu lösen. Die Lösungsmethode kann aus mehreren Optionen ausgewählt werden.

Für einen Start können wir geometrische Methoden einnehmen. Wenn wir etwas über zusätzliche Ecken kennen, können Sie sie mit dem Winkel binden, den wir mit den Eigenschaften gleicher oder ähnlicher Formen benötigen. Wenn wir beispielsweise die Seite des Dreiecks kennen, und Sie müssen den Winkel zwischen dem direkten Berechnen des Direkts berechnen, auf dem sich diese Parteien befinden, dann ist der Cosinus-Satz geeignet, wenn diese Parteien, dann für Lösungen geeignet ist. Wenn wir ein rechteckiges Dreieck haben, verwenden wir für Berechnungen auch das Wissen über Sinus-, Cosinus- und Tangentenwinkel.

Die Koordinatenmethode ist auch sehr praktisch, um Probleme dieses Typs zu lösen. Lassen Sie uns erklären, wie Sie es richtig verwenden können.

Wir haben ein rechteckiges (decartianisches) Koordinatensystem O x y, in dem zwei gerade Linien angegeben sind. Bezeichnen sie mit Buchstaben A und b. Direkt damit kann mit diesen Gleichungen beschrieben werden. Die Quelle Gerade Linien haben den Kreuzungspunkt M. Wie Sie den gewünschten Winkel bestimmen (bezeichnen Sie es α) zwischen diesen Geraden?

Beginnen wir mit dem Wortlaut des Grundprinzips, einen Winkel unter bestimmten Bedingungen zu finden.

Wir wissen, dass mit dem Konzept der geraden Linie solche Konzepte als Führer und normaler Vektor eng verbunden sind. Wenn wir eine Gleichung an einigen Gerade haben, können Sie die Koordinaten dieser Vektoren davon abnehmen. Wir können es sofort für zwei kreuzende gerade Linien tun.

Der Winkel, der durch zwei sich kreuzende Gerade gebildet wird, kann mit:

• der Winkel zwischen den Führungsvektoren;
• Winkel zwischen normalen Vektoren;
• der Winkel zwischen dem normalen Vektor ist ein gerade- und E-Führungsvektor.

Berücksichtigen Sie jetzt jeden Weg separat.

1. Angenommen, wir haben gerade einen mit dem Führungsvektor a → \u003d (a x, a y) und gerade b mit dem Führungsvektor b → (b x, b y). Verschieben Sie nun zwei Vektoren A → und B → vom Kreuzungspunkt. Danach werden wir sehen, dass sie sich jeweils auf ihrer Geraden befinden werden. Dann haben wir vier Optionen für ihre gegenseitige Lage. Siehe Abbildung:

Wenn der Winkel zwischen zwei Vektoren nicht dumm ist, dann ist es der Winkel, den wir zwischen sich kreuzen, gerade a und b gehen müssen. Wenn es dumm ist, ist der gewünschte Winkel gleich der Ecke, die neben dem Winkel eines →, b → ^ ist. Somit α \u003d a →, b → ^ wenn a →, b → ^ ≤ 90 ° und α \u003d 180 ° - a →, b → ^, falls a →, b → ^\u003e 90 °.

Basierend auf der Tatsache, dass die Cosinne der gleichen Winkel gleich sind, können wir die resultierende Gleichheit neu schreiben: cos α \u003d cos a →, b → ^, falls a →, b → ^ ≤ 90 °; Cos α \u003d cos 180 ° - a →, b → ^ \u003d - cos a →, b → ^, falls a →, b → ^\u003e 90 °.

Im zweiten Fall wurden die Formeln verwendet. Auf diese Weise,

cos α cos a →, b → ^, cos a →, b → ^ ≥ 0 - cos a →, b → ^, cos a →, b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Wir schreiben die letzte Formel mit den Wörtern:

Definition 3.

Der Cosinus eines Winkels, der durch zweischneidende Gerade gebildet wird, ist gleich dem Modul des Cosinus des Winkels zwischen seinen Führungsvektoren.

Das allgemeine Erscheinungsbild der Cosinus-Formel des Winkels zwischen zwei Vektoren A → \u003d (a x, a y) und b → \u003d (b x, b y) sieht aus wie folgt aus:

cos a →, b → ^ \u003d a →, b → ^ a → b → a x ^ b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2

Daraus können wir die Cosinus-Formel des Winkels zwischen den beiden angegebenen Leitungen ableiten:

cos α \u003d a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 \u003d a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2

Dann kann der Winkel selbst auf der folgenden Formel gefunden werden:

α \u003d a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2

Hier sind a → \u003d (a x, a y) und b → \u003d (b x, b y) die Führungsvektoren der angegebenen Direkte.

Lassen Sie uns ein Beispiel dafür geben, das Problem zu lösen.

Beispiel 1.

In dem rechteckigen Koordinatensystem in der Ebene sind zwei kreuzende gerade Linien A und B gegeben. Sie können durch parametrische Gleichungen x \u003d 1 + 4 · λ y \u003d 2 + λ λ ∈ R und x 5 \u003d y - 6 - 3 beschrieben werden. Berechnen Sie den Winkel zwischen diesen Geraden.

Entscheidung

In unserem Zustand gibt es eine parametrische Gleichung, es bedeutet, dass wir für diese Gerade die Koordinaten des Führungsvektors sofort schreiben können. Dazu müssen wir die Werte der Koeffizienten annehmen, wenn der Parameter, d. H. Direct x \u003d 1 + 4 · λ y \u003d 2 + λ λ ∈ R hat einen Führungsvektor a → \u003d (4, 1).

Die zweite Direct wird mit der kanonischen Gleichung x 5 \u003d y - 6 - 3 beschrieben. Hier können wir die Koordinaten der Nenner annehmen. Somit hat diese Direkte einen Führungsvektor B → \u003d (5, - 3).

Gehen Sie als nächstes direkt, um den Winkel zu finden. Dazu ersetzen wir einfach die verfügbaren Koordinaten der beiden Vektoren in der obigen Formorm α \u003d A R c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2. Wir erhalten Folgendes:

α \u003d a r c cos 4 · 5 + 1 · (- 3) 4 2 + 1 2 · 5 2 + (- 3) 2 \u003d a r c cos 17 17 · 34 \u003d a r c cos 1 2 \u003d 45 °

Antworten: Daten direkt bilden einen Winkel von 45 Grad.

Wir können eine solche Aufgabe lösen, indem wir den Winkel zwischen normalen Vektoren finden. Wenn wir gerade einen mit einem normalen NA → \u003d (nax, nax) -Ver und gerade B mit einem normalen NB → \u003d (NBX, NB) -Vektor haben, ist der Winkel zwischen ihnen gleich der Ecke zwischen na → und nb → entweder die Ecke, die an na →, nb → ^ angrenzt. Diese Methode wird auf dem Bild angezeigt:

Formeln zum Berechnen des Cosinus des Winkels zwischen dem Kreuzungspunkt und der größte Teil dieses Winkels mit Hilfe von Koordinaten von Normalvektoren sehen so aus:

cos α \u003d cos na →, nb → ^ \u003d n и x · NBX + NAY + NBX 2 + NBX 2 · NBX 2 + NBX 2 α \u003d ARC COS NAX · NBX + NAY + NBX 2 + NAY 2 · NBX 2 + NBY 2.

Hier bezeichnen n a → und n b → die Normalvektoren der beiden eingestellten direkt.

Beispiel 2.

Im rechteckigen Koordinatensystem werden zwei gerade Linien mit Gleichungen von 3 × + 5 y - 30 \u003d 0 und x + 4 y - 17 \u003d 0 angegeben. Finden Sie den Sinus, Cosinuswinkel zwischen ihnen und der Größe dieser Ecke selbst.

Entscheidung

Die Quelle geraden Linien werden mit normalen Gleichungen der direkten Form eines X + B y + c \u003d 0 angegeben. Normaler Vektor kennzeichnen von n → \u003d (a, b). Wir finden die Koordinaten des ersten Normalvektors für eine gerade und schreiben sie: n a → \u003d (3, 5). Für den zweiten direkten x + 4 y - 17 \u003d 0 hat der Normalvektor die Koordinaten n b → \u003d (1, 4). Fügen Sie nun die erhaltenen Werte in der Formel hinzu und berechnen Sie das Ergebnis:

cos α \u003d cos n a →, n b → ^ \u003d 3 · 1 + 5 · 4 3 2 + 5 2 · 1 2 + 4 2 \u003d 23 34 · 17 \u003d 23 2 34

Wenn wir bekannt sind, dass wir den Winkel Cosinus genießen, können wir den Sinus mithilfe einer grundlegenden trigonometrischen Identität berechnen. Da der von gerade gebildete Winkel α nicht stumpf ist, dann ist sin α \u003d 1 - cos 2 α \u003d 1 bis 23 2 34 2 \u003d 7 2 34.

In diesem Fall ist α \u003d a Rc cos 23 2 34 \u003d A R C SIN 7 2 34.

Antwort: cos α \u003d 23 2 34, sin α \u003d 7 2 34, α \u003d a r c cos 23 2 34 \u003d a r c sin nung 7 2 34

Wir werden den letzten Fall analysieren - den Winkel zwischen gerade finden, wenn wir die Koordinaten des Führungsvektors von einem geraden und normalen Vektor eines anderen kennen.

Angenommen, das direkte A hat einen Führungsvektor a → \u003d (a x, a y) und die gerade Linie B der normale Vektor n b → \u003d (n b x, n b y). Wir müssen diese Vektoren von dem Kreuzungspunkt verschieben und alle Optionen für ihre gegenseitige Lage berücksichtigen. Siehe Bild:

Wenn der Wert des Winkels zwischen den angegebenen Vektoren nicht mehr als 90 Grad beträgt, erscheint er heraus, dass er den Winkel zwischen A und B in den direkten Winkel ergänzt.

a →, n b → ^ \u003d 90 ° - α, wenn a →, n b → ^ ≤ 90 °.

Wenn es weniger als 90 Grad ist, erhalten wir Folgendes:

a →, n b → ^\u003e 90 °, dann a →, n b → ^ \u003d 90 ° + α

Verwenden Sie die Regel der gleichen Cosinus-Gleichwinkel, schreiben Sie:

cos a →, n b → ^ \u003d cos (90 ° - α) \u003d Sin α an einem →, nb → ^ ≤ 90 °.

cos a →, n b → ^ \u003d cos 90 ° + α \u003d - sin α an einem →, n b → ^\u003e 90 °.

Auf diese Weise,

sin α \u003d cos a →, nb → ^, a →, nb → ^ ≤ 90 ° - cos a →, nb → ^, a →, nb → ^\u003e 90 ° ⇔ sin α \u003d cos a →, nb → ^, A →, NB → ^\u003e 0 - cos a →, nb → ^, a →, nb → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Wir formulieren die Leistung.

Definition 4.

Um den Sinuswinkel zwischen zwei geraden Linien zu finden, die sich in der Ebene kreuzen, müssen Sie das Cosinus-Modul zwischen dem Führungsvektor des ersten geraden und normalen Vektors des zweiten berechnen.

Wir schreiben die notwendigen Formeln. Sine Corner finden:

sin α \u003d cos a →, n b → ^ \u003d a x · n b x + a y · n b y a x 2 + a y 2 · n b x 2 + n b y 2

Die Ecke finden:

α \u003d a rc sin \u003d a x · n b x + a y · n b y a x 2 + a y 2 · n b x 2 + n b y 2

Hier ist ein → ist der erste Zeilenführungsvektor, und n b → ist ein normaler zweiter Vektor.

Beispiel 3.

Zwei kreuzende gerade Linien werden von den Gleichungen X-5 \u003d Y - 6 3 und X + 4 Y - 17 \u003d 0 eingestellt. Finden Sie den Kreuzungswinkel.

Entscheidung

Wir nehmen die Koordinaten des Führers und des normalen Vektors von den angegebenen Gleichungen an. Es stellt sich heraus → \u003d (- 5, 3) und n → B \u003d (1, 4) heraus. Wir nehmen die Formel α \u003d a rc sin \u003d a x · n b x + a y · n b y a x 2 + a y 2 · n b x 2 + n b y 2 und berücksichtigen:

α \u003d A R C SIN \u003d - 5 · 1 + 3 · 4 (- 5) 2 + 3 2 · 1 2 + 4 2 \u003d A R C SIN 7 2 34

Bitte beachten Sie, dass wir Gleichungen von der vorherigen Aufgabe übernommen haben und genau das gleiche Ergebnis haben, aber auf andere Weise.

Antworten: α \u003d A R C SIN 7 2 34

Wir geben einen anderen Weg, um den gewünschten Winkel mit den Winkelkoeffizienten der angegebenen Direkte zu finden.

Wir haben Direct a, der in dem rechteckigen Koordinatensystem unter Verwendung der y \u003d k 1 · x + b 1-Gleichung gegeben ist, und gerade B, gegeben als y \u003d k 2 · x + b 2. Dies sind Gleichungen direkt mit einem Winkelkoeffizienten. Um einen Schnittwinkel zu finden, verwenden wir die Formel:

α \u003d A R C COS K 1 · K 2 + 1 K 1 2 + 1 · K 2 2 + 1, wobei K 1 und K 2 die Winkelkoeffizienten der angegebenen Direkte sind. Um diesen Eintrag zu erhalten, wurden die Formeln zum Bestimmen des Winkels durch die Koordinaten normaler Vektoren verwendet.

Beispiel 4.

Es gibt zwei gerade aufschneidende in der Ebene, gegebene Gleichungen y \u003d - 3 5 x + 6 und y \u003d - 1 4 × + 17 4. Berechnen Sie die Größe des Kreuzungswinkels.

Entscheidung

Die Winkelkoeffizienten unserer Linien sind gleich k 1 \u003d - 3 5 und k 2 \u003d - 1 4. Wir fügen sie zu der Formel α \u003d A R c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1 und wir berechnen:

α \u003d A R C cos - 3 5 · 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · 1 4 2 + 1 \u003d a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 \u003d a r c cos 23 2 34

Antworten: α \u003d a r c cos 23 2 34

In den Schlussfolgerungen dieses Artikels ist zu beachten, dass die hier angegebenen Formeln nicht unbedingt von Herzen lernen. Dazu reicht es aus, die Koordinaten der Leitfaden- und / oder normalen Vektoren des angegebenen Direkts kennenzulernen und in verschiedenen Arten von Gleichungen zu ermitteln. Die Formel zur Berechnung des Cosinus des Winkels ist jedoch besser erinnert oder aufgenommen.

So berechnen Sie den Winkel zwischen dem Kreuzungspunkt im Raum

Die Berechnung eines solchen Winkels kann reduziert werden, um die Koordinaten der Führungsvektoren und die Bestimmung des von diesen Vektoren gebildeten Winkels zu berechnen. Für solche Beispiele werden die gleichen Argumente verwendet, die wir dazu geführt haben.

Angenommen, wir haben ein rechteckiges Koordinatensystem, das sich in einem dreidimensionalen Raum befindet. Es enthält zwei gerade Linien A und B mit einem Schnittpunkt m. Um die Koordinaten der Führungsvektoren zu berechnen, müssen wir die Gleichungen dieser Direct kennen. Bezeichnen Sie die Führungsvektoren a → \u003d (a x, a y, a z) und b → \u003d (b x, b y, b z). Um den Cosinus des Winkels zwischen ihnen zu berechnen, verwenden wir die Formel:

cos α \u003d cos a →, b → ^ \u003d a →, b → a → · b · b y + a z · b · b · b y + a z · b z a x 2 + a y 2 + a z 2 · b x 2 + b y 2 + b z 2

Um die Ecke selbst zu finden, brauchen wir diese Formel:

α \u003d a r c cos a x · b x + a y · b y + a z · b z a x 2 + a y 2 + a z 2 · b x 2 + b y 2 + b z 2

Beispiel 5

Wir haben eine gerade Linie, die in dreidimensionaler Raum mit einer Gleichung x 1 \u003d y - 3 \u003d z + 3 - 2 angegeben ist. Es ist bekannt, dass es mit der O-Z-Achse schneidet. Berechnen Sie den Winkel der Kreuzung und des Cosinus dieses Winkels.

Entscheidung

Bezeichnen den Winkel, der berechnet werden muss, der Buchstabe α. Wir schreiben die Koordinaten des Führungsvektors für die erste Direct - A → \u003d (1, - 3, - 2). Für die Applikationsachse können wir den Koordinatenvektor k → \u003d (0, 0, 1) als Leitfaden nehmen. Wir haben die notwendigen Daten erhalten und können sie zur gewünschten Formel hinzufügen:

cos α \u003d cos a →, k → ^ \u003d a →, k → a → · k → \u003d 1 · 0 - 3 · 0 - 2 · 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 · 0 2 + 0 2 + 1 2 \u003d 2 8 \u003d 1 2

Infolgedessen haben wir erhalten, dass der Winkel, den wir benötigen, gleich einem RC-COS 1 2 \u003d 45 ° sein wird.

Antworten: Cos α \u003d 1 2, α \u003d 45 °.

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In dieser Lektion geben wir die Definition der beheizten Strahlen und beweisen den Satzung über die Gleichheit der Winkel mit den beheizten Parteien. Als Nächstes geben wir die Definition des Winkels zwischeneinander und direkt an. Überlegen Sie, was der Winkel zwischen zwei Geraden sein könnte. Am Ende der Lektion entscheiden wir über mehrere Aufgaben, um die Ecken zwischen kreuzgreifender Gerade zu finden.

Betrifft: Parallelität von Geraden und Flugzeugen

Lektion: Winkel mit luftgekühlten Seiten. Der Winkel zwischen zwei Geraden

Jede direkte, zum Beispiel Oo 1. (Abb. 1.), die Ebene in zwei Halbflugzeuge ablegen. Wenn die Strahlen Oa. und O 1 a 1 parallel und liegen in einer halben Ebene, dann werden sie angerufen sonst.

Strahlen O 2 a 2 und Oa. sind nicht co-kontrolliert (Abb. 1.). Sie sind parallel, liegen jedoch nicht in einer halben Ebene.

Wenn die Seiten von zwei Winkeln gekühlt werden, sind solche Winkel gleich.

Beweise

Lassen Sie uns parallele Strahlen geben Oa. und O 1 a 1 und parallele Strahlen Over und O 1 in 1 (Abb. 2.). Das heißt, wir haben zwei Winkel Aah. und Ein 1 o 1 in 1Wessen Parteien liegen auf den beheizten Strahlen. Wir beweisen, dass diese Ecken gleich sind.

Auf der Seite des Balkens Oa. und O 1 a 1 Wählen Sie Punkte ABER und A 1. damit die Segmente Oa. und O 1 a 1 waren gleich. In ähnlicher Weise ein Punkt IM und IN 1 Wählen Sie so, dass die Segmente Over und O 1 in 1waren gleich.

Betrachten Sie ein Viereck Ein 1 o 1 oa (Abb. 3.) Oa. und O 1 a 1 Ein 1 o 1 oa Ein 1 o 1 oa Oo 1. und AA 1. Parallel und gleich.

Betrachten Sie ein Viereck In 1 o 1 s. In diesen Quadrangeln Over und O 1 in 1 Parallel und gleich. Auf der Grundlage des Parallelogramms, Viereck In 1 o 1 s Es ist ein Parallelogramm. Als In 1 o 1 s - Parallelogramm, dann Oo 1. und Bb 1. Parallel und gleich.

Und gerade AA 1. Parallel direkt. Oo 1.und gerade Bb 1. Parallel direkt. Oo 1.So direkt. AA 1. und Bb 1. Parallel.

Betrachten Sie ein Viereck 1 a a 1 av. In diesen Quadrangeln AA 1. und Bb 1. Parallel und gleich. Auf der Grundlage des Parallelogramms, Viereck 1 a a 1 av Es ist ein Parallelogramm. Als 1 a a 1 av - Parallelogramm, dann Au. und 1 in 1. Parallel und gleich.

Berücksichtigen Sie Dreiecke Aah. und Ein 1 o 1 in 1.Partys Oa. und O 1 a 1gleicher Bau Partys Over und O 1 in 1ebenfalls gleich der Konstruktion. Und wie wir erwiesen haben und die Parteien Au. und 1 in 1. Auch gleich. Also Dreiecke Aah. und Ein 1 o 1 in 1gleich drei Seiten. In gleichen Dreiecke liegen gleiche Winkel an gleichen Parteien. Also Winkel Aah. und Ein 1 o 1 in 1gleich, was erforderlich war, um zu beweisen.

1) Kreuzung gerade.

Bei direkter Kreuzung haben wir vier verschiedene Winkel. Winkel zwischen zwei Geraden, genannt die kleinste Ecke zwischen zwei Geraden. Der Winkel zwischen sich kreuzen gerade aber und b. Bezeichnen durch α (Abb. 4.). Der Winkel α ist so, dass.

Feige. 4. Der Winkel zwischen zwei kreuzenden Geraden

2) Querlebige gerade

Leben lassen aber und b. Kreuzung. Wählen Sie einen beliebigen Punkt aus ÜBER. Durch den Punkt ÜBER Lass uns gerade verbringen a 1., parallel zu direkten aberund gerade b 1., parallel zu direkten b. (Abb. 5.). Gerade a 1. und b 1. Schnittpunkt an Punkt. ÜBER. Der Winkel zwischen zwei kreuzenden Geraden a 1. und b 1. , Ecke φ und wird ein Winkel zwischen gekreuzungsloser Gerade genannt.

Feige. 5. Der Winkel zwischen zwei Langlauflosenlauf

Hängt die Ecke des ausgewählten Punktes ab? Wählen Sie einen Punkt O 1.. Durch den Punkt O 1. Lass uns gerade verbringen a 2, parallel zu direkten aberund gerade b 2., parallel zu direkten b. (Abb. 6.). Der Winkel zwischen sich kreuzen gerade a 2 und b 2. Bezeichnen φ 1.. Dann Winkel φ und φ 1 -ecken mit beheizten Parteien. Wie wir bewiesen haben, sind solche Winkel gleich einander gleich. Dies bedeutet, dass die Größe des Winkels zwischen Langlauf direkt nicht von der Wahl des Punktes abhängt ÜBER.

Gerade Over und CD. parallel Oa. und CD. Gekreuzt Finden Sie den Winkel zwischen gerade Oa. und CD., wenn ein:

1) ∠Aah. \u003d 40 °.

Wählen Sie einen Punkt VON. Durchgehen CD.. Lass uns ausgeben Ca 1. parallel Oa. (Abb. 7.). Dann Ecke Eine 1-cd. - der Winkel zwischen dem Überqueren direkt Oa. und CD.. Durch den Eckensatz mit den beheizten Parteien den Winkel Eine 1-cd. gleich der Ecke Aah.Das ist 40 °.

Feige. 7. Finden Sie den Winkel zwischen zwei Geraden

2) ∠Aah. \u003d 135 °.

Lassen Sie uns dieselbe Konstruktion machen (Abb. 8.). Dann der Winkel zwischen dem Langlauf Oa. und CD. gleich 45 °, da es sich um die kleinste der Ecken handelt, die beim Überkreuzung der direkten Kreuzung erhalten werden CD. und Ca 1..

3) ∠Aah. \u003d 90 °.

Lassen Sie uns dieselbe Konstruktion machen (Abb. 9.). Dann werden alle Winkel, die beim Überkreuzung direkt erhalten werden CD. und Ca 1. 90 ° sind gleich. Der gewünschte Winkel beträgt 90 °.

1) Beweisen Sie, dass die Zwischenseiten der räumlichen Quadrilateral Scheitelpunkte des Parallelogramms sind.

Beweise

Lassen Sie uns ein räumliches Viereck geben A B C D.. M,N,K,L. - mittlere Rippen Bd,Anzeige,Ac,Bc. Dementsprechend (Abb. 10.). Muss das beweisen Mnkl. - Parallelogramm.

Betrachten Sie ein Dreieck Avd.. Mn. Mn. Parallel Au. Und gleich der Hälfte.

Betrachten Sie ein Dreieck ABC. Ld - Mittellinie. Durch die Eigenschaften der Mittellinie, Ld Parallel Au. Und gleich der Hälfte.

UND Mn., ICH. Ld Parallel Au.. Es bedeutet Mn. Parallel Ld Vom Satz auf drei parallelen geraden Linien.

Wir bekommen das im Viereck Mnkl. - Party Mn. und Ld parallel und gleich, weil Mn. und Ld gleiche Hälfte Au.. Auf der Grundlage des Parallelogramms, Vierecks Mnkl. - Parallelogramm, das zum Beweisen erforderlich war.

2) Finden Sie den Winkel zwischen gerade Au. und CD.Fallscke Mnk \u003d 135 °.

Wie wir bewiesen haben Mn. Parallel direkt. Au.. Nk - Die mittlere Linie des Dreiecks ACD., laut der Eigenschaft, Nk Parallel DC. Also durch den Punkt N. Zwei gerade Linien passieren Mn. und Nkdie parallel zur direkten direkten direkten Au. und DC beziehungsweise. Also der Winkel zwischen gerade Mn. und Nk ist ein Winkel zwischen Langlaufloser direkt Au. und DC. Wir erhalten einen dummen Winkel Mnk \u003d 135 °. Der Winkel zwischen gerade Mn. und Nk - Die kleinste der Ecken, die mit der Kreuzung dieser Direct erhalten werden, dh 45 °.

Wir haben also die Winkel mit den beheizten Parteien überprüft und bewiesen ihre Gleichheit. Die Winkel zwischen sich kreuzen und überqueren und mehrere Aufgaben gelöst, um den Winkel zwischen zwei Richten zu finden. In der nächsten Lektion werden wir auch Probleme lösen und die Theorie wiederholen.

1. Geometrie 10-11 Klasse: Lehrbuch für Studierende von allgemeinen Bildungseinrichtungen (Grund- und Profilniveaus) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. Ausgabe, überarbeitet und ergänzt - M.: Mnemozina, 2008. - 288 p. : Il.

2. Geometrie 10-11 Klasse: Lehrbuch für allgemeine Bildungseinrichtungen / Sharygin I. F. - M.: Tropfen, 1999. - 208 S.: Il.

3. Geometrie Grad 10: Lehrbuch für allgemeine Bildungsinstitutionen mit ausführlichem und Profilstudium der Mathematik / e. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. Ausgabe, Stereotyp. - M.: Tropfen, 008. - 233 p. : Il.

IM) Bc. und D. 1 IN 1.

Feige. 11. Finden Sie den Winkel zwischen gerade

4. Geometrie. 10-11 Klasse: Lehrbuch für Studierende von allgemeinen Bildungseinrichtungen (Grund- und Profilniveaus) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. Auflage, korrigiert und ergänzt - M.: Mnemozina, 2008. - 288 S.: Il.

Aufgaben 13, 14, 15 p. 54

Bestehend aus zwei verschiedenen Strahlen, die aus einem Punkt kommen. Rays rief an. Seiten von W., und ihr Gesamtstart - Scheitelpunkt W. V.),[ Sonne) - Die Seite der Ecke IM - Sein Scheitelpunkt - eine von den Seiten von W. Figur bestimmt, die von den Seiten von W bestimmt wird. Figur teilt die Ebene in zwei Figurenfigur i \u003d\u003d l, 2, auch genannt. U. oder Flachecke, genannt. Innenbereich von flach u.
Zwei Winkel rief an. Gleich (oder kongruent), wenn sie kombiniert werden können, damit ihre jeweiligen Parteien und Scheitelpunkte zusammenfallen. Von einem beliebigen Balken in der Ebene in dieser Richtung kann das einzige U. von ihm verschoben werden, gleich diesem W. Vergleich von W. wird auf zwei Arten durchgeführt. Wenn W. als ein Paar Strahlen mit einem allgemeinen Start betrachtet wird, um einige der beiden W. mehr zu klären, ist es notwendig, in einer Ebene des Scheitelpunkts des W. und ein Paar von ihnen zu kombinieren (siehe Abb. 1) ). Wenn sich die zweite Seite eines W. innerhalb eines anderen W. befindet, dann sagen sie, dass das erste W. weniger als der zweite ist. Der zweite Vergleich von U. basiert auf einem Vergleich von jedem W. etwas Nome. Gleiches W. entspricht den gleichen Abschlüssen oder (siehe unten), größer y. - mehr, kleiner als.

Zwei u. naz. benachbart, wenn sie einen Gesamtvertex und eine Seite haben, und die anderen beiden Seiten bilden eine gerade Linie (siehe Fig. 2). Im Allgemeinen hat W. mit einem Gesamtvertex und einer gemeinsamen Seite genannt. Digitativ. W. Naz. Vertikal, wenn die Seiten von einem über die Oberseite der Seiten des anderen W. vertikal W fortfahren. Sind gleich einander. W., in der Weiterenseite eine gerade, genannt. Erweitert Halb erweitert u. naz. Direct W. Direct u. kann anderweitig entsprechen: W., gleich seinem benachbarten, genannten. Gerade. Innere flache U., das nicht überschrittene, ist ein konvexer Bereich auf der Ebene. Für eine Maßeinheit von W. Der 90. Anteil an Direct U., NAZ. Grad.

Gebraucht usw. Messen Sie usw. Der numerische Wert des Radiermaßes des U. ist gleich der Länge des Bogens, der von den Parteien vom Einheitsumfang geschnitzt ist. Ein Radierer wird W., dem entsprechenden Bogen, zugeschrieben, der dem Radius entspricht. Einsatz von W. ist gleich Radiden.
Wenn Sie zwei gerade Lügen in derselben Ebene liegen, wird die dritte gerade Linie von u. (siehe Fig. 3): 1 und 5, 2 und 6, 4 und 8, S und 7. - NAZ gebildet. beziehungsweise; 2 und 5, 3 und 8 - interne einseitige; 1 und 6, 4 und 7 - externe einseitige; 3 und 5, 2 und 8 - innerer Aufstieg lügen; 1 und 7, 4 und 6 - Außenkanäle liegend.

In der Praxis. Aufgaben sind ratsam, W in Betracht zu ziehen. Wie man die Drehung des festen Strahls um ihn herum misst, beginnt in eine bestimmte Position. Je nach Richtung der Wende von W. In diesem Fall werden sowohl positive als auch negativ berücksichtigt. So kann u. in diesem Sinne einen beliebigen Wert von irgendeiner Wert haben. W. Wie die Wende des Strahls in der Theorie von trigonometrisch angesehen wird. Funktionen: Für alle Werte des Arguments (U.) können Sie trigonometrische Werte definieren. Funktionen. Das Konzept von W. in Geometrich. Das System, die Grundlage des K-Roys ist die Punkt- und Vektor-Axiomatik, das Radar unterscheidet sich von den Definitionen von W. Als Figuren - in dieser Axiomatik unter W. Verstehen Sie eine bestimmte Metrik. Die Größe, die mit zwei Vektoren mithilfe des Skalarmzusammenhängt. Es ist, dass jedes Paar von Vektoren von AI BAets einen bestimmten Winkel - die mit der Vektorformel verbundene Zahl

wo ( a, B.) - Skalarprodukt von Vektoren.
Das Konzept von W. als flache Figur und als eine numerische Größe wird in verschiedenen Geometrich verwendet. Aufgaben, in Ry u. Definiert auf besondere Weise. Also, unter W. zwischen sich kreuzenden Kurven mit bestimmten Tangenten an der Kreuzungsstelle, U., gebildet von diesen Tangenten.
Die Ecke zwischen der Geraden und der Ebene wird von U., von der Geraden und der rechteckigen Vorsprung in der Ebene angenommen; Es wird gemessen von 0

Mathematische Enzyklopädie. - M.: Sowjetische Enzyklopädie. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Synonyme:

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ecke - Winkel / ek / ... Morphemno-Zauberwörterbuch

Mann. Fraktur, Zusammenbruch, Knie, Ellenbogen, Vorsprung oder Halle (Vydina) etwa ein Gesicht. Die Ecke ist linear, alle möglichen entgegenkommenden Eigenschaften und das Intervall von ihnen; ein Winkel der Ebene oder in Flugzeugen, die zwei Ebenen oder Wände erfüllen; Ecke dick, Körper, Treffen in einem ... Erläuterung des Wörterbuchs von Daly

Ecke, Winkel, auf (c) Ecke und (Matte) in der Ecke, m. 1. Teil der Ebene zwischen zwei geraden Linien, die von einem Punkt ausgehen (Matte). Die Oberseite der Ecke. Die Seite der Ecke. Messung des Gradwinkels. Rechter Winkel. (90 °). Scharfe Ecke. (weniger als 90 °). Stumpfer Winkel.… … Erläuterung Wörterbuch USHakov.

WINKEL - (1) Angriff den Winkel zwischen der Richtung des Luftstroms, der auf dem Flügel des Flugzeugs und dem Akkord der Abschnitte des Flügels anliegt. Ab diesem Winkel hängt der Wert der Hubkraft ab. Der Winkel, in dem die Hubkraft maximal ist, wird als kritischer Angriffswinkel bezeichnet. Beim ... ... Große polytechnische Enzyklopädie.

- (flache) geometrische Form, gebildet, die durch zwei Strahlen (Eckseiten) gebildet werden, die sich von einem Punkt (den Gipfel des Winkels) erstrecken. Jeder Winkel mit einem Scheitelpunkt in der Mitte eines Umfangs (zentraler Winkel) bestimmt am Umfang eines Bogens von AV, begrenzten Punkten ... ... ... Big etclyclopädisches Wörterbuch

Der Kopf der Ecke, wegen des Winkels, der Bärenecke, der schlechten Ecke, in allen Ecken. Das Wörterbuch der russischen Synonyme und ähnliche Ausdrücke im Sinne der Ausdrücke. unter. ed. N. Abramova, M.: Russische Wörterbücher, 1999. Der Winkel des Scheitelpunkts, der Winkelpunkt; Dereleng, Rubbear, Ninetina, Germanes, ... ... Synonymwörterbuch Synonymwörterbuch

winkel - Winkel, Gattung. Ecke; Lauf. über die Ecke, in (für) der Ecke und in der Rede der Mathematiker in der Ecke; Mn. Ecken, Gattung. Ecken. In den vorgeschlagenen und nachhaltigen Kombinationen: für den Winkel und zulässig für den Winkel (GO, Wrap usw.), aus dem Winkel zum Winkel (Bewegung, lokalisiert usw.), der Winkel ... ... Wörterbuch der Schwierigkeiten der Aussprache und des Stresss im modernen Russischen

Winkel, Ecke, um die Ecke, auf (c) Ecke, Ehemann. 1. (in der Ecke.). In der Geometrie: eine flache Figur, die von zwei Strahlen (in 3 Bedeutungen) gebildet wird, abgeschlossen von einem Punkt. Die Oberseite der Ecke. Gerade y. (90 °). Akut. (weniger als 90 °). Dumm y. (mehr als 90 °). Außerhalb und innerhalb ... ... Erläuterung des Wörterbuchs von ozhöhe

winkel - Winkel, Winkel, m. ein Quartalwetten, wenn er deklariert, in der der Rand der Karte gebogen ist. ◘ Ass und Dame Peak mit einem Winkel // getötet. A.I. Polyzhaev. Tag in Moskau, 1832. Über das Mittagessen streut er die Chervonianer auf dem Tisch, verwässerte Karten; Ponteps Crack Decks, ... ... Kartenterminologie und Zony XIX-Jahrhundert