피타고라의 역 정리를 증명하십시오. 수업 "정리 - Pythagore 's Theorem"

Pythagore의 정리는 다음과 같습니다.

직사각형 삼각형에서, 사각형의 제곱의 합은 hypotenuse의 제곱과 동일합니다.

a 2 + B 2 \u003d C 2,

ㅏ. 과 비. - 직선 모서리를 형성하는 뿌리.
...에서 - 삼각형 히포 테니즈.

피타고라 이론 수식

a \u003d \\ sqrt (c ^ (2) - b ^ (2))
b \u003d \\ sqrt (c ^ (2) - a ^ (2))
c \u003d \\ sqrt (a ^ (2) + b ^ (2))

Pythagora 정리의 증거

직사각형 삼각형의 영역은 공식에 의해 계산됩니다.

s \u003d \\ frac (1) (2) ab

임의의 삼각형 포뮬러 사각형의 영역을 계산하려면 :

피. - 반 미터. p \u003d \\ fRAC (1) (2) (a + b + c),
아르 자형. - 반경이 새겨진 원. Rectangler \u003d \\ FRAC (1) (2) (A + B-C).

그런 다음 우리는 삼각형 영역에 대한 두 수식의 올바른 부분과 동일시합니다.

\\ FRAC (1) (2) ab \u003d \\ frac (1) (2) (A + B + C) \\ FRAC (1) (2) (A + B-C)

2 ab \u003d (a + b + c) (a + b-c)

2 ab \u003d \\ left ((a + b) ^ (2) -c ^ (2) \\ 오른쪽)

2 AB \u003d A ^ (2) + 2AB + B ^ (2) -C ^ (2)

0 \u003d A ^ (2) + B ^ (2) -C ^ (2)

c ^ (2) \u003d a ^ (2) + b ^ (2)

피타고라스 리버스 정리 :

삼각형의 한면의 제곱이 두 개의 다른면의 제곱의 합과 같으면 삼각형은 직사각형입니다. 즉, 모든 3 개의 양수 숫자 a, B. 과 씨., 그런

a 2 + B 2 \u003d C 2,

관습이있는 직사각형 삼각형이 있습니다 ㅏ. 과 비. 그리고 hypotenuse. 씨..

피타고라스의 정리 - 사각형 삼각형의 측면 사이의 비율을 설정하는 유클리드 기하학의 근본적인 정리 중 하나입니다. 그녀는 과학자 수학자와 철학자의 피타고어에 의해 입증되었습니다.

정리 값 이를 통해 도움을 받아 다른 정리를 증명하고 문제를 해결할 수 있습니다.

추가 자료 :

피타고라스의 정리 - 유클리드 기하학의 근본적인 정리 중 하나가 비율을 설정합니다.

직사각형 삼각형의 측면 사이.

그리스의 수학자 피타보게에 의해 입증 된 것으로 믿어지고있는 것으로 믿어지고, 어떤 명칭을 기념하여 명명했습니다.

피타고라스 정리의 기하학적 배합.

처음에는 이론이 다음과 같이 공식화되었습니다.

직사각형 삼각형에서, hypotenuse에 내장 된 사각형의 정사각형은 사각형의 사각형의 합과 동일합니다.

대호테에 내장되어 있습니다.

Pythagorean 정리의 대수학 제형.

직사각형 삼각형에서, 저음의 길이의 제곱은 캐리지 길이의 제곱의 합과 동일합니다.

즉, 삼각형의 길이를 통과하는 길이를 나타냅니다. 씨.및 사극의 길이를 통해 ㅏ. 과 비.:

둘 다 표현 pythagora 정리동등하지만 두 번째 문구는 더 훨씬 더 큽니다. 그렇지 않습니다.

지역의 개념이 필요합니다. 즉, 두 번째 문장을 확인할 수 있으며, 그 지역에 대해 알 수있는 것은 아무것도 모릅니다.

직사각형 삼각형의 측면의 길이 만 측정합니다.

피타고라스 반향 정리.

삼각형의 한면의 사각형이 두 개의 다른면의 제곱의 합과 동일하면 다음과 같습니다.

삼각형은 직사각형입니다.

또는 다른 말로 :

세 가지 양수 모두 ㅏ., 비. 과 씨., 그런

관습이있는 직사각형 삼각형이 있습니다 ㅏ. 과 비.그리고 hypotenuse. 씨..

평가 가능한 삼각형을위한 Pythagora 정리.

정삼각형을위한 피타고라 정리.

피타고라스 정리의 증거.

현재이 정리의 367 명의 증거가 과학적 문헌에 기록되었다. 아마도 정리

피타고라는 이러한 인상적인 증거가있는 유일한 정리입니다. 그런 다양한

지오메트리 정리의 기본 가치에 의해서만 설명 될 수 있습니다.

물론, 그것은 개념적으로 모두 적은 수의 수업으로 나눌 수 있습니다. 그들 중 가장 유명한 :

증명서 공간의 방법, 공리적 과 이국적인 증거 (예 :

통하다 미분 방정식).

1. 이러한 삼각형을 통해 Pythagore의 정리를 증명합니다.

대수 문학의 다음과 같은 증거는 공사중인 증명의 가장 간단합니다.

공리에서 직접. 특히, 그림의 그림의 개념을 사용하지 않습니다.

멎게 해줘 알파벳 직선 각도가있는 직사각형 삼각형이 있습니다 씨....에 높이를 보내자 씨. 그리고 말한다

그 재단 하류.

삼각형 아프. 삼각형처럼 AB두 모서리의 경우. 마찬가지로 삼각형입니다 cbh. 처럼 알파벳.

표기법 입력 :

우리는 다음과 같습니다.

무엇에 해당하는 것 -

어울리는 ㅏ. 2 I. 비. 2, 우리는 다음과 같습니다.

또는 증명해야했거나 필요한 것입니다.

2. 해당 지역의 파이널 그 이론의 증거.

아래에, 증거는 자신의 보이지 않는 단순함에도 불구하고 간단하지 않습니다. 그들 모두

그 지역의 속성을 사용하면 피타고라 자체의 정리의 증거로 인해 증거가 더 복잡합니다.

간병임을 통해 증명합니다.

4 개의 동등한 직사각형을 놓습니다

그림과 같이 삼각형

오른쪽에.

측면을 가진 숫자 씨. - 광장,

90 °의 2 개의 날카로운 모서리의 합이 있기 때문에

배치 된 각도 - 180 °.

전체 그림의 영역은 한 손과 같습니다.

측면이있는 정사각형 영역 ( a + B.), 그리고 다른 한편으로는 4 개의 삼각형의 영역의 합계와

Q.E.D.

3. 무한히 작게의 방법에 의한 Pythagore 정리의 증거.

그림과 그림과 같은 도면을 고려해보십시오

측면의 변화를 관찰합니다ㅏ., 우리는 할 수 있습니다

무한에 대한 다음 비율을 기록하십시오

작은 쪽의 증분...에서 과 ㅏ. (Semblance를 사용하십시오

삼각형) :

변수 분리 방법을 사용하여 다음을 찾습니다.

양극 집열의 증가가 발생할 경우 hypotenuse를 변화시키는보다 일반적인 표현 :

이 방정식을 통합하고 초기 조건을 사용하여 우리는 다음을 얻습니다.

따라서 우리는 원하는 대답에옵니다.

보지 않는 것이 어렵지 않기 때문에 최종 공식의 2 차적 의존성이 선형으로 인해 나타납니다.

삼각형의 측면과 증분 사이의 비례, 금액은 독립적 인 것과 관련이있는 반면

서로 다른 사태의 증가로부터 침착합니다.

사슴 중 하나가 증분을 경험하지 않는다고 가정하면 더 간단한 증거를 얻을 수 있습니다.

(이 경우 catat. 비.짐마자 그런 다음 통합 상수를 위해 우리는 다음과 같습니다.

반 데르 (Van Der Varden)에 따르면 일반적으로 일반적으로 비율은 XVIII 세기 BC 근처의 바빌론에서 알려 졌을 가능성이 큽니다. 이자형.

약 400 BC. E. 프로브에 따르면 Plato는 대수학 및 기하학을 결합하여 Pythagora Trok을 찾는 방법을 제공했습니다. 약 300 BC. 이자형. "euclidea의 시작"에있어서, Pythagoreo 정리의 가장 오래된 공리 증거가 나타났습니다.

공식화

주요 제제는 대수적 인 조치를 포함합니다. 직사각형 삼각형에는 athettes가 동일합니다. A (\\ DisplayStyle A) 과 B (\\ DisplayStyle B)및 채권의 길이 - C (\\ DisplayStyle C)비율이 완료되었습니다.

동일한 기하학적 제형이 가능하며 그림의 영역의 개념에 의지합니다. 직사각형 삼각형에서는 hypotenuse에 내장 된 사각형의 제곱은 카테고리 위에 구축 된 사각형의 사각형의 합과 같습니다. 이 형태로 정리는 유클리 도아의 시작 부분에 공식화됩니다.

피타고라 반향 정리 - 모든 삼각형의 직사각형의 승인, 관계가 관련된 측면의 길이 A 2 + B 2 \u003d C 2 (\\ DisplayStyle A ^ (2) + B ^ (2) \u003d C ^ (2))...에 결과적으로, 세 가지 양수 모두에 대해 A (\\ DisplayStyle A), B (\\ DisplayStyle B) 과 C (\\ DisplayStyle C), 그런 A 2 + B 2 \u003d C 2 (\\ DisplayStyle A ^ (2) + B ^ (2) \u003d C ^ (2)), 관습이있는 직사각형 삼각형이 있습니다 A (\\ DisplayStyle A) 과 B (\\ DisplayStyle B) 그리고 hypotenuse. C (\\ DisplayStyle C).

증명서

과학적 문헌은 Pythagora 정리에 대한 최소한 400 개의 증거를 기록했으며, 이는 기하학의 기본 가치와 결과의 초등으로 설명됩니다. 증거의 주요 방향 : 삼각형 요소 (예 : 유사성의 널리 사용되는 유사성)의 관계의 대수 사용, 공간의 방법은 다양한 이국적인 증거 (예를 들어 차동 방정식 사용)가 있습니다.

그러한 삼각형을 통해

유클리 디아의 고전적 증거는 관세 위의 제곱과 직접 각도의 저혈압 높이 위의 정사각형의 마이그레이션에서 형성된 직사각형 사이의 영역의 평등을 확립하는 것을 목표로합니다.

증거에 사용 된 디자인은 다음과 같습니다. 직접 각도가있는 직사각형 삼각형 C (\\ DisplayStyle C), Hypotenuse 이상의 세관과 사각형에 대한 사각형 B i k (\\ displaystyle abik) 높이가 내장되어 있습니다 C H (\\ displayStyle CH) 그리고 그녀의 광선을 계속합니다 s (\\ displaystyle s), Hypotenur를 두 개의 직사각형으로 파괴하십시오. 증거는 직사각형 영역의 평등을 확립하기위한 것입니다 H J K (\\ DisplayStyle Ahjk) 광장에서 사법 C (\\ DisplayStyle AC); 히포 테 니즈 위의 정사각형을 구성하는 두 번째 직사각형 영역의 평등화 및 다른 캐스네트의 직사각형은 같은 방식으로 설정됩니다.

사각형 사각형의 평등 H J K (\\ DisplayStyle Ahjk) 과 C e d (\\ displayStyle ACED) 삼각형의 일련을 통해 설치 ⇨ CK (\\ DisplayStyle \\ Triangle ACK) 과 ⇨ B D (\\ DisplayStyle \\ Triangle ABD)각각의 면적은 평방 광장의 절반과 같습니다. H J K (\\ DisplayStyle Ahjk) 과 C e d (\\ displayStyle ACED) 따라서, 다음 특성으로 인해, 삼각형 영역은 공통당을 가질 경우 사각형 영역의 절반과 같고, 일반 측면의 삼각형의 높이는 사각형의 다른 쪽입니다. 삼각형의 크로스는 양면 (사각형의 측면)과 그들 사이의 모퉁이에서 (똑바로 모서리와 각도로 구성되어 있습니다). A (\\ DisplayStyle A).

따라서, 증거는 직사각형으로 구성된 hypotenuse 위의 정사각형의 정사각형을 확립한다. H J K (\\ DisplayStyle Ahjk) 과 B H J I (\\ DisplayStyle Bhji)세관에 따른 사각형의 사각형의 합과 같습니다.

증거 Leonardo da Vinci.

Leonardo da Vinci의 증거는 광장 영역에 발견되었습니다. 직사각형 삼각형을합시다 √ B C (\\ DisplayStyle \\ Triangle ABC) 직접 각도로 C (\\ DisplayStyle C) 그리고 사각형 C e d (\\ displayStyle ACED), B C F G (\\ DisplayStyle BCFG) 과 A B H J (\\ DisplayStyle ABHJ) (그림 참조). 옆 에이 증명서 H J (\\ DisplayStyle HJ) 외부의 후자는 삼각형이며 일치합니다. √ B C (\\ DisplayStyle \\ Triangle ABC)또한, 그로 인해, 저음과 비교적 높이에 대한 반영 (즉, j i \u003d b c (\\ displaystyle ji \u003d bc) 과 h i \u003d a c (\\ displaystyle hi \u003d ac)짐마자 직진 C i (\\ DisplayStyle CI) hypotenuse를 2 개의 동등한 부분으로 바꾸는 사각형을 두 개로 묶습니다. √ B C (\\ DisplayStyle \\ Triangle ABC) 과 △ j h i (\\ displaystyle \\ triangle jhi) 건설과 같습니다. 증거는 quasricles의 일련을 확립합니다 C A J I (\\ DisplayStyle Caji) 과 D A B G (\\ DisplayStyle DABG)각각의 영역은 반대편의 정사각형의 사각형의 정사각형의 정사각의 절반의 합계와 원래 삼각형의 면적, 반면의 절반의 절반의 합계와 동일한 것으로 밝혀졌습니다. hypotenuse의 광장과 원래 삼각형의 영역. 합계, 카테고리에 대한 사각형의 제곱의 절반은 피타단어 정리의 기하학적 제형과 동일한 저타 텐스의 제곱의 정사각형의 절반과 같습니다.

무한히 작은 방법에 의한 증거

차별 방정식의 기술에 대한 리조트가 여러 가지 증거가 있습니다. 특히, Hardy는 무한히 작은 사물 증분을 사용하여 증거에 기인합니다. A (\\ DisplayStyle A) 과 B (\\ DisplayStyle B) 그리고 방음 C (\\ DisplayStyle C)원래 사각형과 유사성을 유지하는 것입니다. 즉, 다음 차등 관계를 제공합니다.

D C \u003d C A (\\ DISPLAYSTYLE (\\ FRAC (DA) (DC)) \u003d (\\ FRAC (c) (a))), d b d c \u003d c b (\\ displayStyle (\\ frac (db) (DC)) \u003d (\\ frac (c))).

차동 방정식은 변수를 분리하여 파생됩니다 C D C \u003d A D A + B D B (\\ DISPLAYSTYLE C \\ DC \u003d A \\, DA + B \\, DB)누구의 통합이 비율을 제공합니다 C 2 \u003d A 2 + B 2 + C O N S T (\\ displayStyle C ^ (2) \u003d A ^ (2) + B ^ (2) + \\ mathrm (const))...에 초기 조건의 적용 a \u003d b \u003d c \u003d 0 (\\ displayStyle a \u003d b \u003d c \u003d 0) 정리를 0으로 결정하여 정리의 진술서를 결정합니다.

최종 공식의 2 차적 의존성은 삼각형의 측면과 증분 사이의 선형 비례로 인해 발생하는 반면, 양은 서로 다른 사슬의 증가로 인한 독립적 인 침전물과 관련이 있습니다.

변형 및 일반화

3면의 유사한 기하학적 모양

피타고라스 정리의 중요한 기하학적 일반화는 "처음"에서 유칼 리움을 주었고, 임의의 유사한 기하학적 인 수치의 측면에서 사각형의 제곱을 건너는 것입니다. 대호사 위에 내장 된 그러한 수치의 영역의 합계는 hypotenuse와 유사한 그림.

이 일반화의 주요 아이디어는 이러한 기하학적 형상의 영역이 선형 크기의 제곱과 특히 임의의 측면의 제곱에 비례한다는 것입니다. 결과적으로, 사각형이있는 유사한 모양 A (\\ DisplayStyle A), B (\\ DisplayStyle B) 과 C (\\ DisplayStyle C)길이가있는 사용자 권한을 내장합니다 A (\\ DisplayStyle A) 과 B (\\ DisplayStyle B) 그리고 hypotenuse. C (\\ DisplayStyle C) 따라서 비율은 다음과 같습니다.

A a 2 \u003d B B 2 \u003d C C 2 ⇒ A + B \u003d A 2 C 2 C + B 2 C 2 C (\\ displayStyle (\\ frac (a) (a ^ (2)) \u003d (\\ frac (b) (b ^ (2))) \u003d (\\ frac (c) (c ^ (2))) \\, \\ Nowarrow \\, a + b \u003d (\\ frac (a ^ (2)) (c ^ (2))) c + (\\ frac (b ^ (b ^ (2)) (c ^ (2))) c).

Pythagora 정리 A 2 + B 2 \u003d C 2 (\\ DisplayStyle A ^ (2) + B ^ (2) \u003d C ^ (2)), 그런 다음 수행합니다.

또한 Pythagora 정리를 유치하지 않고 증명할 수있는 경우, 직사각형 삼각형의 측면에있는 3 개의 유사한 기하학적 인 그림의 영역에 대한 비율이 수행되었습니다. A + B \u003d C (\\ displayStyle A + B \u003d C)euclidea의 일반화 증명의 역 획을 사용하면 피타고라 정리의 증거가 파생 될 수 있습니다. 예를 들어, 초기 직사각형 삼각형 영역을 짓기위한 히포 테니즈에있는 경우 C (\\ DisplayStyle C)및 카테고리에 - 사각형이있는 2 개의 유사한 직사각형 삼각형 A (\\ DisplayStyle A) 과 B (\\ DisplayStyle B)그것은 높이의 초기 삼각형을 나누어 두어야하는 두 개의 작은 영역의 합계가 세 번째의 영역과 동일하다는 것으로 인해 대략적인 삼각형이 형성된다는 것을 꺼냅니다. A + B \u003d C (\\ displayStyle A + B \u003d C) 그리고, 이러한 수치에 대한 비율을 적용하는데, 피타고라 이론이 표시된다.

kosinus theorem.

Pythagoreo 정리는 당사자의 길이를 임의의 삼각형으로 바인딩하는보다 일반적인 코사인 이론의 특별한 경우입니다.

A 2 + B 2 - 2 A B cos ∂θ \u003d C 2 (\\ displayStyle A ^ (2) + B ^ (2) -2AB \\ COS (\\ eta) \u003d c ^ (2)),

파티 사이의 각도 A (\\ DisplayStyle A) 과 B (\\ DisplayStyle B)...에 각도가 90 °이면, cos ∂θ \u003d 0 (\\ displayStyle \\ Cos \\ eta \u003d 0)공식은 일반적인 Pythagoreo 정리로 간단합니다.

임의의 삼각형

임의의 삼각형에 파티고 라 정리의 일반화가 있으며, 당사자의 길이의 비율로 독점적으로 운영되며 Sabi Astronamer Sabit Ibn Kury가 처음 설립 된 것으로 믿어집니다. 측면이있는 임의의 삼각형을 위해서는 평형적인 삼각형이 옆에있는 기지로 적합합니다. C (\\ DisplayStyle C), 원래 삼각형의 꼭대기와 일치하는 정점, 반대쪽 C (\\ DisplayStyle C) 그리고 바닥과 동등한 각도 θ (\\ displaystyle \\ theta)반대쪽 C (\\ DisplayStyle C)...에 결과적으로 원본과 유사한 두 개의 삼각형이 형성됩니다. 첫 번째 - 파티와 함께 A (\\ DisplayStyle A), 상승 된 삼각형에 의해 새겨진 옆쪽의 장면 측면과 r (\\ displayStyle R) - 부품 부품 C (\\ DisplayStyle C); 두 번째는 옆에서 대칭 적으로입니다 B (\\ DisplayStyle B) 쪽에서 s (\\ displaystyle s) - 부분의 해당 부분 C (\\ DisplayStyle C)...에 결과적으로 관계 : 관계 :

A 2 + B 2 \u003d C (R + S) (\\ DisplayStyle A ^ (2) + B ^ (2) \u003d C (R + S)),

pythagora 정리로 퇴화하십시오 θ \u003d π / 2 (\\ displayStyle \\ thata \u003d \\ pi / 2)...에 비율은 형성된 삼각형의 유사성의 결과입니다.

ca \u003d ar, cb \u003d bs ⇒ Cr + Cs \u003d a 2 + b 2 (\\ displayStyle (\\ frac (c) (a)) \u003d (\\ frac (a) (r), \\, (\\ frac (c) (b)) \u003d (\\ FRAC (b)) \\, \\ Nowarlow \\, Cr + Cs \u003d a ^ (2) + b ^ (2)).

사각형에 Pappa 정리

Neevklidova Geometry.

Pythagoreo 정리는 유클리드 기하학의 공리에서 파생되며 비 - 아동 형상의 경우 무효입니다 - 피타고라스 이론의 구현은 병렬 처리의 유클리드의 가정과 동일합니다.

비 아동 기하학에서 직사각형 삼각형의 측면 사이의 비율은 필연적으로 피타고라스 이론 이외의 형식입니다. 예를 들어, 구형 기하학에서는 단일 영역의 항공기를 제한하는 직사각형 삼각형의 모든 3면이 길이를 가질 수 있습니다. π / 2 (\\ DisplayStyle \\ PI / 2)피타고라스 정리를 모순합니다.

이 경우, 피타고라 정리는 삼각형의 사각형의 사각형의 요구 사항이 두 개의 삼각형 각도의 합이 세 번째와 동일 해야하는 조건으로 대체되면 쌍곡선 및 타원형 형상에서 유효합니다.

구형 기하학

반경 구의 직사각형 삼각형의 경우 r (\\ displaystyle r) (예를 들어, 삼각형의 각도가 똑바로) 당사자와 함께 A, B, C (\\ DisplayStyle A, B, C) 당사자 간의 비율은 다음과 같습니다.

cos \u2061 (cr) \u003d cos \u2061 (r) ⋅ cos \u2061 (br) (\\ displaystyle \\ cos \\ left ((\\ frac (c) (r) \\ right) \u003d \\ cos \\ left ((\\ frac (a) (r)) \\ 오른쪽) \\ cdot \\ cos \\ left ((\\ frac (b) (r) \\ right))).

이 평등은 모든 구형 삼각형에 유효한 구형 코사인 정리의 특별한 경우로 유도 될 수 있습니다.

cos ¡ (cr) \u003d cos \u2061 (r) ⋅ cos \u2061 (br) + sin \u2061 (r) ⋅ ⋅ (br) ¼ ∈ γ (\\ displayStyle \\ Cos \\ left (\\ frac (c) (r) ) \\ 오른쪽) \u003d \\ cos \\ left ((\\ frac (a) (r) \\ 오른쪽) \\ cdot \\ cos \\ left ((\\ frac (b) (r) \\ 오른쪽) + \\ sin \\ left ( \\ FRAC (A) (r)) \\ 오른쪽) \\ CDOT \\ sin \\ left ((\\ frac (b) (r) \\ 오른쪽) \\ CDOT \\ COS γ. CH \u2061 C \u003d CH \u2061 a ch \u2061 b (\\ displayStyle \\ opername (ch) c \u003d \\ operatorname (CH) a \\ cdot \\ operatorname (CH) b),

어디 CH (\\ DisplayStyle \\ operatorName (CH)) - 쌍곡선 코사인. 이 공식은 모든 삼각형에 유효한 쌍곡선 코사인 정리의 특별한 경우입니다.

CH \u2061 C \u003d CH \u2061 γ (\\ displayStyle \\ operatorName (CH) C \u003d \\ operatorName (CH) a \\ cdot \\ operatorname (CH) b- \\ operatorname (sh) a \\ cdot \\ operatorname (sh) b \\ cdot \\ cos \\ gamma),

어디 Γ (\\ displayStyle \\ gamma) - 정점이 옆에 반대 인 각도 C (\\ DisplayStyle C).

쌍곡선 코사인을 위해 일련의 테일러를 사용하여 ( CH \u2061 X ≈ 1 + x 2/2 (\\ displayStyle \\ operatorName (CH) x 약 1 + x ^ (2) / 2)) 쌍곡선 삼각형이 감소하면 (즉, A (\\ DisplayStyle A), B (\\ DisplayStyle B) 과 C (\\ DisplayStyle C) 그들은 제로를 위해 노력합니다.) 직사각형 삼각형의 쌍곡선 관계가 고전적인 Pythagore의 정리의 비율에 접근하고 있습니다.

신청

2 차원 직사각형 시스템의 거리

Pythagora 정리의 가장 중요한 사용은 직사각형 좌표계의 두 점 사이의 거리를 결정합니다 : 거리 s (\\ displaystyle s) 좌표가있는 포인트 사이 (a, b) (\\ displaystyle (a, b)) 과 (C, D) (\\ DisplayStyle (C, D)) 같이:

s \u003d (a-c) 2 + (b-d) 2 (\\ displaystyle s \u003d (\\ sqrt ((a-c) ^ (2) + (b-d) ^ (2)))).

복잡한 숫자의 경우 Pythagorea 정리는 복잡한 통합 모듈을 찾는 자연스러운 수식을 제공합니다. z \u003d x + y i (\\ displaystyle z \u003d x + yi) 그것은 길이와 같습니다

제목: 정리, 반전 정리 피타고라.

목표 수업 : 1) 이론 탐지기 피타고라 정리를 고려하십시오. 문제를 해결하는 과정에서의 사용; 피타고라 정리를 수정하고 그 사용 문제를 해결하기 위해 기술을 향상시킵니다.

2) 논리적 사고, 창의적인 검색,인지 이익을 개발하십시오.

3) 가르침, 수학 연설의 문화에 대한 책임있는 태도로 학생들을 불러 일으킨다.

교훈의 유형. 새로운 지식의 수업 동화.

수업 중

І. 조직 시간

ІІ. 실현 지식

교훈있을거야나는 원했어quatrain부터 시작하십시오.

예, 지식의 길은 기쁘지 않습니다

그러나 우리는 수년간을 알고 있습니다.

iMager보다 더 많은 수수께끼

그리고 한계를 찾을 수 없습니다!

그래서, 과거에는 당신이 Pythagore의 정리를 배웠던 수업을 배웠습니다. 질문 :

Pythagora 정리는 그 그림에 유효합니까?

어떤 삼각형을 직사각형이라고합니까?

Pythagore의 정리를 공식화하십시오.

각 삼각형에 대한 Pythagora 정리는 어떻게 작성됩니까?

어떤 삼각형이 동등한 것으로 부른 것입니까?

단어 삼각형의 평등의 징후는 무엇입니까?

이제 우리는 작은 독립적 인 일을 할 것입니다 :

도면에 따라 작업을 해결할 수 있습니다.

№1

(1 b.) 찾기 : AV.

№2

(1 b.) 찾기 : Sun.

№3

( 2 비.)찾기 : AC.

№4

(1 b)찾기 : AC.

№5 Dano : ABC.디. 마름모

(2 b.) AV \u003d 13cm.

AC \u003d 10 cm.

찾기디.

자체 테스트 번호 1. 다섯

№2. 5

№3. 16

№4. 13

№5. 24

ІІІ. 연구 새로운 재료.

고대 이집트인들은이 방식으로 곧은 모서리를지었습니다. 그들은 널빤지를 12 개의 동등한 부분에 공유했으며, 끝이 관련되어 있으며, 그 후에는 밧줄이 지구상으로 뻗어 삼각형이 파티 3, 4 및 5 부서와 함께 삼각형이 형성되도록 지구상으로 뻗어있었습니다. ...에 5 개의 부문이있는 측면에 누워있는 삼각형의 각도는 똑바로였습니다.

이 판단의 정확성을 설명 할 수 있습니까?

질문에 대한 응답을 검색 한 결과 학생들은 수학적 관점에서 질문이 설정되어 있습니다. 삼각형이 직사각형인지 여부.

우리는 문제를 제기합니다. 측정을하지 않고 지정된 측면을 가진 삼각형이 직사각형인지 여부를 결정하십시오. 이 문제에 대한 해결책은 수업의 목적입니다.

테마 레슨을 적어 두십시오.

정리. 삼각형의 양면의 정사각형의 합이 제 3 자 정사각형과 동일하다면, 그러한 삼각형은 직사각형이다.

독립적으로 정리를 증명합니다 (교과서에서 증명을위한 계획을 컴파일하십시오).

이 정리에서 파티 3, 4, 5와의 삼각형이 직사각형 (이집트 인)임을 따릅니다.

일반적으로 평등이 수행되는 숫자 , Pythagora Troika를 호출하십시오. 그리고 삼각형, 측면의 길이는 피타고라 군대 (6, 8, 10), 피타고라 삼각형으로 표현됩니다.

죔.

때문에 이어서, 파티 (12, 13, 5)를 갖는 삼각형은 직사각형이 아니다.

때문에 그런 다음 당사자 1, 5, 6이있는 삼각형은 직사각형입니다.

№ 430 (A, B, B)

( - 아니다)

목표 수업 :

교육 : Pythagora와 정리의 정리를 공식화하고 증명하는 것, 역방향 Pythagoreo 정리. 그들의 역사적이고 실용적인 중요성을 보여줍니다.

개발 : 학생들의주의, 기억, 논리적 사고, 이유, 비교, 결론을 이끌어내는 능력을 개발하십시오.

상승 : 주제, 정확성, 동지자와 교사들을 듣는 능력에 대한 관심과 사랑을 교육하십시오.

장비 : Pythagora의 초상화, 통합을위한 작업, 교과서 "기하학"7-9 클래스 (I.F. Sharygin).

강의 계획:

I. 조직 모멘트 - 1 분.

ii. 숙제 확인 - 7 분.

iii. 교사의 소개 단어, 역사 참고 - 4-5 분.

iv. Pythagore의 정리의 말씀과 증거는 7 분입니다.

V. 이론의 말씀과 증거, 피타고라의 역 정리 - 5 분.

새 재질 고정 :

a) 구강 - 5-6 분.
b) 쓰기 - 7-10 분.

vii. 숙제 - 1 분.

viii. 수업을 3 분 정도 조약하십시오.

수업 중

I. 조직 순간.

ii. 숙제를 확인하십시오.

p.7.1, 3 번 (완성 된 도면의 보드에서).

질환: 직사각형 삼각형의 높이는 길이 1과 2의 세그먼트에 대한 저타펜을 나눕니다.이 삼각형의 사극을 찾습니다.

bc \u003d a; ca \u003d b; ba \u003d c; bd \u003d a 1; da \u003d b1; CD \u003d H C.

추가 질문 : 직사각형 삼각형에 관계를 기입하십시오.

p.7.1, 5. 직사각형 삼각형을 3 개의 유사한 삼각형으로 자릅니다.

설명.

asn ~ abc ~ sn.

(학생들의주의를 끌어서 그러한 삼각형의 각 정점의 녹음의 정확성을 그립니다)

iii. 교사, 역사적 참조의 소개 단어.

약한 사람이 그녀를 아는 것처럼 영구적 인 진리가 될 것입니다!

그리고 이제는 먼 옛날에와 같이 피타고라 정리가 사실입니다.

독일 작가 - 소설가 샤마시포의 말씀으로부터 교훈을 시작할 수있는 기회가 아니 었습니다. 오늘 우리 수업은 Pythagora 정리에 헌신적입니다. 우리는 수업의 주제를 작성합니다.

당신 앞에서, 위대한 피타고라스의 초상화. 576 BC에서 태어났습니다. 80 년이 살았던 것은 496 년에 우리 시대에 사망했습니다. 고대 그리스 철학자와 교사로 알려져 있습니다. 그는 소년이 문의하고 새로운 것을 알고 싶어하는 소년과 욕망을 가지고있는 덕분에 그를 끌어 냈습니다. 피타고라스 (Pythagoras)는 웅변 ( "Pythagoras"을 의미하는 "나는"음성을 확신시키는 "것을 의미합니다. 그 자신은 아무것도 쓰지 않았습니다. 그의 모든 생각은 제자들을 기록했습니다. 첫 번째 강의의 결과로, 피타고라는 아내와 어린이와 함께, 거대한 학교를 만들었고, 바이그린으로 존경받는 법률과 규칙을 기반으로하는 "위대한 그리스"라는 주를 창조했습니다. 계명. 그는 철학의 삶의 의미에 대한 그의 추론 (Lyubomatriy)이라고 불리는 첫 번째 사람이었습니다. 그것은 행동에서의 신비화와 시위에 기울어졌습니다. 일단 피타고라스가 지하를 숨기고 모든 것이 어머니에게서 일어나고있었습니다. 그런 다음 뼈대로 시달렸고, 그는 AIDA에 있었던 사람들의 집회에 명시되어 있으며 세상의 사건에 대한 놀라운 인식을 보여주었습니다. 이 감동 된 주민들은 그를 하나님 께 인정했습니다. 피타고라스는 결코 울부 짖고 결코 열정과 흥분으로 일반적으로 사용할 수 없었습니다. 그것은 그것이 씨앗에서 온 것으로 믿었습니다. 피타고라의 평생은 우리의 시간에 와서 고대 세계의 재능있는 사람에 대해 우리에게 말했습니다.

iv. 피타고 레오 정리의 말씀과 증거.

Pythagore 정리의 제제는 대수학 과정에서 당신에게 알려져 있습니다. 그것을 기억합시다.

직사각형 삼각형에서, 히포 테니즈의 제곱은 사각형의 사각형의 합과 동일합니다.

그러나,이 정리는 피타고라가 수년 전에 알았습니다. 고대 이집트인들은 Pyphagora가 1500 년 동안 파티 3, 4, 5가있는 삼각형이 직사각형이고 토지 플롯을 계획하고 건물 건물을 계획 할 때 직접 모서리를 구축하기 위해이 속성을 사용했습니다. 우리에게 가장 고대 시대에, 사각형 삼각형과 관련된 다른 제안 중에는 피타고라 (Pythagora)가 600 년 만에 작성된 "Zhiu-BI"의 중국 수학 천문학적 에세이는 Pytagora 정리를 포함합니다. 일찍이 정리는 힌두교에게 알려져있었습니다. 따라서 피타고라스는 직사각형 삼각형 의이 속성을 열지 않았으며 아마도 그것을 요약하고 과학 연습 실천에서 그것을 증명할 수 있었을 것입니다.

수학의 깊은 고대로, Pythagoreo 정리에 대한 점점 더 많은 증거가 발견됩니다. 그들은 1 백분과 이상을 알려져 있습니다. 대수학 과정에서 우리에게 알려진 Pythagora 정리의 대수 증명을 기억합시다. ( "수학. achematics. 함수. 데이터 분석"G.V. Dorofeev, M., "Drop", 2000g).

학생들이 도면에 대한 증거를 기억하고 이사회에 쓸 것을 제안하십시오.

(a + b) 2 \u003d 4 · 1/2 a * b + c 2 b a

a 2 + 2A * B + B 2 \u003d 2A * B + C 2

a 2 + B 2 \u003d C 2 A B

이 추론을 소유 한 고대 인디언은 일반적으로 기록되지 않았고 단 하나의 단어만으로 도면과 함께 제공됩니다. "Look".

현대 프레젠테이션에서 피타고라에 속한 증거 중 하나를 고려하십시오. 공과 초에 우리는 직사각형 삼각형의 비율에 관한 정리를 기억했습니다.

h 2 \u003d A 1 * B 1 A 2 \u003d A 1 * B 2 \u003d B 1 *

최근 최근 두 명의 평등을 이사하기 :

b 2 + A 2 \u003d B 1 * C + A 1 * C \u003d (B1 + A 1) * C1 \u003d C * C \u003d C2; A 2 + B 2 \u003d C 2

이 증거의 겉보기의 단순함에도 불구하고 가장 단순한 것과는 거리가 멀다. 결국,이를 위해서는 직사각형 삼각형에서 높이를 보내고 그러한 삼각형을 고려해야했습니다. 쓰기, 제발, 이것은 노트북에서 증거입니다.

V. 정리의 말씀과 증거, 피타고라스 반향 정리.

그리고 이론은 무엇에 대해 역순이라고 불리우셨습니까? (... 상태 및 결론이 변경되면.)

이제 정리를 공식화하려고 노력해 봅시다, 역방향 Pythagoreo 정리.

측면 A와 함께 삼각형이 A, B 및 C가 평등 C2 \u003d A 2 + B2로 수행되면,이 삼각형은 직사각형이고 직선 각도는 측면에 반대합니다.

(포스터의 역 정리의 증명)

ABC, Sun \u003d A,

AC \u003d B, VA \u003d s.

a 2 + B 2 \u003d C 2

알다

ABC - 직사각형,

증거:

직사각형 삼각형 A 1 C 1에서 1을 고려하십시오.

여기서 1 \u003d 90 °, 1 초 \u003d A 및 1 S 1 \u003d B.

그런 다음 1A 1 2 \u003d A 2 + B 2 \u003d C 2의 pytagora 정리에 따라.

즉, 1 A 1 \u003d C에서 1 C 1 \u003d 3 개의 당사자 ABC에 대한 ABC - 직사각형

증명 해야하는 C \u003d 90 °.

vi. 연구 된 물질을 고정 (경구).

1. 준비가 된 도면이있는 포스터에서.

그림 1 : CD \u003d 8, VA \u003d 30 ° IF AD를 찾습니다.

그림 2 : \u003d 5, Waway \u003d 45 ° CD를 찾으십시오.

그림 3 : Sun \u003d 17, AD \u003d 16 인 경우 VD를 찾습니다.

2. 당사자가 숫자로 표현되면 삼각형 직사각형입니다.


5 2 + 6 2? 7 2 (아니오)	9 2 + 12 2 \u003d 15 2 (예)	15 2 + 20 2 \u003d 25 2 (예)

마지막 두 경우에 상위 3 개 숫자는 무엇입니까? (피타고라스).

vi. 작업 해결 (글쓰기).

№ 9. 정삼각형의 측면은 a와 같습니다. 이 삼각형의 높이를 찾으십시오. 서클의 반경, 새끼가없는 원의 반경.

№ 14. 직사각형 삼각형에서는 원주의 반경이 히포 테니즈에 의해 수행 된 중앙값과 동일하며 히포 테니즈의 절반과 같습니다.

vii. 숙제.

7.1 항, pp. 175-177, 정리 7.4 (일반화 된 피타고라 정리), 1 호 (구두), 2 번, 4 번.

viii. 수업의 결과.

수업에서 오늘 새로운 것을 뭘 알았습니까? .............

피타고라스는 주로 철학자였습니다. 이제 나는 당신과 관련이 있으며, 당신과 관련이 있고, 우리를 위해 우리의 시간에 몇 가지를 읽고 싶습니다.

인생 경로에 먼지를 키우지 마십시오.
그게 나중에 당신을 화나게하지 않고 회개하지 않아도됩니다.
당신이 모르는 것을하지는 않지만, 당신이 알아야 할 것을 배우고, 당신은 조용한 삶을 이끌 것입니다.
잠을 자고 싶을 때 눈을 감지 마십시오. 마지막 날 모든 행동을 키우지 마십시오.
고급 스러움없이 살고 있습니다.