ضدخوراک F x 3x 2. ضد انگیزه عملکرد و نمای کلی

درس و ارائه با موضوع: "عملکرد ضد تحریک. نمودار یک تابع"

مواد اضافی
کاربران عزیز ، فراموش نکنید که نظرات ، بررسی ها ، خواسته های خود را بگذارید! تمام مواد توسط یک برنامه آنتی ویروس بررسی شده است.

وسایل کمک آموزشی و شبیه ساز در فروشگاه اینترنتی "انتگرال" برای کلاس 11
مشکلات جبری با پارامترها ، نمرات 9-11
"وظایف ساختمانی تعاملی در فضا برای پایه های 10 و 11"

عملکرد ضد تحریک کننده معرفی

بچه ها ، با استفاده از فرمول ها و قوانین مختلف می توانید مشتقات توابع را پیدا کنید. امروز ما معکوس محاسبه مشتق را مطالعه خواهیم کرد. مفهوم مشتق اغلب در استفاده می شود زندگی واقعی... بگذارید یادآوری کنم که مشتق سرعت تغییر یک تابع در یک نقطه خاص است. فرایندهای مربوط به حرکت و سرعت به خوبی در این اصطلاحات شرح داده شده اند.

اجازه دهید مشکل زیر را در نظر بگیریم: "سرعت حرکت یک جسم در امتداد یک خط مستقیم با فرمول $ V = gt $ توصیف می شود. لازم است قانون حرکت را بازیابی کنیم.
راه حل.
ما فرمول را به خوبی می شناسیم: $ S "= v (t) $ ، جایی که S قانون حرکت است.
وظیفه ما به یافتن عملکرد $ S = S (t) $ کاهش می یابد ، مشتق آن برابر است با $ gt $. با نگاه دقیق ، می توانید حدس بزنید که $ S (t) = \ frac (g * t ^ 2) (2) $.
بیایید صحت راه حل این مشکل را بررسی کنیم: $ S "(t) = (\ frac (g * t ^ 2) (2))" = \ frac (g) (2) * 2t = g * t $.
با دانستن مشتق تابع ، خود تابع را پیدا کردیم ، یعنی عملیات معکوس را انجام دادیم.
اما ارزش توجه به این لحظه را دارد. راه حل مشکل ما نیاز به توضیح دارد ، اگر هر عدد (ثابت) به تابع یافت شده اضافه شود ، مقدار مشتق تغییر نمی کند: $ S (t) = \ frac (g * t ^ 2) (2) + c ، c = ثابت $.
$ S "(t) = (\ frac (g * t ^ 2) (2))" + c "= g * t + 0 = g * t $

بچه ها ، توجه کنید: وظیفه ما تعداد بیشماری راه حل دارد!
اگر مشکل شرط اولیه یا شرایط دیگری را مشخص نکرد ، فراموش نکنید که یک ثابت را به محلول اضافه کنید. به عنوان مثال ، در وظیفه ما می توان موقعیت بدن ما را در ابتدای حرکت تعیین کرد. سپس محاسبه ثابت کار دشواری نیست ، با جایگزینی صفر در معادله حاصل ، مقدار ثابت را بدست می آوریم.

نام چنین عملیاتی چیست؟
عملیات معکوس تمایز را یکپارچگی می نامند.
یافتن تابعی از مشتق داده شده - ادغام.
خود تابع ضد اشتقاقی نامیده می شود ، یعنی تصویری که مشتق عملکرد از آن بدست آمده است.
مرسوم است که ضدتخلف را با حرف بزرگ $ y = F "(x) = f (x) $ بنویسید.

تعریف. تابع $ y = F (x) $ ضد تخریب تابع $ y = f (x) $ در فاصله X نامیده می شود ، اگر برای $ xϵX $ برابر باشد $ F '(x) = f (x) $ .

بیایید یک جدول از داروهای ضداحرفه برای آن تهیه کنیم توابع مختلف... شما باید آن را به عنوان یادداشت چاپ کنید و یاد بگیرید.

در جدول ما هیچ وجود ندارد شرایط اولیهپرسیده نشد این بدان معناست که یک ثابت باید به هر عبارت در سمت راست جدول اضافه شود. این قانون را بعداً روشن خواهیم کرد.

قوانین پیدا کردن داروهای ضدتخلف

بیایید چند قانون را بنویسیم تا به ما در یافتن داروهای ضداحرفه ای کمک کند. همه آنها شبیه به قوانین تمایز هستند.

قانون 1 ضد هضم مجموع برابر است با مجموع ضداحرف ها. $ F (x + y) = F (x) + F (y) $.

مثال.
Antiderivative برای عملکرد $ y = 4x ^ 3 + cos (x) $ را پیدا کنید.
راه حل.
ضد تخمین مجموع برابر است با مجموع ضداخلاق ها ، سپس شما باید برای هر یک از توابع ارائه شده ، ضد هادی را پیدا کنید.
$ f (x) = 4x ^ 3 $ => $ F (x) = x ^ 4 $
$ f (x) = cos (x) $ => $ F (x) = گناه (x) $.
سپس ضد هادی تابع اصلی خواهد بود: $ y = x ^ 4 + sin (x) $ یا هر تابعی از شکل $ y = x ^ 4 + sin (x) + C $.

قانون 2 اگر $ F (x) $ ضدتخریب $ f (x) $ است ، در اینصورت $ k * F (x) $ ضدتکثیر برای تابع $ k * f (x) $ است.(ما به راحتی می توانیم ضریب را به عنوان یک تابع در نظر بگیریم).

مثال.
یافتن داروهای ضد اشتعال توابع:
a) $ y = 8sin (x) $.
ب) $ y = - \ frac (2) (3) cos (x) $.
ج) $ y = (3x) ^ 2 + 4x + 5 $.
راه حل.
الف) ضد هادی $ sin (x) $ منهای $ cos (x) $ است. آنگاه ، ضد اشتقاق عملکرد اصلی به شکل زیر در می آید: $ y = -8cos (x) $.

ب) ضد هادی $ cos (x) $ $ sin (x) $ است. سپس ضد هورمون تابع اصلی به شکل زیر ظاهر می شود: $ y = - \ frac (2) (3) sin (x) $.

ج) ضد هورمون $ x ^ 2 $ $ \ frac (x ^ 3) (3) $ است. ضد هادی برای x $ \ frac (x ^ 2) (2) $ است. ضد هضم برای 1 x است. سپس ضدتغییر تابع اصلی شکل می گیرد: $ y = 3 * \ frac (x ^ 3) (3) + 4 * \ frac (x ^ 2) (2) + 5 * x = x ^ 3 + 2x ^ 2 + 5x $ ...

قانون 3 اگر $ y = F (x) $ ضدتغییر برای تابع $ y = f (x) $ است ، آنتی متقارن برای تابع $ y = f (kx + m) $ تابع $ y = \ frac (1 ) (k) * F (kx + m) $.

مثال.
داروهای ضداستفاده از توابع زیر را بیابید:
a) $ y = cos (7x) $.
ب) $ y = گناه (\ frac (x) (2)) $.
ج) $ y = (- 2x + 3) ^ 3 $.
د) $ y = e ^ (\ frac (2x + 1) (5)) $.
راه حل.
الف) ضد هادی $ cos (x) $ $ sin (x) $ است. سپس ضدتغییر برای تابع $ y = cos (7x) $ تابع $ y = \ frac (1) (7) * sin (7x) = \ frac (sin (7x)) (7) $ خواهد بود.

ب) ضد هادی $ sin (x) $ منهای $ cos (x) $ است. سپس ضدتغییر برای تابع $ y = sin (\ frac (x) (2)) $ تابع $ y = - \ frac (1) (\ frac (1) (2)) cos (\ frac (x) (2)) = - 2cos (\ frac (x) (2)) $.

ج) ضد هزین for $ x ^ 3 $ $ \ frac (x ^ 4) (4) $ است ، سپس ضدترکیب تابع اصلی $ y = - \ frac (1) (2) * \ frac (((( - 2x + 3)) ^ 4) (4) = - \ frac ((( - - 2x + 3)) ^ 4) (8) $.

D) اندکی بیان را به توان $ \ frac (2x + 1) (5) = \ frac (2) (5) x + \ frac (1) (5) $ ساده کنید.
ضد هضم یک تابع نمایی به خودی خود است تابع نمایی... ضد تخریب تابع اصلی $ y = \ frac (1) (\ frac (2) (5)) e ^ (\ frac (2) (5) x + \ frac (1) (5)) = \ frac (5) (2) * e ^ (\ frac (2x + 1) (5)) $.

قضیه اگر $ y = F (x) $ ضدتغییر برای تابع $ y = f (x) $ در فاصله X است ، آنگاه تابع $ y = f (x) $ بی نهایت ضدقارچ دارد و همه آنها دارای شکل هستند $ y = F (x) + C $

اگر در همه مثالهایی که در بالا در نظر گرفته شد ، لازم بود مجموعه ای از همه ضدحرف ها را بیابید ، باید ثابت C را در همه جا اضافه کرد.
برای تابع $ y = cos (7x) $ ، همه ضد مشتقات عبارتند از: $ y = \ frac (sin (7x)) (7) + C $.
برای تابع $ y = (-- 2x + 3) ^ 3 $ همه داروهای ضد حریق عبارتند از: $ y =- \ frac (((-- 2x + 3)) ^ 4) (8) + C $.

مثال.
قانون حرکت $ S = S (t) $ را با توجه به قانون تغییر سرعت بدن از زمان $ v = -3sin (4t) $ پیدا کنید ، اگر در لحظه اولیه زمان بدن دارای یک مختصات برابر 1.75
راه حل.
از آنجا که $ v = S ’(t) $ ، ما باید برای سرعت داده شده ، ضد هادی را بیابیم.
$ S = -3 * \ frac (1) (4) ( - cos (4t)) + C = \ frac (3) (4) cos (4t) + C $
در این مشکل ، یک شرط اضافی داده می شود - لحظه اولیه زمان. این بدان معناست که $ t = 0 $.
$ S (0) = \ frac (3) (4) cos (4 * 0) + C = \ frac (7) (4) $
$ \ frac (3) (4) cos (0) + C = \ frac (7) (4) $.
$ \ frac (3) (4) * 1 + C = \ frac (7) (4) $.
$ C = 1 $
سپس قانون حرکت با فرمول شرح داده می شود: $ S = \ frac (3) (4) cos (4t) + 1 $.

وظایف راه حل مستقل

1. داروهای ضد مشتقات توابع را بیابید:
a) $ y = -10sin (x) $.
ب) $ y = \ frac (5) (6) cos (x) $.
ج) $ y = (4x) ^ 5 + (3x) ^ 2 + 5x $.
2. داروهای ضد مشتقات توابع زیر را بیابید:
a) $ y = cos (\ frac (3) (4) x) $
ب) $ y = گناه (8 برابر) $.
ج) $ y = ((7x + 4)) ^ 4 $.
د) $ y = e ^ (\ frac (3x + 1) (6)) $.
3. با توجه به قانون داده شده در تغییر سرعت بدن از زمان $ v = 4cos (6t) $ ، اگر در لحظه اولیه زمان بدن ، قانون حرکت $ S = S (t) $ را پیدا کنید. مختصاتی برابر با 2 داشت.

حل انتگرال کار آسانی است ، اما فقط برای چند نفر منتخب. این مقاله برای کسانی است که می خواهند درک انتگرال را بیاموزند ، اما هیچ چیز یا تقریباً هیچ چیز درباره آنها نمی دانند. انتگرال ... چرا به آن نیاز است؟ چگونه آن را محاسبه کنیم؟ انتگرال معین و نامعین چیست؟ اگر تنها استفاده از یک انتگرال که می شناسید ، قلاب دوزی چیزی مفید از مکان های دور از دسترس با قلاب دوزی به شکل نماد یکپارچه است ، پس خوش آمدید! بیاموزید که چگونه انتگرال را حل کنید و چرا بدون آن نمی توانید انجام دهید.

ما مفهوم "انتگرال" را مطالعه می کنیم

ادغام در گذشته شناخته شده بود مصر باستان... البته در نیست فرم مدرن، اما هنوز. از آن زمان ، ریاضیدانان کتابهای زیادی در این زمینه نوشته اند. به ویژه خود را متمایز کردند نیوتن و لایب نیتس اما اصل چیزها تغییر نکرده است چگونه انتگرال ها را از ابتدا درک کنیم؟ به هیچ وجه! برای درک این مبحث ، شما هنوز نیاز به دانش اولیه از مبانی تجزیه و تحلیل ریاضی دارید. ما قبلاً در وبلاگ خود اطلاعاتی در مورد لازم برای درک انتگرال داریم.

انتگرال نامعین

فرض کنید ما نوعی عملکرد داریم f (x) .

انتگرال نامحدود یک تابع f (x) چنین تابعی نامیده می شود F (x) مشتق آن برابر با تابع است f (x) .

به عبارت دیگر ، انتگرال مشتق معکوس یا ضد مشتق است. به هر حال ، نحوه مقاله را در مقاله ما بخوانید.

ضداخلاقی برای همه عملکردهای پیوسته وجود دارد. همچنین ، علامت ثابت اغلب به ضد هادی اضافه می شود ، زیرا مشتقات توابع که با یک ثابت متفاوت هستند همزمان می شوند. فرآیند یافتن انتگرال را ادغام می نامند.

مثال ساده:

به منظور محاسبه مداوم ضد مشتقات توابع ابتدایی ، مناسب است که آنها را در جدول آورده و از مقادیر آماده استفاده کنید.

جدول کامل انتگرال برای دانشجویان

انتگرال معین

وقتی به مفهوم انتگرال می پردازیم ، با کمیت های نامحدود سروکار داریم. انتگرال به محاسبه مساحت یک شکل ، جرم یک بدن ناهمگن ، که در آن منتقل می شود ، کمک می کند حرکت ناهموارمسیر و موارد دیگر لازم به یادآوری است که انتگرال مجموع تعداد بی نهایت عبارات بی نهایت کوچک است.

به عنوان مثال ، بیایید نمودار برخی از عملکردها را تصور کنیم. چگونه می توان مساحت یک شکل محدود به نمودار یک تابع را پیدا کرد؟

با استفاده از انتگرال! ذوزنقه منحنی ، محدود شده توسط محورهای مختصات و نمودار تابع را به بخشهای بی نهایت کوچک تقسیم می کنیم. بنابراین ، شکل به ستون های نازک تقسیم می شود. مجموع مساحت ستونها مساحت ذوزنقه است. اما به یاد داشته باشید که چنین محاسبه ای نتیجه تقریبی می دهد. با این حال ، هرچه بخشها کوچکتر و باریک تر باشند ، محاسبه دقیق تر خواهد بود. اگر آنها را به حدی کاهش دهیم که طول به صفر برسد ، مجموع مساحت قطعات به مساحت شکل متمایل می شود. این یک انتگرال مشخص است که به صورت زیر نوشته شده است:

نقاط a و b را محدودیت یکپارچگی می نامند.

باری علیباسوف و گروه "انتگرال"

راستی! برای خوانندگان ما ، اکنون 10 discount تخفیف در نظر گرفته شده است

قوانین محاسبه انتگرال برای افراد ساختگی

خواص انتگرال نامحدود

چگونه یک انتگرال نامعین را حل کنیم؟ در اینجا ما ویژگی های انتگرال نامعین را بررسی می کنیم ، که هنگام حل مثال ها مفید خواهد بود.

• مشتق انتگرال برابر انتگرال است:

• ثابت را می توان از زیر علامت انتگرال خارج کرد:

• انتگرال مجموع برابر است با مجموع انتگرال ها. در مورد تفاوت نیز صادق است:

خواص انتگرال معین

• خطی بودن:

• اگر محدوده ادغام معکوس شود علامت انتگرال تغییر می کند:

• در هر کدامنکته ها آ, بو با:

ما قبلاً دریافته ایم که انتگرال معین حد مجموع است. اما چگونه می توان هنگام حل مثال یک مقدار خاص را بدست آورد؟ برای این منظور ، فرمول نیوتن-لایب نیتس وجود دارد:

نمونه های راه حل های یکپارچه

در زیر چندین مثال برای یافتن انتگرال نامعین در نظر می گیریم. ما به شما پیشنهاد می کنیم که به طور مستقل پیچیدگی های راه حل را بفهمید ، و اگر چیزی مشخص نیست ، در نظرات سوال بپرسید.

برای تجمیع مطالب ، ویدئو نحوه حل انتگرال در عمل را مشاهده کنید. اگر انتگرال بلافاصله داده نشود ، دلسرد نشوید. با خدمات دانشجویی حرفه ای تماس بگیرید و می توانید هر انتگرال سه گانه یا منحنی را روی یک سطح بسته کنترل کنید.

تعریف داروهای ضد تحریک

ضد هادی یک تابع f (x) در فاصله (a؛ b) یک تابع F (x) است به طوری که برابری برای هر x از یک بازه معین صادق است.

اگر این واقعیت را در نظر بگیریم که مشتق ثابت С برابر با صفر است ، پس برابری ... بنابراین ، تابع f (x) دارای مجموعه ای از داروهای ضدحساسیت F (x) + C ، برای ثابت C دلخواه است و این ضدحساسیت ها با مقدار ثابت دلخواه با یکدیگر تفاوت دارند.

تعریف انتگرال نامعین.

کل مجموعه ضداخلاق های تابع f (x) نامیده می شود انتگرال نامعیناین تابع و نشان داده شده است .

عبارت نامیده می شود integrandو f (x) - یکپارچه... انتگرال دیفرانسیل تابع f (x) است.

عمل یافتن یک تابع ناشناخته برای یک دیفرانسیل معین نامیده می شود نا معلومیکپارچگی ، زیرا نتیجه ادغام یک تابع F (x) نیست ، بلکه مجموعه ضدحرکات آن F (x) + C است.

بر اساس خواص مشتق ، می توان فرمول بندی و اثبات کرد خواص انتگرال نامحدود(خواص ضد تحریک کننده).

برابری میانی خواص اول و دوم انتگرال نامعین برای روشن شدن داده شده است.

برای اثبات خصوصیات سوم و چهارم ، کافی است مشتقات طرف راست برابرها را پیدا کنید:

این مشتقات برابر با انتگرال هستند ، که بر اساس اولین ویژگی اثبات می شود. همچنین در آخرین انتقالات استفاده می شود.

بنابراین ، مشکل ادغام معکوس مشکل تمایز است و ارتباط بسیار نزدیکی بین این مشکلات وجود دارد:

• اولین ویژگی به فرد اجازه می دهد تا ادغام را بررسی کند. برای بررسی صحت ادغام انجام شده ، کافی است مشتق نتیجه به دست آمده را محاسبه کنید. اگر تابع بدست آمده در نتیجه تمایز مساوی با یکپارچه باشد ، این بدان معنی است که ادغام به درستی انجام شده است.
• خاصیت دوم انتگرال نامعین به ما اجازه می دهد که ضد اشتقاق آن را از دیفرانسیل شناخته شده تابع پیدا کنیم. محاسبه مستقیم انتگرال نامعین بر اساس این ویژگی است.

بیایید به یک مثال نگاه کنیم.

مثال.

ضد مشتق تابعی را پیدا کنید که مقدار آن برابر با یک باشد در x = 1.

راه حل.

ما با حساب دیفرانسیل می دانیم که (فقط به جدول مشتقات توابع اساسی نگاه کنید). بدین ترتیب، ... توسط ملک دوم ... به این معنا که ما داروهای ضداحتقاط زیادی داریم. برای x = 1 ، مقدار را بدست می آوریم. طبق شرط ، این مقدار باید برابر یک باشد ، بنابراین ، C = 1. ضد تحریک مورد نظر شکل می گیرد.

مثال.

انتگرال نامعین را پیدا کنید و نتیجه را با تمایز بررسی کنید.

راه حل.

فرمول سینوسی دو زاویه از مثلثات ، بنابراین

یکی از عملیات تمایز یافتن مشتق (دیفرانسیل) و استفاده از آن برای مطالعه توابع است.

مسئله معکوس نیز اهمیت چندانی ندارد. اگر رفتار یک تابع در مجاورت هر نقطه از تعریف آن مشخص باشد ، چگونه می توان عملکرد را به طور کلی بازگرداند ، به عنوان مثال در کل منطقه از تعریف آن است. این مشکل موضوع مطالعه محاسبات انتگرال است.

ادغام عملی معکوس برای تمایز است. یا بازیابی تابع f (x) از مشتق داده شده f` (x). کلمه لاتین "integro" به معنای بازسازی است.

مثال شماره 1.

اجازه دهید (f (x)) '= 3x 2. f (x) را بیابید.

راه حل:

بر اساس قاعده تمایز ، به راحتی می توان حدس زد که f (x) = x 3 ، زیرا

(x 3) '= 3x 2 با این حال ، شما به راحتی می توانید متوجه شوید که f (x) مبهم یافت می شود. به عنوان f (x) ، می توانید f (x) = x 3 +1 f (x) = x 3 +2 f (x) = x 3 -3 و غیره بگیرید.

زیرا مشتق هر یک از آنها برابر 3x2 است. (مشتق ثابت 0 است). همه این عملکردها در یک مدت ثابت با یکدیگر تفاوت دارند. از این رو تصمیم مشترکمشکلات را می توان به صورت f (x) = x 3 + C نوشت ، جایی که C هر عدد واقعی ثابت است.

هر یک از توابع یافت شده f (x) نامیده می شود ضد اشتقاقبرای تابع F` (x) = 3x2

تعریف.

تابع F (x) ضدتغییر تابع f (x) در بازه معین J نامیده می شود اگر برای تمام x از این فاصله F` (x) = f (x) باشد. بنابراین تابع F (x) = x 3 ضد تخمک برای f (x) = 3x 2 در (- ∞؛ ∞) است. از آنجا که ، برای همه x ~ R ، برابری صادق است: F` (x) = (x 3) `= 3x 2

همانطور که قبلاً اشاره کردیم ، این تابع دارای تعداد نامحدود ضدقارچ است.

مثال شماره 2

این تابع برای همه در بازه (0؛ + ∞) ضدتقویت است برای تمام h از این فاصله ، برابری برقرار است.

مشکل ادغام این است که همه ضداحالت های آن را برای یک عملکرد مشخص پیدا کنید. در حل این مشکل ، عبارت زیر نقش مهمی ایفا می کند:

نشانه ای از ثبات تابع. اگر F "(x) = 0 در فاصله I من باشد ، تابع F در این فاصله ثابت است.

اثبات

ما مقداری x 0 را از فاصله I برطرف می کنیم. سپس ، برای هر عدد x از چنین بازه ای ، بر اساس فرمول لاگرانژ ، می توان یک عدد c بین x و x 0 را طوری تعیین کرد که

F (x) - F (x 0) = F "(c) (x -x 0).

با فرضیه ، F '(c) = 0 ، از آنجا که c ∈ 1 ، بنابراین ،

F (x) - F (x 0) = 0.

بنابراین ، برای همه x از فاصله I

یعنی عملکرد F ثابت می ماند.

همه ضداخلاق های f را می توان با استفاده از یک فرمول ، که نامیده می شود ، نوشت شکل کلی ضداخلاق ها برای یک عملکرد f قضیه زیر درست است ( خاصیت اصلی داروهای ضدتخلف):

قضیه هرگونه ضدتغییر برای تابع f در بازه I را می توان به صورت نوشت

F (x) + C ، (1) که در آن F (x) یکی از ضد مواد برای تابع f (x) در فاصله I است و C یک ثابت دلخواه است.

اجازه دهید این گزاره را توضیح دهیم ، که در آن دو ویژگی ضد تحریک به طور مختصر فرموله شده است:

1. هر عددی را که در عبارت (1) به جای С قرار می دهیم ، ضد بازدارنده f را در فاصله I بدست می آوریم.
2. مهم نیست که چه ماده ضد انحصاری Φ برای f فاصله زمانی I را بگیریم ، می توانیم یک عدد C را طوری انتخاب کنیم که برای همه x از فاصله I برابر باشد

اثبات

1. بر اساس فرضیه ، تابع F در بازه 1 ضد f برای f است. بنابراین ، F "(x) = f (x) برای هر x∈1 ، بنابراین (F (x) + C)" = F "(x) + C "= f (x) + 0 = f (x) ، یعنی F (x) + C ضد تابع f است.
2. بگذارید F (х) یکی از ضد مواد برای تابع f در همان فاصله I باشد ، یعنی F "(x) = f (х) برای همه x∈I.

سپس (Ф (x) -F (x)) "= Ф" (x) -F '(x) = f (x) -f (x) = 0.

از این رو به شرح زیر است قدرت ویژگی ثبات تابع ، این است که تفاوت Ф (х) - F (х) یک تابع است که مقدار ثابتی C را در فاصله I می گیرد.

بنابراین ، برای همه x از فاصله I ، برابری Φ (x) - F (x) = C ، همانطور که لازم است صادق است. می توان ویژگی اصلی ضدتخریب را ارائه داد معنی هندسی: نمودارهای هر دو ضداخلاق برای تابع f با ترجمه موازی در امتداد محور Oy از یکدیگر بدست می آیند

سوالات برای یادداشت ها

تابع F (x) ضدتغییر تابع f (x) است. اگر f (x) = 9x2 - 6x + 1 و F (-1) = 2 F (1) را بیابید.

همه داروهای ضداخلاقی را برای یک تابع بیابید

برای تابع (x) = cos2 * sin2x ، ضد F (x) را در صورت F (0) = 0 پیدا کنید.

برای تابع ، ضد هضم را پیدا کنید که نمودار آن از نقطه عبور می کند

برای هر عمل ریاضی ، یک عمل مخالف وجود دارد. برای عمل تمایز (یافتن مشتقات توابع) نیز وجود دارد اقدام معکوس- ادغام. با استفاده از ادغام ، تابع از مشتق یا دیفرانسیل داده شده (بازسازی) می شود. تابع یافت شده فراخوانی می شود ضد تحریک کننده.

تعریف.عملکرد متمایز F (x)آن را ضد تابع برای تابع می نامند f (x)در فاصله زمانی معین ، اگر برای همه NSاز این فاصله ، برابری صادق است: F ′ (x) = f (x).

مثال ها. یافتن داروهای ضدحرفه برای توابع: 1) f (x) = 2x ؛ 2) f (x) = 3cos3x.

1) از آنجا که (x²) ′ = 2x ، بنابراین ، با تعریف ، تابع F (x) = x² ضد زاویه تابع f (x) = 2x خواهد بود.

2) (sin3x) ′ = 3cos3x. اگر f (x) = 3cos3x و F (x) = sin3x را نشان دهیم ، پس با تعریف ضدتغییر ، داریم: F ′ (x) = f (x) ، و بنابراین ، F (x) = sin3x ضد f برای x (x) = 3cos3x است.

توجه داشته باشید که و (sin3x +5 )′= 3cos3x، و (sin3x -8,2 )′= 3cos3x، ... به صورت کلی ، می توانید بنویسید: (sin3x + C)′= 3cos3x، جایی که با- مقداری ارزش ثابت این مثالها ابهام عمل یکپارچه سازی را نشان می دهد ، برخلاف عمل تمایز ، هنگامی که هر عملکرد متغیر دارای یک مشتق واحد است.

تعریف.اگر تابع F (x)آنتی ویروس عملکرد است f (x)در برخی از بازه ها ، مجموعه ای از تمام مواد ضد پاداش این عملکرد به صورت زیر است:

F (x) + C، جایی که C هر عدد واقعی است.

مجموعه همه ضداخلاق های F (x) + C تابع f (x) در بازه مورد بررسی انتگرال نامحدود نامیده می شود و با نماد نشان داده می شود ∫ (علامت انتگرال). مینویسند: ∫f (x) dx = F (x) + C.

اصطلاح ∫f (x) dxبخوانید: "انتگرال ff از x به de x".

f (x) dx- بیان انتگرال ،

f (x)- تابع integrand ،

NS- متغیر ادغام

F (x)- ضد عملکرد برای عملکرد f (x),

با- مقداری ارزش ثابت

در حال حاضر نمونه های در نظر گرفته شده را می توان به شرح زیر نوشت:

1) ∫ 2хdx = x² + C 2) ∫ 3cos3xdx = sin3x + C

علامت d به چه معناست؟

د -علامت دیفرانسیل دارای یک هدف دوگانه است: اولاً ، این علامت انتگرال را از متغیر ادغام جدا می کند. ثانیاً ، همه چیز بعد از این علامت به طور پیش فرض متمایز شده و در انتگرال ضرب می شود.

مثال ها. انتگرال ها را بیابید: 3) ∫ 2pxdx ؛ 4) ∫ 2pxdp.

3) بعد از آیکون دیفرانسیل دهزینه ها NSNS، ولی R

∫ 2хрdx = рх² + С. با مثال مقایسه کنید 1).

بیایید بررسی کنیم. F ′ (x) = (px² + C) = p · (x²) + C ′ = p · 2x = 2px = f (x).

4) بعد از آیکون دیفرانسیل دهزینه ها R... بنابراین ، متغیر ادغام R، و عامل NSباید ثابت خاصی در نظر گرفته شود.

∫ 2хррр = р²х + С. با مثال مقایسه کنید 1) و 3).

بیایید بررسی کنیم. F ′ (p) = (p²x + C) ′ = x · (p²) ′ + C ′ = x · 2p = 2px = f (p).