Швидкість плоскої хвилі формули. Рівняння плоскої та сферичної хвиль

Плоска хвиля називається хвиля з плоским фронтом. При цьому промені паралельні.

Плоска хвиля збуджується поблизу від площини, що коливається, або якщо розглядається невелика ділянка хвильового фронту точкового випромінювача. Площа цієї ділянки може бути тим більшою, чим далі вона знаходиться від випромінювача.

Промені, що охоплюють ділянку площини хвильового фронту, що розглядається, утворюють «трубу». Амплітуда звукового тиску в плоскій хвилі не зменшується при віддаленні джерела, так як не відбувається розтікання енергії за межі стінок цієї труби. Насправді це відповідає гостроспрямованому випромінюванню, наприклад, випромінюванню електростатичних панелей великої площі, рупорних випромінювачів.

Сигнали у різних точках променя плоскої хвилі відрізняються фазою коливань. Якщо звуковий тиск на деякій ділянці плоского хвильового фронту синусоїдальний, то його можна подати в експоненційному вигляді р зв = р тзв- exp (icot).На відстані гз променю воно запізнюватиметься від джерела коливань:

де г/с зв- час, за який минає хвиля від джерела до точки на відстані гвздовж променя до = (о/з з' = 2ж/Д - хвильове число, яке визначає фазовий зсув між сигналами у фронтах плоскої хвилі, що знаходяться на відстані м.

Реальні звукові хвилі складніші, ніж синусоїдальні, проте викладки, проведені для синусоїдальних хвиль, справедливі й у несинусоїдальних сигналів, а то й розглядати частоту як константу, тобто. розглядати складний сигнал у частотній області. Це можливо доти, доки процеси поширення хвиль залишаються лінійними.

Хвиля, фронт якої є сферу, називається сферичною. Промені у своїй збігаються з радіусами сфери. Сферична хвиля формується у двох випадках.

• 1. Розміри джерела набагато менші за довжину хвилі, і відстань до джерела дозволяє вважати його точкою. Таке джерело називається точковим.
• 2. Джерело є пульсуючою сферою.

У обох випадках передбачається, що переображения хвилі відсутні, тобто. розглядається лише пряма хвиля. Чисто сферичних хвиль у сфері інтересів електроакустики не буває, це така абстракція, як і плоска хвиля. У сфері середньовисоких частот конфігурація та розміри джерел неможливо вважати їх ні точкою, ні сферою. На області низьких частот безпосередній вплив починає надавати, як мінімум, підлогу. Єдина близька до сферичної хвиля формується у заглушеній камері при малих габаритах випромінювача. Але розгляд цієї абстракції дозволяє зрозуміти деякі важливі моменти поширення звукових хвиль.

На високих відстанях від випромінювача сферична хвиля вироджується в плоску хвилю.

На відстані гвід випромінювача звуковий тиск може бути

представлено у вигляді р зв= -^-ехр (/ (З? t - до? г)),де p-Jr- амплітуда

звукового тиску з відривом 1 м від центру сферы. Зменшення звукового тиску з віддаленням від центру сфери пов'язане з розтіканням потужності на все більшу площу. пг 2 .Сумарна потужність, що перетікає через усю площу хвильового фронту, не змінюється, тому потужність, що припадає на одиницю площі, зменшується пропорційно квадрату відстані. А тиск пропорційно кореню квадратному із потужності, тому він зменшується пропорційно власне відстані. Необхідність нормування до тиску на певній фіксованій відстані (1 мв даному випадку) пов'язана з тим самим фактом залежності тиску від відстані, тільки у зворотний бік - при необмеженому наближенні до точкового випромінювача звуковий тиск (а також коливальна швидкість і зміщення молекул) необмежено збільшується.

Коливальну швидкість молекул у сферичній хвилі можна визначити з рівняння руху середовища:

Разом, коливальна швидкість v m = ^зв^+кг? фазовий

/V е зв кг

зсув щодо звукового тиску ф= -arctgf ---] (рис. 9.1).

Спрощено кажучи, наявність фазового зсуву між звуковим тиском і коливальною швидкістю пов'язана з тим, що в ближній зоні з віддаленням від центру звуковий тиск набагато швидше зменшується, ніж запізнюється.

Мал. 9.1. Залежність фазового зсуву між звуковим тиском рі коливальною швидкістю v від г/к(відстань вздовж променя до довжини хвилі)

На рис. 9.1 можна побачити дві характерні зони:

• 1) ближню г/Х« 1.
• 2) дальню г/Х» 1.

Опір випромінювання сфери радіусу г

Це означає, що не вся потужність витрачається на випромінювання, частина запасається в реактивному елементі і потім повертається випромінювачу. Фізично цьому елементу можна зіставити приєднану масу середовища, що коливається з випромінювачем:

Легко бачити, що приєднана маса середовища зменшується зі зростанням частоти.

На рис. 9.2 представлена ​​частотна залежність безрозмірних коефіцієнтів речовинної та уявної складових опору випромінювання. Випромінювання ефективне, якщо Re(z(r)) > Im(z(r)). Для пульсуючої сфери ця умова виконується при кг > 1.

Плоска хвиля- це хвиля, фронт якої є площиною. Нагадаємо, що фронт – це еквіфазна поверхня, тобто. поверхню рівних фаз.

Приймаємо, що у точці О (рис. 5.1) знаходиться точкове джерело, площина Рперпендикулярна до осі Z, точки М j і М 2лежать у площині Р.Приймаємо також, що джерело так далеко від площини Р,що OMj | | ОМ 2 .Це означає, що всі точки в площині Р,є фронтом хвилі, рівноправні, тобто. при переміщенні у площині Рне відбувається зміни стану процесу:

Мал. 5.1.

Дозволимо рівняння Гельмгольця

щодо векторів поля та досліджуємо отримані рішення.

У цьому випадку із шести рівнянь залишаються лише два рівняння:

Плоскі хвилі у вакуумі

Розв'язання диференціальних рівнянь (5.1) має вигляд

де коріння характеристичного рівняння

Переходячи від комплексних векторів до їх миттєвих значень, отримаємо

Перше доданок є пряму хвилю, а друге - зворотну хвилю. Розглянемо перше доданок рівняння (5.2). На рис. 5.2 відповідно до цього рівняння показано розподіл напруженості електричного поля в момент часу t і At. Точки 1 та 2 відповідають максимумам напруженості електричного поля. Положення максимуму змістилося за час Atна відстань Az:

Рівність значень функцій забезпечується рівністю аргументів: ooAt = kAz.При цьому отримуємо рівняння для фазової швидкості

Puc. 5.2.Графік зміни напруженості електричного поля

Для вакууму Уф =- , З ° = -j2 == 3 108 м/с.

W 8 оМ-о V E oMo

Це означає, що у вакуумі швидкість поширення електромагнітної хвилі дорівнює швидкості світла. Розглянемо друге доданок рівняння (5.2):

Воно дає УФ =-. Це відповідає хвилі, що поширюється на джерело.

Визначимо відстань Xміж точками поля з фазами, що відрізняються на 360 °. Ця відстань називається довжиною хвилі. Оскільки

де до- хвильове число (постійне поширення), то

Довжина хвилі у вакуумі Х 0= с//, де с - швидкість світла.

Фазова швидкість і довжина хвилі в інших середовищах відповідно

Як випливає з формули для фазової швидкості, вона не залежить від частоти електромагнітного поля, а отже, середовище без втрат недисперсійне.

Встановимо зв'язок між напрямками векторів електричного та магнітного полів. Почнемо з рівнянь Максвелла:

Замінюємо векторні рівняння скалярними, тобто. прирівнюємо проекції векторів в останніх рівняннях:

Врахуємо, що у системі (5.3)

тоді отримаємо

З умови (5.4) очевидно, що плоскі хвилі не мають поздовжніх складових, оскільки E z= О, Н 2= 0. Складемо скалярне твір (Е, Я), висловивши Ехі Е уіз виразів (5.4):

Оскільки скалярний добуток векторів дорівнює нулю, вектори Ёі Я в плоскій хвилі перпендикулярні один до одного. Через те, що вони не мають поздовжніх складових, ? і Я перпендикулярні до напряму поширення. Визначимо відношення амплітуд векторів електричного та магнітного полів.

Візьмемо, що вектор? спрямований уздовж осі х,відповідно Е у - 0,Н Х - 0.

З рівняння (5.4) Ех=-Я Я у ~-Е х.Звідси =-=,/- -Z,сої сміття Нусої V е

де Z - хвильове опір середовища з макроскопічними параметрами е і р;

Z 0 - хвильовий опір вакууму. З великим ступенем точності цю величину вважатимуться хвильовим опором сухого повітря.

Запишемо вирази для миттєвих значень Я і? падаючої хвилі, використовуючи рівняння (5.2). В результаті отримаємо

аналогічно

У міру просування падаючої хвилі вздовж осі zамплітуди? і Я залишаються постійними, тобто. згасання хвилі не відбувається, тому що в діелектриці немає струмів провідності та виділення енергії у вигляді теплоти.

На рис. 5.3, азображені просторові криві, що є графіками миттєвих значень Я і?. Ці графіки побудовані за отриманими рівняннями на момент часу cot = 0. Для більш пізнього часу, наприклад для cot + |/ п = п/2,аналогічні криві зображені на рис. 5.3, б.

Мал. 5.3.

а- при a )t= 0; б - при u>t= п/2

Як бачимо на рис. 5.3, а і б, вектор Епри русі хвилі залишається спрямованим вздовж осі х,а вектор Я - вздовж осі у,зсуву по фазі між Я та? ні.

Вектор Пойнтінг падаючої хвилі спрямований вздовж осі z.Його модуль змінюється згідно із законом П = C 2 Z sin 2 ^cot + --zj. Оскільки

sin 2a = (1 - cos2a)/2, to 1-cosf 2cot+-- z], тобто. вектор

2 L V v)_

Пойнтінг має постійну складову C 2 Z /2і змінну, що змінюється у часі з подвійною кутовою частотою.

За підсумками аналізу рішення хвильових рівнянь можна зробити такі выводы.

• 1. У вакуумі плоскі хвилі поширюються зі швидкістю світла, в решті середовища швидкість менша в ^/e,.p r разів.
• 2. Вектори електричного та магнітного полів не мають поздовжніх складових та перпендикулярні один одному.
• 3. Відношення амплітуд електричного та магнітного полів дорівнює хвильовому опору середовища, в якому відбувається поширення електромагнітних хвиль.

: така хвиля в природі не існує, тому що фронт плоскої хвилі починається в $-\backslash mathcal(1)$і закінчується в $+\backslash mathcal(1)$, Що, очевидно, бути не може. Крім того, плоска хвиля переносила б нескінченну потужність, і створення плоскої хвилі знадобилася б нескінченна енергія. Хвилю зі складним (реальним) фронтом можна як спектра плоских хвиль з допомогою перетворення Фур'є по просторовим змінним.

Квазиплоська хвиля- хвиля, фронт якої близький до плоского в обмеженій області. Якщо розміри області досить великі для цієї задачі, то квазиплоскую хвилю можна приблизно вважати плоскою. Хвилю зі складним фронтом можна апроксимувати набором локальних квазіплоських хвиль, вектори фазових швидкостей, які нормальні реальному фронту в кожній його точці. Прикладами джерел квазіплоських електромагнітних хвиль є лазер, дзеркальна і лінзова антени: розподіл фази електромагнітного поля в площині, паралельній апертурі (випромінює отвору), близько до рівномірного. У міру віддалення від апертури фронт хвилі набуває складної форми.

Визначення

Рівняння будь-якої хвилі є рішенням диференціального рівняння хвильовим. Хвильове рівняння для функції $A$записується у вигляді

$\backslash Delta\; A(\backslash vec(r),t)\; =\; \backslash frac\; (1)\; (v^2)\; \backslash ,\; \backslash frac\; (\backslash partial^2\; A(\backslash vec(r),t))\; (\backslash partial\; t^2)$де

• $\backslash Delta$- Оператор Лапласа;
• $A(\backslash vec(r),t)$- потрібна функція;
• $r$- радіус-вектор шуканої точки;
• $v$- Швидкість хвилі;
• $t$- Час.

Одновимірний випадок

$\backslash Delta\; W\_k\; =\; \backslash cfrac\; (\backslash rho)\; (2)\; \backslash left(\backslash cfrac\; (\backslash partial\; A)\; (\backslash partial\; t)\; \backslash right)^2\; \backslash Delta\; V$ $\backslash Delta\; W\_p\; =\; \backslash cfrac\; (E)\; (2)\; \backslash left(\backslash cfrac\; (\backslash partial\; A)\; (\backslash partial\; x)\; \backslash right)^2\; \backslash Delta\; V\; =\; \backslash cfrac\; (\backslash rho\; v^2)\; (2)\; \backslash left\; (\backslash cfrac\; (\backslash partial\; A)\; (\backslash partial\; x)\; \backslash right)^2\; \backslash Delta\; V\; .$

Повна енергія це

$W\; =\; \backslash Delta\; W\_k\; +\; \backslash Delta\; W\_p\; =\; \backslash cfrac(\backslash rho)(2)\; \backslash bigg[\; \backslash left(\backslash cfrac\; (\backslash partial\; A)\; (\backslash partial\; t)\; \backslash right)^2\; +\; v^2\; \backslash left(\backslash \; cfrac(\backslash partial\; A)(\backslash partial\; (x))\; \backslash right)^2\; \backslash bigg]\; \backslash Delta\; V\; .$

Щільність енергії, відповідно, дорівнює

$\backslash omega\; =\; \backslash cfrac\; (W)\; (\backslash Delta\; V)\; =\; \backslash cfrac(\backslash rho)(2)\; \backslash bigg[\; \backslash left(\backslash cfrac\; (\backslash partial\; A)\; (\backslash partial\; t)\; \backslash right)^2\; +\; v^2\; \backslash left(\backslash cfrac\; (\backslash partial\; A)\; (\backslash partial\; (x))\; \backslash right)^2\; \backslash bigg]\; =\; \backslash rho\; A^2\; \backslash omega^2\; \backslash sin^2\; \backslash left(\backslash omega\; t\; -\; k\; x\; +\; \backslash varphi\_0\; \backslash right).$

Поляризація

Напишіть відгук про статтю "Плоска хвиля"

Література

• Савельєв І.В.[Частина 2. Хвилі. Пружні хвилі.] // Курс загальної фізики / За редакцією Гладньова Л.І., Михаліна Н.А., Міртова Д.А.. - 3-тє вид. – М.: Наука, 1988. – Т. 2. – С. 274-315. – 496 с. - 220 000 екз.

Примітки

Див. також

Уривок, що характеризує Плоска хвиля

- Шкода, шкода молодця; давай листа.
Ледве Ростов встиг передати листа і розповісти всю справу Денисова, як зі сходів застукали швидкі кроки зі шпорами і генерал, відійшовши від нього, посунувся до ґанку. Панове почту государя втекли зі сходів і пішли до коней. Берейтор Ене, той самий, що був в Аустерліці, підвів коня государя, і на сходах почувся легкий скрип кроків, які зараз дізнався Ростов. Забувши небезпеку бути впізнаним, Ростов посунувся з декількома цікавими з жителів до самого ґанку і знову, після двох років, він побачив ті ж обожнювані ним риси, те саме обличчя, той самий погляд, ту саму ходу, те саме поєднання величі і лагідності… І почуття захоплення та любові до государя з колишньої силою воскресило у душі Ростова. Государ у Преображенському мундирі, у білих лосинах і високих ботфортах, із зіркою, яку не знав Ростов (це була legion d'honneur) [зірка почесного легіону] вийшов на ґанок, тримаючи капелюх під рукою і одягаючи рукавичку. Висвітлюючи довкола себе своїм поглядом, декому з генералів він сказав кілька слів, він також впізнав колишнього начальника дивізії Ростова, посміхнувся йому і покликав його до себе.
Вся почет відступила, і Ростов бачив, як генерал цей щось досить довго говорив государю.
Пан сказав йому кілька слів і зробив крок, щоб підійти до коня. Знову натовп почту і натовп вулиці, де був Ростов, присунулися до государя. Зупинившись у коня і взявшись рукою за сідло, пан звернувся до кавалерійського генерала і сказав голосно, очевидно з бажанням, щоб усі чули його.
- Не можу, генерале, і тому не можу, що закон сильніший за мене, - сказав пан і заніс ногу в стремено. Генерал шанобливо нахилив голову, пан сів і поїхав галопом вулицею. Ростов, не пам'ятаючи себе від захоплення, з натовпом побіг за ним.

На площі куди поїхав государ, стояли віч-на-віч праворуч батальйон преображенців, ліворуч батальйон французької гвардії в ведмежих шапках.
Коли пан під'їжджав до одного флангу баталіонів, які зробили на варту, до протилежного флангу підскакував інший натовп вершників і попереду їх Ростов впізнав Наполеона. Це не міг бути ніхто інший. Він їхав галопом у маленькому капелюсі, з Андріївською стрічкою через плече, у розкритому над білим камзолом синьому мундирі, на надзвичайно породистому арабському сірому коні, на малиновому, золотому шитому, чепраці. Під'їхавши до Олександра, він підняв капелюх і при цьому русі кавалерійське око Ростова не міг не помітити, що Наполеон погано і не твердо сидів на коні. Батальйони закричали: Ура і Vive l'Empereur! [Хай живе Імператор!] Наполеон щось сказав Олександру. Обидва імператори злізли з коней і взяли один одного за руки. На обличчі Наполеона була неприємно удавана посмішка. .
Ростов не зводячи очей, незважаючи на тупцювання кіньми французьких жандармів, що тримали в облогу натовп, стежив за кожним рухом імператора Олександра і Бонапарте. Його, як несподіванка, вразило те, що Олександр поводився як рівний з Бонапарте, і що Бонапарте цілком вільно, ніби ця близькість з государем природна і звична йому, як рівний, поводився з російським царем.
Олександр і Наполеон з довгим хвостом почту підійшли до правого флангу Преображенського батальйону, прямо на юрбу, що стояла тут. Натовп опинився несподівано так близько до імператорів, що Ростову, що стояв у передніх рядах його, стало страшно, як би його не впізнали.
- Сир, я прошу у вас дозволу дати орден Почесного легіону найхоробрішому з ваших солдатів, - сказав різкий, точний голос, що домовляє кожну. Це говорив малий на зріст Бонапарті, знизу прямо дивлячись у вічі Олександру.
- Тому, хто найхоробріше за всіх показав себе під час війни, - додав Наполеон, викарбовуючи кожен склад, з обурливим для Ростова спокоєм і впевненістю оглядаючи ряди росіян, що витягнулися перед. ним солдатів, що все тримають на варту і нерухомо дивляться в обличчя свого імператора.
— сказав Олександр і зробив кілька поспішних кроків до князя Козловського, командира батальйону. Бонапарте став знімати рукавичку з білої, — сказав він. маленької руки і розірвавши її, кинув... Ад'ютант, ззаду квапливо кинувшись уперед, підняв її.
– Кому дати? - Не голосно, російською запитав імператор Олександр у Козловського.
- Кому накажете, ваша величність? - Государ невдоволено скривився і, озирнувшись, сказав:
- Але ж треба відповідати йому.
Козловський з рішучим виглядом озирнувся на ряди і в цьому погляді захопив Ростова.
«Чи не мене?» подумав Ростов.
- Лазарєв! - насупившись, прокомандував полковник; і перший за ранжиром солдат, Лазарєв, жваво вийшов уперед.
– Куди ж ти? Тут стій! - Зашепотіли голоси на Лазарєва, який не знав куди йому йти. Лазарєв зупинився, злякано зиркнувши на полковника, і обличчя його здригнулося, як це буває з солдатами перед фронтом.
Наполеон трохи повернув голову назад і відвів назад свою маленьку пухку ручку, ніби бажаючи взяти щось. Обличчя його почту, здогадавшись тієї ж миті в чому справа, заметушилися, зашепотілися, передаючи щось одне одному, і паж, той самий, якого вчора бачив Ростов у Бориса, вибіг уперед і шанобливо нахилившись над простягнутою рукою і не змусивши її чекати. однієї секунди, вклав у неї орден на червоній стрічці. Наполеон, не дивлячись, стиснув два пальці. Орден опинився між ними. Наполеон підійшов до Лазарєва, який, викочуючи очі, наполегливо продовжував дивитись тільки на свого государя, і озирнувся на імператора Олександра, показуючи цим, що те, що він робив тепер, робив для свого союзника. Маленька біла рука з орденом торкнулася гудзика солдата Лазарєва. Наче Наполеон знав, що для того, щоб назавжди цей солдат був щасливий, нагороджений і відмінний від усіх у світі, потрібно було тільки, щоб його, Наполеонова рука, удостоїлася доторкнутися до грудей солдата. Наполеон тільки приклав хрест до грудей Лазарєва і, пустивши руку, звернувся до Олександра, ніби він знав, що хрест має прилипнути до грудей Лазарєва. Хрест справді прилип.

Вивчення хвиль почнемо з найпростішого випадку одновимірного руху середовища, коли всі характеристики хвилі залежать тільки від однієї декартової координати, наприклад координати х. Поверхні, у яких фаза даної хвилі має те саме значення, називають фронтами хвилі. У цьому випадку фронти – площині

Оскільки тиск змінюється лише у напрямі, перпендикулярному до фронтів, швидкість частинок в одновимірному русі також спрямована перпендикулярно до фронтів.

Для одновимірного звукового поля можна знайти загальне рішення хвильового рівняння, що приймає в цьому випадку вигляд

Зробимо у цьому рівнянні заміну змінних

Приватні похідні тиску по і по х виразяться через похідні за новими змінними таким чином:

Повторюючи диференціювання, знайдемо

Підставляючи отримані вирази у хвильове рівняння, отримаємо

Звідси випливає, що приватна похідна др/так має бути незалежною від змінної її вважатимуться довільною

функцією від:

Інтегруючи а, знайдемо

де також є довільні функції своїх аргументів. Повертаючись до вихідних змінних, знайдемо, що загальне рішення одновимірного хвильового рівняння - так зване "даламберове рішення" - має вигляд

Будь-яка функція від або від представляє собою плоску хвилю, що біжить: перша - хвилю, що біжить направо, друга - хвилю, що біжить ліворуч. Загальне рішення одномірної задачі зводиться до суми двох плоских хвиль довільної форми, що біжать назустріч один одному. Кожна з цих хвиль окремо переміщається у напрямку позитивної (або негативної) осі х як тверде тіло зі швидкістю с.

Таким чином, введення поняття швидкості для плоскої хвилі, що біжить, в середовищі робиться виправданим. Однак воно неоднозначне. Вводячи це поняття, ми неявно припускаємо, що хвиля рухається як тверде тіло у напрямку осі х. Але картина анітрохи не зміниться, якщо вважати, що обурення рухається як тверде тіло в напрямку, що складає з віссю х кут зі швидкістю, як це доведено на рис. 17.1 для синусоїдальної хвилі. Обидва випадки принципово невиразні, тому що невиразні стану обурення середовища в будь-яких точках одного і того ж фронту хвилі. Тому поки що ми вважатимемо це визначення напрями і величини швидкості хвилі умовним. Нижче, у гол. III, ми побачимо, що є й примусові підстави приймати саме таке визначення, окрім очевидної зручності.

Наведемо зведення найважливіших співвідношень між характеристиками плоскої хвилі, що біжить. Нехай тиск у хвилі задано у вигляді

де верхній знак відповідає хвилі, що біжить у позитивному, а нижній - у негативному напрямку осі х. Зв'язок між тиском, швидкістю і стисненням в хвилі, що біжить, має вигляд

Звідси, користуючись (14.2), знайдемо ще співвідношення

Ділянки середовища, у яких стиск (а отже, і тиск) позитивні, рухаються у бік бігу хвилі, а ділянки негативних тисків рухаються назустріч бігу хвилі. Частинки, у яких звуковий тиск дорівнює нулю, мають швидкість, рівну нулю.

Мал. 17.1. Двовимірний профіль тиску в плоскій синусоїдальній хвилі в площині, що проходить через напрям поширення хвилі. Переміщення хвилі в напрямку а зі швидкістю з невідмінним від переміщення в напрямку зі швидкістю.

Якщо завжди вважати напрямок бігу хвилі позитивним, то позитивному напрямку рухатимуться стислі ділянки, а негативному - розріджені ділянки середовища, й у формулах (17.2) і (17.3) завжди можна брати знак плюс. Відношення швидкості частинок до тиску в хвилі, що біжить, при такому виборі позитивного напрямку в будь-який момент часу дорівнює величині

Це відношення називають хвильовою провідністю середовища. Вона залежить від форми хвилі, лише від властивостей середовища.

Величину зворотну хвильової провідності називають хвильовим опором середовища.

Усі наведені тут формули справедливі лише відсутність дисперсії.

Отримана нами запис плоскої хвилі, що біжить пов'язана з вибором осі х в напрямку поширення хвилі. Напишемо

рівняння плоскої хвилі у векторному вигляді. Це дозволить надалі отримати вираз для плоскої хвилі та у будь-якій системі координат.

Для цього введемо вектор перпендикулярний до фронтів хвилі та рівний за модулем зворотного значення швидкості: Вектор називатимемо вектором повільності хвилі. Позначимо радіус-вектор довільної точки середовища, проведений з початку координат, Очевидно, Отже, рівняння плоскої хвилі, що біжить, можна записати у вигляді

Мал. 17.2. Вектор повільність плоскої хвилі та його проекції на координатні осі та координатні площини. Жирні стрілки - вектор повільності вихідної хвилі та вектори повільності слідів хвилі на осі х та на площині

Останній запис не пов'язаний із вибором системи координат. Якщо для плоскої хвилі, що біжить відома залежність тиску від часу в будь-якій точці і вектор повільності 5 відомий, то рівняння хвилі вийде шляхом заміни в цій залежності часу на бином (де радіус-вектор проведений з даної точки). Співвідношення (17.2) між швидкістю частинок і тиском у плоскій хвилі можна записати, користуючись вектором повільності, у векторній формі:

Користуючись (17.5), можна записати вираз для хвилі в координатній формі за будь-якого розташування координатних осей щодо напрямку поширення хвилі:

Тут проекції вектора повільності координатні осі; кути вектора повільності з координатними осями (рис. 17.2).

«Слід» плоскої хвилі на будь-якій осі, наприклад на осі можна розглядати як одновимірну хвилю, що біжить уздовж осі х. Аналогічно «слід» хвилі на якій-небудь площині, наприклад площині можна розглядати як двовимірну хвилю, що біжить на площині.

хвилі, але повільності слідів інші: вони дорівнюють проекціям вектора повільності вихідної хвилі на відповідні осі або площині. Так, повільність сліду на осі х є, а повільність сліду на площині є.

Вектор повільності вихідної плоскої хвилі і повільності її слідів на осях і площинах координат знаходяться в тих же співвідношеннях один з одним, як вектор швидкості матеріальної точки, що рухається, і швидкості її проекцій на осі і на площині. При хвильовому підході до акустичних процесів вектор повільності - поняття, що має безпосередній фізичний зміст, так само, як у механіці матеріальних точок має сенс вектор швидкості. Поняття ж вектора швидкості для хвиль має не більший сенс, ніж поняття вектора повільності для точки, що рухається. Тільки одномірних рухів, коли швидкість чи повільність вважатимуться скалярами і принципово немає питання проекціях чи слідах аналізованого об'єкта, можна було б на рівних правах застосовувати поняття швидкості і повільності як хвиль, так матеріальних точок. Застосовується завжди для тих і інших об'єктів і поняття повільності чи швидкості по модулю. У цьому сенсі зазвичай і говорять про швидкість хвиль, а не про повільність; але так кажуть тільки через звичку: ми частіше обговорюємо рух тіл, ніж хвиль.

Та обставина, що з хвиль поняття вектора швидкості немає сенсу і його місце стає поняття вектора повільності хвилі, пов'язані з принциповим різницею між механікою хвиль і механікою матеріальних точок, про яку вже говорили в § 1.

> Сферичні та плоскі хвилі

Навчіться розрізняти сферичні та плоскі хвилі. Читайте, яку хвилю називають плоскою чи сферичною, джерело, роль хвильового фронту, характеристика.

Сферичні хвилівиникають із точкового джерела у сферичному візерунку, а плоскі- Нескінченні паралельні площини, нормальні до вектора фазової швидкості.

Завдання навчання

• Обчислити джерела сферичних та плоских хвильових візерунків.

Основні пункти

• Хвилі створюють конструктивні та деструктивні перешкоди.
• Сферичні виникають із одного точкового джерела у сферичній формі.
• Плоска вода - частотна, хвильові фронти якої виступають нескінченними паралельними площинами зі стабільною амплітудою.
• Насправді не вийде отримати ідеальну плоску хвилю, але багато хто наближається до такого стану.

Терміни

• Деструктивні перешкоди – хвилі заважають одна одній, а крапки не збігаються.
• Конструктивні хвилі заважають і точки розташовані в ідентичних фазах.
• Хвильовий фронт - уявна поверхня, що простягається крізь осцилюючі точки у фазі середовища.

Сферичні хвилі

Яку хвилю називають сферичною? Розробити метод визначення способу і місця поширення хвиль вдалося Крістіану Гюйгенсу. В 1678 він висунув припущення, що кожна точка, з якою стикається світлова перешкода, перетворюється на джерело сферичної хвилі. Підсумовування вторинних хвиль обчислює вигляд у час. Цей принцип показав, що з контакті хвилі створюють деструктивні чи конструктивні перешкоди.

Конструктивні формуються, якщо хвилі повністю перебувають у фазі один одного, а фінальна посилюється. У деструктивних хвилях не відповідають по фазах і фінальна просто скорочується. Хвилі виникають із одного точкового джерела, тому формуються у сферичному візерунку.

Якщо хвилі генеруються з точкового джерела, то виступають сферичними

Цей принцип застосовує закон заломлення. Кожна точка на хвилі створює хвилі, що заважають один одному конструктивно чи деструктивно

Плоскі хвилі

Тепер зрозуміємо, яку хвилю називають плоскою. Плоска відображає частотну хвилю, фронти якої виступають нескінченними паралельними площинами зі стабільною амплітудою, розташованою перпендикулярно до вектора фазової швидкості. Насправді не можна здобути справжню плоску хвилю. Тільки плоска з нескінченною протяжністю зможе відповідати їй. Щоправда, багато хвиль наближаються до такого стану. Наприклад, антена формує поле, яке виступає приблизно плоским.

Плоскі відображають нескінченну кількість хвильових фронтів, нормальних до сторони поширення