Vortrag zum Thema Platonische Körper. Vortrag zum Thema „Platonische Körper (unterhaltsame Mathematik)“

Präsentation zum Thema „Platonische Körper – der Schlüssel zur Struktur der Erde und des Universums“ in Algebra im Powerpoint-Format. Diese Präsentation für Schüler erzählt, was der platonische Körper ist und welche Rolle er in der unterhaltsamen Mathematik spielt. Autor der Präsentation: Mathematik Lehrerin Artamonova L. IN.

Fragmente aus der Präsentation

Die Erde sieht, wenn man sie von oben betrachtet, aus wie eine aus zwölf Lederstücken genähte Kugel... (c) Platon, „Phaidon“

Studieren Sie eins. Kugelförmige Bratpfanne

Die Idee einer dodekaedrischen Erde wurde 1829 vom französischen Geologen, Mitglied der Pariser Akademie, Elie de Beaumont, wiederbelebt. Er stellte die Hypothese auf, dass der zunächst flüssige Planet, wenn er erstarrt war, die Form eines Dodekaeders annahm. De Beaumont baute ein Netzwerk aus den Kanten des Dodekaeders und seines dualen Ikosaeders auf und begann dann, es um den Globus zu bewegen. Also suchte er nach einer Position, die die Topographie unseres Planeten am besten widerspiegeln würde. Und er fand eine Option, als die Flächen des Ikosaeders mehr oder weniger mit den stabilsten Bereichen der Erdkruste zusammenfielen und seine dreißig Kanten mit Gebirgszügen und Orten zusammenfielen, an denen es zu Brüchen und Falten kam.
Hundert Jahre später wurde die Idee von unserem Landsmann S.I. Kislitsyn aufgegriffen, der vorschlug, die beiden gegenüberliegenden Eckpunkte des Ikosaeders mit den Erdpolen zu verbinden, während sich die größten Diamantenvorkommen offenbar an einigen anderen Eckpunkten des Ikosaeders befanden. Und im letzten Drittel des letzten Jahrhunderts wurde in unserem Land von N. F. Goncharov, V. A. Makarov und V. S. Morozov das Modell von de Beaumont mit der Ausrichtung auf Kislitsyn entwickelt.
Goncharov, Makarov und Morozov glaubten, dass im Inneren der Erde ein fester Kern in Form eines Dodekaeders entstand, der Materieströme an die Oberfläche leitete; Dadurch entstand eine Art Kraftrahmen des Planeten, der die Struktur des Kerns wiederholte. Laut unserem berühmten Kristallographen und Mineralogen I. I. Shafranovsky haben Dodekaeder und Ikosaeder mit ihren Symmetrieachsen fünfter Ordnung jedoch keine kristallographische Symmetrie, und daher ist die Annahme über die Bildung solcher Körper im Kern des Planeten falsch.
Die Mosaikbildung einer Kugel allein mit Sechsecken ist unmöglich, da sie dem Satz von Euler widerspricht, der die Anzahl der Eckpunkte, Kanten und Flächen in jedem Polyeder in Beziehung setzt. Ivanyuk und Goryainov glauben, dass die Kugel mit einem Gitter aus Fünfecken bedeckt sein wird, da diese den Sechsecken am nächsten kommen, aber sie können verwendet werden, um die Oberfläche der Kugel zu pflastern. Sie erhalten also ein Dodekaeder! Die gleiche Schlussfolgerung bleibt gültig, wenn die Flüssigkeitsschicht auf der Kugeloberfläche dicker und der Kugelradius kleiner wird, sodass die Flüssigkeit fast das gesamte Volumen der Kugel ausfüllt.
Bezogen auf die Erde bedeutet dies, dass, wenn sie Milliarden von Jahren lang ein heißer Kern wäre, der von einer viskosen Flüssigkeit umgeben wäre, darin fünfeckige Konvektionszellen entstehen könnten (deren Seite dem Radius des Planeten entspricht). Und dann würden die Materieströme in ihnen, die sich abkühlen und verhärten, jenes dodekaedrische Gerüst bilden, von dem de Beaumont und seine Anhänger sprachen

Studieren Sie zwei. Gefrorene Musik

Auf den ersten Blick scheint die Verteilung der Kontinente und Ozeane auf dem Globus schlecht geordnet zu sein, doch einige Muster bestehen, wie schon lange festgestellt wurde, immer noch.
Erstens sind die beiden durch den Äquator getrennten Hemisphären sehr unterschiedlich: Auf der Nordhalbkugel dominiert das Land, auf der Südhalbkugel dominiert das Meer.
Zweitens sind die Formen der Kontinente und Ozeane nahezu dreieckig, mit kontinentalen Dreiecken, deren Basis nach Norden zeigt und deren Enden sich nach Süden verjüngen; ozeanisch – im Gegenteil.
Drittens verlaufen Durchmesser, die durch Land gezogen werden, in den allermeisten Fällen auf der anderen Seite des Globus durch Wasser, das heißt, es wird die Antipodalität von Kontinenten und Ozeanen beobachtet.
Letztere Tatsache bedeutet, dass die Erdoberfläche kein Symmetriezentrum hat, sondern ein Zentrum der Antisymmetrie oder Zweifarbensymmetrie, deren Idee von unserem größten Kristallographen, dem Akademiemitglied A. V. Shubnikov, entwickelt wurde. Der Punkt ist, dass die zunächst gleichen zentralsymmetrischen Elemente einer bestimmten Figur in zwei Klassen eingeteilt werden, die herkömmlicherweise mit zwei Farben gekennzeichnet werden. Und dann verwandelt die Reflexion vom Zentrum aus ein Element einer Farbe in ein Element einer anderen – in ein Antielement.
Shafranovsky stellte fest, dass die oben genannten Eigenschaften der Erdtopographie in erster Näherung durch das geometrische Modell abgedeckt werden können, das in den 50er Jahren vom prominenten sowjetischen Geologen B. L. Lichkov vorgeschlagen wurde. Es basiert auf einem Oktaeder, dessen acht Flächen zweifarbig bemalt sind, sodass benachbarte Flächen unterschiedliche Farben haben. Es ist klar, dass die „Schach“-Färbung der Antisymmetrie entspricht: Gegenüber jeder Fläche liegt eine Fläche einer anderen Farbe.
Die weißen Ränder sollen die Kontinente darstellen und die blauen die Ozeane. Platzieren wir das Oktaeder auf der weißen Seite, die die Antarktis sein wird. Dann wird der obere blaue Rand den Arktischen Ozean darstellen, und die drei dreieckigen weißen Ränder, die ihn umgeben, werden zu den Dreiecken, die auf dem Globus sichtbar sind – Nord- und Südamerika, Europa sowie Afrika und Asien. Wenn wir das Oktaeder umdrehen, erhalten wir ein anderes Bild: Um den weißen Rand (Antarktis) herum liegen drei blaue Ozeane.

Abschluss

In beiden Studien sind die Grundideen ähnlich: Ein physikalischer Prozess bricht die kontinuierliche Symmetrie der Kugel und als Ergebnis entsteht eine diskrete Symmetrie eines der platonischen Körper. Es ist möglich, dass solche Effekte zu einer Zeit, als die Erde „formlos und leer“ war, die Hauptmerkmale ihrer Oberfläche bestimmten. Und da in verschiedenen geologischen Epochen auch viele andere Faktoren eine Rolle spielten, erwies sich das endgültige Bild als viel komplexer und verwirrender.
Offensichtlich werden regelmäßige Polyeder in verschiedenen Wissensgebieten eine immer wichtigere Rolle spielen. Und hier geht es nicht nur um ludi mathematici (mathematische Spiele) – diese Figuren sind intern mit Naturphänomenen verbunden. Wie Platon sagte, sind sie von allen sichtbaren Körpern die wunderbarsten, und jeder von ihnen ist auf seine Weise schön. Dies ist wahrscheinlich der Fall, wenn Schönheit und Wahrheit eins sind.

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Es gibt fünf einzigartige Formen, die für das Verständnis sowohl der heiligen als auch der gewöhnlichen Geometrie von größter Bedeutung sind. Sie werden platonische Körper genannt, obwohl Pythagoras sie lange vor Platon verwendete und sie ideale geometrische Körper nannte. Jeder platonische Körper weist einige besondere Eigenschaften auf.

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Erstens sind alle Gesichter eines solchen Körpers gleich groß. Beim Würfel beispielsweise, dem berühmtesten aller platonischen Körper, hat jede Fläche die Form eines Quadrats und alle sind gleich groß. Zweitens sind die Kanten des platonischen Körpers gleich lang: Alle Kanten des Würfels sind gleich. Drittens sind die Innenwinkel zwischen den benachbarten Flächen gleich. Bei einem Würfel beträgt dieser Winkel 90 Grad.

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Viertens kann jeder der platonischen Körper in eine Kugel eingeschrieben werden, wobei jeder seiner Scheitelpunkte die Oberfläche dieser Kugel berührt. Außer dem Würfel (A) gibt es nur vier Formen, die alle diese Eigenschaften erfüllen: das Tetraeder – B (Tetra bedeutet „vier“), das vier Flächen in Form gleichseitiger Dreiecke hat; Oktaeder – (Okta bedeutet „acht“), dessen acht Flächen gleichseitige Dreiecke gleicher Größe sind; Ikosaeder - D; Dodekaeder - E. Die letzten beiden platonischen Körper sind etwas komplizierter. Das Ikosaeder hat 20 Flächen, dargestellt durch gleichseitige Dreiecke. Das Dodekaeder (dodeca ist „zwölf“) hat 12 Flächen in Form regelmäßiger Fünfecke. Tatsächlich gibt es eine ursprüngliche Form – dies ist die Sphäre, von der aus alles beginnt, die als sechster Körper gilt. Alte Alchemisten glaubten, dass diese sechs Formen mit bestimmten Elementen verbunden waren: Würfel – Erde, Tetraeder – Feuer, Oktaeder – Luft, Ikosaeder – Wasser, Dodekaeder – Äther (Äther, Prana und Tachyonenenergie sind gleich; sie breiten sich überall aus und sind überall Punkt im Raum – Zeit – Dimensionen). Und die Sphäre ist Leere. Diese sechs Elemente sind die Bausteine des Universums. Sie erschaffen die Eigenschaften des Universums.

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Die sechs Elemente – die Primärformen, wie sie in den Sphären eingeschrieben dargestellt sind – können mit den drei Säulen korreliert werden, die dem Baum des Lebens und den drei Primärenergien des Universums entsprechen. Links ist eine männliche Säule, rechts eine weibliche, die zentrale Säule, der Schöpfer, ist ein Kind. Oder wenn wir uns der Materie des Universums zuwenden, sehen wir links ein Proton, rechts ein Elektron und in der Mitte ein Neutron.

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Würfel Der Würfel unterscheidet sich von den anderen platonischen Körpern durch eine Eigenschaft, die niemand außer der Kugel hat: Der Würfel und die Kugel können die vier anderen platonischen Körper und einander vollständig umfassen und sie mit ihrer Oberfläche bedecken. Während die Kugel die Mutter ist, die wichtigste weibliche Form, ist der Würfel der Vater, die wichtigste männliche Form. In der gesamten Realität sind Kugel und Würfel die beiden wichtigsten Formen und sie dominieren fast immer, wenn es um die ursprünglichen Zusammenhänge in der Schöpfung geht. Symbolisch ist der Würfel identisch mit dem Quadrat – vier, die Anzahl der Materie, die Anzahl der vier Elemente. Der Würfel ist ideale Stabilität, eine stabile Basis – ein Symbol der Erde selbst. Daher werden Monarchen (zum Beispiel ägyptische Pharaonen) oft auf einem kubischen Stein sitzend dargestellt, ein Symbol für die Stabilität ihres Königreichs. Ein Würfel ist ein dreidimensionales Quadrat, dessen jede Seite die gleichen Eigenschaften hat wie die anderen, weshalb er zu einem Sinnbild der Wahrheit geworden ist. In der Ikonographie wird es oft als Sockel für allegorische Figuren der Wahrheit und Geschichte verwendet. Der Maya-Legende zufolge wuchs der Baum des Lebens aus einem Würfel. Sowohl im Judentum als auch im Islam stellt der Würfel das Zentrum des Glaubens dar. Pilger in Mekka umrunden den kubischen Bau der Kaaba, dem am meisten verehrten muslimischen Heiligtum. Die Entwicklung eines Würfels in den Raum stellt ein Kreuz dar, und wenn christliche Kirchen normalerweise so gebaut werden, dass sie im Grundriss die Form eines Kreuzes haben, dann liegt das gerade daran, dass das Kreuz eine Ausdehnung in die Ebene eines kubischen Steins ist: Die Kirche sollte für lange Zeit die Etablierung der Religion Christi auf Erden darstellen. Der Würfel symbolisiert als völlig geschlossene Figur die Begrenzung. Daher bedeutet das durch die Entfaltung des Würfels erzeugte Kreuz auch Begrenzung, Leiden.

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Tetraeder. Diese Figur besteht aus vier regelmäßigen Dreiecken. Entfaltet man sie auf einer Ebene, bilden sie ein gleichseitiges Dreieck – ein Symbol Gottes. Wie ein gleichseitiges Dreieck stellt das Tetraeder die Verkörperung von Harmonie und Gleichgewicht selbst dar. Die Eckpunkte eines Würfels liegen wie bei einem Quadrat unterschiedlich weit voneinander entfernt, wodurch bei diesen Figuren eine ständige Spannung herrscht.

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Oktaeder. Streng genommen ist das Oktaeder das „Doppelte“ des Würfels: Verbindet man die Mittelpunkte benachbarter Würfelflächen, erhält man ein Oktaeder.

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Dodekaeder und Ikosaeder. Das Dodekaeder ist eine so heilige Form, dass zur Zeit des Pythagoras jemand, der dieses Wort außerhalb der pythagoräischen Schule ausgesprochen hätte, auf der Stelle getötet worden wäre. Zweihundert Jahre später, als Platon lebte, konnte er bereits darüber sprechen, aber sehr vorsichtig. „Dies wurde teilweise durch die Tatsache erklärt, dass das fünfte Element mit dem Dodekaeder verbunden war – Äther oder Prana. In der Alchemie geht es normalerweise nur um vier Elemente: Feuer, Erde, Luft und Wasser, und über Prana wird selten gesprochen, da es als sehr heilig gilt. Ein weiterer Grund ist, dass damals das alte Wissen sorgfältig verborgen blieb, wonach das Dodekaeder nahe am äußeren Rand des menschlichen Energiefeldes liegt und die höchste Form des Bewusstseins darstellt... Das Dodekaeder ist der Endpunkt der Geometrie und es ist sehr wichtig. Auf mikroskopischer Ebene sind Dodekaeder und Ikosaeder miteinander verbundene Parameter der DNA, ein Bauplan für alles Leben“ (DrunvaloMelchizedek). Wenn man die Mittelpunkte der Dodekaederflächen mit geraden Linien verbindet, erhält man ein Ikosaeder. Indem wir die Mittelpunkte der Flächen des Ikosaeders verbinden, erhalten wir wieder ein Dodekaeder. Viele Polyeder haben „Doppelte“. Im Allgemeinen gehört ein Polyeder zu den dreidimensionalen geometrischen Figuren. Zu allen Zeiten wurde ihnen eine magische Bedeutung beigemessen.

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GRUNDKONZEPTE Ein Polyeder ist ein geometrischer Körper, der auf allen Seiten von flachen Polygonen, sogenannten Flächen, begrenzt wird. Ein Polyeder ist ein geometrischer Körper, der auf allen Seiten von flachen Polygonen, sogenannten Flächen, begrenzt wird. Die Seiten der Flächen sind die Kanten des Polyeders und die Enden der Kanten sind die Eckpunkte des Polyeders. Die Seiten der Flächen sind die Kanten des Polyeders und die Enden der Kanten sind die Eckpunkte des Polyeders. Anhand der Anzahl der Flächen werden Tetraeder, Pentaeder usw. unterschieden. Anhand der Anzahl der Flächen werden Tetraeder, Pentaeder usw. unterschieden.

GRUNDKONZEPTE Ein Polyeder heißt konvex, wenn es sich mit jeder seiner Flächen vollständig auf einer Seite der Ebene befindet. Ein Polyeder heißt konvex, wenn es sich mit jeder seiner Flächen vollständig auf einer Seite der Ebene befindet. Ein konvexes Polyeder heißt regulär, wenn alle seine Flächen identische regelmäßige Vielecke sind, an jedem Scheitelpunkt die gleiche Anzahl Kanten zusammenlaufen und benachbarte Flächen gleiche Winkel bilden. Ein konvexes Polyeder heißt regulär, wenn alle seine Flächen identische regelmäßige Vielecke sind, an jedem Scheitelpunkt die gleiche Anzahl Kanten zusammenlaufen und benachbarte Flächen gleiche Winkel bilden. Alle regelmäßigen Polyeder haben eine unterschiedliche Anzahl von Flächen und sind nach dieser Zahl benannt. Alle regelmäßigen Polyeder haben eine unterschiedliche Anzahl von Flächen und sind nach dieser Zahl benannt. Es gibt genau fünf regelmäßige Polyeder – nicht mehr und nicht weniger. Es gibt genau fünf regelmäßige Polyeder – nicht mehr und nicht weniger.

GRUNDLEGENDE KONZEPTE Das Tetraeder (von tetra – vier und griechisch, hedra – Fläche) besteht aus 4 regelmäßigen Dreiecken, an jedem Scheitelpunkt treffen sich 3 Kanten. Das Tetraeder (von tetra – vier und griechisch hedra – Fläche) besteht aus 4 regelmäßigen Dreiecken, an jedem Scheitelpunkt treffen sich 3 Kanten.

GRUNDKONZEPTE Ein Hexaeder (von griechisch hexa – sechs und hedra – Fläche) hat 6 quadratische Flächen, 3 Kanten laufen an jedem Scheitelpunkt zusammen. Ein Hexaeder (von griechisch hexa – sechs und hedra – Fläche) hat 6 quadratische Flächen, an jedem Scheitelpunkt laufen 3 Kanten zusammen. Das Hexaeder ist besser bekannt als Würfel (aus dem Lateinischen cubus; aus dem Griechischen kubos). Das Hexaeder ist besser bekannt als der Würfel (aus dem Lateinischen cubus; aus dem Griechischen kubos).

GRUNDKONZEPTE Das Oktaeder (von griechisch okto – Acht und hedra – Fläche) hat 8 Flächen (dreieckig), 4 Kanten laufen an jedem Scheitelpunkt zusammen. Das Oktaeder (von griechisch okto – Acht und hedra – Fläche) hat 8 Flächen (dreieckig), an jedem Scheitelpunkt laufen 4 Kanten zusammen.

GRUNDKONZEPTE Das Dodekaeder (von griechisch dodeka – zwölf und hedra – Fläche) hat 12 Flächen (fünfeckig), 3 Kanten laufen an jedem Scheitelpunkt zusammen. Das Dodekaeder (von griechisch dodeka – zwölf und hedra – Fläche) hat 12 Flächen (fünfeckig), an jedem Scheitelpunkt laufen 3 Kanten zusammen.

GRUNDKONZEPTE Das Ikosaeder (von griechisch eikosi – zwanzig und hedra – Fläche) hat 20 Flächen (dreieckig), 5 Kanten laufen an jedem Scheitelpunkt zusammen. Das Ikosaeder (von griechisch eikosi – zwanzig und hedra – Fläche) hat 20 Flächen (dreieckig), an jedem Scheitelpunkt laufen 5 Kanten zusammen.

HISTORISCHER HINTERGRUND Der antike griechische Philosoph Platon (428 oder 427 v. Chr. 348 oder 347), der Gespräche mit seinen Schülern im Hain des Academus führte (Academus ist ein altgriechischer mythologischer Held, der der Legende nach in einem heiligen Hain in der Nähe begraben wurde Athen, woher der Name Akademie stammt, verkündete eines der Mottos seiner Schule: „Wer die Geometrie nicht kennt, hat keinen Zutritt!“ Der antike griechische Philosoph Platon (428 oder 427 v. Chr. 348 oder 347), der Gespräche mit seinen Schülern im Hain des Academus führte (Academus ist ein altgriechischer mythologischer Held, der der Legende nach in einem heiligen Hain in der Nähe von Athen begraben wurde , wo der Name von „Akademie“ stammt, verkündete eines der Mottos seiner Schule: „Wer die Geometrie nicht kennt, hat keinen Zutritt!“

HISTORISCHE INFORMATIONEN In dem Dialog verband Timaios Platon regelmäßige Polyeder mit den vier Hauptelementen. Das Tetraeder symbolisierte Feuer, weil. seine Spitze ist nach oben gerichtet; Ikosaeder - Wasser, weil es ist das „stromlinienförmigste“; Würfel - Erde als die „stabilste“; Oktaeder - Luft, als das „Luftigste“. Das fünfte Polyeder, das Dodekaeder, verkörperte „alles, was existiert“, symbolisierte das gesamte Universum und galt als das Hauptpolyeder. Obwohl den Pythagoräern mehrere Jahrhunderte vor Platon regelmäßige Polyeder bekannt waren, werden sie als platonische Körper bezeichnet. Im Dialog verband Timaios Platon regelmäßige Polyeder mit den vier Hauptelementen. Das Tetraeder symbolisierte Feuer, weil. seine Spitze ist nach oben gerichtet; Ikosaeder - Wasser, weil es ist das „stromlinienförmigste“; Würfel - Erde als die „stabilste“; Oktaeder - Luft, als das „Luftigste“. Das fünfte Polyeder, das Dodekaeder, verkörperte „alles, was existiert“, symbolisierte das gesamte Universum und galt als das Hauptpolyeder. Obwohl den Pythagoräern mehrere Jahrhunderte vor Platon regelmäßige Polyeder bekannt waren, werden sie als platonische Körper bezeichnet. Regelmäßige Polyeder nahmen einen wichtigen Platz im System der harmonischen Weltstruktur von I. Kepler ein. Regelmäßige Polyeder nahmen einen wichtigen Platz im System der harmonischen Weltstruktur von I. Kepler ein.

HISTORISCHE ANMERKUNG Aus regelmäßigen Polyedern – platonischen Körpern – kann man sogenannte halbreguläre Polyeder oder archimedische Körper erhalten. Ihre Gesichter sind ebenfalls regelmäßig, aber entgegengesetzte Polygone. Aus regelmäßigen Polyedern – platonischen Körpern – können wir sogenannte semireguläre Polyeder oder archimedische Körper erhalten. Ihre Gesichter sind ebenfalls regelmäßig, aber entgegengesetzte Polygone.

Eulers Formel Polyeder Eckpunkte Flächen Kanten B+G-R Tetraeder4462 Hexaeder86122 Oktaeder68122 Dodekaeder Ikosaeder Zählen wir die Anzahl der Eckpunkte (V), Flächen (D) und Kanten (P) und schreiben die Ergebnisse in die Tabelle. Zählen wir die Anzahl der Scheitelpunkte (B), Flächen (D) und Kanten (P) und schreiben wir die Ergebnisse in die Tabelle. In der letzten Spalte ist das Ergebnis für alle Polyeder gleich: B+G-P=2. In der letzten Spalte ist das Ergebnis für alle Polyeder gleich: B+G-P=2. Die Formel gilt nicht nur für reguläre Polyeder, sondern für alle Polyeder! Die Formel gilt nicht nur für reguläre Polyeder, sondern für alle Polyeder!

Gesetz der Reziprozität Regelmäßige Polyeder haben ein interessantes Merkmal – ein besonderes Gesetz der Reziprozität. Die Mittelpunkte der Flächen des Würfels sind die Eckpunkte des Oktaeders, und die Mittelpunkte der Flächen des Oktaeders sind die Eckpunkte des Würfels. Regelmäßige Polyeder haben ein interessantes Merkmal – ein besonderes Reziprozitätsgesetz. Die Mittelpunkte der Flächen des Würfels sind die Eckpunkte des Oktaeders, und die Mittelpunkte der Flächen des Oktaeders sind die Eckpunkte des Würfels.

Gesetz der Reziprozität Das Tetraeder unterscheidet sich von diesen 4 Polyedern: Wenn wir die Mittelpunkte seiner Flächen als Eckpunkte des neuen Polyeders betrachten, erhalten wir wieder ein Tetraeder. Das Tetraeder unterscheidet sich von diesen 4 Polyedern: Wenn wir die Mittelpunkte seiner Flächen als Eckpunkte des neuen Polyeders betrachten, erhalten wir wieder ein Tetraeder. Das Tetraeder ist zu sich selbst dual. Das Tetraeder ist zu sich selbst dual.

Reziprozitätsgesetz Würfel und Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder sind zwei Paare dualer Polyeder. Sie haben die gleiche Anzahl an Kanten (12 für Würfel und Oktaeder; 30 für Dodekaeder und Ikosaeder), und die Anzahl der Eckpunkte und Flächen ist neu angeordnet. Der Würfel und das Oktaeder, das Dodekaeder und das Ikosaeder sind zwei Paare dualer Polyeder. Sie haben die gleiche Anzahl an Kanten (12 für Würfel und Oktaeder; 30 für Dodekaeder und Ikosaeder), und die Anzahl der Eckpunkte und Flächen ist neu angeordnet.

Regelmäßige Polyeder um uns herum Die Theorie regelmäßiger Vielecke und Polyeder ist einer der faszinierendsten und lebendigsten Zweige der Mathematik. Doch die von Mathematikern entdeckten Muster hängen überraschenderweise mit der Symmetrie der belebten und unbelebten Natur zusammen – mit den Formen verschiedener Kristalle, der genauen Form von Viren, mit modernen Theorien in der Physik, Biologie und anderen Wissensgebieten. Die Theorie regelmäßiger Vielecke und Polyeder ist einer der faszinierendsten und lebendigsten Zweige der Mathematik. Doch die von Mathematikern entdeckten Muster hängen überraschenderweise mit der Symmetrie der belebten und unbelebten Natur zusammen – mit den Formen verschiedener Kristalle, der genauen Form von Viren, mit modernen Theorien in der Physik, Biologie und anderen Wissensgebieten.

Regelmäßige Polyeder um uns herum. Zum Beispiel: Einzeller von Feodaria haben die Form eines Ikosaeders; Einzeller von Feodaria haben die Form eines Ikosaeders; Würfel vermitteln die Form von Speisesalzkristallen; Würfel vermitteln die Form eines Tisches Salzkristalle; Einkristall aus Aluminium-Kaliumalaun hat die Form eines Oktaeders; Einkristall aus Aluminium-Kaliumalaun hat die Form eines Oktaeders; Schwefelkristall Pyrit FeS hat die Form eines Dodekaeders Schwefelpyritkristall FeS hat die Form eines Dodekaeder Antimonnatriumsulfat – Tetraeder Antimonnatriumsulfat – Tetraeder Bor – Ikosaeder Bor – Ikosaeder

Bibliographie 1. Dorofeev G.V., Peterson L.G. Mathematik. 6. Klasse. Teil 3 – M.: Balass, Dorofeev G.V., Peterson L.G. Mathematik. 6. Klasse. Teil 3 – M.: Balass, Sheinina O.S., Solovyova G.M. Mathematik. Aktivitäten des Schulclubs. 5-6 Klassen. Handbuch für Lehrer. – M.: Verlag NC ENAS, Sheinina O.S., Solovyova G.M. Mathematik. Aktivitäten des Schulclubs. 5-6 Klassen. Handbuch für Lehrer. – M.: Verlag NC ENAS, Sharygin I.F., Erganzhieva L.N. Visuelle Geometrie. Lehrbuch für die Klassen V – VI. – M.: Miros, Sharygin I.F., Erganzhieva L.N. Visuelle Geometrie. Lehrbuch für die Klassen V – VI. – M.: Miros, Enzyklopädie für Kinder. T. 11. Mathematik. – M.: Avanta+, Enzyklopädie für Kinder. T. 11. Mathematik. – M.: Avanta+, Enzyklopädie für Kinder. Ich erkunde die Welt. Mathematik. – M.: AST Publishing House, Enzyklopädie für Kinder. Ich erkunde die Welt. Mathematik. – M.: AST Publishing House, 1999

Vorbereitet

Mathematiklehrer an der Schule Nr. 555 „Belogorye“

Matwejewa Nadeschda Wassiljewna

Ode - Ikosaeder

Die Pythagoräer glaubten, dass Materie aus vier Grundelementen bestehe: Feuer, Erde, Luft und Wasser. Sie führten die Existenz von fünf regelmäßigen Polyedern auf die Struktur der Materie und des Universums zurück. Nach dieser Meinung müssen die Atome der Hauptelemente die Form verschiedener Körper haben:

Das Universum ist ein Dodekaeder

Die Erde ist ein Würfel

Feuer - Tetraeder

Wasser - Ikosaeder

Luft - Oktaeder

Platonische Körper

Sternförmig

Polyeder

Platonische Körper

Tetraeder

Tetraeder (Tetraeder) -

Polyeder mit vier dreieckigen Flächen,

An jedem der Eckpunkte laufen drei Flächen zusammen.

Ein Tetraeder hat 4 Flächen,

4 Gipfel und

Würfel oder regelmäßiges Hexaeder -

regelmäßiges Polyeder,

Jedes Gesicht davon repräsentiert Quadrat. Besonderer Fall Parallelepiped Und Prismen.

Hexaeder

4 Gesichter

8 Gipfel

12 Rippen

Oktaeder ( griechischοκτάεδρον, von griechischοκτώ, „acht“ und griechischέδρα – „Basis“) – einer der fünf Konvexen regelmäßige Polyeder, sogenannt, Platonow Tel.

Dodekaeder

Ikosaeder

20 Gesichter

30 Gipfel

32 Rippen

Entwicklung platonischer Körper

Polyeder in der Natur

Regelmäßige Polyeder sind die vorteilhaftesten Formen, weshalb sie in der Natur weit verbreitet sind. Dies wird durch die Form einiger Kristalle bestätigt. Speisesalzkristalle haben beispielsweise die Form eines Würfels. Bei der Herstellung von Aluminium wird Aluminium-Kalium-Quarz verwendet, dessen Einkristall die Form eines regelmäßigen Oktaeders hat. Die Herstellung von Schwefelsäure, Eisen und speziellen Zementsorten ist ohne schwefelhaltigen Pyrit nicht möglich. Die Kristalle dieser Chemikalie haben die Form eines Dodekaeders. Antimonnatriumsulfat, eine von Wissenschaftlern synthetisierte Substanz, wird in verschiedenen chemischen Reaktionen verwendet. Der Kristall aus Natriumantimonsulfat hat die Form eines Tetraeders. Das letzte regelmäßige Polyeder, das Ikosaeder, vermittelt die Form von Borkristallen.

Diamant (Oktaeder

Scheelit (Pyramide

Kristall (Prisma)

Speisesalz (Würfel)

Regelmäßige Polyeder kommen auch in der belebten Natur vor. Beispielsweise hat das Skelett des Einzellers Feodaria (Circjgjnia icosahtdra) die Form eines Ikosaeders.

Die meisten Feodaria leben in den Tiefen des Meeres und dienen Korallenfischen als Beute.

Aber das einfachste Tier schützt sich mit zwölf Stacheln, die aus den zwölf Spitzen des Skeletts hervorragen. Es sieht eher aus wie ein Sternpolyeder. Von allen Polyedern mit gleicher Flächenzahl hat das Ikosaeder das größte Volumen bei gleichzeitig kleinster Oberfläche. Diese Eigenschaft hilft dem Meeresorganismus, den Druck der Wassersäule zu überwinden

„Mein Haus wurde nach den Gesetzen strengster Architektur gebaut. Euklid selbst hätte aus der Geometrie der Wabe lernen können.“

Lebende Polyeder

Polyeder in der Architektur

Kasaner Kirche in Moskau

In London wird ein Polyedergebäude gebaut

Nationalbibliothek von Belarus – leuchtendes Rhombikuboktaeder

Sommerhaus in Form eines Polyeders

Gemeinschafts- und Kulturzentrum in Singapur

Große Pyramiden von Ägypten in Gizeh

Die ägyptischen Pyramiden sind die größten Baudenkmäler des alten Ägypten, darunter eines der „sieben Weltwunder“ die Cheopspyramide. Pyramiden sind riesige, pyramidenförmige Steinstrukturen, die den Pharaonen des alten Ägypten als Gräber dienten.

Ein Beispiel für ein Bild regelmäßiger Polyeder des Künstlers Salvador Dali (1904-1989) aus dem 20. Jahrhundert (Abb. 5).

Polyeder in der Kunst

1. Wie viele Arten regelmäßiger Polyeder gibt es? (5,13,8,viele)

Welche regelmäßigen Polyeder haben 15 Symmetrieachsen und 15 Symmetrieebenen? (Ikosaeder, Tetraeder, Dodekaeder, Oktaeder)

Welcher Mathematiker hat den Zusammenhang zwischen der Anzahl der Eckpunkte, Kanten und Flächen eines konvexen Polyeders festgestellt?

(Platon, Archimedes, Euler, Kepler)

Hausaufgaben:

Sternpolyeder

Test „Regelmäßige Polyeder“

1. Wie viele Arten regelmäßiger Polyeder gibt es?

Welche regelmäßigen Polyeder haben 15 Symmetrieachsen und 15 Symmetrieebenen? IkosaederTetraederDodekaederOktaeder

Welcher Mathematiker hat den Zusammenhang zwischen der Anzahl der Eckpunkte, Kanten und Flächen eines konvexen Polyeders festgestellt? PlatonArchimedesEulerKepler

Nach der Theorie über den Zusammenhang zwischen der Struktur der Erde und regelmäßigen Polyedern erscheinen die Projektionen welcher in den Globus eingeschriebenen Figuren in der Erdkruste?

(Ikosaeder, Hexaeder, Dodekaeder, Oktaeder)

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Folienunterschriften:

Regelmäßige Polyeder Vorbereitet von der Mathematiklehrerin der Schule Nr. 555 „Belogorye“ Nadezhda Vasilievna Matveeva

Ode - Ikosaeder Die Pythagoräer glaubten, dass Materie aus vier Grundelementen bestehe: Feuer, Erde, Luft und Wasser. Sie führten die Existenz von fünf regelmäßigen Polyedern auf die Struktur der Materie und des Universums zurück. Nach dieser Meinung sollten die Atome der Grundelemente die Form verschiedener Körper haben: Universum – Dodekaeder Erde – Würfel Feuer – Tetraeder Wasser – Ikosaeder Luft – Oktaeder Platon Pythagoras

Platonische Körper, Sternpolyeder und

Platonische Körper

Tetraeder Ein Tetraeder (Tetraeder) ist ein Polyeder mit vier dreieckigen Flächen, an deren Ecken sich jeweils 3 Flächen treffen. Ein Tetraeder hat 4 Flächen, 4 Eckpunkte und 6 Kanten

Ein Würfel oder regelmäßiges Hexaeder ist ein regelmäßiges Polyeder, dessen jede Fläche ein Quadrat ist. Ein Sonderfall eines Parallelepipeds und eines Prismas. Hexaeder 4 Flächen, 8 Eckpunkte, 12 Kanten

Oktaeder Das Oktaeder (griechisch οκτάεδρον, von griechisch οκτώ „acht“ und griechisch έδρα – „Basis“) ist eines der fünf konvexen regelmäßigen Polyeder, die sogenannten platonischen Körper. 8 Flächen, 6 Eckpunkte, 12 Kanten

Dodekaeder 12 Flächen 20 Eckpunkte 32 Kanten

Ikosaeder 20 Flächen 30 Eckpunkte 32 Kanten

Polyeder Scheitelpunkte Flächen Kanten B+G-R Tetraeder 2 Oktaeder 2 Würfel 2 Dodekaeder 2 Ikosaeder 2 4 4 6 6 8 8 6 12 12 12 20 20 30 30 48 Füllen Sie die Tabelle mit der Euler-Formel aus

Entwicklung platonischer Körper

Polyeder in der Natur Regelmäßige Polyeder sind die vorteilhaftesten Formen, weshalb sie in der Natur weit verbreitet sind. Dies wird durch die Form einiger Kristalle bestätigt. Speisesalzkristalle haben beispielsweise die Form eines Würfels. Bei der Herstellung von Aluminium wird Aluminium-Kalium-Quarz verwendet, dessen Einkristall die Form eines regelmäßigen Oktaeders hat. Die Herstellung von Schwefelsäure, Eisen und speziellen Zementsorten ist ohne schwefelhaltigen Pyrit nicht möglich. Die Kristalle dieser Chemikalie haben die Form eines Dodekaeders. Antimonnatriumsulfat, eine von Wissenschaftlern synthetisierte Substanz, wird in verschiedenen chemischen Reaktionen verwendet. Der Kristall aus Natriumantimonsulfat hat die Form eines Tetraeders. Das letzte regelmäßige Polyeder, das Ikosaeder, vermittelt die Form von Borkristallen. Diamant (Oktaeder) Scheelit (Pyramide) Kristall (Prisma) Speisesalz (Würfel)

Regelmäßige Polyeder kommen auch in der belebten Natur vor. Beispielsweise hat das Skelett des Einzellers Feodaria (Circjgjnia icosahtdra) die Form eines Ikosaeders. Die meisten Feodaria leben in den Tiefen des Meeres und dienen Korallenfischen als Beute. Aber das einfachste Tier schützt sich mit zwölf Stacheln, die aus den zwölf Spitzen des Skeletts hervorragen. Es sieht eher aus wie ein Sternpolyeder. Von allen Polyedern mit gleicher Flächenzahl hat das Ikosaeder das größte Volumen bei gleichzeitig kleinster Oberfläche. Diese Eigenschaft hilft dem Meeresorganismus, den Druck der Wassersäule zu überwinden. „Mein Haus wurde nach den Gesetzen strengster Architektur gebaut. Euklid selbst hätte aus der Geometrie der Wabe lernen können.“ Lebende Polyeder

Polyeder in der Architektur der Kasaner Kirche in Moskau

In London wird ein Polyedergebäude gebaut. Die Nationalbibliothek von Belarus ist ein leuchtendes Rhombikuboktaeder. Ein Sommerhaus in Form eines Polyeders. Ein öffentliches und kulturelles Zentrum in Singapur.

Der Leuchtturm von Faros bestand aus drei Marmortürmen, die auf einem Sockel aus massiven Steinblöcken standen. Der erste Turm war rechteckig und enthielt Räume, in denen Arbeiter und Soldaten lebten. Über diesem Turm befand sich ein kleinerer achteckiger Turm mit einer spiralförmigen Rampe, die zum oberen Turm führte. Der obere Turm hatte die Form eines Zylinders, in dem ein Feuer brannte, das den Schiffen half, die Bucht sicher zu erreichen. An der Spitze des Turms stand eine Statue des Erlösers Zeus. Die Gesamthöhe des Leuchtturms betrug 117 Meter. Große Pyramiden Ägyptens in Gizeh Die ägyptischen Pyramiden sind die größten Baudenkmäler des alten Ägypten, darunter eines der „sieben Weltwunder“ – die Cheopspyramide. Pyramiden sind riesige, pyramidenförmige Steinstrukturen, die den Pharaonen des alten Ägypten als Gräber dienten.

Ein Beispiel für ein Bild regelmäßiger Polyeder des Künstlers Salvador Dali (1904-1989) aus dem 20. Jahrhundert (Abb. 5). Polyeder in der Kunst

Test „Regelmäßige Polyeder“ 1. Wie viele Arten regelmäßiger Polyeder gibt es? (5,13,8,viele) 2. Welche regelmäßigen Polyeder haben 15 Symmetrieachsen und 15 Symmetrieebenen? (Ikosaeder, Tetraeder, Dodekaeder, Oktaeder) 3. Welcher Mathematiker hat den Zusammenhang zwischen der Anzahl der Eckpunkte, Kanten und Flächen eines konvexen Polyeders festgestellt? (Platon, Archimedes, Euler, Kepler) 4. Nach der Theorie des Zusammenhangs zwischen der Struktur der Erde und regelmäßigen Polyedern erscheinen die Projektionen welcher in den Globus eingeschriebenen Figuren in der Erdkruste? (Ikosaeder, Hexaeder, Dodekaeder, Oktaeder) 5. Wer ist der Autor des philosophischen Weltbildes, in dem regelmäßige Polyeder die Hauptrolle spielen? (Euler, Kepler, Archimedes, Platon) Hausaufgabe:

Sternpolyeder

Test „Regelmäßige Polyeder“ 1. Wie viele Arten regelmäßiger Polyeder gibt es? 2. Welche regelmäßigen Polyeder haben 15 Symmetrieachsen und 15 Symmetrieebenen? IkosaederTetraederDodekaederOktaeder 3. Welcher Mathematiker hat die Beziehung zwischen der Anzahl der Eckpunkte, Kanten und Flächen eines konvexen Polyeders festgestellt? PlatoArchimedesEulerKepler 4. Nach der Theorie über den Zusammenhang zwischen der Struktur der Erde und regelmäßigen Polyedern erscheinen die Projektionen welcher in den Globus eingeschriebenen Figuren in der Erdkruste? (Ikosaeder, Hexaeder, Dodekaeder, Oktaeder) 5. Wer ist der Autor des philosophischen Weltbildes, in dem regelmäßige Polyeder die Hauptrolle spielen? EulerKeplerArchimedesPlaton