توابع ابتدایی پایه، خواص و نمودارهای آنها. تابع توان، خواص و نمودار آن مثالی از استفاده از تابع توان

تابع توان با فرمولی از فرم داده می شود.

نوع نمودارهای تابع توان و ویژگی های تابع توان را بسته به مقدار توان در نظر بگیرید.

بیایید با یک تابع توان با توان عدد صحیح شروع کنیم آ. در این حالت، شکل نمودارهای توابع توان و خواص توابع به توان زوج یا فرد و همچنین به علامت آن بستگی دارد. بنابراین، ابتدا توابع توان را برای مقادیر مثبت فرد در نظر می گیریم آ، سپس - برای زوج مثبت، سپس - برای نماهای منفی فرد، و، در نهایت، برای زوج منفی آ.

خواص توابع توان با توان کسری و غیر منطقی (و همچنین نوع نمودارهای این توابع توانی) به مقدار توان بستگی دارد. آ. ابتدا آنها را در نظر خواهیم گرفت آاز صفر به یک و ثانیاً در آواحدهای بزرگ، سوم، با آاز منهای یک به صفر، چهارم، زمانی که آکوچکتر منهای یک

در پایان این بخش، به منظور کامل بودن، یک تابع توان با توان صفر را توضیح می دهیم.

تابع توان با توان مثبت فرد.

تابع توانی را با نما مثبت فرد، یعنی با، در نظر بگیرید a=1،3،5،….

شکل زیر نمودارهای توابع توان - خط سیاه، - خط آبی، - خط قرمز، - خط سبز را نشان می دهد. در a=1ما داریم تابع خطی y=x.

ویژگی های تابع توان با نما مثبت فرد.

تابع توان با نما حتی مثبت.

تابع توانی را با توان مثبت در نظر بگیرید، یعنی برای a=2،4،6،….

به عنوان مثال، بیایید نمودارهای توابع قدرت - خط سیاه، - خط آبی، - خط قرمز را در نظر بگیریم. در a=2ما یک تابع درجه دوم داریم که نمودار آن است سهمی درجه دوم.

ویژگی های یک تابع توان با توان مثبت زوج.

تابع توان با توان منفی فرد.

به نمودارهای تابع توان برای مقادیر منفی فرد توان، یعنی برای نگاه کنید a=-1،-3،-5،….

تابع توانتابعی از فرم است y = xp، که در آن p یک عدد واقعی داده شده است.

ویژگی های تابع قدرت

1. اگر نشانگر p = 2n- یک عدد طبیعی زوج:
   • دامنه تعریف همه اعداد حقیقی است، یعنی مجموعه R.
   • مجموعه مقادیر - اعداد غیر منفی، یعنی y ≥ 0؛
   • تابع یکنواخت است.
   • تابع در بازه x ≤ 0 کاهش می یابد و در بازه x ≥ 0 افزایش می یابد.
   مثالی از یک تابع با p = 2n: y=x4.


2. اگر نشانگر p = 2n - 1- عدد طبیعی فرد:
   • دامنه تعریف - مجموعه R;
   • مجموعه مقادیر - مجموعه R؛
   • تابع فرد است.
   • تابع در کل محور واقعی در حال افزایش است.
   مثالی از یک تابع با p = 2n - 1: y=x5.


3. اگر نشانگر p=-2n، جایی که n- عدد طبیعی:
   • مجموعه ای از مقادیر - اعداد مثبت y > 0؛
   • تابع یکنواخت است.
   • تابع در بازه x 0 در حال افزایش است.
   مثالی از یک تابع با p = -2n: y = 1/x2.


4. اگر نشانگر p = -(2n - 1)، جایی که n- عدد طبیعی:
   • دامنه تعریف مجموعه R است، به جز x = 0.
   • مجموعه مقادیر - مجموعه R، به جز y = 0؛
   • تابع فرد است.
   • تابع در بازه های x 0 کاهش می یابد.
   مثالی از یک تابع با p = -(2n - 1): y = 1/x3.


5. اگر نشانگر پیک عدد غیر صحیح واقعی مثبت است:
   • دامنه تعریف - اعداد غیر منفی x ≥ 0;
   • مجموعه مقادیر - اعداد غیر منفی y ≥ 0؛
   • تابع در بازه x ≥ 0 در حال افزایش است.
   مثالی از یک تابع با توان p، که در آن p یک عدد غیر صحیح واقعی مثبت است: y=x4/3.


6. اگر نشانگر پیک عدد غیر صحیح واقعی منفی است:
   • دامنه تعریف - اعداد مثبت x > 0;
   • مجموعه ای از مقادیر - اعداد مثبت y > 0؛
   • تابع در بازه x > 0 کاهش می یابد.
   مثالی از یک تابع با توان p، که در آن p یک غیر صحیح واقعی منفی است: y=x-1/3.

خواص و نمودارهای توابع توان با توان عدد صحیح منفی را به خاطر بیاورید.

برای n زوج، :

مثال تابع:

تمام نمودارهای چنین توابعی از دو نقطه ثابت عبور می کنند: (1;1)، (-1;1). یکی از ویژگی های توابع از این نوع برابری آنها است، نمودارها با توجه به محور op-y متقارن هستند.

برنج. 1. نمودار یک تابع

برای n فرد، :

مثال تابع:

تمام نمودارهای چنین توابعی از دو نقطه ثابت عبور می کنند: (1;1)، (-1;-1). یکی از ویژگی های توابع این نوع عجیب بودن آنهاست، نمودارها با توجه به مبدا متقارن هستند.

برنج. 2. نمودار تابع

بیایید تعریف اصلی را یادآوری کنیم.

درجه یک عدد غیر منفی a با توان گویا مثبت را عدد می گویند.

به درجه یک عدد مثبت a با توان منفی گویا عدد می گویند.

برای برابری زیر برقرار است:

مثلا: ; - عبارت با تعریف درجه ای با توان منطقی منفی وجود ندارد. وجود دارد، زیرا توان یک عدد صحیح است،

اجازه دهید به بررسی توابع توان با توان منفی منطقی بپردازیم.

مثلا:

برای رسم این تابع می توانید یک جدول بسازید. ما در غیر این صورت انجام خواهیم داد: ابتدا نمودار مخرج را می سازیم و مطالعه می کنیم - ما آن را می دانیم (شکل 3).

برنج. 3. نمودار یک تابع

نمودار تابع مخرج از یک نقطه ثابت (1;1) عبور می کند. هنگام ساخت یک نمودار از تابع اصلی، این نقطه باقی می ماند، زمانی که ریشه نیز به سمت صفر میل می کند، تابع به سمت بی نهایت میل می کند. و برعکس، با تمایل x به بی نهایت، تابع به سمت صفر میل می کند (شکل 4).

برنج. 4. نمودار تابع

یک تابع دیگر از خانواده توابع مورد مطالعه را در نظر بگیرید.

این مهم است که طبق تعریف

نمودار تابع را در مخرج در نظر بگیرید: ما نمودار این تابع را می شناسیم، دامنه تعریف آن افزایش می یابد و از نقطه (1؛ 1) می گذرد (شکل 5).

برنج. 5. نمودار تابع

هنگام ساخت نموداری از تابع اصلی، نقطه (1؛ 1) باقی می ماند، زمانی که ریشه نیز به سمت صفر میل می کند، تابع به سمت بی نهایت میل می کند. و برعکس، وقتی x به بی نهایت میل می کند، تابع به سمت صفر میل می کند (شکل 6).

برنج. 6. نمودار تابع

مثال‌های در نظر گرفته شده به درک اینکه نمودار چگونه پیش می‌رود و ویژگی‌های تابع مورد مطالعه چیست - تابعی با توان گویا منفی است.

نمودارهای توابع این خانواده از نقطه (1;1) عبور می کنند، تابع در کل دامنه تعریف کاهش می یابد.

محدوده عملکرد:

تابع از بالا محدود نمی شود، بلکه از پایین محدود می شود. تابع نه مقدار حداکثر و نه حداقل مقدار دارد.

تابع پیوسته است، تمام مقادیر مثبت را از صفر تا به علاوه بی نهایت می گیرد.

تابع پایین محدب (شکل 15.7)

نقاط A و B روی منحنی گرفته می شوند، یک قطعه از میان آنها ترسیم می شود، کل منحنی زیر قطعه است، این شرط برای دو نقطه دلخواه روی منحنی برقرار است، بنابراین تابع به سمت پایین محدب است. برنج. 7.

برنج. 7. تحدب یک تابع

درک این نکته مهم است که توابع این خانواده از پایین با صفر محدود می شوند، اما کوچکترین مقدار را ندارند.

مثال 1 - حداکثر و حداقل یک تابع را در بازه \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty) x^(2n)\ )=+\infty \] پیدا کنید.

نمودار (شکل 2).

شکل 2. نمودار تابع $f\left(x\right)=x^(2n)$

ویژگی های تابع توان با توان فرد طبیعی

دامنه تعریف همه اعداد حقیقی است.

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ یک تابع فرد است.

$f(x)$ در کل دامنه تعریف پیوسته است.

دامنه همه اعداد واقعی است.

$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

تابع در کل دامنه تعریف افزایش می یابد.

$f\left(x\right)0$، برای $x\in (0،+\infty)$.

$f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\راست)"=2 \left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

\ \

تابع برای $x\in (-\infty ,0)$ مقعر و برای $x\in (0,+\infty)$ محدب است.

نمودار (شکل 3).

شکل 3. نمودار تابع $f\left(x\right)=x^(2n-1)$

تابع توان با توان عدد صحیح

برای شروع، مفهوم درجه با توان عدد صحیح را معرفی می کنیم.

تعریف 3

درجه یک عدد واقعی $a$ با یک عدد صحیح $n$ با فرمول تعیین می شود:

شکل 4

اکنون یک تابع توان با توان عدد صحیح، خواص و نمودار آن را در نظر بگیرید.

تعریف 4

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ یک تابع توان با توان عدد صحیح نامیده می شود.

اگر درجه بزرگتر از صفر باشد، به تابع توانی با توان طبیعی می رسیم. قبلاً در بالا به آن پرداخته ایم. برای $n=0$ یک تابع خطی $y=1$ دریافت می کنیم. بررسی آن را به خواننده واگذار می کنیم. باقی مانده است که خواص یک تابع توان با توان عدد صحیح منفی را در نظر بگیریم

ویژگی های تابع توان با توان عدد صحیح منفی

محدوده $\left(-\infty,0\right)(0,+\infty)$ است.

اگر توان زوج باشد، تابع زوج است و اگر فرد باشد، تابع فرد است.

$f(x)$ در کل دامنه تعریف پیوسته است.

محدوده ارزش:

اگر توان زوج باشد، آنگاه $(0,+\infty)$، اگر فرد باشد، سپس $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

اگر توان فرد باشد، تابع به صورت $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$ کاهش می یابد. برای یک توان زوج، تابع به صورت $x\in (0,+\infty)$ کاهش می‌یابد. و با $x\in \left(-\infty,0\right)$ افزایش می‌یابد.

$f(x)\ge 0$ در کل دامنه