1차 편도함수. 완전 차동

각 편도함수( 엑스그리고 와이)는 두 변수의 함수 중 다른 변수의 고정 값에 대한 한 변수의 함수의 일반 도함수입니다.

(어디 와이= const),

(어디 엑스= const).

따라서 부분 도함수는 다음을 사용하여 계산됩니다. 한 변수의 함수의 미분을 계산하기 위한 공식 및 규칙, 다른 변수 상수를 고려하면서.

이에 필요한 사례 분석과 최소한의 이론은 필요하지 않지만 문제에 대한 해결책만 필요한 경우 다음으로 이동하십시오. 온라인 편미분 계산기 .

함수에서 상수가 어디에 있는지 추적하는 데 집중하기 어려운 경우 예제의 초안 솔루션에서 고정 값이 있는 변수 대신 임의의 숫자를 대체할 수 있습니다. 그런 다음 편도함수를 다음과 같이 빠르게 계산할 수 있습니다. 하나의 변수 함수의 일반 도함수. 최종 디자인을 완료할 때 상수(고정된 값을 갖는 변수)를 원래 위치로 되돌려 놓는 것만 기억하면 됩니다.

위에 설명된 편도함수의 속성은 시험 문제에 나타날 수 있는 편도함수의 정의를 따릅니다. 따라서 아래 정의에 익숙해지기 위해 이론적 참고 자료를 열 수 있습니다.

기능의 연속성의 개념 지= 에프(엑스, 와이) 점에서 하나의 변수의 함수에 대한 이 개념과 유사하게 정의됩니다.

기능 지 = 에프(엑스, 와이)는 다음과 같은 경우 한 지점에서 연속이라고 합니다.

차이 (2)를 함수의 총 증분이라고 합니다. 지(두 인수의 증가 결과로 얻어집니다).

기능을 부여하자 지= 에프(엑스, 와이) 및 기간

기능이 변경된 경우 지인수 중 하나만 변경될 때 발생합니다. 예를 들어, 엑스, 다른 인수의 고정 값 포함 와이, 그러면 함수는 증분을 받습니다.

기능의 부분적 증가라고 함 에프(엑스, 와이) 에 의해 엑스.

기능 변경을 고려 지인수 중 하나만 변경하면 효과적으로 한 변수의 함수로 변경됩니다.

유한한 한계가 있는 경우

그런 다음 이를 함수의 부분 도함수라고 합니다. 에프(엑스, 와이) 인수로 엑스기호 중 하나로 표시됩니다.

(4)

부분 증분도 비슷하게 결정됩니다. 지에 의해 와이:

부분도함수 에프(엑스, 와이) 에 의해 와이:

(6)

예시 1.

해결책. 변수 "x"에 대한 편도함수를 구합니다.

(와이결정된);

변수 "y"에 대한 편미분을 구합니다.

(엑스결정된).

보시다시피, 변수가 어느 정도 고정되어 있는지는 중요하지 않습니다. 이 경우 편도함수를 찾는 변수의 요소(일반 도함수의 경우처럼)인 특정 숫자일 뿐입니다. . 고정 변수에 부분 도함수를 찾는 변수를 곱하지 않으면 일반 도함수의 경우처럼 어느 정도까지 이 외로운 상수가 사라집니다.

예시 2.주어진 함수

편도함수 찾기

(X 기준) 및 (Y 기준) 및 해당 지점의 값을 계산합니다. ㅏ (1; 2).

해결책. 고정시 와이첫 번째 항의 도함수는 검정력 함수의 도함수로 구됩니다( 한 변수의 미분 함수 표):

고정시 엑스첫 번째 항의 도함수는 지수 함수의 도함수로 발견되고 두 번째 항은 상수의 도함수로 나타납니다.

이제 해당 지점에서 이러한 편도함수 값을 계산해 보겠습니다. ㅏ (1; 2):

편도함수 문제에 대한 해결책은 다음에서 확인할 수 있습니다. 온라인 편미분 계산기 .

예시 3.함수의 편도함수 찾기

해결책. 한 단계에서 우리는

(와이 엑스, 마치 사인의 인수가 5인 것처럼 엑스: 같은 방식으로 기능 기호 앞에 5가 나타납니다);

(엑스고정되어 있으며 이 경우 승수입니다. 와이).

편도함수 문제에 대한 해결책은 다음에서 확인할 수 있습니다. 온라인 편미분 계산기 .

3개 이상의 변수로 구성된 함수의 편도함수도 유사하게 정의됩니다.

각 값 집합이 ( 엑스; 와이; ...; 티) 세트의 독립 변수 디하나의 특정 값에 해당 유많은 사람들로부터 이자형, 저것 유변수의 함수라고 불림 엑스, 와이, ..., 티그리고 표시하다 유= 에프(엑스, 와이, ..., 티).

3개 이상의 변수로 구성된 함수의 경우 기하학적 해석이 없습니다.

여러 변수의 함수에 대한 부분 도함수도 독립 변수 중 하나만 변경되고 다른 변수는 고정된다는 가정 하에 결정 및 계산됩니다.

예시 4.함수의 편도함수 찾기

해결책. 와이그리고 지결정된:

엑스그리고 지결정된:

엑스그리고 와이결정된:

편도함수를 직접 찾은 다음 해를 살펴보세요.

실시예 5.

실시예 6.함수의 편도함수를 찾습니다.

여러 변수의 함수의 편도함수는 다음과 같습니다. 기계적 의미는 하나의 변수에 대한 함수의 미분과 동일합니다.는 인수 중 하나의 변경에 대한 함수의 변경 비율입니다.

실시예 8.흐름의 정량적 가치 피철도 승객은 함수로 표현할 수 있습니다

어디 피– 승객 수, N– 특파원 거주자 수, 아르 자형– 점 사이의 거리.

함수의 편도함수 피에 의해 아르 자형, 동일한

이는 승객 흐름의 감소가 동일한 거주자 수를 가진 해당 지점 사이의 거리의 제곱에 반비례한다는 것을 보여줍니다.

편미분 피에 의해 N, 동일한

승객 흐름의 증가는 지점 간 동일한 거리에 있는 정착지 거주자 수의 두 배에 비례한다는 것을 보여줍니다.

편도함수 문제에 대한 해결책은 다음에서 확인할 수 있습니다. 온라인 편미분 계산기 .

완전 차동

편도함수와 해당 독립변수의 증분을 곱한 것을 편미분이라고 합니다. 편미분은 다음과 같이 표시됩니다.

모든 독립 변수에 대한 편미분의 합은 총 미분을 제공합니다. 두 개의 독립 변수의 함수에 대해 총 미분은 다음과 같이 표현됩니다.

(7)

실시예 9.함수의 완전미분 구하기

해결책. 공식(7)을 사용한 결과:

특정 정의역의 모든 점에서 전체 미분을 갖는 함수를 해당 정의역에서 미분 가능하다고 합니다.

전체 차이를 직접 찾은 다음 솔루션을 살펴보세요.

하나의 변수로 구성된 함수의 경우와 마찬가지로 특정 영역에서 함수의 미분 가능성은 이 영역에서의 연속성을 의미하지만 그 반대는 아닙니다.

증명 없이 함수의 미분가능성에 대한 충분조건을 공식화해 보겠습니다.

정리.기능의 경우 지= 에프(엑스, 와이) 연속 부분 도함수가 있습니다

주어진 지역에서, 이 지역에서 미분 가능하며 그 미분은 식 (7)로 표현됩니다.

한 변수의 함수의 경우와 마찬가지로 함수의 미분은 함수 증분의 주요 선형 부분이므로 여러 변수의 함수의 경우 총 미분은 다음과 같습니다. 독립 변수의 증분에 대한 주요 선형, 함수의 전체 증분의 일부입니다.

두 변수의 함수의 경우 함수의 총 증분은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

(8)

여기서 α와 β는 와 에서 극미량입니다.

고차 편도함수

부분 도함수 및 함수 에프(엑스, 와이) 자체는 동일한 변수의 일부 함수이며, 차례로 다른 변수에 대한 도함수를 가질 수 있으며 이를 고차 부분 도함수라고 합니다.

변수가 많은 함수의 개념

n-변수가 있고 특정 x 집합의 각 x 1, x 2 ... x n에 정의가 할당된다고 가정합니다. 번호 Z이면 많은 변수의 함수 Z = f (x 1, x 2 ... x n)가 세트 x에 제공됩니다.

X – 기능 정의 영역

x 1, x 2 ... x n – 독립 변수(인수)

Z – 기능 예: Z=P x 2 1 *x 2(실린더 부피)

Z=f(x;y) – 2개 변수의 함수(x 1, x 2가 x,y로 대체됨)를 생각해 보세요. 결과는 많은 변수의 다른 기능과 유사하게 전달됩니다. 2개의 변수의 기능을 결정하는 영역은 코드 전체(오) 또는 일부입니다. 2변수 함수의 값의 개수는 3차원 공간의 한 면이다.

그래프 구성 기술: - 표면의 단면을 정사각형으로 고려 || 좌표 사각형.

예: x = x 0, zn. 정사각형 X || 0уz y = y 0 0хz 함수 유형: Z=f(x 0 ,y); Z=f(x,y 0)

예: Z=x 2 +y 2 -2y

Z= x 2 +(y-1) 2 -1 x=0 Z=(y-1) 2 -1 y=1 Z= x 2 -1 Z=0 x 2 +(y-1) 2 -1

포물선 둘러싸기(중심(0,1)

두 변수 함수의 극한과 연속성

Z=f(x;y)가 주어지면 임의의 작은 집합에 대해 A는 t.(x 0 ,y 0)에서 함수의 극한입니다. 숫자 E>0은 양수 b>0이며, 모든 x에 대해 y는 |x-x 0 |<б; |y-y 0 |<б выполняется нерав-во |f(x,y)-A|

Z=f(x;y)는 t에서 연속입니다. (x 0 ,y 0) if: - 이 t에서 정의됩니다.; - 결승전이 있다 x 0으로, y는 y 0으로 경향이 있는 x에서 제한됩니다. - 이 한도 = 값

t의 함수(x 0 ,y 0), 즉 limf(x;y)=f(x 0 ,y 0)

함수가 각각 연속인 경우 t. mn-va X, 그러면 이 영역에서 연속입니다.

미분 함수, 그 기하학적 의미. 대략적인 값에 미분을 적용합니다.

dy=f'(x)Δx – 미분 함수

dy=dx, 즉 y=x인 경우 dy=f ’(x)dx

지질학적 관점에서 함수의 미분은 가로축이 x 0인 지점에서 함수 그래프에 그려진 접선의 세로 좌표의 증가입니다.

Dif-l은 대략적인 계산에 사용됩니다. 공식에 따른 함수의 값: f(x 0 +Δx)~f(x 0)+f'(x 0)Δx

Δx가 x에 가까울수록 결과가 더 정확해집니다.

1차 및 2차 부분도함수

1차 도함수(부분이라고 함)

A. x, y를 영역 X의 특정 지점에서 독립 변수 x 및 y의 증분으로 둡니다. 그런 다음 z = f(x+ x, y+ y) = f(x,y)와 동일한 값을 합계라고 합니다. x 0, y 0 지점에서 증가합니다. 변수 x를 고정하고 변수 y에 증가분 y를 제공하면 zу = f(x,y,+ y) – f(x,y)를 얻습니다.

변수 y의 편미분은 유사하게 결정됩니다. 즉,

2변수 함수의 편미분은 1변수 함수와 동일한 규칙을 사용하여 구합니다.

차이점은 변수 x에 대해 함수를 미분할 때 y는 const로 간주되고, y, x에 대해 미분할 때는 const로 간주된다는 점입니다.

격리된 const는 덧셈/뺄셈 연산을 사용하여 함수에 연결됩니다.

바인딩된 const는 곱셈/나눗셈 연산을 통해 함수에 연결됩니다.

격리된 const의 파생물 = 0

1.4.2변수의 완전한 미분함수와 그 응용

z = f(x,y)라고 하면

tz = - 전체 증분이라고 함

2차 편도함수

2개 변수의 연속 함수의 경우 2차 혼합 편도함수가 일치합니다.

최대 및 최소 함수의 부분 도함수를 결정하기 위해 부분 도함수를 적용하는 것을 극값이라고 합니다.

A. 이 이웃의 모든 x와 y에 대해 f(x,y)가 되는 세그먼트가 있는 경우 점을 최대 또는 최소 z = f(x,y)라고 합니다.

T. 2개의 변수로 구성된 함수의 극점이 주어지면 이 지점의 편도함수 값은 0과 같습니다. 즉 ,

1차 편도함수를 고정 또는 임계라고 부르는 지점입니다.

따라서 2변수 함수의 극점을 찾기 위해서는 충분한 극값 조건이 사용됩니다.

함수 z = f(x,y)가 두 번 미분 가능하고 고정점이라고 가정하면,

1) 및 최대A<0, minA>0.

1.4.(*)완전 차동. 미분의 기하학적 의미. 대략적인 계산에 미분 적용

A. 함수 y = f(x)가 특정 이웃 지점에서 정의되도록 합니다. 함수 f(x)는 이 점에서의 증분이 다음과 같은 경우 점에서 미분 가능하다고 합니다. , 이는 (1) 형식으로 표시됩니다.

여기서 A는 고정점 x에서 와 독립적인 상수 값이고 에서는 극소입니다. 상대적으로 선형인 함수 A는 한 점에서 함수 f(x)의 미분이라고 하며 df() 또는 dy로 표시됩니다.

따라서 식 (1)은 다음과 같이 쓸 수 있다. ().

식 (1)에서 함수의 미분은 dy = A 형식을 갖습니다. 모든 선형 함수와 마찬가지로 모든 값에 대해 정의됩니다. 함수의 증가는 +가 함수 f(x)의 정의 영역에 속하는 것에 대해서만 고려되어야 합니다.

미분 작성의 편의를 위해 그 증가분을 dx로 표시하고, 독립변수 x의 미분이라 부른다. 따라서 미분은 dy = Adx로 작성됩니다.

함수 f(x)가 특정 간격의 각 지점에서 미분 가능한 경우 해당 미분은 두 변수(점 x와 변수 dx)의 함수입니다.

T. 함수 y = g(x)가 어떤 점에서 미분 가능하려면 이 점에서 도함수를 갖는 것이 필요하고 충분합니다.

(*)증거. 필요성.

함수 f(x)가 해당 점에서 미분 가능하다고 가정합니다. 즉, . 그 다음에

따라서 도함수 f'()가 존재하고 A와 같습니다. 따라서 dy = f'()dx

적절.

도함수 f'()가 있다고 가정합니다. 즉 =f'(). 그러면 곡선 y = f(x)는 접선 세그먼트입니다. 점 x에서 함수의 값을 계산하려면 f()와 f'()/를 찾는 것이 어렵지 않도록 그 근처의 점을 선택하십시오.

기능을 부여해 보겠습니다. x와 y는 독립 변수이므로 둘 중 하나는 변경되고 다른 하나는 값을 유지할 수 있습니다. y의 값은 그대로 유지하면서 독립변수 x에 증분을 가해 보겠습니다. 그런 다음 z는 x에 대한 z의 부분 증분이라고 하는 증분을 받게 되며 로 표시됩니다. 그래서, .

마찬가지로 y에 대한 z의 부분 증분을 얻습니다.

함수 z의 총 증분은 같음에 의해 결정됩니다.

한계가 있는 경우 이를 변수 x에 대한 한 점에서 함수의 편도함수라고 하며 다음 기호 중 하나로 표시됩니다.

한 점에서 x에 대한 부분 도함수는 일반적으로 다음 기호로 표시됩니다. .

변수 y에 대한 의 편도함수는 다음과 같이 정의되고 표시됩니다.

따라서 여러 (2개, 3개 이상) 변수의 함수의 부분 도함수는 나머지 독립 변수의 값이 일정하다면 이러한 변수 중 하나의 함수의 도함수로 정의됩니다. 따라서 함수의 부분 도함수는 한 변수의 함수 도함수를 계산하는 공식과 규칙을 사용하여 찾습니다(이 경우 x 또는 y는 각각 상수 값으로 간주됩니다).

부분도함수를 1차 부분도함수라고 합니다. 의 기능으로 간주될 수 있습니다. 이러한 함수는 2차 부분 도함수라고 불리는 부분 도함수를 가질 수 있습니다. 이는 다음과 같이 정의되고 레이블이 지정됩니다.

; ;

; .

두 변수 함수의 1차 및 2차 미분.

함수(공식 2.5)의 전체 미분을 1차 미분이라고 합니다.

총 차등을 계산하는 공식은 다음과 같습니다.

(2.5) 또는 , 어디 ,

함수의 편미분.

함수가 2차 연속 부분 도함수를 갖도록 합니다. 2차 미분은 공식에 의해 결정됩니다. 그것을 찾아보자:

여기에서: . 상징적으로는 다음과 같이 쓰여 있습니다.

결정되지 않은 적분.

함수의 역도함수, 부정 적분, 속성.

함수 F(x)가 호출됩니다. 역도함수주어진 함수 f(x)에 대해 F"(x)=f(x)이면, 또는 dF(x)=f(x)dx이면 같은 것입니다.

정리. 유한 또는 무한 길이의 일부 간격(X)에 정의된 함수 f(x)가 하나의 역도함수 F(x)를 갖는 경우, 이 함수는 또한 무한히 많은 역도함수를 갖습니다. 이들 모두는 F(x) + C 표현식에 포함되어 있습니다. 여기서 C는 임의의 상수입니다.

특정 구간이나 유한 또는 무한 길이의 세그먼트에서 정의된 주어진 함수 f(x)에 대한 모든 역도함수 집합을 다음과 같이 호출합니다. 부정 적분함수 f(x) [또는 표현 f(x)dx ]에서 ] 기호로 표시됩니다.

F(x)가 f(x)에 대한 역도함수 중 하나인 경우, 역도함수 정리에 따르면

, 여기서 C는 임의의 상수입니다.

역도함수의 정의에 따르면 F"(x)=f(x)이므로 dF(x)=f(x) dx입니다. 공식 (7.1)에서 f(x)는 피적분 함수라고 하며 f( x) dx를 피적분 표현식이라고 합니다.

부분 도함수를 찾는 것이 단일 변수 함수의 "일반적인" 도함수를 찾는 것과 어떻게 다른지 요약해 보겠습니다.

1) 편도함수를 구하면, 저것 변하기 쉬운 상수로 간주됩니다.

2) 편도함수를 구할 때, 저것 변하기 쉬운 상수로 간주됩니다.

3) 기본 함수의 도함수 규칙과 표는 모든 변수에 대해 유효하고 적용 가능합니다( , 또는 기타) 차별화가 수행됩니다.

2단계. 우리는 2차 부분도함수를 찾습니다. 그 중 4개가 있습니다.

명칭:

또는 - "x"에 관한 2차 미분

또는 – “Y”에 대한 2차 파생

또는 - 혼합된파생어 "by x igrek"

또는 - 혼합된파생어 "by igrek x"

2차 미분의 개념에는 복잡한 것이 없습니다. 간단히 말해서, 2차 도함수는 1차 도함수의 도함수입니다.

명확성을 위해 이미 찾은 1차 편도함수를 다시 작성하겠습니다.

먼저 혼합 파생 상품을 찾아 보겠습니다.

보시다시피 모든 것이 간단합니다. 편도함수를 취하여 다시 미분하지만 이 경우에는 이번에는 "Y"를 따릅니다.

비슷하게:

실제 예의 경우 모든 부분 도함수가 연속인 경우 다음 등식이 성립합니다.

따라서 2차 혼합도함수를 통해 1차 부분도함수를 올바르게 찾았는지 확인하는 것이 매우 편리합니다.

"x"에 대한 이차 도함수를 구합니다.

발명품은 없어, 가져가자 다시 "x"로 차별화합니다.

비슷하게:

찾을 때 표시해야한다는 점에 유의해야합니다. 주의력 증가, 확인할 놀라운 평등이 없기 때문입니다.

실시예 2

함수의 1차 및 2차 편도함수 찾기

이것은 스스로 해결해야 하는 예입니다(답변은 강의 마지막에 나와 있습니다).

약간의 경험이 있으면 예제 1과 2의 부분 파생물을 구두로 해결할 수 있습니다.

더 복잡한 예로 넘어가겠습니다.

실시예 3

확인해 보세요. 1차 총 미분을 적어보세요.

풀이: 1차 부분도함수를 구합니다:

아래 첨자에 주의하세요: , "X" 옆에 상수라는 것을 괄호 안에 쓰는 것은 금지되지 않습니다. 이 노트는 초보자가 솔루션을 더 쉽게 탐색할 수 있도록 매우 유용할 수 있습니다.

추가 의견:

(1) 우리는 도함수의 부호 밖의 모든 상수를 취합니다. 이 경우, 및 , 따라서 해당 곱은 상수로 간주됩니다.

(2) 뿌리를 정확하게 구별하는 방법을 잊지 마십시오.

(1) 도함수의 부호에서 모든 상수를 빼내는데, 이 경우 상수는 이다.

(2) 소수 아래에는 두 함수의 곱이 남아 있으므로 곱을 미분하는 규칙을 사용해야 합니다. .

(3) 이것이 복잡한 기능이라는 점을 잊지 마십시오(복잡한 기능 중 가장 단순하더라도). 우리는 해당 규칙을 사용합니다. .

이제 우리는 2차 혼합 파생 상품을 찾습니다.

이는 모든 계산이 올바르게 수행되었음을 의미합니다.

총 차액을 적어 보겠습니다. 고려 중인 작업의 맥락에서 두 변수 함수의 전체 미분이 무엇인지 말하는 것은 의미가 없습니다. 이러한 차이가 실제 문제에 자주 기록되어야 하는 것이 중요합니다.

두 변수 함수의 1차 총 미분 형식은 다음과 같습니다.

이 경우:

즉, 이미 찾은 1차 부분도함수를 공식에 대입하면 됩니다. 이와 유사한 상황에서는 분자에 미분 기호를 쓰는 것이 가장 좋습니다.

실시예 4

함수의 1차 편도함수 찾기 . 확인해 보세요. 1차 총 미분을 적어보세요.

이것은 스스로 해결하는 예입니다. 문제의 완전한 해결책과 예시는 수업의 마지막 부분에 있습니다.

복잡한 기능과 관련된 일련의 예를 살펴보겠습니다.

실시예 5

함수의 1차 편도함수를 구합니다.

(1) 복소함수 미분의 법칙을 적용한다 . 수업에서 복잡한 함수의 파생매우 중요한 점을 기억해야 합니다. 테이블을 사용하여 사인(외부 함수)을 코사인으로 바꾸면 임베딩(내부 함수)이 생깁니다. 변하지 않는다.

(2) 여기서는 근의 속성을 사용합니다. , 도함수의 부호에서 상수를 빼내고 미분에 필요한 형태로 근을 제시합니다.

비슷하게:

1차 완전 미분을 적어 보겠습니다.

실시예 6

함수의 1차 편도함수 찾기 .

총 차액을 적어보세요.

이것은 스스로 해결해야 하는 예입니다(답변은 강의 마지막에 나와 있습니다). 매우 간단하기 때문에 완전한 솔루션을 제공하지는 않습니다.

위의 모든 규칙이 조합되어 적용되는 경우가 많습니다.

실시예 7

함수의 1차 편도함수 찾기 .

(1) 우리는 합의 미분의 법칙을 사용합니다.

(2) 이 경우 첫 번째 항은 상수로 간주됩니다. 표현에는 "x"에 의존하는 것이 없고 오직 "y"에만 의존하기 때문입니다.

(알다시피, 분수가 0으로 바뀔 수 있다는 것은 언제나 좋은 일입니다.)

두 번째 항에는 제품 차별화 규칙을 적용합니다. 그런데 함수가 대신 주어졌다면 알고리즘에는 아무 것도 변경되지 않았을 것입니다. 여기서 중요한 점은 다음과 같습니다. 각각 "x"에 의존하는 두 함수의 곱이므로 제품 차별화 규칙을 사용해야 합니다. 세 번째 항에는 복소 함수의 미분 규칙을 적용합니다.

두 변수의 함수가 주어집니다. 인수에 증분을 주고 인수를 변경하지 않고 그대로 두겠습니다. 그런 다음 함수는 변수에 의한 부분 증가라고 하는 증가를 수신하며 다음과 같이 표시됩니다.

마찬가지로 인수를 수정하고 인수에 증분을 제공하면 변수별로 함수의 부분 증분을 얻습니다.

양은 한 지점에서 함수의 총 증분이라고 합니다.