جدول سینوس ها و کسینوس ها کامل است. سینوس (sin x) و کسینوس (cos x) - ویژگی ها، نمودارها، فرمول ها

مثلثات به عنوان یک علم در شرق باستان سرچشمه گرفته است. اولین نسبت های مثلثاتی توسط اخترشناسان برای ایجاد یک تقویم و جهت گیری دقیق توسط ستاره ها استخراج شد. این محاسبات مربوط به مثلثات کروی است، در حالی که در دوره مدرسه نسبت اضلاع و زوایای یک مثلث مسطح را مطالعه می کنند.

مثلثات شاخه ای از ریاضیات است که به ویژگی های توابع مثلثاتی و روابط بین اضلاع و زوایای مثلث ها می پردازد.

در دوران اوج فرهنگ و علم در هزاره اول پس از میلاد، دانش از شرق باستان به یونان گسترش یافت. اما اکتشافات اصلی مثلثات، شایستگی مردان خلافت عرب است. به ویژه دانشمند ترکمن المرازوی توابعی مانند مماس و کوتانژانت را معرفی کرد و اولین جداول مقادیر سینوس ها، مماس ها و کتانژانت ها را جمع آوری کرد. مفاهیم سینوس و کسینوس توسط دانشمندان هندی معرفی شد. مثلثات در آثار شخصیت های بزرگ دوران باستان مانند اقلیدس، ارشمیدس و اراتوستن مورد توجه بسیاری قرار گرفت.

کمیت های اصلی مثلثات

توابع مثلثاتی اصلی یک آرگومان عددی سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت هستند. هر کدام از آنها نمودار مخصوص به خود را دارند: سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت.

فرمول های محاسبه مقادیر این مقادیر بر اساس قضیه فیثاغورث است. در این فرمول برای دانش آموزان مدرسه بهتر شناخته شده است: "شلوار فیثاغورث در همه جهات برابر است"، زیرا اثبات با استفاده از مثال یک مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین ارائه شده است.

سینوس، کسینوس و سایر روابط رابطه بین زوایای تند و اضلاع هر مثلث قائم الزاویه را برقرار می کنند. اجازه دهید فرمول هایی را برای محاسبه این مقادیر برای زاویه A ارائه کنیم و روابط بین توابع مثلثاتی را ردیابی کنیم:

همانطور که می بینید، tg و ctg توابع معکوس هستند. اگر پایه a را حاصل ضرب گناه A و هیپوتنوز c و پایه b را cos A * c تصور کنیم، فرمول های زیر را برای مماس و کوتانژانت به دست می آوریم:

دایره مثلثاتی

از نظر گرافیکی، رابطه بین مقادیر ذکر شده را می توان به صورت زیر نشان داد:

دایره، در این مورد، تمام مقادیر ممکن زاویه α - از 0 درجه تا 360 درجه را نشان می دهد. همانطور که از شکل مشخص است، هر تابع بسته به زاویه یک مقدار منفی یا مثبت می گیرد. به عنوان مثال، اگر α به ربع 1 و 2 دایره تعلق داشته باشد، یعنی در محدوده 0 تا 180 درجه باشد، sin α علامت "+" خواهد داشت. برای α از 180 درجه تا 360 درجه (ربع III و IV)، sin α فقط می تواند یک مقدار منفی باشد.

بیایید سعی کنیم جداول مثلثاتی را برای زوایای خاص بسازیم و معنای کمیت ها را دریابیم.

مقادیر α برابر با 30 درجه، 45 درجه، 60 درجه، 90 درجه، 180 درجه و غیره را موارد خاص می نامند. مقادیر توابع مثلثاتی برای آنها محاسبه و در قالب جداول ویژه ارائه می شود.

این زوایا به طور تصادفی انتخاب نشده اند. نام π در جداول برای رادیان است. راد زاویه ای است که طول کمان دایره با شعاع آن مطابقت دارد. این مقدار به منظور ایجاد یک وابستگی جهانی معرفی شد؛ هنگام محاسبه بر حسب رادیان، طول واقعی شعاع بر حسب سانتی متر اهمیتی ندارد.

زوایای جداول برای توابع مثلثاتی با مقادیر رادیان مطابقت دارد:

بنابراین، حدس زدن اینکه 2π یک دایره کامل یا 360 درجه است دشوار نیست.

ویژگی های توابع مثلثاتی: سینوس و کسینوس

برای در نظر گرفتن و مقایسه خصوصیات اساسی سینوس و کسینوس، مماس و کوتانژانت، لازم است توابع آنها ترسیم شود. این را می توان به صورت یک منحنی واقع در یک سیستم مختصات دو بعدی انجام داد.

جدول مقایسه ای خواص سینوس و کسینوس را در نظر بگیرید:

موج سینوسی	کسینوس
y = sinx	y = cos x
ODZ [-1; 1]	ODZ [-1; 1]
sin x = 0، برای x = πk، که در آن k ε Z	cos x = 0، برای x = π/2 + πk، که در آن k ε Z
sin x = 1، برای x = π/2 + 2πk، که در آن k ε Z	cos x = 1، در x = 2πk، که در آن k ε Z
sin x = - 1، در x = 3π/2 + 2πk، که در آن k ε Z	cos x = - 1، برای x = π + 2πk، که در آن k ε Z
sin (-x) = - sin x، یعنی تابع فرد است	cos (-x) = cos x، یعنی تابع زوج است
	تابع تناوبی است، کوچکترین دوره 2π است
sin x › 0، با x متعلق به ربع اول و دوم یا از 0 درجه تا 180 درجه (2πk، π + 2πk)	cos x › 0، با x متعلق به ربع I و IV یا از 270 درجه تا 90 درجه (- π/2 + 2πk، π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0، با x متعلق به ربع سوم و چهارم یا از 180 درجه تا 360 درجه (π + 2πk، 2π + 2πk)	cos x ‹ 0، با x متعلق به ربع دوم و سوم یا از 90 درجه تا 270 درجه (π/2 + 2πk، 3π/2 + 2πk)
در فاصله [- π/2 + 2πk، π/2 + 2πk] افزایش می یابد	در بازه [-π + 2πk، 2πk] افزایش می یابد
در فواصل زمانی [π/2 + 2πk، 3π/2 + 2πk] کاهش می یابد	در فواصل زمانی کاهش می یابد
مشتق (sin x)’ = cos x	مشتق (cos x)’ = - sin x

تعیین زوج بودن یا نبودن یک تابع بسیار ساده است. کافی است یک دایره مثلثاتی با علائم مقادیر مثلثاتی تصور کنید و نمودار را نسبت به محور OX به صورت ذهنی "تا" کنید. اگر نشانه ها منطبق باشند، تابع زوج است و در غیر این صورت فرد است.

معرفی رادیان‌ها و فهرست‌بندی ویژگی‌های اساسی امواج سینوسی و کسینوسی به ما امکان می‌دهد الگوی زیر را ارائه دهیم:

تأیید صحت فرمول بسیار آسان است. به عنوان مثال، برای x = π/2، سینوس 1 است، همانطور که کسینوس x = 0 است. بررسی را می توان با مراجعه به جداول یا با ردیابی منحنی های تابع برای مقادیر داده شده انجام داد.

خواص مماس‌سوئیدها و کوتانژانتزوئیدها

نمودار توابع مماس و کتانژانت به طور قابل توجهی با توابع سینوسی و کسینوس متفاوت است. مقادیر tg و ctg متقابل یکدیگر هستند.

1. Y = tan x.
2. مماس به مقادیر y در x = π/2 + πk تمایل دارد، اما هرگز به آنها نمی رسد.
3. کوچکترین دوره مثبت مماس، π است.
4. Tg (- x) = - tg x، یعنی تابع فرد است.
5. Tg x = 0، برای x = πk.
6. عملکرد در حال افزایش است.
7. Tg x › 0، برای x ε (πk، π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0، برای x ε (- π/2 + πk، πk).
9. مشتق (tg x) = 1/cos 2⁡x.

تصویر گرافیکی کوتانژانتوئید زیر را در متن در نظر بگیرید.

خواص اصلی کوتانژانتوئیدها:

1. Y = تخت x.
2. برخلاف توابع سینوس و کسینوس، در مماس Y می تواند مقادیر مجموعه تمام اعداد حقیقی را بگیرد.
3. کوتانژانتوئید به مقادیر y در x = πk تمایل دارد، اما هرگز به آنها نمی رسد.
4. کوچکترین دوره مثبت کوتانژانتوئید π است.
5. Ctg (- x) = - ctg x، یعنی تابع فرد است.
6. Ctg x = 0، برای x = π/2 + πk.
7. عملکرد در حال کاهش است.
8. Ctg x › 0، برای x ε (πk، π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0، برای x ε (π/2 + πk، πk).
10. مشتق (ctg x)' = - 1/sin 2 ⁡x درست است

انتخاب دسته کتاب ریاضیات فیزیک کنترل دسترسی و مدیریت ایمنی در برابر آتش تامین کنندگان تجهیزات مفید ابزارهای اندازه گیری اندازه گیری رطوبت - تامین کنندگان در فدراسیون روسیه. اندازه گیری فشار اندازه گیری هزینه ها جریان سنج. اندازه گیری دما اندازه گیری سطح. سطح سنج ها فناوری های بدون ترانشه سیستم های فاضلاب. تامین کنندگان پمپ در فدراسیون روسیه. تعمیر پمپ. لوازم جانبی خط لوله شیرهای پروانه ای (شیرهای پروانه ای). شیرهای چک شیرهای کنترل فیلترهای مشبک، فیلترهای گلی، فیلترهای مغناطیسی-مکانیکی. شیرهای توپی لوله ها و عناصر خط لوله. مهر و موم برای نخ ها، فلنج ها و غیره موتورهای الکتریکی، درایوهای الکتریکی ... دستی حروف الفبا، اسم، واحد، کدهای ... حروف الفبا، شامل. یونانی و لاتین. نمادها کدها آلفا، بتا، گاما، دلتا، اپسیلون ... رتبه بندی شبکه های برق. تبدیل واحدهای اندازه گیری دسی بل. رویا. زمینه. واحدهای اندازه گیری برای چه؟ واحدهای اندازه گیری فشار و خلاء تبدیل واحدهای فشار و خلاء. واحدهای طول تبدیل واحدهای طول (ابعاد خطی، فواصل). واحدهای حجمی تبدیل واحدهای حجمی واحدهای چگالی تبدیل واحدهای چگالی واحدهای منطقه تبدیل واحدهای مساحت واحدهای اندازه گیری سختی تبدیل واحدهای سختی واحدهای دما تبدیل واحدهای دما بر حسب کلوین / سلسیوس / فارنهایت / رانکین / Delisle / نیوتن / Reamur واحدهای اندازه گیری زاویه ("ابعاد زاویه ای"). تبدیل واحدهای اندازه گیری سرعت زاویه ای و شتاب زاویه ای. خطاهای استاندارد اندازه گیری گازها به عنوان محیط کار متفاوت هستند. نیتروژن N2 (مبرد R728) آمونیاک (مبرد R717). ضد یخ. هیدروژن H^2 (مبرد R702) بخار آب. هوا (اتمسفر) گاز طبیعی - گاز طبیعی. بیوگاز گاز فاضلاب است. گاز مایع. NGL. LNG. پروپان بوتان. اکسیژن O2 (مبرد R732) روغن ها و روان کننده ها متان CH4 (مبرد R50) خواص آب. مونوکسید کربن CO. مونوکسید کربن. دی اکسید کربن CO2. (مبرد R744). کلر Cl2 هیدروژن کلرید HCl، همچنین به عنوان اسید هیدروکلریک شناخته می شود. مبردها (مبردها). مبرد (مبرد) R11 - فلوروتریکلرومتان (CFCI3) مبرد (مبرد) R12 - دی فلورودی کلرومتان (CF2CCl2) مبرد (مبرد) R125 - پنتا فلورواتان (CF2HCF3). مبرد (مبرد) R134a 1،1،1،2-تترافلوئورواتان (CF3CFH2) است. مبرد (مبرد) R22 - دی فلوئوروکلرومتان (CF2ClH) مبرد (مبرد) R32 - دی فلورومتان (CH2F2). مبرد (مبرد) R407C - R-32 (23%) / R-125 (25%) / R-134a (52%) / درصد وزنی. سایر مواد - خواص حرارتی ساینده ها - سنگ ریزه، ظرافت، تجهیزات سنگ زنی. خاک، خاک، ماسه و سنگ های دیگر. شاخص های سست شدن، جمع شدگی و تراکم خاک ها و سنگ ها. انقباض و شل شدن، بارها. زوایای شیب، تیغه. ارتفاعات تاقچه ها، زباله ها. چوب. الوار. الوار. سیاههها. هیزم ... سرامیک. چسب و اتصالات چسب یخ و برف (آب یخ) فلزات آلومینیوم و آلیاژهای آلومینیوم مس، برنز و برنج برنز برنج مس (و طبقه بندی آلیاژهای مس) نیکل و آلیاژها مطابقت درجات آلیاژی فولادها و آلیاژها جداول مرجع وزن لوله های نورد شده . +/-5٪ وزن لوله. وزن فلز. خواص مکانیکی فولادها مواد معدنی چدن. آزبست محصولات غذایی و مواد اولیه غذایی. خواص و غیره به بخش دیگری از پروژه پیوند دهید. لاستیک، پلاستیک، الاستومر، پلیمر. شرح مفصل الاستومرهای PU، TPU، X-PU، H-PU، XH-PU، S-PU، XS-PU، T-PU، G-PU (CPU)، NBR، H-NBR، FPM، EPDM، MVQ ، TFE/P، POM، PA-6، TPFE-1، TPFE-2، TPFE-3، TPFE-4، TPFE-5 (PTFE اصلاح شده)، استحکام مواد. سوپرومات. مصالح و مواد ساختمانی. خواص فیزیکی، مکانیکی و حرارتی. بتن. محلول بتنی. راه حل. اتصالات ساختمانی. فولاد و دیگران. جداول کاربرد مواد مقاومت شیمیایی. قابلیت کاربرد دما مقاومت در برابر خوردگی. مواد آب بندی - درزگیرهای مشترک. PTFE (fluoroplastic-4) و مواد مشتق شده. نوار FUM. چسب های بی هوازی درزگیرهای غیر خشک کننده (غیر سخت شونده). درزگیرهای سیلیکونی (اورگانوسیلیکن). گرافیت، آزبست، پارونیت و مواد مشتق شده پارونیت. گرافیت منبسط شده حرارتی (TEG، TMG)، ترکیبات. خواص. کاربرد. تولید. کتان لوله کشی مهر و موم الاستومر لاستیکی مواد عایق حرارتی و عایق حرارتی. (لینک به بخش پروژه) تکنیک ها و مفاهیم مهندسی حفاظت در برابر انفجار. محافظت در برابر تأثیرات محیطی. خوردگی. نسخه های آب و هوایی (جدول سازگاری مواد) کلاس های فشار، دما، سفتی افت (از دست دادن) فشار. - مفهوم مهندسی حفاظت در مقابل آتش. آتش سوزی ها تئوری کنترل خودکار (تنظیم). کتاب مرجع ریاضی TAU حساب، پیشرفت هندسی و مجموع چند سری اعداد. اشکال هندسی خواص، فرمول ها: محیط ها، مساحت ها، حجم ها، طول ها. مثلث، مستطیل و غیره درجه به رادیان. فیگورهای تخت ویژگی ها، اضلاع، زوایا، صفات، محیط ها، برابری ها، شباهت ها، وترها، بخش ها، مساحت ها و غیره. مناطق ارقام نامنظم، حجم اجسام نامنظم. میانگین بزرگی سیگنال فرمول ها و روش های محاسبه مساحت نمودار. ساختن نمودارها خواندن نمودارها حساب انتگرال و دیفرانسیل. مشتقات و انتگرال های جدولی. جدول مشتقات. جدول انتگرال ها جدول آنتی مشتقات مشتق را بیابید. انتگرال را پیدا کنید. دیفوراها اعداد مختلط. واحد خیالی جبر خطی. (بردار، ماتریس) ریاضیات برای کوچولوها. مهد کودک - کلاس هفتم. منطق ریاضی. حل معادلات. معادلات درجه دوم و دو درجه دوم. فرمول ها. مواد و روش ها. حل معادلات دیفرانسیل نمونه هایی از حل معادلات دیفرانسیل معمولی با مرتبه بالاتر از اولی. نمونه هایی از راه حل های ساده ترین = معادلات دیفرانسیل معمولی مرتبه اول قابل حل تحلیلی. دستگاه های مختصات. دکارتی مستطیلی، قطبی، استوانه ای و کروی. دو بعدی و سه بعدی. سیستم های اعداد اعداد و ارقام (واقعی، مختلط، ....). جداول سیستم اعداد سری های قدرت تیلور، مکلارین (= مک لارن) و سری های دوره ای فوریه. گسترش توابع به سری جداول لگاریتم و فرمول های پایه جداول مقادیر عددی جداول برادیس. تئوری احتمال و آمار توابع مثلثاتی، فرمول ها و نمودارها. sin, cos, tg, ctg….مقادیر توابع مثلثاتی. فرمول های کاهش توابع مثلثاتی هویت های مثلثاتی روش های عددی تجهیزات - استانداردها، اندازه ها لوازم خانگی، تجهیزات خانگی. سیستم های زهکشی و زهکشی. کانتینرها، مخازن، مخازن، مخازن. ابزار دقیق و اتوماسیون ابزار دقیق و اتوماسیون. اندازه گیری دما. نوار نقاله، نوار نقاله. ظروف (لینک) اتصال دهنده ها. تجهیزات آزمایشگاهی. پمپ ها و ایستگاه های پمپاژ پمپ های مایعات و خمیر کاغذ. اصطلاحات تخصصی مهندسی فرهنگ لغت. غربالگری. فیلتراسیون. جداسازی ذرات از طریق مش و الک. استحکام تقریبی طناب ها، کابل ها، طناب ها، طناب های ساخته شده از پلاستیک های مختلف. محصولات لاستیکی. مفاصل و اتصالات. قطرها معمولی، اسمی، DN، DN، NPS و NB هستند. قطر متریک و اینچ. SDR کلیدها و کلیدها. استانداردهای ارتباطی سیگنال ها در سیستم های اتوماسیون (سیستم های ابزار دقیق و کنترل) سیگنال های ورودی و خروجی آنالوگ ابزارها، سنسورها، دبی متر و دستگاه های اتوماسیون. رابط های اتصال پروتکل های ارتباطی (ارتباطات) ارتباطات تلفنی. لوازم جانبی خط لوله شیرآلات، شیرآلات، شیرآلات... طول ساخت و ساز فلنج و رزوه. استانداردها ابعاد اتصال موضوعات. نامگذاری، اندازه، کاربرد، انواع ... (لینک مرجع) اتصالات («بهداشتی»، «اسپتیک») خطوط لوله در صنایع غذایی، لبنیات و داروسازی. لوله ها، خطوط لوله. قطر لوله و سایر مشخصات انتخاب قطر خط لوله نرخ های جریان. مخارج. استحکام - قدرت. جداول انتخاب، افت فشار. لوله های مسی. قطر لوله و سایر مشخصات لوله های پلی وینیل کلراید (PVC). قطر لوله و سایر مشخصات لوله های پلی اتیلن. قطر لوله و سایر مشخصات لوله پلی اتیلن HDPE. قطر لوله و سایر مشخصات لوله های فولادی (از جمله فولاد ضد زنگ). قطر لوله و سایر مشخصات لوله فولادی. لوله ضد زنگ است. لوله های فولادی ضد زنگ. قطر لوله و سایر مشخصات لوله ضد زنگ است. لوله های کربن استیل. قطر لوله و سایر مشخصات لوله فولادی. مناسب. فلنج بر اساس GOST، DIN (EN 1092-1) و ANSI (ASME). اتصال فلنجی. اتصالات فلنجی اتصال فلنجی. عناصر خط لوله لامپ برق اتصالات و سیم (کابل) برق موتورهای الکتریکی. موتورهای الکتریکی. دستگاه های سوئیچینگ برق. (لینک به بخش) استانداردهای زندگی شخصی مهندسان جغرافیا برای مهندسان. فاصله ها، مسیرها، نقشه ها….. مهندسان در زندگی روزمره. خانواده، کودکان، تفریحات، پوشاک و مسکن. فرزندان مهندسان مهندسان در ادارات مهندسان و افراد دیگر اجتماعی شدن مهندسان کنجکاوی ها مهندسان در حال استراحت این ما را شوکه کرد. مهندسان و مواد غذایی دستور غذاها، چیزهای مفید. ترفندهایی برای رستوران ها تجارت بین المللی برای مهندسان بیایید یاد بگیریم مثل یک هاکستر فکر کنیم. حمل و نقل و سفر. ماشین های شخصی، دوچرخه... فیزیک و شیمی انسان. اقتصاد برای مهندسان بورموتولوژی سرمایه داران - به زبان انسان. مفاهیم و نقشه های فن آوری نوشتن، طراحی، کاغذ اداری و پاکت نامه. اندازه های استاندارد عکس تهویه و تهویه مطبوع. تامین آب و فاضلاب تامین آب گرم (DHW). تامین آب آشامیدنی فاضلاب. تامین آب سرد صنعت آبکاری خطوط/سیستم های بخار تبرید. خطوط/سیستم های میعان. خطوط بخار خطوط لوله میعانات گازی صنایع غذایی تامین گاز طبیعی جوشکاری فلزات نمادها و نامگذاری تجهیزات در نقشه ها و نمودارها. نمایش های گرافیکی متعارف در پروژه های گرمایش، تهویه، تهویه مطبوع و گرمایش و سرمایش، مطابق با استاندارد ANSI/ASHRAE 134-2005. استریلیزاسیون تجهیزات و مواد تامین حرارت صنایع الکترونیک تامین برق منبع فیزیکی کتاب حروف الفبا. نمادهای پذیرفته شده ثابت های فیزیکی پایه رطوبت مطلق، نسبی و خاص است. رطوبت هوا. جداول سایکرومتریک نمودارهای رمزین ویسکوزیته زمانی، عدد رینولدز (Re). واحدهای ویسکوزیته گازها خواص گازها ثابت های مجزای گاز فشار و خلاء خلاء طول، فاصله، ابعاد خطی صدا. سونوگرافی. ضرایب جذب صدا (پیوند به بخش دیگر) آب و هوا. داده های آب و هوا داده های طبیعی SNiP 01/23/99. اقلیم شناسی ساختمانی. (آمار داده های آب و هوا) SNIP 01/23/99 جدول 3 - میانگین دمای هوا ماهانه و سالانه، درجه سانتی گراد. اتحاد جماهیر شوروی سابق SNIP 01/23/99 جدول 1. پارامترهای اقلیمی دوره سرد سال. RF. SNIP 01/23/99 جدول 2. پارامترهای اقلیمی دوره گرم سال. اتحاد جماهیر شوروی سابق SNIP 01/23/99 جدول 2. پارامترهای اقلیمی دوره گرم سال. RF. SNIP 23-01-99 جدول 3. میانگین دمای ماهانه و سالانه هوا، درجه سانتیگراد. RF. SNiP 01/23/99. جدول 5a* - میانگین فشار جزئی ماهانه و سالانه بخار آب، hPa = 10^2 Pa. RF. SNiP 01/23/99. جدول 1. پارامترهای اقلیمی فصل سرد. اتحاد جماهیر شوروی سابق تراکم ها وزن ها وزن مخصوص. چگالی ظاهری. کشش سطحی. انحلال پذیری. حلالیت گازها و جامدات. نور و رنگ. ضرایب انعکاس، جذب و شکست الفبای رنگ:) - نام گذاری (کدگذاری) رنگ (رنگ ها). خواص مواد و محیط های برودتی. جداول. ضرایب اصطکاک برای مواد مختلف مقادیر حرارتی شامل جوش، ذوب، شعله و .... برای اطلاعات بیشتر به: ضرایب آدیاباتیک (نشانگرها) مراجعه کنید. همرفت و تبادل حرارت کل. ضرایب انبساط خطی حرارتی، انبساط حجمی حرارتی. دما، جوش، ذوب، سایر ... تبدیل واحدهای دما. اشتعال پذیری دمای نرم شدن نقاط جوش نقطه ذوب هدایت حرارتی. ضرایب هدایت حرارتی ترمودینامیک. گرمای ویژه تبخیر (تراکم). آنتالپی تبخیر گرمای ویژه احتراق (ارزش حرارتی). نیاز به اکسیژن کمیت های الکتریکی و مغناطیسی گشتاورهای دوقطبی الکتریکی. ثابت دی الکتریک ثابت الکتریکی طول موج های الکترومغناطیسی (کتاب مرجع یک بخش دیگر) قدرت میدان مغناطیسی مفاهیم و فرمول های الکتریسیته و مغناطیس. الکترواستاتیک. ماژول های پیزوالکتریک مقاومت الکتریکی مواد جریان الکتریکی مقاومت و رسانایی الکتریکی. پتانسیل های الکترونیکی کتاب مرجع شیمیایی "الفبای شیمیایی (فرهنگ لغت)" - نام ها، اختصارات، پیشوندها، نامگذاری مواد و ترکیبات. محلول ها و مخلوط های آبی برای پردازش فلز. محلول های آبی برای اعمال و حذف پوشش های فلزی محلول های آبی برای تمیز کردن رسوبات کربن (رسوبات آسفالت-رزین، رسوبات کربن از موتورهای احتراق داخلی...) محلول های آبی برای غیرفعال کردن. محلول های آبی برای اچ کردن - حذف اکسیدها از سطح محلول های آبی برای فسفاته کردن محلول ها و مخلوط های آبی برای اکسیداسیون شیمیایی و رنگ آمیزی فلزات. محلول ها و مخلوط های آبی برای پرداخت شیمیایی محلول های آبی و حلال های آلی چربی زدایی مقدار pH. جداول pH احتراق و انفجار. اکسیداسیون و احیا. طبقات، دسته ها، تعیین خطر (سمیت) مواد شیمیایی جدول تناوبی عناصر شیمیایی توسط D.I. مندلیف. جدول مندلیف چگالی حلال های آلی (g/cm3) بسته به دما. 0-100 درجه سانتی گراد خواص راه حل ها ثابت تفکیک، اسیدیته، بازی. انحلال پذیری. مخلوط ها ثابت حرارتی مواد. آنتالپی ها آنتروپی انرژی های گیبس ... (لینک به دایرکتوری شیمی پروژه) رگولاتورهای مهندسی برق سیستم های تامین برق تضمینی و بدون وقفه. سیستم های توزیع و کنترل سیستم های کابل کشی ساخت یافته مراکز داده

توجه!
اضافی وجود دارد
مواد در بخش ویژه 555.
برای کسانی که خیلی "نه خیلی..." هستند
و برای کسانی که "خیلی...")

ابتدا یک نتیجه گیری ساده اما بسیار مفید از درس "سینوس و کسینوس چیست؟ مماس و کتانژانت چیست؟"

این خروجی است:

سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت به طور محکم به زوایای خود متصل هستند. ما یک چیز می دانیم، یعنی چیز دیگری می دانیم.

به عبارت دیگر هر زاویه سینوس و کسینوس ثابت خود را دارد. و تقریباً هرکسی مماس و کتانژانت خاص خود را دارد. چرا تقریبا؟بیشتر در این مورد در زیر.

این دانش کمک زیادی به مطالعه شما می کند! کارهای زیادی وجود دارد که باید از سینوس به زاویه و برعکس حرکت کنید. برای این وجود دارد جدول سینوس هابه طور مشابه، برای وظایف با کسینوس - جدول کسینوسو همانطور که ممکن است حدس زده باشید، وجود دارد جدول مماسو جدول کوتانژانت ها)

جداول متفاوت است. طولانی‌ها، جایی که می‌توانید ببینید مثلا sin37°6 با چه چیزی برابر است. جداول برادیس را باز می کنیم، به دنبال زاویه سی و هفت درجه شش دقیقه می گردیم و مقدار 0.6032 را می بینیم. واضح است که مطلقاً نیازی به یادآوری این عدد (و هزاران مقدار جدول دیگر) نیست.

در واقع، در زمان ما، جداول طولانی کسینوس، سینوس، مماس، کوتانژانت واقعا مورد نیاز نیست. یک ماشین حساب خوب به طور کامل جایگزین آنها می شود. اما دانستن در مورد وجود چنین جداول ضرری ندارد. برای دانش عمومی.)

و چرا پس این درس؟! - تو پرسیدی.

اما چرا. در میان تعداد بی نهایت زاویه وجود دارد خاص،که باید در مورد آن بدانید همه. تمام هندسه و مثلثات مدرسه بر روی این زوایا ساخته شده است. این یک نوع "جدول ضرب" مثلثات است. اگر نمی‌دانید مثلاً sin50 درجه برابر است، هیچ‌کس شما را قضاوت نمی‌کند.) اما اگر نمی‌دانید sin30 ° برابر است با چه چیزی، آماده باشید تا یک دو مورد شایسته دریافت کنید...

چنین خاصزوایای آن نیز بسیار خوب است. کتاب‌های درسی مدرسه معمولاً با مهربانی حفظ می‌کنند جدول سینوسی و جدول کسینوسبرای هفده زاویه و البته، جدول مماس و جدول کوتانژانتبرای همان هفده زاویه... یعنی. پیشنهاد می شود 68 مقدار را به خاطر بسپارید. که اتفاقاً خیلی شبیه هم هستند، هر از چند گاهی خود را تکرار می کنند و علائم را تغییر می دهند. برای یک فرد بدون حافظه بصری کامل، این یک کار کاملاً دشوار است ...)

ما مسیر دیگری را در پیش خواهیم گرفت. بیایید منطق و نبوغ را جایگزین حفظ طوطی کنیم. سپس باید 3 (سه!) مقدار را برای جدول سینوس ها و جدول کسینوس ها حفظ کنیم. و 3 (سه!) مقدار برای جدول مماس ها و جدول کوتانژانت ها. همین. به نظر من، به خاطر سپردن شش مقدار از 68 آسان تر است...)

ما با استفاده از یک برگه تقلب قانونی قدرتمند، سایر مقادیر لازم را از این شش مورد بدست خواهیم آورد - دایره مثلثاتی اگر این موضوع را مطالعه نکرده اید، پیوند را دنبال کنید، تنبل نباشید. این دایره فقط برای این درس لازم نیست. او غیر قابل تعویض است برای تمام مثلثات به طور همزمان. عدم استفاده از چنین ابزاری به سادگی یک گناه است! شما نمی خواهید؟ این کار شماست. حفظ کردن جدول سینوس ها جدول کسینوس. جدول مماس ها جدول کوتانژانت هاهمه 68 مقادیر برای زوایای مختلف.)

بنابراین، بیایید شروع کنیم. ابتدا تمام این زوایای خاص را به سه گروه تقسیم می کنیم.

گروه اول زوایا

بیایید گروه اول را در نظر بگیریم هفده زاویه خاص. اینها 5 زاویه هستند: 0 درجه، 90 درجه، 180 درجه، 270 درجه، 360 درجه.

جدول سینوس ها، کسینوس ها، مماس ها و کوتانژانت ها برای این زوایا به این صورت است:

زاویه x (بر حسب درجه)	0	90	180	270	360
زاویه x (به رادیان)	0
گناه x	0	1	0	-1	0
cos x	1	0	-1	0	1
tg x	0	اسم	0	اسم	0
ctg x	اسم	0	اسم	0	اسم

کسانی که می خواهند به خاطر بسپارند، به یاد داشته باشند. اما من فوراً می گویم که همه این یک ها و صفرها در ذهن بسیار گیج می شوند. بسیار قوی تر از آنچه شما می خواهید.) بنابراین، منطق و دایره مثلثاتی را روشن می کنیم.

دایره ای می کشیم و همین زاویه ها را روی آن علامت می زنیم: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°. این گوشه ها را با نقاط قرمز مشخص کردم:

فوراً مشخص می شود که چه چیزی در مورد این زوایای خاص است. آره! اینها زوایایی هستند که سقوط می کنند دقیقا روی محور مختصات!در واقع، به همین دلیل است که مردم گیج می شوند... اما ما گیج نمی شویم. بیایید بفهمیم که چگونه توابع مثلثاتی این زوایا را بدون به خاطر سپردن زیاد پیدا کنیم.

به هر حال، موقعیت زاویه 0 درجه است کاملا منطبق استبا موقعیت زاویه 360 درجه این بدان معناست که سینوس ها، کسینوس ها و مماس های این زوایا دقیقاً یکسان هستند. من یک زاویه 360 درجه را برای تکمیل دایره مشخص کردم.

فرض کنید در محیط سخت و پر استرس آزمون یکپارچه دولتی به نوعی شک کردید... سینوس 0 درجه چیست؟ به نظر صفر می رسد... اگر یک باشد چه؟! حفظ مکانیکی چنین چیزی است. در شرایط سخت، شک ها شروع به جویدن می کنند...)

آرام، فقط آرام!) من یک تکنیک کاربردی به شما می گویم که به شما یک پاسخ 100% صحیح می دهد و تمام شک ها را کاملاً از بین می برد.

به عنوان مثال، بیایید بفهمیم که چگونه به طور واضح و قابل اعتماد، مثلاً سینوس 0 درجه را تعیین کنیم. و در عین حال، کسینوس 0. در این مقادیر، به اندازه کافی عجیب، است که مردم اغلب گیج می شوند.

برای این کار روی یک دایره بکشید دلخواهگوشه ایکس. در سه ماهه اول نزدیک به صفر درجه بود. اجازه دهید سینوس و کسینوس این زاویه را روی محورها علامت گذاری کنیم ایکس،همه چیز خوب است. مثل این:

و اکنون - توجه! بیایید زاویه را کاهش دهیم ایکس، سمت متحرک را به محور نزدیک کنید اوه مکان نما خود را روی تصویر نگه دارید (یا روی تصویر در رایانه لوحی خود ضربه بزنید) و همه چیز را خواهید دید.

حالا بیایید منطق ابتدایی را روشن کنیم!بیایید نگاه کنیم و فکر کنیم: با کاهش زاویه x، sinx چگونه رفتار می کند؟ با نزدیک شدن زاویه به صفر؟در حال کوچک شدن است! و cosx افزایش می یابد!باقی مانده است که بفهمیم با ریزش کامل زاویه چه اتفاقی برای سینوس خواهد افتاد؟ چه زمانی سمت متحرک زاویه (نقطه A) روی محور OX قرار می گیرد و زاویه آن برابر با صفر می شود؟ بدیهی است که سینوس زاویه به صفر خواهد رسید. و کسینوس به ... تا ... طول ضلع متحرک زاویه (شعاع دایره مثلثاتی) چقدر است؟ یکی!

در اینجا پاسخ است. سینوس 0 درجه برابر با 0 است. کسینوس 0 درجه برابر با 1 است. کاملاً آهنی و بدون هیچ شکی!) نمی تواند.

دقیقاً به همین ترتیب، مثلاً می توانید سینوس 270 درجه را پیدا کنید (یا روشن کنید). یا کسینوس 180. یک دایره رسم کنید، دلخواهیک زاویه در یک چهارم در کنار محور مختصات مورد علاقه ما، به صورت ذهنی ضلع زاویه را حرکت دهید و درک کنید که وقتی ضلع زاویه روی محور می افتد، سینوس و کسینوس چه می شوند. همین.

همانطور که می بینید برای این دسته از زوایا نیازی به حفظ چیزی نیست. اینجا لازم نیست جدول سینوس ها ...بله و جدول کسینوس- نیز.) به هر حال، پس از چندین بار استفاده از دایره مثلثاتی، همه این مقادیر به خودی خود به خاطر سپرده می شوند. و اگر فراموش کردند در 5 ثانیه یک دایره کشیدم و آن را روشن کردم. خیلی راحت تر از این است که با یک دوست از توالت تماس بگیرید و گواهینامه خود را به خطر بیندازید، درست است؟)

در مورد تانژانت و کوتانژانت، همه چیز یکسان است. ما یک خط مماس (کتانژانت) روی دایره می کشیم - و همه چیز بلافاصله قابل مشاهده است. جایی که برابر با صفر هستند و جایی که وجود ندارند. چه، شما در مورد خطوط مماس و کتانژانت نمی دانید؟ این غم انگیز است، اما قابل رفع است.) ما از بخش 555 مماس و کتانژانت در دایره مثلثاتی بازدید کردیم - و هیچ مشکلی وجود ندارد!

اگر فهمیده اید که چگونه سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت را برای این پنج زاویه به وضوح تعریف کنید، به شما تبریک می گویم! فقط در مورد، به شما اطلاع می دهم که اکنون می توانید توابع را تعریف کنید هر زاویه ای که روی محورها می افتد.و این 450 درجه و 540 درجه و 1800 درجه است و تعداد نامتناهی دیگر...) من زاویه روی دایره را شمردم (به درستی!) - و هیچ مشکلی با توابع وجود ندارد.

اما دقیقاً با اندازه‌گیری زاویه‌ها است که مشکلات و خطاها رخ می‌دهد... نحوه اجتناب از آنها در درس نوشته شده است: How to draw (count) any angle on a trigonometric in grade. ابتدایی، اما در مبارزه با خطاها بسیار مفید است.)

در اینجا یک درس وجود دارد: چگونه می توان هر زاویه ای را روی یک دایره مثلثاتی بر حسب رادیان رسم (اندازه گیری) کرد - خنک تر خواهد بود. از نظر امکانات. فرض کنید، تعیین کنید که زاویه روی کدام یک از چهار نیم محور قرار می گیرد

شما می توانید آن را در چند ثانیه انجام دهید. من شوخی نمیکنم! فقط در چند ثانیه خب البته نه فقط 345 پی...) و 121 و 16 و -1345. هر ضریب صحیح برای پاسخ فوری مناسب است.

و اگر گوشه

فقط فکر کن! پاسخ صحیح در 10 ثانیه به دست می آید.برای هر مقدار کسری از رادیان با دو در مخرج.

در واقع، این چیزی است که در مورد دایره مثلثاتی خوب است. چون توانایی کار با مقداریگوشه ها به طور خودکار گسترش می یابد مجموعه بی نهایتگوشه ها

بنابراین، ما پنج گوشه از هفده را مرتب کردیم.

زوایای گروه دوم

گروه بعدی زوایای 30 درجه، 45 درجه و 60 درجه هستند. چرا دقیقا اینها و نه مثلا 20 و 50 و 80؟ بله، یک جورهایی اینطور شد... از نظر تاریخی.) در ادامه مشخص خواهد شد که چرا این زاویه ها خوب هستند.

جدول سینوس‌های کسینوس مماس مماس کتانژانت برای این زوایا به شکل زیر است:

زاویه x (بر حسب درجه)	0	30	45	60	90
زاویه x (به رادیان)	0
گناه x	0				1
cos x	1				0
tg x	0		1		اسم
ctg x	اسم		1		0

من مقادیر 0° و 90° را از جدول قبلی برای تکمیل تصویر گذاشتم.) به طوری که می توانید ببینید که این زوایا در ربع اول قرار دارند و افزایش می یابند. از 0 تا 90. این بعداً برای ما مفید خواهد بود.

مقادیر جدول برای زوایای 30 درجه، 45 درجه و 60 درجه را باید به خاطر بسپارید. اگر می خواهید آن را حفظ کنید. اما در اینجا نیز فرصتی وجود دارد که زندگی خود را آسان تر کنید.) توجه کنید مقادیر جدول سینوسیاین زوایا و مقایسه کنید با مقادیر جدول کسینوس ...

آره! آنها یکسان!فقط به ترتیب معکوس مرتب شده است. زوایای افزایش می یابد (0، 30، 45، 60، 90) - و مقادیر سینوسی افزایش دادناز 0 تا 1. می توانید با ماشین حساب بررسی کنید. و مقادیر کسینوس هستند در حال کاهش هستنداز 1 تا صفر علاوه بر این، ارزش خود را دارند یکسان.برای زوایای 20، 50، 80 این کار نمی کند...

این یک نتیجه گیری مفید است. برای یادگیری کافی است سهمقادیر برای زوایای 30، 45، 60 درجه. و به یاد داشته باشید که برای سینوس افزایش می یابد و برای کسینوس کاهش می یابد. به سمت سینوس.) آنها در نیمه راه (45 درجه) به هم می رسند، یعنی سینوس 45 درجه برابر است با کسینوس 45 درجه. و بعد دوباره از هم دور می شوند... سه معنی را می توان یاد گرفت، درست است؟

با مماس - کوتانژانت تصویر دقیقاً یکسان است. یک به یک. فقط معانی متفاوت است. این ارزش ها (سه مورد دیگر!) نیز باید آموخته شوند.

خوب، تقریبا تمام حفظ تمام شده است. شما (امیدوارم) درک کرده اید که چگونه مقادیر پنج زاویه ای که روی محور قرار می گیرند را تعیین کنید و مقادیر زوایای 30، 45، 60 درجه را یاد گرفته اید. مجموع 8.

باقی مانده تا به آخرین گروه 9 کرنر بپردازیم.

این زوایا هستند:
120 درجه؛ 135 درجه؛ 150 درجه؛ 210 درجه؛ 225 درجه؛ 240 درجه؛ 300 درجه؛ 315 درجه؛ 330 درجه برای این زوایا باید جدول سینوس ها، جدول کسینوس ها و ... را بشناسید.

کابوس، درسته؟)

و اگر زوایایی را در اینجا اضافه کنید، مانند: 405 درجه، 600 درجه، یا 3000 درجه و بسیاری از موارد به همان اندازه زیبا؟)

یا زوایا بر حسب رادیان؟ به عنوان مثال، در مورد زوایا:

و بسیاری دیگر که باید بدانید همه.

جالب ترین چیز این است که این را بدانید همه - در اصل غیر ممکن استاگر از حافظه مکانیکی استفاده می کنید.

و بسیار آسان است، در واقع ابتدایی - اگر از دایره مثلثاتی استفاده کنید. هنگامی که به کار با دایره مثلثاتی دست پیدا کردید، تمام آن زوایای مخوف بر حسب درجه را می توان به راحتی و به زیبایی به زوایای قدیمی کاهش داد:

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری بیایید یاد بگیریم - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

در قرن پنجم قبل از میلاد، فیلسوف یونان باستان زنون از الئا، آپوریاهای معروف خود را تدوین کرد که معروف ترین آنها آپوریا "آخیل و لاک پشت" است. در اینجا به نظر می رسد:

فرض کنید آشیل ده برابر سریعتر از لاک پشت می دود و هزار قدم از آن عقب تر است. در مدت زمانی که آشیل برای دویدن این مسافت طول می کشد، لاک پشت صد قدم در همان جهت می خزد. وقتی آشیل صد قدم می دود، لاک پشت ده قدم دیگر می خزد و به همین ترتیب. این روند تا بی نهایت ادامه خواهد داشت، آشیل هرگز به لاک پشت نمی رسد.

این استدلال به یک شوک منطقی برای تمام نسل های بعدی تبدیل شد. ارسطو، دیوژن، کانت، هگل، هیلبرت... همگی به نوعی به آپوریای زنون توجه داشتند. شوک آنقدر قوی بود که " ... بحث ها تا به امروز ادامه دارد؛ جامعه علمی هنوز نتوانسته است به یک نظر مشترک در مورد ماهیت پارادوکس ها برسد ... تحلیل ریاضی، نظریه مجموعه ها، رویکردهای جدید فیزیکی و فلسفی در بررسی موضوع دخیل بودند. ; هیچ یک از آنها به یک راه حل پذیرفته شده برای مشکل تبدیل نشدند..."[ویکی‌پدیا، "Zeno's Aporia". همه می‌دانند که دارند گول می‌خورند، اما هیچ‌کس نمی‌فهمد فریب شامل چه چیزی است.

از نقطه نظر ریاضی، زنو در آپوریای خود به وضوح انتقال از کمیت به . این انتقال به جای استفاده از موارد دائمی، کاربرد دارد. تا آنجا که من درک می کنم، دستگاه ریاضی برای استفاده از واحدهای اندازه گیری متغیر یا هنوز توسعه نیافته است، یا در آپوریای زنو اعمال نشده است. اعمال منطق همیشگی ما را به دام می کشاند. ما به دلیل اینرسی تفکر، واحدهای ثابت زمان را به مقدار متقابل اعمال می کنیم. از نقطه نظر فیزیکی، به نظر می رسد که زمان کند می شود تا زمانی که آشیل به لاک پشت می رسد، به طور کامل متوقف می شود. اگر زمان متوقف شود، آشیل دیگر نمی تواند از لاک پشت پیشی بگیرد.

اگر منطق همیشگی خود را برگردانیم، همه چیز سر جای خود قرار می گیرد. آشیل با سرعت ثابت می دود. هر بخش بعدی از مسیر او ده برابر کوتاهتر از قسمت قبلی است. بر این اساس، زمان صرف شده برای غلبه بر آن ده برابر کمتر از زمان قبلی است. اگر مفهوم «بی نهایت» را در این موقعیت به کار ببریم، درست است که بگوییم «آشیل بی نهایت سریع به لاک پشت می رسد».

چگونه از این تله منطقی جلوگیری کنیم؟ در واحدهای زمان ثابت بمانید و به واحدهای متقابل تغییر ندهید. در زبان زنو به این صورت است:

در مدت زمانی که آشیل هزار قدم می دود، لاک پشت صد قدم به همان سمت می خزد. در فاصله زمانی بعدی برابر با اول، آشیل هزار قدم دیگر خواهد دوید و لاک پشت صد قدم می خزد. حالا آشیل هشتصد قدم از لاک پشت جلوتر است.

این رویکرد به اندازه کافی واقعیت را بدون هیچ پارادوکس منطقی توصیف می کند. اما این یک راه حل کامل برای مشکل نیست. بیانیه انیشتین در مورد مقاومت ناپذیری سرعت نور بسیار شبیه به آپوریای زنو "آخیل و لاک پشت" است. ما هنوز باید این مشکل را مطالعه، تجدید نظر و حل کنیم. و راه حل را نه در تعداد بی نهایت زیاد، بلکه در واحدهای اندازه گیری باید جستجو کرد.

یکی دیگر از آپوریاهای جالب زنو درباره یک فلش پرنده می گوید:

یک تیر پرنده بی حرکت است، زیرا در هر لحظه از زمان در حال استراحت است و از آنجایی که در هر لحظه از زمان در حال استراحت است، همیشه در حال استراحت است.

در این آپوریا، پارادوکس منطقی بسیار ساده غلبه می کند - کافی است روشن شود که در هر لحظه از زمان یک فلش پرنده در نقاط مختلف فضا در حال استراحت است، که در واقع حرکت است. در اینجا لازم است به نکته دیگری توجه شود. از یک عکس از یک ماشین در جاده نمی توان حقیقت حرکت یا فاصله تا آن را تعیین کرد. برای تعیین اینکه آیا یک ماشین در حال حرکت است یا خیر، نیاز به دو عکس دارید که از یک نقطه در نقاط مختلف زمان گرفته شده اند، اما نمی توانید فاصله آنها را تعیین کنید. برای تعیین فاصله تا یک ماشین، به دو عکس گرفته شده از نقاط مختلف فضا در یک نقطه از زمان نیاز دارید، اما از روی آنها نمی توانید واقعیت حرکت را تعیین کنید (البته، هنوز برای محاسبات به داده های اضافی نیاز دارید، مثلثات به شما کمک می کند. ). چیزی که می خواهم توجه ویژه ای را به آن جلب کنم این است که دو نقطه در زمان و دو نقطه در مکان چیزهای متفاوتی هستند که نباید با هم اشتباه گرفته شوند، زیرا فرصت های متفاوتی را برای تحقیق فراهم می کنند.

چهارشنبه 4 جولای 2018

تفاوت های بین مجموعه و چند مجموعه به خوبی در ویکی پدیا توضیح داده شده است. اجازه بدید ببینم.

همانطور که می بینید، "دو عنصر یکسان در یک مجموعه وجود ندارد"، اما اگر عناصر یکسان در یک مجموعه وجود داشته باشد، به چنین مجموعه ای "چند مجموعه" می گویند. موجودات معقول هرگز چنین منطق پوچ را درک نمی کنند. این سطح طوطی های سخنگو و میمون های تربیت شده است که از کلمه "کاملا" هوشی ندارند. ریاضیدانان مانند مربیان معمولی عمل می کنند و ایده های پوچ خود را به ما موعظه می کنند.

روزی روزگاری مهندسانی که این پل را ساخته بودند در قایق زیر پل بودند و پل را آزمایش می کردند. اگر پل فرو می ریزد، مهندس متوسط ​​زیر آوار ساخته خود می میرد. اگر پل می توانست بار را تحمل کند، مهندس با استعداد پل های دیگری می ساخت.

مهم نیست که چقدر ریاضیدانان پشت عبارت «به من فکر کن، من در خانه هستم» یا بهتر است بگوییم «ریاضی مفاهیم انتزاعی را مطالعه می‌کند» پنهان می‌شوند، یک بند ناف وجود دارد که آنها را به طور جدایی ناپذیری با واقعیت مرتبط می‌کند. این بند ناف پول است. اجازه دهید نظریه مجموعه های ریاضی را برای خود ریاضیدانان به کار ببریم.

ما ریاضی را خیلی خوب خواندیم و الان پشت صندوق نشسته ایم و حقوق می دهیم. بنابراین یک ریاضیدان برای پولش نزد ما می آید. کل مبلغ را برای او می شمریم و آن را روی میز خود در انبوه های مختلف می گذاریم، که اسکناس های یک فرقه را در آن می گذاریم. سپس از هر انبوه یک اسکناس می گیریم و "مجموعه ریاضی دستمزد" را به ریاضیدان می دهیم. اجازه دهید به ریاضیدان توضیح دهیم که تنها زمانی اسکناس های باقی مانده را دریافت می کند که ثابت کند مجموعه ای بدون عناصر یکسان با مجموعه ای با عناصر یکسان برابر نیست. این جایی است که سرگرم کننده آغاز می شود.

اول از همه، منطق نمایندگان کار خواهد کرد: "این را می توان برای دیگران اعمال کرد، اما برای من نه!" سپس آنها شروع به اطمینان دادن به ما خواهند کرد که اسکناس‌های یک فرقه دارای شماره اسکناس‌های متفاوتی هستند، به این معنی که نمی‌توان آنها را عناصر یکسانی در نظر گرفت. خوب، بیایید حقوق ها را به سکه حساب کنیم - هیچ عددی روی سکه ها وجود ندارد. در اینجا ریاضیدان دیوانه وار شروع به یادآوری فیزیک می کند: سکه های مختلف مقادیر مختلفی از خاک دارند، ساختار کریستالی و آرایش اتم ها برای هر سکه منحصر به فرد است...

و اکنون من جالب ترین سوال را دارم: خطی که فراتر از آن عناصر یک مولتی مجموعه به عناصر یک مجموعه تبدیل می شوند کجاست و بالعکس؟ چنین خطی وجود ندارد - همه چیز توسط شمن ها تصمیم می گیرد، علم حتی به دروغ گفتن در اینجا نزدیک نیست.

اینجا را نگاه کن. ما استادیوم های فوتبال را با همان زمین انتخاب می کنیم. مناطق فیلدها یکسان است - به این معنی که ما یک چند مجموعه داریم. اما اگر به اسامی همین استادیوم ها نگاه کنیم، به تعداد زیادی می رسیم، زیرا نام ها متفاوت است. همانطور که می بینید، همان مجموعه عناصر هم یک مجموعه و هم چند مجموعه است. کدام درسته؟ و در اینجا، ریاضیدان-شمن-شارپیست یک خال از آستین خود بیرون می‌آورد و شروع می‌کند به ما درباره یک مجموعه یا چند مجموعه بگوید. در هر صورت او ما را متقاعد خواهد کرد که حق با اوست.

برای درک اینکه چگونه شمن های مدرن با تئوری مجموعه ها عمل می کنند و آن را به واقعیت گره می زنند، کافی است به یک سوال پاسخ دهیم: عناصر یک مجموعه با عناصر مجموعه دیگر چه تفاوتی دارند؟ من به شما نشان خواهم داد، بدون هیچ گونه "مفهوم به عنوان یک کل واحد" یا "مصالح به عنوان یک کل واحد".

یکشنبه 18 مارس 2018

مجموع ارقام یک عدد رقص شمن ها با تنبور است که ربطی به ریاضیات ندارد. بله، در درس های ریاضی به ما یاد می دهند که مجموع ارقام یک عدد را پیدا کرده و از آن استفاده کنیم، اما به همین دلیل است که آنها شمن هستند تا مهارت ها و خرد خود را به فرزندان خود بیاموزند، در غیر این صورت شمن ها به سادگی از بین می روند.

آیا نیاز به مدرک دارید؟ ویکی پدیا را باز کنید و سعی کنید صفحه «مجموع ارقام یک عدد» را پیدا کنید. او وجود ندارد هیچ فرمولی در ریاضیات وجود ندارد که بتوان از آن برای یافتن مجموع ارقام هر عددی استفاده کرد. از این گذشته ، اعداد نمادهای گرافیکی هستند که با آنها اعداد را می نویسیم ، و در زبان ریاضیات این کار به این صورت است: "مجموع نمادهای گرافیکی را پیدا کنید که نشان دهنده هر عددی است." ریاضیدانان نمی توانند این مشکل را حل کنند، اما شمن ها می توانند آن را به راحتی انجام دهند.

بیایید بفهمیم که چه کاری و چگونه انجام می دهیم تا مجموع ارقام یک عدد معین را پیدا کنیم. و بنابراین، اجازه دهید عدد 12345 را داشته باشیم. برای یافتن مجموع ارقام این عدد چه باید کرد؟ بیایید تمام مراحل را به ترتیب در نظر بگیریم.

1. عدد را روی یک تکه کاغذ یادداشت کنید. ما چه کرده ایم؟ ما عدد را به نماد عدد گرافیکی تبدیل کرده ایم. این یک عملیات ریاضی نیست.

2. یک تصویر حاصل را به چندین عکس که حاوی اعداد جداگانه هستند برش می دهیم. برش عکس یک عملیات ریاضی نیست.

3. نمادهای گرافیکی فردی را به اعداد تبدیل کنید. این یک عملیات ریاضی نیست.

4. اعداد به دست آمده را اضافه کنید. حالا این ریاضی است.

مجموع ارقام عدد 12345 برابر با 15 است. اینها "دوره های برش و دوخت" هستند که توسط شمن ها تدریس می شود و ریاضیدانان از آنها استفاده می کنند. اما این همه ماجرا نیست.

از نظر ریاضی فرقی نمی کند که در کدام سیستم عددی عدد بنویسیم. بنابراین، در سیستم های اعداد مختلف، مجموع ارقام یک عدد متفاوت خواهد بود. در ریاضیات، سیستم اعداد به عنوان زیرنویس در سمت راست عدد نشان داده می شود. با عدد بزرگ 12345، نمی خواهم سرم را گول بزنم، بیایید عدد 26 را از مقاله در مورد آن در نظر بگیریم. بیایید این عدد را در سیستم های اعداد باینری، اکتال، اعشاری و هگزادسیمال بنویسیم. ما هر مرحله را زیر میکروسکوپ نخواهیم دید، ما قبلاً این کار را انجام داده ایم. بیایید به نتیجه نگاه کنیم.

همانطور که می بینید، در سیستم های اعداد مختلف، مجموع ارقام یک عدد متفاوت است. این نتیجه ربطی به ریاضیات ندارد. مثل این است که اگر مساحت یک مستطیل را بر حسب متر و سانتی متر تعیین کنید، نتایج کاملاً متفاوتی می گیرید.

صفر در همه سیستم های اعداد یکسان به نظر می رسد و مجموع ارقام ندارد. این یکی دیگر از استدلال ها به نفع این واقعیت است که. سوال برای ریاضیدانان: چگونه چیزی که عدد نیست در ریاضیات تعیین می شود؟ چه، برای ریاضیدانان چیزی جز اعداد وجود ندارد؟ من می توانم این را برای شمن ها مجاز کنم، اما برای دانشمندان نه. واقعیت فقط اعداد نیست.

نتیجه به‌دست‌آمده باید به عنوان دلیلی در نظر گرفته شود که سیستم‌های عددی واحدهای اندازه‌گیری اعداد هستند. از این گذشته، ما نمی توانیم اعداد را با واحدهای اندازه گیری مختلف مقایسه کنیم. اگر اقدامات یکسان با واحدهای اندازه گیری متفاوت از یک کمیت پس از مقایسه آنها به نتایج متفاوتی منجر شود، پس این ربطی به ریاضیات ندارد.

ریاضیات واقعی چیست؟ این زمانی است که نتیجه یک عملیات ریاضی به اندازه عدد، واحد اندازه گیری استفاده شده و اینکه چه کسی این عمل را انجام می دهد بستگی ندارد.

روی درب امضا کنید در را باز می کند و می گوید:

اوه! اینجا دستشویی زنانه نیست؟
- زن جوان! این آزمایشگاهی است برای مطالعه قدوسیت بی عیب ارواح در هنگام عروج آنها به بهشت! هاله در بالا و فلش به بالا. چه توالت دیگری؟

ماده ... هاله بالا و فلش پایین نر هستند.

اگر چنین اثر هنری طراحی چندین بار در روز از جلوی چشمان شما چشمک بزند،

پس تعجب آور نیست که شما به طور ناگهانی نماد عجیبی را در ماشین خود پیدا کنید:

من شخصاً تلاش می‌کنم تا منهای چهار درجه را در یک فرد مدفوع ببینم (یک تصویر) (ترکیبی از چندین تصویر: علامت منفی، عدد چهار، تعیین درجه). و من فکر نمی کنم این دختر احمقی باشد که فیزیک نمی داند. او فقط یک کلیشه قوی از درک تصاویر گرافیکی دارد. و ریاضیدانان همیشه این را به ما می آموزند. در اینجا یک مثال است.

1A "منهای چهار درجه" یا "یک a" نیست. این "مرد مدفوع" یا عدد "بیست و شش" در نماد هگزا دسیمال است. افرادی که دائماً در این سیستم اعداد کار می کنند به طور خودکار یک عدد و یک حرف را به عنوان یک نماد گرافیکی درک می کنند.

جدول مقادیر توابع مثلثاتی

جدول مقادیر توابع مثلثاتی برای زوایای 0، 30، 45، 60، 90، 180، 270 و 360 درجه و مقادیر زاویه مربوطه در وردیان تهیه شده است. از توابع مثلثاتی، جدول سینوس، کسینوس، مماس، کوتانژانت، سکانت و کوسنت را نشان می دهد. برای راحتی حل مثال های مدرسه، مقادیر توابع مثلثاتی در جدول به صورت کسری نوشته می شود و در عین حال علائم استخراج جذر اعداد را حفظ می کند، که اغلب به کاهش عبارات پیچیده ریاضی کمک می کند. برای مماس و کتانژانت، مقادیر برخی زوایا را نمی توان تعیین کرد. برای مقادیر مماس و کتانژانت این گونه زوایا، یک خط تیره در جدول مقادیر توابع مثلثاتی وجود دارد. به طور کلی پذیرفته شده است که مماس و کتانژانت چنین زاویه هایی برابر با بی نهایت است. در یک صفحه جداگانه فرمول هایی برای کاهش توابع مثلثاتی وجود دارد.

جدول مقادیر تابع سینوس مثلثاتی مقادیر زوایای زیر را نشان می دهد: sin 0, sin 30, sin 45, sin 60, sin 90, sin 180, sin 270, sin 360 در درجه که مطابق با sin 0 pi, sin pi/6 , sin pi/4, sin pi/3, sin pi/2, sin pi, sin 3 pi/2, sin 2 pi در اندازه رادیانی زوایا. جدول سینوس های مدرسه.

برای تابع کسینوس مثلثاتی، جدول مقادیر زوایای زیر را نشان می دهد: cos 0، cos 30، cos 45، cos 60، cos 90، cos 180، cos 270، cos 360 در درجه، که مربوط به cos 0 pi است. ، cos pi در 6، cos pi در 4، cos pi در 3، cos pi در 2، cos pi، cos 3 پی در 2، cos 2 پی در اندازه گیری رادیانی زاویه ها. جدول کسینوس مدرسه.

جدول مثلثاتی برای تابع مماس مثلثاتی مقادیری را برای زوایای زیر نشان می دهد: tg 0، tg 30، tg 45، tg 60، tg 180، tg 360 در اندازه گیری درجه، که با tg 0 pi، tg pi/6 مطابقت دارد. tg pi/4، tg pi/3، tg pi، tg 2 pi در اندازه رادیانی زوایا. مقادیر زیر از توابع مماس مثلثاتی tan 90، tan 270، tan pi/2، tan 3 pi/2 تعریف نشده و برابر با بی نهایت در نظر گرفته می شوند.

برای تابع مثلثاتی همزمان در جدول مثلثاتی مقادیر زوایای زیر آورده شده است: ctg 30، ctg 45، ctg 60، ctg 90، ctg 270 در اندازه گیری درجه، که مطابق با ctg pi/6، ctg pi/4 است. , ctg pi/3, tg pi/ 2, tan 3 pi/2 در اندازه رادیانی زوایا. مقادیر زیر از توابع کوتانژانت مثلثاتی ctg 0، ctg 180، ctg 360، ctg 0 pi، ctg pi، ctg 2 pi تعریف نشده اند و برابر با بی نهایت در نظر گرفته می شوند.

مقادیر توابع مثلثاتی سکانت و کوسکانت برای زوایای یکسان بر حسب درجه و رادیان به عنوان سینوس، کسینوس، مماس، کوتانژانت داده می شود.

جدول مقادیر توابع مثلثاتی زوایای غیر استاندارد مقادیر سینوس، کسینوس، مماس و کتانژانت را برای زوایای درجات 15، 18، 22.5، 36، 54، 67.5 72 درجه و رادیان پی/12 نشان می دهد. , pi/10, pi/ 8, pi/5, 3pi/8, 2pi/5 رادیان. مقادیر توابع مثلثاتی بر حسب کسری و ریشه مربع بیان می‌شوند تا کاهش کسرها در نمونه‌های مدرسه آسان‌تر شود.

سه هیولا مثلثاتی دیگر. اولی مماس 1.5 یک و نیم درجه یا پی تقسیم بر 120 است. دومی کسینوس پی تقسیم بر 240، پی/240 است. طولانی ترین کسینوس پی تقسیم بر 17، پی/17 است.

دایره مثلثاتی مقادیر توابع سینوس و کسینوس به صورت بصری علائم سینوس و کسینوس را بسته به بزرگی زاویه نشان می دهد. مخصوصاً برای مو بورها، مقادیر کسینوس با خط تیره سبز خط کشیده شده است تا سردرگمی کمتر شود. هنگامی که رادیان ها بر حسب پی بیان می شوند، تبدیل درجه به رادیان نیز به وضوح ارائه می شود.

این جدول مثلثاتی مقادیر سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت را برای زوایای 0 صفر تا 90 نود درجه در فواصل یک درجه نشان می دهد. برای چهل و پنج درجه اول، نام توابع مثلثاتی باید در بالای جدول دیده شود. ستون اول شامل درجه است، مقادیر سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت در چهار ستون بعدی نوشته شده است.

برای زوایای چهل و پنج درجه تا نود درجه، نام توابع مثلثاتی در پایین جدول نوشته شده است. ستون آخر شامل درجات است؛ مقادیر کسینوس، سینوس، کوتانژانت و مماس در چهار ستون قبلی نوشته شده است. باید مراقب باشید زیرا نام توابع مثلثاتی در پایین جدول مثلثاتی با نام های بالای جدول متفاوت است. سینوس ها و کسینوس ها مانند مماس و کوتانژانت با هم عوض می شوند. این به دلیل تقارن مقادیر توابع مثلثاتی است.

علائم توابع مثلثاتی در شکل بالا نشان داده شده است. سینوس دارای مقادیر مثبت از 0 تا 180 درجه یا 0 تا پی است. سینوس دارای مقادیر منفی از 180 تا 360 درجه یا از پی تا 2 پی است. مقادیر کسینوس از 0 تا 90 و 270 تا 360 درجه یا 0 تا 1/2 پی و 3/2 تا 2 پی مثبت است. مماس و کتانژانت دارای مقادیر مثبت از 0 تا 90 درجه و از 180 تا 270 درجه هستند که مربوط به مقادیر 0 تا 1/2 پی و پی تا 3/2 پی است. مقادیر منفی مماس و کتانژانت از 90 تا 180 درجه و از 270 تا 360 درجه یا از 1/2 پی به پی و از 3/2 پی تا 2 پی است. هنگام تعیین علائم توابع مثلثاتی برای زوایای بزرگتر از 360 درجه یا 2 پی، باید از ویژگی های تناوب این توابع استفاده کنید.

توابع مثلثاتی سینوسی، مماس و کوتانژانت توابعی فرد هستند. مقادیر این توابع برای زوایای منفی منفی خواهد بود. کسینوس یک تابع مثلثاتی زوج است - مقدار کسینوس برای یک زاویه منفی مثبت خواهد بود. هنگام ضرب و تقسیم توابع مثلثاتی باید قوانین علامت رعایت شود.

1. جدول مقادیر تابع سینوس مثلثاتی مقادیر زوایای زیر را نشان می دهد

   سند

   فرمول های کاهش در یک صفحه جداگانه وجود دارد مثلثاتیکارکرد. که در جدولارزش هایبرایمثلثاتیکارکردسینوسیداده شدهارزش هایبرایبه شرح زیرگوشه ها: گناه 0، گناه 30، گناه 45 ...

2. دستگاه ریاضی پیشنهادی یک آنالوگ کامل از حساب مختلط برای اعداد ابرمختلط n بعدی با هر تعداد درجه آزادی n است و برای مدل‌سازی ریاضی غیرخطی در نظر گرفته شده است.

   سند

   ... کارکردبرابر است کارکردتصاویر. از این قضیه باید، چی برایبرای یافتن مختصات U، V کافی است محاسبه شود تابع... هندسه؛ چندنار کارکرد(آنالوگ های چند بعدی دو بعدی مثلثاتیکارکرد) خواص آنها، جداولو کاربرد؛ ...