Рівняння прямої у відрізках

Нехай дано загальне рівняння прямої:

Рівняння прямої у відрізках, де – відрізки, які відсікає пряма на відповідних осях координат.

Побудувати пряму, задану загальним рівнянням:

З чого можна побудувати рівняння цієї прямої у відрізках:

Взаємне розташування прямих на площині.

Твердження 1.

Для того щоб прямі та, задані рівняннями:

Збігалися, необхідно і достатньо, щоб:

Доказ: і збігаються їх напрямні вектора і колінеарни, тобто:

Візьмемо точку М 0 цим прямим, тоді:

Помножуючи перше рівняння і додаючи до другого в силу (2) отримаємо:

Отже, формули (2), (3) та (4) еквівалентні. Нехай виконується (2), тоді рівняння системи (*) еквівалентні відповідні прямі збігаються.

Твердження 2.

Прямі і задані рівняннями (*) паралельні і не збігаються тоді і тільки тоді, коли:

Доказ:

Нехай і не збігаються:

Несумісна, тобто, за теоремою Кронекера-Капеллі:

Це можливо лише за умови:

Т. е., при виконанні умови (5).

При виконанні першої рівності (5) - невиконання другої рівності дає несумісність системи (*) прямі паралельні і не збігаються.

Примітка 1.

Полярна система координат.

Зафіксуємо на площині крапку та назвемо її полюсом. Промінь, що виходить із полюса, назвемо полярною віссю.

Виберемо масштаб для вимірювання довжин відрізків і умовимося, що поворот навколо т. проти годинникової стрілки вважатимемо позитивним. Розглянемо будь-яку точку на заданій площині, позначимо її відстань до полюса і назвемо полярним радіусом. Кут, на який потрібно повернути полярну вісь, щоб вона збіглася з позначимо через і назвемо полярним кутом.

Визначення 3.

Полярними координатами точки називається її полярний радіус та полярний кут:

Зауваження 2. у полюсі. Значення для точок, відмінних від точки, визначено з точністю до доданку.

Розглянемо декартову прямокутну систему координат: полюс збігається з початком, а полярна вісь – з позитивною піввіссю. Тут. Тоді:

Що є зв'язком між прямокутною декартовою та полярною системами координат.

Рівняння лемніскати Бернуллі. Записати його у полярній системі координат.

Нормальне рівняння прямої на площині. Нехай полярна вісь збігається з - вісь, що проходить через початок координат. Нехай:

Нехай тоді:

Умова (**) для того, щоб крапка:

Рівняння прямої у полярній системі координат.

Тут – довжина, проведеного від початку координат на пряму, – кут нахилу нормалі до осі.

Рівняння (7) можна переписати:

Нормальне рівняння прямої на площині.

Нехай задана афінна система координат OXY.

Теорема 2.1.Будь-яка пряма lсистемі координат ОX задається лінійним рівнянням виду

А x+ B y+ З = О, (1)

де А, В, С R і А 2 + 2 0. Назад, будь-яке рівняння виду (1) задає пряму.

Рівняння виду (1) - загальне рівняння прямої .

Нехай у рівнянні (1) всі коефіцієнти А, В та С відмінні від нуля. Тоді

Ах-By=-С, та .

Позначимо -З/А=а, -З/B=b. Отримаємо

-рівняння у відрізках .

Справді, числа | а | та |b| вказують на величини відрізків, що відсікаються прямою lна осях ОХ та OY відповідно.

Нехай пряма lзадана загальним рівнянням (1) у прямокутній системі координат і нехай точки M 1 (x 1 ,у 1) та М 2 (х 2 ,у 2) належить l. Тоді

А x 1+В у 1 + С = А х 2+В у 2 + З, тобто A ( x 1 -x 2) + В( у 1 -у 2) = 0.

Остання рівність означає, що вектор =(А,В) ортогональний вектору =(x 1 -x 2 ,у 1 -у 2). тобто. Вектор (А,В) називається нормальним вектором прямий l.

Розглянемо вектор = (-В, А). Тоді

А(-В)+ВА=0. тобто. ^ .

Отже, вектор =(-В,А) є напрямним вектором пряної l.

Параметричне та канонічне рівняння прямої

Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки

Нехай в афінній системі координат (0, X, Y) задана пряма l, її напрямний вектор = (m,n) та точка M 0 ( x 0 ,y 0) належить l. Тоді для довільної точки M ( x,у) цієї прямої маємо

і тому що .

Якщо позначити та

Радіус-вектори відповідно до точок M і M 0 , то

- рівняння прямої у векторній формі.

Оскільки =( х,у), =(х 0 ,у 0), то

x= x 0 + mt,

y= y 0 + nt

- параметричне рівняння прямої .

Звідси слідує що

- канонічне рівняння прямої .

Зрештою, якщо на прямій lзадані дві точки M 1 ( х 1 ,у 1) та

M 2 ( x 2 ,у 2), то вектор =( х 2 -х 1 ,y 2 -у 1) є напрямним вектор прямий l. Тоді

- рівняння прямої, що проходить через дві задані точки.

Взаємне розташування двох прямих.

Нехай прямі l 1 та l 2 задані своїми загальними рівняннями

l 1: А 1 х+ В 1 у+ З 1 = 0, (1)

l 2: А 2 х+ У 2 у+ З 2 = 0.

Теорема. Нехай прямі l 1 та l 2 задані рівняннями (1). Тоді і лише тоді:

1) прямі перетинаються, коли немає такого числа λ, що

A 1 = λA 2 , 1 =λB 2 ;

2) прямі збігаються, коли знайдеться таке число λ, що

А 1 = λA 2 , B 1 = λB 2 З 1 =λС 2 ;

3) прямі різні та паралельні, коли знайдеться така кількість λ, що

А 1 = λA 2 , В 1 = λВ 2 З 1 λС 2 .

Пучок прямих

Пучком прямих називається сукупність всіх прямих на площині, що проходять через деяку точку, яку називають центром пучка.

Для завдання рівняння пучка достатньо знати якісь дві прямі l 1 та l 2, що проходять через центр пучка.

Нехай в афінній системі координат прямі l 1 та l 2 задані рівняннями

l 1: A 1 x+ B 1 y+ C 1 = 0,

l 2: A 2 x+ B 2 y+ C2 = 0.

Рівняння:

A 1 x+ B 1 y+ З + λ (A 2 х+ У 2 y+ C) = 0

- Рівняння пучка прямих, що визначається рівняннями l 1 і l 2.

Надалі, під системою координат розумітимемо прямокутну систему координат .

Умови паралельності та перпендикулярності двох прямих

Нехай задані прямі l 1 та l 2 . своїми загальними рівняннями; = (А 1, B 1), = (А 2, В 2) - нормальні вектори цих прямих; k 1 = tgα 1 , k 2 = tgα 2 – кутові коефіцієнти; = ( m 1 ,n 1), (m 2 ,n 2) - напрямні вектори. Тоді, прямі l 1 та l 2 паралельні, в тому і тільки тому випадку, якщо виконується одна з наступних умов:

або або k 1 =k 2, або.

Нехай тепер прямі l 1 та l 2 перпендикулярні. Тоді, очевидно, тобто А 1 А 2 + В 1 В 2 = 0.

Якщо прямі l 1 та l 2 задані відповідно до рівнянь

l 1: у=k 1 x+ b 1 ,

l 2: у=k 2 x+ b 2 ,

то tgα 2 = tg(90º+α) = .

Звідси слідує що

Нарешті, якщо і напрямні вектори прямих, то ^ тобто

m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0

Останнє співвідношення висловлюють необхідну та достатню умову перпендикулярності двох площин.

Кут між двома прямими

Під кутом між двома прямими l 1 та l 2 розуміти найменший кут, на який треба повернути одну пряму, щоб вона стала паралельною іншою прямою або збіглася з нею, тобто 0 £ φ £

Нехай прямі задано загальними рівняннями. Очевидно, що

cosφ=

Нехай тепер прямі l 1 та l 2 задана рівняннями з кутовими коефіцієнтами k 1 в k 2 відповідно. Тоді

Очевидно, що , тобто ( х-х 0) + В( у-у 0) + C( z-z 0) = 0

Розкриємо дужки та позначимо D=-А x 0 - В у 0 - C z 0 . Отримаємо

A x+ B y+ З z+ D = 0 (*)

- рівняння площини у загальному виглядіабо загальне рівняння площини.

Теорема 3.1Лінійне рівняння (*) (A 2 +B 2 +C 2 ≠ 0) є рівнянням площини та назад, будь-яке рівняння площини є лінійним.

1) D = 0 тоді площина проходить через початок координат.

2) А = 0, тоді площина паралельна осі ОХ

3) А = 0, В = 0, тоді площина паралельна площині OXY.

Нехай у рівнянні всі коефіцієнти відмінні від нуля.

- рівняння площини у відрізках. Числа | а |, | b |, | вказують на величини відрізків, що відсікаються площиною на координатних осях.

І докладно розберемо особливий вид рівняння прямої – . Почнемо з виду рівняння прямої у відрізках і наведемо приклад. Після цього зупинимося на побудові прямої лінії, яка задана рівнянням прямої у відрізках. На закінчення покажемо, як здійснюється перехід від повного загального рівняння прямої до рівняння прямої у відрізках.

Навігація на сторінці.

Рівняння прямої у відрізках – опис та приклад.

Нехай на площині зафіксована Oxy.

Рівняння прямої у відрізкахна площині прямокутної системі координат Oxy має вигляд , де a і b - деякі відмінні від нуля дійсні числа.

Рівняння прямої у відрізках невипадково отримало таку назву - абсолютні величини чисел a і b рівні довжинам відрізків, які відсікає пряма на координатних осях Ox і Oy, рахуючи від початку координат.

Пояснимо цей момент. Ми знаємо, що координати будь-якої точки прямої задовольняють рівняння цієї прямої. Тоді чітко видно, що пряма, задана рівнянням прямої у відрізках, проходить через точки і , оскільки і . А точки і розташовані на координатних осях Ox і Oy відповідно і віддалені від початку координат на a і b одиниць. Знаки чисел a і b вказують напрямок, у якому слід відкладати відрізки. Знак «+» означає, що відрізок відкладається у позитивному напрямку координатної осі, знак «-» означає зворотне.

Зобразимо схематичний креслення, що пояснює все сказане вище. На ньому показано розташування прямих відносно фіксованої прямокутної системи координат Oxy залежно від значень чисел a та b у рівнянні прямої у відрізках.

Тепер стало зрозуміло, що рівняння прямої у відрізках дозволяє легко проводити побудову цієї прямої лінії у прямокутній системі координат Oxy . Щоб побудувати пряму лінію, яка задана рівнянням прямої у відрізках виду, слід зазначити у прямокутній системі координат на площині точки і після чого з'єднати їх прямою лінією за допомогою лінійки.

Наведемо приклад.

приклад.

Побудуйте пряму лінію, задану рівнянням прямої у відрізках виду .

Рішення.

За заданим рівнянням прямої у відрізках видно, що пряма проходить через точки . Відзначаємо їх та з'єднуємо прямою лінією.

Приведення загального рівняння прямої до рівняння прямої у відрізках.

При вирішенні деяких завдань, пов'язаних із прямою на площині, зручно працювати з рівнянням прямої у відрізках. Однак є інші види рівнянь, що задають пряму на площині. Тому доводиться здійснювати перехід від заданого рівняння прямої до рівняння цієї прямої у відрізках.

У цьому пункті ми покажемо, як отримати рівняння прямої у відрізках, якщо дано повне загальне рівняння прямої .

Нехай нам відоме повне загальне рівняння прямої на площині . Так як А, В і С не дорівнюють нулю, то можна перенести число С у праву частину рівності, розділити обидві частини набутої рівності на -С, а коефіцієнти при x і y відправити в знаменники:
.

(В останньому переході ми користувалися рівністю ).

Так ми від загального рівняння прямої перейшли до рівняння прямої у відрізках , де .

приклад.

Пряма у прямокутній системі координат Oxy задана рівнянням . Напишіть рівняння цієї прямої у відрізках.

Рішення.

Перенесемо одну другу у праву частину заданої рівності: . Тепер розділимо на обидві частини набутої рівності: . Залишилося перетворити отриману рівність до потрібного виду: . Так ми отримали необхідне рівняння прямої у відрізках.

Відповідь:

Якщо пряму визначає

Якщо у загальному рівнянні прямий Ах + Ву + С = 0 С 1 0, то, розділивши на -С, отримаємо: або

Геометричний сенс коефіцієнтів у тому, що коефіцієнт ає координатою точки перетину прямої з віссю Ох, а b- Координацією точки перетину прямої з віссю Оу.

приклад. Задано загальне рівняння прямої х – у + 1 = 0. Знайти рівняння цієї прямої у відрізках.

С = 1, а = -1, b = 1.

Нормальне рівняння прямої.

Якщо обидві частини рівняння Ах + Ву + С = 0 розділити на число, яке називається нормуючим множником, то отримаємо

Xcosj + ysinj - p = 0 -

нормальне рівняння прямої.

Знак ± нормуючого множника треба вибирати так, щоб m×С< 0.

р - Довжина перпендикуляра, опущеного з початку координат на пряму, а j - кут, утворений цим перпендикуляром з позитивним напрямом осі Ох.

приклад. Дано загальне рівняння прямої 12х - 5у - 65 = 0. Потрібно написати різні типи рівнянь цієї прямої.

рівняння цієї прямої у відрізках:

рівняння цієї прямої з кутовим коефіцієнтом: (ділимо на 5)

нормальне рівняння прямої:

; cosj = 12/13; sinj = -5/13; p=5.

Слід зазначити, що не кожну пряму можна уявити рівнянням у відрізках, наприклад, прямі, паралельні осям або проходять через початок координат.

приклад. Пряма відсікає на координатних осях рівні позитивні відрізки. Скласти рівняння прямої, якщо площа трикутника, утвореного цими відрізками, дорівнює 8 см 2 .

Рівняння прямої має вигляд: , a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -4.

a = -4 не підходить за умовою завдання.

Разом: або х + у - 4 = 0.

приклад. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку А(-2, -3) та початок координат.

Рівняння прямої має вигляд: де х 1 = у 1 = 0; x 2 = -2; y 2 = -3.

Рівняння прямої, що проходить через цю точку

Перпендикулярно даній прямій.

Визначення.Пряма, що проходить через точку М 1 (х 1 у 1) і перпендикулярна до прямої у = kx + b представляється рівнянням:

Кут між прямими на площині.

Визначення.Якщо задані дві прямі y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 то гострий кут між цими прямими буде визначатися як

Дві прямі паралельні, якщо k1 = k2.

Дві прямі перпендикулярні, якщо k1 = -1/k2.

Теорема. Прямі Ах + Ву + С = 0 і А 1 х + В 1 у + С 1 = 0 паралельні, коли пропорційні коефіцієнти А 1 = 1А, 1 = 1В. Якщо ще й С1 = С, то прямі збігаються.

Координати точки перетину двох прямих перебувають як розв'язання системи рівнянь цих прямих.

Відстань від точки до прямої.

Теорема. Якщо задана точка М (х 0, у 0), то відстань до прямої Ах + Ву + С = 0 визначається як

Доказ.Нехай точка М 1 (х 1, у 1) - основа перпендикуляра, опущеного з точки М на задану пряму. Тоді відстань між точками М та М 1:

Координати x 1 і 1 можуть бути знайдені як розв'язання системи рівнянь:

Друге рівняння системи – це рівняння прямої, що проходить через задану точку М0 перпендикулярно заданій прямій.

Якщо перетворити перше рівняння системи до виду:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

то, вирішуючи, отримаємо:

Підставляючи ці вирази рівняння (1), знаходимо:

Теорему доведено.

Приклад . Визначити кут між прямими: y = -3x + 7; y = 2x+1.

k 1 = -3; k 2 = 2 tgj =; j = p/4.

приклад. Показати, що прямі 3х – 5у + 7 = 0 та 10х + 6у – 3 = 0 перпендикулярні.

Знаходимо: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, отже, прямі перпендикулярні.

приклад. Дано вершини трикутника А(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Знайти рівняння висоти, проведеної з вершини З.

Знаходимо рівняння сторони АВ: ; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

Шукане рівняння висоти має вигляд: Ax + By + C = 0 або y = kx + b.

k =. Тоді y = . Т.к. висота проходить через точку С, її координати задовольняють даному рівнянню: звідки b = 17. Разом: .

Відповідь: 3x + 2y - 34 = 0.

Криві другого порядку.

Крива другого порядку може бути задана рівнянням

Ах 2 + 2Вху + Су 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0.

Існує система координат (не обов'язково декартова прямокутна), у якій дане рівняння може бути представлене в одному з видів, наведених нижче.

1) – рівняння еліпса.

2) - рівняння "уявного" еліпса.

3) – рівняння гіперболи.

4) a 2 x 2 – c 2 y 2 = 0 – рівняння двох прямих, що перетинаються.

5) y 2 = 2px – рівняння параболи.

6) y 2 – a 2 = 0 – рівняння двох паралельних прямих.

7) y 2 + a 2 = 0 – рівняння двох “уявних” паралельних прямих.

8) y 2 = 0 - пара збігаються прямих.

9) (x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2 – рівняння кола.

Окружність.

У колі (x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2 центр має координати (a; b).

приклад. Знайти координати центру та радіус кола, якщо його рівняння задано у вигляді:

2x 2 + 2y 2 - 8x + 5y - 4 = 0.

Для знаходження координат центру та радіусу кола дане рівняння необхідно привести до виду, зазначеного вище у п.9. Для цього виділимо повні квадрати:

x 2 + y 2 - 4x + 2,5 y - 2 = 0

x 2 – 4x + 4 –4 + y 2 + 2,5y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0

(x - 2) 2 + (y + 5/4) 2 - 25/16 - 6 = 0

(x - 2) 2 + (y + 5/4) 2 = 121/16

Звідси знаходимо О(2; -5/4); R = 11/4.

Елліпс.

Визначення. Еліпсомназивається крива, задана рівнянням.

Визначення. Фокусаминазиваються такі дві точки, сума відстаней яких до будь-якої точки еліпса є постійна величина.

F 1, F 2 - фокуси. F 1 = (c; 0); F 2 (-c; 0)

с – половина відстані між фокусами;

a – велика піввісь;

b – мала піввісь.

Теорема. Фокусна відстань та півосі еліпса пов'язані співвідношенням:

a 2 = b 2 + c 2.

Доказ:Якщо точка М знаходиться на перетині еліпса з вертикальною віссю, r 1 + r 2= 2 (за теоремою Піфагора). Якщо точка М знаходиться на перетині еліпса з горизонтальною віссю, r 1 + r 2 = a - c + a + c.Т.к. за визначенням сума r 1 + r 2- Постійна величина, то, прирівнюючи, отримуємо:

a 2 = b 2 + c 2

r 1 + r 2 = 2a.

Визначення.Форма еліпса визначається характеристикою, яка є відношенням фокусної відстані до більшої осі та називається ексцентриситетом.

Т.к. з< a, то е < 1.

Визначення.Величина k = b/a називається коефіцієнтом стисненняеліпса, а величина 1 – k = (a – b)/a називається стискомеліпса.

Коефіцієнт стиску та ексцентриситет пов'язані співвідношенням: k 2 = 1 - e 2 .

Якщо a = b (c = 0, e = 0, фокуси зливаються), то еліпс перетворюється на коло.

Якщо для точки М(х 1 , у 1) виконується умова: , вона знаходиться всередині еліпса, а якщо , то точка знаходиться поза еліпсом.

Теорема. Для довільної точки М(х, у), що належить еліпсу, вірні співвідношення:

R 1 = a - ex, r 2 = a + ex.

Доказ.Вище було показано, що r 1 + r 2 = 2a. Крім того, з геометричних міркувань можна записати:

Після зведення в квадрат та приведення подібних доданків:

Аналогічно доводиться, що r 2 = a + ex. Теорему доведено.

З еліпсом пов'язані дві прямі, звані директрисами. Їхні рівняння:

X = a/e; x = -a/e.

Теорема. Для того, щоб точка лежала на еліпсі, необхідно і достатньо, щоб відношення відстані до фокусу до відстані до відповідної директриси дорівнювало ексцентриситету.

приклад. Скласти рівняння прямої, що проходить через лівий фокус і нижню вершину еліпса, заданого рівнянням:

1) Координати нижньої вершини: x = 0; y 2 = 16; y = -4.

2) Координати лівого фокусу: c 2 = a 2 - b 2 = 25 - 16 = 9; c = 3; F 2 (-3; 0).

3) Рівняння прямої, що проходить через дві точки:

приклад. Скласти рівняння еліпса, якщо його фокуси F 1 (0; 0), F 2 (1; 1), велика вісь дорівнює 2.

Рівняння еліпса має вигляд: . Відстань між фокусами:

2c = , таким чином, a 2 – b 2 = c 2 = ½

за умовою 2а = 2, отже а = 1, b =

Гіпербол.

Визначення. Гіперболоюназивається безліч точок площини, для яких модуль різниці відстаней від двох даних точок, званих фокусамиє величина стала, менша відстані між фокусами.

За визначенням r 1 - r 2 ï = 2a. F 1, F 2 - фокуси гіперболи. F 1 F 2 = 2c.

Виберемо на гіперболі довільну точку М(х, у). Тоді:

позначимо з 2 – а 2 = b 2 (геометрично ця величина – менша піввісь)

Отримали канонічне рівняння гіпербол.

Гіпербола симетрична щодо середини відрізка, що з'єднує фокуси та щодо осей координат.

Вісь 2а називається справжньою віссю гіперболи.

Вісь 2b називається уявною віссю гіперболи.

Гіпербола має дві асимптоти, рівняння яких

Визначення.Ставлення називається ексцентриситетомгіперболи, де з – половина відстані між фокусами, а – дійсна піввісь.

З огляду на те, що з 2 – а 2 = b 2:

Якщо а = b, e = , то гіпербола називається рівнобічної (рівносторонньої).

Визначення.Дві прямі, перпендикулярні до дійсної осі гіперболи і розташовані симетрично щодо центру на відстані a/e від нього, називаються директрисамигіперболи. Їх рівняння: .

Теорема. Якщо r – відстань від довільної точки М гіперболи до будь-якого фокусу, d – відстань від тієї ж точки до відповідної цьому фокусу директриси, то відношення r/d – величина постійна, рівна ексцентриситету.

Доказ.Зобразимо схематично гіперболу.

З очевидних геометричних співвідношень можна записати:

a/e + d = x, отже d = x – a/e.

(x – c) 2 + y 2 = r 2

З канонічного рівняння: , з урахуванням b 2 = c 2 - a 2:

Тоді т.к. с/a = e, то r = ex - a.

Для лівої гілки гіперболи доказ аналогічний. Теорему доведено.

приклад. Знайти рівняння гіперболи, вершини та фокуси якої знаходяться у відповідних вершинах та фокусах еліпса.

Для еліпса: c2 = a2 - b2.

Для гіперболи: c2 = a2+b2.

Рівняння гіперболи: .

приклад. Скласти рівняння гіперболи, якщо ексцентриситет дорівнює 2, а фокуси збігаються з фокусами еліпса з рівнянням параметром параболи. Виведемо канонічне рівняння параболи.

З геометричних співвідношень: AM = MF; AM = x + p/2;

MF 2 = y 2 + (x - p/2) 2

(x + p/2) 2 = y 2 + (x - p/2) 2

x 2 +xp + p 2 /4 = y 2 + x 2 - xp + p 2 /4

Рівняння директриси: x = -p/2.

Приклад . На параболі у 2 = 8х знайти точку, відстань якої від директриси дорівнює 4.

З рівняння параболи одержуємо, що р = 4.

r = x + p/2 = 4; отже:

x = 2; y 2 = 16; y = ±4. Шукані точки: M 1 (2; 4), M 2 (2; -4).

приклад. Рівняння кривої в полярній системі координат має вигляд:

Знайти рівняння кривої в декартовій прямокутній системі координат, визначить тип кривої, знайти фокуси та ексцентриситет. Схематично збудувати криву.

Скористаємося зв'язком декартової прямокутної та полярної системи координат: ;

Отримали канонічне рівняння гіпербол. З рівняння видно, що гіпербола зсунута вздовж осі Ох на 5 вліво, велика піввісь а дорівнює 4, менша піввісь b дорівнює 3, звідки отримуємо c 2 = a 2 + b 2; c = 5; e = c/a = 5/4.

Фокуси F 1 (-10; 0), F 2 (0; 0).

Побудуємо графік цієї гіперболи.

Рівняння прямої на площині.
Напрямний вектор прямий. Вектор нормалі

Пряма лінія на площині - це одна з найпростіших геометричних фігур, знайома вам ще з молодших класів, і сьогодні ми дізнаємося, як з нею справлятися методами аналітичної геометрії. Для освоєння матеріалу потрібно вміти будувати пряму; знати, яким рівнянням задається пряма, зокрема пряма, яка проходить через початок координат і прямі, паралельні координатним осям. Цю інформацію можна знайти у методичці Графіки та властивості елементарних функційя її створював для матана, але розділ про лінійну функцію вийшов дуже вдалим і докладним. Тому, шановні чайники, розігрійтеся спочатку там. Крім того, потрібно мати базові знання про векторах, інакше розуміння матеріалу буде неповним.

На цьому уроці ми розглянемо методи, з допомогою яких можна скласти рівняння прямої на площині. Рекомендую не нехтувати практичними прикладами (навіть якщо здається дуже просто), так як я забезпечуватиму їх елементарними і важливими фактами, технічними прийомами, які будуть потрібні надалі, в тому числі і в інших розділах вищої математики.

• Як скласти рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом?
• Як?
• Як знайти напрямний вектор за загальним рівнянням прямої?
• Як скласти рівняння прямої за точкою та вектором нормалі?

і ми починаємо:

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

Всім відомий «шкільний» вид рівняння прямої називається рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом. Наприклад, якщо пряма задана рівнянням , її кутовий коефіцієнт: . Розглянемо геометричний сенс даного коефіцієнта і те, як його значення впливає на розташування прямої:

У курсі геометрії доводиться, що кутовий коефіцієнт прямий дорівнює тангенсу кутаміж позитивним напрямком осіта даної прямої: , причому кут відкручується проти годинникової стрілки.

Щоб не захаращувати креслення, я намалював кути лише для двох прямих. Розглянемо «червону» пряму та її кутовий коефіцієнт. Згідно з вищесказаним: (кут "альфа" позначений зеленою дугою). Для "синьої" прямої з кутовим коефіцієнтом справедлива рівність (кут "бета" позначений коричневою дугою). А якщо відомий тангенс кута, то за необхідності легко знайти і сам кутза допомогою зворотної функції – Арктангенс. Як кажуть, тригонометрична таблиця або мікрокалькулятор до рук. Таким чином, кутовий коефіцієнт характеризує ступінь нахилу прямої до осі абсцис.

При цьому можливі такі випадки:

1) Якщо кутовий коефіцієнт негативний: то лінія, грубо кажучи, йде зверху вниз. Приклади – «синя» та «малинова» прямі на кресленні.

2) Якщо кутовий коефіцієнт позитивний: то лінія йде знизу вгору. Приклади – «чорна» та «червона» прямі на кресленні.

3) Якщо кутовий коефіцієнт дорівнює нулю: , то рівняння набуває вигляду , і відповідна пряма паралельна осі . Приклад - "жовта" пряма.

4) Для сімейства прямих, паралельних осі (на кресленні немає прикладу, крім самої осі), кутового коефіцієнта не існує (тангенс 90 градусів не визначено).

Чим більший кутовий коефіцієнт по модулю, тим крутіше йде графік прямий.

Наприклад, розглянемо дві прямі . Тут тому пряма має більш крутий нахил. Нагадую, що модуль дозволяє не враховувати знак, нас цікавлять лише абсолютні значеннякутових коефіцієнтів

У свою чергу, пряма більш крута, ніж прямі .

Назад: що менше кутовий коефіцієнт по модулю, то пряма є більш пологою.

Для прямих справедлива нерівність, таким чином, пряма більш полога. Дитяча гірка, щоб не насадити собі синців та шишок.

Навіщо це потрібно?

Продовжити ваші муки Знання перелічених вище фактів дозволяє негайно побачити свої помилки, зокрема, помилки при побудові графіків – якщо на кресленні вийшло «явно щось не те». Бажано, щоб вам відразубуло зрозуміло, що, наприклад, пряма дуже крута і йде знизу вгору, а пряма дуже полога, близько притиснута до осі і йде зверху вниз.

У геометричних завданнях часто фігурують кілька прямих, тому їх зручно якось позначати.

Позначення: Прямі позначаються маленькими латинськими літерами: . Популярний варіант - позначення однією і тією ж літерою з натуральними підрядковими індексами. Наприклад, ті п'ять прямих, які ми щойно розглянули, можна позначити через .

Оскільки будь-яка пряма однозначно визначається двома точками, її можна позначати даними точками: і т.д. Позначення цілком очевидно має на увазі, що точки належать до прямої .

Час трохи розім'ятися:

Як скласти рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом?

Якщо відома точка , що належить деякої прямої, і кутовий коефіцієнт цієї прямої, то рівняння цієї прямої виражається формулою :

Приклад 1

Скласти рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом, якщо відомо, що точка належить даній прямій.

Рішення: Рівняння прямої складемо за формулою . В даному випадку:

Відповідь:

Перевіркавиконується просто. По-перше, дивимося на отримане рівняння та переконуємось, що наш кутовий коефіцієнт на своєму місці. По-друге, координати точки повинні відповідати даному рівнянню. Підставимо їх у рівняння:

Отримано правильну рівність, отже, точка задовольняє отримане рівняння.

Висновок: рівняння знайдено правильно

Хитріший приклад для самостійного вирішення:

Приклад 2

Скласти рівняння прямий, якщо відомо, що її кут нахилу до позитивного напрямку осі становить , і точка належить цій прямій.

Якщо виникли труднощі, перечитайте теоретичний матеріал. Точніше практичніший, багато доказів я пропускаю.

Продзвенів останній дзвінок, відгримів випускний бал, і за воротами рідної школи нас чекає, власне, аналітична геометрія. Жарти закінчилися. А може тільки починаються =)

Ностальгічно махаємо звичною ручкою і знайомимося із загальним рівнянням прямої. Оскільки в аналітичній геометрії в ході саме воно:

Загальне рівняння прямої має вигляд: , де деякі числа. При цьому коефіцієнти одночасноне рівні нулю, оскільки рівняння втрачає сенс.

Одягнемо в костюм і краватку рівняння з кутовим коефіцієнтом. Спочатку перенесемо всі доданки до лівої частини:

Доданок з «ікс» потрібно поставити на перше місце:

У принципі, рівняння вже має вигляд , але за правилами математичного етикету коефіцієнт першого доданка (в даному випадку ) має бути позитивним. Змінюємо знаки:

Запам'ятайте цю технічну особливість!Перший коефіцієнт (найчастіше) робимо позитивним!

В аналітичній геометрії рівняння прямої майже завжди буде задано у загальній формі. Ну, а при необхідності його легко привести до «шкільного» виду з кутовим коефіцієнтом (за винятком прямих паралельних осі ординат).

Задамося питанням, що достатньознати, щоб збудувати пряму? Дві точки. Але про цей дитячий випадок пізніше зараз панують палички зі стрілочками. Кожна пряма має цілком певний нахил, до якого легко «пристосувати» вектор.

Вектор, який паралельний прямої, називається напрямним вектором даної прямої. Очевидно, що у будь-якій прямій нескінченно багато напрямних векторів, причому всі вони будуть колінеарні (соннаправлені чи ні – не важливо).

Напрямний вектор я позначатиму таким чином: .

Але одного вектора недостатньо для побудови прямої, вектор є вільним і не прив'язаний до будь-якої точки площини. Тому додатково необхідно знати деяку точку, яка належить прямою.

Як скласти рівняння прямої по точці та напрямному вектору?

Якщо відома деяка точка , що належить прямої, і напрямний вектор цієї прямої , то рівняння даної прямої можна скласти за формулою:

Іноді його називають канонічним рівнянням прямої .

Що робити, коли одна з координатдорівнює нулю, ми розберемося на практичних прикладах нижче. До речі, зауважте – відразу обидвікоординати що неспроможні дорівнювати нулю, оскільки нульовий вектор не ставить конкретного напрями.

Приклад 3

Скласти рівняння прямої по точці та напрямному вектору

Рішення: Рівняння прямої складемо за формулою. В даному випадку:

За допомогою властивостей пропорції позбавляємося дробів:

І наводимо рівняння до загального вигляду:

Відповідь:

Креслення в таких прикладах, як правило, робити не потрібно, але заради розуміння:

На кресленні бачимо вихідну точку , вихідний напрямний вектор (його можна відкласти будь-якої точки площині) і побудовану пряму . До речі, у багатьох випадках побудову прямий найзручніше здійснювати саме за допомогою рівняння з кутовим коефіцієнтом. Наше рівняння легко перетворити на вигляд і без проблем підібрати ще одну точку для побудови прямої.

Як зазначалося на початку параграфа, у прямої нескінченно багато напрямних векторів, і всі вони колінеарні. Для прикладу я намалював три такі вектори: . Який би напрямний вектор ми не вибрали, в результаті завжди вийде одне й те саме рівняння прямої.

Складемо рівняння прямої по точці та напрямному вектору:

Розрулюємо пропорцію:

Ділимо обидві частини на -2 і отримуємо знайоме рівняння:

Бажаючі можуть аналогічним чином протестувати вектори або будь-який інший колінеарний вектор.

Тепер вирішимо зворотне завдання:

Як знайти напрямний вектор за загальним рівнянням прямої?

Дуже просто:

Якщо пряма задана загальним рівнянням , вектор є напрямним вектором даної прямої.

Приклади знаходження напрямних векторів прямих:

Твердження дозволяє знайти лише один напрямний вектор з безлічі, але нам більше і не потрібно. Хоча у ряді випадків координати напрямних векторів доцільно скоротити:

Так, рівняння задає пряму, яка паралельна осі та координати отриманого напрямного вектора зручно розділити на –2, отримуючи в точності базисний вектор як напрямний вектор. Логічно.

Аналогічно, рівняння задає пряму, паралельну осі , і, розділивши координати вектора на 5, отримуємо як напрямний вектор орт .

Тепер виконаємо перевірку Прикладу 3. Приклад поїхав вгору, тому нагадую, що в ньому ми склали рівняння прямої по точці та напрямному вектору

По перше, за рівнянням прямої відновлюємо її напрямний вектор: - все нормально, отримали вихідний вектор (у ряді випадків може вийти колінеарний вихідний вектор, і це зазвичай нескладно помітити за пропорційністю відповідних координат).

По-другекоординати точки повинні задовольняти рівняння. Підставляємо їх у рівняння:

Отримано правильну рівність, чому ми дуже раді.

Висновок: завдання виконане правильно.

Приклад 4

Скласти рівняння прямої по точці та напрямному вектору

Це приклад самостійного рішення. Рішення та відповідь наприкінці уроку. Вкрай бажано зробити перевірку за розглянутим алгоритмом. Намагайтеся завжди (якщо це можливо) виконувати перевірку на чернетці. Безглуздо допускати помилки там, де їх 100% можна уникнути.

У тому випадку, якщо одна з координат напрямного вектора нульова, надходять дуже просто:

Приклад 5

Рішення: Формула не годиться, тому що знаменник правої частини дорівнює нулю Вихід є! Використовуючи властивості пропорції, перепишемо формулу у вигляді і подальше покотилося по глибокій колії:

Відповідь:

Перевірка:

1) Відновимо напрямний вектор прямий:
– отриманий вектор колінеарен вихідному напрямному вектору.

2) Підставимо координати точки в рівняння:

Отримано правильну рівність

Висновок: завдання виконане правильно

Виникає питання, навіщо маятися з формулою, якщо існує універсальна версія, яка спрацює у будь-якому випадку? Причин дві. По-перше, формула у вигляді дробу набагато краще запам'ятовується. А по-друге, недолік універсальної формули полягає в тому, що помітно підвищується ризик заплутатисяпід час встановлення координат.

Приклад 6

Скласти рівняння прямої по точці та напрямному вектору.

Це приклад самостійного рішення.

Повернімося до скрізь двох точок:

Як скласти рівняння прямої за двома точками?

Якщо відомі дві точки , то рівняння прямої, що проходить через ці точки, можна скласти за формулою:

Насправді це різновид формули і чому: якщо відомі дві точки , то вектор буде напрямним вектором даної прямої. На уроці Вектори для чайниківми розглядали найпростіше завдання – як знайти координати вектора за двома точками. Відповідно до цього завдання, координати напрямного вектора:

Примітка : точки можна "поміняти ролями" і використовувати формулу Таке рішення буде рівноцінним.

Приклад 7

Скласти рівняння прямої за двома точками .

Рішення: Використовуємо формулу:

Зачісуємо знаменники:

І перетасовуємо колоду:

Саме зараз зручно позбутися дробових чисел. В даному випадку потрібно помножити обидві частини на 6:

Розкриваємо дужки і доводимо рівняння до пуття:

Відповідь:

Перевіркаочевидна – координати вихідних точок повинні задовольняти отримане рівняння:

1) Підставимо координати точки:

Вірна рівність.

2) Підставимо координати точки:

Вірна рівність.

Висновок: рівняння прямої складено правильно.

Якщо хоча б однаіз точок не задовольняє рівняння, шукайте помилку.

Варто зазначити, що графічна перевірка в даному випадку є складною, оскільки побудувати пряму і подивитися, чи належать їй точки. , не так просто.

Зазначу ще кілька технічних моментів рішення. Можливо, у цій задачі вигідніше скористатися дзеркальною формулою і, за тими ж точками скласти рівняння:

Такі менших дробів. Якщо хочете, можете довести рішення до кінця, в результаті має вийти те саме рівняння.

Другий момент полягає в тому, щоб подивитися на підсумкову відповідь і прикинути, чи не можна її спростити? Наприклад, якщо вийшло рівняння, то тут доцільно скоротити на двійку: – рівняння задаватиме ту саму пряму. Втім, це вже тема розмови про взаємне розташування прямих.

Отримавши відповідь у Прикладі 7, я про всяк випадок, перевірив, чи не діляться ВСІ коефіцієнти рівняння на 2, 3 або 7. Хоча, найчастіше подібні скорочення здійснюються ще в процесі вирішення.

Приклад 8

Скласти рівняння прямої, що проходить через точки .

Це приклад для самостійного рішення, який дозволить краще зрозуміти і відпрацювати техніку обчислень.

Аналогічно попередньому параграфу: якщо у формулі один із знаменників (координата напрямного вектора) звертається в нуль, то переписуємо її як . І знову зауважте, як незграбно і заплутано вона стала виглядати. Не бачу особливого сенсу наводити практичні приклади, оскільки таке завдання ми вже вирішували (див. № 5, 6).

Вектор нормалі прямий (нормальний вектор)

Що таке нормаль? Простими словами, нормаль – це перпендикуляр. Тобто вектор нормалі прямий перпендикулярний даній прямій. Очевидно, що в будь-якій прямій їх нескінченно багато (так само, як і напрямних векторів), причому всі вектори нормалі прямої будуть колінеарними (сонаправлені чи ні – без різниці).

Розбирання з ними буде навіть простіше, ніж з напрямними векторами:

Якщо пряма задана загальним рівнянням прямокутної системі координат, то вектор є вектором нормалі даної прямої.

Якщо координати напрямного вектора доводиться акуратно «витягувати» з рівняння, координати вектора нормалі досить просто «зняти».

Вектор нормалі завжди ортогональний напрямного вектора прямий. Переконаємося у ортогональності даних векторів за допомогою скалярного твору:

Наведу приклади з тими ж рівняннями, що й для напрямного вектора:

Чи можна скласти рівняння прямої, знаючи одну точку та вектор нормалі? Внутрішньо відчувається, можна. Якщо відомий вектор нормалі, то однозначно визначено напрям самої прямої – це «жорстка конструкція» з кутом в 90 градусів.

Як скласти рівняння прямої за точкою та вектором нормалі?

Якщо відома деяка точка , що належить прямої, і вектор нормалі цієї прямої, то рівняння цієї прямої виражається формулою :

Тут все обійшлося без дробів та інших нежданчиків. Такий у нас нормальний вектор. Любіть його. І поважайте =)

Приклад 9

Скласти рівняння прямої по точці та вектору нормалі. Знайти напрямний вектор прямий.

Рішення: Використовуємо формулу:

Загальне рівняння прямої отримано, виконаємо перевірку:

1) «Знімаємо» координати вектора нормалі з рівняння: - Так, дійсно, отриманий вихідний вектор з умови (або повинен вийти колінеарний вихідний вектор).

2) Перевіримо, чи задовольняє точка рівняння :

Вірна рівність.

Після того, як ми переконалися, що рівняння складено правильно, виконаємо другу, легшу частину завдання. Витягуємо напрямний вектор прямий:

Відповідь:

На кресленні ситуація виглядає так:

З метою тренування аналогічне завдання для самостійного вирішення:

Приклад 10

Скласти рівняння прямої по точці та нормальному вектору. Знайти напрямний вектор прямий.

Заключний розділ уроку буде присвячений менш поширеним, але також важливим видам рівнянь прямої на площині

Рівняння прямої у відрізках.
Рівняння прямої у параметричній формі

Рівняння прямої у відрізках має вигляд , де – ненульові константи. Деякі типи рівнянь не можна уявити в такому вигляді, наприклад, пряму пропорційність (оскільки вільний член дорівнює нулю і одиницю в правій частині ніяк не отримати).

Це, образно кажучи, "технічний" тип рівняння. Звичайна задача полягає в тому, щоб загальне рівняння прямої подати у вигляді рівняння прямої у відрізках . Чим воно зручне? Рівняння прямої у відрізках дозволяє швидко знайти точки перетину прямої з координатними осями, що дуже важливим у деяких завданнях вищої математики.

Знайдемо точку перетину прямої з віссю. Обнулюємо «гравець», і рівняння набуває вигляду. Потрібна точка виходить автоматично: .

Аналогічно з віссю - Точка, в якій пряма перетинає вісь ординат.