Каква е тежестта на дадена позиция в числовата система. Какво представлява числовата система? Какви числови системи се използват от експертите за комуникация с компютър

Запознаване с Лист

Изобретателят Листик изобретил устройство за предаване на числа. Устройството му предава съобщения под формата на верига от къси и дълги сигнали. В своите бележки Листик обозначава кратък сигнал с числото „0“, а дългия с числото „1“. При предаване на числа той използва следния код за всяка цифра:

Числото 12, състоящо се от числата 1 и 2, брошурата записва за предаване, както следва:

Устройството предава това съобщение във верига от такива сигнали: три къси, един дълъг, два къси, един дълъг и един къс.

Числото 77 според системата на Listik се кодира, както следва:

Кодиране на информация

Кодирането е превод на информация във форма, която е удобна за предаване или съхранение.

Например текстовете се кодират с помощта на букви и препинателни знаци. Освен това един и същ запис може да бъде кодиран по различни начини: на руски, на английски, на китайски ...

Числата се кодират с помощта на числа. Числата, с които сме свикнали, се наричат арабски числа. Понякога се използват римски цифри. В този случай методът на кодиране на информация се променя. Например 12 и XII са различни начини за писане на едно и също число.

Музиката може да се кодира с помощта на специални знаци - ноти. Пътните знаци са кодирани съобщения до шофьори и пешеходци с помощта на пиктограми.

Продуктите в магазина са маркирани с баркод, който съдържа информация за продукта и неговия производител.

Баркодът е последователност от черно-бели ивици, която кодира информация във форма, лесна за четене от техническите устройства. Освен това под баркода могат да се поставят поредица от числа.

Информацията винаги се съхранява и предава под формата на кодове. Не можете просто да съхранявате информация, без носител. По същия начин е невъзможно да се съхранява и предава само информация: тя винаги има някаква форма, тоест е кодирана.

Двоично кодиране

Двоичното кодиране е кодиране на информация с помощта на нули и единици. За компютърните технологии този метод за представяне на информация се оказа много удобен.

Въпросът е, че компютрите са изградени върху елементи, които могат да бъдат в две възможни състояния. Едно такова състояние се обозначава с числото 0, другото с числото 1.

Пример за двоично устройство е обикновена крушка. Може да бъде в едно от двете състояния: включено (състояние 1) или изключено (състояние 0).

Можете да изградите електрическа памет върху крушки и да съхранявате в нея, например числа, като използвате двоичния код на Leaf.

За съхранение на всяка десетична цифра са необходими четири крушки. Ето как можете да запомните числото 6:

Поставете превключвателите в желаната позиция - и хайде да пием чай! Ако електричеството не е изключено, информацията ще бъде запазена.

Електрическите крушки, разбира се, не са подходящи за производството на компютри: те са големи, бързо изгарят, са скъпи (в крайна сметка има милиони) и много загряват околната среда.

В съвременните компютри като елемент на паметта се използва електронно устройство, транзистор.

Транзисторът може да предава ток през себе си (състояние 1) или не (състояние 0).

Имаше време, когато всеки транзистор се произвеждаше отделно и имаше значителни размери.

Сега транзисторите, подобно на други електронни елементи, се правят по начин, подобен на фотопечат. Едно микросхемас размер на нокът, могат да бъдат „отпечатани“ няколко милиона транзистора.

Кодът, който Listik използва за кодиране на съобщения, всъщност се използва за работа с числа в компютър.

При двоично кодиране изобщо не е нужно да разглеждате тази таблица, но помнете простото правило за превод на двоичен код в десетична цифра.

Този в кода на първо място вдясно дава числото
ето 1, на втория - 2, на третия - 4, на четвъртия - 8. За да се получи десетичната цифра, числата се добавят. Например кодът „0101“ се превежда в цифра 5 (сумата от числата 4 и 1).

Същото правило може да се използва и за декодиране. Например цифра 6 се записва като сбор от числа 4 и 2, което означава, че нейният код ще бъде „0110“.

Таблетка с числа, написани в числовата система, използвана в Древен Вавилон. Около 1700 г. пр.н.е. Дешифриран през 1945г.

Числови системи

Код на листа и кодиране на числа

Предишният урок ви показа как да пишете числа, като използвате нули и единици. Листовката кодира всяка цифраномер четири двоичензнаци.

И така, числото 102 от кода на Leaf се записва с помощта на 12 двоични знака:

Листовката кодира отделновсяка от 10 цифри и използва 4 двоични цифри за това. Но четири двоични знака могат да кодират не 10, а 16 стойности:

Оказва се, че 6 кода на листа (което е повече от половината от 10) са пропилени!

Възможно ли е да се кодира по-икономично?

Можете, ако кодирате не числа(от които се събира броят) и веднага числата! И така, числото 102, с този метод на кодиране, може да бъде записано не в дванадесет, а само в седем двоични цифри (спестяваме 5 цифри):

Това кодиране ще бъде разгледано в този урок. Но да започнем по ред.

Десетична бройна система

Както знаете, числата се изграждат от числа и има само десет числа, ето те:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Как могат да се напишат големи числа само с десет цифри? Ще видим това сега, но първо, нека си припомним дефиницията:

Извиква се начинът на писане на числа бройна система.

Научна дума мъртво разчитане, съзвучно с думата "изчисление" вече означава "начин за писане на числа". Но на математиците изглеждаше, че фразата нотациязвучи по-добре. Няма значение, ще овладеем този термин от две думи! Сега нека се справим с това бройна система, с които са свикнали.

Погледнете числото 253. В този запис първата цифра вдясно (тя се нарича най-малко значимата цифра) означава „три единици“, пет означава „пет десетки“ и две ( най-високата цифра) - "двеста".

Оказва се: 253 = 2 · 100 + 5 · 10 + 3 · 1.

Говорим си: "Двеста петдесет и три"... Това означава числото, което се получава чрез добавяне:

двеста (2 100 = двеста),

пет дузини (5 10 = петдесет) и

три единици (3 1 = три).

Виждаме, че стойността на цифрата в записа на числото зависи от длъжностив който се намира цифрата. Позициите на цифрите се наричат по различен начин заустваниячисла.

Най-малко значимата цифра означава единици:

Втората цифра отдясно означава десетки:

Третата цифра отдясно означава стотици:

Виждаме, че приносът на цифрата към числото се увеличава отдясно наляво.

Числови системи, при които приносът на цифра към число зависи длъжностисе извикват номерата в записа позиционни бройни системи.

Числовата система, позната ни, е позиционна, както видяхме. Имайте предвид, че в основапредполага се, че е номер 10 - броят на използваните цифри.

Най-ниската цифра показва броя на единиците в числото, втората отдясно - броят на десетките (1 · 10). Третият показва стотици (10 10), четвъртият показва хиляди (10 100) и т.н.

Ние броим като единици, единиците се събират до десетки (десет единици се заменят с един десет), десетки - на стотици (десет десетки се заменят със сто) и т.н.

Числото 10 е в основата на обичайната бройна система, поради което се нарича десетична система, или от числовата система основа 10.

Погледнете отново как 2789 се превежда в число.

Числото се получава чрез добавяне депозитиномера, включени в него:

Приносът на всяка цифра се получава чрез умножаване на тази цифра по зависим от позицията множител, свързан с радиуса на системата.

Множителите на позицията се изчисляват съгласно следното правило:

1. Множителят на първата (дясна) позиция е 1 .

2. Множителят на всяка следваща позиция се получава чрез умножаване на основата на системата (числото 10 ) по коефициент на предишната позиция.

Ще се извикат мултипликаторите на позицията тежести на позиции, или позиционни тежести.

Броят е равен на сумата от депозитите. Приносът е равен на произведението на фигурата и позиционното тегло. Теглото на първата позиция е 1, втората е 10, третата е 100 и т.н. Тоест, тежестта на всяка позиция (с изключение на първата) се получава от тежестта на предишната, като се умножи по основата на системата. Теглото на първата позиция е равно на единица.

Ето как: те се умножиха, добавиха и не подозираха! Оказва се, че записваме числа в базова десет позиционна нотация! Защо основата на нашата система е равна на 10? Е, това е разбираемо: все пак имаме 10 пръста, удобно е да броим, като ги огъваме по ред.

Но за компютър, както вече знаете, двоичната система е по-позната, т.е. позиционна основа две.

Двоична бройна система

В двоичната система има само две цифри:

Ако в десетичната система теглото на позицията се получава чрез умножаване по десет, то в двоичната система - чрез умножаване по две:

Оказва се: 1011 2 = 1 2 · 4 + 0· 2 · 2 + 1 2 · 1 + 1 1 .

В двоичната система те се считат за единици, единиците се добавят към двойки (две единици се заменят с една двойка), двойки се добавят към четворки (две двойки се заменят с една четворка) и т.н.

Когато е необходимо да се изясни в коя система е записан номер, основата на системата му се приписва отдолу:

1011 2 - числото се записва в двоичната система.

Не е трудно да го преобразувате в десетичната система, просто трябва да извършите операциите по умножение и събиране:

1011 2 = 1 2 · 4 + 0· 2 · 2 + 1 2 · 1 + 1 1 =

1 8 + 0 4 + 1 2 + 1 1 = 11 10.

Двоично в десетично преобразуване

В двоичната система приносът на един на първо място вдясно е числото 1, на второто - 2, на третото - 4, на четвъртото - 8 и т.н. Приносът на нули, разбира се, е равен на нула, независимо от техните позиции.

Получаваме следното правило:

За да конвертирате от двоично в десетично число, трябва да запишете тежестта на неговата позиция над всяка двоична цифра и да добавите числата, написани над тях.

10111 2 = 16 + 4 + 2 + 1 = 23 10 .

Друг пример, числото 100110:

100110 2 = 32 + 4 + 2 = 38 10 .

Десетично в двоично преобразуване

За да конвертираме от десетична в двоична, ще използваме предишната схема с тежести на позициите:

Да предположим, че трябва да преведете числото 26 в двоичната система. Ние избираме началото на двоичното число (най-значимата цифра) според схемата. 32 е много, затова започваме с 16:

Част от оригиналния номер, а именно 16, е кодирана, остава да се кодира 26 - 16 = 10. Вземете 8 (възможно най-голямото позиционно тегло):

Остава да се кодира 10 - 8 = 2. Четири е много. Пишем в позиция 0 и вземаме 2:

Кодирали сме цялото число, което означава, че последната цифра трябва да е нула:

Оказва се: 26 10 = 11010 2.

Правилото за преобразуване от десетично в двоично може да бъде формулирано по следния начин.

За да разберете по-добре този алгоритъм, работете на пейката на тестера. Щракнете върху бутона Нулиране, наберете номер. След това натиснете бутона Започнете: ще видите как тестерът изпълнява двоичния алгоритъм за преобразуване стъпка по стъпка.

Моля, обърнете внимание: в записа на алгоритъма е маркиран елементът, който ще бъде изпълнен. следнатискане на бутона Започнете... Например, ако елементът е маркиран „Повтаряйте, докато числото се превърне в нула“, след това след щракване върху ЗапочнетеТестерът ще провери текущото число за равенство на нула и ще реши дали да продължи да повтаря.

(Извършете работа с тестера на страницата на електронното приложение.)

Позиционни системи с други бази

Вася обича десетичната система, компютърът му е двоичен, а любопитните математици обичат различни позиционни бройни системи, защото за основа можете да вземете всяко число, а не само 2 или 10.

Да вземем за пример троична бройна система.

Тернарна бройна система

Троичната бройна система използва, както се досещате, три числа:

В троичната система те се считат за единици, единиците се добавят към тройки (три се заменят с една тройка), тройки - към деветки (три тройки се заменят с една деветка) и т.н.

Интересното е, че през 1958 г. под ръководството на Н.П. Брусенцов, компютърът Setun е създаден в Московския държавен университет и е работил с числа не в двоична, а в тройна бройна система! Първият прототип "Setun" е показан на снимката:

Преобразуване от трикратно в десетично

Нека обозначим в диаграмата позиционния принос на цифрите в тройната бройна система:

За да конвертирате в десетичната система, добавете цифрите, умножени по техните позиционни тегла (позиции с нула цифри, разбира се, могат да бъдат пропуснати):

10212 3 = 1 81 + 2 9 + 1 3 + 2 1 = 104 10 .

В двоичната система се отказахме от умножението (няма смисъл да умножаваме по 1). В троичната система има число 2, така че трябва да удвоите съответните позиционни тегла.

Десетично в трикратно преобразуване

Нека числото 196 трябва да бъде преведено в тройната система. Избираме началото на тройното число според схемата. 243 е много, затова започваме с 81 и числото 2 (2 81< 196):

Част от оригиналното число, а именно 162 = 2 · 81, е кодирана, остава да се кодира 196 - 162 = 34. Вземете 27 и числото 1 (число 2 дава 54, което е твърде много):

Остава да се кодира 34 - 1 · 27 = 7. Позиция с тежест 9 дава твърде много, напишете 0 в нея и заемете позиция с тежест 3 и номер 2:

Остава да се кодира 7 - 2 · 3 = 1. Това е точно стойността на останалата най-малко значима цифра:

Оказва се: 196 10 = 21021 3.

Позиционни системи: основни правила

Нека формулираме общите правила за конструиране на числа в позиционни бройни системи.

Номерът се записва с цифри, например:

За да определите стойността на дадено число, трябва да умножите числата по тежестите на техните позиции и да добавите резултатите.

Позициите са номерирани отдясно наляво. Теглото на първата позиция е 1.

Тежестта на всяка следваща позиция се получава от тежестта на предишната, като се умножи по основата на системата.

Оказва се, че тежестта на втората позиция винаги е равна на основата на системата.

Основата на системата показва броя на цифрите, които се използват в тази система. И така, в основна 10 система, десет цифри, в основна 5 система, пет цифри.

Нека разгледаме един пример. Ако влизането

означава число в основната система 5, тогава то е равно на

3242 5 = 3 125 + 2 25 + 4 5 + 2 1 = 447 10 .

Същият запис в системата base 6 означава числото

3242 6 = 3 216 + 2 36 + 4 6 + 2 1 = 746 10 .

Непозиционни бройни системи

Позиционните бройни системи не се появяват веднага, първобитните хора определят броя на някои обекти като равен на броя на други (те се считат за камъчета, пръчки, кости).

Използвани са и по-удобни методи за броене: прорези на пръчка, тирета върху камък, възли на въже.

Понякога съвременните хора също използват такава числова система, като отбелязват например броя на дните, които са преминали от прорези.

Това е пример непозиционна бройна система: използва се за броене самномер (камък, пръчка, кост, тире, възел ...), а приносът на тази цифра не зависи от нейното място (позиция), той винаги е равен на една единица.

Ясно е, че е много по-удобно да се използват позиционни бройни системи.

Действия върху числа

Действията върху числата в позиционната система с всякаква основа се извършват по същия начин, както в десетичната система: те се основават на таблиците за събиране и умножение на цифрите на съответните бройни системи.

Би било странно, ако в различни системи трябва да добавяте, изваждате, умножавате и разделяте по различни начини! Всъщност във всички бройни системи числата се конструират по един и същ начин, което означава, че действията върху тях трябва да се извършват по един и същ начин.

Нека разгледаме няколко примера.

Добавяне

5 + 7 = 12. В най-малко значимия бит пишем 2 и добавяме един към следващия бит.

Нека да изградим осмична таблица за добавяне:

Според таблицата за добавяне 5 + 7 = 14 8. Пишем 4 с най-малко значимата цифра и добавяме една към следващата цифра.

Изваждане

Ние заемаме 1 във втората цифра и изваждаме 7 от числото 15. По същия начин в осмичната система:

Заемаме 1 във втората цифра и изваждаме 7 от числото 15 8. Според таблицата за събиране в ред 7 намираме числото 15. Номерът на съответната колона дава резултата от разликата - числото 6.

Това вероятно е удобно за използване на паяци
осмична бройна система!

Умножение

2 7 = 14. Пишем 4, а 1 отива на „ум“ (добавете към следващата категория). 4 · 7 = 28. Пишем 9 (8 плюс 1 от „ум“) и 2 прехвърляме в следващата категория.

Нека да изградим осмична таблица за умножение:

2 7 = 16 8. Пишем 6, а 1 отива на „ум“ (добавете към следващата категория). 4 7 = 34 8. Пишем 5 (4 плюс 1 от „ум“) и 3 пренасяме към следващата цифра.

Дивизия

3 5< 17 < 4·5, поэтому первая цифра результата - 3. Из 17 вычитаем 5·3 = 15. К разности 2 приписываем цифру 5, получается 25. 25 = 5 ·5. Из 25 вычитаем 25=5·5, получается 0 - деление закончено.

В таблицата за умножение на ред 5 намираме подходящото число 17 8 = 5 3:

Това означава, че първата цифра на резултата е 3. От 17 8 изваждаме 17 8 = 5 · 3. Към разликата 0 приписваме последната цифра 5. 5 = 5 · 1. Извадете 5 от 5, оказва се 0 - разделението е приключило.

Въпроси и отговори

1. Дайте определение на термина „числова система“.

2. Дайте определение на термина „позиционна бройна система“.

3. Обяснете принципите на конструиране на числата в десетична нотация, като използвате примера на числото 548.

4. Какво се нарича тежест на позиция? Кажете ни алгоритъма за намиране на тежестта на дадена позиция. Каква е тежестта на третата позиция отдясно в десетичната нотация на числото? А в двоичен? А в тройката?

5. Какво се разбира под изписване? Кое място е числото 5 в десетичното число 1532?

6. Какво се нарича приносът на числата? Какъв е приносът на числото 7 до 1745 10? А приносът на числото 4 към числото 1432 5?

7. Дайте определение на термина „основа на позиционната бройна система“. Как е свързана основата на системата с броя на цифрите в тази система? Колко цифри има в 5-арната бройна система? А в шестнадесетичен? Какво ще кажете за система от 25?

8. Къде е най-малко значимата цифра в числовия запис? А най-големият?

9. Кажете ни алгоритъма за преобразуване на двоично число в десетичната бройна система и изпълнете този алгоритъм за числото 101101 2.

10. Кажете на алгоритъма за преобразуване на десетично число в двоична бройна система и изпълнете този алгоритъм за числото 50 10.

11. Как да конвертирате число от която и да е позиционна бройна система в десетичната система? Обяснението се основава на примера на система с основа 4.

Домашни задачи

Вариант 1. Изпълнява се без компютър, "на хартия"

1. Прочетете езикови усуквания, заменяйки двоични числа с десетични:

Яде добре
100001 2 баници с баница,
Да, всички с извара.

Имаше 101000 2 мишки,
Пренесено 101000 2 гроша,
А 10 2 мишки са по-малки
Те носеха по 10 2 гроша.

2. Решете пъзелите с двоични букви:

3. Извършете изчисленията и запишете отговора в десетична нотация:

1) 100 2 5 8 =

2) 100 3 + 100 5 =

3) 10 9 10 100 - 10 900 =

4) 33 4 + 44 5 =

5) 15 6 + 51 8 =

4. Преведете дадените числа в посочените бройни системи:

Вариант 2. Изпълнява се на компютър

1. Запишете аритметичния израз за решаване на следната задача и изчислете отговора:

Нашата умна Малвина
Грижи се за Буратино
И аз му го купих
От какво се нуждае най-много от всичко:
10 2 корици, 11 2 владетели
И за 111 2 рубли стикери.
На кориците - Barmaley,
Цената на всеки е 101 2 рубли.
На линийките, които купих
101010 2 рубли бяха достатъчни.
Колко струваха покупките?
За размисъл - половин минута.

2. Опитайте да използвате стандартната програма Калкулатор, за да конвертирате числа от стихотворение в обичайната десетична нотация ( Изглед- Инженерство, Кошче- двоично представяне на число, Дек- десетично представяне на числото). Използвайте калкулатора, за да запишете алгоритми за преобразуване на числа от двоични в десетични и обратно, от десетични в двоични.

Вариант 3. За любознателните

1. Докажете, че изписването на 10 във всяка позиционна бройна система означава число, равно на основата на тази система.

2. Определете основата на позиционната бройна система бза всяко равенство:

1) 10 б = 50 10 ;

2) 11 б = 6 10 ;

3) 100 б = 64 10 ;

4) 101 б = 26 10 ;

5) 50 б = 30 10 ;

6) 99 б = 909 10 ;

7) 21 б = 15 6 ;

8) 10 2 б = 100 б ;

9) 12 2 б = 22 б ;

10) 14 б· б = 104 б .

p ALIGN = "ОБОСНОВКА"> 3. Шестнадесетичната бройна система използва 16 цифри. Първите десет цифри съвпадат с цифрите на десетичната система, а последните се обозначават с букви от латинската азбука:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

	Стойност

Нека преведем например числото A8 16 в десетичната система:

A8 16 = 10 16 + 8 1 = 168 10 .

Във всяка задача намерете стойността на числото х:

1) 25 16 = х 10 ; 4) 170 10 = х 16 ;

2) AB 16 = х 10 ; 5) 2569 10 = х 16 ;

3) FD 16 = х 10 ; 6) 80 32 = х 16 .

4. Изпълнете следните задачи.

1) Намерете тежестта на третата позиция в числовия запис, ако знаете, че теглото на втората позиция е 7. Номериране на позиции отдясно наляво.

2) Числовата система използва 5 цифри. Намерете тежестта на четвъртата позиция отдясно в цифровата нотация.

3) Числото се записва под формата на две единици: 11. В каква числова система е записано, ако в десетичен е равно на 21?

4) В определена бройна система числото изглежда като 100. Колко цифри използва тази бройна система, ако в десетичната система числото е 2500?

5) Две числа се записват като 100, но в системи с различен радиус. Известно е, че основата на първата система е два пъти основата на втората. Кое число е по-голямо и колко пъти?

6) Намерете основата на системата, ако е известно, че числото 101, записано в тази система, означава десетичното число 37.

7) В коя бройна система, за да удвоите число, трябва да добавите нула вдясно от въвеждането му?

8) Умножаването по 10 в десетичната система означава добавяне на нула вдясно към числото. Формулирайте правилото за умножение по 10 бв система с основа б.

5. Формулирайте алгоритъм за преобразуване на число от десетична в тройна бройна система.

6. Изградете таблици за събиране и умножение за четворната бройна система. Използвайки тези таблици, изпълнете следните действия върху числата в колона (докато останете в кватернерната бройна система):

1.а) 1021 4 + 333 4;

б) 3333 4 + 3210 4;

2. а) 321 4 - 123 4;

б) 1000 4 - 323 4;

3. а) 13 4 · 12 4;

б) 302 4 23 4;

4.а) 1123 4:13 4;

б) 112003 4: 101 4.

7. Изградете таблици на събиране и умножение за двоичната бройна система. Използвайки тези таблици, изпълнете следните действия върху числата в колона (останали в двоичната бройна система):

1.а) 1001 2 + 1010 2;

б) 10111 2 + 1110 2;

2. а) 1110 2 - 101 2;

б) 10000 2 - 111 2;

3. а) 101 2 · 11 2;

б) 1110 2 · 101 2;

4.а) 1000 110 2: 101 2;

б) 100000100 2: 1101 2.

Работилница

На страниците на електронното приложение работете с изпълнителя Encoder.

Упражненията съдържат следните групи задачи:

Десетична

1. От двоична към десетична

2. От трикратно до десетично

3. От пет до десетичен знак

4. От шестнадесетичен до десетичен

От десетична

1. Десетичен до двоичен

2. От десетична до тройна

3. От десетично до пет

4. Десетично до шестнадесетично

Клас на кредитиране 1

2. 1101 2 = ? 10

3. 11101 2 = ? 10

Клас на кредитиране 2

10. 1001 2 = ? 16

Учителски материал

Позиционни бройни системи

В позиционната бройна система числото се записва като верига от специални знаци:

a n a n - 1 ... а 2 а 1 (1)

Символи а iса наречени фигури... Те означават редови брояеми величини, започвайки от нула до стойността на едно по-малко число. qНаречен основабройна система. Тоест, ако q- база, тогава стойностите на цифрите лежат в интервала (включително границите).

Позицията на цифрата в записа на числото (1) се нарича позиция, или изпускане.

Забележка 1. На тези страници се предпочита терминът „позиция“. Първо, думата „позиция“ е в добро съгласие с понятието „позиционна бройна система“, и второ, терминът „позиционно тегло“ или „тегло на позицията“ звучи по-добре, по-ясно и по-просто от „битово тегло“ или „битово тегло“ ”. Учителят обаче може и трябва да напомня на учениците от време на време, че „длъжност“ и „ранг“ са еквивалентни термини.

Забележка 2. Дефиницията на позиционната бройна система, дадена в текстовете за ученика, не е напълно точна. Зависимостта на приноса на фигурата само от позицията не е достатъчна. Например в римската цифрова система приносът на цифрата също зависи от позицията (числата IV и VI са различни), но тази система не е позиционна. Точна дефиниция може да се счита за целия набор от правила за изграждане на число, дадени в този контекст за учител (тоест, заедно с факта на позиционната зависимост, дефиницията включва: крайността на множеството цифри и правилото за намиране на число чрез записването му).

Позициите са номерирани отдясно наляво. Извиква се номерът на първата позиция по-младиятцифра на число, в последната - Старши.

Всяка позиция е свързана с число, което ще наречем неговото тегло ( позиция за претегляне).

Тежестите на позицията се определят съгласно следното рекурсивно правило:

1. Теглото на най-ниската позиция е 1.

2. Тежестта на всяка следваща позиция се получава от тежестта на предишната, като се умножи по основата на системата.

Нека бъде q- основата на числовата система. След това правилото за изчисляване на позиционните тегла w iможе да се напише по-кратко като повтаряща се формула:

1. w 1 = 1.

2. w i = w i-един · q(за всички i > 1).

В позиционната цифрова система записът

a n a n - 1 ... а 2 а 1 (1)

означава число н, равна на сумата на произведенията на цифрите по техните позиционни тегла:

N = a n· w n + a n-един · w n–1 + ... + а 2 w 2 + аедин · w 1 . (2)

Продуктът на цифра от нейното позиционно тегло (т.е. а i· w i) ще бъде извикан позиционен принос на числата.

Формула (2) е основата за правилата за превод на числата от една система в друга, предложени в текстовете за студента.

В десетичната система числата се изписват с десет арабски символа: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Позиционните тегла на тази система са: ..., 1000, 100, 10, 1.

4627 10 = 4 1000 + 6 100 + 2 10 + 7 1.

В двоичната система числата се записват с помощта на два арабски знака: 0 и 1. Позиционни тегла на тази система: ..., 256, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1.

Например записът 10101 е „дешифриран“ по следния начин:

10101 2 = 1 16 + 0 8 + 1 4 + 0 2 + 1 1.

Имайте предвид, че рекурсивното правило за изчисляване на тежести предполага това w i = q i–1 и следователно нотация (2) е еквивалентна на традиционната нотация под формата на степенен полином:

N = a n· q n–1 + a n-един · q n–2 + ... + а 2 q + а 1 . (3)

Нека докажем това чрез индукция. Индукционна базав i= 1 се проверява директно: w 1 = q 0 = 1.

Индукционна хипотеза: нека твърдението е вярно за някои н:

w n = q n–1 .

Нека докажем, че ще важи и за н + 1.
Тоест ще докажем валидността на равенството:

w n + 1 = q n.

Наистина, w n+1 = w n· q(според рекурсивното определение на тежестта на позицията), и w n = q n–1 чрез индукционна хипотеза. Оказва се:

w n + 1 = w n· q = q n-един · q = q n.

Нека докажем, че всяко число е представимо във формата (1) (теорема 1) по уникален начин (теорема 2).

Теорема 1 (съществуване). Всяко число мможе да бъде представена във формата (1) за всеки q > 1.

Доказателства. Нека го докажем чрез индукция. За м = 0
и м= 1 е лесно да се конструира необходимото представяне - те са съответно 0 и 1 (за всеки q> 1). Да приемем, че успяхме да представим числото мвъв формата (1). След това намираме представяне за м+ 1. За да направите това, е достатъчно да конвертирате сумата

a n q n–1 + a n-един · q n–2 + ... + а 2 q + а 1 + 1 за оформяне (1).

Ако а 1 < (q-1), тогава желаното представяне се получава чрез заместване на цифрата а 1 нататък а " 1 = а 1 + 1.

Ако а 1 = (q–1), получаваме прехвърлянето на уреда на следващата позиция:

a n q n F - 1 + a n-един · q n–2 + ... + (а 2 + 1) q + 0.

След това разсъждаваме по подобен начин. Ако а 2 < (q-1), тогава желаното представяне се получава чрез заместване на цифрата а 2 нататък а " 2 = а 2 + 1. Ако а 2 = (q–1), тогава а 2 се заменя с нула и един се прехвърля в следващата позиция.

Или на някои i < нще завършим строителството, или ще получим рекордните 1000 ... 0 - едно и ннули вдясно. Доказателството е пълно.

Преди теорема 2 доказваме лемата.

Лема. Приносът на всяка ненулева цифра в запис (1) надвишава сумата на вноските на цифрите, разположени вдясно от нея.

a n a n - 1 ... а 2 а 1 . (1)

Доказателства. Нека докажем, че за всеки н > 1:

a n q n–1 > a n-един · q n–2 + ... + а 2 q+ а 1 .

Числа а iлежат в интервала, така че е достатъчно да докажете неравенството за най-малката ненулева цифра от лявата страна и максималните цифри отдясно:

q n - 1> ( q-един) · q n–2 + ... + (q-един) · q + (q–1).

От дясната страна изваждаме фактора ( q–1) извън скобата:

(q-един) · q n–2 + ... + (q-един) · q + (q–1) =

= (q-един) · ( q n–2 + ... + q + 1).

Изчисляваме сумата от геометричната прогресия в последната скоба, използвайки добре известната формула:

(q-един) · ( q n–2 + ... + q + 1) =

= (q-един) · ( q n–1 –1)/(q–1) = q n–1 – 1.

Получаваме очевидно неравенство, което доказва лемата:

q n - 1> q n–1 – 1.

Теорема 2 (уникалност). Числото във формата (1) е представено по единствения начин.

Доказателства. От лемата следва, че числата, които имат различен брой цифри в нотацията си (незначителни нули вляво не се броят), не могат да бъдат равни: число с голям брой цифри винаги е по-голямо. Следователно е необходимо само да се докаже, че ако а iне е равно b iза всички iот 1 до нслед това записва

a n a n - 1 ... а 2 а 1 (4)

b n b n - 1 ... б 2 б 1 (5)

не може да означава едно и също число.

Нека да разгледаме записи (4) и (5) отляво надясно в търсене на несъответстващи цифри. Нека бъде a kи b kостави a k – b k = д.

На к-то място в рекорда, имаше разлика в д· q k-един. Тази разлика трябва да се компенсира с приноса на позициите, разположени вдясно. Но това е невъзможно, тъй като според лемата сумата от приноса на позициите, разположени вдясно, винаги е по-малка от приноса на текущата позиция. Теоремата е доказана.

Преобразуване в десетична

За превод на числа от радикс система qв десетичната система можете да използвате формулата (2), като извършвате умножение и събиране в нея.

N = a n· w n + a n-един · w n–1 + ... + а 2 w 2 + аедин · w 1 (2)

При превод от двоична система се включва само събиране (защото не можете да умножите по 1). По този начин получаваме правилото за превод, формулирано в читалнята:

Така например, за числото 10111 получаваме:

10111 2 = 16 + 4 + 2 + 1 = 23 10

Общо правило за прехвърляне от q-арна система до десетични звуци по този начин:

За прехвърляне от q-арна система в десетичен знак, трябва да запишете тежестта на нейната позиция над всяка цифра и да намерите сумата от произведенията на цифрите по техните позиционни тегла (т.е. да намерите сумата на позиционните приноси).

Така например, за числото 10212 3 получаваме:

Добавяме числата, умножени по техните позиционни тегла (позиции с нула цифри, разбира се, могат да бъдат пропуснати):

10212 3 = 1 81 + 2 9 + 1 3 + 2 1 = 104 10 .

Превод на q- лични

За да конвертирате числа от десетичен в radix qще продължим да разчитаме на формула (2):

N = a n· w n + a n-един · w n–1 + ... + а 2 w 2 + аедин · w 1 . (2)

Алгоритъм на превода.

I. Повтаряйте, докато числото се превърне в нула:

1. Намерете първата позиция вляво, чието тегло не е по-голямо от текущото число. Напишете в позицията максимално възможната цифра, така че нейният позиционен принос (произведението на цифрата на теглото) да не надвишава текущото число.

2. Намалете текущия брой с приноса на изградената позиция.

II. Напишете нули в позициите, които не са заети от конструираните цифри.

Във всяка позиция се взема максимално възможната цифра, тъй като според лемата приносът на тази цифра не може да бъде компенсиран от цифрите, разположени вдясно. Алгоритъмът ще работи поради доказаното съществуване (теорема 1) и уникалността (теорема 2) на представянето на число във формата (1).

За двоична система получаваме вариант на алгоритъма, даден в материала за ученика.

За да конвертирате в двоичен файл, трябва да изградите шаблон с тегла от двоични цифри:

Числото се превежда съгласно следния алгоритъм:

I. Повтаряйте, докато числото се превърне в нула:

1. Напишете 1 на първа позиция вляво, чието тегло не е повече от текущото число.

2. Намалете текущото число с теглото на конструираната единица.

II. Напишете нули в позициите, които не са заети от тях.

На практика този метод на превод се оказва много по-лесен и бърз от традиционния алгоритъм с намиране на остатъци.

При преобразуване от десетична система в тройна система трябва да се вземат предвид както самите позиционни тегла, така и тяхното удвояване. За бърз превод можете да изградите таблица, чиито редове съответстват на позициите на числата, колоните - на числата, а клетките - на приноса на числото към числото, в зависимост от позицията му в номер запис:


позиция 729
позиция 243
позиция 81
позиция 27
позиция 9
позиция 3
позиция 1

Да приемем, че приносът на числото 2 в позиция 243 е числото 486, а в позиция 9 е числото 18.

За да преведете в тройна система, трябва да сканирате таблицата ред по ред в търсене на най-големия брой, който не надвишава текущата стойност.

Например, нека преведем числото 183 в тройна система. Подходяща стойност се намира в третия ред и първата колона:


позиция 729
позиция 243
позиция 81
позиция 27
позиция 9
позиция 3
позиция 1

Следователно, тройното число започва с цифрата 2:

183 10 = 202?? 3

За числото 21-18 = 3 в таблицата има точно значение, преводът е завършен:

183 10 = 20210 3 .

За системи с голяма основа, съответните таблици, разбира се, ще бъдат по-обемни. Като последен пример, нека изградим таблица за преобразуване в шестнадесетична бройна система:

Нека числото 4255 се преобразува в шестнадесетичната система. Търсим първото число в таблицата (отляво надясно, ред по ред, започвайки отгоре), което се оказва не повече от оригиналното число 4255:

Получаваме първата цифра 1 на позиция 4096:

Остава да се кодира 4255 - 4096 = 159.

Пропускаме ред 256 (съответната цифра ще бъде 0) и на ред 16 намираме подходящата стойност 144:

Получаваме числата в позиции 256 и 16:

Остава да се кодира 159 - 144 = 15. Ясно е, че това е стойността на най-малко значимата цифра:

Оказва се: 4255 10 = 109F 16.

Действия върху числа

Този раздел е представен в материала за студента схематично за информационни цели.

На темата може да бъде посветен отделен, голям и доста интересен урок, но вече има много материали - трудно е да се схване необятността!

В проста, уводна версия е показано, че действията върху числата във всяка бройна система се извършват по същия начин, както в десетичната система. Странно е, ако би било иначе, защото числата във всички позиционни системи се изграждат според едни и същи правила, което означава, че действията върху тях трябва да се извършват по един и същи начин.

Разделът се поддържа от домашни задачи за вариант 3. Тези упражнения могат да бъдат препоръчани на любопитни ученици като индивидуални задачи.

Глава 4. Аритметични основи на компютрите

4.1. Какво представлява числовата система?

Има позиционни и непозиционни бройни системи.

В непозиционни бройни системитеглото на цифра (т.е. приносът, който тя прави към стойността на числото) не зависи от нейната позицияв числовия запис. Така че, в римската цифрова система в число XXXII (тридесет и две), теглото на фигурата X във всяка позиция е само десет.

В позиционните бройни системитеглото на всяка цифра се променя в зависимост от нейната позиция (позиция) в последователността от цифри, представляващи числото. Например при числото 757,7 първите седем означават 7 сто, второто - 7 единици, а третото - 7 десети от едно.

Същият запис на числото 757.7 означава съкратен запис на израза

700 + 50 + 7 + 0,7 = 7 . 10 2 + 5 . 10 1 + 7 . 10 0 + 7 . 10 -1 = 757,7.

Всяка позиционна бройна система се характеризира със своята основа.

За основа на системата може да се вземе всяко естествено число - две, три, четири и т.н. Следователно, възможни са безброй системи за позициониране: двоични, тройни, четвъртични и др. Записване на числа във всяка от радикс системите qозначава стенографичен израз

а n-1 q n-1 + а n-2 q n-2 + ... + a 1 q 1 + а 0 q 0 + а -1 q -1 + ... + а -м q -м ,

Където а i - цифрови номера; н и м - броят на целите числа и дробните цифри, съответно.
Например:

4.2. Как се генерират цели числа в позиционни бройни системи?

Във всяка бройна система числата са подредени според техните значения: 1 е по-голямо от 0, 2 е по-голямо от 1 и т.н.

Да преминете числото 1 означава да го замените с 2, да преминете числото 2 означава да го замените с 3 и т.н. Промоция с висока цифра(например числата 9 в десетични знаци) означава да го замените с 0... В двоична система, която използва само две цифри, 0 и 1, напредването на 0 означава да го замените с 1, а напредването на 1 означава да го замените с 0.

Цели числа във всяка бройна система се генерират с помощта на Правила на акаунта [44 ]:

Прилагайки това правило, ние записваме първите десет цели числа

в двоично: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001;

в тройната система: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100;

в петкратната система: 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14;

в осмицата: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.

4.3. Какви бройни системи използват специалистите за комуникация с компютър?

В допълнение към десетичните, широко се използват системи с основа, която е цяло число степен 2, а именно:

двоичен(използват се цифри 0, 1);

осмови(използват се числа 0, 1, ..., 7);

шестнадесетичен(за първите цели числа от нула до девет се използват цифрите 0, 1, ..., 9, а за следващите цели числа от десет до петнадесет символите A, B, C, D, E, F се използват като цифри).

Полезно е да запомните записа в тези бройни системи за първите две десетки цели числа:

От всички бройни системи особено простои следователно интересно за техническо внедряване в двоична бройна система на компютри.

4.4. Защо хората използват десетични, а компютрите - двоични?

Хората предпочитат десетичната система, вероятно защото от древни времена са броили с пръсти, а хората имат десет пръста на ръцете и краката си. Не винаги и не навсякъде хората използват десетичната бройна система. В Китай например петкратната цифрова система се използва дълго време.

А компютрите използват двоична система, тъй като тя има редица предимства пред други системи:

за да го приложите, трябва технически устройства с две стабилни състояния(има ток - няма ток, магнетизиран - немагнетизиран и т.н.), а не, например, с десет, както в десетичната;

представяне на информация посредством само две състояния надежднои против заглушаване;

евентуално Приложение на булев алгебра апаратда извършва логически трансформации на информация;

двоичната аритметика е много по-проста от десетичната.

Недостатъкът на двоичната система е бързо увеличаване на броя на цифритенеобходими за писане на числа.

4.5. Защо компютрите също използват осмични и шестнадесетични бройни системи?

Двоична система, удобна за компютри, е неудобна за хората поради своята тромавост и необичаен запис.

Преобразуването на числа от десетично в двоично и обратно се извършва от машината. За да използвате професионално компютър обаче, трябва да се научите да разбирате думата машина. За това са разработени осмичната и шестнадесетичната системи.

Числата в тези системи се четат почти толкова лесно, колкото и десетичните, те изискват съответно три (осмични) и четири (шестнадесетични) пъти по-малко цифри, отколкото в двоичната система (в крайна сметка числата 8 и 16 са съответно третият и четвърти степени на числото 2) ...

Например:

Например,

4.6. Как да конвертирате цяло число от десетична система във всяка друга позиционна бройна система?

Пример:Нека преобразуваме числото 75 от десетичната система в двоична, осмична и шестнадесетична:

Отговор: 75 10 = 1 001 011 2 = 113 8 = 4B 16.

4.7. Как да преведа правилното десетично число във всяка друга позиционна бройна система?

За да преведете правилното десетично числоF до radixq необходимоF умножете поq , написани в същата десетична система, след това умножете дробната част на получения продукт поq, и така нататък, докато дробната част на следващия продукт стане равна на нула или се постигне необходимата точност на числото F вq -двойна система. Представяне на дробната част на числоF в новата бройна система ще има последователност от цели части от получените произведения, написани по реда на тяхното получаване и изобразени от един q -номер. Ако се изисква точност на преобразуването на числатаF ек десетични знаци, тогава максималната абсолютна грешка е равна наq - (k + 1) / 2.

Пример.Нека преобразуваме числото 0,36 от десетичната система в двоична, осмична и шестнадесетична:

4.8. Как да конвертирате число от двоична (осмична, шестнадесетична) система в десетична?

Десетично преобразуванех записано вq система от числа (q = 2, 8 или 16) във форматах q = (а н а n-1 ... а 0 , а -1 а -2 ... а -м ) q се свежда до изчисляване на стойността на полинома

х 10 = a н q н + а n-1 q n-1 + ... + a 0 q 0 + а -1 q -1 + а -2 q -2 + ... + а -м q -м

с помощта на десетична аритметика.

Примери:

4.9. Обобщаваща таблица на преводи на цели числа от една бройна система в друга

Да разгледаме само онези числови системи, които се използват в компютрите - десетични, двоични, осмични и шестнадесетични. За определеност вземаме произволно десетично число, например 46, и за него извършваме всички възможни последователни преводи от една бройна система в друга. Редът на преводите се определя в съответствие с фигурата:

Тази фигура използва следните конвенции:

основите на числовите системи са написани в кръгове;

стрелките показват посоката на превод;

числото до стрелката означава серийния номер на съответния пример в обобщената таблица 4.1.

Например: означава превод от двоичен в шестнадесетичен, който има пореден номер 6 в таблицата.

Осева таблица на целочислените преводидвераздели- теорията на статистиката ... статистика, информатикакато дисциплини ... KR (електронен версияиздания). ".... Микроикономическа статистика на ЕП: Учебник. надбавка... - М.: Дело, 2000. ... списание. Интернетът- Уебсайтове на Росстат ...

& формиране на отворени бази данни на информационни ресурси &

Доклад

Справочни издания. Библиографски Ползи. Раздел 1. Справочни публикации ... на помирителни процедури. Интернетът-версиясписанието осигурява достъп до ... URSS / Интернетът-оценка състои сенадвеотдели: ... специалисти на Службата информатикаи телекомуникации ...

Нотацияе метод за писане на число, използвайки определен набор от специални знаци (числа).

Нотация:

дава представяне на набор от числа (цели числа и / или реални);

дава на всяко число уникално представяне (или поне стандартно представяне);

показва алгебричната и аритметичната структура на число.

Извиква се запис на число в определена бройна система цифров код.

Извиква се отделна позиция на дисплея на число изпускане, което означава, че номерът на позицията е номер на ранга.

Извиква се броят на битовете в числото ухапванеи съответства на дължината му.

Числовите системи са разделени на позиционени непозиционен.Позиционните бройни системи са разделени

на хомогенени смесени.

осмична бройна система, шестнадесетична бройна система и други бройни системи.

Превод на бройни системи.Числата могат да се превеждат от една бройна система в друга.

Таблица на съответствие на числата в различни бройни системи.

Има позиционни и непозиционни бройни системи.

В непозиционни бройни системитеглото на цифра (т.е. приносът, който тя прави към стойността на числото) не зависи от нейната позицияв обозначението на числото. И така, в римската цифрова система в числото XXXII (тридесет и две), теглото на фигурата X във всяка позиция е само десет.

Същият запис на числото 757.7 означава стенографичен израз