Oglądaj, co jest "kątem" w innych słowników. Narożniki z podgrzewanymi partiami

Ten materiał poświęcony jest takiej koncepcji, jak kąt między dwoma przecinającymi się prosto. W pierwszym punkcie wyjaśnimy, czym jest i pokazujemy na ilustracjach. Następnie przeanalizujemy, jak można znaleźć zatok, cosinus tego kątu i samego kąta (oddzielnie uważa przypadki z samolotem i przestrzenią trójwymiarową), podajemy niezbędne formuły i pokazujemy przykłady na przykładach, jak dokładnie oni są stosowane w praktyce.

Aby zrozumieć, jaki kąt jest utworzony przez przecięcie dwóch bezpośrednich, będziemy musieli przypomnieć określenie kąta, prostopadłości i punktów przecięcia.

Definicja 1.

Nazywamy dwa proste przecinające się, jeśli mają jeden wspólny punkt. Ten punkt nazywa się punktem przecięcia dwóch linii prostych.

Każdy bezpośredni jest oddzielony punktem przecięcia na promieniach. Zarówno bezpośrednio w tym samym czasie tworzą 4 narożniki, z których dwa są pionowe, a dwa sąsiednie. Jeśli znamy miarę jednego z nich, możemy zidentyfikować inne pozostałe.

Przypuśćmy, że wiemy, że jeden z narożników jest równy α. W tym przypadku kąt pionowy w stosunku do niego będzie równy α. Aby znaleźć pozostałe kąty, musimy obliczyć różnicę między 180 ° - α. Jeśli α jest równe 90 stopni, wszystkie kąty będą proste. Przecinający się w prawym rogu linii nazywany jest prostopadle (indywidualny artykuł poświęcony jest pojęcie prostopadłości).

Spójrz na rysunek:

Odwróćmy się do preparatu podstawowej definicji.

Definicja 2.

Kąt utworzony przez dwa przecinające się proste jest miarą mniejszego z 4 rogów, które tworzą dwie z nich proste.

Z definicji konieczne jest dokonanie ważnego wniosku: rozmiar kątowy w tym przypadku zostanie wyrażony przez dowolną liczbę rzeczywistą w przedziale (0, 90]. Jeśli bezpośredni jest prostopadle, wówczas kąt między nimi będzie równy 90 stopnie.

Zdolność do znalezienia środka kąta między dwoma przecinającymi się bezpośrednim jest przydatna do rozwiązania wielu zadań praktycznych. Metoda rozwiązania może być wybrana z kilku opcji.

Na początek możemy wziąć geometryczne metody. Jeśli wiemy coś o dodatkowych rogach, możesz je związać kątem, którego potrzebujemy, używamy właściwości równych lub podobnych kształtach. Na przykład, jeśli znamy bok trójkąta i musisz obliczyć kąt między bezpośrednim, na którym znajdują się te strony, a następnie dla rozwiązań, nadaje się do twierdzenia Cosine. Jeśli mamy prostokątny trójkąt, a następnie do obliczeń, używamy również wiedzy o zatokie, cosinus i styczny kąt.

Metoda współrzędnych jest również bardzo wygodna do rozwiązywania problemów tego typu. Wyjaśnijmy, jak go używać poprawnie.

Mamy układ współrzędnych prostokątnych (destynański) o x y, w którym podano dwie proste linie. Oznacz je z literami a i b. Bezpośrednio z tym można opisać za pomocą dowolnych równań. Źródło proste linie mają punkt przecięcia M. Jak określić pożądany kąt (oznacz go α) między tymi prostymi?

Zacznijmy od brzmienia podstawowej zasady znalezienia kąta w określonych warunkach.

Wiemy, że z koncepcją linii prostej, takie koncepcje jako przewodnik i normalny wektor są ściśle podłączony. Jeśli mamy równanie dla niektórych prostych, możesz wziąć współrzędne tych wektorów z niego. Możemy to zrobić natychmiast na dwie przecinające się proste linie.

Kąt utworzony przez dwa przecinające się proste, można znaleźć przy użyciu:

• kąt między wektory przewodnika;
• kąt między normalnymi wektory;
• kąt między normalnym wektorem jest jeden wektor prosty i elektroniczny.

Teraz rozważ w jedną stronę oddzielnie.

1. Przypuśćmy, że mamy prosto z instrukcji wektorowej A → \u003d (A X, Y) i proste b z wektora prowadzącego B → (B x, b Y). Teraz odkładaj dwa wektory A → i B → z punktu przecięcia. Potem zobaczymy, że znajdą się na prostym. Następnie mamy cztery opcje ich wzajemnej lokalizacji. Zobacz ilustracja:

Jeśli kąt między dwoma wektorami nie jest głupi, to będzie kąt, musimy przejść między przecinającym się prostym a b. Jeśli jest głupi, żądany kąt będzie równy narożnikowi w sąsiedztwie kąta → B → ^. Tak więc, α \u003d A →, B → ^ Jeśli A → B → ^ ≤ 90 ° i α \u003d 180 ° - A → B → ^, jeśli A → B → ^\u003e 90 °.

W oparciu o fakt, że cosinki o równych kątach są równe, możemy przepisać wynikową równość: COS α \u003d COS A →, B → ^, jeśli A →, B → ≤ 90 °; COS α \u003d COS 180 ° - A → B → ^ \u003d - COS A →, B → ^, jeśli A → B → ^\u003e 90 °.

W drugim przypadku stosowano wzory. W ten sposób,

cos α Cos A →, B → ^, COS A →, B → ^ ≥ 0 - COS A →, B → ^, COS A → B → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Piszemy ostatni formułę słowami:

Definicja 3.

Cosinus kąt utworzony przez dwa przecinające się proste, będzie równe modułowi cosinus kąta między jej wektory prowadzącego.

Ogólny wygląd formuły Cosinus kąta między dwoma wektory A → \u003d (A X, A Y) i B → \u003d (B x, b Y) wygląda tak:

cOS A →, B → ^ \u003d A → B → ^ A → · B → \u003d A X · B X + A Y + B Y A X 2 + A Y2 · B X 2 + B Y 2

Od niej możemy wyprowadzić cosinę formuły kąta między dwoma określonymi bezpośrednim:

cos α \u003d a x · b x + a y + b y a x 2 + a y2 · b x 2 + b y2 \u003d a x · b x + a y + b y a x 2 + a y2 · b x 2 + b y2

Następnie sam kąt można znaleźć na następującym wzorze:

α \u003d A R C COS A X · B X + A Y + B Y A X 2 + A Y2 · B x 2 + B Y 2

Tutaj A → \u003d (A X, Y) i B → \u003d (B X, B Y) są wektory przewodnika określonego bezpośredniego.

Daj nam przykład rozwiązania problemu.

Przykład 1.

W prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie podano dwie przecinające się proste linie A i B. Mogą być opisane przez równania parametryczne X \u003d 1 + 4 · λ y \u003d 2 + λ λ ∈ R i X 5 \u003d Y - 6 - 3. Oblicz kąt między tymi prostymi.

Decyzja

W naszym stanie istnieje równanie parametryczne, oznacza to, że dla tego prosto możemy natychmiast pisać współrzędne swojego wektora przewodnika. W tym celu musimy podjąć wartości współczynników, gdy parametr, tj. Direct X \u003d 1 + 4 · λ Y \u003d 2 + λ λ ∈ R będzie miała wektor prowadzący A → \u003d (4, 1).

Drugi bezpośredni jest opisany przy użyciu równania kanonicznego X 5 \u003d Y - 6 - 3. Tutaj możemy wziąć współrzędne z mianowników. W ten sposób ten bezpośredni ma wektor prowadzący b → \u003d (5, - 3).

Następnie przejdź bezpośrednio do znalezienia kąta. Aby to zrobić, po prostu zastępujemy dostępne współrzędne dwóch wektorów w powyższym formom α \u003d A R C COS A X · B X + A Y + B Y A X 2 + A Y2 · B x 2 + B Y2. Dostajemy następujące czynności:

α \u003d A R C COS 4 · 5 + 1 · (- 3) 4 2 + 1 2 · 5 2 + (- 3) 2 \u003d A R C COS 17 17 · 34 \u003d A R C COS 1 2 \u003d 45 °

Odpowiedź: Dane bezpośrednie tworzą kąt 45 stopni.

Możemy rozwiązać takie zadanie, znajdując kąt między normalnymi wektory. Jeśli mamy prosto A za pomocą normalnego wektora na → \u003d (NAX, NAX) i prostym b z normalnym nb → \u003d (NBX, NB), a następnie kąt między nimi będzie równy rogu między Na → i NB → albo róg, który będzie w sąsiedztwie na →, NB → ^. Ta metoda jest wyświetlana na rysunku:

Formuły do \u200b\u200bobliczania Cosinus kąta między przecinającymi się prostym a większością tego kąta przy pomocy współrzędnych normalnych wektorów wyglądają:

cos α \u003d cos na →, nb → ^ \u003d n → x · NBX + NAY + NBAX 2 + NB 2 · NBX 2 + NB 2 α \u003d ARC COS NAX · NBX + NAY + NBNAX 2 + NAY 2 · NBX 2 + NB 2.

Tutaj N → i N B → Oznaczają normalne wektory dwóch zestawów bezpośrednich.

Przykład 2.

W prostokątnym układzie współrzędnych podaje się dwie proste linie przy użyciu równań 3 x + 5 Y - 30 \u003d 0 i X + 4 Y - 17 \u003d 0. Znajdź zatokę, cosine kąt między nimi a wielkością tego rogu.

Decyzja

Source proste linie są podane przy użyciu normalnych równań bezpośredniej postaci A X + B Y + C \u003d 0. Normalny wektor oznaczający N → \u003d (A, B). Znajdziemy współrzędne pierwszego normalnego wektora dla jednego prostego i napisz je: N → \u003d (3, 5). Dla drugiego bezpośredniego x + 4 y - 17 \u003d 0, normalny wektor będzie miał współrzędne N B → \u003d (1, 4). Teraz dodaj uzyskane wartości w formule i oblicz wynik:

cOS α \u003d COS N →, N B → ^ \u003d 3 · 1 + 5 · 4 3 2 + 5 2 · 1 2 + 4 2 \u003d 23 34 · 17 \u003d 23 2 34

Jeśli jesteśmy znani kątem Cosine, możemy obliczyć go zatokę za pomocą podstawowej tożsamości trygonometrycznej. Ponieważ kąt α, utworzony przez prosty, nie jest tępym, a następnie grzech α \u003d 1 - COS 2 α \u003d 1 - 23 2 34 2 \u003d 7 2 34.

W tym przypadku, α \u003d A R C COS 23 2 34 \u003d A R C SIN 7 2 34.

Odpowiedź: COS α \u003d 23 2 34, SIN α \u003d 7 2 34, α \u003d A R C COS 23 2 34 \u003d A R C Sin 7 2 34

Przeanalizujemy ostatni przypadek - znalezienie kąta między prostym, jeśli znamy współrzędne wektora przewodnika jednego prostego i normalnego wektora innego.

Przypuśćmy, że kierowanie A ma wektor przewodnik A → \u003d (A X, A Y), a linia prosta B oznacza normalny wektor n b → \u003d (N b x, n b y). Musimy odłożyć te wektory z punktu przecięcia i rozważmy wszystkie opcje ich wzajemnej lokalizacji. Zobacz na zdjęciu:

Jeśli wartość kąta między określonymi wektorami wynosi nie więcej niż 90 stopni, okazuje się, że uzupełnia kąt między A i B do kąta bezpośredniego.

a →, N B → ^ \u003d 90 ° - α, jeśli A →, N B → ^ ≤ 90 °.

Jeśli jest mniejszy niż 90 stopni, otrzymamy następujące czynności:

a →, N B → ^\u003e 90 °, a następnie A →, N B → ^ \u003d 90 ° + α

Korzystając z reguły równego cosine równe kąty, pisać:

cOS A →, N B → ^ \u003d COS (90 ° - α) \u003d SIN α w A →, N B → ^ ≤ 90 °.

cOS A →, N B → ^ \u003d COS 90 ° + α \u003d - SIN α w A →, N B → ^\u003e 90 °.

W ten sposób,

sIN α \u003d COS A →, NB → ^, A →, NB → ^ ≤ 90 ° - COS A →, NB → ^, A →, NB → ^\u003e 90 ° ⇔ SIN α \u003d COS A →, NB → ^, A →, NB → ^\u003e 0 - COS A →, NB → ^, A →, NB → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Sformułujemy wyjście.

Definicja 4.

Aby znaleźć kąt sine między dwiema prostymi liniami przecinającymi się w płaszczyźnie, musisz obliczyć moduł cosinus między wektorem przewodnika pierwszego prostego i normalnego wektora drugiego.

Piszemy niezbędne formuły. Znalezienie sine rogu:

sIN α \u003d COS A →, N B → ^ \u003d A X · N B X + A Y · N B Y A X 2 + A Y2 · N B X 2 + N B Y 2

Znalezienie rogu:

α \u003d A R C Sin \u003d A X · N B X + A Y · N B Y A X 2 + A Y2 · N B X 2 + N B Y 2

Tutaj → jest wektorem prowadnicy pierwszej linii, a N b → jest normalnym drugim wektorem.

Przykład 3.

Dwa przecinające się proste linie ustawiają równania X - 5 \u003d Y - 6 3 i X + 4 Y - 17 \u003d 0. Znajdź kąt przekraczania.

Decyzja

Biorą współrzędne przewodnika i normalny wektor z określonych równań. Okazuje się → \u003d (- 5, 3) i N → B \u003d (1, 4). Bierzemy formułę α \u003d R C Sin \u003d A X · N B X + A Y · N B Y A X 2 + A Y2 · N B X 2 + N B Y 2 i rozważ:

α \u003d A R C Sin \u003d - 5 · 1 + 3 · 4 (- 5) 2 + 3 2 · 1 2 + 4 2 \u003d A R C SIN 7 2 34

Należy pamiętać, że wzięliśmy równania z poprzedniego zadania i dostaliśmy dokładnie ten sam wynik, ale w inny sposób.

Odpowiedź: α \u003d A R C SIN 7 2 34

Dajemy inny sposób na znalezienie pożądanego kąta za pomocą współczynników kątowych określonych bezpośrednich.

Mamy kierowanie A, który jest podany w prostokątnym układzie współrzędnych za pomocą równania Y \u003d K 1 · X + B1 i proste b, podane jako y \u003d k2 · x + b2. Są to równania bezpośrednio z współczynnikiem kątowym. Aby znaleźć kąt skrzyżowania, używamy formuły:

α \u003d A R C COS K1 · K2 + 1 K 1 2 + 1 · K22 + 1, gdzie K 1 i K2 są współczynnikami kątowymi określonych bezpośrednich. Aby uzyskać ten wpis, stosowano wzory do określania kąta przez współrzędnych wektory normalnych wektory.

Przykład 4.

W płaszczyźnie są dwa proste przecinające się, podane przez równania Y \u003d - 3 5 x + 6 i Y \u003d - 1 4 x + 17 4. Oblicz wielkość kąta przecięcia.

Decyzja

Współczynniki kątowe naszych linii są równe K 1 \u003d - 3 5 i K 2 \u003d - 1 4. Dodajemy je do wzoru α \u003d A R C COS K 1 · K2 + 1 K 1 2 + 1 · K 2 2 + 1, a my obliczamy:

α \u003d A R C COS - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 \u003d A R C COS 23 20 34 24 · 17 16 \u003d A R C COS 23 2 34

Odpowiedź: α \u003d a r c cos 23 2 34

W konkluzjach tego przedmiotu należy zauważyć, że podane tutaj wzory niekoniecznie uczą się przez serce. Aby to zrobić, wystarczy poznać współrzędne przewodnika i / lub normalne wektory określonego bezpośredniego i być w stanie określić je w różnych rodzajach równań. Ale formuła obliczania cosinusu kąta jest lepiej zapamiętana lub nagrana.

Jak obliczyć kąt między przecinającym się prosto w przestrzeni

Obliczanie takiego kąta można zmniejszyć do obliczania współrzędnych wektorów prowadzących i określenie kąta utworzonego przez te wektory. Dla takich przykładów te same argumenty, które doprowadziliśmy do tego, są używane.

Przypuśćmy, że mamy prostokątny układ współrzędnych zlokalizowany w przestrzeni trójwymiarowej. Zawiera dwie proste linie A i B z punktem przecięcia m. Aby obliczyć współrzędne wektory prowadzące, musimy znać równania tych bezpośrednich. Oznacz wektory przewodnika A → \u003d (A X, A Y, A Z) i B → \u003d (B X, B Y, B z). Aby obliczyć cosinę kąta między nimi, używamy wzoru:

cOS α \u003d COS A →, B → ^ \u003d A →, B → A → · B → \u003d A X · B X + A Y · B Y + A Z · B Z A X 2 + A Y2 + A Z 2 · B X 2 + B Y2 + B Z 2

Aby znaleźć samego rogu, będziemy potrzebować tego formuły:

α \u003d A R C COS A X · B X + A Y · B Y + A Z · B Z A X 2 + A Y2 + A Z2 · B X 2 + B Y2 + B Z 2

Przykład 5.

Mamy linię prostą, podaną w przestrzeni trójwymiarowej za pomocą równania X 1 \u003d Y - 3 \u003d Z + 3 - 2. Wiadomo, że przecina się z osią o z. Oblicz kąt przecięcia i cosinusu tego kąta.

Decyzja

Oznacz kąt, który należy obliczyć, litera α. Piszemy współrzędne wektora przewodnika dla pierwszego bezpośredniego - A → \u003d (1, - 3, - 2). W przypadku osi aplikacji możemy wziąć wektor współrzędnych K → \u003d (0, 0, 1) jako przewodnik. Otrzymaliśmy niezbędne dane i może dodać je do żądanej formuły:

cOS α \u003d COS A →, K → ^ \u003d A →, K → A → · K → \u003d 1 · 0 - 3 · 0 - 2 · 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 · 0 2 + 0 2 + 1 2 \u003d 2 8 \u003d 1 2

W rezultacie otrzymaliśmy, że potrzebny kąt będzie równy R C Cos 1 2 \u003d 45 °.

Odpowiedź: COS α \u003d 1 2, α \u003d 45 °.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, wybierz go i naciśnij Ctrl + Enter

W tej lekcji damy definicję ogrzewanych promieni i udowodnimy twierdzenie o równości kątów z podgrzewanymi stronami. Następnie damy definicję kąta między przecinającym się prostym i przejściowym prostym. Zastanów się, co może być kątem między dwoma prostymi. Pod koniec lekcji decydujemy o kilku zadaniach, aby znaleźć narożniki między przetrwaniami prostymi.

Przedmiot: równoległość prostych i samolotów

Lekcja: kąty z gorącymi bokami. Kąt między dwoma prostymi

Na przykład dowolny bezpośredni Oo 1. (Rys. 1.), Przeprowadzić płaszczyznę do dwóch pół-samolotów. Jeśli promienie OA. i O 1 a 1 równolegle i leżą w ciągu połowy płaszczyzny, są one nazwane sonowany.

Promienie O 2 a 2 i OA. nie są kontrolowane (rys. 1.). Są równoległy, ale nie leżą w ciągu połowy samolotu.

Jeśli boki dwóch kątów są chłodzone, takie kąty są równe.

Dowód

Daj nam równoległe promienie OA. i O 1 a 1 i promienie równoległe. Ov. i O 1 w 1 (Rys. 2.). Oznacza to, że mamy dwa kąt Aah. i 1 o 1 w 1których strony leżą na ogrzewanych promieniach. Udowodni, że te narożniki są równe.

Z boku belki OA. i O 1 a 1 Wybierz punkty ALE i A 1. więc segmenty OA. i O 1 a 1 były równe. Podobnie punkt W i W 1 Wybierz, aby segmenty Ov. i O 1 w 1były równe.

Rozważ czworokąt 1 o 1 oa (Rys. 3.) OA. i O 1 a 1 1 o 1 oa 1 o 1 oa Oo 1. i AA 1. Równoległy i równy.

Rozważ czworokąt W 1 O 1 s. W tym czworoboczu Ov. i O 1 w 1 Równoległy i równy. Na podstawie równoległoboku, czworokąt W 1 O 1 s Jest równoległobok. Tak jak W 1 O 1 s - równoległobok, to Oo 1. i Bb 1. Równoległy i równy.

I prosto AA 1. Równoległy bezpośredni Oo 1.i proste Bb 1. Równoległy bezpośredni Oo 1.Tak bezpośredni AA 1. i Bb 1. Równolegle.

Rozważ czworokąt 1 a 1 av. W tym czworoboczu AA 1. i Bb 1. Równoległy i równy. Na podstawie równoległoboku, czworokąt 1 a 1 av Jest równoległobok. Tak jak 1 a 1 av - równoległobok, to Au. i 1 w 1. Równoległy i równy.

Rozważ trójkąty. Aah. i 1 O 1 w 1.Imprezy OA. i O 1 a 1równy budownictwie. Imprezy Ov. i O 1 w 1również równa konstrukcji. I jak udowodniliśmy i partie Au. i 1 w 1. Również równy. Więc trójkąty Aah. i 1 o 1 w 1równa z trzech stron. W równych trójkątach równe kąty leżą przed równymi stronami. Tak kąty Aah. i 1 o 1 w 1równy, co było wymagane do udowodnienia.

1) przecinający się prosto.

Jeśli bezpośredni się przecinający się, mamy cztery różny kąt. Kąt między dwoma prostymi, zwany najmniejszym rogiem między dwoma prostymi. Kąt między przecinającym się prostym ale i b. Oznaczać przez α (rys. 4.). Kąt α jest taki.

Figa. 4. Kąt między dwoma przecinającymi się prosto

2) przeżył prosto

Daj żyć ale i b. Przejście. Wybierz arbitralny punkt O. Przez punkt O Wydajmy prosto a 1., równolegle do bezpośredniego alei proste b 1., równolegle do bezpośredniego b. (Rys. 5.). Prosto a 1. i b 1. przecinają się w pkt O. Kąt między dwoma przecinającymi się prosto a 1. i b 1. , Narożnik φ i nazywany jest kątem między przetrwanym prostym.

Figa. 5. Kąt między dwoma biegami

Czy włącza róg wybranego punktu? Wybierz punkt O 1.. Przez punkt O 1. Wydajmy prosto a 2., równolegle do bezpośredniego alei proste b2., równolegle do bezpośredniego b. (Rys. 6.). Kąt między przecinającym się prostym a 2. i b2. Oznaczać φ 1.. Potem kąty φ i φ 1 -narożniki z podgrzewanymi imprezami. Jak udowodniliśmy, takie kąty są równe sobie nawzajem. Oznacza to, że wielkość kąta między biegiem międzynarodowym nie zależy od wyboru punktu O.

Prosto Ov. i Płyta CD. równolegle OA. i Płyta CD. Skrzyżowany. Znajdź kąt między prostym OA. i Płyta CD., Jeśli:

1) ∠Aah. \u003d 40 °.

Wybierz punkt Z. Przejść przez IT. Płyta CD.. Wydajmymy Ca 1. równolegle OA. (Rys. 7.). Potem róg 1 płyta CD. - Kąt między skrzyżowaniem prostym OA. i Płyta CD.. Przez twierdzenie narożników z podgrzewanymi partiami, kąt 1 płyta CD. równy rogu Aah., to znaczy 40 °.

Figa. 7. Znajdź kąt między dwoma prostymi

2) ∠Aah. \u003d 135 °.

Zróbmy tę samą konstrukcję (rys. 8.). Następnie kąt między biegiem biegowym prostym OA. i Płyta CD. równa 45 °, ponieważ jest to najmniejszy z rogów, które uzyskuje się podczas przekraczania bezpośrednich Płyta CD. i Ca 1..

3) ∠Aah. \u003d 90 °.

Zróbmy tę samą konstrukcję (rys. 9.). Następnie wszystkie kąty uzyskiwane podczas przekraczania bezpośrednich Płyta CD. i Ca 1. 90 ° są równe. Pożądany kąt wynosi 90 °.

1) Udowodnij, że średnie boki czworoboku przestrzennego są wierzchołkami równoległoboku.

Dowód

Daj nam spatyczni ABCD.. M,N,K,L. - Środkowe żebra Bd,Ogłoszenie,AcPNE. Odpowiednio (rys. 10.). Muszę to udowodnić Mnkl. - równoległobok.

Rozważ trójkąt Avd.. Mn. Mn. Równolegle Au. I równa się jej połowie.

Rozważ trójkąt ABC. Ld. - Środkowa linia. Przez właściwości linii środkowej, Ld. Równolegle Au. I równa się jej połowie.

I Mn., JA. Ld. Równolegle Au.. To znaczy Mn. Równolegle Ld. Przez teore na trzech równoległych liniach prostych.

Dostajemy to w czworoboku Mnkl. - Przyjęcie Mn. i Ld. równoległy i równy, ponieważ Mn. i Ld. równa przerwa Au.. Tak więc na podstawie równoległoboku, czworoboku Mnkl. - równoległobok, który był wymagany do udowodnienia.

2) Znajdź kąt między prostym Au. i Płyta CD.Jeśli róg Mnk. \u003d 135 °.

Jak udowodniliśmy Mn. Równoległy bezpośredni Au.. Nk. - środkowa linia trójkąta Acd., zgodnie z nieruchomością, Nk. Równolegle DC.. Więc przez punkt N. Przejść dwie proste linie Mn. i Nk.które są równoległe do bezpośredniego bezpośredniego Au. i DC. odpowiednio. Więc kąt między prostym Mn. i Nk. jest kątem między biegiem biegowym prostym Au. i DC.. Dostajemy głupi kąt Mnk. \u003d 135 °. Kąt między prostym Mn. i Nk. - Najmniejsze z narożników uzyskane z przecięciem tych bezpośrednich, to znaczy 45 °.

Więc sprawdziliśmy kąty z podgrzewanymi partiami i udowodniliśmy ich równość. Kąty między przecinającymi się i przekraczaniem prostych i rozwiązały kilka zadań, aby znaleźć kąt między dwoma kierunkami. W następnej lekcji będziemy nadal rozwiązywać problemy i powtarzamy teorię.

1. Geometria. 10-11 Klasa: Podręcznik dla studentów ogólnych instytucji edukacyjnych (poziomy podstawowe i profilu) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. edycja, poprawiona i uzupełniona - m.: Mnemozina, 2008. - 288 p. : Il.

2. Geometria. 10-11 Klasa: Podręcznik dla ogólnych instytucji edukacyjnych / Sharygin I. F. - M.: Drop, 1999. - 208 p.: Il.

3. Geometria. Klasa 10: Podręcznik do instytucji kształcenia ogólnego z badaniem dogłębnym i profilem matematyki / e. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. edycja, stereotyp. - M.: Drop, 008. - 233 p. : Il.

W) PNE. i RE. 1 W 1.

Figa. 11. Znajdź kąt między prostym

4. Geometria. 10-11 Klasa: Podręcznik dla studentów ogólnych instytucji edukacyjnych (poziomy podstawowe i profilu) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. edycja, poprawiona i uzupełniona - m.: Mnemozina, 2008. - 288 P.: Il.

Zadania 13, 14, 15 s. 54

Składający się z dwóch różnych promieni wychodzących z jednego punktu. Promienie zwane. boki W. i ich ogólny start - Vertex W. Let [ V.),[ Słońce) - Bok rogu W - Jego wierzchołek - samolot określony przez boki W. Postać dzieli płaszczyźnie na dwie figury i \u003d\u003d l, 2, zwany także. U. lub płaski róg, zwany. Wewnętrzny obszar mieszkania U.
Nazywane dwa kąty. Równy (lub przystający), jeśli można je połączyć, aby ich odpowiednie partie i wierzchołki były pokryte. Od dowolnej wiązki w samolocie w tym kierunku, jedynym U. może być odroczony z niego, równa temu W. porównanie W. jest prowadzona na dwa sposoby. Jeśli W. jest uważany za parę promieni o ogólnym początku, aby wyjaśnić niektóre z dwóch W. więcej, konieczne jest połączenie w jednej płaszczyźnie wierzchołka W. i jednej pary (patrz rys. 1 ). Jeśli druga strona jednego W. będzie znajdowała się wewnątrz innego W., a następnie mówią, że pierwsza W. jest mniejsza niż druga. Drugim sposobem porównania U. opiera się na porównaniu każdego W. Niektóre Nome. Równy W. będzie odpowiadał tym samym stopniom lub (patrz poniżej), większy y. - Więcej, mniejsze niż.

Dwa U. Naz. przylegający, jeśli mają łączną wierzchołek i jedną stronę, a pozostałe dwie strony tworzą linię prostą (patrz rys. 2). Ogólnie rzecz biorąc, W., o całkowitym wierzchołku i jedna strona wspólna, zwana. Cyfrować. W. Naz. Pionowy, jeśli boki jednego kontynuują ponad boków drugiej W. Pionowe W. są równe wzajemnie. W., w pierwszej stronie tworzą prostą, zwaną. Rozszerzony. Połowa rozszerzyła U. Naz. Direct W. Direct U. może być równoważny inaczej: W., równa jego sąsiednim, zwanym. prosto. Wewnętrzne mieszkanie U., nie przekraczające wdrożenia, jest wypukłą powierzchnią w samolocie. W przypadku jednostki pomiaru W. 90. udziału bezpośredniego U., Naz. Stopień.

Używane itp. Zmierz U. Wartość liczbowa promieniowej miary U. jest równa długości łuku, rzeźbione przez strony z obwodu jednostkowego. Jeden radian przypisuje się W., odpowiednim łukiem, który jest równy jej promieniu. Wdrożony W. jest równy radianom.
Podczas przekraczania dwóch prostych kłamstw leżących w tej samej płaszczyźnie, trzecia linia prosta jest utworzona przez U. (patrz rys. 3): 1 i 5, 2 i 6, 4 i 8, S i 7. - Naz. odpowiednio; 2 i 5, 3 i 8 - wewnętrzna jednostronna; 1 i 6, 4 i 7 - jednostronny zewnętrzny; 3 i 5, 2 i 8 - Kłamstwo do wspinaczki wewnętrznej; 1 i 7, 4 i 6 - Kłamstwa zewnętrzne.

W praktyce. Zadania są wskazane do rozważenia W. jak zmierzyć obrót wiązki stałej wokół niego zaczyna się danej pozycji. W zależności od kierunku obrotu W. W tym przypadku uwzględniono zarówno pozytywne, jak i ujemne. Tak więc U. W tym sensie może mieć dowolną wartość. W. Jak przełom Ray jest rozpatrywany w teorii trygonometryki. Funkcje: W przypadku jakichkolwiek wartości argumentów (U.) można określić wartości trygonometryczne. Funkcje. Pojęcie W. w Geometrich. System, podstawą K-Roy jest aksjomatykami punktowo-wektorowymi, radar różni się od definicji W. jako figury - w niniejszej aksjomatyce pod W. zrozumieć pewną metrykę. Wielkość związana z dwoma wektory przy użyciu operacji operacyjnej mnożenia skalarnego. Jest to, każda para wektorów AI Baets pewnego kąta - numer związany z formułą wektorową

gdzie ( a, B.) - Skalar produkt wektory.
Pojęcie W. jako płaskiej figury i jako pewna wielkość numeryczna jest stosowana w różnych geometrich. Zadania, w RY U. zdefiniowany w specjalny sposób. Tak więc, pod W. między krzywiznami przecinającymi o pewnych styczach w punkcie przecięcia, U., utworzone przez te style.
Narożnik między prostym a płaszczyzną jest akceptowany przez U., utworzony przez prostą i jej prostokątną projekcję w płaszczyźnie; Jest mierzona od 0

Encyklopedia matematyczna. - m.: Encyklopedia radziecka. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Synonimy.:

Oglądaj, co jest "kątem" w innych słownikach:

kąt - Kąt / EK / ... Morphemno-Flois

Mąż. Złamanie, awaria, kolano, łokieć, występ lub hala (Vydina) o jednej twarzy. Narożnik jest liniowy, wszelkiego rodzaju dwie przyjeżdżające cechy i ich odstęp; kąt samolotu lub samolotów, spełniając dwa płaszczyzny lub ściany; Narożnik gruby, ciało, spotkanie w jednym ... Słownik wyjaśniający Daly

Narożnik, kąt, na (c) róg i (mat.) W rogu, m. 1. Część płaszczyzny między dwiema prostymi liniami pochodzącymi z jednego punktu (mat.). Szczyt rogu. Bok rogu. Pomiar kąta stopni. Prosty kąt. (90 °). Ostry róg. (Mniej niż 90 °). Kąt rozwarty.… … Słownik wyjaśniający Ushakov.

KĄT - (1) Atakuj kąt między kierunkiem przepływu powietrza, który niesie na skrzydle samolotu i akord odcinków skrzydła. Z tego kąta zależy od wartości siły podnoszenia. Kąt, w którym siła podnoszenia jest maksymalna, nazywana jest krytycznym kątem ataku. W ... ... Duża encyklopedia politechniczna

- (płaski) kształt geometryczny utworzony przez dwa promienie (boki narożne) rozciągające się z jednego punktu (pik kąta). Każdy kąt z wierzchołkiem w środku pewnego obwodu (kąt środkowy) określa obwód łuku AV, ograniczonych punktów ... ... Duży słownik encyklopedycki

Głowa rogu, ze względu na kąt, narożnik niedźwiedzia, zły róg, we wszystkich rogach. Słownik synonimów rosyjskich i podobnych wyrażeń w znaczeniu wyrażeń. pod. ed. N. Abramova, m.: Rosyjskie słowniki, 1999. Kąt wierzchołka, punkt kątowy; DELELENDZ, RUBBEAR, NINETINY, RUMBERS, ... ... ... Słownik synonimów

kąt - Kąt, rodzaj. kąt; Biegać. o rogu, w (dla) rogu i w mowie matematyków w rogu; Mn. Narożniki, rodzaj. Narożniki. W proponowanych i zrównoważonych kombinacjach: pod kątem i dopuszczalnym dla kąta (Idź, owinąć itp.), Z kąta do kąta (ruch, znajdować się itp.), Kąt ... ... Słownik trudności wymowy i stresu w nowoczesnym rosyjskim

Kąt, róg, o rogu, w kółku, mąż. 1. (w rogu.). W geometrii: płaska postać utworzona przez dwa promienie (w znaczeniach), wychodzącym z jednego punktu. Szczyt rogu. Prosto y. (90 °). Ostry. (Mniej niż 90 °). Głupi y. (więcej niż 90 °). Zewnętrzny i wewnętrzny ... ... Objaśniający Słownik Ozhegova

kąt - Kąt, kąt, m. kwartał zakład, gdy deklaruje, którą krawędź mapy jest wygięta. ◘ Ace i pani szczyt z kątem // zabitych. A.I. Polyzhaev. Dzień w Moskwie, 1832. Na obiadu rozprasza Chervonians na stole, nawiedzonych kart; Ponteps Crack Decks, ... ... Terminologia kart i wagon XIX wieku