Zmienny przyrost. Otwarta Biblioteka - otwarta biblioteka informacji edukacyjnych

w fizyce medycznej i biologicznej

WYKŁAD nr 1

FUNKCJA POCHODNA I RÓŻNICOWA.

PRYWATNE POCHODNE.

1. Pojęcie pochodnej, jej znaczenie mechaniczne i geometryczne.

ale ) Przyrosty argumentów i funkcji.

Niech zostanie podana funkcja y = f(x), gdzie x jest wartością argumentu z dziedziny funkcji. Jeśli wybierzemy dwie wartości argumentu xo i x z pewnego przedziału dziedziny funkcji, to różnicę między dwiema wartościami argumentu nazywamy przyrostem argumentu: x - xo = ∆x .

Wartość argumentu x można określić przez x 0 i jego przyrost: x = x o + ∆x.

Różnica między dwiema wartościami funkcji nazywana jest przyrostem funkcji: ∆y = ∆f = f (x o + ∆x) - f (x o).

Przyrost argumentu i funkcji można przedstawić graficznie (rys. 1). Przyrosty argumentów i przyrosty funkcji mogą być dodatnie lub ujemne. Jak wynika z rysunku 1 geometrycznie, przyrost argumentu ∆х przedstawia przyrost odciętej, a przyrost funkcji ∆у jest reprezentowany przez przyrost rzędnej. Obliczenie przyrostu funkcji należy przeprowadzić w następującej kolejności:

nadaj argumentowi przyrost ∆x i uzyskaj wartość - x + ∆x;

2) znajdujemy wartość funkcji dla wartości argumentu (x + ∆x) - f (x + ∆x);

3) znajdujemy przyrost funkcji ∆f = f (x + ∆x) - f (x).

Przykład: Określ przyrost funkcji y = x 2, jeśli argument zmienił się z x o = 1 na x = 3. Dla punktu x o wartość funkcji f (x o) = x² o; dla punktu (x о + ∆х) wartość funkcji f (x о + ∆х) = (x о + ∆х) 2 = х² о + 2х о ∆х + ∆х 2, skąd ∆f = f (x о + ∆х) –f (x о) = (х о + ∆х) 2 –х² о = х² о + 2х о ∆х + ∆х 2 –х² о = 2х о ∆х + ∆х 2; ∆f = 2х о ∆х + ∆х 2; ∆х = 3–1 = 2; ∆f = 2 1 2 + 4 = 8.

b)Zadania prowadzące do pojęcia pochodnej. Definicja pochodnej, jej znaczenie fizyczne.

Pojęcie argumentu i przyrostu funkcji jest niezbędne do wprowadzenia pojęcia pochodnej, które historycznie wyrosło z potrzeby określenia szybkości pewnych procesów.

Zastanów się, jak możesz określić prędkość ruchu prostoliniowego. Niech ciało porusza się prostoliniowo zgodnie z prawem: ∆Ѕ =  · ∆t. Dla ruchu równomiernego:  = ∆Ѕ / ∆t.

Dla ruchu zmiennego wartość ∆Ѕ / ∆t określa wartość av. , tj. por. = ∆Ѕ / ∆t. Ale Średnia prędkość nie pozwala odzwierciedlić cech ruchu ciała i dać wyobrażenie o rzeczywistej prędkości w czasie t. Wraz ze spadkiem przedziału czasu, tj. przy ∆t → 0 średnia prędkość zmierza do granicy - prędkość chwilowa:

 natychmiastowy =
 por. =
/ ∆t.

Chwilową szybkość reakcji chemicznej określa się w ten sam sposób:

 natychmiastowy =
 por. =
/ ∆t,

gdzie x jest ilością substancji powstałej podczas reakcji chemicznej w czasie t. Podobne zadania wyznaczania szybkości różnych procesów doprowadziły do ​​wprowadzenia w matematyce pojęcia pochodnej funkcji.

Niech będzie dana funkcja ciągła f(x), zdefiniowana na przedziale] a, w [i jej przyrost ∆f = f (x + ∆x) –f (x).
jest funkcją ∆x i wyraża średnią szybkość zmian funkcji.

Limit współczynnika , gdy ∆х → 0, o ile ta granica istnieje, nazywamy pochodną funkcji :

y "x =

.

Pochodną oznaczono:
- (pierwszy x skok); f " (x) - (efekt skoku przez x) ; y "- (myślnik); dy / dх – (de igrek po de iks); - (gra z kropką).

Na podstawie definicji pochodnej możemy powiedzieć, że chwilowa prędkość ruchu prostoliniowego jest pochodną czasową toru:

 natychmiastowy = S "t = f " (t).

Możemy zatem wnioskować, że pochodną funkcji względem argumentu x jest chwilowa szybkość zmian funkcji f(x):

y „x = f " (x) =  chwila.

To jest fizyczne znaczenie pochodnej. Proces znajdowania pochodnej nazywa się różniczkowaniem, więc wyrażenie „zróżnicowanie funkcji” jest równoważne wyrażeniu „znajdź pochodną funkcji”.

w)Geometryczne znaczenie pochodnej.

P
pochodna funkcji y = f (x) ma proste znaczenie geometryczne związane z pojęciem stycznej do linii zakrzywionej w pewnym punkcie M. W tym przypadku tangens, czyli linia prosta jest wyrażona analitycznie w postaci y = kx = tanx, gdzie – kąt nachylenia stycznej (prosta) do osi X. Reprezentujemy krzywą ciągłą w funkcji y = f (x), bierzemy punkt M na krzywej i punkt M 1 blisko niego i podajemy secans przez nie. Jego nachylenie do sec = tan β = Jeśli punkt М 1 jest przybliżony do M, to przyrost argumentu ∆х będzie dążył do zera, a sieczna przy β = α przyjmie pozycję stycznej. Z rys. 2 wynika: tgα =
tgβ =
= y "x. Ale tgα jest równe nachyleniu stycznej do wykresu funkcji:

k = tgα =
= y "x = f " (x). Zatem nachylenie stycznej do wykresu funkcji w danym punkcie jest równe wartości jej pochodnej w punkcie styczności. To jest geometryczne znaczenie pochodnej.

re)Ogólna zasada znajdowania pochodnej.

Na podstawie definicji pochodnej proces różniczkowania funkcji można przedstawić w następujący sposób:

f (x + ∆x) = f (x) + ∆f;

znajdź przyrost funkcji: ∆f = f (x + ∆x) - f (x);

tworzą stosunek przyrostu funkcji do przyrostu argumentu:

;

Przykład: f(x) = x 2; fa " (x) = ?.

Jednak, jak widać nawet z tego prostego przykładu, zastosowanie określonej kolejności przy pobieraniu pochodnych jest procesem pracochłonnym i złożonym. Dlatego dla różnych funkcji, ogólne formuły różniczkowania, które są przedstawione w postaci tabeli „Podstawowe wzory na różniczkowanie funkcji”.

W życiu nie zawsze interesują nas dokładne wartości jakichkolwiek ilości. Czasami ciekawa jest zmiana tej wartości, na przykład średnia prędkość autobusu, stosunek ilości ruchu do okresu itp. Aby porównać wartość funkcji w pewnym momencie z wartościami tej samej funkcji w innych punktach, wygodnie jest użyć takich pojęć, jak „przyrost funkcji” i „przyrost argumentu”.

Pojęcia „przyrost funkcji” i „przyrost argumentu”

Załóżmy, że x jest jakimś dowolnym punktem leżącym w sąsiedztwie punktu x0. Przyrost argumentu w punkcie x0 to różnica x-x0. Przyrost jest wskazywany w następujący sposób: ∆х.

• ∆x = x-x0.

Czasami wartość ta nazywana jest również przyrostem zmiennej niezależnej w punkcie x0. Ze wzoru wynika: x = x0 + ∆x. W takich przypadkach mówi się, że początkowa wartość zmiennej niezależnej x0 otrzymała przyrost ∆x.

Jeśli zmienimy argument, zmieni się również wartość funkcji.

• f (x) - f (x0) = f (x0 + ∆х) - f (x0).

Przyrost funkcji f w punkcie x0, różnica f (x0 + ∆x) - f (x0) jest nazywana odpowiadającą przyrostowi ∆x. Przyrost funkcji jest oznaczony jako ∆f. Tak więc z definicji otrzymujemy:

• ∆f = f (x0 + ∆x) - f (x0).

Czasami ∆f jest również nazywane przyrostem zmiennej zależnej, a ∆y jest używane do oznaczenia jej, jeśli funkcja była na przykład y = f (x).

Geometryczne znaczenie przyrostu

Spójrz na poniższy rysunek.

Jak widać, przyrost pokazuje zmianę rzędnej i odciętej punktu. A stosunek przyrostu funkcji do przyrostu argumentu określa kąt nachylenia siecznej przechodzącej przez początkową i końcową pozycję punktu.

Rozważ przykłady funkcji i przyrostów argumentów

Przykład 1. Znajdź przyrost argumentu ∆x i przyrost funkcji ∆f w punkcie x0, jeśli f (x) = x 2, x0 = 2 a) x = 1,9 b) x = 2,1

Skorzystajmy z podanych wyżej wzorów:

a) ∆х = х-х0 = 1,9 - 2 = -0,1;

• ∆f = f (1,9) - f (2) = 1,9 2 - 2 2 = -0,39;

b) ∆x = x-x0 = 2,1-2 = 0,1;

• ∆f = f (2,1) - f (2) = 2,1 2 - 2 2 = 0,41.

Przykład 2. Oblicz przyrost ∆f dla funkcji f(x) = 1 / xw punkcie x0, jeśli przyrost argumentu jest równy ∆x.

Ponownie użyjemy wzorów uzyskanych powyżej.

• ∆f = f (x0 + ∆x) - f (x0) = 1 / (x0-∆x) - 1 / x0 = (x0 - (x0 + ∆x)) / (x0 * (x0 + ∆x)) = - ∆x / ((x0 * (x0 + ∆x)).

Niech x będzie dowolnym punktem oblodzenia w sąsiedztwie punktu stałego x 0. różnica x - x 0 jest zwykle nazywana przyrostem zmiennej niezależnej (lub przyrostem argumentu) w punkcie x 0 i jest oznaczana przez Δx. W ten sposób,

Δx = x –x 0,

skąd wynika, że

Przyrost funkcji - różnica między dwiema wartościami funkcji.

Niech funkcja w = f (x), zdefiniowane, gdy wartość argumentu jest równa equal x 0. Nadaj argumentowi przyrost D x, .ᴇ. rozważ wartość argumentu równą x 0 + D x... Załóżmy, że ta wartość argumentu jest również w zakresie tej funkcji. Wtedy różnica D tak = f (x 0 + D x) – f (x 0) zwyczajowo wywołuje się funkcję increment. Przyrost funkcji fa(x) w punkcie x jest funkcją zwykle oznaczaną przez Δ x f z nowej zmiennej Δ x zdefiniowana jako

Δ x f(Δ x) = fa(x + Δ x) − fa(x).

Znajdź przyrost argumentu i przyrost funkcji w punkcie x 0, jeśli

Przykład 2. Znajdź przyrost funkcji f (x) = x 2 jeśli х = 1, ∆х = 0,1

Rozwiązanie: f (x) = x 2, f (x + ∆x) = (x + ∆x) 2

Znajdź przyrost funkcji ∆f = f (x + ∆x) - f (x) = (x + ∆x) 2 - x 2 = x 2 + 2x * ∆x + ∆x 2 - x 2 = 2x * x + ∆x 2 /

Podstawiając wartości x = 1 i ∆х = 0,1 otrzymujemy ∆f = 2 * 1 * 0,1 + (0,1) 2 = 0,2 + 0,01 = 0,21

Znajdź przyrost argumentu i przyrost funkcji w punkcie x 0

2.f (x) = 2x 3.x 0 = 3 x = 2,4

3.f (x) = 2x 2 +2 x 0 = 1 x = 0,8

4.f (x) = 3x + 4 x 0 = 4 x = 3,8

Definicja: Pochodna funkcji w punkcie, zwyczajowo nazywa się granicę (jeśli istnieje i jest skończona) stosunku przyrostu funkcji do przyrostu argumentu, pod warunkiem, że ten ostatni dąży do zera.

Najczęściej używane są następujące oznaczenia pochodne:

W ten sposób,

Znalezienie pochodnej nazywa się zwykle różnicowanie ... Wprowadzono definicja funkcji różniczkowalnej: Funkcję f, która ma pochodną w każdym punkcie pewnego przedziału, nazywa się zwykle różniczkowalną na danym przedziale.

Niech funkcja będzie zdefiniowana w pewnym sąsiedztwie punktu Pochodna funkcji jest zwykle nazywana liczbą takąże funkcja w otoczeniu U(x 0) można przedstawić jako

fa(x 0 + h) = fa(x 0) + Ach + o(h)

jeśli istnieje.

Wyznaczanie pochodnej funkcji w punkcie.

Niech funkcja f (x) zdefiniowany w przedziale (a; b), i są punktami tego przedziału.

Definicja... Funkcja pochodna f (x) w pewnym momencie zwyczajowo określa się granicę stosunku przyrostu funkcji do przyrostu argumentu o godz. Jest to wskazane.

Kiedy ostatnia granica przybiera określoną wartość końcową, wtedy mówią o istnieniu ostateczna pochodna w punkcie... Jeśli granica jest nieskończona, to mówią, że pochodna jest nieskończona w danym punkcie... Jeśli limit nie istnieje, to w tym momencie pochodna funkcji nie istnieje.

Funkcjonować f (x) nazywa się różniczkowalnym w punkcie, w którym ma skończoną pochodną.

Jeśli funkcja f (x) różniczkowalna w każdym punkcie pewnego przedziału (a; b), to funkcja jest nazywana różniczkowalną na tym przedziale. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, dowolny punkt x z pomiędzy (a; b) w tym momencie możemy powiązać wartość pochodnej funkcji, czyli mamy możliwość zdefiniowania nowej funkcji, która nazywa się pochodną funkcji f (x) na interwale (a; b).

Operacja znajdowania pochodnej jest zwykle nazywana różniczkowaniem.

Definicja 1

Jeżeli z każdą parą $ (x, y) $ wartości dwóch zmiennych niezależnych z określonego regionu powiązana jest pewna wartość $ z $, to $ z $ mówi się, że jest funkcją dwóch zmiennych $ (x, y) $. Notacja: $ z = f (x, y) $.

W odniesieniu do funkcji $ z = f (x, y) $, rozważ koncepcje przyrostu ogólnego (całkowitego) i częściowego funkcji.

Niech zostanie podana funkcja $ z = f (x, y) $ dwóch zmiennych niezależnych $ (x, y) $.

Uwaga 1

Ponieważ zmienne $ (x, y) $ są niezależne, jedna z nich może się zmieniać, a druga pozostaje stała.

Nadajmy zmiennej $ x $ przyrost o $ \ Delta x $, zachowując niezmienioną wartość zmiennej $ y $.

Wtedy funkcja $ z = f (x, y) $ otrzyma przyrost, który będzie nazywany przyrostem częściowym funkcji $ z = f (x, y) $ względem zmiennej $ x $. Przeznaczenie:

Podobnie dajmy zmiennej $ y $ przyrost o $ \ Delta y $, zachowując niezmienioną wartość zmiennej $ x $.

Wtedy funkcja $ z = f (x, y) $ otrzyma przyrost, który będzie nazywany przyrostem częściowym funkcji $ z = f (x, y) $ względem zmiennej $ y $. Przeznaczenie:

Jeżeli argumentowi $ x $ podano przyrost $ \ Delta x $, a argumentowi $ y $ - przyrost $ \ Delta y $, to pełny przyrost danej funkcji $ z = f (x, y) $ wynosi uzyskane. Przeznaczenie:

Mamy więc:

$ \ Delta _ (x) z = f (x + \ Delta x, y) -f (x, y) $ - częściowy przyrost funkcji $ z = f (x, y) $ względem $ x $;

$ \ Delta _ (y) z = f (x, y + \ Delta y) -f (x, y) $ - częściowy przyrost funkcji $ z = f (x, y) $ względem $ y $;

$ \ Delta z = f (x + \ Delta x, y + \ Delta y) -f (x, y) $ - pełny przyrost funkcji $ z = f (x, y) $.

Przykład 1

Decyzja:

$ \ Delta _ (x) z = x + \ Delta x + y $ - częściowy przyrost funkcji $ z = f (x, y) $ względem $ x $;

$ \ Delta _ (y) z = x + y + \ Delta y $ to częściowy przyrost funkcji $ z = f (x, y) $ względem $ y $.

$ \ Delta z = x + \ Delta x + y + \ Delta y $ - pełny przyrost funkcji $ z = f (x, y) $.

Przykład 2

Oblicz iloraz i całkowity przyrost funkcji $ z = xy $ w punkcie $ (1; 2) $ dla $ \ Delta x = 0,1; \, \, \ Delta y = 0,1 $.

Decyzja:

Zgodnie z definicją przyrostu prywatnego znajdujemy:

$ \ Delta _ (x) z = (x + \ Delta x) \ cdot y $ - częściowy przyrost funkcji $ z = f (x, y) $ względem $ x $

$ \ Delta _ (y) z = x \ cdot (y + \ Delta y) $ - częściowy przyrost funkcji $ z = f (x, y) $ względem $ y $;

Zgodnie z definicją pełnego przyrostu znajdujemy:

$ \ Delta z = (x + \ Delta x) \ cdot (y + \ Delta y) $ - pełny przyrost funkcji $ z = f (x, y) $.

W związku z tym,

\ [\ Delta _ (x) z = (1 + 0,1) \ cdot 2 = 2,2 \] \ [\ Delta _ (y) z = 1 \ cdot (2 + 0,1) = 2,1 \] \ [\ Delta z = (1 + 0,1) \ cpunkt (2 + 0,1) = 1,1 \ cpunkt 2,1 = 2,31. \]

Uwaga 2

Całkowity przyrost danej funkcji $ z = f (x, y) $ nie jest równy sumie jej przyrostów częściowych $ \ Delta _ (x) z $ i $ \ Delta _ (y) z $. Notacja matematyczna: $ \ Delta z \ ne \ Delta _ (x) z + \ Delta _ (y) z $.

Przykład 3

Sprawdź uwagę asercji dla funkcji

Decyzja:

$ \ Delta _ (x) z = x + \ Delta x + y $; $ \ Delta _ (y) z = x + y + \ Delta y $; $ \ Delta z = x + \ Delta x + y + \ Delta y $ (otrzymane w przykładzie 1)

Znajdź sumę przyrostów cząstkowych danej funkcji $ z = f (x, y) $

\ [\ Delta _ (x) z + \ Delta _ (y) z = x + \ Delta x + y + (x + y + \ Delta y) = 2 \ cdot (x + y) + \ Delta x + \ Delta r. \]

\ [\ Delta _ (x) z + \ Delta _ (y) z \ ne \ Delta z. \]

Definicja 2

Jeżeli z każdym potrójnym $ (x, y, z) $ wartości trzech zmiennych niezależnych z pewnego regionu jest powiązana pewna wartość $ w $, to $ w $ mówi się, że jest funkcją trzech zmiennych $ ( x, y, z) $ w tym obszarze.

Oznaczenie: $ w = f (x, y, z) $.

Definicja 3

Jeżeli dla każdego zbioru $ (x, y, z, ..., t) $ wartości zmiennych niezależnych z określonego regionu przypisana jest pewna wartość $ w $, to $ w $ mówi się, że jest funkcją zmiennych $ (x, y, z, ..., t) $ w tej dziedzinie.

Notacja: $ w = f (x, y, z, ..., t) $.

Dla funkcji trzech lub więcej zmiennych, w taki sam sposób jak dla funkcji dwóch zmiennych, przyrosty cząstkowe wyznacza się dla każdej ze zmiennych:

$ \ Delta _ (z) w = f (x, y, z + \ Delta z) -f (x, y, z) $ to częściowy przyrost funkcji $ w = f (x, y, z, . .., t ) $ o $ z $;

$ \ Delta _ (t) w = f (x, y, z, ..., t + \ Delta t) -f (x, y, z, ..., t) $ - częściowy przyrost funkcji $ w = f (x, y, z, ..., t) $ przez $ t $.

Przykład 4

Napisz iloraz i całkowity przyrost funkcji

Decyzja:

Zgodnie z definicją przyrostu prywatnego znajdujemy:

$ \ Delta _ (x) w = ((x + \ Delta x) + y) \ cdot z $ - częściowy przyrost funkcji $ w = f (x, y, z) $ względem $ x $

$ \ Delta _ (y) w = (x + (y + \ Delta y)) \ cdot z $ - częściowy przyrost funkcji $ w = f (x, y, z) $ względem $ y $;

$ \ Delta _ (z) w = (x + y) \ cdot (z + \ Delta z) $ - częściowy przyrost funkcji $ w = f (x, y, z) $ względem $ z $;

Zgodnie z definicją pełnego przyrostu znajdujemy:

$ \ Delta w = ((x + \ Delta x) + (y + \ Delta y)) \ cdot (z + \ Delta z) $ - pełny przyrost funkcji $ w = f (x, y, z) $ .

Przykład 5

Oblicz iloraz i całkowity przyrost funkcji $ w = xyz $ w punkcie $ (1; 2; 1) $ dla $ \ Delta x = 0,1; \, \, \ Delta y = 0,1; \, \, \ Delta z = 0,1 $.

Decyzja:

Zgodnie z definicją przyrostu prywatnego znajdujemy:

$ \ Delta _ (x) w = (x + \ Delta x) \ cdot y \ cdot z $ - częściowy przyrost funkcji $ w = f (x, y, z) $ względem $ x $

$ \ Delta _ (y) w = x \ cdot (y + \ Delta y) \ cdot z $ - częściowy przyrost funkcji $ w = f (x, y, z) $ względem $ y $;

$ \ Delta _ (z) w = x \ cdot y \ cdot (z + \ Delta z) $ - częściowy przyrost funkcji $ w = f (x, y, z) $ względem $ z $;

Zgodnie z definicją pełnego przyrostu znajdujemy:

$ \ Delta w = (x + \ Delta x) \ cdot (y + \ Delta y) \ cdot (z + \ Delta z) $ - pełny przyrost funkcji $ w = f (x, y, z) $.

W związku z tym,

\ [\ Delta _ (x) w = (1 + 0,1) \ cdot 2 \ cdot 1 = 2,2 \] \ [\ Delta _ (y) w = 1 \ cdot (2 + 0,1) \ cdot 1 = 2,1 \] \ [\ Delta _ (y) w = 1 \ cdot 2 \ cdot (1 + 0,1) = 2,2 \] \ [\ Delta z = (1 + 0,1) \ cdot (2 + 0,1) \ cdot (1 + 0,1) = 1,1 \ cdot 2,1 \ cdot 1,1 = 2,541. \]

Z geometrycznego punktu widzenia całkowity przyrost funkcji $ z = f (x, y) $ (z definicji $ \ Delta z = f (x + \ Delta x, y + \ Delta y) -f (x , y) $) jest równy przyrostowi funkcji aplikacji wykresu $ z = f (x, y) $ przy przejściu z punktu $ M (x, y) $ do punktu $ M_ (1) (x + \ Delta x , y + \ Delta y) $ (rys. 1).

Obrazek 1.