Inversul unei matrice este o matrice. Aflarea matricei inverse

Matricea $A^(-1)$ se numește inversul matricei pătrate $A$ dacă $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$, unde $E $ este matricea de identitate, a cărei ordine este egală cu ordinea matricei $A$.

O matrice nesingulară este o matrice al cărei determinant nu este egal cu zero. În consecință, o matrice degenerată este una al cărei determinant este egal cu zero.

Matricea inversă $A^(-1)$ există dacă și numai dacă matricea $A$ este nesingulară. Dacă matricea inversă $A^(-1)$ există, atunci este unică.

Există mai multe moduri de a găsi inversul unei matrice și ne vom uita la două dintre ele. Această pagină va discuta despre metoda matricei adiacente, care este considerată standard în majoritatea cursurilor superioare de matematică. A doua modalitate de a găsi matricea inversă (metoda transformărilor elementare), care implică utilizarea metodei Gauss sau a metodei Gauss-Jordan, este luată în considerare în partea a doua.

Metoda matricei adjuncte (unirii).

Fie dată matricea $A_(n\times n)$. Pentru a găsi matricea inversă $A^(-1)$ sunt necesari trei pași:

Găsiți determinantul matricei $A$ și asigurați-vă că $\Delta A\neq 0$, i.e. că matricea A este nedegenerată.
Compuneți complementele algebrice $A_(ij)$ ale fiecărui element al matricei $A$ și notați matricea $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ din rezultatul găsit. complemente algebrice.
Scrieți matricea inversă ținând cont de formula $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$.

Matricea $(A^(*))^T$ este adesea denumită matrice adjunctă (mutuală, aliată) a lui $A$.

Dacă decizia este luată manual, atunci prima metodă este bună numai pentru matrice de ordine relativ mici: a doua (), a treia (), a patra (). Pentru a găsi matricea inversă pentru o matrice de ordin superior, se folosesc alte metode. De exemplu, metoda Gauss, care este discutată în partea a doua.

Exemplul #1

Găsiți matricea inversă la matricea $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(matrice) \right)$.

Deoarece toate elementele coloanei a patra sunt egale cu zero, atunci $\Delta A=0$ (adică matricea $A$ este degenerată). Deoarece $\Delta A=0$, nu există o matrice inversă cu $A$.

Răspuns: matricea $A^(-1)$ nu există.

Exemplul #2

Găsiți matricea inversă matricei $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$. Efectuați o verificare.

Folosim metoda matricei adiacente. Mai întâi, să găsim determinantul matricei date $A$:

$$ \Delta A=\left| \begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$

Deoarece $\Delta A \neq 0$, atunci există matricea inversă, deci continuăm soluția. Găsirea complementelor algebrice

\begin(aligned) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(aligned)

Compuneți o matrice de complemente algebrice: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.

Transpuneți matricea rezultată: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (cel rezultat matricea este adesea numită matrice adjunctă sau de unire la matricea $A$). Folosind formula $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, avem:

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right) $$

Deci matricea inversă se găsește: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array) \dreapta) $. Pentru a verifica adevărul rezultatului, este suficient să verificați adevărul uneia dintre egalitățile: $A^(-1)\cdot A=E$ sau $A\cdot A^(-1)=E$. Să verificăm egalitatea $A^(-1)\cdot A=E$. Pentru a lucra mai puțin cu fracții, vom înlocui matricea $A^(-1)$ nu în forma $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ end(array)\right)$ dar ca $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \ sfârşit(matrice)\dreapta)$:

$$ A^(-1)\cdot(A) =-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end( matrice)\right)\cdot\left(\begin(array) (cc) -5 și 7 \\ 9 și 8 \end(array)\right) =-\frac(1)(103)\cdot\left( \begin(array) (cc) -103 & 0 \\ 0 & -103 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array) )\dreapta) =E $$

Răspuns: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right)$.

Exemplul #3

Găsiți inversul matricei $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)$. Efectuați o verificare.

Să începem prin a calcula determinantul matricei $A$. Deci, determinantul matricei $A$ este:

$$ \Delta A=\left| \begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right| = 18-36+56-12=26. $$

Deoarece $\Delta A\neq 0$, atunci matricea inversă există, deci continuăm soluția. Găsim complementele algebrice ale fiecărui element din matricea dată:

Compunem o matrice de adunări algebrice și o transpunem:

$$ A^*=\left(\begin(array) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(array) \right); \; (A^*)^T=\left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right) . $$

Folosind formula $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, obținem:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right) $$

Deci $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$. Pentru a verifica adevărul rezultatului, este suficient să verificați adevărul uneia dintre egalitățile: $A^(-1)\cdot A=E$ sau $A\cdot A^(-1)=E$. Să verificăm egalitatea $A\cdot A^(-1)=E$. Pentru a lucra mai puțin cu fracții, vom înlocui matricea $A^(-1)$ nu în forma $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$, dar ca $\frac(1)(26)\ cdot \left( \begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)$:

$$ A\cdot(A^(-1)) =\left(\begin(array)(ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4\\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)\cdot \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\ end(array) \right) =\frac(1)(26)\cdot\left(\begin(array) (ccc) 26 & 0 & 0 \\ 0 & 26 & 0 \\ 0 & 0 & 26\end (matrice) \right) =\left(\begin(array) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end(array) \right) =E $$

Verificarea a fost trecută cu succes, matricea inversă $A^(-1)$ a fost găsită corect.

Răspuns: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$.

Exemplul #4

Găsiți inversul matricei $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \end(matrice) \right)$.

Pentru o matrice de ordinul al patrulea, găsirea matricei inverse folosind adunări algebrice este oarecum dificilă. Totuși, astfel de exemple se găsesc în lucrările de control.

Pentru a găsi matricea inversă, mai întâi trebuie să calculați determinantul matricei $A$. Cel mai bun mod de a face acest lucru în această situație este extinderea determinantului într-un rând (coloană). Selectăm orice rând sau coloană și găsim complementul algebric al fiecărui element din rândul sau coloana selectată.

De exemplu, pentru primul rând obținem:

$$ A_(11)=\left|\begin(array)(ccc) 7 & 5 & 2\\ 5 & 3 & 7\\ 8 & -8 & -3 \end(array)\right|=556; \; A_(12)=-\left|\begin(array)(ccc) 9 & 5 & 2\\ 7 & 3 & 7 \\ -4 & -8 & -3 \end(array)\right|=-300 ; $$ $$ A_(13)=\left|\begin(array)(ccc) 9 & 7 & 2\\ 7 & 5 & 7\\ -4 & 8 & -3 \end(array)\right|= -536;\; A_(14)=-\left|\begin(array)(ccc) 9 & 7 & 5\\ 7 & 5 & 3\\ -4 & 8 & -8 \end(array)\right|=-112. $$

Determinantul matricei $A$ se calculează prin următoarea formulă:

$$ \Delta(A)=a_(11)\cdot A_(11)+a_(12)\cdot A_(12)+a_(13)\cdot A_(13)+a_(14)\cdot A_(14) )=6\cdot 556+(-5)\cdot(-300)+8\cdot(-536)+4\cdot(-112)=100. $$

$$ \begin(aligned) & A_(21)=-77;\;A_(22)=50;\;A_(23)=87;\;A_(24)=4;\\ & A_(31) =-93;\;A_(32)=50;\;A_(33)=83;\;A_(34)=36;\\ & A_(41)=473;\;A_(42)=-250 ;\;A_(43)=-463;\;A_(44)=-96. \end(aliniat) $$

Matricea complementului algebric: $A^*=\left(\begin(array)(cccc) 556 & -300 & -536 & -112\\ -77 & 50 & 87 & 4 \\ -93 & 50 & 83 & 36 \\ 473 & -250 & -463 & -96\end(array)\right)$.

Matrice atașată: $(A^*)^T=\left(\begin(array) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 și -463\\ -112 și 4 și 36 și -96\end(array)\right)$.

Matrice inversa:

$$ A^(-1)=\frac(1)(100)\cdot \left(\begin(array) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463\\ -112 & 4 & 36 & -96 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/ 25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \end(array) \right) $$

Verificarea, dacă se dorește, se poate face în același mod ca în exemplele anterioare.

Răspuns: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \end(array) \right) $.

În partea a doua va fi luată în considerare o altă modalitate de găsire a matricei inverse, care presupune utilizarea transformărilor metodei Gauss sau a metodei Gauss-Jordan.

Continuăm să vorbim despre acțiuni cu matrice. Și anume, în cursul studierii acestei prelegeri, veți învăța cum să găsiți matricea inversă. Învăța. Chiar dacă matematica este îngustă.

Ce este o matrice inversă? Aici putem face o analogie cu reciprocele: luați în considerare, de exemplu, numărul optimist 5 și reciproca acestuia. Produsul acestor numere este egal cu unu: . La fel este și cu matricele! Produsul unei matrice și inversul acesteia este - matrice de identitate, care este analogul matriceal al unității numerice. Cu toate acestea, mai întâi, vom rezolva o problemă practică importantă, și anume, vom învăța cum să găsim această matrice foarte inversă.

Ce trebuie să știți și să puteți găsi matricea inversă? Trebuie să poți decide determinanți. Trebuie să înțelegi ce este matriceși să poată efectua unele acțiuni cu ei.

Există două metode principale pentru a găsi matricea inversă:
prin utilizarea adunări algebriceși folosind transformări elementare.

Astăzi vom studia primul mod, mai ușor.

Să începem cu cele mai teribile și de neînțeles. Considera pătrat matrice . Matricea inversă poate fi găsită folosind următoarea formulă:

Unde este determinantul matricei, este matricea transpusă de complemente algebrice ale elementelor corespunzătoare ale matricei.

Conceptul de matrice inversă există numai pentru matrice pătrată, matrice „două câte două”, „trei câte trei”, etc.

Notaţie: După cum probabil ați observat deja, inversul unei matrice este notat cu un superscript

Să începem cu cel mai simplu caz - o matrice două câte două. Cel mai adesea, desigur, „trei cu trei” este necesar, dar, cu toate acestea, recomand insistent să studiați o sarcină mai simplă pentru a învăța principiul general al soluției.

Exemplu:

Aflați inversul unei matrice

Noi decidem. Secvența de acțiuni este descompusă convenabil în puncte.

1) Mai întâi găsim determinantul matricei.

Dacă înțelegerea acestei acțiuni nu este bună, citiți materialul Cum se calculează determinantul?

Important! Dacă determinantul matricei este ZERO– matrice inversă NU EXISTA.

În exemplul luat în considerare, după cum sa dovedit, , ceea ce înseamnă că totul este în ordine.

2) Găsiți matricea minorilor.

Pentru a ne rezolva problema, nu este necesar să știm ce este un minor, totuși, este indicat să citiți articolul Cum se calculează determinantul.

Matricea minorilor are aceleași dimensiuni ca și matricea , adică în acest caz .
Cazul este mic, rămâne să găsiți patru numere și să le puneți în loc de asteriscuri.

Înapoi la matricea noastră
Să ne uităm mai întâi la elementul din stânga sus:

Cum să-l găsești minor?
Și acest lucru se face astfel: tăiați MENTAL rândul și coloana în care se află acest element:

Numărul rămas este minor al elementului dat, pe care o scriem în matricea noastră de minori:

Luați în considerare următorul element de matrice:

Trimiteți mental rândul și coloana în care se află acest element:

Ceea ce rămâne este minorul acestui element, pe care îl scriem în matricea noastră:

În mod similar, luăm în considerare elementele din al doilea rând și găsim minorii acestora:

Gata.

E simplu. În matricea minorilor, ai nevoie SCHIMBARE SEMNE pentru doua numere:

Aceste numere sunt pe care le-am încercuit!

este matricea complementelor algebrice ale elementelor corespondente ale matricei .

Și doar ceva...

4) Aflați matricea transpusă de adunări algebrice.

este matricea transpusă de complemente algebrice ale elementelor corespunzătoare ale matricei .

5) Răspuns.

Amintiți-vă formula noastră
Toate găsite!

Deci matricea inversă este:

Cel mai bine este să lăsați răspunsul așa cum este. NU ESTE NEVOIEîmpărțiți fiecare element al matricei la 2, deoarece se vor obține numere fracționale. Această nuanță este discutată mai detaliat în același articol. Acțiuni cu matrice.

Cum se verifică soluția?

Înmulțirea matriceală trebuie efectuată fie

Examinare:

deja menționate matrice de identitate este o matrice cu unități activate diagonala principalăși zerouri în altă parte.

Astfel, matricea inversă este găsită corect.

Dacă efectuați o acțiune, atunci rezultatul va fi și o matrice de identitate. Acesta este unul dintre puținele cazuri în care multiplicarea matricei este permutabilă, mai multe informații găsiți în articol Proprietăți ale operațiilor pe matrice. Expresii matriceale. De asemenea, rețineți că în timpul verificării, constanta (fracția) este adusă înainte și procesată la sfârșit - după înmulțirea matricei. Aceasta este o luare standard.

Să trecem la un caz mai comun în practică - matricea de trei câte trei:

Exemplu:

Aflați inversul unei matrice

Algoritmul este exact același ca pentru cazul doi câte doi.

Găsim matricea inversă prin formula: , unde este matricea transpusă de complemente algebrice ale elementelor corespunzătoare ale matricei .

1) Aflați determinantul matricei.

Aici se dezvăluie determinantul pe prima linie.

De asemenea, nu uitați asta, ceea ce înseamnă că totul este bine - matrice inversă există.

2) Găsiți matricea minorilor.

Matricea minorilor are dimensiunea „trei câte trei” , și trebuie să găsim nouă numere.

Voi arunca o privire la câțiva minori în detaliu:

Luați în considerare următorul element de matrice:

Trimiteți MENTAL rândul și coloana în care se află acest element:

Cele patru numere rămase sunt scrise cu determinantul „două câte doi”

Acest determinant doi câte doi și este un minor al elementului dat. Trebuie calculat:

Totul, minorul este găsit, îl scriem în matricea noastră de minori:

După cum probabil ați ghicit, există nouă determinanți doi câte doi de calculat. Procesul, desigur, este trist, dar cazul nu este cel mai dificil, poate fi și mai rău.

Ei bine, pentru a consolida - găsirea unui alt minor în imagini:

Încercați să calculați singuri restul minorilor.

Rezultat final:
este matricea de minore a elementelor corespondente ale matricei .

Faptul că toți minorii s-au dovedit a fi negativi este pură coincidență.

3) Aflați matricea adunărilor algebrice.

În matricea minorilor, este necesar SCHIMBARE SEMNE strict pentru următoarele elemente:

În acest caz:

Găsirea matricei inverse pentru matricea „patru cu patru” nu este luată în considerare, deoarece numai un profesor sadic poate da o astfel de sarcină (pentru ca elevul să calculeze un determinant „patru cu patru” și 16 determinanți „trei cu trei”). . În practica mea, a existat un singur astfel de caz, iar clientul testului a plătit pentru chinul meu destul de scump =).

Într-o serie de manuale, manuale, puteți găsi o abordare ușor diferită pentru găsirea matricei inverse, dar vă recomand să utilizați algoritmul de soluție de mai sus. De ce? Pentru că probabilitatea de a te confunda în calcule și semne este mult mai mică.

Acest subiect este unul dintre cele mai urâte printre studenți. Mai rău, probabil, doar determinanți.

Trucul este că însuși conceptul de element invers (și acum nu vorbesc doar despre matrice) ne trimite la operația de înmulțire. Chiar și în programa școlară, înmulțirea este considerată o operație complexă, iar înmulțirea matriceală este în general o temă separată, căreia am un paragraf întreg și o lecție video dedicată acesteia.

Astăzi nu vom intra în detaliile calculelor matriceale. Nu uitați: cum sunt notate matricele, cum sunt înmulțite și ce rezultă din aceasta.

Recenzie: Înmulțirea matricelor

În primul rând, să cădem de acord asupra notării. O matrice $A$ de dimensiunea $\left[ m\times n \right]$ este pur și simplu un tabel de numere cu exact $m$ rânduri și $n$ coloane:

\=\underbrace(\left[ \begin(matrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ (( a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\end(matrice) \right])_(n)\]

Pentru a nu confunda accidental rândurile și coloanele pe alocuri (credeți-mă, la examen puteți confunda unul cu doi - ce putem spune despre unele rânduri de acolo), aruncați o privire la imagine:

Determinarea indicilor pentru celulele matriceale

Ce se întâmplă? Dacă plasăm sistemul de coordonate standard $OXY$ în colțul din stânga sus și direcționăm axele astfel încât să acopere întreaga matrice, atunci fiecare celulă a acestei matrice poate fi asociată în mod unic cu coordonatele $\left(x;y \right) $ - acesta va fi numărul rândului și numărul coloanei.

De ce sistemul de coordonate este plasat exact în colțul din stânga sus? Da, pentru că de acolo începem să citim orice texte. Este foarte ușor de reținut.

De ce axa $x$ este îndreptată în jos și nu spre dreapta? Din nou, este simplu: luați sistemul de coordonate standard (axa $x$ merge la dreapta, axa $y$ merge în sus) și rotiți-l astfel încât să încapă matricea. Aceasta este o rotație de 90 de grade în sensul acelor de ceasornic - rezultatul îl vedem în imagine.

În general, ne-am dat seama cum să determinăm indicii elementelor matricei. Acum să ne ocupăm de înmulțire.

Definiție. Matricele $A=\left[ m\times n \right]$ și $B=\left[ n\times k \right]$, când numărul de coloane din prima se potrivește cu numărul de rânduri din a doua, sunt numite consistente.

Este în ordinea aceea. Se poate fi ambiguu și se poate spune că matricele $A$ și $B$ formează o pereche ordonată $\left(A;B \right)$: dacă sunt consistente în această ordine, atunci nu este deloc necesar ca $B $ și $A$, acelea. perechea $\left(B;A \right)$ este de asemenea consistentă.

Numai matricele consistente pot fi multiplicate.

Definiție. Produsul matricelor consistente $A=\left[ m\times n \right]$ și $B=\left[ n\times k \right]$ este noua matrice $C=\left[ m\times k \right ]$ , ale căror elemente $((c)_(ij))$ se calculează prin formula:

\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]

Cu alte cuvinte: pentru a obține elementul $((c)_(ij))$ al matricei $C=A\cdot B$, trebuie să luați $i$-rândul primei matrice, $j$ -a coloană a celei de-a doua matrice, apoi înmulțiți în perechi elementele din acest rând și coloană. Adunați rezultatele.

Da, este o definiție dură. Din aceasta decurg imediat mai multe fapte:

Înmulțirea prin matrice este, în general, necomutativă: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
Totuși, înmulțirea este asociativă: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
Și chiar distributiv: $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
Și din nou distributiv: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.

Distributivitatea înmulțirii a trebuit să fie descrisă separat pentru suma multiplicatorului din stânga și din dreapta doar din cauza necomutativității operației de înmulțire.

Dacă, totuși, se dovedește că $A\cdot B=B\cdot A$, astfel de matrici se numesc permutabile.

Printre toate matricele care sunt înmulțite cu ceva acolo, există unele speciale - cele care, atunci când sunt înmulțite cu orice matrice $A$, dau din nou $A$:

Definiție. O matrice $E$ se numește identitate dacă $A\cdot E=A$ sau $E\cdot A=A$. În cazul unei matrice pătrate $A$ putem scrie:

Matricea de identitate este un invitat frecvent în rezolvarea ecuațiilor matriceale. Și, în general, un invitat frecvent în lumea matricelor. :)

Și din cauza acestui $E$, cineva a venit cu tot jocul care va fi scris în continuare.

Ce este o matrice inversă

Deoarece înmulțirea matricei este o operație care necesită foarte mult timp (trebuie să înmulțiți o grămadă de rânduri și coloane), conceptul de matrice inversă nu este, de asemenea, cel mai banal. Și are nevoie de niște explicații.

Definiție cheie

Ei bine, este timpul să cunoaștem adevărul.

Definiție. Matricea $B$ se numește inversul matricei $A$ dacă

Matricea inversă este notată cu $((A)^(-1))$ (a nu se confunda cu gradul!), deci definiția poate fi rescrisă astfel:

S-ar părea că totul este extrem de simplu și clar. Dar atunci când se analizează o astfel de definiție, apar imediat câteva întrebări:

Există întotdeauna o matrice inversă? Și dacă nu întotdeauna, atunci cum să determinați: când există și când nu?
Și cine a spus că o astfel de matrice este exact una? Ce se întâmplă dacă pentru o matrice originală $A$ există o mulțime întreagă de inverse?
Cum arată toate aceste „reversuri”? Și cum le numeri de fapt?

În ceea ce privește algoritmii de calcul - vom vorbi despre asta puțin mai târziu. Dar la restul întrebărilor vom răspunde chiar acum. Să le aranjam sub forma unor aserțiuni-leme separate.

Proprietăți de bază

Să începem cu cum ar trebui să arate matricea $A$ pentru ca aceasta să aibă $((A)^(-1))$. Acum ne vom asigura că ambele matrice trebuie să fie pătrate și de aceeași dimensiune: $\left[ n\times n \right]$.

Lema 1. Având în vedere o matrice $A$ și inversul ei $((A)^(-1))$. Atunci ambele matrice sunt pătrate și au aceeași ordine $n$.

Dovada. Totul este simplu. Fie matricea $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$. Deoarece produsul $A\cdot ((A)^(-1))=E$ există prin definiție, matricele $A$ și $((A)^(-1))$ sunt consistente în această ordine:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( alinia)\]

Aceasta este o consecință directă a algoritmului de multiplicare a matricei: coeficienții $n$ și $a$ sunt „tranzit” și trebuie să fie egali.

În același timp, se definește și înmulțirea inversă: $((A)^(-1))\cdot A=E$, deci matricele $((A)^(-1))$ și $A$ sunt de asemenea, consecvent în această ordine:

\[\begin(align) & \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end( alinia)\]

Astfel, fără pierderea generalității, putem presupune că $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$. Cu toate acestea, conform definiției lui $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$, deci dimensiunile matricelor sunt exact aceleași:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \end(align)\]

Deci, se dovedește că toate cele trei matrice - $A$, $((A)^(-1))$ și $E$ - au dimensiunea $\left[ n\times n \right]$. Lema este dovedită.

Ei bine, asta e deja bine. Vedem că numai matricele pătrate sunt inversabile. Acum să ne asigurăm că matricea inversă este întotdeauna aceeași.

Lema 2. Având în vedere o matrice $A$ și inversul ei $((A)^(-1))$. Atunci această matrice inversă este unică.

Dovada. Să începem de la opus: să fie matricea $A$ să aibă cel puțin două instanțe de inversă — $B$ și $C$. Atunci, conform definiției, următoarele egalități sunt adevărate:

\[\begin(align) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \end(align)\]

Din lema 1 concluzionăm că toate cele patru matrice $A$, $B$, $C$ și $E$ sunt pătrate de aceeași ordine: $\left[ n\times n \right]$. Prin urmare, produsul este definit:

Deoarece înmulțirea matriceală este asociativă (dar nu comutativă!), putem scrie:

\[\begin(align) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Rightarrow B=C. \\ \end(align)\]

Avem singura opțiune posibilă: două copii ale matricei inverse sunt egale. Lema este dovedită.

Raționamentul de mai sus repetă aproape textual demonstrația unicității elementului invers pentru toate numerele reale $b\ne 0$. Singura adăugare semnificativă este luarea în considerare a dimensiunii matricelor.

Cu toate acestea, încă nu știm nimic despre dacă vreo matrice pătrată este inversabilă. Aici determinantul ne vine în ajutor - aceasta este o caracteristică cheie pentru toate matricele pătrate.

Lema 3. Dată o matrice $A$. Dacă matricea $((A)^(-1))$ inversă cu aceasta există, atunci determinantul matricei originale este diferit de zero:

\[\stanga| A \dreapta|\ne 0\]

Dovada. Știm deja că $A$ și $((A)^(-1))$ sunt matrici pătrate de dimensiune $\left[ n\times n \right]$. Prin urmare, pentru fiecare dintre ele este posibil să se calculeze determinantul: $\left| A \right|$ și $\left| ((A)^(-1)) \dreapta|$. Totuși, determinantul produsului este egal cu produsul determinanților:

\[\stanga| A\cdot B \right|=\left| A \right|\cdot \left| B \right|\Rightarrow \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \dreapta|\]

Dar conform definiției lui $A\cdot ((A)^(-1))=E$, iar determinantul lui $E$ este întotdeauna egal cu 1, deci

\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| E\dreapta|; \\ & \left| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \right|=1. \\ \end(align)\]

Produsul a două numere este egal cu unul numai dacă fiecare dintre aceste numere este diferit de zero:

\[\stanga| A \right|\ne 0;\quad \left| ((A)^(-1)) \dreapta|\ne 0.\]

Deci, se dovedește că $\left| A \dreapta|\ne 0$. Lema este dovedită.

De fapt, această cerință este destul de logică. Acum vom analiza algoritmul de găsire a matricei inverse - și va deveni complet clar de ce, în principiu, nu poate exista nicio matrice inversă cu un determinant zero.

Dar mai întâi, să formulăm o definiție „auxiliară”:

Definiție. O matrice degenerată este o matrice pătrată de dimensiunea $\left[ n\times n \right]$ al cărei determinant este zero.

Astfel, putem afirma că orice matrice inversabilă este nedegenerată.

Cum se află matricea inversă

Acum vom lua în considerare un algoritm universal pentru găsirea matricilor inverse. În general, există doi algoritmi general acceptați și îl vom lua în considerare și pe al doilea astăzi.

Cea care va fi luată în considerare acum este foarte eficientă pentru matrice de dimensiune $\left[ 2\times 2 \right]$ și - parțial - de dimensiune $\left[ 3\times 3 \right]$. Dar pornind de la dimensiunea $\left[ 4\times 4 \right]$ este mai bine să nu-l folosești. De ce - acum vei înțelege totul.

Adunări algebrice

Pregateste-te. Acum va fi durere. Nu, nu-ți face griji: o asistentă frumoasă în fustă, ciorapi cu dantelă nu vin la tine și nu-ți vor face o injecție în fese. Totul este mult mai prozaic: adăugările algebrice și Majestatea Sa „Matricea Unirii” vin la tine.

Să începem cu cea principală. Să fie o matrice pătrată de mărimea $A=\left[ n\times n \right]$ ale cărei elemente sunt numite $((a)_(ij))$. Apoi, pentru fiecare astfel de element, se poate defini un complement algebric:

Definiție. Complement algebric $((A)_(ij))$ la elementul $((a)_(ij))$ din $i$-lea rând și $j$-a coloană a matricei $A=\left [ n \times n \right]$ este o construcție a formei

\[((A)_(ij))=((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]

Unde $M_(ij)^(*)$ este determinantul matricei obținute din $A$ inițial prin ștergerea aceluiași $i$-lea rând și $j$-a coloană.

Din nou. Complementul algebric al elementului de matrice cu coordonatele $\left(i;j \right)$ se notează $((A)_(ij))$ și se calculează conform schemei:

În primul rând, ștergem $i$-rândul și $j$-a coloană din matricea originală. Obținem o nouă matrice pătrată și notăm determinantul ei ca $M_(ij)^(*)$.
Apoi înmulțim acest determinant cu $((\left(-1 \right))^(i+j))$ - la început această expresie poate părea uimitoare, dar de fapt doar aflăm semnul din fața lui $ M_(ij)^(*) $.
Numărăm - obținem un anumit număr. Acestea. adunarea algebrică este doar un număr, nu o matrice nouă și așa mai departe.

Matricea $M_(ij)^(*)$ însăși este numită minoră complementară elementului $((a)_(ij))$. Și în acest sens, definiția de mai sus a unui complement algebric este un caz special al unei definiții mai complexe – cea pe care am considerat-o în lecția despre determinant.

Notă importantă. De fapt, în matematica „adulților”, adunările algebrice sunt definite după cum urmează:

Luăm $k$ rânduri și $k$ coloane într-o matrice pătrată. La intersecția lor, obținem o matrice de dimensiunea $\left[ k\times k \right]$ — determinantul său se numește minor de ordin $k$ și este notat cu $((M)_(k))$.

Apoi tăiem aceste $k$ rânduri și $k$ coloane „selectate”. Din nou, obținem o matrice pătrată - determinantul ei se numește minor complementar și este notat cu $M_(k)^(*)$.

Înmulțiți $M_(k)^(*)$ cu $((\left(-1 \right))^(t))$, unde $t$ este (atenție acum!) suma numerelor tuturor rândurilor selectate si coloane. Aceasta va fi adunarea algebrică.

Aruncă o privire la al treilea pas: există de fapt o sumă de termeni de 2k$! Alt lucru este că pentru $k=1$ obținem doar 2 termeni - aceștia vor fi aceiași $i+j$ - „coordonatele” elementului $((a)_(ij))$, pentru care suntem căutând un complement algebric.

Deci astăzi folosim o definiție ușor simplificată. Dar după cum vom vedea mai târziu, va fi mai mult decât suficient. Mult mai important este următorul:

Definiție. Matricea de unire $S$ cu matricea pătrată $A=\left[ n\times n \right]$ este o nouă matrice de dimensiune $\left[ n\times n \right]$, care se obține din $A$ prin înlocuirea $(( a)_(ij))$ cu complemente algebrice $((A)_(ij))$:

\\Rightarrow S=\left[ \begin(matrix) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\end(matrice) \right]\]

Primul gând care apare în momentul realizării acestei definiții este „asta trebuie să numeri în total!” Relaxează-te: trebuie să numeri, dar nu atât. :)

Ei bine, toate acestea sunt foarte frumoase, dar de ce este necesar? Dar de ce.

Teorema principală

Să ne întoarcem puțin înapoi. Amintiți-vă, lema 3 a afirmat că o matrice inversabilă $A$ este întotdeauna nesingulară (adică determinantul său este diferit de zero: $\left| A \right|\ne 0$).

Deci, este și inversul: dacă matricea $A$ nu este degenerată, atunci este întotdeauna inversabilă. Și există chiar și o schemă de căutare $((A)^(-1))$. Verifică:

Teorema matricei inverse. Fie dată o matrice pătrată $A=\left[ n\times n \right]$, iar determinantul ei este diferit de zero: $\left| A \dreapta|\ne 0$. Atunci matricea inversă $((A)^(-1))$ există și se calculează prin formula:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))\]

Și acum - la fel, dar cu un scris de mână lizibil. Pentru a găsi matricea inversă, aveți nevoie de:

Calculați determinantul $\left| A \right|$ și asigurați-vă că este diferit de zero.
Compilați matricea de unire $S$, adică. numărați 100500 de adunări algebrice $((A)_(ij))$ și puneți-le în loc $((a)_(ij))$.
Transpuneți această matrice $S$ și apoi înmulțiți-o cu un număr $q=(1)/(\left| A \right|)\;$.

Si asta e! Se găsește matricea inversă $((A)^(-1))$. Să ne uităm la exemple:

\[\left[ \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrix) \right]\]

Soluţie. Să verificăm reversibilitatea. Să calculăm determinantul:

\[\stanga| A \right|=\stânga| \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrix) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]

Determinantul este diferit de zero. Deci matricea este inversabilă. Să creăm o matrice de unire:

Să calculăm adunările algebrice:

\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2\right|=2; \\ & ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| 5\right|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\left(-1 \right))^(2+1))\cdot \left| 1 \right|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\left(-1 \right))^(2+2))\cdot \left| 3\right|=3. \\ \end(align)\]

Atenție: determinanți |2|, |5|, |1| și |3| sunt determinanții matricilor de dimensiune $\left[ 1\times 1 \right]$, nu module. Acestea. dacă au existat numere negative în determinanți, nu este necesar să se elimine „minus”.

În total, matricea noastră de uniuni arată astfel:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end(array) \right])^(T))=\left[ \begin (matrice)(*(35)(r)) 2 și -1 \\ -5 și 3 \\\end(matrice) \right]\]

OK, totul sa terminat acum. Problema rezolvata.

Răspuns. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \right]$

O sarcină. Aflați matricea inversă:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \]

Soluţie. Din nou, luăm în considerare determinantul:

\[\begin(align) & \left| \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right|=\begin(matrix ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\left (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\end(matrix)= \ \ & =\left(2+1+0 \right)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end(align)\]

Determinantul este diferit de zero - matricea este inversabilă. Dar acum va fi cel mai mic: trebuie să numeri până la 9 (nouă, la naiba!) adunări algebrice. Și fiecare dintre ele va conține calificativul $\left[ 2\times 2 \right]$. A zburat:

\[\begin(matrix) ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrix) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right|=2; \\ ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| \begin(matrix) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\end(matrix) \right|=-1; \\ ((A)_(13))=((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \left| \begin(matrix) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\end(matrix) \right|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\left(-1 \right))^(3+3))\cdot \left| \begin(matrix) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end(matrix) \right|=2; \\ \end(matrice)\]

Pe scurt, matricea de unire va arăta astfel:

Prin urmare, matricea inversă va fi:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(matrix) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\end(matrix) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \ 2 & 1 & -2 \\\end(matrice) \right]\]

Ei bine, asta-i tot. Iată răspunsul.

Răspuns. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end(array) \right ]$

După cum puteți vedea, la sfârșitul fiecărui exemplu, am efectuat o verificare. În acest sens, o notă importantă:

Nu fi lene să verifici. Înmulțiți matricea originală cu inversul găsit - ar trebui să obțineți $E$.

Este mult mai ușor și mai rapid să efectuați această verificare decât să căutați o eroare în calculele ulterioare, atunci când, de exemplu, rezolvați o ecuație matriceală.

Mod alternativ

După cum am spus, teorema matricei inverse funcționează bine pentru dimensiunile $\left[ 2\times 2 \right]$ și $\left[ 3\times 3 \right]$ (în acest din urmă caz, nu este atât de „frumoasă” mai).”), dar pentru matrice mari, începe tristețea.

Dar nu vă faceți griji: există un algoritm alternativ care poate fi folosit pentru a găsi calm inversul chiar și pentru matricea $\left[ 10\times 10 \right]$. Dar, așa cum se întâmplă adesea, pentru a lua în considerare acest algoritm, avem nevoie de puțin fundal teoretic.

Transformări elementare

Printre diferitele transformări ale matricei, există câteva speciale - ele sunt numite elementare. Există exact trei astfel de transformări:

Multiplicare. Puteți lua $i$-al-lea rând (coloană) și îl puteți înmulți cu orice număr $k\ne 0$;
Plus. Adaugă la $i$--lea rând (coloană) orice alt $j$--lea rând (coloană) înmulțit cu orice număr $k\ne 0$ (desigur, $k=0$ este, de asemenea, posibil, dar care este rostul de asta? ?Nimic nu se va schimba însă).
Permutare. Luați rândurile (coloanele) $i$-th și $j$-th și schimbați-le.

De ce aceste transformări sunt numite elementare (pentru matrice mari nu arată atât de elementar) și de ce sunt doar trei dintre ele - aceste întrebări depășesc scopul lecției de astăzi. Prin urmare, nu vom intra în detalii.

Un alt lucru este important: trebuie să realizăm toate aceste perversiuni pe matricea asociată. Da, da, ai auzit bine. Acum va mai exista o definiție - ultima din lecția de astăzi.

Matrice atașată

Cu siguranță la școală ai rezolvat sisteme de ecuații folosind metoda adunării. Ei bine, scădeți altul dintr-o linie, înmulțiți o linie cu un număr - asta-i tot.

Deci: acum totul va fi la fel, dar deja „în mod adult”. Gata?

Definiție. Fie date matricea $A=\left[ n\times n \right]$ și matricea de identitate $E$ de aceeași dimensiune $n$. Apoi matricea asociată $\left[ A\left| E\ dreapta. \right]$ este o nouă matrice $\left[ n\time 2n \right]$ care arată astfel:

\[\left[ A\left| E\ dreapta. \right]=\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\end(matrice) \right]\]

Pe scurt, luăm matricea $A$, în dreapta îi atribuim matricea de identitate $E$ de mărimea cerută, le separăm cu o bară verticală pentru frumusețe - iată-o pe cea atașată. :)

Care e siretlicul? Și iată ce:

Teorema. Fie matricea $A$ să fie inversabilă. Considerăm matricea adjunctă $\left[ A\left| E\ dreapta. \dreapta]$. Dacă se utilizează transformări elementare de șiruri aduceți-l la forma $\left[ E\left| Luminos. \right]$, adică prin înmulțirea, scăderea și rearanjarea rândurilor pentru a obține din $A$ matricea $E$ din dreapta, apoi matricea $B$ obținută în stânga este inversul lui $A$:

\[\left[ A\left| E\ dreapta. \right]\la \left[ E\left| Luminos. \right]\Rightarrow B=((A)^(-1))\]

Este atat de simplu! Pe scurt, algoritmul pentru găsirea matricei inverse arată astfel:

Scrieți matricea asociată $\left[ A\left| E\ dreapta. \dreapta]$;
Efectuați conversii elementare de șir până când în dreapta în loc de $A$ apare $E$;
Desigur, ceva va apărea și în stânga - o anumită matrice $B$. Acesta va fi invers;
PROFIT! :)

Desigur, mult mai ușor de spus decât de făcut. Deci, să ne uităm la câteva exemple: pentru dimensiunile $\left[ 3\times 3 \right]$ și $\left[ 4\times 4 \right]$.

O sarcină. Aflați matricea inversă:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\ ]

Soluţie. Compunem matricea atașată:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 și 1 \\\end(matrice) \right]\]

Deoarece ultima coloană a matricei originale este umplută cu unele, scădeți primul rând din rest:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(matrice) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\\end(matrice)\to \\ & \to \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(matrice) \right] \\ \end(align)\]

Nu mai există unități, cu excepția primei linii. Dar nu o atingem, altfel unitățile proaspăt eliminate vor începe să se „înmulțească” în a treia coloană.

Dar putem scădea a doua linie de două ori din ultima - obținem o unitate în colțul din stânga jos:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(matrice) \right]\begin(matrix) \ \\ \downarrow \\ -2 \\\end(matrice)\to \\ & \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(matrice) \right] \\ \end(align)\]

Acum putem scădea ultimul rând din primul și de două ori din al doilea - în acest fel vom „reduce la zero” prima coloană:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(matrice) \right]\begin(matrix) -1 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrice)\to \\ & \ la \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(matrice) \right] \\ \end(align)\]

Înmulțiți al doilea rând cu −1 și apoi scădeți-l de 6 ori din primul și adăugați 1 dată la ultimul:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \ \\\end(matrice)\la \\ & \la \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) -6 \\ \updownarrow \\ +1 \\\end (matrice)\la \\ & \la \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Rămâne doar să schimbați liniile 1 și 3:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 & 32 & -13 \\\end(matrice) \right]\]

Gata! În dreapta este matricea inversă necesară.

Răspuns. $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\end(array) \right ]$

O sarcină. Aflați matricea inversă:

\[\left[ \begin(matrix) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\end(matrice) \dreapta]\]

Soluţie. Din nou îl compunem pe cel atașat:

\[\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(matrice) \right]\]

Să împrumutăm puțin, să ne îngrijorăm cât de mult trebuie să numărăm acum... și să începem să numărăm. Pentru început, „reducem la zero” prima coloană scăzând rândul 1 din rândurile 2 și 3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(matrice) \right] \\ \end(align)\]

Observăm prea multe „minusuri” în rândurile 2-4. Înmulțiți toate cele trei rânduri cu -1 și apoi ardeți a treia coloană scăzând rândul 3 din rest:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end(matrice) \right]\begin(matrix) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\\end(matrice)\la \\ & \la \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end (matrice) \right]\begin(matrix) -2 \\ -1 \\ \updownarrow \\ -2 \\\end(matrice)\to \\ & \to \left[ \begin(array)( rrrr| rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(matrice) \right] \\ \end(align)\]

Acum este timpul să „prăjim” ultima coloană a matricei originale: scădeți rândul 4 din rest:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array ) \right]\begin(matrix) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(matrice) \right] \\ \end(align)\]

Rola finală: „arzi” a doua coloană scăzând rândul 2 din rândul 1 și 3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end( matrice) \right]\begin(matrix) 6 \\ \updownarrow \\ -5 \\ \ \\\end(matrice)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Și din nou, matricea de identitate din stânga, deci inversul din dreapta. :)

Răspuns. $\left[ \begin(matrix) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\end(matrice) \right]$

OK, totul sa terminat acum. Verificați singuri - sunt casat. :)

Considerăm o matrice pătrată. Notăm prin Δ = det A determinantul său. Un pătrat B este (OM) pentru un pătrat A de același ordin dacă produsul lor A*B = B*A = E, unde E este matricea de identitate de același ordin ca A și B.

Un pătrat A se numește nedegenerat, sau nesingular, dacă determinantul său este diferit de zero și degenerat sau special, dacă Δ = 0.

Teorema. Pentru ca A să aibă inversă, este necesar și suficient ca determinantul său să fie diferit de zero.

(OM) A, notat cu A -1, astfel încât B \u003d A -1 și este calculat prin formula

, (1)

unde А i j - complemente algebrice ale elementelor a i j , Δ = detA.

Calcularea A -1 prin formula (1) pentru matrice de ordin înalt este foarte laborioasă, așa că în practică este convenabil să găsiți A -1 folosind metoda transformărilor elementare (EP). Orice non-singular A prin intermediul EP de numai coloane (sau numai rânduri) poate fi redus la unitatea E. Dacă EP-urile efectuate peste matricea A sunt aplicate în aceeași ordine unității E, atunci rezultatul va fi A -1 . Este convenabil să executați un EP pe A și E în același timp, scriind ambele una lângă alta prin linia A|E. Dacă doriți să găsiți A -1 , ar trebui să utilizați numai rânduri sau numai coloane în conversii.

Găsirea matricei inverse folosind complemente algebrice

Exemplul 1. Pentru găsiți A-1.

Soluţie. Găsim mai întâi determinantul A
prin urmare, (OM) există și o putem găsi prin formula: , unde A i j (i,j=1,2,3) - complemente algebrice ale elementelor a i j ale A originalului.

Complementul algebric al elementului a ij este determinantul sau minorul M ij . Se obține prin ștergerea coloanei i și a rândului j. Minorul este apoi înmulțit cu (-1) i+j , adică. A ij =(-1) i+j M ij

Unde .

Găsirea matricei inverse folosind transformări elementare

Exemplul 2. Folosind metoda transformărilor elementare, găsiți A -1 pentru: A \u003d.

Soluţie. Atribuim originalului A din dreapta o unitate de același ordin: . Cu ajutorul transformărilor elementare ale coloanei, reducem „jumătatea” stângă la cea unitară, efectuând simultan exact astfel de transformări pe „jumătatea” dreaptă.
Pentru a face acest lucru, schimbați prima și a doua coloană: ~. Adăugăm primul la a treia coloană, iar primul înmulțit cu -2 la a doua: . Din prima coloană scadem secunda dublată, iar din a treia - a doua înmulțită cu 6; . Să adăugăm a treia coloană la prima și a doua: . Înmulțiți ultima coloană cu -1: . Tabelul pătrat obținut în dreapta barei verticale este inversul lui A -1. Asa de,
.

O matrice inversă pentru una dată este o astfel de matrice, înmulțirea celei originale cu care dă o matrice de identitate: O condiție obligatorie și suficientă pentru prezența unei matrice inverse este inegalitatea determinantului celei originale (care la rândul său implică că matricea trebuie să fie pătrată). Dacă determinantul unei matrice este egal cu zero, atunci se numește degenerat și o astfel de matrice nu are inversă. În matematica superioară, matricele inverse sunt importante și sunt folosite pentru a rezolva o serie de probleme. De exemplu, pe aflarea matricei inverse se construieşte o metodă matriceală pentru rezolvarea sistemelor de ecuaţii. Site-ul nostru de servicii permite calcula inversul matricei online două metode: metoda Gauss-Iordan și folosind matricea adunărilor algebrice. Prima implică un număr mare de transformări elementare în cadrul matricei, a doua - calculul determinantului și adunărilor algebrice la toate elementele. Pentru a calcula determinantul unei matrice online, puteți utiliza celălalt serviciu al nostru - Calcularea determinantului unei matrice online

Găsiți matricea inversă pe site

site-ul web vă permite să găsiți matrice inversă online rapid si gratuit. Pe site se fac calcule de către serviciul nostru și se afișează un rezultat cu o soluție detaliată de găsire matrice inversă. Serverul oferă întotdeauna doar răspunsul exact și corect. În sarcini prin definiție matrice inversă online, este necesar ca determinantul matrici era diferit de zero, altfel site-ul web va raporta imposibilitatea de a găsi matricea inversă datorită faptului că determinantul matricei originale este egal cu zero. Găsirea sarcinii matrice inversăîntâlnit în multe ramuri ale matematicii, fiind unul dintre cele mai de bază concepte ale algebrei și un instrument matematic în problemele aplicate. Independent definirea matricei inverse necesită efort considerabil, mult timp, calcule și mare grijă pentru a nu face o derapaj sau o mică eroare în calcule. Prin urmare, serviciul nostru găsirea matricei inverse online vă va facilita foarte mult sarcina și va deveni un instrument indispensabil pentru rezolvarea problemelor matematice. Chiar daca tu găsiți matricea inversă dvs., vă recomandăm să vă verificați soluția pe serverul nostru. Introduceți matricea dumneavoastră originală în Calculate Inverse Matrix Online și verificați răspunsul. Sistemul nostru nu greșește niciodată și găsește matrice inversă dimensiune dată în mod pe net imediat! Pe site site-ul web intrările de caractere sunt permise în elemente matrici, în acest caz matrice inversă online vor fi prezentate sub formă simbolică generală.