Definiție. Fața laterală- acesta este un triunghi în care un unghi se află în vârful piramidei, iar partea opusă a acestuia coincide cu latura bazei (poligon).

Definiție. Coaste laterale sunt laturile comune ale fețelor laterale. O piramidă are atâtea muchii câte colțuri există într-un poligon.

Definiție. înălțimea piramidei este o perpendiculară coborâtă de la vârf la baza piramidei.

Definiție. Apotema- aceasta este perpendiculara feței laterale a piramidei, coborâtă din vârful piramidei spre lateralul bazei.

Definiție. Secțiune diagonală- aceasta este o secțiune a piramidei printr-un plan care trece prin vârful piramidei și diagonala bazei.

Definiție. Piramida corectă- Aceasta este o piramidă în care baza este un poligon regulat, iar înălțimea coboară până în centrul bazei.

Volumul și suprafața piramidei

Formulă. volumul piramidei prin zona de bază și înălțimea:

proprietățile piramidei

Dacă toate marginile laterale sunt egale, atunci un cerc poate fi circumscris în jurul bazei piramidei, iar centrul bazei coincide cu centrul cercului. De asemenea, perpendiculara căzută din vârf trece prin centrul bazei (cercului).

Dacă toate nervurile laterale sunt egale, atunci ele sunt înclinate față de planul de bază la aceleași unghiuri.

Nervele laterale sunt egale atunci când formează unghiuri egale cu planul bazei sau dacă se poate descrie un cerc în jurul bazei piramidei.

Dacă fețele laterale sunt înclinate față de planul bazei la un unghi, atunci un cerc poate fi înscris la baza piramidei, iar vârful piramidei este proiectat în centrul acesteia.

Dacă fețele laterale sunt înclinate față de planul de bază la un unghi, atunci apotemele fețelor laterale sunt egale.

Proprietățile unei piramide obișnuite

1. Vârful piramidei este echidistant de toate colțurile bazei.

2. Toate marginile laterale sunt egale.

3. Toate nervurile laterale sunt înclinate la aceleași unghiuri față de bază.

4. Apotemele tuturor fețelor laterale sunt egale.

5. Suprafețele tuturor fețelor laterale sunt egale.

6. Toate fețele au aceleași unghiuri diedrice (plate).

7. O sferă poate fi descrisă în jurul piramidei. Centrul sferei descrise va fi punctul de intersecție al perpendicularelor care trec prin mijlocul marginilor.

8. O sferă poate fi înscrisă într-o piramidă. Centrul sferei înscrise va fi punctul de intersecție al bisectoarelor care emană din unghiul dintre margine și bază.

9. Dacă centrul sferei înscrise coincide cu centrul sferei circumscrise, atunci suma unghiurilor plate de la vârf este egală cu π sau invers, un unghi este egal cu π / n, unde n este numărul de unghiuri la baza piramidei.

Legătura piramidei cu sfera

O sferă poate fi descrisă în jurul piramidei când la baza piramidei se află un poliedru în jurul căruia poate fi descris un cerc (o condiție necesară și suficientă). Centrul sferei va fi punctul de intersecție al planurilor care trec perpendicular prin punctele medii ale marginilor laterale ale piramidei.

O sferă poate fi întotdeauna descrisă în jurul oricărei piramide triunghiulare sau regulate.

O sferă poate fi înscrisă într-o piramidă dacă planurile bisectoare ale unghiurilor diedrice interne ale piramidei se intersectează într-un punct (o condiție necesară și suficientă). Acest punct va fi centrul sferei.

Legătura piramidei cu conul

Un con se numește înscris într-o piramidă dacă vârfurile lor coincid, iar baza conului este înscrisă în baza piramidei.

Un con poate fi înscris într-o piramidă dacă apotemele piramidei sunt egale.

Un con se numește circumscris în jurul unei piramide dacă vârfurile lor coincid, iar baza conului este circumscrisă în jurul bazei piramidei.

Un con poate fi descris în jurul unei piramide dacă toate marginile laterale ale piramidei sunt egale între ele.

Legătura unei piramide cu un cilindru

Se spune că o piramidă este înscrisă într-un cilindru dacă vârful piramidei se află pe o bază a cilindrului, iar baza piramidei este înscrisă într-o altă bază a cilindrului.

Un cilindru poate fi circumscris în jurul unei piramide dacă un cerc poate fi circumscris în jurul bazei piramidei.

Definiție. Piramida trunchiată (prismă piramidală)- Acesta este un poliedru care este situat între baza piramidei și un plan de secțiune paralel cu baza. Astfel, piramida are o bază mare și o bază mai mică care este similară cu cea mai mare. Fețele laterale sunt trapeze.

Definiție. Piramidă triunghiulară (tetraedru)- aceasta este o piramidă în care trei fețe și baza sunt triunghiuri arbitrare.

Un tetraedru are patru fețe și patru vârfuri și șase muchii, unde oricare două muchii nu au vârfuri comune, dar nu se ating.

Fiecare vârf este format din trei fețe și muchii care se formează unghi triedric.

Segmentul care leagă vârful tetraedrului cu centrul feței opuse se numește mediana tetraedrului(GM).

Bimedian se numește un segment care leagă punctele medii ale muchiilor opuse care nu se ating (KL).

Toate bimedianele și medianele unui tetraedru se intersectează într-un punct (S). În acest caz, bimedianele sunt împărțite în jumătate, iar medianele într-un raport de 3: 1 începând de sus.

Definiție. piramidă înclinată este o piramidă în care una dintre margini formează un unghi obtuz (β) cu baza.

Definiție. Piramidă dreptunghiulară este o piramidă în care una dintre fețele laterale este perpendiculară pe bază.

Definiție. Piramidă unghiulară acută este o piramidă în care apotema are mai mult de jumătate din lungimea laturii bazei.

Definiție. piramidă obtuză este o piramidă în care apotema este mai mică de jumătate din lungimea laturii bazei.

Definiție. tetraedru regulat Un tetraedru ale cărui patru fețe sunt triunghiuri echilaterale. Este unul dintre cele cinci poligoane regulate. Într-un tetraedru obișnuit, toate unghiurile diedrice (între fețe) și unghiurile triedrice (la un vârf) sunt egale.

Definiție. Tetraedru dreptunghiular se numește un tetraedru care are un unghi drept între trei muchii la vârf (marginile sunt perpendiculare). Se formează trei fețe unghi triedric dreptunghiular iar fețele sunt triunghiuri dreptunghiulare, iar baza este un triunghi arbitrar. Apotema oricărei fețe este egală cu jumătate din latura bazei pe care cade apotema.

Definiție. Tetraedru izoedric Se numește tetraedru în care fețele laterale sunt egale între ele, iar baza este un triunghi regulat. Fețele unui astfel de tetraedru sunt triunghiuri isoscele.

Definiție. tetraedru ortocentric se numește un tetraedru în care toate înălțimile (perpendicularele) care sunt coborâte de la vârf la fața opusă se intersectează într-un punct.

Definiție. piramida stelare Un poliedru a cărui bază este o stea se numește.

Definiție. Bipiramida- un poliedru format din două piramide diferite (piramidele pot fi și tăiate), având o bază comună, iar vârfurile se află pe laturile opuse ale planului bazei.

Aria suprafeței laterale a unei piramide obișnuite este egală cu produsul apotemului său cu jumătate din perimetrul bazei.

În ceea ce privește suprafața totală, pur și simplu adăugăm zona de bază în lateral.

Suprafața laterală a unei piramide regulate este egală cu produsul dintre semiperimetrul bazei și apotema.

Dovada:

Dacă latura bazei este a, numărul de laturi este n, atunci suprafața laterală a piramidei este:

a l n/2 =a n l/2=pl/2

unde l este apotema și p este perimetrul bazei piramidei. Teorema a fost demonstrată.

Această formulă se citește astfel:

Aria suprafeței laterale a unei piramide obișnuite este egală cu jumătate din produsul perimetrului bazei și apotema piramidei.

Suprafața totală a piramidei se calculează prin formula:

S deplin =S latură +S principal

Dacă piramida este neregulată, atunci suprafața ei laterală va fi egală cu suma ariilor fețelor sale laterale.

Volumul piramidei

Volum piramida este egală cu o treime din produsul dintre suprafața bazei și înălțimea.

Dovada. Vom începe de la o prismă triunghiulară. Desenați un plan prin vârful A "al bazei superioare a prismei și marginea opusă BC a bazei inferioare. Acest plan va tăia piramida triunghiulară A" ABC din prismă. Descompunem partea rămasă a prismei în miezul corpului desenând un plan prin diagonalele A „C” și „B” C ale fețelor laterale. Cele două corpuri rezultate sunt, de asemenea, piramide. Considerând triunghiul A"B"C" drept baza uneia dintre ele, iar C vârful său, vom vedea că baza și înălțimea lui sunt aceleași cu cele ale primei piramide pe care am tăiat-o, prin urmare piramidele A"ABC și CA"B"C" sunt egale. În plus, ambele piramide noi CA "B" C "și A" B "BC" sunt de asemenea egale ca mărime - acest lucru va deveni clar dacă luăm triunghiurile BC "și B" CC " pentru bazele lor.Piramidele CA" B "C" și A "B "VS au un vârf comun A", iar bazele lor sunt situate în același plan și sunt egale, prin urmare, piramidele sunt egale. Deci, prisma este descompusă în trei piramide de suprafață egală, volumul fiecăreia dintre ele este egal cu o treime din volumul prismei.Deoarece forma bazei este nesemnificativă, atunci, în general, volumul unei piramide n-gonale este egal cu o treime din volumul unei prisme cu aceeași înălțime și aceeași (sau egală) bază. Reamintind formula care exprimă volumul unei prisme, V=Sh, obținem rezultatul final: V=1/3Sh

Când se pregătesc pentru examenul de matematică, studenții trebuie să-și sistematizeze cunoștințele de algebră și geometrie. Aș dori să combin toate informațiile cunoscute, de exemplu, cum să calculez aria unei piramide. Mai mult, începând de la bază și fețele laterale până la întreaga suprafață. Dacă situația este clară cu fețele laterale, deoarece acestea sunt triunghiuri, atunci baza este întotdeauna diferită.

Ce să faceți când găsiți zona bazei piramidei?

Poate fi absolut orice cifră: de la un triunghi arbitrar la un n-gon. Și această bază, pe lângă diferența dintre numărul de unghiuri, poate fi o cifră obișnuită sau una incorectă. În sarcinile USE de interes pentru școlari, există doar sarcini cu cifrele corecte la bază. Prin urmare, vom vorbi doar despre ele.

triunghi dreptunghic

Asta este echilateral. Una în care toate laturile sunt egale și notate cu litera „a”. În acest caz, aria bazei piramidei este calculată prin formula:

S = (a 2 * √3) / 4.

Pătrat

Formula pentru calcularea ariei sale este cea mai simplă, aici „a” este din nou partea:

N-gon regulat arbitrar

Latura unui poligon are aceeași denumire. Pentru numărul de colțuri se folosește litera latină n.

S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).

Cum se procedează la calcularea suprafeței laterale și totale?

Deoarece baza este o figură obișnuită, toate fețele piramidei sunt egale. În plus, fiecare dintre ele este un triunghi isoscel, deoarece marginile laterale sunt egale. Apoi, pentru a calcula aria laterală a piramidei, aveți nevoie de o formulă constând din suma monomiilor identice. Numărul de termeni este determinat de numărul de laturi ale bazei.

Aria unui triunghi isoscel se calculează prin formula în care jumătate din produsul bazei este înmulțit cu înălțimea. Această înălțime în piramidă se numește apotema. Denumirea sa este „A”. Formula generală pentru suprafața laterală este:

S \u003d ½ P * A, unde P este perimetrul bazei piramidei.

Există situații în care laturile bazei nu sunt cunoscute, dar sunt date marginile laterale (c) și unghiul plat la vârful acesteia (α). Apoi ar trebui să se folosească o astfel de formulă pentru a calcula aria laterală a piramidei:

S = n/2 * în 2 sin α .

Sarcina 1

Condiție. Aflați aria totală a piramidei dacă baza acesteia are o latură de 4 cm, iar apotema are o valoare de √3 cm.

Soluţie. Trebuie să începeți prin a calcula perimetrul bazei. Deoarece acesta este un triunghi regulat, atunci P \u003d 3 * 4 \u003d 12 cm. Deoarece apotema este cunoscută, puteți calcula imediat aria întregii suprafețe laterale: ½ * 12 * √3 = 6 √3 cm 2.

Pentru un triunghi la bază, se va obține următoarea valoare a ariei: (4 2 * √3) / 4 \u003d 4√3 cm 2.

Pentru a determina întreaga zonă, va trebui să adăugați cele două valori rezultate: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.

Răspuns. 10√3 cm2.

Sarcina #2

Condiție. Există o piramidă patruunghiulară obișnuită. Lungimea laturii bazei este de 7 mm, marginea laterală este de 16 mm. Trebuie să-i cunoști suprafața.

Soluţie. Deoarece poliedrul este patruunghiular și regulat, atunci baza lui este un pătrat. După ce ați învățat zonele fețelor de bază și laterale, va fi posibil să se calculeze aria piramidei. Formula pătratului este dată mai sus. Și la fețele laterale, toate laturile triunghiului sunt cunoscute. Prin urmare, puteți folosi formula lui Heron pentru a calcula suprafețele lor.

Primele calcule sunt simple și duc la acest număr: 49 mm 2. Pentru a doua valoare, va trebui să calculați semiperimetrul: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 mm. Acum puteți calcula aria unui triunghi isoscel: √ (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Există doar patru astfel de triunghiuri, așa că atunci când calculați numărul final, va trebui să-l înmulțiți cu 4.

Rezultă: 49 + 4 * 54,644 \u003d 267,576 mm 2.

Răspuns. Valoarea dorită este 267,576 mm 2.

Sarcina #3

Condiție. Pentru o piramidă patruunghiulară obișnuită, trebuie să calculați aria. În el, latura pătratului este de 6 cm și înălțimea este de 4 cm.

Soluţie. Cel mai simplu mod este de a folosi formula cu produsul perimetrului și apotema. Prima valoare este ușor de găsit. Al doilea este puțin mai dificil.

Va trebui să ne amintim teorema lui Pitagora și să considerăm că este format din înălțimea piramidei și apotema, care este ipotenuza. Al doilea picior este egal cu jumătate din latura pătratului, deoarece înălțimea poliedrului cade în mijlocul său.

Apotema dorită (ipotenuza unui triunghi dreptunghic) este √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).

Acum puteți calcula valoarea dorită: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 2 \u003d 96 (cm 2).

Răspuns. 96 cm2.

Sarcina #4

Condiție. Partea corectă a bazei sale este de 22 mm, nervurile laterale sunt de 61 mm. Care este aria suprafeței laterale a acestui poliedru?

Soluţie. Raționamentul din acesta este același cu cel descris în problema nr. 2. Numai acolo a fost dată o piramidă cu un pătrat la bază, iar acum este un hexagon.

În primul rând, aria bazei este calculată folosind formula de mai sus: (6 * 22 2) / (4 * tg (180º / 6)) \u003d 726 / (tg30º) \u003d 726√3 cm 2.

Acum trebuie să aflați semiperimetrul unui triunghi isoscel, care este o față laterală. (22 + 61 * 2): 2 = 72 cm. Rămâne să calculăm aria unui astfel de triunghi folosind formula Heron, apoi înmulțiți-o cu șase și adăugați-o la cea care a rezultat pentru baza.

Calcule folosind formula Heron: √ (72 * (72-22) * (72-61) 2) \u003d √ 435600 \u003d 660 cm 2. Calcule care vor da suprafața laterală: 660 * 6 \u003d 3960 cm 2. Rămâne să le adunăm pentru a afla întreaga suprafață: 5217,47≈5217 cm 2.

Răspuns. Baza - 726√3 cm 2, suprafata laterala - 3960 cm 2, intreaga suprafata - 5217 cm 2.

- aceasta este o figură, la baza căreia se află un poligon arbitrar, iar fețele laterale sunt reprezentate prin triunghiuri. Vârfurile lor se află într-un punct și corespund vârfului piramidei.

Piramida poate fi variată - triunghiulară, patruunghiulară, hexagonală etc. Numele său poate fi determinat în funcție de numărul de colțuri adiacente bazei.
Piramida corectă numită piramidă, în care laturile bazei, unghiurile și marginile sunt egale. De asemenea, într-o astfel de piramidă, aria fețelor laterale va fi egală.
Formula pentru aria suprafeței laterale a unei piramide este suma ariilor tuturor fețelor sale:
Adică, pentru a calcula aria suprafeței laterale a unei piramide arbitrare, este necesar să găsiți aria fiecărui triunghi individual și să le adăugați. Dacă piramida este trunchiată, atunci fețele sale sunt reprezentate de trapeze. Pentru piramida corectă, există o altă formulă. În ea, aria suprafeței laterale este calculată prin semiperimetrul bazei și lungimea apotemului:

Luați în considerare un exemplu de calcul al suprafeței laterale a unei piramide.
Să fie dată o piramidă patruunghiulară regulată. Partea bazei b= 6 cm, și apotema A\u003d 8 cm. Găsiți aria suprafeței laterale.

La baza unei piramide patruunghiulare regulate se află un pătrat. Mai întâi, să-i găsim perimetrul:

Acum putem calcula aria suprafeței laterale a piramidei noastre:

Pentru a găsi aria totală a unui poliedru, trebuie să găsiți aria bazei acestuia. Formula pentru aria bazei unei piramide poate diferi, în funcție de poligonul care se află la bază. Pentru a face acest lucru, utilizați formula pentru aria unui triunghi, zona paralelogramului etc.

Luați în considerare un exemplu de calcul al ariei bazei piramidei, dat de condițiile noastre. Deoarece piramida este regulată, are un pătrat la bază.
suprafata patrata calculat prin formula: ,
unde a este latura pătratului. O avem egală cu 6 cm. Deci, aria bazei piramidei:

Acum rămâne doar să găsiți aria totală a poliedrului. Formula pentru aria unei piramide este suma suprafeței bazei sale și a suprafeței sale laterale.

Înainte de a studia întrebările despre această figură geometrică și proprietățile ei, este necesar să înțelegeți câțiva termeni. Când o persoană aude despre piramidă, își imaginează clădiri uriașe în Egipt. Așa arată cele mai simple. Dar vin în diferite tipuri și forme, ceea ce înseamnă că formula de calcul pentru formele geometrice va fi diferită.

Tipuri de figuri

Piramida - figură geometrică, denotând și reprezentând mai multe fețe. De fapt, acesta este același poliedru, la baza căruia se află un poligon, iar pe laturi sunt triunghiuri care se conectează într-un punct - vârful. Figura este de două tipuri principale:

• corect;
• trunchiată.

În primul caz, baza este un poligon regulat. Aici toate suprafețele laterale sunt egaleîntre ei și figura în sine vor mulțumi ochiul unui perfecționist.

În al doilea caz, există două baze - una mare în partea de jos și una mică între partea de sus, repetând forma celei principale. Cu alte cuvinte, o piramidă trunchiată este un poliedru cu o secțiune formată paralel cu baza.

Termeni și notații

Termeni de bază:

• Triunghi regulat (echilateral). O figură cu trei unghiuri identice și laturi egale. În acest caz, toate unghiurile sunt de 60 de grade. Figura este cea mai simplă dintre poliedrele regulate. Dacă această cifră se află la bază, atunci un astfel de poliedru va fi numit unul triunghiular regulat. Dacă baza este un pătrat, piramida va fi numită o piramidă patruunghiulară obișnuită.
• Vertex- cel mai înalt punct în care marginile se întâlnesc. Înălțimea vârfului este formată dintr-o linie dreaptă care emană de la vârf la baza piramidei.
• margine este unul dintre planurile poligonului. Poate fi sub formă de triunghi în cazul unei piramide triunghiulare, sau sub formă de trapez pentru o piramidă trunchiată.
• secțiune transversală- o figură plată formată în urma disecției. A nu se confunda cu o secțiune, deoarece o secțiune arată și ce se află în spatele secțiunii.
• Apotema- un segment trasat de la vârful piramidei până la baza acesteia. Este, de asemenea, înălțimea feței unde se află al doilea punct de înălțime. Această definiție este valabilă numai în raport cu un poliedru regulat. De exemplu - dacă nu este o piramidă trunchiată, atunci fața va fi un triunghi. În acest caz, înălțimea acestui triunghi va deveni o apotema.

Formule de arie

Găsiți aria suprafeței laterale a piramidei orice tip se poate face în mai multe moduri. Dacă figura nu este simetrică și este un poligon cu laturi diferite, atunci în acest caz este mai ușor să calculați suprafața totală prin totalitatea tuturor suprafețelor. Cu alte cuvinte, trebuie să calculați aria feței de pe plajă și să le adăugați.

În funcție de parametrii cunoscuți, pot fi necesare formule pentru calcularea unui pătrat, a unui trapez, a unui patrulater arbitrar etc. Formulele în sine în diferite cazuri va fi de asemenea diferit.

În cazul unei figuri obișnuite, găsirea zonei este mult mai ușoară. Este suficient să cunoașteți doar câțiva parametri cheie. În majoritatea cazurilor, calculele sunt necesare tocmai pentru astfel de cifre. Prin urmare, formulele corespunzătoare vor fi date mai jos. În caz contrar, ar trebui să pictezi totul pe mai multe pagini, ceea ce nu va face decât să încurce și să încurce.

Formula de bază pentru calcul suprafața laterală a unei piramide obișnuite va arăta astfel:

S \u003d ½ Pa (P este perimetrul bazei și este apotema)

Să luăm în considerare unul dintre exemple. Poliedrul are o bază cu segmente A1, A2, A3, A4, A5 și toate sunt egale cu 10 cm. Lăsați apotema să fie egală cu 5 cm. Mai întâi trebuie să găsiți perimetrul. Deoarece toate cele cinci fețe ale bazei sunt aceleași, aceasta poate fi găsită după cum urmează: P \u003d 5 * 10 \u003d 50 cm. Apoi, aplicăm formula de bază: S \u003d ½ * 50 * 5 \u003d 125 cm pătrat .

Suprafața laterală a unei piramide triunghiulare regulate cel mai usor de calculat. Formula arată astfel:

S =½* ab *3, unde a este apotema, b este fața bazei. Factorul de trei aici înseamnă numărul de fețe ale bazei, iar prima parte este aria suprafeței laterale. Luați în considerare un exemplu. Având în vedere o figură cu o apotema de 5 cm și o față de bază de 8 cm Calculăm: S = 1/2 * 5 * 8 * 3 = 60 cm pătrat.

Suprafața laterală a unei piramide trunchiate este putin mai greu de calculat. Formula arată astfel: S \u003d 1/2 * (p _01 + p _02) * a, unde p_01 și p_02 sunt perimetrele bazelor și este apotema. Luați în considerare un exemplu. Să presupunem că, pentru o figură patruunghiulară, dimensiunile laturilor bazelor sunt de 3 și 6 cm, apotema este de 4 cm.

Aici, pentru început, ar trebui să găsiți perimetrele bazelor: p_01 \u003d 3 * 4 \u003d 12 cm; p_02=6*4=24 cm Rămâne să înlocuiți valorile în formula principală și să obțineți: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 cm pătrat.

Astfel, este posibil să găsiți suprafața laterală a unei piramide obișnuite de orice complexitate. Aveți grijă să nu confundați aceste calcule cu aria totală a întregului poliedr. Și dacă tot trebuie să faceți acest lucru, este suficient să calculați aria celei mai mari baze a poliedrului și să o adăugați la aria suprafeței laterale a poliedrului.

Video

Pentru a consolida informații despre cum să găsiți suprafața laterală a diferitelor piramide, acest videoclip vă va ajuta.