논리 함수의 결합 정규형을 호출합니다. 논리 함수의 일반 형태

일반형 논리 공식에는 기본이 아닌 공식의 함축, 등가 및 부정의 기호가 포함되어 있지 않습니다.

일반 형식은 두 가지 형식으로 제공됩니다.

결합 정규형(CNF)- 예를 들어 $ \ 왼쪽 (A \ vee \ overline (B) \ vee C \ right) \ wedge \ left (A \ vee C \ right) $와 같은 여러 분리의 결합;

이접정규형(DNF)- 여러 접속사의 분리, 예를 들어 $ \ 왼쪽 (A \ wedge \ overline (B) \ wedge C \ right) \ vee \ left (B \ wedge C \ right) $.

SKNF

완전 결합 정규형(SKNF) 는 세 가지 조건을 충족하는 CNF입니다.

동일한 기본 분리를 포함하지 않습니다.

어떤 절도 동일한 변수를 포함하지 않습니다.

각 기본 분리는 주어진 CNF의 각 변수를 포함합니다.

동일하게 참이 아닌 부울 공식은 SKNF로 나타낼 수 있습니다.

진리표에 따른 SKNF 구성 규칙

함수가 0인 각 변수 세트에 대해 합계가 기록되고 값이 1인 변수는 부정으로 사용됩니다.

SDNF

완전 분리 정규형(SDNF) 는 다음 세 가지 조건을 충족하는 DNF입니다.

동일한 기본 접속사를 포함하지 않습니다.

어떤 접속사도 동일한 변수를 포함하지 않습니다.

또한 각 기본 접속사는 동일한 순서로 주어진 DNF의 각 변수를 포함합니다.

동일하게 거짓이 아닌 모든 부울 공식은 SDNF에서 고유한 방식으로 표현될 수 있습니다.

진리표에 따른 SDNF 구성 규칙

함수가 1인 각 변수 세트에 대해 곱이 작성되고 값이 0인 변수는 부정으로 사용됩니다.

SKNF 및 SDNF 찾기의 예

실시예 1

진리표에 따라 논리 함수를 작성하십시오.

그림 1.

결정:

SDNF를 구성하는 규칙을 사용합시다.

그림 2.

우리는 SDNF를 얻습니다.

SKNF를 구성하는 규칙을 사용합시다.

논리 함수의 일반 형식 단위 Ki 2.7의 구성 요소의 결합 용어의 분리 형태로 부울 함수를 나타내는 것을 이 함수의 DNF의 분리 정규 형태라고 합니다. 음수를 포함하거나 포함하지 않은 모든 논리 변수를 한 번에 정확히 하나씩 포함하는 경우 이러한 형식의 함수 표현을 이 함수의 SDNF의 완전 분리 정규 형식이라고 합니다. 보시다시피, SDNF 함수를 컴파일할 때 함수가 값 1을 취하는 모든 최소항을 분리해야 합니다.

소셜 미디어에서 작업 공유

이 작품이 당신에게 적합하지 않은 경우 페이지 하단에 유사한 작품 목록이 있습니다. 검색 버튼을 사용할 수도 있습니다.

강의 1.xx

논리 함수의 일반 형태

접속 용어의 분리 형태로 부울 함수 표현(단일 구성 요소)케이

, (2.7)

부름 분리정규형(DNF) 이 기능.

DNF의 모든 접속사가 다음과 같은 경우최저임금 즉, 음수를 포함하거나 포함하지 않고 취한 모든 논리 변수를 한 번에 정확히 하나씩 포함하는 경우 이러한 형식의 함수 표현이 호출됩니다.완전 분리 정규형(SDNF ) 이 기능의. SDNF는완전한 분리된 모든 항은 모든 변수를 포함하기 때문입니다.접속사 공식의 주요 작업은 분리이기 때문입니다. 개념 "정상적인 형태"주어진 기능을 구현하는 수식을 작성하는 명확한 방법을 의미합니다.

이상의 관점에서 정리 2.1은 다음과 같은 정리를 의미한다.

정리 2. 모든 부울 함수(0과 동일하지 않음) SDNF에 제출 가능, .

예 3. 테이블 정의 함수가 있다고 가정해 보겠습니다. f(x 1, x 2, x 3)(표 10).

표 10

			f (x 1, x 2, x 3)

공식 (2.6)에 따라 다음을 얻습니다.

보시다시피 SDNF 함수를 컴파일 할 때 함수가 값 1을 취하는 모든 minterm의 분리를 구성해야합니다.

이접항(0의 구성요소)의 결합 형태로 부울 함수 표현디

, (2.8)

부름 결합 정규형(CNF) 이 기능.

모든 이접 CNF 용어가 다음과 같을 경우막스테르마스 즉, 부정이 있든 없든 간에 함수의 모든 논리 변수가 한 번에 정확히 하나씩 포함되어 있으면 이러한 CNF가 호출됩니다.완전 결합 정규형(SKNF)이 기능.

정리 3. 모든 부울 함수(동일하지 않음 1) SKNF로 표현 가능, 게다가 그러한 표현은 유일한 것입니다.

정리의 증명은 다음과 같은 결합 분해에 대한 Shannon 기본형을 기반으로하는 정리 2.1의 증명과 유사하게 수행 될 수 있습니다.

섀넌의 보조정리 ... 모든 부울 함수 f (x 1, x 2, ..., x m) m에서 변수는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.:

. (2.9)

논리 함수 표현의 두 가지 형태(DNF 및 CNF)는 이론적으로 기능면에서 동일합니다. 모든 논리 공식은 DNF(동일한 0 제외)와 CNF(동일한 단위 제외) 모두로 표현될 수 있습니다. ). 상황에 따라 함수의 표현은 한 형식 또는 다른 형식으로 더 짧을 수 있습니다.

실제로 DNF가 가장 자주 사용됩니다.,이 형식은 사람에게 더 익숙하기 때문에 어린 시절부터 합을 곱하는 것보다 일을 더하는 데 더 익숙합니다 (후자의 경우 직관적으로 괄호를 열어 DNF로 이동하려는 욕구가 있습니다).

예 4. 함수 f(x 1, x 2, x 3 ) 표로 주어진다. 10, SKNF에 쓰세요.

SDNF와 달리 논리 함수의 진리표에서 SCNF를 컴파일 할 때 함수가 값 0을 취하는 변수의 조합을 살펴보고 해당 maxterms의 연결을 구성해야합니다.그러나 변수는 역 반전으로 가져와야합니다.:

SDNF 기능에서 SKNF로 또는 그 반대로 직접 이동하는 것은 불가능합니다. 이러한 변환을 시도하면 원하는 변환의 역함수가 생성됩니다. SDNF 및 SKNF 함수에 대한 표현식은 진리표에서만 직접 얻을 수 있습니다.

예 5. 함수 f(x 1, x 2, x 3 ) 표로 주어진다. 10, SDNF에서 SKNF로의 이동을 시도하십시오.

예제 2.3의 결과를 사용하여 다음을 얻습니다.

보시다시피, 일반 반전에서 논리 함수의 SKNF가 얻어지며, 이는 예제 2.4에서 얻은 함수와 반대입니다.

고려 중인 함수의 SKNF에 대한 표현식에 없는 모든 최대항을 포함하기 때문입니다.

1. 연산의 속성(표 9 참조)을 사용하여 identity(), sum mod 2(), implication()을 AND, OR, NOT 연산으로 전달합니다(부울 기준).

2. 부정의 속성과 드모르간 법칙(표 9 참조)을 사용하여 부정 연산이 전체 표현식이 아닌 개별 변수만 참조한다는 것을 알 수 있습니다.

3. 논리 연산 AND 및 OR (표 9 참조)의 속성을 사용하여 정규 형식 (DNF 또는 CNF)을 얻습니다.

4. 필요한 경우 완료형(SDNF 또는 SKNF)으로 이동합니다. 예를 들어 SKNF를 얻으려면 종종 속성을 사용해야 합니다.

예 6. 부울 함수를 SKNF로 변환

위 알고리즘의 단계를 순서대로 수행하면 다음을 얻습니다.

흡수 속성을 사용하여 다음을 얻습니다.

따라서 우리는 CNF 함수를 얻었습니다. f(x1,x2,x3 ). SKNF를 얻으려면 변수가 없는 각 분리를 이 변수와 부정으로 두 번 반복해야 합니다.

2.2.6. 부울 함수 최소화

동일한 논리 함수를 a로 나타낼 수 있기 때문에에스 개인 공식, 그 다음 가장 간단한 포 찾기아르 자형 부울 함수를 정의하는 뮬은 부울 함수를 구현하는 논리 회로를 단순화합니다.에. 최소 형상 l약 지질학적 기능어떤 기준에서, 우리는 그것이 함수의 최소 중첩 수를 포함한다고 가정할 수 있습니다....에 괄호를 포함한 기준. 그러나 효과적인 구축이 어렵다.엘 최소 브래킷을 획득하여 이러한 최소화를 위한 알고리즘 r 우리.

함수의 최소 대괄호 형식이 아니라 최소 DNF를 찾는 조합 회로의 합성에서 더 간단한 최소화 문제를 고려합시다. 이 작업을 위한 간단하고 효율적인 알고리즘이 있습니다.

Quine의 방법

최소화하고자 하는 기능은 SDNF로 표현되며, 불완전접착의 가능한 모든 작업이 적용된다.

, (2.10)

그리고 흡수

, (2.11)

이 단계 쌍은 여러 번 적용됩니다. 따라서 용어의 순위를 낮출 수 있습니다. 이 절차는 다른 항에 붙일 수 있는 항이 남지 않을 때까지 반복됩니다.

방정식(2.10)의 좌변은 더 간단하고 분명한 방식으로 즉시 최소화될 수 있습니다.

이 방법은 이러한 직접적 최소화로 인해 접속사 중 어느 하나가 사라지는 단점이 있지만, 여전히 나머지 용어를 붙이고 흡수하는 데 사용하는 경우가 있습니다.

Quine의 방법은 시간이 많이 걸리므로 변환 중에 실수할 확률이 상당히 높다는 점에 유의해야 합니다. 그러나 이론상 어떤 수의 인수에도 사용할 수 있고 변수의 수가 증가할수록 변환이 덜 복잡해지는 것이 장점입니다.

Karnaugh지도 방법

Karnaugh 맵(테이블)의 방법은 논리적 기능을 최소화하는 보다 시각적이고 덜 힘들고 신뢰할 수 있는 방법이지만 그 사용은 실제로 3-4개 변수, 최대 5-6개 변수의 기능으로 제한됩니다.

카르노 지도 논리 함수의 최소 DNF를 그래픽 시각적 형태로 쉽게 찾을 수 있는 Boolean 함수의 진리표를 나타내는 2차원 표 형식입니다. 테이블의 각 셀은 최소화할 SDNF 함수의 최소항과 연관되어 테이블의 대칭 축이 임의의 변수에서 상호 역인 영역에 해당합니다. 표에서 이러한 셀 배열을 사용하면 접착 된 SDNF 항을 쉽게 결정할 수 있습니다 (단 하나의 변수의 반전 부호에서 다름). 표에서 대칭으로 배열됩니다.

2레인의 AND 및 OR 기능에 대한 진리표 및 Karnaugh 맵이자형 변수는 그림에 나와 있습니다. 8. 카드의 각 셀에는 기호가 쓰여 있습니다.그러나 이 셀에 해당하는 인수에 대한 함수 n 동지

A) 및 b) 또는

무화과. 여덟. 두 변수의 함수에 대한 Karnot 맵의 예

그리고 기능에 대한 Karnot 맵에는 단 하나의 1이 있으므로 아무 것도 붙일 수 없습니다. 최소 함수에 대한 표현식에는 다음 1에 해당하는 용어만 포함됩니다.

f = x y.

OR 함수에 대한 Karnot 맵에는 이미 3개의 1이 있으며 두 개의 접착 쌍을 만들 수 있으며 1은 용어에 해당합니다. xy , 두 번 사용됩니다. 최소 함수에 대한 표현식에서 결합할 쌍에 대한 용어를 기록하고 이 쌍에 대해 변경되지 않는 모든 변수는 그대로 두고 값을 변경하는 변수를 제거해야 합니다. 수평 접착의 경우엑스 , 그리고 수직 -와이 , 결과적으로 우리는 표현식을 얻습니다.

f = x + y.

그림에서. 9는 세 변수의 두 함수의 진리표를 보여줍니다(그러나 ) 및 Karnot 지도( b 및 c). 기능 f 2 세 가지 변수 세트에 정의되어 있지 않다는 점에서 첫 번째 변수와 다릅니다 (표에서 대시로 표시됨).

함수의 최소 DNF를 결정할 때 다음 규칙이 사용됩니다. 1을 포함하는 모든 셀은 닫힌 직사각형 영역으로 결합됩니다. k - 큐브, 여기서 k = log 2 K, K - 직사각형 영역의 숫자 1. 또한 각 영역은 2개의 셀이 있는 직사각형이어야 합니다. k, 여기서 k = 0, 1, 2, 3,… k = 1개의 직사각형이 호출됩니다.하나는 정육면체이고 2 1 = 2 단위를 포함합니다. k = 2 직사각형은 2를 포함합니다 2 = 4 단위 및 호출 2- 큐브; k = 3인 경우 2 3의 영역 = 8 단위가 호출됨세 큐브 ; 직사각형으로 결합 할 수없는 단위를 호출 할 수 있습니다.제로 큐브 단 하나의 단위(2 0 = 1). 보시다시피, 심지어케이 면적은 정사각형일 수 있지만(필수는 아님) 홀수케이 - 직사각형만.

						b c

무화과. 아홉. 세 변수의 함수에 대한 Karnot 맵의 예

이러한 영역은 겹칠 수 있습니다. 즉, 동일한 셀이 다른 영역에 들어갈 수 있습니다. 그런 다음 함수의 최소 DNF는 다음에 해당하는 모든 결합 용어의 분리로 작성됩니다. k - 큐브.

Karnot 맵에 표시된 각 영역은 최소 DNF에서 접속사에 의해 표시됩니다.케이 함수 인수의 총 개수보다 작음미디엄 , 즉, 이 숫자는 다음과 같습니다. m - k ... 최소 DNF의 각 결합은 지도의 해당 영역에 대해 반전이 없거나 반전만 있는 값, 즉 값을 변경하지 않는 값을 갖는 인수로만 구성됩니다.

따라서 닫힌 영역으로 맵의 셀을 덮을 때 영역의 수를 최소화하고 각 영역에 가능한 한 가장 많은 수의 셀을 포함하도록 노력해야 합니다. 이 경우 최소 DNF의 구성원 수는 최소이고 해당 결합의 인수 수는 최소가 됩니다.

그림 1의 Karnot 맵 기능의 경우 아홉,우리는 찾는다

상부 폐쇄 영역의 경우 변수 x 1 및 x 2 역전이 없는 물질, 더 낮은 x 1 반전 문제, 그리고 x 3 - 반전 없음.

그림 1의 지도에서 정의되지 않은 값은 아홉,에 0 또는 1로 대체하여 확장할 수 있습니다. 이 함수의 경우 정의되지 않은 두 값을 모두 1로 대체하는 것이 더 유리함을 알 수 있다. 이 경우 2-cube의 다른 유형인 두 개의 영역이 형성된다. 그러면 최소 DNF 함수에 대한 식은 다음과 같습니다.

닫힌 영역을 구성할 때 Karnaugh 맵을 수평 및 수직으로 실린더로 축소할 수 있습니다.아르 자형 반대쪽 가장자리의 결합이 있는 수직 축아르 자형 당신, 즉 Carnot 대칭 맵의 가장자리에 위치한 단위 h 하지만, 결합할 수도 있습니다.

Karnaugh 지도는 다양한 방식으로 그릴 수 있습니다(그림 10).

									x 2 x 3

나

무화과. 10. Karnaugh 지도를 그리는 다양한 방법
3 변수의 함수에 대해

그러나 2-4개 변수의 기능에 대한 Karnot 맵의 가장 편리한 변형이 그림 1에 나와 있습니다. 11개의 테이블, 왜냐하면 각 셀에 대해 표시되기 때문입니다.그러나 모든 변수는 직접 또는 역 형태입니다.

나

무화과. 열한. Karnot 지도의 가장 편리한 이미지
기능 3( a) 및 4(b) 변수

변수가 5 개 및 6 개인 함수의 경우 그림 1에 표시된 방법을 사용합니다. 10,에 .

무화과. 12. 5개 변수의 함수에 대한 Karnot 맵 이미지

무화과. 13. 6개 변수의 함수에 대한 Karnot 맵 이미지

당신이 관심을 가질만한 다른 유사한 작품. Wshm>
9020.		이중 원칙. 변수의 부울 함수 확장. 완료 연결법 및 연결 일반형	96.34KB
	이 정리는 각 기능이 완벽한 DN의 형태로 그것을 구현하는 공식을 구성할 수 있도록 하기 때문에 본질적으로 건설적입니다. 에프. 이를 위해 각 기능의 진리표에서 모든 행을 표시합니다.
6490.		논리 함수의 설명 및 최소화	187.21KB
	구두 형식으로 함수의 인수와 값 사이의 관계가 표현됩니다. 예: 세 개의 인수로 구성된 함수는 둘 이상의 함수 인수가 같을 때 값을 취합니다. 모든 인수 값 세트에 대한 함수 값을 포함하는 진리표 작성으로 구성됩니다. 이 예에서 진리표에 따르면 DNF 형식으로 이러한 항목을 얻습니다 ...
6707.		관계형 데이터베이스 설계. 고전적 접근 방식의 설계 문제. 정규화 원칙, 정규형	70.48KB
	관계형 데이터베이스 프로젝트란 무엇인가 이것은 모든 속성이 정의되고 관계의 기본 키가 지정되며 무결성 유지 원칙과 관련된 관계의 일부 추가 속성이 지정되는 상호 관련된 관계 세트입니다. 따라서 데이터베이스 설계는 매우 정확하고 검증되어야합니다. 실제로 데이터베이스 프로젝트는 많은 사용자들이 오랫동안 사용하게 될 미래 소프트웨어 패키지의 기반이 됩니다.
4849.		국가 기능을 행사하는 형태와 방법	197.3KB
	"기능"이라는 용어는 러시아 및 외국 과학 문헌에서 동일한 의미가 아닙니다. 철학적 및 일반 사회학적 용어에서는 "주어진 관계 시스템에서 대상 속성의 외부 표현"으로 간주됩니다. 개인 또는 기관의 일반적인 또는 특정 행동의 집합으로
17873.		3학년 학생들의 논리적 UUD 형성	846.71KB
	초등학생의 논리적 보편적 행동 형성 문제의 심리적 및 교육적 측면 논리적 UUD의 형성을 평가하는 방법. 일반 교육 시스템에서 보편적 교육 활동의 개발을위한 개념의 개발은 새로운 사회적 요구를 충족시킵니다. 현대 교육 시스템의 가장 중요한 임무는 보편적인 교육 UUD 조치의 형성입니다. 보편적 인 교육 활동의 형성은 학교의 어려움을 예방하는 열쇠입니다.
2638.		자동 잠금 시스템에서 논리적 연결의 기술적 구현	1.04 메가 바이트
	자동 잠금 시스템에서 논리적 연결의 기술적 구현 3자리 및 4자리 AB에 대한 제어 알고리즘의 기술적 구현은 릴레이 접점 및 비접촉 이산 및 통합 논리 요소를 사용하여 달성할 수 있습니다.
10203.		비상 발생 및 개발의 구조적-논리적 모델 구축을 위한 위험 지향 접근 방식 개념의 적용	70.8KB
	일반 위험 분석 작업 환경은 인간 노동을 생산적으로 만들고 육체적으로 덜 힘들지만 더 위험하게 만드는 강력한 기술 시스템과 기술로 가득 차 있습니다. 위험은 위험한 상황이 시작되는 예기치 못한 갑작스러운 특성을 특징으로 합니다. 매일 우리는 수많은 위험에 직면해 있지만 대부분은 여전히 ​​잠재되어 있습니다. 위험 이론은 사람에 대한 부정적인 영향과 건강 및 생명에 대한 피해에 대한 정량적 평가를 제공합니다.
11576.		거래의 개념, 유형 및 형태. 필수 거래 형식을 준수하지 않는 결과	49.82KB
	유효하지 않은 유형의 유효하지 않은 트랜잭션 인식. 페이퍼라는 용어의 적용 가치는 거래의 개념, 즉 보다 접근하기 쉬운 형태로 공개적으로 표현되는 개념을 단순화하는 데 있습니다.
6213.		함수 근사	3.08 메가 바이트
	첫 번째는 분석적으로 또는 표 형식으로 제공된 일부 함수를 원래 함수에 가깝지만 계산에 더 간단하고 편리한 다른 함수로 바꾸는 것으로 구성됩니다. 예를 들어, 함수를 다항식으로 바꾸면 수치 적분 및 미분을 위한 간단한 공식을 얻을 수 있습니다. 테이블을 근사 함수로 바꾸면 중간 지점에서 값을 얻을 수 있습니다. 또한 이산적인 점 집합에서 이 세그먼트에 제공된 함수 값에서 특정 세그먼트의 함수를 복구하는 두 번째 문제가 발생합니다. 이 질문에 대한 대답 ...
14058.		상태 기능의 진화	29.99KB
	법적 현상으로서의 러시아 국가는 먼저 공화정 형태의 정부를 가진 민주적 연방 법적 사회적 세속 국가로서 국가의 주요 목적과 주요 헌법적 특성의 이행을 보장해야 합니다. 국가의 주요 목적은 Art에 의해 결정됩니다.

단순 분리(포함 분리) 또는 분리(English disjunct)는 하나 이상의 변수 또는 그 부정의 분리이며 각 변수는 한 번만 발생합니다.

단순 분리

• 완전한각 변수(또는 그 부정)가 정확히 한 번 나타나는 경우;
• 단조로운가변 음수를 포함하지 않는 경우.

결합 정규형, CNF(eng. conjunctive normal form, CNF) 부울 함수가 몇 개의 간단한 절의 연결 형태를 갖는 정규형.

CNF 예 :$ f (x, y) = (x \ lor y) \ 토지 (y \ lor \ 음수 (z)) $

SKNF

완전 결합 정규형 SKNF(완전 결합 정규형, PCNF)는 다음 조건을 충족하는 CNF입니다.

• 동일한 단순 분리가 없습니다.
• 모든 간단한 분리가 완료되었습니다.

SKNF 예 :$ f (x, y, z) = (x \ lor \ 음수 (y) \ lor z) \ 토지 (x \ lor y \ lor \ 음수 (z)) $

정리:항등식과 같지 않은 모든 부울 함수 $ f (\ vec (x)) $에 대해 이를 정의하는 SKNF가 있습니다.

증거:$ \ neg (f) (\ vec x) $ 함수의 역함수는 $ f (\ vec x) $가 0인 튜플에서 1과 같기 때문에 $ \ neg (f)에 대한 SDNF는 (\ vec x) $는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$ \ 부정 (f) (\ vec x) = \ bigvee \ limits_ (f (x ^ (\ sigma_ (1)), x ^ (\ sigma_ (2)), ..., x ^ (\ sigma_ (n ))) = 0) (x_ (1) ^ (\ 시그마_ (1)) \ 웨지 x_ (2) ^ (\ 시그마_ (2)) \ 웨지 ... \ 웨지 x_ (n) ^ (\ 시그마_ (n) ))) $, 여기서 $ \ sigma_ (i) $는 $ x_ (i) $에 대한 부정의 유무를 나타냅니다.

식의 좌변과 우변의 역수를 구해 봅시다.

$ f (\ vec x) = \ 부정 ((\ bigvee \ limits_ (f (x ^ (\ sigma_ (1))), x ^ (\ sigma_ (2)), ..., x ^ (\ sigma_ (n ))) = 0) (x_ (1) ^ (\ sigma_ (1)) \ 쐐기 x_ (2) ^ (\ sigma_ (2)) \ 쐐기 ... \ 쐐기 x_ (n) ^ (\ sigma_ (n) ))))) $

de Morgan의 법칙을 오른쪽에서 얻은 표현식에 두 번 적용하면 $ f (\ vec x) = \ bigwedge \ limits_ (f (x ^ (\ sigma_1), x ^ (\ sigma_2), \ dots , x ^ (\ sigma_n)) = 0) $ $ (\ 음수 (x_1 ^ (\ sigma_1)) \ vee \ 음수 (x_2 ^ (\ sigma_2)) \ vee \ 점 \ vee \ 음수 (x_n ^ (\ sigma_n) ))) $

마지막 표현은 SKNF입니다. SKNF는 동일하게 0이 아닌 모든 함수에 대해 구성될 수 있는 SDNF에서 얻어지기 때문에 정리가 증명됩니다.

진리표에 따라 SKNF를 구성하는 알고리즘

• 진리표에서 우리는 함수의 값이 $ 0 $와 같은 변수 세트를 표시합니다.
• 표시된 각 집합에 대해 다음 규칙에 따라 모든 변수의 분리를 작성합니다. 일부 변수의 값이 $ 0 $이면 변수 자체가 분리에 포함되고 그렇지 않으면 부정입니다.
• 우리는 결합 연산에 의해 모든 결과 분리를 연결합니다.

중앙값에 대한 SKNF 구성의 예

하나). 진리표에서 우리는 함수의 값이 $ 0 $와 같은 변수 세트를 표시합니다.

엑스	와이	지	$ \ langle x, y, z \ rangle $
0	0	0	0
0	0	1	0
0	1	0	0
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	1

2). 표시된 각 집합에 대해 다음 규칙에 따라 모든 변수의 결합을 작성합니다. 일부 변수의 값이 $ 0 $이면 변수 자체를 분리에 포함하고 그렇지 않으면 부정을 포함합니다.

엑스	와이	지	$ \ langle x, y, z \ rangle $
0	0	0	0	$ (x \ lor y \ lor z) $
0	0	1	0	$ (x \ lor y \ lor \ 음수(z)) $
0	1	0	0	$ (x \ lor \ neg (y) \ lor z) $
0	1	1	1
1	0	0	0	$ (\ 음수 (x) \ lor y \ lor z) $
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	1

삼). 우리는 결합 연산에 의해 모든 결과 분리를 연결합니다.

$ \ langle x, y, z \ rangle = (x \ lor y \ lor z) \ land (\ neg (x) \ lor y \ lor z) \ land (x \ lor \ neg (y) \ lor z) \ 토지 (x \ lor y \ lor \ neg (z)) $

일부 기능에 대한 SKNF 예

피어스의 화살: $ x \ 아래쪽 화살표 y = (\ 음(x) \ lor(y)) \ 땅((x) \ lor \ 음(y)) \ 땅(\ 음(x) \ lor \ 음(y) ) $

단독 또는 : $ x \ oplus y \ oplus z = (\ neg (x) \ lor \ neg (y) \ lor z) \ land (\ neg (x) \ lor y \ lor \ neg (z)) \ land (x \ lor \ 음수 (y) \ lor \ 음수 (z)) \ 토지 (x \ lor y \ lor z) $

표준 기준. 기본 공식은 리터럴입니다. 기본 접속사 (분리). 접속사(접속사) 일반형과 완료형. 정리: 0(1부터) 이외의 모든 부울 함수는 SDNF(SKNF)로 나타낼 수 있습니다. 표준 기반의 완전성. 완전한 베이스의 예: Zhegalkin 베이스, Schaeffer의 스트로크, Peirce의 화살표.

표준 기준 덧셈(합집합), 곱셈(교집합) 및 부정의 세 가지 초기 부울 대수 연산의 집합입니다.

여기에서 우리는 전화 할 것입니다 정확한 변수 x 또는 그 부정 x는 xИ를 나타냅니다. 서로 다른 변수로 정의된 여러 리터럴의 부울 교차점, 즉 형식 X = xИ 1 xИ 2의 표현. ... ... xИ л이 호출됩니다. 기본 접속사 ... 모든 변수가 달라야 한다는 요구 사항은 다음과 같은 조건을 따릅니다. 결합에 여러 개의 동일한 리터럴이 포함된 경우 결합의 가환성, 결합성 및 멱등성 덕분에 등가 수식으로 전달하여 하나의 리터럴(예: x 1 x 1 = x 1)만 남길 수 있습니다. 결합에 변수와 그 부정이 포함되어 있으면 x x = 0이고 모든 공식 Y에 대해 Y x x = 0이므로 공식은 상수 0과 같습니다.

몇 가지 기본 접속사를 분리라고 합니다. 분리정규형 , 또는 DNF ... 예를 들어,

x 1 x 3 + x 2 x 3 x 4 + x 1 x 2 x 3 x 5.

주어진 DNF의 각 기본 접속사에서 변수의 구성이 동일하면 DNF를 호출합니다. 완전한 ... 주어진 예는 완벽하지 않은 DNF입니다. 이에 반해 공식은

x 1 x 2 x 3 x 4 + x 1 x 2 x 3 x 4 + x 1 x 2 x 3 x 4

완벽한 형태가 있습니다.

부울 대수에서 덧셈과 곱셈은 대칭 연산이며 항상 덧셈을 곱셈으로 해석하고 곱셈을 덧셈으로 해석할 수 있으므로 이중 개념도 있습니다. 결합 정규형 (CNF ), 이는 기본 분리의 결합이며, 완전한 접속사 (SKNF ). 대칭 반고리에 대한 이중성 원리에서 DNF에 대한 모든 진술은 CNF에 대한 이중 진술에 해당하며, 이는 덧셈(분리)을 곱셈으로, 곱셈(결합)을 덧셈으로, 상수 0을 상수 1로, 상수 1을 상수 0, 이중(역) 차수에 의한 차수 관계. 따라서 앞으로는 DNF만 연구하는 데 집중할 것입니다.

정리 1.4.상수 0 이외의 모든 부울 함수는 SDNF로 나타낼 수 있습니다.

◀ σ = 1이면 공식 x를 의미하고 σ = 0이면 공식 x를 의미하는 x σ로 합의합시다. 함수 f(y 1,..., Yn)가 벡터(t 1 ,..., Tn ) (이러한 벡터를 유닛의 구성 ). 그러면 기본 결합도 이 집합에서 값 1을 취하지만 다른 모든 n차원 부울 벡터에서는 사라집니다. 공식을 고려하십시오

여기서 합(합집합)은 주어진 함수가 값 1을 취하는 인수 값의 모든 집합(t 1,..., tn)으로 확장됩니다. 이러한 집합의 집합은 비어 있지 않습니다. 합계에 최소한 하나의 항이 포함되도록 합니다.

공식 Φ는 고려된 함수가 1이 되는 변수의 값에 대해서만 1이 됨을 쉽게 알 수 있습니다. 따라서 공식 Ψ는 함수 f를 나타냅니다.

결론 1.1.표준 기반이 완성되었습니다.

◀ 실제로 함수가 상수 0이 아닌 경우 표준 기반에 대한 공식인 SDNF의 형태로 나타낼 수 있습니다. 상수 0은 예를 들어 공식 f(x 1, x 2,..., X n) = x 1 x 1로 나타낼 수 있습니다.

예 1.2.라고 불리는 세 변수 m(x 1, x 2, x 3)(표 1.4)의 함수를 고려하십시오. 대다수 기능 ㅇ. 이 함수는 인수의 절반 이상이 1이면 1로 평가됩니다. 따라서 종종 투표 함수라고합니다. 이를 위한 SDNF를 구축해 보겠습니다.

표준 기반의 완전성은 다른 완전한 기능 시스템의 선택을 허용합니다. 집합 F의 완전성은 다음을 고려하여 설정할 수 있습니다. 세 가지 표준 비즈니스 기능 각각이 F에 대한 공식으로 표현될 수 있다고 가정합니다. 그런 다음 정리 1.3에 의해 집합 F가 완성됩니다.

예 1.3.덧셈 모듈로 2, 곱셈 및 상수 1의 연산 세트를 호출합니다. 제갈킨 기초 ... 모듈로 2 덧셈과 곱셈은 링 Z2의 기본 연산이며, 도움으로 구성된 표현식은 링 Z2에 대한 다항식입니다. 이 경우 상수 1은 자유 멤버를 작성하는 데 필요합니다. xx = x이므로 다항식의 모든 인수는 차수가 1입니다. 따라서 다항식을 작성할 때 차수의 개념 없이 할 수 있습니다. Zhegalkin 기준에 대한 공식의 예 :

xy⊕x⊕y, x⊕1, xyz⊕xz⊕x⊕y⊕1.

이러한 공식을 Zhegalkin 다항식이라고 합니다. 사실, Zhegalkin 다항식은 링 Z2에 대한 다항식입니다.

표준 기반의 덧셈과 부정 연산을 나타내는 Zhegalkin 기반에 대한 공식을 구성하는 것은 어렵지 않습니다(두 개의 기반의 곱셈은 일반적임).

x + y = x⊕y⊕xy, x = x⊕1.

따라서 Zhegalkin 기초는 완전한 세트입니다.
모든 부울 함수에 대해 Zhegalkin 다항식이 고유하게 결정됨을 나타낼 수 있습니다.

(보다 정확하게는 용어의 순서까지). 소수의 변수에 대한 Zhegalkin 다항식의 계수는 정의되지 않은 계수 방법으로 찾을 수 있습니다.

예 1.4.단일 함수 세트인 Schaeffer 스트로크 *를 고려하십시오. 이 세트는 완전하며 다음과 같이 쉽게 확인할 수있는 신원을 따릅니다.

x = x | x, xy = x | y = (x | y) | (x | y), x + y = x | y = (x | x) | (y | y).

예 1.5.피어싱 화살표라는 단일 기능으로 구성된 기초도 완성됩니다. 이에 대한 확인은 Schaeffer 뇌졸중의 경우와 유사합니다. 그러나 이러한 결론은 대칭 반고리에 대한 이중성 원리에 기초하여 이루어질 수도 있습니다.

* Schaeffer의 스트로크는 이진법이지만 연관 연산이 아닙니다. 따라서 중위 형식을 사용할 때는주의해야합니다. 결과는 작업이 수행되는 순서에 따라 달라집니다. 이 경우 괄호를 사용하여 작업 순서를 명시적으로 나타내는 것이 좋습니다(예: write (x | y) | x가 아닌 z | 와 | z, 두 형식이 동일하지만.

결합 정규형은 자동 정리 증명에 편리합니다. 모든 부울 공식을 CNF로 변환할 수 있습니다. 이를 위해 이중 부정의 법칙, 드 모르간의 법칙, 분포를 사용할 수 있습니다.

대학 유튜브

• 1 / 5

  방식 KNF에서:

  ¬ A ∧ (B ∨ C), (\ displaystyle \ 부정 A \ 웨지 (B \ vee C),) (A ∨ B) ∧ (¬ B ∨ C ∨ ¬ D) ∧ (D ∨ ¬ E), (\ displaystyle (A \ vee B) \ wedge (\ 부정 B \ vee C \ vee \ 부정 D) \ wedge ( D \ ve \ 부정 E),) A ∧ B. (\ displaystyle A \ 웨지 B.)

  방식 CNF에 없음:

  ¬ (B ∨ C), (\ displaystyle \ neg (B \ vee C),) (A ∧ B) ∨ C, (\ displaystyle (A \ wedge B) \ vee C,) A ∧ (B ∨ (D ∧ E)). (\ displaystyle A \ 웨지 (B \ vee (D \ 웨지 E)).)

  그러나 CNF에 없는 이 3개의 공식은 CNF의 다음 공식과 동일합니다.

  ¬ B ∧ ¬ C, (\ displaystyle \ 음수 B \ 쐐기 \ 음수 C,) (A ∨ C) ∧ (B ∨ C), (\ displaystyle (A \ vee C) \ wedge (B \ vee C),) A ∧ (B ∨ D) ∧ (B ∨ E). (\ displaystyle A \ wedge (B \ vee D) \ wedge (B \ vee E).)

  CNF 구축

  CNF 구성 알고리즘

  1) 공식에 포함된 모든 논리 연산을 제거하고 주요 연산인 결합, 분리, 부정으로 대체합니다. 이는 동등한 공식을 사용하여 수행할 수 있습니다.

  A → B = ¬ A ∨ B, (\ displaystyle A \ rightarrow B = \ 네거티브 A \ vee B,) A ↔ B = (¬ A ∨ B) ∧ (A ∨ ¬ B). (\ displaystyle A \ leftrightarrow B = (\ 부정 A \ vee B) \ 쐐기 (A \ vee \ 부정 B).)

  2) 공식에 기반한 개별 변수 문을 참조하여 전체 표현식을 참조하는 부정 기호를 부정 기호로 바꿉니다.

  ¬ (A ∨ B) = ¬ A ∧ ¬ B, (\ displaystyle \ 네거티브 (A \ vee B) = \ 네거 A \ 웨지 \ 네거 B,) ¬ (A ∧ B) = ¬ A ∨ ¬ B. (\ displaystyle \ 부정 (A \ 웨지 B) = \ 부정 A \ ve \ 부정 B.)

  3) 이중 부정 기호를 제거하십시오.

  4) 필요한 경우, 분포의 성질과 흡수식의 결합과 분리의 연산에 적용한다.

  CNF 구축의 예

  CNF에 공식을 가져오자

  F = (X → Y) ∧ ((¬ Y → Z) → ¬ X). (\ displaystyle F = (X \ 오른쪽 화살표 Y) \ 쐐기 ((\ 음 Y \ 오른쪽 화살표 Z) \ 오른쪽 화살표 \ 음 X).)

  공식을 바꿔보자 F(\ 표시 스타일 F)포함하지 않는 공식으로 → (\ displaystyle \ 오른쪽 화살표):

  F = (¬ X ∨ Y) ∧ (¬ (¬ Y → Z) ∨ ¬ X) = (¬ X ∨ Y) ∧ (¬ (¬ ¬ Y ∨ Z) ​​∨ ¬ X). (\ displaystyle F = (\ 음수 X \ vee Y) \ 쐐기 (\ 음수 (\ 음수 Y \ 오른쪽 화살표 Z) \ vee \ 음수 X) = (\ 음수 X \ vee Y) \ 쐐기 (\ 음수 (\ 음수 \ 음 Y \ vee Z) \ vee \ 음 X).)

  결과 공식에서 부정을 변수로 옮기고 이중 부정을 줄입니다.

  F = (¬ X ∨ Y) ∧ ((¬ Y ∧ ¬ Z) ∨ ¬ X). (\ displaystyle F = (\ 음수 X \ vee Y) \ 쐐기 ((\ 음수 Y \ 쐐기 \ 음수 Z) \ vee \ 음수 X).)

  예를 들어 다음 공식은 2-CNF로 작성됩니다.

  (A ∨ B) ∧ (¬ B ∨ C) ∧ (B ∨ ¬ C). (\ displaystyle (A \ lor B) \ 땅 ​​(\ 부정 B \ lor C) \ 땅 ​​(B \ lor \ 부정 C).)