Zonentheorie. Bandstruktur des Energiespektrums von Ladungsträgern Bandenergiespektrum
Physikalische Grundlagen und
Und elektronische Medientechnik
Physikalische Grundlagen
E. N. VIGDOROVICH
Lernprogramm
"Physikalische Grundlagen"
MGUPI 2008
UDC 621.382 Vom Wissenschaftlichen Rat genehmigt
als Lehrmittel
elektronische Medientechnik
Lernprogramm
M.Ed. MGAPI, 2008
Bearbeitet von
prof. Ryzhikova I. V.
Das Tutorial enthält ein kurzes Material zu den physikalischen Grundlagen der Prozesse zur Bildung der Eigenschaften von elektronischen Geräten.
Das Handbuch richtet sich an Lehrer, Ingenieure und Techniker sowie Studenten verschiedener Fachrichtungen.
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@ Moskauer Staatliche Akademie für Instrumentierung und Informatik, 2005
1. ENERGIESPEKTRUM DER LADETRÄGER
Die vor uns liegende Aufgabe reduziert sich auf die Betrachtung der Eigenschaften und des Verhaltens geladener Teilchen in einem kristallinen Festkörper.
Aus Kursen in Atomphysik und Quantenmechanik ist das Verhalten von Elektronen in einem einzelnen isolierten Atom bekannt. In diesem Fall dürfen Elektronen keine Energiewerte haben E, aber nur wenige. Das Energiespektrum der Elektronen wird diskret, wie in Abb. 1.1, V.Übergänge von einem Energieniveau zu einem anderen sind mit der Aufnahme oder Abgabe von Energie verbunden.
Reis. 1.1. Diagramm der Bildung von Energiebändern in Kristallen:
a - Anordnung von Atomen in einem eindimensionalen Kristall; b - Verteilung des intrakristallinen Potentialfeldes; v- die Anordnung der Energieniveaus in einem isolierten Atom; d - Lage der Energiezonen
Es stellt sich die Frage, wie sich die energieelektronischen Niveaus in Atomen verändern, wenn die Atome einander angenähert, also zu einer festen Phase kondensiert werden. Ein vereinfachtes Bild von solchen eindimensional Kristall ist in Abb. 1.1, A.
Eine qualitative Antwort auf diese Frage ist nicht schwer. Betrachten wir, welche Kräfte in einem separaten Atom und was in einem Kristall wirken. In einem isolierten Atom gibt es eine Anziehungskraft durch den Kern eines Atoms von allen ihr Elektronen und die Abstoßungskraft zwischen Elektronen. Durch den geringen Abstand zwischen den Atomen entstehen im Kristall neue Kräfte. Dies sind die Wechselwirkungskräfte zwischen Kernen, zwischen Elektronen, die zu verschiedenen Atomen gehören, und zwischen allen Kernen und allen Elektronen. Unter dem Einfluss dieser zusätzlichen Kräfte müssen sich die Energieniveaus der Elektronen in jedem der Atome des Kristalls irgendwie ändern. Einige Ebenen werden sinken, andere werden auf der Energieskala steigen. Das ist erste Konsequenz Konvergenz der Atome. Zweite Folgerung aufgrund der Tatsache, dass sich die elektronischen Schalen von Atomen, insbesondere die äußeren, nicht nur berühren, sondern sich sogar überlappen können. Dadurch kann ein Elektron von einem Niveau in einem der Atome ohne Energieaufwand auf ein Niveau in einem benachbarten Atom übergehen und sich somit frei von einem Atom zum anderen bewegen. In dieser Hinsicht kann nicht argumentiert werden, dass ein bestimmtes Elektron zu einem bestimmten Atom gehört, im Gegenteil, ein Elektron gehört in einer solchen Situation gleichzeitig zu allen Atomen des Kristallgitters. Mit anderen Worten, was passiert? Sozialisation Elektronen. Eine vollständige Sozialisation findet natürlich nur mit den Elektronen statt, die sich auf den äußeren Elektronenhüllen befinden. Je näher die Elektronenhülle am Kern ist, desto stärker hält der Kern das Elektron auf dieser Ebene und verhindert die Bewegung der Elektronen von einem Atom zum anderen.
Die Kombination beider Folgen der Annäherung von Atomen führt dazu, dass auf der Energieskala anstelle einzelner Ebenen ganze Energiebänder (Abb. 1.1, d) auftreten, dh Bereiche solcher Energiewerte, die ein Elektron während seines Seins besitzen kann innerhalb eines Festkörpers. Die Bandbreite sollte vom Bindungsgrad zwischen Elektron und Kern abhängen. Je größer diese Verbindung ist, desto kleiner ist die Pegelaufteilung, dh desto schmaler ist die Zone. Ein isoliertes Atom hat verbotene Energiewerte, die ein Elektron nicht besitzen kann. Es ist natürlich zu erwarten, dass sich etwas Ähnliches in einem Festkörper befindet. Es kann verbotene Zonen zwischen Zonen geben (jetzt keine Ebenen). Charakteristisch ist, dass bei kleinen Abständen zwischen den Niveaus in einem einzelnen Atom der verbotene Bereich im Kristall aufgrund der Überlappung der gebildeten Energiebänder verschwinden kann.
Auf diese Weise, das Energiespektrum der Elektronen im Kristall hat eine Bandstruktur . ... Auch die quantitative Lösung des Problems des Elektronenspektrums in einem Kristall mit der Schrödinger-Gleichung führt zu dem Schluss, dass das Energiespektrum der Elektronen in einem Kristall eine Bandstruktur aufweist. Intuitiv kann man sich vorstellen, dass der Unterschied in den Eigenschaften verschiedener kristalliner Substanzen eindeutig mit einer unterschiedlichen Struktur des Energiespektrums der Elektronen (unterschiedliche Breiten von erlaubten und verbotenen Banden) verbunden ist.
Um eine Reihe von Eigenschaften der Materie zu erklären, betrachtet die Quantenmechanik Elementarteilchen, einschließlich des Elektrons, sowohl als Teilchen als auch als eine Art Welle. Das heißt, ein Elektron kann gleichzeitig durch Energiewerte charakterisiert werden E und Impuls p, sowie Wellenlänge λ, Frequenz ν und Wellenvektor k = p / h. Dabei, E = hν und p = h / . Dann kann die Bewegung freier Elektronen durch eine ebene Welle, die sogenannte de Broglie-Welle, mit konstanter Amplitude beschrieben werden.
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Bandstruktur des elektronischen Energiespektrums in Festkörpern. Modelle freier und stark gebundener Elektronen
3.2. Bandstruktur des Energiespektrums im Tight-Binding-Modell
3.2.1. Bildung der Bandstruktur des Energiespektrums.
Wenn also zwischen zwei Atomen eine Bindung entsteht, werden aus zwei Atomorbitalen zwei Molekülorbitale gebildet: bindende und antibindende mit unterschiedlichen Energien.
Sehen wir uns nun an, was bei der Bildung eines Kristalls passiert. Hier sind möglich zwei verschiedene Möglichkeiten: wenn ein metallischer Zustand entsteht, wenn sich Atome einander nähern und wenn ein halbleitender oder dielektrischer Zustand entsteht.
Metallischer Zustand kann nur durch die Überlappung von Atomorbitalen und die Bildung von Mehrzentrenorbitalen entstehen, was zu einer vollständigen oder teilweisen Kollektivierung von Valenzelektronen führt. Somit kann ein Metall, basierend auf dem Konzept der anfänglich gebundenen atomaren Elektronenorbitale, dargestellt werden als ein System von positiv geladenen Ionen, kombiniert zu einem riesigen Molekül mit einem einzigen System von Multicenter-Molekülorbitalen.
In Übergangs- und Seltenerdmetallen können neben der bei der Kollektivierung von Elektronen entstehenden metallischen Bindung auch kovalente gerichtete Bindungen zwischen benachbarten Atomen mit vollständig gefüllten Bindungsorbitalen.
Die Kollektivierung von Elektronen, die die Verbindung aller Atome im Gitter gewährleistet, führt bei Annäherung an die Atome zu einer 2N-fachen (spinberücksichtigten) Aufspaltung der atomaren Energieniveaus und zur Ausbildung einer Bandstruktur der elektronischen Energie Spektrum.
Eine qualitative Darstellung der Änderung diskreter Energieniveaus isolierter Atome () mit abnehmendem interatomaren Abstand zeigt Abb. 30a, die die Aufspaltung von Energieniveaus unter Bildung von schmalen . zeigt Energiezonen mit 2N (unter Berücksichtigung des Spins) verschiedener Energiezustände (Abb. 30a).
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| Reis. dreißig. |
Die Breite der Energiebänder () hängt, wie weiter unten gezeigt wird, vom Grad der Überlappung der Wellenfunktionen von Elektronen benachbarter Atome oder mit anderen Worten von der Wahrscheinlichkeit des Übergangs eines Elektrons auf ein benachbartes Atom ab. Im Allgemeinen sind die Energiebänder durch verbotene Energiebereiche getrennt, genannt verbotene Bereiche(Abb. 30a).
Wenn sich die s- und p-Zustände überlappen, werden mehrere „bindende“ und „antibindende“ Banden gebildet. Unter diesem Gesichtspunkt entsteht ein metallischer Zustand, wenn es Zonen gibt, die nicht vollständig mit Elektronen gefüllt sind. Im Gegensatz zur schwachen Kopplung (dem Modell fast freier Elektronen) können die elektronischen Wellenfunktionen hier jedoch nicht als ebene Wellen betrachtet werden, was den Aufbau von Isoenergieflächen stark erschwert. Die Art der Transformation der Wellenfunktionen lokalisierter Elektronen in Wellenfunktionen vom Bloch-Typ, die wandernde Elektronen beschreiben, ist in Abb. 30b, c dargestellt.
Hier ist noch einmal hervorzuheben, dass es die Kollektivierung der Elektronen, also ihre Beweglichkeit im Kristallgitter ist, die zur Aufspaltung der Energieniveaus gebundener Zustände und zur Bildung von Energiebändern führt (Abb. 30c). .
Halbleiter ( und dielektrischer) Zustand durch gerichtete kovalente Bindungen bereitgestellt. Fast alle atomar Halbleiter haben ein diamantartiges Gitter, in dem jedes Atompaar eine kovalente Bindung aufweist, die als Ergebnis einer sp 3 -Hybridisierung gebildet wurde [NE Kuzmenko et al., 2000]. Jedes sp 3 -Orbital, das benachbarte Atome verbindet, enthält zwei Elektronen, so dass alle verbindenden Orbitale vollständig ausgefüllt sind.
Beachten Sie, dass im Modell der lokalisierten Bindungen zwischen Paaren benachbarter Atome die Bildung eines Kristallgitters nicht zur Aufspaltung der Energieniveaus der bindenden Orbitale führen sollte. Tatsächlich wird im Kristallgitter ein einziges System überlappender sp 3 -Orbitale gebildet, da die Elektronendichte eines Elektronenpaares an -Bindungen nicht nur im Raumbereich zwischen den Atomen konzentriert ist, sondern von Null und außerhalb verschieden ist diese Regionen. Durch die Überlappung der Wellenfunktionen spalten sich die Energieniveaus der bindenden und antibindenden Orbitale im Kristall in schmale, nicht überlappende Zonen auf: eine vollständig gefüllte Bindungszone und eine energiereichere freie antibindende Zone. Diese Zonen sind durch eine Energielücke getrennt.
Bei Temperaturen ungleich Null können unter Einwirkung der Energie der thermischen Bewegung von Atomen kovalente Bindungen brechen, und die freigesetzten Elektronen werden in die obere Zone in antibindende Orbitale übertragen, in denen die elektronischen Zustände nicht lokalisiert sind. Was passiert also Delokalisierung gebundene Elektronen und die Bildung einer bestimmten Anzahl, je nach Temperatur und Bandlücke, wandernder Elektronen. Kollektivierte Elektronen können sich im Kristallgitter bewegen und bilden ein Leitungsband mit einem entsprechenden Dispersionsgesetz. Allerdings wird die Bewegung dieser Elektronen im Gitter nun wie bei Übergangsmetallen nicht durch ebene Wanderwellen beschrieben, sondern durch komplexere Wellenfunktionen, die die Wellenfunktionen gebundener elektronischer Zustände berücksichtigen.
Wenn ein Elektron mit einer der kovalenten Bindungen angeregt wird, Loch - ungefüllter elektronischer Zustand, dem die Ladung zugeschrieben wird+Q. Durch den Übergang eines Elektrons von Nachbarbindungen in diesen Zustand verschwindet das Loch, gleichzeitig entsteht aber an der Nachbarbindung ein ungefüllter Zustand. So kann sich das Loch durch den Kristall bewegen. Delokalisierte Löcher bilden ebenso wie Elektronen ein eigenes Bandspektrum mit dem entsprechenden Dispersionsgesetz. In einem äußeren elektrischen Feld herrschen die Übergänge von Elektronen zu einer freien Bindung in Richtung gegen das Feld, so dass sich die Löcher entlang des Feldes bewegen und einen elektrischen Strom erzeugen. So entstehen bei thermischer Anregung in Halbleitern zwei Arten von Stromträgern - Elektronen und Löcher. Ihre Konzentration hängt von der Temperatur ab, die typisch für die Leitfähigkeit von Halbleitern ist.
Literatur: [W. Harrison, 1972, Kap. II, 6.7; D. G. Knorre et al., 1990; K. V. Shalimova, 1985, 2.4; J. Ziman et al., 1972, Kapitel 8, 1]
3.2.2. Wellenfunktion eines Elektrons in einem Kristall
Im Modell der starken Kopplung lässt sich die Wellenfunktion eines Elektrons in einem Kristall als Linearkombination von Atomfunktionen darstellen:
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wo R ist der Radiusvektor des Elektrons, R J- Radiusvektor J tes Gitteratom.
Da die Wellenfunktion wandernder Elektronen in einem Kristall die Bloch-Form (2.1) haben muss, ist der Koeffizient MIT _ (j) für eine atomare Funktion auf J-te Stelle des Kristallgitters sollte die Form eines Phasenfaktors haben, d.h.
proportional zu T: n ~ T. Folglich sollte der Wärmeleitfähigkeitskoeffizient umgekehrt proportional zur Temperatur sein, was in qualitativer Übereinstimmung mit dem Experiment steht. Bei Temperaturen unterhalb der Debye-Temperatur ist l praktisch unabhängig von T, und die Wärmeleitfähigkeit wird vollständig durch die Abhängigkeit der Wärmekapazität des Kristalls C V ~ T 3 von T bestimmt. Daher bei niedrigen Temperaturen λ ~ T 3. Die charakteristische Abhängigkeit der Wärmeleitfähigkeit von der Temperatur ist in Abbildung 9 dargestellt.
Bei Metallen ist neben der Gitterwärmeleitfähigkeit auch die Wärmeleitfähigkeit aufgrund der Wärmeübertragung durch freie Elektronen zu berücksichtigen. Dies erklärt die hohe Wärmeleitfähigkeit von Metallen im Vergleich zu Nichtmetallen.
3. Elektronische Struktur von Kristallen.
3.1 Bewegung von Elektronen in einem periodischen Feld. Bandstruktur des Energiespektrums von Elektronen in einem Kristall. Bloch-Funktionen. Dispersionskurven. Effektive Masse.
In einem Festkörper sind die Abstände zwischen den Atomen mit ihrer Größe vergleichbar. Daher überlappen sich die Elektronenschalen benachbarter Atome teilweise und zumindest die Valenzelektronen jedes Atoms befinden sich in einem ausreichend starken Feld benachbarter Atome. Eine genaue Beschreibung der Bewegung aller Elektronen unter Berücksichtigung der Coulomb-Wechselwirkung von Elektronen untereinander und mit Atomkernen ist selbst für ein einzelnes Atom eine äußerst schwierige Aufgabe. Üblicherweise wird daher die Self-Consistent-Field-Methode verwendet, bei der das Problem auf die Beschreibung der Bewegung jedes einzelnen Elektrons im Feld des von Atomkernen erzeugten effektiven Potentials und des gemittelten Feldes der verbleibenden Elektronen reduziert wird.
Betrachten wir zunächst die Struktur der Energieniveaus des Kristalls, ausgehend von der engen Bindungsnäherung, bei der angenommen wird, dass die Bindungsenergie eines Elektrons mit seinem Atom die kinetische Energie seiner Bewegung von Atom zu Atom deutlich übersteigt. Bei großen Abständen zwischen Atomen hat jedes von ihnen ein System von engen Energieniveaus, die den Bindungszuständen eines Elektrons mit einem Ion entsprechen. Wenn sich die Atome einander nähern, nehmen Breite und Höhe der Potentialbarrieren zwischen ihnen ab, und aufgrund des Tunneleffekts können Elektronen von
ein Atom zum anderen, was mit der Ausdehnung der Energieniveaus und deren Umwandlung in . einhergeht Energiezonen(Abb. 10). Dies gilt insbesondere für schwach gebundene Valenzelektronen, die sich leicht durch den Kristall von Atom zu Atom bewegen können und bis zu einem gewissen Grad freien Elektronen ähnlich werden. Elektronen tieferer Energieniveaus sind viel stärker an ihr eigenes Atom gebunden. Sie bilden schmale Energiebänder mit weiten Bereichen verbotener Energien. In Abb. 10 zeigt herkömmlicherweise die Potentialkurven und Energieniveaus für den Na-Kristall. Die allgemeine Natur des Energiespektrums von Elektronen als Funktion des Kernabstands d ist in Abb. 11 dargestellt. In einigen Fällen verbreitern sich die oberen Niveaus so stark, dass sich benachbarte Energiebänder überlappen. In Abb. 11 Dies ist für d = d1 der Fall.
Basierend auf der Heisenberg-Bohrschen Unschärferelation ist die Breite des Energiebandes ∆ε mit der Verweilzeit τ eines Elektrons an einem bestimmten Gitterplatz durch die Beziehung τ> h verbunden. Aufgrund des Tunneleffekts kann ein Elektron durch die Potentialbarriere lecken. Schätzungen zufolge beim interatomaren Abstand d ~ 1Aτ ~ 10 -15 s und damit ∆ε ~ h / τ ~ 10 -19 J ~ 1 eV, d.h. die Bandlücke liegt in der Größenordnung von einem oder mehreren eV. Wenn ein Kristall aus N Atomen besteht, besteht jede Energiezone aus N Unterniveaus. Ein 1 cm3 Kristall enthält N ~ 1022 Atome. Folglich beträgt der Abstand zwischen den Unterniveaus bei einer Bandbreite von ~ 1 eV ~ 10 -22 eV, was viel geringer ist als die Energie der thermischen Bewegung unter normalen Bedingungen. Dieser Abstand ist so vernachlässigbar, dass die Zonen in den meisten Fällen als fast durchgehend betrachtet werden können.
In einem idealen Kristall befinden sich Atomkerne an den Stellen des Kristallgitters und bilden eine streng periodische Struktur. Dementsprechend hängt die potentielle Energie eines Elektrons V (r) auch periodisch von den Raumkoordinaten ab, d.h. besitzt Translationssymmetrie:
Gitter, a i (i = 1,2,3, ...) sind Vektoren von Basisübersetzungen.
Wellenfunktionen und Energieniveaus in einem periodischen Feld (1) werden durch Lösen der Schrödinger-Gleichung bestimmt
das Produkt der Gleichung einer ebenen Wanderwelle ei kr durch einen periodischen Faktor u k (r) = u k (r + a n) mit einer Gitterperiode darstellt. Funktionen (3) werden Bloch-Funktionen genannt.
Für V (r) = 0 hat Gleichung (2) eine Lösung in Form einer ebenen Welle:
wobei m die Masse des Teilchens ist. Dargestellt ist die Abhängigkeit der Energie E von der Wellenzahl Dispersionskurve... Nach (5) ist dies bei einem freien Elektron eine Parabel. In Analogie zur freien Bewegung heißt der Vektor k in Gleichung (3) Wellenvektor und p = h k ist der Quasiimpuls.
In der schwachen Kopplungsnäherung betrachten wir die Bewegung fast freier Elektronen, auf die das Störfeld des periodischen Potentials der Ionenkerne einwirkt. Im Gegensatz zur freien Bewegung hat Gleichung (2) in einem periodischen Feld V (r) keine Lösungen für alle Werte von E. Die Bereiche der erlaubten Energien wechseln sich mit den Zonen der verbotenen Energien ab. Im schwachen Kopplungsmodell wird dies durch die Bragg-Reflexion von Elektronenwellen im Kristall erklärt.
Betrachten wir dieses Problem genauer. Die Bedingung für die maximale Reflexion von Elektronenwellen in einem Kristall (die Wolfe-Bragg-Bedingung) wird durch Formel (17) Teil I bestimmt. Unter Berücksichtigung von G = n g erhalten wir daraus:
Betrachten Sie ein System endlicher Intervalle, die keine Werte von k enthalten, die die Beziehung (7) erfüllen:
(-n g / 2 Die Reichweite von k im dreidimensionalen k - Raum, gegeben durch die Formel (8) definiert für alle möglichen Richtungen die Grenzen der n-ten Brillouin-Zone. Innerhalb jeder Brillouin-Zone (n = 1,2,3, ...) ist die Elektronenenergie eine stetige Funktion k und erleidet an den Grenzen der Zonen eine Unstetigkeit. In der Tat, wenn Bedingung (7) erfüllt ist, wird die Amplitude des Vorfalls, k (r) = uk (r) ei kr und reflektiert, ψ -k (r) = u - k (r) e -i kr Wellen werden gleich sein, u k (r) = u -k (r). Diese Wellen geben zwei Lösungen der Schrödinger-Gleichung: Diese Funktion beschreibt die Ansammlung negativer Ladung an positiven Ionen, wobei die potentielle Energie am kleinsten ist. In ähnlicher Weise erhalten wir aus Formel (9b): ρ 2 (r) = | ψ 2 (r) | 2 = 4 ug / 2 2 (r) sin 2 (gr / 2) Diese Funktion beschreibt eine Verteilung von Elektronen, bei der sie sich hauptsächlich in den Bereichen befinden, die den Mittelpunkten der Abstände zwischen den Ionen entsprechen. In diesem Fall ist die potentielle Energie größer. Die Funktion ψ 2 entspricht der Energie E2> E1. verbotene Lücken mit Breite zB. Energie E`1 definiert die obere Grenze der ersten Zone und Energie E2 - die untere Grenze der zweiten Zone. Dies bedeutet, dass durch die Ausbreitung von Elektronenwellen in Kristallen Bereiche von Energiewerten entstehen, für die es keine Wellenlösungen der Schrödinger-Gleichung gibt. Da die Art der Abhängigkeit der Energie vom Wellenvektor die Dynamik der Elektronen in einem Kristall wesentlich beeinflusst, ist es beispielsweise von Interesse, den einfachsten Fall einer linearen Kette von Atomen im Abstand a voneinander zu betrachten entlang der x-Achse. In diesem Fall ist g = 2π / a. Abbildung 12 zeigt die Ausbreitungskurven für die ersten drei eindimensionalen Brillouin-Zonen: (- / a< k <π
/a), (-2π
/a < k < -π
/a; π/
a < k < 2π
/a), (-3π/
a < k < -2π
/a; 2π
/a < k < 3π
/a). К запрещенным зонам относятся области энергии Е`1
< E < E2
, E`2
< E< E3
и т.д. In Abb. 12 präsentiert erweitertes Zonenschema, in dem sich verschiedene Energiezonen im Weltraum in verschiedenen Brillouin-Zonen befinden. Es ist jedoch immer möglich und oft praktisch, den Wellenvektor k so zu wählen, dass sein Ende innerhalb der ersten Brillouin-Zone liegt. Schreiben wir die Bloch-Funktion wie folgt: liegen in der ersten Brillouin-Zone. Setzen wir k in Formel (11) ein, erhalten wir: hat die Form einer Bloch-Funktion mit einem Bloch-Faktor (13). Der n-Index gibt nun die Nummer der Energiezone an, zu der diese Funktion gehört. Das Verfahren zur Reduktion eines beliebigen Wellenvektors auf die erste Brillouin-Zone heißt Diagramme der angegebenen Zonen... In diesem Schema nimmt der Vektor k die Werte -g / 2 . an< k < g/2
, но одному и тому же значениюк
будут отвечать различные значения энергии, каждое из которых будет соответствовать одной из зон. На рисунке 13 представлена схема приведенных зон для одномерной решетки, соответствующая расширенной зонной схеме на рисунке 12. Somit ist die Existenz von Energiebandlücken auf die Bragg-Reflexion von de Broglie-Elektronenwellen von Kristallebenen zurückzuführen. Die Knickpunkte werden durch die Bedingungen der maximalen Wellenreflexion bestimmt. Nach den Gesetzen der Quantenmechanik wird die Translationsbewegung eines Elektrons als die Bewegung eines Wellenpakets mit Wellenvektoren nahe dem Vektor k betrachtet. Die Gruppengeschwindigkeit des Wellenpakets v wird durch den Ausdruck bestimmt. Das Energiespektrum der Elektronen in einem Festkörper unterscheidet sich erheblich vom Energiespektrum der freien Elektronen (das kontinuierlich ist) oder dem Spektrum der Elektronen, die zu einzelnen isolierten Atomen gehören (diskret mit einer bestimmten Menge verfügbarer Niveaus) - es besteht aus einzelnen erlaubten Energiebändern durch verbotene Energiebänder getrennt. Nach Bohrs quantenmechanischen Postulaten kann die Energie eines Elektrons in einem isolierten Atom streng diskrete Werte annehmen (das Elektron befindet sich in einem der Orbitale). Bei einem System mehrerer Atome, die durch eine chemische Bindung verbunden sind, teilen sich die Elektronenorbitale proportional zur Anzahl der Atome auf und bilden die sogenannten Molekülorbitale. Mit einer weiteren Erhöhung des Systems auf das makroskopische Niveau wird die Anzahl der Orbitale sehr groß und der Unterschied in den Energien der Elektronen in benachbarten Orbitalen ist jeweils sehr klein - die Energieniveaus werden in zwei praktisch kontinuierliche diskrete Sätze aufgeteilt - Energiebänder. Das höchste der erlaubten Energiebänder in Halbleitern und Dielektrika, in denen bei einer Temperatur von 0 K alle Energiezustände von Elektronen besetzt sind, nennt man Valenzband, gefolgt vom Leitungsband. In Leitern ist die Leitungszone die höchste zulässige Zone, in der sich Elektronen mit einer Temperatur von 0 K befinden. Nach dem Prinzip der gegenseitigen Anordnung dieser Zonen werden alle Festkörper in drei große Gruppen unterteilt (siehe Abb.) : Die Bandtheorie ist die Grundlage der modernen Festkörpertheorie. Sie ermöglichte es, die Natur zu verstehen und die wichtigsten Eigenschaften von Metallen, Halbleitern und Dielektrika zu erklären. Die Bandlücke (Energielücke zwischen Valenz- und Leitfähigkeitsband) ist eine Schlüsselgröße in der Bandtheorie und bestimmt die optischen und elektrischen Eigenschaften eines Materials. Beispielsweise kann bei Halbleitern die Leitfähigkeit erhöht werden, indem durch Dotieren ein zulässiges Energieniveau in der verbotenen Zone erzeugt wird – das Hinzufügen von Verunreinigungen zur Zusammensetzung des anfänglichen Grundmaterials, um seine physikalischen und chemischen Eigenschaften zu ändern. In diesem Fall sagen sie, dass der Halbleiter eine Verunreinigung ist. So entstehen alle Halbleiterbauelemente: Solarzellen, Dioden, Festkörper usw. Der Übergang eines Elektrons vom Valenzband in das Leitungsband wird als Prozess der Erzeugung von Ladungsträgern (negativ - Elektron und positiv - Löcher) und der umgekehrte Übergang wird als Rekombinationsprozess bezeichnet. Die Bandtheorie hat Grenzen der Anwendbarkeit, die auf drei Grundannahmen beruhen: a) das Potential des Kristallgitters ist streng periodisch; b) die Wechselwirkung zwischen freien Elektronen kann auf ein selbstkonsistentes Ein-Elektronen-Potential reduziert werden (und der Rest wird durch die Methode der Störungstheorie betrachtet); c) die Wechselwirkung mit Phononen ist schwach (und kann nach der Störungstheorie berücksichtigt werden). Reis. 2. Energiebänder an der Grenze zweier Halbleiter - Heterostruktur. E c und EU- Grenzen der Leitungs- und Valenzbänder, Z.B- die Breite der verbotenen Zone. Ein Elektron mit weniger Energie E c 2 (die Ebene ist rot dargestellt) darf sich nur rechts vom Rand befinden Für Elektronen, die sich in einem Halbleiter mit schmaler Bandlücke bewegen und eine geringere Energie haben E c 2 wird die Grenze die Rolle einer potentiellen Barriere spielen. Zwei Heteroübergänge schränken die Bewegung eines Elektrons von zwei Seiten ein und bilden sozusagen einen Potentialtopf. Auf diese Weise werden Quantentöpfe erzeugt, indem eine dünne Halbleiterschicht mit schmaler Bandlücke zwischen zwei Materialschichten mit breiterer Bandlücke platziert wird. Als Ergebnis wird das Elektron in einer Richtung gefangen, was zur Quantisierung der Energie der transversalen Bewegung führt. Gleichzeitig ist die Bewegung der Elektronen in die anderen beiden Richtungen frei, daher können wir sagen, dass das Elektronengas im Quantentopf zweidimensional wird. Auf die gleiche Weise kann eine eine Quantenbarriere enthaltende Struktur hergestellt werden, indem eine dünne Schicht eines Halbleiters mit einer großen Bandlücke zwischen zwei Halbleitern mit einer schmalen Bandlücke angeordnet wird. Für die Herstellung solcher Strukturen wurden mehrere perfekte technologische Verfahren entwickelt, die besten Ergebnisse bei der Herstellung von Quantenstrukturen wurden jedoch mit der Methode erzielt Molekularstrahlepitaxie.
Um mit diesem Verfahren eine dünne Halbleiterschicht zu züchten, ist es notwendig, einen Strom von Atomen oder Molekülen auf ein sorgfältig gereinigtes Substrat zu richten. Mehrere Atomströme, die durch Verdampfung von Materie aus getrennten Heizquellen gewonnen werden, fliegen gleichzeitig auf das Substrat. Um Kontaminationen zu vermeiden, wird die Struktur im Hochvakuum aufgewachsen. Der gesamte Prozess wird von einem Computer gesteuert, die chemische Zusammensetzung und Kristallstruktur der gewachsenen Schicht werden während des Wachstumsprozesses kontrolliert. Die Molekularstrahlepitaxie ermöglicht es, perfekte Einkristallschichten mit einer Dicke von nur wenigen Gitterperioden (eine Gitterperiode beträgt etwa 2) zu züchten. Es ist äußerst wichtig, dass die Gitterperioden zweier benachbarter Schichten mit unterschiedlicher chemischer Zusammensetzung nahezu gleich sind. Dann folgen die Schichten exakt aufeinander und das Kristallgitter der gewachsenen Struktur enthält keine Defekte. Mit der Methode der Molekularstrahlepitaxie ist es möglich, eine sehr scharfe (bis zu einer Monoschicht) Grenze zwischen zwei benachbarten Schichten zu erhalten, und die Oberfläche ist auf atomarer Ebene glatt. Quantenstrukturen können aus verschiedenen Materialien gezüchtet werden, aber das erfolgreichste Paar zum Züchten von Quantentöpfen ist der GaAs-Halbleiter, Galliumarsenid und der Al x Ga 1-x As-Mischkristall, in dem ein Teil der Galliumatome durch Aluminiumatome ersetzt wird . Die Quantität x ist der Anteil der Galliumatome, der durch Aluminiumatome ersetzt wird; er variiert normalerweise zwischen 0,15 und 0,35. Die Bandlücke in Galliumarsenid beträgt 1,5 eV, und in der festen Lösung Al x Ga 1-x As nimmt sie mit zunehmendem zu x... So für x= 1, dh in der AlAs-Verbindung beträgt die Bandlücke 2,2 eV. Um einen Quantentopf wachsen zu lassen, ist es während des Wachstums notwendig, die chemische Zusammensetzung der auf die wachsende Schicht fliegenden Atome zu ändern. Zuerst müssen Sie eine Halbleiterschicht mit großer Bandlücke wachsen lassen, d. h. Al x Ga 1-x As, dann eine Schicht aus GaAs-Material mit schmaler Bandlücke und schließlich wieder eine Schicht aus Al x Ga 1-x As . Das Energiediagramm des so hergestellten Quantentopfs ist in Abb. 3. Die Wanne hat eine endliche Tiefe (einige Zehntel Elektronenvolt). Es enthält nur zwei diskrete Niveaus, und die Wellenfunktionen am Brunnenrand verschwinden nicht. Dies bedeutet, dass sich das Elektron außerhalb der Wanne befindet, in dem Bereich, in dem die Gesamtenergie geringer ist als die potentielle. Das kann in der klassischen Physik natürlich nicht sein, aber in der Quantenphysik ist es möglich. Reis. 3. Ein Quantentopf, gebildet in einer Halbleiterschicht mit schmaler Bandlücke, die zwischen zwei Halbleitern mit einer größeren Bandlücke eingeschlossen ist Technologen haben mehrere Methoden zur Herstellung von Quantenpunkten und Fäden entwickelt. Diese Strukturen können beispielsweise an der Grenzfläche zwischen zwei Halbleitern gebildet werden, wo sich das zweidimensionale Elektronengas befindet. Dies kann durch das Anbringen zusätzlicher Barrieren erfolgen, die die Bewegung von Elektronen in eine oder zwei weitere Richtungen einschränken. Quantenfilamente werden am Boden einer V-förmigen Rille gebildet, die auf einem Halbleitersubstrat gebildet ist. Wird am Grund dieser Nut ein Halbleiter mit kleinerer Bandlücke abgeschieden, so werden die Elektronen dieses Halbleiters in zwei Richtungen gesperrt. In Abb. 4 zeigt die an der Grenzfläche zwischen Galliumarsenid und Aluminium-Galliumarsenid erzeugten Quantenpunkte. Während des Wachstumsprozesses wurden zusätzliche Fremdatome in den AlGaAs-Halbleiter eingeführt. Die Elektronen dieser Atome gehen zum GaAs-Halbleiter, also in den Bereich niedrigerer Energie. Aber sie können nicht zu weit gehen, da sie von den Fremdatomen angezogen werden, die sie hinterlassen haben und die eine positive Ladung erhalten haben. Fast alle Elektronen sind an der Heterogrenzfläche auf der GaAs-Seite konzentriert und bilden ein zweidimensionales Gas. Der Prozess der Bildung von Quantenpunkten beginnt mit dem Aufbringen einer Anzahl von Masken, von denen jede die Form eines Kreises hat, auf die AlGaAs-Oberfläche. Danach wird eine Tiefenätzung durchgeführt, bei der die gesamte AlGaAs-Schicht und teilweise die GaAs-Schicht entfernt werden (in Fig. 4). Reis. 4. Quantenpunkte gebildet in einem zweidimensionalen Elektronengas an der Grenzfläche zweier Halbleiter Als Ergebnis werden die Elektronen in den gebildeten Zylindern gefangen (in Fig. 4 ist der Bereich, in dem sich die Elektronen befinden, rot gefärbt). Die Durchmesser der Zylinder liegen in der Größenordnung von 500 nm. In einem Quantenpunkt ist die Bewegung in drei Richtungen begrenzt und das Energiespektrum ist wie bei einem Atom vollständig diskret. Daher werden Quantenpunkte auch als künstliche Atome bezeichnet, obwohl jeder dieser Punkte aus Tausenden oder sogar Hunderttausenden von echten Atomen besteht. Die Größen von Quantenpunkten (man kann auch von Quantenboxen sprechen) liegen in der Größenordnung von mehreren Nanometern. Wie ein reales Atom kann ein Quantenpunkt ein oder mehrere freie Elektronen enthalten. Wenn es ein Elektron gibt, ist es wie ein künstliches Wasserstoffatom, wenn zwei - ein Heliumatom usw. Quantenpunkt- ein Fragment eines Leiters oder Halbleiters, das in allen drei räumlichen Dimensionen begrenzt ist und Leitungselektronen enthält. Der Punkt muss so klein sein, dass Quanteneffekte signifikant sind. Dies wird erreicht, wenn die kinetische Energie des Elektrons Quantenpunkt jedes kleine Stück Metall oder Halbleiter kann dienen. Historisch gesehen waren die ersten Quantenpunkte wahrscheinlich Cadmiumselenid-CdSe-Mikrokristalle. Ein Elektron in einem solchen Mikrokristall fühlt sich an wie ein Elektron in einem dreidimensionalen Potentialtopf, es hat viele stationäre Energieniveaus mit einem charakteristischen Abstand zwischen ihnen Derzeit widmen sich viele Experimente Quantenpunkten, die in einem zweidimensionalen Elektronengas gebildet werden. In einem zweidimensionalen Elektronengas ist die Bewegung der Elektronen senkrecht zur Ebene bereits begrenzt, und der Bereich auf der Ebene kann durch von oben auf die Heterostruktur aufgebrachte Gate-Metallelektroden unterschieden werden. Quantenpunkte in einem zweidimensionalen Elektronengas können durch Tunnelkontakte mit anderen Bereichen eines zweidimensionalen Gases verbunden und die Leitfähigkeit durch einen Quantenpunkt untersucht werden. In einem solchen System wird das Phänomen der Coulomb-Blockade beobachtet. Quantenpunkte PbSe auf PbTe-Schicht Reis. 1a Si 001 siliziumbasierter Germanium-Quantenpunkt (Aufnahme mit einem Rasterelektronenmikroskop) (Zeichnung von HP Research Group) Reis. 1b Konischer Photonenkanal eines Halbleiters als Quantenpunkt Von Quantenpunkten eingefangene Elektronen verhalten sich wie in einem gewöhnlichen Atom, auch wenn im „künstlichen Atom“ kein Atomkern vorhanden ist. Neben der einfachen Strukturierung und Ätzung der Halbleiteroberfläche können Quantenpunkte erzeugt werden, die die natürliche Eigenschaft des Materials nutzen, während des Wachstums kleine Inseln zu bilden. Solche Inseln können sich beispielsweise spontan auf der Oberfläche der wachsenden kristallinen Schicht bilden. Es gibt andere Technologien zur Herstellung von Quantentöpfen, Fäden und Punkten, die auf den ersten Blick sehr einfach erscheinen.
Illustrationen
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, wird aufgrund der Unsicherheit seines Impulses merklich größer sein als alle anderen Energieskalen: Erstens wird es höher sein als die in Energieeinheiten ausgedrückte Temperatur ( D- charakteristische Punktgröße, m ist die effektive Masse eines Elektrons an einem Punkt).
(Der genaue Ausdruck für die Energieniveaus hängt von der Form des Punktes ab). Ähnlich wie beim Übergang zwischen den Energieniveaus eines Atoms kann beim Übergang zwischen den Energieniveaus eines Quantenpunktes ein Photon emittiert werden. Es ist auch möglich, ein Elektron auf ein hohes Energieniveau zu werfen und Strahlung vom Übergang zwischen tiefer liegenden Niveaus (Lumineszenz) zu empfangen. In diesem Fall lassen sich die Übergangsfrequenzen im Gegensatz zu realen Atomen leicht durch Veränderung der Kristallabmessungen steuern. Tatsächlich war die Beobachtung der Lumineszenz von Cadmiumselenid-Kristallen mit einer durch die Größe des Kristalls bestimmten Lumineszenzfrequenz die erste Beobachtung von Quantenpunkten.
Reis. Abmessungen eines Nanokristall-Quantenpunktes
