Program, który dzieli i mnoży. Kalkulator ułamków: rozwiązywanie równań za pomocą ułamków

Dzielenie przez ułamek dziesiętny sprowadza się do dzielenia przez liczbę naturalną.

Zasada dzielenia liczby przez ułamek dziesiętny

Aby podzielić liczbę przez ułamek dziesiętny, należy przesunąć przecinek dziesiętny zarówno w dywidendzie, jak i dzielniku o tyle cyfr w prawo, ile jest w dzielniku po przecinku. Następnie podziel przez liczbę naturalną.

Przykłady.

Dzielenie przez ułamek dziesiętny:

Aby podzielić przez ułamek dziesiętny, należy przesunąć przecinek dziesiętny zarówno w dywidendzie, jak i w dzielniku o tyle cyfr w prawo, ile jest po przecinku w dzielniku, czyli o jedną cyfrę. Otrzymujemy: 35,1: 1,8 = 351: 18. Teraz wykonujemy dzielenie narożnikiem. W rezultacie otrzymujemy: 35,1: 1,8 = 19,5.

2) 14,76: 3,6

Aby podzielić ułamki dziesiętne, zarówno w dzielnej, jak i w dzielniku, przesuwamy przecinek o jedno miejsce w prawo: 14,76:3,6 = 147,6:36. Teraz wykonujemy liczbę naturalną. Wynik: 14,76: 3,6 = 4,1.

Aby podzielić liczbę naturalną przez ułamek dziesiętny, należy przesunąć dywidendę i dzielnik w prawo o tyle miejsc, ile mieści się w dzielniku po przecinku. Ponieważ w tym przypadku w dzielniku nie jest zapisany przecinek, brakującą liczbę znaków uzupełniamy zerami: 70: 1,75 = 7000: 175. Otrzymane liczby naturalne dzielimy narożnikiem: 70: 1,75 = 7000: 175 = 40 .

4) 0,1218: 0,058

Aby podzielić ułamek dziesiętny przez inny, przesuwamy przecinek w prawo zarówno w dzielnej, jak i w dzielniku o tyle cyfr, ile jest w dzielniku po przecinku, czyli o trzy miejsca po przecinku. Zatem 0,1218:0,058 = 121,8:58. Dzielenie przez ułamek dziesiętny zastąpiono dzieleniem przez liczbę naturalną. Dzielimy kącik. Mamy: 0,1218: 0,058 = 121,8: 58 = 2,1.

5) 0,0456: 3,8

Kalkulator ułamków przeznaczony do szybkiego obliczania operacji na ułamkach zwykłych, pomoże Ci łatwo dodawać, mnożyć, dzielić lub odejmować ułamki zwykłe.

Współcześni uczniowie rozpoczynają naukę ułamków zwykłych już w piątej klasie, a ćwiczenia z nimi stają się z roku na rok coraz bardziej skomplikowane. Pojęcia i wielkości matematyczne, których uczymy się w szkole, rzadko kiedy mogą nam się przydać w dorosłym życiu. Jednak ułamki, w przeciwieństwie do logarytmów i potęg, występują dość często w życiu codziennym (mierzenie odległości, ważenie towarów itp.). Nasz kalkulator przeznaczony jest do szybkich operacji na ułamkach zwykłych.

Najpierw zdefiniujmy, czym są ułamki i jakie są. Ułamki to stosunek jednej liczby do drugiej; jest to liczba składająca się z całkowitej liczby ułamków jednostki.

Rodzaje ułamków:

Zwykły
Dziesiętny
Mieszany

Przykład zwykłe ułamki:

Górna wartość to licznik, dolna to mianownik. Myślnik pokazuje nam, że górna liczba jest podzielna przez dolną liczbę. Zamiast tego formatu zapisu, gdy myślnik jest poziomy, można pisać inaczej. Możesz umieścić nachyloną linię, na przykład:

1/2, 3/7, 19/5, 32/8, 10/100, 4/1

Dziesiętne to najpopularniejszy rodzaj ułamków zwykłych. Składają się z części całkowitej i części ułamkowej, oddzielonych przecinkiem.

Przykład ułamków dziesiętnych:

0,2 lub 6,71 lub 0,125

Składa się z liczby całkowitej i części ułamkowej. Aby poznać wartość tego ułamka, musisz dodać liczbę całkowitą i ułamek.

Przykład frakcji mieszanych:

Kalkulator ułamków na naszej stronie jest w stanie szybko wykonać dowolne operacje matematyczne na ułamkach online:

Dodatek
Odejmowanie
Mnożenie
Dział

Aby przeprowadzić obliczenia, należy wpisać liczby w polach i wybrać akcję. W przypadku ułamków należy wypełnić licznik i mianownik; nie można zapisać całej liczby (jeśli ułamek jest zwyczajny). Nie zapomnij kliknąć przycisku „równe”.

Wygodne jest to, że kalkulator natychmiast zapewnia proces rozwiązywania przykładu z ułamkami, a nie tylko gotową odpowiedź. To dzięki szczegółowemu rozwiązaniu możesz wykorzystać ten materiał do rozwiązywania problemów szkolnych i lepszego opanowania przerabianego materiału.

Należy wykonać przykładowe obliczenia:

Po wpisaniu wskaźników w pola formularza otrzymujemy:

Aby dokonać własnej kalkulacji wpisz dane w formularzu.

Spośród wielu ułamków występujących w arytmetyce na szczególną uwagę zasługują te, które mają w mianowniku 10, 100, 1000 – ogólnie rzecz biorąc, dowolna potęga dziesięciu. Ułamki te mają specjalną nazwę i oznaczenie.

Ułamek dziesiętny to dowolny ułamek liczbowy, którego mianownikiem jest potęga dziesięciu.

Przykłady ułamków dziesiętnych:

Dlaczego w ogóle konieczne było oddzielanie takich frakcji? Dlaczego potrzebują własnego formularza do nagrywania? Są ku temu co najmniej trzy powody:

Ułamki dziesiętne są znacznie łatwiejsze do porównania. Pamiętaj: aby porównać ułamki zwykłe, należy je od siebie odjąć, a w szczególności sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika. W przypadku ułamków dziesiętnych nic takiego nie jest wymagane;
Zmniejsz obliczenia. Ułamki dziesiętne dodają i mnożą według własnych zasad, a przy odrobinie praktyki będziesz w stanie pracować z nimi znacznie szybciej niż z ułamkami zwykłymi;
Łatwość nagrywania. W przeciwieństwie do zwykłych ułamków zwykłych, ułamki dziesiętne są zapisywane w jednym wierszu bez utraty przejrzystości.

Większość kalkulatorów podaje również odpowiedzi w postaci ułamków dziesiętnych. W niektórych przypadkach inny format nagrywania może powodować problemy. Na przykład, co jeśli poprosisz w sklepie o resztę w wysokości 2/3 rubla :)

Zasady zapisywania ułamków dziesiętnych

Główną zaletą ułamków dziesiętnych jest wygodny i wizualny zapis. Mianowicie:

Notacja dziesiętna to forma zapisywania ułamków dziesiętnych, w której część całkowita jest oddzielona od części ułamkowej kropką lub przecinkiem. W tym przypadku sam separator (kropka lub przecinek) nazywany jest kropką dziesiętną.

Na przykład 0,3 (czytaj: „wskaźniki zerowe, 3 dziesiąte”); 7,25 (7 całości, 25 setnych); 3,049 (3 całe, 49 tysięcznych). Wszystkie przykłady pochodzą z poprzedniej definicji.

W piśmie przecinek jest zwykle używany jako kropka dziesiętna. W tym miejscu i w dalszej części serwisu będzie również używany przecinek.

Aby zapisać dowolny ułamek dziesiętny w tej formie, musisz wykonać trzy proste kroki:

Zapisz licznik osobno;
Przesuń przecinek w lewo o tyle miejsc, ile jest zer w mianowniku. Załóżmy, że początkowo przecinek dziesiętny znajduje się po prawej stronie wszystkich cyfr;
Jeżeli przecinek dziesiętny przesunął się, a po nim na końcu wpisu znajdują się zera, należy je przekreślić.

Zdarza się, że w drugim kroku w liczniku nie ma wystarczającej liczby cyfr, aby dokończyć przesunięcie. W takim przypadku brakujące pozycje uzupełniane są zerami. Ogólnie rzecz biorąc, po lewej stronie dowolnej liczby możesz przypisać dowolną liczbę zer bez szkody dla zdrowia. To brzydkie, ale czasami przydatne.

Na pierwszy rzut oka algorytm ten może wydawać się dość skomplikowany. Tak naprawdę wszystko jest bardzo, bardzo proste – wystarczy trochę poćwiczyć. Spójrz na przykłady:

Zadanie. Dla każdego ułamka podaj jego zapis dziesiętny:

Licznik pierwszego ułamka wynosi: 73. Przesuwamy przecinek dziesiętny o jedno miejsce (ponieważ mianownik wynosi 10) - otrzymujemy 7,3.

Licznik drugiego ułamka: 9. Przesuwamy przecinek dziesiętny o dwa miejsca (ponieważ mianownik wynosi 100) - otrzymujemy 0,09. Musiałem dodać jedno zero po przecinku i jeszcze jedno przed nim, żeby nie zostawić dziwnego wpisu w rodzaju „.09”.

Licznik trzeciego ułamka to: 10029. Przesuwamy przecinek dziesiętny o trzy miejsca (ponieważ mianownik wynosi 1000) - otrzymujemy 10,029.

Licznik ostatniego ułamka: 10500. Ponownie przesuwamy przecinek o trzy cyfry - otrzymujemy 10500. Na końcu liczby znajdują się dodatkowe zera. Skreśl je i otrzymamy 10,5.

Zwróć uwagę na dwa ostatnie przykłady: liczby 10.029 i 10.5. Zgodnie z zasadami zera po prawej stronie należy przekreślić, tak jak to miało miejsce w ostatnim przykładzie. Jednakże nigdy nie powinieneś tego robić z zerami wewnątrz liczby (które są otoczone innymi liczbami). Dlatego otrzymaliśmy 10,029 i 10,5, a nie 1,29 i 1,5.

Ustaliliśmy więc definicję i formę zapisywania ułamków dziesiętnych. Dowiedzmy się teraz, jak zamienić zwykłe ułamki zwykłe na dziesiętne - i odwrotnie.

Konwersja ułamków zwykłych na dziesiętne

Rozważmy prosty ułamek liczbowy postaci a /b. Możesz skorzystać z podstawowej właściwości ułamka i pomnożyć licznik i mianownik przez taką liczbę, że dół okaże się potęgą dziesięciu. Ale zanim to zrobisz, przeczytaj co następuje:

Istnieją mianowniki, których nie można sprowadzić do potęgi dziesięciu. Naucz się rozpoznawać takie ułamki, ponieważ nie można z nimi pracować za pomocą algorytmu opisanego poniżej.

Otóż to. Jak rozumiesz, czy mianownik jest zredukowany do potęgi dziesięciu, czy nie?

Odpowiedź jest prosta: rozłóż mianownik na czynniki pierwsze. Jeśli rozwinięcie zawiera tylko czynniki 2 i 5, liczbę tę można zmniejszyć do potęgi dziesięciu. Jeśli istnieją inne liczby (3, 7, 11 - cokolwiek), możesz zapomnieć o potędze dziesięciu.

Zadanie. Sprawdź, czy wskazane ułamki można przedstawić w postaci ułamków dziesiętnych:

Wypiszmy i rozliczmy mianowniki tych ułamków:

20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 - występują tylko liczby 2 i 5. Dlatego ułamek zwykły można przedstawić w postaci ułamka dziesiętnego.

12 = 4 · 3 = 2 2 · 3 - istnieje „zabroniony” współczynnik 3. Ułamka nie można przedstawić w postaci ułamka dziesiętnego.

640 = 8 8 10 = 2 3 2 3 2 5 = 2 7 5. Wszystko jest w porządku: nie ma nic oprócz liczb 2 i 5. Ułamek zwykły można przedstawić jako ułamek dziesiętny.

48 = 6 · 8 = 2 · 3 · 2 3 = 2 4 · 3. Znów „wypłynął” współczynnik 3. Nie można go przedstawić w postaci ułamka dziesiętnego.

Więc uporządkowaliśmy mianownik - teraz spójrzmy na cały algorytm przechodzenia do ułamków dziesiętnych:

Rozważ mianownik ułamka pierwotnego i upewnij się, że ogólnie można go przedstawić jako ułamek dziesiętny. Te. sprawdź, czy rozwinięcie zawiera tylko czynniki 2 i 5. W przeciwnym razie algorytm nie działa;
Policz, ile dwójek i piątek jest w rozwinięciu (innych liczb tam nie będzie, pamiętasz?). Wybierz dodatkowy współczynnik, taki aby liczba dwójek i piątek była równa.
Właściwie pomnóż licznik i mianownik ułamka pierwotnego przez ten współczynnik - otrzymamy pożądaną reprezentację, tj. mianownikiem będzie potęga dziesięciu.

Oczywiście dodatkowy współczynnik również zostanie rozłożony tylko na dwójki i piątki. Jednocześnie, aby nie komplikować sobie życia, należy wybrać najmniejszy ze wszystkich możliwych mnożników.

I jeszcze jedno: jeśli ułamek wyjściowy zawiera część całkowitą, koniecznie zamień ten ułamek na ułamek niewłaściwy - i dopiero wtedy zastosuj opisany algorytm.

Zadanie. Zamień te ułamki liczbowe na dziesiętne:

Rozłóżmy mianownik pierwszego ułamka na czynniki: 4 = 2 · 2 = 2 2 . Dlatego ułamek zwykły można przedstawić w postaci ułamka dziesiętnego. Rozszerzenie zawiera dwie dwójki, a nie jedną piątkę, więc dodatkowy współczynnik wynosi 5 2 = 25. Dzięki niemu liczba dwójek i piątek będzie równa. Mamy:

Teraz spójrzmy na drugi ułamek. Aby to zrobić, zauważ, że 24 = 3 8 = 3 2 3 - w rozwinięciu jest potrójna, więc ułamka nie można przedstawić jako ułamka dziesiętnego.

Dwa ostatnie ułamki mają mianowniki odpowiednio 5 (liczba pierwsza) i 20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 - wszędzie występują tylko dwójki i piątki. Co więcej, w pierwszym przypadku „dla pełnego szczęścia” współczynnik 2 nie wystarczy, a w drugim - 5. Otrzymujemy:

Konwersja ułamków dziesiętnych na ułamki zwykłe

Odwrotna konwersja – z zapisu dziesiętnego na zwykły – jest znacznie prostsza. Nie ma tu żadnych ograniczeń ani specjalnych kontroli, więc zawsze możesz zamienić ułamek dziesiętny na klasyczny ułamek „dwupiętrowy”.

Algorytm tłumaczenia jest następujący:

Skreśl wszystkie zera po lewej stronie przecinka oraz kropkę dziesiętną. Będzie to licznik żądanego ułamka. Najważniejsze, żeby nie przesadzić i nie przekreślać wewnętrznych zer otoczonych innymi liczbami;
Policz, ile miejsc po przecinku jest po przecinku. Weź liczbę 1 i dodaj po prawej stronie tyle zer, ile jest znaków, które policzysz. To będzie mianownik;
Właściwie to zapisz ułamek, którego licznik i mianownik właśnie znaleźliśmy. Jeśli to możliwe, zmniejsz go. Jeśli pierwotny ułamek zawierał część całkowitą, otrzymamy teraz ułamek niewłaściwy, co jest bardzo wygodne do dalszych obliczeń.

Zadanie. Zamień ułamki dziesiętne na zwykłe: 0,008; 3,107; 2,25; 7,2008.

Skreślamy zera po lewej stronie oraz przecinki – otrzymujemy liczby (będą one licznikami): 8; 3107; 225; 72008.

W pierwszym i drugim ułamku są 3 miejsca po przecinku, w drugim - 2, a w trzecim - aż 4 miejsca po przecinku. Otrzymujemy mianowniki: 1000; 1000; 100; 10000.

Na koniec połączmy liczniki i mianowniki w ułamki zwykłe:

Jak widać z przykładów, uzyskaną frakcję bardzo często można zmniejszyć. Jeszcze raz zauważę, że każdy ułamek dziesiętny można przedstawić jako ułamek zwykły. Odwrotna konwersja nie zawsze jest możliwa.

Stosowanie równań jest szeroko rozpowszechnione w naszym życiu. Wykorzystuje się je w wielu obliczeniach, budowie konstrukcji, a nawet sporcie. Człowiek używał równań w czasach starożytnych i od tego czasu ich użycie tylko wzrosło. Równanie liniowe z ułamkami dziesiętnymi rozwiązuje się w taki sam sposób, jak wiele innych równań, z tym że należy je rozwiązać od skrócenia równania i pozbycia się miejsc po przecinku.

Załóżmy, że mamy równanie w postaci:

Równanie to można rozwiązać na dwa różne sposoby.

Metoda nr 1:

Rozwiązanie zaczynamy od uproszczenia równania poprzez otwarcie nawiasów, a ponieważ przed nawiasami mamy liczbę, mnożymy tę liczbę przez każdy wyraz w nawiasach:

Teraz nasze równanie ma postać liniową, dzięki czemu przeprowadzamy przeniesienie niewiadomych w jednym kierunku, a liczb całkowitych w drugim:

\[ - 7,2x + 5,2x = 1,7 - 14,4 - 4,3\]

Podziel 2 części przez liczbę przed \

\[ - 2x = - 17\]

Odpowiedź: \

Metoda numer 2:

W tej metodzie pomnóż lewą i prawą stronę przez 10:

Jest to równanie liniowe, które można rozwiązać analogicznie do metody 1:

\[ - 72x + 52x = 17 - 144 - 43\]

\[ - 20x = - 170\]

Odpowiedź: \

Gdzie mogę rozwiązać równania dziesiętne online?

Równanie możesz rozwiązać na naszej stronie internetowej https://site. Bezpłatny solwer online pozwoli Ci rozwiązać równania online o dowolnej złożoności w ciągu kilku sekund. Wystarczy, że wprowadzisz swoje dane do solwera. Możesz także obejrzeć instrukcje wideo i dowiedzieć się, jak rozwiązać równanie na naszej stronie internetowej. A jeśli nadal masz pytania, możesz je zadać w naszej grupie VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Dołącz do naszej grupy, zawsze chętnie Ci pomożemy.