Cum să găsiți a1 în formula de progresie aritmetică. matrice inversă

Deci, servicii pentru rezolvarea matricelor online:

Serviciul pentru lucrul cu matrice vă permite să efectuați transformări elementare de matrice.
Dacă aveți o sarcină pentru a efectua o transformare mai complexă, atunci acest serviciu ar trebui să fie folosit ca constructor.

Exemplu... Matrici date Ași B, trebuie să găsesc C = A -1 * B + B T,

Ar trebui mai întâi să găsești matrice inversăA1 = A-1, folosind serviciul de găsire a matricei inverse;
Mai departe, după găsirea matricei A1 Fă-o înmulțirea matricealăA2 = A1 * B utilizarea serviciului de multiplicare matrice;
Hai să executăm transpunerea matricealăA3 = B T (serviciu de găsire a matricei transpuse);
Și ultimul lucru - găsiți suma matricelor CU = A2 + A3(serviciu de calcul al sumei matricelor) - și obținem un răspuns cu cea mai detaliată soluție !;

Produsul matricelor

Acesta este un serviciu online în doi pasi:

Introduceți prima matrice factorială A
Introduceți al doilea factor de matrice sau vector coloană B

Înmulțirea matrice-vector

Înmulțirea unei matrice cu un vector poate fi găsită folosind serviciul Înmulțirea matricei
(Primul factor va fi matricea dată, al doilea factor va fi coloana formată din elementele vectorului dat)

Acesta este un serviciu online în doi pasi:

Introduceți matricea A, pentru care trebuie să găsiți matricea inversă
Obțineți un răspuns cu o soluție detaliată pentru găsirea matricei inverse

Determinant al unei matrice

Acesta este un serviciu online în un pas:

Introduceți matricea A, pentru care trebuie să găsiți determinantul matricei

Transpunerea matricei

Aici puteți urmări algoritmul de transpunere a matricei și puteți afla cum să rezolvați singur astfel de probleme.
Acesta este un serviciu online în un pas:

Introduceți matricea A a fi transpus

Rangul matricei

Acesta este un serviciu online în un pas:

Introduceți matricea A, pentru care trebuie să găsiți rangul

Valori proprii matrice și vectori proprii matrice

Acesta este un serviciu online în un pas:

Introduceți matricea A, pentru care trebuie să găsiți vectori proprii și valori proprii (valori proprii)

Exponentiarea unei matrice

Acesta este un serviciu online în doi pasi:

Introduceți matricea A, pe care o vei ridica la putere
Introduceți un număr întreg q- grad

Matricea $ A ^ (- 1) $ se numește inversă față de matricea pătrată $ A $ dacă este îndeplinită condiția $ A ^ (- 1) \ cdot A = A \ cdot A ^ (- 1) = E $ , unde $ E $ Este matricea de identitate, a cărei ordine este egală cu ordinea matricei $ A $.

Matrice nedegenerată - o matrice, al cărei determinant nu este egal cu zero. În consecință, o matrice degenerată este una cu determinant zero.

Matricea inversă $ A ^ (- 1) $ există dacă și numai dacă matricea $ A $ este nedegenerată. Dacă matricea inversă $ A ^ (- 1) $ există, atunci este unică.

Există mai multe moduri de a găsi inversul unei matrice și ne vom uita la două dintre ele. Această pagină va acoperi metoda matricei adiacente, care este considerată standard în majoritatea cursurilor superioare de matematică. A doua metodă de găsire a matricei inverse (metoda transformărilor elementare), care implică utilizarea metodei Gauss sau a metodei Gauss-Jordan, este discutată în partea a doua.

Metoda matricei adjuncte

Fie dată matricea $ A_ (n \ ori n) $. Pentru a găsi inversul matricei $ A ^ (- 1) $, sunt necesari trei pași:

Aflați determinantul matricei $ A $ și asigurați-vă că $ \ Delta A \ neq 0 $, i.e. că matricea A este nedegenerată.
Alcătuiți complementele algebrice $ A_ (ij) $ ale fiecărui element al matricei $ A $ și scrieți matricea $ A_ (n \ ori n) ^ (*) = \ stânga (A_ (ij) \ dreapta) $ din a găsit complemente algebrice.
Scrieți matricea inversă ținând cont de formula $ A ^ (- 1) = \ frac (1) (\ Delta A) \ cdot (A ^ (*)) ^ T $.

Matricea $ (A ^ (*)) ^ T $ este adesea menționată ca fiind alăturată (reciprocă, alăturată) matricei $ A $.

Dacă soluția se face manual, atunci prima metodă este bună numai pentru matrici de ordine relativ mici: a doua (), a treia (), a patra (). Alte metode sunt folosite pentru a găsi inversul unei matrice de ordin superior. De exemplu, metoda Gauss, care este discutată în partea a doua.

Exemplul #1

Aflați inversul lui $ A = \ left (\ begin (array) (cccc) 5 & -4 & 1 & 0 \\ 12 & -11 & 4 & 0 \\ -5 & 58 & 4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \ end (matrice) \ dreapta) $.

Deoarece toate elementele coloanei a patra sunt egale cu zero, atunci $ \ Delta A = 0 $ (adică matricea $ A $ este degenerată). Deoarece $ \ Delta A = 0 $, matricea inversă matricei $ A $ nu există.

Răspuns: matricea $ A ^ (- 1) $ nu există.

Exemplul nr. 2

Aflați inversul matricei $ A = \ left (\ begin (array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \ end (array) \ right) $. Verifica.

Folosim metoda matricei adiacente. În primul rând, găsim determinantul matricei date $ A $:

$$ \ Delta A = \ stânga | \ begin (array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \ end (array) \ right | = -5 \ cdot 8-7 \ cdot 9 = -103. $$

Deoarece $ \ Delta A \ neq 0 $, atunci matricea inversă există, deci vom continua soluția. Găsirea complementelor algebrice

\ begin (aliniat) & A_ (11) = (- 1) ^ 2 \ cdot 8 = 8; \; A_ (12) = (- 1) ^ 3 \ cdot 9 = -9; \\ & A_ (21) = (- 1) ^ 3 \ cdot 7 = -7; \; A_ (22) = (- 1) ^ 4 \ cdot (-5) = - 5. \\ \ end (aliniat)

Compunem o matrice din complemente algebrice: $ A ^ (*) = \ left (\ begin (array) (cc) 8 & -9 \\ -7 & -5 \ end (array) \ right) $.

Transpuneți matricea rezultată: $ (A ^ (*)) ^ T = \ left (\ begin (array) (cc) 8 & -7 \\ -9 & -5 \ end (array) \ right) $ (resultant matricea este adesea denumită matrice adjunctă sau adjunctă matricei $ A $). Folosind formula $ A ^ (- 1) = \ frac (1) (\ Delta A) \ cdot (A ^ (*)) ^ T $, avem:

$$ A ^ (- 1) = \ frac (1) (- 103) \ cdot \ stânga (\ begin (array) (cc) 8 & -7 \\ -9 & -5 \ end (array) \ right) = \ stânga (\ începe (matrice) (cc) -8/103 & 7/103 \\ 9/103 & 5/103 \ end (matrice) \ dreapta) $$

Deci inversul se găsește: $ A ^ (- 1) = \ stânga (\ begin (array) (cc) -8/103 & 7/103 \\ 9/103 & 5/103 \ end (array) \ right) $. Pentru a verifica adevărul rezultatului, este suficient să verificați adevărul uneia dintre egalitățile: $ A ^ (- 1) \ cdot A = E $ sau $ A \ cdot A ^ (- 1) = E $. Să verificăm egalitatea $ A ^ (- 1) \ cdot A = E $. Pentru a lucra mai puțin cu fracții, vom înlocui matricea $ A ^ (- 1) $ nu sub forma $ \ left (\ begin (array) (cc) -8/103 & 7/103 \\ 9/103 & 5/103 \ end (array) \ right) $ și ca $ - \ frac (1) (103) \ cdot \ left (\ begin (array) (cc) 8 & -7 \\ -9 & -5 \ end (matrice ) \ dreapta) $:

$$ A ^ (- 1) \ cdot (A) = - \ frac (1) (103) \ cdot \ left (\ begin (array) (cc) 8 & -7 \\ -9 & -5 \ end ( matrice) \ dreapta) \ cdot \ stânga (\ begin (array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \ end (array) \ right) = - \ frac (1) (103) \ cdot \ left ( \ begin (array) (cc) -103 & 0 \\ 0 & -103 \ end (array) \ right) = \ left (\ begin (array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end (array) ) \ dreapta) = E $$

Răspuns: $ A ^ (- 1) = \ stânga (\ begin (array) (cc) -8/103 & 7/103 \\ 9/103 & 5/103 \ end (array) \ right) $.

Exemplul nr. 3

Aflați inversul matricei $ A = \ left (\ begin (array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2 \ end (array) \ right) $. Verifica.

Să începem prin a calcula determinantul matricei $ A $. Deci, determinantul matricei $ A $ este următorul:

$$ \ Delta A = \ stânga | \ begin (matrice) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2 \ end (matrice) \ dreapta | = 18-36 + 56-12 = 26. $$

Deoarece $ \ Delta A \ neq 0 $, atunci matricea inversă există, deci vom continua soluția. Găsim complementele algebrice ale fiecărui element dintr-o matrice dată:

$$ \ begin (aliniat) & A_ (11) = (- 1) ^ (2) \ cdot \ left | \ begin (array) (cc) 9 & 4 \\ 3 & 2 \ end (array) \ right | = 6; \; A_ (12) = (- 1) ^ (3) \ cdot \ stânga | \ begin (array) (cc) -4 & 4 \\ 0 & 2 \ end (array) \ right | = 8; \; A_ (13) = (- 1) ^ (4) \ cdot \ stânga | \ begin (matrice) (cc) -4 & 9 \\ 0 & 3 \ end (matrice) \ dreapta | = -12; \\ & A_ (21) = (- 1) ^ (3) \ cdot \ stânga | \ begin (array) (cc) 7 & 3 \\ 3 & 2 \ end (array) \ right | = -5; \; A_ (22) = (- 1) ^ (4) \ cdot \ left | \ begin (array) (cc) 1 & 3 \\ 0 & 2 \ end (array) \ right | = 2; \; A_ (23) = (- 1) ^ (5) \ cdot \ stânga | \ begin (array) (cc) 1 & 7 \\ 0 & 3 \ end (array) \ right | = -3; \\ & A_ (31) = (- 1) ^ (4) \ cdot \ stânga | \ begin (array) (cc) 7 & 3 \\ 9 & 4 \ end (array) \ right | = 1; \; A_ (32) = (- 1) ^ (5) \ cdot \ stânga | \ begin (array) (cc) 1 & 3 \\ -4 & 4 \ end (array) \ right | = -16; \; A_ (33) = (- 1) ^ (6) \ cdot \ left | \ begin (array) (cc) 1 & 7 \\ -4 & 9 \ end (array) \ right | = 37. \ end (aliniat) $$

Compunem o matrice de complemente algebrice și o transpunem:

$$ A ^ * = \ stânga (\ begin (array) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37 \ end (array) \ right); \; (A ^ *) ^ T = \ stânga (\ begin (matrice) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37 \ end (matrice) \ dreapta) ... $$

Folosind formula $ A ^ (- 1) = \ frac (1) (\ Delta A) \ cdot (A ^ (*)) ^ T $, obținem:

$$ A ^ (- 1) = \ frac (1) (26) \ cdot \ stânga (\ begin (array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37 \ end (matrice) \ dreapta) = \ stânga (\ începe (matrice) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \ end (matrice) \ dreapta) $$

Deci $ A ^ (- 1) = \ stânga (\ începe (matrice) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \ end (matrice) \ dreapta) $. Pentru a verifica adevărul rezultatului, este suficient să verificați adevărul uneia dintre egalitățile: $ A ^ (- 1) \ cdot A = E $ sau $ A \ cdot A ^ (- 1) = E $. Să verificăm egalitatea $ A \ cdot A ^ (- 1) = E $. Pentru a lucra mai puțin cu fracții, vom înlocui matricea $ A ^ (- 1) $ nu sub forma $ \ left (\ begin (array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \ end (matrice) \ dreapta) $ și ca $ \ frac (1) (26) \ cdot \ stânga ( \ begin (matrice) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37 \ end (matrice) \ dreapta) $:

$$ A \ cdot (A ^ (- 1)) = \ stânga (\ begin (matrice) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2 \ end (matrice) \ dreapta) \ cdot \ frac (1) (26) \ cdot \ stânga (\ begin (array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37 \ end (matrice) \ dreapta) = \ frac (1) (26) \ cdot \ stânga (\ begin (matrice) (ccc) 26 & 0 & 0 \\ 0 & 26 & 0 \\ 0 & 0 & 26 \ end (matrice) \ dreapta) = \ stânga (\ începe (matrice) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end (matrice) \ dreapta) = E $$

Verificarea a avut succes, inversul $ A ^ (- 1) $ a fost găsit corect.

Răspuns: $ A ^ (- 1) = \ stânga (\ începe (matrice) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 / 13 & -3/26 & 37/26 \ end (matrice) \ dreapta) $.

Exemplul nr. 4

Găsiți inversul lui $ A = \ left (\ begin (array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4 \\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7 \\ -4 & 8 & -8 & -3 \ end (matrice) \ dreapta) $.

Pentru o matrice de ordinul al patrulea, găsirea matricei inverse folosind complemente algebrice este oarecum dificilă. Cu toate acestea, astfel de exemple se găsesc în lucrările de testare.

Pentru a găsi inversul unei matrice, mai întâi trebuie să calculați determinantul matricei $ A $. Cel mai bun mod de a face acest lucru în această situație este extinderea determinantului după rând (coloană). Selectăm orice rând sau coloană și găsim complementele algebrice ale fiecărui element din rândul sau coloana selectată.

De exemplu, pentru prima linie obținem:

$$ A_ (11) = \ stânga | \ begin (matrice) (ccc) 7 & 5 & 2 \\ 5 & 3 & 7 \\ 8 & -8 & -3 \ end (matrice) \ dreapta | = 556; \; A_ (12) = - \ stânga | \ begin (matrice) (ccc) 9 & 5 & 2 \\ 7 & 3 & 7 \\ -4 & -8 & -3 \ end (matrice) \ dreapta | = -300 ; $$ $$ A_ (13) = \ stânga | \ begin (matrice) (ccc) 9 & 7 & 2 \\ 7 & 5 & 7 \\ -4 & 8 & -3 \ end (matrice) \ dreapta | = -536; \; A_ (14) = - \ stânga | \ begin (array) (ccc) 9 & 7 & 5 \\ 7 & 5 & 3 \\ -4 & 8 & -8 \ end (array) \ right | = -112. $$

Determinantul matricei $ A $ se calculează prin următoarea formulă:

$$ \ Delta (A) = a_ (11) \ cdot A_ (11) + a_ (12) \ cdot A_ (12) + a_ (13) \ cdot A_ (13) + a_ (14) \ cdot A_ (14) ) = 6 \ cdot 556 + (- 5) \ cdot (-300) +8 \ cdot (-536) +4 \ cdot (-112) = 100. $$

$$ \ începe (aliniat) & A_ (21) = - 77; \; A_ (22) = 50; \; A_ (23) = 87; \; A_ (24) = 4; \\ & A_ (31) = -93; \; A_ (32) = 50; \; A_ (33) = 83; \; A_ (34) = 36; \\ & A_ (41) = 473; \; A_ (42) = - 250 ; \; A_ (43) = - 463; \; A_ (44) = - 96. \ end (aliniat) $$

Matricea complementului algebric: $ A ^ * = \ stânga (\ începe (matrice) (cccc) 556 & -300 & -536 & -112 \\ -77 & 50 & 87 & 4 \\ -93 & 50 & 83 & 36 \\ 473 & -250 & -463 & -96 \ end (matrice) \ dreapta) $.

Matrice unită: $ (A ^ *) ^ T = \ stânga (\ începe (matrice) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473 \\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463 \\ -112 & 4 & 36 & -96 \ end (matrice) \ dreapta) $.

Matrice inversa:

$$ A ^ (- 1) = \ frac (1) (100) \ cdot \ stânga (\ începe (matrice) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473 \\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463 \\ -112 & 4 & 36 & -96 \ end (array) \ right) = \ left (\ begin (array) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28 / 25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \ end (matrice) \ dreapta) $$

Verificarea, dacă se dorește, poate fi efectuată în același mod ca în exemplele anterioare.

Răspuns: $ A ^ (- 1) = \ stânga (\ începe (matrice) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \ end (matrice) \ dreapta) $.

În a doua parte se va lua în considerare o modalitate diferită de găsire a matricei inverse, care presupune utilizarea transformărilor metodei Gauss sau a metodei Gauss-Jordan.

Pentru a rezolva sistemul de ecuații liniare (3) în raport cu x 1 vom folosi metoda Gauss.

Sistemele rămase de ecuații liniare (2) sunt rezolvate în mod similar.

În cele din urmă un grup de vectori coloană x 1, x 2, ..., x n formează inversul A -1.

Rețineți că odată găsite matricele de permutare P 1, P 2, ..., P n-1și matrice de excludere M1, M2, ..., Mn-1(vezi pagina Metoda eliminării gaussiene) și construirea unei matrice

M = M n-1 P n-1 ... M 2 P 2 M 1 P 1,

sistemul (2) poate fi transformat în forma

MAx 1 = Me 1,
MAx 2 = Me 2,
......
MAx n = Me n.

De aici sunt x 1, x 2, ..., x n, cu diferite părți din dreapta Me 1, Me 2, ..., Me n.

Când se calculează matricea inversă, este mai convenabil să se adauge matricea de identitate în partea dreaptă a matricei originale și să se aplice metoda Gaussiană în direcțiile înainte și invers.

Să ne uităm la un exemplu.

Un exemplu de calcul al matricei inverse

Fie necesar să se găsească matricea inversă A -1 pentru o matrice dată A:

Să scriem matricea de identitate în partea dreaptă:

Selectăm elementul pivot „4” (deoarece este cel mai mare ca valoare absolută) și rearanjam prima și a treia linie:

Aplicați excepția gaussiană pentru prima coloană:

Schimbați al doilea și al treilea rând și aplicați o excludere gaussiană pentru a doua coloană.

Metode de găsire a matricei inverse. Luați în considerare o matrice pătrată

Notăm Δ = det A.

Matricea pătrată A se numește nedegenerat, sau nespecială dacă determinantul său este diferit de zero și degenerat, sau special, dacăΔ = 0.

O matrice pătrată B există pentru o matrice pătrată A de același ordin dacă produsul lor A B = B A = E, unde E este matricea de identitate de același ordin ca și matricele A și B.

Teorema . Pentru ca matricea A să aibă o matrice inversă, este necesar și suficient ca determinantul ei să fie diferit de zero.

Matricea inversă a matricei A, notată cu A- 1, astfel încât B = A - 1 și se calculează prin formula

, (1)

unde А i j sunt complementele algebrice ale elementelor a i j ale matricei A ..

Calculul lui A -1 prin formula (1) pentru matrice de ordin înalt este foarte laborios, prin urmare, în practică, este convenabil să se găsească A -1 folosind metoda transformărilor elementare (EP). Orice matrice nesingulară A poate fi redusă la matricea de identitate E prin EP de numai coloane (sau numai rânduri). Este convenabil să se efectueze EP peste matricele A și E în același timp, scriind ambele matrice una lângă alta printr-o linie. Rețineți din nou că atunci când găsiți forma canonică a unei matrice în scopul găsirii, se pot folosi transformări de rânduri și coloane. Dacă trebuie să găsiți inversul unei matrice, în procesul de transformare ar trebui folosite numai rânduri sau numai coloane.

Exemplul 1... Pentru matrice găsiți A -1.

Soluţie.Găsim mai întâi determinantul matricei A
prin urmare, matricea inversă există și o putem găsi prin formula: , unde A i j (i, j = 1,2,3) sunt complementele algebrice ale elementelor a i j ale matricei originale.

Unde .

Exemplul 2... Folosind metoda transformărilor elementare, găsiți A -1 pentru matricea: A =.

Soluţie.Atribuim matricei inițiale din dreapta matricei de identitate de același ordin: ... Cu ajutorul transformărilor elementare ale coloanei, aducem „jumătatea” stângă la cea unității, efectuând simultan exact aceleași transformări peste matricea din dreapta.
Pentru a face acest lucru, să schimbăm prima și a doua coloană: ~ ... Adăugați primul la a treia coloană și primul înmulțit cu -2 la a doua: ... Din prima coloană scadem a doua dublată, iar din a treia - a doua înmulțită cu 6; ... Să adăugăm a treia coloană la prima și a doua: ... Să înmulțim ultima coloană cu -1: ... Matricea pătrată obținută în dreapta barei verticale este inversul matricei date A. Deci,
.

Când studiezi algebra într-o școală de învățământ general (clasa a 9-a), una dintre subiectele importante este studiul secvențelor numerice, care includ progresii - geometrice și aritmetice. În acest articol, vom lua în considerare progresia aritmetică și exemplele cu soluții.

Ce este o progresie aritmetică?

Pentru a înțelege acest lucru, este necesar să se dea o definiție a progresiei avute în vedere, precum și să se dea formulele de bază care vor fi utilizate în continuare în rezolvarea problemelor.

O progresie aritmetică sau algebrică este un set de numere raționale ordonate, fiecare termen diferit de cel anterior printr-o cantitate constantă. Această valoare se numește diferență. Adică, cunoscând orice membru al seriei ordonate de numere și diferența, puteți restabili întreaga progresie aritmetică.

Să dăm un exemplu. Următoarea succesiune de numere va fi o progresie aritmetică: 4, 8, 12, 16, ..., deoarece diferența în acest caz este 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Dar mulțimea numerelor 3, 5, 8, 12, 17 nu mai poate fi atribuită tipului de progresie considerat, deoarece diferența pentru aceasta nu este o valoare constantă (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Formule importante

Să dăm acum formulele de bază care vor fi necesare pentru a rezolva probleme folosind o progresie aritmetică. Să notăm cu a n al n-lea termen al șirului, unde n este un număr întreg. Diferența este notată de litera latină d. Atunci sunt valabile următoarele expresii:

Pentru a determina valoarea celui de-al n-lea termen, formula este potrivită: a n = (n-1) * d + a 1.
Pentru a determina suma primilor n termeni: S n = (a n + a 1) * n / 2.

Pentru a înțelege orice exemple de progresie aritmetică cu o soluție în clasa a 9-a, este suficient să ne amintim aceste două formule, deoarece orice probleme de tipul luat în considerare sunt construite pe utilizarea lor. De asemenea, trebuie să rețineți că diferența de progresie este determinată de formula: d = a n - a n-1.

Exemplul # 1: găsirea unui membru necunoscut

Să dăm un exemplu simplu de progresie aritmetică și formule care trebuie folosite pentru rezolvare.

Să fie dată șirul 10, 8, 6, 4, ..., este necesar să găsim cinci termeni în ea.

Din enunțul problemei rezultă deja că primii 4 termeni sunt cunoscuți. Al cincilea poate fi definit în două moduri:

Să calculăm mai întâi diferența. Avem: d = 8 - 10 = -2. De asemenea, se poate lua oricare alți doi membri stând unul lângă celălalt. De exemplu, d = 4 - 6 = -2. Deoarece se știe că d = a n - a n-1, atunci d = a 5 - a 4, de unde obținem: a 5 = a 4 + d. Înlocuiți valorile cunoscute: a 5 = 4 + (-2) = 2.
A doua metodă necesită, de asemenea, cunoașterea diferenței progresiei luate în considerare, așa că mai întâi trebuie să o determinați așa cum se arată mai sus (d = -2). Știind că primul termen a 1 = 10, folosim formula pentru n număr al șirului. Avem: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2 * n. Înlocuind n = 5 în ultima expresie, obținem: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

După cum puteți vedea, ambele metode de soluție au dus la același rezultat. Rețineți că în acest exemplu, diferența d a progresiei este negativă. Astfel de secvențe se numesc descrescătoare, deoarece fiecare termen următor este mai mic decât cel anterior.

Exemplul # 2: Diferența de progresie

Acum să complicăm puțin sarcina, să dăm un exemplu cum

Se știe că la unii primul termen este egal cu 6, iar al 7-lea termen este egal cu 18. Este necesar să găsim diferența și să restabilim această secvență la al 7-lea termen.

Să folosim formula pentru a determina termenul necunoscut: a n = (n - 1) * d + a 1. Substituim în el datele cunoscute din condiție, adică numerele a 1 și a 7, avem: 18 = 6 + 6 * d. Din această expresie, puteți calcula cu ușurință diferența: d = (18 - 6) / 6 = 2. Astfel, am răspuns la prima parte a problemei.

Pentru a restabili o secvență de până la 7 termeni, ar trebui să utilizați definiția unei progresii algebrice, adică a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d și așa mai departe. Ca rezultat, restabilim întreaga secvență: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Exemplul # 3: realizarea unei progresii

Să complicăm și mai mult starea problemei. Acum este necesar să răspundem la întrebarea cum să găsiți progresia aritmetică. Puteți da următorul exemplu: date două numere, de exemplu - 4 și 5. Este necesar să faceți o progresie algebrică, astfel încât încă trei termeni să se potrivească între aceștia.

Înainte de a începe să rezolvați această problemă, este necesar să înțelegeți ce loc vor ocupa numerele date în progresia viitoare. Întrucât vor mai fi trei termeni între ei, atunci a 1 = -4 și a 5 = 5. După ce am stabilit acest lucru, trecem la problema, care este similară cu cea anterioară. Din nou, pentru al n-lea termen, folosim formula, obținem: a 5 = a 1 + 4 * d. De unde: d = (a 5 - a 1) / 4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Aici nu am primit o valoare întreagă a diferenței, ci este un număr rațional, deci formulele pentru progresia algebrică rămân aceleași.

Acum adăugați diferența găsită la un 1 și restaurați membrii lipsă ai progresiei. Se obține: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 = 2.75 + 2.25 = 5, care coincid cu starea problemei.

Exemplul #4: primul termen al progresiei

Să continuăm să dăm exemple de progresie aritmetică cu o soluție. În toate problemele anterioare, era cunoscut primul număr al progresiei algebrice. Acum luați în considerare o problemă de alt tip: să fie date două numere, unde a 15 = 50 și a 43 = 37. Este necesar să găsiți numărul de la care începe această succesiune.

Formulele folosite până acum presupun cunoașterea a 1 și d. Nu se știe nimic despre aceste numere în enunțul problemei. Cu toate acestea, scriem expresii pentru fiecare membru despre care există informații: a 15 = a 1 + 14 * d și a 43 = a 1 + 42 * d. Au primit două ecuații, în care 2 mărimi necunoscute (a 1 și d). Aceasta înseamnă că problema se reduce la rezolvarea unui sistem de ecuații liniare.

Cel mai simplu mod de a rezolva acest sistem este de a exprima un 1 în fiecare ecuație și apoi de a compara expresiile rezultate. Prima ecuație: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; a doua ecuație: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Echivalând aceste expresii, obținem: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, de unde diferența d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (se dau doar 3 zecimale).

Cunoscând d, puteți folosi oricare dintre cele 2 expresii de mai sus pentru un 1. De exemplu, primul: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Dacă aveți îndoieli cu privire la rezultat, îl puteți verifica, de exemplu, determinați termenul 43 al progresiei, care este specificat în condiție. Se obține: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. O mică eroare se datorează faptului că calculele au folosit rotunjirea la miimi.

Exemplul # 5: suma

Acum să ne uităm la câteva exemple cu soluții pentru suma unei progresii aritmetice.

Să se dea o progresie numerică de următoarea formă: 1, 2, 3, 4, ...,. Cum calculezi suma acestor 100 de numere?

Datorită dezvoltării tehnologiei informatice, este posibil să se rezolve această problemă, adică să se adună toate numerele în mod succesiv, ceea ce computerul va face imediat ce o persoană apasă tasta Enter. Problema poate fi însă rezolvată în minte, dacă acordăm atenție că seria de numere prezentată este o progresie algebrică, iar diferența ei este 1. Aplicând formula pentru suma, obținem: S n = n * (a 1 + an) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Este curios de observat că această problemă se numește „gaussiană”, deoarece la începutul secolului al XVIII-lea celebrul german, în vârstă de doar 10 ani, a reușit să o rezolve în cap în câteva secunde. Băiatul nu știa formula pentru suma unei progresii algebrice, dar a observat că dacă adunați în perechi numerele de pe marginile șirului, obțineți întotdeauna un singur rezultat, adică 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ... și deoarece dintre aceste sume vor fi exact 50 (100/2), atunci pentru a obține răspunsul corect, este suficient să înmulțiți 50 cu 101.

Exemplul # 6: suma membrilor de la n la m

Un alt exemplu tipic al sumei unei progresii aritmetice este următorul: având în vedere o serie de numere: 3, 7, 11, 15, ..., trebuie să aflați ce va fi egală cu suma membrilor săi de la 8 la 14.

Problema este rezolvată în două moduri. Primul dintre ei implică găsirea termenilor necunoscuți de la 8 la 14 și apoi însumarea lor secvențială. Deoarece există puțini termeni, această metodă nu este suficient de laborioasă. Cu toate acestea, se propune rezolvarea acestei probleme prin a doua metodă, care este mai universală.

Ideea este de a obține o formulă pentru suma progresiei algebrice dintre termenii m și n, unde n> m sunt numere întregi. Să scriem două expresii pentru suma pentru ambele cazuri:

S m = m * (a m + a 1) / 2.
S n = n * (a n + a 1) / 2.

Deoarece n> m, este evident că suma 2 o include pe prima. Ultima concluzie înseamnă că dacă luăm diferența dintre aceste sume și adăugăm la ea termenul a m (în cazul luării diferenței, se scade din suma S n), atunci obținem răspunsul necesar la problemă. Avem: S mn = S n - S m + am = n * (a 1 + an) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am = a 1 * (n - m) / 2 + an * n / 2 + am * (1- m / 2). În această expresie este necesar să se înlocuiască formulele pentru a n și a m. Atunci obținem: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Formula rezultată este oarecum greoaie; cu toate acestea, suma lui S mn depinde doar de n, m, a 1 și d. În cazul nostru, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Înlocuind aceste numere, obținem: S mn = 301.

După cum se poate observa din soluțiile date, toate problemele se bazează pe cunoașterea expresiei pentru al n-lea termen și a formulei pentru suma mulțimii primilor termeni. Înainte de a continua cu rezolvarea oricăreia dintre aceste probleme, se recomandă să citiți cu atenție condiția, să înțelegeți clar ce trebuie găsit și abia apoi să treceți la soluție.

Un alt sfat este să depuneți eforturi pentru simplitate, adică dacă puteți răspunde la o întrebare fără a utiliza calcule matematice complexe, atunci trebuie să faceți exact asta, deoarece în acest caz probabilitatea de a face o greșeală este mai mică. De exemplu, într-un exemplu de progresie aritmetică cu soluția # 6, s-ar putea opri la formula S mn = n * (a 1 + an) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am și rupe problema generală în subsarcini separate (în acest caz, găsiți mai întâi membrii an și am).

Dacă există îndoieli cu privire la rezultatul obținut, se recomandă verificarea acestuia, așa cum s-a procedat în unele dintre exemplele date. Ne-am dat seama cum să găsim progresia aritmetică. Dacă îți dai seama, nu este atât de greu.