Konwersja kompletnego równania kwadratowego w niekompletnym wygląda tak (dla przypadku (b \u003d 0)):

W przypadku przypadków, gdy (c \u003d 0) lub gdy oba współczynniki są zero - wszystko jest podobne.

Należy pamiętać, że nie ma mowy o równości zero (A), nie może być zero, ponieważ w tym przypadku zmieni się w:

Decyzja o niekompletnych równaniu kwadratowych.

Przede wszystkim konieczne jest zrozumienie, że niepełne równanie kwadratowe jest nadal, dlatego można go rozwiązać, a także zwykły kwadratowy (przez). Aby to zrobić, po prostu dodaj brakujący składnik równania za pomocą współczynnika zerowego.

Przykład : Znajdź korzenie równania (3x ^ 2-27 \u003d 0
Decyzja :

		Mamy niepełne równanie kwadratowe z współczynnikiem (b \u003d 0). Oznacza to, że możemy napisać równanie w następującej formie:
(3x ^ 2 + 0 Cdot X-27 \u003d 0)		W rzeczywistości tutaj jest to samo równanie, co na początku, ale teraz można go rozwiązać jako zwykły plac. Najpierw piszemy współczynniki.
(a \u003d 3;) (b \u003d 0;) (c \u003d -27;)		Oblicz dyskryminujący według formuły (d \u003d b ^ 2-4AC)
(D \u003d 0 ^ 2-4 CDOT3 CDOT (-27) \u003d) \(=0+324=324\)		Znajdź korzenie równania według formuł (x_ (1) \u003d) (frac (-b + sqrt (d)) (2a)) i (x_ (2) \u003d) (frac (-b- sqrt (d )) (2a))
(x_ (1) \u003d) (Frac (-0+ sqrt (324)) (2 CDOT3)(\u003d) (18) (6) (\u003d 3) (x_ (2) \u003d) (Frac (-0- sqrt (324)) (2 CDOT3)(\u003d (Frac (-18) (6) (\u003d - 3)		Zapisz odpowiedź

Odpowiedź : (x_ (1) \u003d 3); (x_ (2) \u003d - 3

Przykład : Znajdź korzenie równania (- x ^ 2 + x \u003d 0 \\)
Decyzja :

		Ponownie, niepełne równanie kwadratowe, ale teraz zero jest równe współczynniku (C). Równanie rekordu zgodnie z kompletnymi.

Równania kwadratowe. Dyskryminujący. Rozwiązanie, przykłady.

Uwaga!
Ten temat ma dodatkowe
Materiały w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy silnie "nie bardzo ..."
A dla tych, którzy są "bardzo ...")

Rodzaje równań kwadratowych

Co to jest równanie kwadratowe? Jak to wygląda? W odniesieniu równanie kwadratowe Słowo kluczowe jest "Kwadrat". Oznacza to, że w równaniu przed Musi być na placu na placu. Poza tym, w równaniu może być (i może nie być!) Po prostu x (w pierwszym stopniu) i tylko numer (Wolny Członek). I nie powinno istnieć ICS stopnia, więcej dwóch.

Mówiąc o języku matematycznym, równanie kwadratowe jest równaniem formularza:

Tutaj a, B i z - Niektóre liczby. b i C. - wszystko, a ale- Każdy, ale zero. Na przykład:

Tutaj ale =1; b. = 3; dO. = -4

Tutaj ale =2; b. = -0,5; dO. = 2,2

Tutaj ale =-3; b. = 6; dO. = -18

Cóż, zrozumiałeś ...

W tych równań kwadratowych lewy jest obecny pełen zestaw członkowie. X Plac z współczynnikiem ale,x W pierwszym stopniu ze współczynnikiem b. i darmowy kutas z.

Takie równania kwadratowe są nazywane pełny.

Co jeśli b. \u003d 0, co robimy? Mamy x jest pierwszym stopniem znika. Od mnożenia na zero się dzieje.) Okazuje się, na przykład:

5x 2 -25 \u003d 0,

2x 2 -6x \u003d 0,

- 2 + 4x \u003d 0

Itp. A jeśli zarówno współczynnik, b. i dO. równy zero, nadal jest prostsze:

2x 2 \u003d 0,

-0.3x 2 \u003d 0

Takie równania, w których brakuje czegoś, nazywa się niekompletne równania kwadratowe. Co jest dość logiczne.) Proszę o zauważenie, że X jest obecny na placu na wszystkich równań.

Przy okazji, dlaczego ale Nie może być zero? I zamiast tego zastępujesz ale Nolik.) Znikniemy na placu! Równanie stanie się liniowe. I jest już rozwiązany dość inaczej ...

To wszystkie główne typy równania kwadratowe.. Pełny i niekompletny.

Rozwiązanie równań kwadratowych.

Rozwiązywanie równania pełnych kwadratowych.

Równania kwadratowe są po prostu rozwiązane. Zgodnie z formułami i wyraźnie prostymi zasadami. W pierwszym etapie, dana równanie musi zostać wprowadzone do standardowego formularza, tj. Na myśl:

Jeśli równanie jest przekazane już w tym formularzu - pierwszy etap nie jest potrzebny.) Najważniejsze jest prawidłowe określenie wszystkich współczynników, ale, b. i dO..

Formuła do znalezienia korzeni równania kwadratowego wygląda tak:

Wyrażenie pod znakiem korzenia jest nazywany dyskryminujący. Ale o tym - poniżej. Jak widać, aby znaleźć ICA, używamy tylko a, b i. Te. Współczynniki równania kwadratu. Po prostu starannie zastąp wartości a, B i z W tej formule i rozważamy. Zastąpić z twoimi znakami! Na przykład w równaniu:

ale =1; b. = 3; dO. \u003d -4. Tutaj i napisz:

Przykład jest praktycznie rozwiązany:

To jest odpowiedź.

Wszystko jest bardzo proste. A co myślisz, że niemożliwe jest popełnienie błędu? Cóż, tak, jak ...

Najczęstsze błędy - zamieszanie ze znakami wartości a, B i z. Raczej nie ze swoimi znakami (gdzie jest zdezorientowany?) I przy zmianie wartości ujemnych w formule do obliczania korzeni. Oto szczegółowy wpis formuły z określonymi numerami. Jeśli istnieją problemy z obliczeniami, zrób tak!

Przypuśćmy, że musisz rozwiązać ten:

Tutaj zA. = -6; b. = -5; dO. = -1

Przypuśćmy, że wiesz, że rzadko masz odpowiedzi od pierwszego.

Cóż, nie bądź leniwy. Napisz nadmiar linii zajmie kilka sekund 30. I liczba błędów ostro cięte. Tutaj piszemy szczegółowo, ze wszystkimi wspornikami i znakami:

Wydaje się niezwykle trudne, więc starannie farba. Ale wydaje się tylko. Próbować. Dobrze lub wybierz. Co jest lepsze, szybkie lub w prawo? Również cię kopię. Po chwili zniknie tak uważnie, aby malować wszystko. Sam będzie miał rację. Zwłaszcza jeśli zastosujesz praktyczne techniki, które są opisane poniżej. Ten zły przykład z grupą minusów zostanie rozwiązany łatwo i bez błędów!

Ale często równania kwadratowe wyglądają nieco inaczej. Na przykład, w ten sposób:

Dowiedz się?) Tak! to niekompletne równania kwadratowe..

Decyzja o niekompletnych równaniu kwadratowych.

Można również rozwiązać ogólny formułę. Jest to konieczne, aby poprawnie wyobrazić sobie, co jest równe a, B i z.

Skorygowany? W pierwszym przykładzie a \u003d 1; b \u003d 4; ale dO.? W ogóle nie ma nikogo! Cóż, tak, prawda. W matematyce oznacza to c \u003d 0. ! To wszystko. Zamiast tego zastępujemy w formułii zerowej do, I wszystko się okaże. Podobnie z drugim przykładem. Tylko zero tutaj nie z, ale b. !

Ale niekompletne równania kwadratowe można rozwiązać znacznie łatwiejsze. Bez żadnych formuł. Rozważmy pierwsze niepełne równanie. Co można zrobić po lewej stronie? Możesz sprawić, że jest na wsporniki! Wydobywajmy.

A co z tego? A fakt, że praca jest wtedy zero, a tylko wtedy, gdy niektórzy z mnożników wynosi zero! Nie wierz? Cóż, wymyśl dwa numery niezerowe, które dają zero z mnożącymi!
Nie działa? To jest coś ...
W związku z tym możesz pewnie pisać: x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 4.

Wszystko. Będzie to korzenie naszego równania. Oba są odpowiednie. Przy zamiemieniu któregokolwiek z nich do pierwotnego równania, otrzymujemy wierną tożsamość 0 \u003d 0. Jak widać, rozwiązanie jest znacznie prostsze niż ogólna formuła. Zauważę, przy okazji, który X będzie pierwszym, a druga jest absolutnie obojętna. Wygodny do nagrywania w kilku, x 1. - Co jest mniejsze i x 2. - Co więcej.

Druga równanie można również rozwiązać po prostu. Nośmy 9 na prawą stronę. Dostajemy:

Pozostaje korzeni, który wyciąga z 9 i to jest. Wyszło na to, że:

Również dwa korzenie . x 1 \u003d -3, x 2 \u003d 3.

Więc wszystkie niekompletne równania kwadratowe są rozwiązane. Albo za pomocą wspornika, albo po prostu przeniesienie numeru w prawo, a następnie ekstrahowanie korzenia.
Niezwykle trudno jest mylić te techniki. Po prostu dlatego, że w pierwszym przypadku będziesz musiał wyodrębnić korzeń z XCA, który jest w jakiś sposób nie jest jasny, aw drugim przypadku jest to nic dla nawiasów ...

Dyskryminujący. Formuła dyskryminująca.

magiczne słowo dyskryminujący ! Rzadki uczeń szkoły średniej nie słyszał słowa! Wyrażenie "decyduje o dyskryminowaniu" zwiększy zaufanie i zachęca. Ponieważ nie trzeba czekać na sztuczki od dyskryminacji! Jest prosty i bezproblemowy w obiegu.) Przypominam o najbardziej ogólnej formule do rozwiązywania każdy Równania kwadratowe:

Wyrażenie pod znakiem korzenia jest nazywany dyskryminującym. Zwykle dyskryminujący jest wskazany przez list RE.. Dyskryminacyjna formuła:

D \u003d B 2 - 4AC

A co jest godne uwagi wyrażenie? Dlaczego zasłużyło na specjalną nazwę? W czym znaczenie dyskryminacji? W sumie -b, lub 2a. W tej formule nie zwracają specjalnie ... litery i listów.

Rzecz jest co. Podczas rozwiązywania równania kwadratowego dla tej formuły jest to możliwe Łączne trzy przypadki.

1. Dyskryminacyjny pozytywny. Oznacza to, że możliwe jest wyodrębnienie korzenia. Dobry korzeń jest wyodrębniony lub zły - pytanie jest inne. Ważne jest, aby zasadniczo wyodrębniono. Następnie równanie kwadratowe ma dwa korzenie. Dwa różne rozwiązania.

2. Dyskryminujący wynosi zero. Potem otrzymasz jedno rozwiązanie. Ponieważ zero odejmowanie w liczniku nic nie zmienia. Ściśle mówiąc, to nie jest jeden root, ale dwa identyczne. Ale w wersji uproszczonej jest zwyczajowa jedno rozwiązanie.

3. Dyskryminacyjny jest negatywny. Liczby ujemnej, pierwiastek kwadratowy nie jest usuwany. Dobrze, dobrze. Oznacza to, że nie ma rozwiązań.

Szczerze, kiedy prosta decyzja Równania kwadratowe, koncepcja dyskryminacji nie jest szczególnie wymagana. Wziędzimy wartości współczynników we wzorze, tak, wierzymy. Wszystko dzieje się wszystko, zarówno dwa korzenie, jak i jeden, a nie jeden. Jednak podczas rozwiązywania więcej złożone zadania, bez wiedzy znaczenie i formuła dyskryminujący niewystarczająco. Szczególnie - w równaniach z parametrami. Takie równania są najwyższym pilotem na Gia i Ege!)

Więc, jak rozwiązać równania kwadratowe Przez dyskryminujący pamiętany. Lub dowiedziałem się, że to też nie jest złe.) Wiem, jak poprawnie określić a, B i z. Wiedza, umiejętności ostrożnie zastąpić je w formule głównej i ostrożnie policz wynik. Zdałeś sobie z tego sprawę słowo kluczowe tutaj - ostrożnie?

A teraz należy pamiętać o praktycznych technikach, które dramatycznie zmniejszają liczbę błędów. Najbardziej to z powodu nieuwagi. ... Dla którego to dzieje się boli i boli ...

Recepcja pierwsza . Nie bądź leniwy przed rozwiązaniem równania kwadratowego, aby doprowadzić go do formularza standardowego. Co to znaczy?
Załóżmy, że po wszystkich transformacjach otrzymałeś takie równanie:

Nie spiesz się, aby napisać formułę główną! Prawdopodobnie mylisz współczynniki a, b i s. Buduj przykład prawidłowo. Po pierwsze, X znajduje się na placu, a następnie bez kwadratu, to darmowy kutas. Lubię to:

I nie spiesz się ponownie! Minus przed IX na placu może być zdrowy, aby cię zdenerwować. Zapomnij o tym ... pozbyć się minus. W jaki sposób? Tak, jak nauczany w poprzednim temacie! Konieczne jest pomnożenie całego równania na -1. Dostajemy:

Ale teraz możesz bezpiecznie nagrać formułę do korzeni, rozważ dyskryminujący i przykład. Dore sam. Musisz mieć korzenie 2 i -1.

Przyjęcie dwa. Sprawdź korzenie! Na twierdzeniu Vieta. Nie przerażaj, wyjaśnię wszystko! Czek ostatnia rzecz równanie. Te. Że nagraliśmy formułę korzeni. Jeśli (jak w tym przykładzie) współczynnik a \u003d 1., Sprawdź korzenie łatwo. Wystarczy, aby ich pomnożyć. Powinien być bezpłatny członek, tj. W naszym przypadku -2. Uwaga, nie 2 i -2! Darmowy Dick. ze swoim znakiem . Gdyby nie działało, to znaczy gdzieś nagromadzone. Poszukaj błędu.

Jeśli tak się stało - konieczne jest złożenie korzeni. Ostatni i ostateczny czek. Musi zdarzyć współczynnik b. z naprzeciwko znak. W naszym przypadku -1 + 2 \u003d +1. I współczynnik b.który znajduje się przed IX, równą -1. Więc wszystko jest odpowiednie!
Szkoda, że \u200b\u200bjest tak proste dla przykładów, gdzie X jest czysty, z współczynnikiem a \u003d 1. Ale przynajmniej sprawdzaj takie równania! Będą mniej błędów.

Trzecia . Jeśli w równaniu znajdują się współczynniki frakcyjne, - pozbyć się frakcji! Wiele równania na podstawie wspólny mianownikJak opisano w lekcji "Jak rozwiązać równania? Identyczne transformacje". Podczas pracy z frakcjami błędu, z jakiegoś powodu i wspinać się ...

Nawiasem mówiąc, obiecałem zły przykład z grupą minusów, aby uprościć. Zapraszamy! To jest.

Aby nie być mylone w minusach, równanie na -1 jest dominujące. Dostajemy:

To wszystko! Zdecyduj - jedna przyjemność!

Więc podsumuj temat.

Praktyczne porady:

1. Przed rozwiązaniem dajemy równanie kwadratowe do standardowego formularza, zbudujemy go dobrze.

2. Jeśli współczynnik ujemny jest wart ujemnego współczynnika przed X, wyeliminować swoje mnożenie całego równania na -1.

3. Jeśli współczynniki frakcjonowania wyeliminują frakcję, pomnożenie o całej równaniu do odpowiedniego mnożnika.

4. Jeśli X znajduje się na placu - czyste, współczynnik jest równy, roztwór można łatwo sprawdzić przez twierdzenie Vieta. Zrób to!

Teraz możliwe jest obliczenie.)

Rozwiązuj równania:

8x 2 - 6x + 1 \u003d 0

x 2 + 3x + 8 \u003d 0

x 2 - 4x + 4 \u003d 0

(x + 1) 2 + x + 1 \u003d (x + 1) (x + 2)

Odpowiedzi (w zaburzeniach):

x 1 \u003d 0
x 2 \u003d 5

x 1.2 \u003d.2

x 1 \u003d 2
x 2 \u003d -0.5

x - dowolny numer

x 1 \u003d -3
x 2 \u003d 3

brak rozwiązań

x 1 \u003d 0,25
x 2 \u003d 0,5

Wszystko się zbiega? Doskonały! Równania kwadratowe nie są twoim bólem głowy. Pierwsze trzy okazały się, a reszta - nie? Wtedy problem nie jest w równaniach kwadratowych. Problem polega na identycznych transformacjach równań. Spacer przez odniesienie, jest przydatny.

Tak naprawdę nie dostaje? Lub w ogóle nie działa? Następnie musisz pomóc partycji 555. Tam wszystkie te przykłady zdemontowane wokół kości. Seans główny Błędy w rozwiązywaniu. Oczywiście mówi, o aplikacji identyczne transformacje. W rozwiązywaniu różnych równań. Dużo pomaga!

Jeśli podoba Ci się ta strona ...

Nawiasem mówiąc, mam dla ciebie kolejną kilka ciekawych witryn.)

Dostęp do nich można uzyskać w rozwiązywaniu przykładów i znajdź swój poziom. Testowanie z natychmiastową kontrolą. Ucz się - z zainteresowaniem!)

Możesz zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Rozważ równanie kwadratowe:
(1) .
Równanie kwadratu Korzenie (1) są określane przez wzory:
; .
Te formuły można łączyć w ten sposób:
.
Kiedy znane są korzenie równania kwadratowego, wielomian drugiego stopnia może być reprezentowany jako dzieło czynników (rozkład na mnożnikach):
.

Następnie wierzymy w to - rzeczywiste liczby.
Rozważać dyskryminujący równanie kwadratu.:
.
Jeśli dyskryminacyjny jest dodatni, a następnie równanie kwadratowe (1) ma dwa różne ważne korzenie:
; .
Następnie rozkład kwadratu Trzy spadki na czynniki ma formularz:
.
Jeśli dyskryminujący jest zero, a następnie równanie kwadratowe (1) ma dwa wielokrotne (równe) ważny root:
.
Faktoryzacja:
.
Jeśli dyskryminacyjny jest ujemny, wówczas równanie kwadratowe (1) ma dwa kompleksowo sprzężone korzeń:
;
.
Tutaj - jednostka wyimaginowana;
I - rzeczywiste i wyimaginowane części korzeni:
; .
Następnie

.

Interpretacja graficzna

Jeśli budowa funkcja harmonogramu.
,
Która jest parabola, wtedy punkt przecięcia wykresu z osią będzie korzenie równania
.
Gdy harmonogram przecina osi odcięcia (oś) w dwóch punktach.
Kiedy wykres dotyczy osi odciętej w jednym punkcie.
Gdy harmonogram nie przecina osi odciętej.

Poniżej znajdują się przykłady takich wykresów.

Przydatne wzory związane z równaniem kwadratowym

(F.1) ;
(F.2) ;
(F.3) .

Wyjście formuły do \u200b\u200bkorzeni równania kwadratowego

Przeprowadzamy transformacje i stosujemy wzory (F.1) i (F.3):




,
Gdzie
; .

Mamy więc formułę wielomianową drugiego stopnia w formie:
.
Stąd widać, że równanie

wykonane at
i.
Oznacza to, że korzenie równania kwadratu są korzenie
.

Przykłady określania korzeni równania kwadratowego

Przykład 1.

(1.1) .

Decyzja

.
W porównaniu z naszym równaniem (1.1), znajdziemy wartości współczynników:
.
Znajdujemy dyskryminujący:
.
Ponieważ dyskryminujący jest pozytywny, równanie ma dwa ważne korzenie:
;
;
.

Stąd dostajemy rozkład kwadratowych trzech stawek na mnożnikach:

.

Funkcja harmonogramu Y \u003d 2 x 2 + 7 x + 3 Przekracza osi odciętej w dwóch punktach.

Konstruujemy harmonogram funkcji
.
Harmonogram tej funkcji jest parabola. Umieszcza osi odciętej (oś) w dwóch punktach:
i.
Punkty te są korzenie o początkowym równaniu (1.1).

Odpowiedź

;
;
.

Przykład 2.

Znajdź korzenie równania kwadratowego:
(2.1) .

Decyzja

Piszemy równanie kwadratowe w formie ogólnej:
.
W porównaniu z początkowym równaniem (2.1) znajdziemy wartości współczynników:
.
Znajdujemy dyskryminujący:
.
Ponieważ dyskryminujący jest zero, równanie ma dwa wielokrotne (równe) korzeń:
;
.

Następnie rozkład trzech decyzji dotyczących mnożników ma formularz:
.

Wykres funkcyjny y \u003d x 2 - 4 x + 4 Wymaga osi odciętej w jednym punkcie.

Konstruujemy harmonogram funkcji
.
Harmonogram tej funkcji jest parabola. Dotyczy osi odciętej (osi) w jednym punkcie:
.
Ten punkt jest źródłem początkowego równania (2.1). Ponieważ ten root wkracza dwukrotnie rozszerzanie mnożników:
,
Że taki korzeń jest nazywany wielokrotnością. Oznacza to, że uważa się, że istnieją dwa równe korzenie:
.

Odpowiedź

;
.

Przykład 3.

Znajdź korzenie równania kwadratowego:
(3.1) .

Decyzja

Piszemy równanie kwadratowe w formie ogólnej:
(1) .
Przepiszliśmy początkowe równanie (3.1):
.
Porównaj C (1), znajdziemy wartości współczynników:
.
Znajdujemy dyskryminujący:
.
Dyskryminujący jest negatywny. Dlatego nie ma ważnych korzeni.

Możesz znaleźć złożone korzenie:
;
;

Konstruujemy harmonogram funkcji
.
Harmonogram tej funkcji jest parabola. Nie przecina osi odcięcia (osi). Dlatego nie ma ważnych korzeni.

Odpowiedź

Nie ma ważnych korzeni. Roings są zintegrowane:
;
;
.

Wiadomo, że jest to szczególny przykład wykonania równości AH 2 + VX + C \u003d O, gdzie A, B i C - rzeczywiste współczynniki w nieznanym X, a gdzie A ≠ OH, a B i C będą zerami - jednocześnie lub osobno. Na przykład C \u003d O, w ≠ o lub odwrotnie. Prawie pamiętamy definicję równania kwadratowego.

Wyzwalacz drugiego stopnia wynosi zero. Pierwszy współczynnik A ≠ O, B i C może przyjmować dowolne wartości. Wartość zmiennej X będzie wtedy, gdy substytucja zmienia ją do właściwej równości numerycznej. Mieszkamy na prawdziwe korzenie, chociaż rozwiązania równania mogą być również w pełni nazywane równaniem, w którym żadna z współczynników nie jest równa, a ≠ O, w ≠ O, z ≠ o.
Rozwiążę przykład. 2x 2 -9x-5 \u003d O, znajdziemy
D \u003d 81 + 40 \u003d 121,
D Dodato, a następnie dostępne są korzenie, x 1 \u003d (9 + √121): 4 \u003d 5, a drugi x 2 \u003d (9-121): 4 \u003d -O, 5. Sprawdź pomoże upewnić się, że są poprawne.

Oto fazowany roztwór równania kwadratowego

Przez dyskryminujący każde równanie można rozwiązać w lewej części, z której znany kwadrat trzy stale na a ≠. W naszym przykładzie. 2x 2 -9x-5 \u003d 0 (AH2 + VX + C \u003d O)

Rozważmy, jakie są niepełne równania drugiego stopnia

1. aH2 + VH \u003d O. Wolny termin, współczynnik z X 0, oto zero, w ≠ o.
   Jak rozwiązać niekompletne równanie kwadratowe tego typu? Przeprowadzamy x na szelki. Pamiętamy, kiedy produkt dwóch mnożników wynosi zero.
   x (AX + B) \u003d O, może być, gdy X \u003d O lub gdy AX + B \u003d O.
   Po podjęciu decyzji o drugie mamy x \u003d -b / a.
   W rezultacie mamy korzenie x 1 \u003d 0, zgodnie z obliczeniami x 2 \u003d -b / a.
2. Teraz współczynnik w X jest równy, a nie równy (≠) o.
   x 2 + c \u003d o. Przesyłamy prawą stroną równości, otrzymujemy x 2 \u003d -c. To równanie ma tylko prawdziwe korzenie, gdy liczba dodatnia (z \u003co),
   X 1 jest równy √ (-C), odpowiednio X 2 - -√ (-C). W przeciwnym razie równanie w ogóle nie ma korzeni.
3. Ostatni wariant: B \u003d C \u003d O, to znaczy AH 2 \u003d O. Oczywiście takie proste równanie ma jeden root, x \u003d o.

Prywatne przypadki

Jak rozwiązać rozważane rozważane równanie kwadratowe, a teraz weźmiemy jakieś rodzaje.

• W równaniu pełnym kwadratowym, drugi współczynnik w X - liczba parzysta.
  Niech K \u003d O, 5b będzie. Mamy formuły do \u200b\u200bobliczania dyskryminacji i korzeni.
  D / 4 \u003d K 2 - AC, korzenie są obliczane SO X 1.2 \u003d (-K ± √ (D / 4) / A D\u003e O.
  x \u003d -k / a dla d \u003d o.
  Brak korzeni dla d \u003co.
• Są zmniejszone równania kwadratowe, gdy współczynnik w X na placu wynosi 1, są one przyjmowane do nagrywania x 2 + px + q \u003d o. Wszystkie powyższe wzory rozprzestrzenia się na nich, obliczenia są nieco prostsze.
  Przykład, x 2 -4x-9 \u003d 0. Oblicz D: 2 2 +9, D \u003d 13.
  x 1 \u003d 2 + √13, x 2 \u003d 2-√13.
• Ponadto można go łatwo używać, mówi, że ilość korzeni równania równania jest -P, drugi współczynnik z minus (oznaczający przeciwny znak), a produkt tego samego korzeni będzie Q, wolny członek. Sprawdź, jak można łatwo ustalić korzenie tego równania. Dla nieopłaconego (ze wszystkimi współczynnikami niezerowymi), ten teore ma zastosowanie tak: suma x 1 + x 2 jest równa -b / a, produkt X 1 · x 2 jest równy C / A.

Ilość wolnego członka C i pierwszy współczynnik A jest równy współczynnikowi b. W tej sytuacji równanie ma nie mniej niż jeden root (łatwo udowodnione), pierwszy jest koniecznie równy -1, a drugi- ° C / A, jeśli istnieje. Jak rozwiązać niepełne równanie kwadratowe, możesz się sprawdzić. Bułka z masłem. Współczynniki mogą być w niektórych stosunkach między sobą.

• x 2 + x \u003d O, 7x 2 -7 \u003d O.
• Suma wszystkich współczynników jest równa.
  Korzenie w takim równaniu - 1 i s / a. Przykład, 2x 2 -15x + 13 \u003d O.
  x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 13/2.

Istnieje wiele innych sposobów rozwiązania różnych równań drugiego stopnia. Tutaj na przykład metoda izolacji z tego wielomianu kompletnego kwadratu. Metody graficzne. trochę. Kiedy często zajmujesz się takimi przykładami, nauczysz się "kliknąć" ich, jak nasiona, ponieważ wszystkie sposoby automatycznie przychodzą na myśl.

W nowoczesne społeczeństwo Zdolność do wykonywania działań z równaniami zawierającymi zmienną podniesioną do kwadratu może być przydatna w wielu obszarach działalności i jest szeroko stosowana w praktyce w naukach i rozwój techniczny. Dowody na to mogą służyć projektowi naczyń morskich i rzecznych, samolotów i pocisków. Za pomocą takich obliczeń, trajektorie ruchu różnych ciał, w tym obiektów kosmicznych. Przykłady z roztworem równań kwadratowych są wykorzystywane nie tylko w prognozowaniu ekonomicznym, w projekcie i budowie budynków, ale także w najbardziej zwyczajnych przypadkowych okolicznościach. Mogą być potrzebne w kampaniach turystycznych, w sportach, w sklepach i w innych samych sytuacjach.

Łamamy wyrażenie na składnikach mnożników

Stopień równania zależy od maksymalnej wartości stopnia zmiennej, która zawiera ten wyrażenie. W przypadku, gdy jest 2, taka równanie jest właśnie nazywane kwadratem.

Jeśli język formuł wyraża, wówczas wskazane wyrażenia, bez względu na to, jak wyglądają, zawsze może być spowodowany formularzem, gdy lewa część wyrażenia składa się z trzech terminów. Wśród nich: AX 2 (to znaczy zmienna wzniesiona na kwadrat z jego współczynnikiem), BX (nieznany bez kwadratu z jego współczynnikiem) i C (bezpłatny komponent, czyli zwykłą liczbę). Wszystko to po prawej stronie jest równe 0. W przypadku, gdy nie ma żadnego z jego składników terminów, z wyjątkiem AX 2, nazywa się to niepełnym równaniem kwadratowym. Przykłady z rozwiązywaniem takich zadań, wartość zmiennych, w których łatwo jest znaleźć, należy wziąć pod uwagę pierwsze.

Jeśli wyrażenie pojawia się w postaci wygląda w taki sposób, że dwa, dokładniej, ax 2 i BX, wyrażenie na wyrażaniu wyrażenia po prawej stronie, najłatwiej jest znaleźć zmienną do wsporników. Teraz nasze równanie będzie wyglądać tak: X (AX + B). Następnie staje się oczywiste, że lub X \u003d 0 lub zadanie jest zmniejszone do znalezienia zmiennej z następującej ekspresji: AX + B \u003d 0. Określony podyktowany jeden z właściwości mnożenia. Reguła mówi, że produkt dwóch czynników daje w wyniku 0 tylko wtedy, gdy jeden z nich jest zero.

Przykład

x \u003d 0 lub 8x - 3 \u003d 0

W rezultacie otrzymujemy dwa korzenie równania: 0 i 0,375.

Równania tego rodzaju mogą opisać ruch organów pod wpływem ciężkości, który rozpoczął ruch z pewnego punktu przyjętego na początku współrzędnych. Tutaj rekord matematyczny przyjmuje następujący formularz: Y \u003d V 0 T + GT 2/2. Zastępowanie niezbędnych wartości, co odpowiada prawej stronie 0 i znalezienie możliwych nieznanych, można znaleźć czas przechodzący od momentu wzrostu ciała do jej upadku, a także wiele innych wartości. Ale porozmawiamy o tym później.

Rozkład wyrażenia mnożnik

Opisana powyżej zasada umożliwia rozwiązanie określonych zadań i więcej złożone przypadki. Rozważmy przykłady z rozwiązywanie równań kwadratowych tego typu.

X 2 - 33x + 200 \u003d 0

To kwadratowy Treechlen. Jest kompletny. Aby rozpocząć, przekształcamy wyrażenie i rozkładamy go do mnożników. Są one otrzymane dwa: (X-8) i (X-25) \u003d 0. W rezultacie mamy dwa korzenie 8 i 25.

Przykłady z rozwiązywanie równań kwadratowych w klasie 9 Pozwól tej metodzie znaleźć zmienną w wyrażeniach nie tylko drugi, ale nawet trzecie i czwarte zamówienia.

Na przykład: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 \u003d 0. Dzięki rozkładowi właściwej części mnożników ze zmienną otrzymuje one trzy, to znaczy (x + 1), (X-3) i ( x + 3).

W rezultacie staje się oczywiste, że to równanie ma trzy korzenie: -3; -jeden; 3.

Ekstrahować kwadratowy korzeń

Innym przypadkiem niepełnego równania drugiego rzędu jest wyrażenie, w języku liter zaprezentowanych w taki sposób, że prawa strona jest zbudowana ze składników AX 2 i C. Tutaj, za wartość zmiennej, bezpłatny członek jest przekazywany prawa strona, a następnie z obu części równości jest ekstrahowane pierwiastek kwadratowy. Uwaga powinna być wypłacona jak w ta sprawa Korzenie równania zwykle dwa. Wyjątkiem może być równa tylko równości, zazwyczaj nie zawierająca terminu C, gdzie zmienna ma zero, a także opcje wyrażeń, gdy prawa strona okazuje się negatywna. W ostatni przypadek W ogóle nie ma rozwiązań, ponieważ powyższe działania nie mogą być wykonane z korzeniami. Należy wziąć pod uwagę przykłady rozwiązań równań kwadratowych tego typu.

W tym przypadku korzenie równania będą -4 i 4.

Obliczanie działki gruntowej

Potrzeba takich obliczeń pojawiła się w głębokiej starożytności, ponieważ rozwój matematyki pod wieloma względami w tych odległych czasach było spowodowane koniecznością określenia najbardziej dokładności obszaru i obwodu działek.

Przykłady z rozwiązywanie równań kwadratowych sporządzonych na podstawie zadań tego rodzaju należy rozważyć nam.

Powiedzmy więc, że jest prostokątna działka, której długość jest 16 metrów więcej niż szerokość. Należy znaleźć długość, szerokość i obwód witryny, jeśli wiadomo, że jego obszar jest równy 612 m 2.

Rozpoczęcie sprawy, najpierw dokonać niezbędnego równania. Oznaczono przez x szerokość witryny, a jego długość będzie (x + 16). Od napisanego wynika z tego, że obszar jest określony przez wyrażenie x (x + 16), co zgodnie ze stanem naszego problemu wynosi 612. Oznacza to, że X (x + 16) \u003d 612.

Rozwiązanie kompletnych równań kwadratowych, a tym wyrażeniem jest precyzyjnie taki, nie może być przeprowadzany tak samo. Dlaczego? Chociaż lewa strona nadal zawiera dwa czynniki, produkt nie jest w ogóle równy 0, więc stosowane są tutaj inne metody.

Dyskryminujący

Przede wszystkim wyprodukujemy niezbędną konwersję, a następnie pojawienie się tego wyrażenia będzie wyglądać tak: x 2 + 16x - 612 \u003d 0. Oznacza to, że dostaliśmy wyrażenie w postaci odpowiadającej wcześniej określonej standardzie, gdzie a \u003d 1, B \u003d 16, C \u003d -612.

Może to być przykład rozwiązywania równań kwadratowych przez dyskryminujący. Tutaj wymagane obliczenia są dokonywane zgodnie ze schematem: D \u003d B 2 - 4AC. Ta wartość pomocnicza nie tylko umożliwia znalezienie żądanych wartości w równaniu drugiego rzędu, określa numer możliwe opcje. W przypadku D\u003e 0 istnieją dwa; Kiedy d \u003d 0 jest jeden root. W przypadku D.<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

O korzeniach i ich formule

W naszym przypadku dyskryminujący wynosi: 256 - 4 (-612) \u003d 2704. Sugeruje to, że odpowiedź z naszego zadania istnieje. Jeśli znasz, K, roztwór równań kwadratowych musi być kontynuowany przy użyciu formuły poniżej. Pozwala obliczyć korzenie.

Oznacza to, że w prezentowanym przypadku: x 1 \u003d 18, x 2 \u003d -34. Druga wersja w tym dylemacie nie może być rozwiązaniem, ponieważ wymiary terenu nie mogą być mierzone w wartościach ujemnych, oznacza to x (tj. Szerokość witryny) wynosi 18 m. Stąd, obliczamy długość: 18 + 16 \u003d 34 i obwód 2 (34+ 18) \u003d 104 (m 2).

Przykłady i cele

Nadal studiujemy równania kwadratowe. Przykłady i szczegółowe rozwiązanie kilku z nich zostaną podane dalej.

1) 15x 2 + 20x + 5 \u003d 12x 2 + 27x + 1

Przesyłamy wszystko do lewej części równości, podejmiemy transformację, czylimy, otrzymujemy formę równania, która nazywana jest standardem, i wyrównuje ją z zerową.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 \u003d 0

Po złożeniu, definiujemy dyskryminujący: d \u003d 49 - 48 \u003d 1. Więc nasze równanie będą miały dwa korzenie. Obliczamy je zgodnie z powyższą formułą, co oznacza, że \u200b\u200bpierwszy z nich jest 4/3, a drugi.

2) Teraz ujawnij zagadki innego rodzaju.

Dowiedz się, czy są jakieś korzenie X 2 - 4x + 5 \u003d 1? Aby uzyskać kompleksową odpowiedź, dajemy wielomian odpowiednią znajomości i obliczyć dyskryminujący. W określonym przykładzie roztwór równania kwadratu nie jest konieczne, ponieważ istota zadania nie jest w ogóle. W tym przypadku d \u003d 16 - 20 \u003d 4, co oznacza, że \u200b\u200bnie ma żadnych korzeni.

Twierdzenie Vieta.

Równania kwadratowe są dogodnie rozwiązane przez powyższe wzory i dyskryminujący, gdy pierwiastek kwadratowy jest wyodrębniony z ostatniej wartości. Ale to nie zawsze. Istnieje jednak wiele sposobów na uzyskanie zmiennych w tym przypadku. Przykład: Rozwiązania równań kwadratowych na twierdzeniu Vieta. Nazwa została nazwana mieszkała w XVI wieku we Francji i wykonała genialną karierę z powodu jego matematycznego talentu i dziedzińców. Portret widać go w artykule.

Wzór, który znany francuski był następujący. Udowodnił, że korzenie równania w ilości są numerycznie równe -P \u003d b / a, a ich produkt odpowiada q \u003d c / a.

Teraz rozważ konkretne zadania.

3x 2 + 21x - 54 \u003d 0

Dla prostoty przekształcamy wyrażenie:

x 2 + 7x - 18 \u003d 0

Używamy twierdzenia Vieta, daje nam następujące: ilość korzeni wynosi -7, a ich praca -18. Stąd otrzymujemy, że korzenie równania są liczbami -9 i 2. Po dokonaniu czeku upewnij się, że te wartości zmiennych są naprawdę odpowiednie w wyrażeniu.

Równanie wykresu i paraboli

Koncepcje funkcji kwadratowej i równania kwadratowe są ściśle podłączone. Przykłady tego zostały już wcześniej pokazane. Teraz rozważ trochę zagadki matematyczne trochę więcej. Każde równanie opisanego typu można sobie wyobrazić. Podobna zależność pobierana w formie wykresu nazywana jest parabola. Jej różne typy są pokazane na poniższym rysunku.

Każda parabola ma wierzchołek, czyli punkt, z którego wyjdą jego gałęzie. W przypadku, gdy A\u003e 0 pozostawiają wysoką infinity, a kiedy<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Wizualne obrazy funkcji pomagają rozwiązać wszelkie równania, w tym kwadratowe. Ta metoda nazywa się grafiką. A wartość zmiennej X jest współrzędna odcięcia w punktach, w których wykres wykresu przekracza od 0x. Współrzędne wierzchołków można znaleźć zgodnie z podanym wzorem x 0 \u003d -b / 2a. I, zastępując wynikową wartość do początkowego równania funkcji, możesz się nauczyć y 0, czyli druga współrzędna wierzchołka Pearabol należąca do osi rzędnej.

Przekraczanie gałęzi paraboli z osią odcięcia

Przykłady z roztworami równań kwadratowych są bardzo, ale istnieją ogólne wzory. Rozważ ich. Jasne jest, że przecięcie wykresu z osią 0x przy A\u003e 0 jest możliwe tylko wtedy, gdy 0 otrzymuje wartości ujemne. I dla A.<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. W przeciwnym razie D.<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Zgodnie z wykresem można określić parabole i korzenie. Naprzeciwko jest również prawdziwe. Oznacza to, że jeśli otrzymasz wizualny obraz funkcji kwadratowej, nie jest łatwe, możesz utożsamiać odpowiednią część ekspresji do 0 i rozwiązać uzyskane równanie. I znając punkty przecięcia z osią 0x, łatwiej jest zbudować harmonogram.

Z historii

Przy pomocy równania zawierającej zmienną podniesioną do placu, w dawnych dniach nie tylko obliczania matematyczne i określili obszar liczb geometrycznych. Podobne obliczenia starożytnych były potrzebne do wielkich odkryć w dziedzinie fizyki i astronomii, a także do skompilowania prognoz astrologicznych.

Ponieważ nowoczesne dane naukowe sugerują, wśród pierwszych rozwiązań równań kwadratowych, mieszkańcy Babilonu wzrosły. Stało się to w czterech stuleciach przed rozpoczęciem naszej epoki. Oczywiście ich obliczenia w korzeniu różniły się od teraz przyjęte i okazały się wiele prymitywne. Na przykład Mezopotamian matematycy nie mieli pojęcia o istnieniu negatywnych liczb. Nieznajomi mieli także inne subtelności od tych, którzy znają każdego ucznia naszego czasu.

Być może nawet wcześniej naukowcy z Babilonu, roztwór równań kwadratowych, poświęcono mędrzec Indii Budhoyama. Stało się to w około ośmiu stuleci przed erą Chrystusa. Prawda, równanie drugiego rzędu, metody rozwiązywania, które prowadził, był najbardziej jednoczesny. Oprócz niego takie pytania były zainteresowane starymi i chińskimi matematykami. W Europie równania kwadratowe zaczęły rozwiązywać tylko na początku XIII wieku, ale później zostali wykorzystani w swojej pracy tak wielkich naukowców jak Newton, Kartezjaki i wiele innych.