Диференциални уравнения със закъснение. Моделиране на динамични системи чрез обикновени диференциални уравнения със закъснение

Системите със закъснение се различават от системите, разгледани по-рано по това, че в една или повече от техните връзки имат забавяне във времето на началото на промяната на изходната стойност (след началото на промяната на входа) със стойност t , наречено време на забавяне, и това време на забавяне остава постоянно през целия следващ по време на процеса.

Например, ако връзката е описана с уравнението

(апериодична връзка от първи ред), тогава уравнението на съответната връзка със закъснение ще има вида

(апериодична връзка от първи ред със закъснение). Този тип уравнение се нарича уравнение със забавен аргумент,

Тогава уравнение (6.31) ще бъде записано в обикновен

променя рязко от нула до единица (фиг. 6.20,

стоящ от дясната страна на уравнението на връзката,

). В общия случай, както за (6.31), уравнението на динамиката на всяка връзка със закъснение може да бъде разделено на две:

което съответства на условното разбиване на връзка със закъснение (фиг. 6.21, а) на две: обикновена връзка от същия ред и със същите коефициенти и предхождащия я елемент закъснение (фиг. 6.21.6).

означава времето на движение на метала от ролките до дебелината. В последните два примера стойността на m се нарича транспортно закъснение.

В първо приближение тръбопроводите или дългите електрически линии, включени във връзките на системата, могат да се характеризират с определена стойност на закъснение t.

показано на фиг. 6.22, b, то тази връзка може да бъде приблизително описана като апериодична връзка от първи ред със закъснение (6.31), като се вземат стойностите на m, r и k от експерименталната крива (фиг. 6.22, b).

Имайте предвид също, че същата експериментална крива според графиката на фиг. 6.22, c може също да се тълкува като времева характеристика на обикновена апериодична връзка от втори ред с уравнението

и k може да се изчисли от съотношенията, написани в § 4.5 за дадена връзка, от някои измервания на експерименталната крива или по друг начин.

функцията (6.36) се различава малко от преносната функция на връзка със закъснение (6.35).

Уравнението на всяка линейна връзка със закъснение (6.33) сега ще бъде записано във формата

Преносната функция на линейна връзка със закъснение ще бъде

се посочва функцията за прехвърляне на съответната обикновена връзка без забавяне.

- модул и фаза на честотната преносна функция на връзката без забавяне.

Оттук получаваме следното правило.

За да изградите амплитудно-фазовата характеристика на всяка връзка със закъснение, трябва да вземете характеристиката на съответната обикновена връзка и да изместите всяка от нейните точки по окръжността по посока на часовниковата стрелка с ъгъл, който, където w е стойността на честотата на трептене при дадена точка от характеристиката (фиг. 6.23, а).

началната точка остава непроменена, а краят на характеристиката се навива асимптотично около началото (ако степента на операторния полином B е по-малка от тази на полинома C).

По-горе беше казано, че реални преходни процеси (временни характеристики) от формата на фиг. 6.22b често може да се опише с една и съща степен на приближение и с двете уравнения (6.31) и (6.34). Амплитудно-фазовите характеристики за уравнения (6.31) и (6.34) са показани на фиг. 6.23, а и б, съответно. Основната разлика между първия е, че той има точка D на пресичане с оста (/. Когато се сравняват двете характеристики една с друга и с експерименталната амплитудно-фазова характеристика на реална връзка, трябва да се вземе предвид не само формата на кривата, но и естеството на разпределението на честотните марки ω по нея.

Функция за прехвърляне на отворена система без забавяне.

Характеристичното уравнение на затворена система, както е показано в гл. 5 има формата

Едно уравнение може да има безкраен брой корени.

Формата на амплитудно-фазовата характеристика на отворената верига, конструирана, но функцията за предаване на честота, се променя значително

освен това отварянето на системата се извършва по определено правило, което е дадено по-долу.

Вследствие на това за стабилността на линейните системи от първи и втори ред със закъснение се оказва, че само положителността на коефициентите вече не е достатъчна, а за системи от трети и по-висок ред със закъснение, критериите за устойчивост на Вишнеградски, Рут и Хурвиц са неприложими.

По-долу ще разгледаме определението за стабилност само по критерия на Найкуист, тъй като използването му за това пеене се оказва най-простото.

1 Конструирането на амплитудно-фазовата характеристика и изследването на стабилността според критерия на Найкуист се извършва най-добре, ако преносната функция на отворена система е представена във формата (6.38). За да получите това, е необходимо правилно да отворите системата.

За случая, показан на фиг. 6.24, а, отварянето може да се направи навсякъде в главната верига, например, както е показано. Тогава предавателната функция на отворената система ще бъде, която съвпада по форма с (6.41).

За случая, показан на фиг. 6.24, b, отварянето на главната верига дава израза

функции с отворен цикъл, неудобни за по-нататъшно изследване:

И накрая, в случая, показан на фиг. 6.24, в, когато системата се отвори на посоченото място, получаваме израз, който също съвпада с (6.41):

Честотната преносна функция (6.41) може да бъде представена като

Следователно, представяйки израза (6.41) във формата

Линейните системи със закъснение са такива автоматични системи, които като цяло имат същата структура като обикновените линейни системи (раздел II), се различават от последните по това, че в една или повече от връзките си имат закъснение във времето на началото на промяна в изходното количество (след началото на промяната на входа) със стойност, наречена време на закъснение, и това време на забавяне остава постоянно през целия следващ ход на процеса.

Например, ако обикновена линейна връзка се описва с уравнението

(апериодична връзка от първи ред), тогава уравнението на съответната линейна връзка със закъснение ще има вида

(апериодична връзка от първи ред със закъснение). Уравненията от този тип се наричат ​​уравнения със забавен аргумент или диференциално-различни уравнения.

Означете Тогава уравнението (14.2) ще бъде записано в обикновена форма:

Така че, ако входната стойност се промени рязко от нула до единица (фиг. 14.1, а), тогава промяната в стойността, стояща от дясната страна на уравнението на връзката, ще бъде изобразена от графиката на фиг. 14.1b (скок една секунда по-късно). Използвайки сега преходната характеристика на обикновена апериодична връзка, приложена към уравнение (14.3), получаваме промяна в изходната стойност под формата на графика на фиг. 14.1, c. Това ще бъде преходната реакция на апериодичната връзка от първи ред със закъснение (нейното апериодично "инерционно" свойство се определя от времевата константа T, а забавянето се определя от стойността

Линейна връзка със закъснение. В общия случай, както за (14.2), уравнението на динамиката на всяка линейна връзка със закъснение може да бъде

разделено на две:

което съответства на условното разбиване на линейна връзка със закъснение (фиг. 14.2, а) на две: обикновена линейна връзка от същия ред и със същите коефициенти и предхождащия я елемент закъснение (фиг. 14.2, б).

Следователно времевата характеристика на всяка връзка със закъснение ще бъде същата като тази на съответната обикновена връзка, но само изместена по оста на времето надясно с .

Пример за "чиста" връзка за забавяне е акустична комуникационна линия - времето за преминаване на звука). Други примери са система за автоматично дозиране на вещество, движещо се с лентов транспортьор - времето, когато лентата се движи в определена зона), както и система за регулиране на дебелината на валцувания метал, където означава времето, когато металът се придвижва от ролките до дебелината

В последните два примера количеството се нарича транспортно закъснение.

В първо приближение тръбопроводите или дългите електрически линии, включени във връзките на системата, могат да се характеризират с известно закъснение (за повече подробности за тях вижте § 14.2).

Стойността на закъснението във връзката може да се определи експериментално чрез премахване на времевата характеристика. Например, ако определена стойност, взета като единица, се приложи към входа на връзка, на изхода се получава експерименталната крива за показана на фиг. 2. 14.3, b, то тази връзка може да бъде приблизително описана като апериодична връзка от първи ред със закъснение (14.2), като се вземат стойностите от експерименталната крива (фиг. 14.3, b).

Имайте предвид също, че същата експериментална крива според графиката на фиг. 14.3, c може също да се интерпретира като времева характеристика на обикновена апериодична връзка от втори ред с уравнението

освен това, и k може да се изчисли от отношенията, написани в § 4.5 за дадена връзка, според някои измервания на експерименталната крива или по друг начин.

Така че, от гледна точка на времевата характеристика, реална връзка, приблизително описана от уравнение от първи ред със забавен аргумент (14.2), често може да бъде описана със същата степен на приближение чрез обикновено диференциално уравнение от втори ред (14.5). За да решите кое от тези уравнения най-добре отговаря на дадено

реална връзка, може да се сравнят и техните амплитудно-фазови характеристики с експериментално взетата амплитудно-фазова характеристика на връзката, която изразява нейните динамични свойства при принудителни вибрации. Конструирането на амплитудно-фазовите характеристики на връзките със закъснение ще бъде разгледано по-долу.

За единство в записването на уравненията, ние представяме второто от отношенията (14.4) за елемента закъснение в операторна форма. Разширявайки дясната му страна в серия на Тейлър, получаваме

или в по-рано приетата символна операторна нотация,

Този израз съвпада с формулата на теоремата за закъснението за функционални изображения (Таблица 7.2). По този начин за връзката с чисто забавяне получаваме функцията за прехвърляне във формата

Имайте предвид, че в някои случаи наличието на голям брой малки времеви константи в системата за управление може да се вземе предвид под формата на постоянно закъснение, равно на сумата от тези времеви константи. Наистина, нека системата съдържа последователно свързани апериодични връзки от първи порядък с коефициент на предаване, равен на единица и стойност на всяка времева константа. Тогава получената трансферна функция ще бъде

Ако тогава в лимита получаваме . Вече при преносната функция (14.8) се различава малко от преносната функция на връзката със закъснение (14.6).

Уравнението на всяка линейна връзка със закъснение (14.4) сега ще бъде записано във формата

Преносната функция на линейна връзка със закъснение ще бъде

където обозначава предавателната функция на съответната обикновена линейна връзка без забавяне.

Честотната преносна функция се получава от (14.10) чрез заместване

където са модулът и фазата на честотната преносна функция на връзката без забавяне. Оттук получаваме следното правило.

За да изградите амплитудно-фазовата характеристика на всяка линейна връзка със закъснение, трябва да вземете характеристиката на съответната обикновена линейна връзка и да изместите всяка от нейните точки по окръжността по посока на часовниковата стрелка с ъгъл , където е стойността на честотата на трептене при дадена точка от характеристиката (фиг. 14.4, а).

Тъй като в началото на амплитудно-фазовата характеристика и в края, тогава началната точка остава непроменена, а краят на характеристиката се навива асимптотично към началото (ако степента на полинома на оператора е по-малка от полинома

По-горе беше казано, че реални преходни процеси (временни характеристики) от формата на фиг. 14.3, b често може да се опише с една и съща степен на приближение и с двете уравнения (14.2) и (14.5). Амплитудно-фазовите характеристики за уравнения (14.2) и (14.5) са показани на фиг. 14.4, а и съответно. Основната разлика на първия е, че има точка D на пресичане с оста

При сравняване на двете характеристики една с друга и с експерименталната амплитудно-фазова характеристика на реална връзка е необходимо да се вземе предвид не само формата на кривата, но и естеството на разпределението на честотните марки o по нея.

Линейна система със закъснение.

Нека едноверижна или многокръгова автоматична система има една връзка със закъснение между връзките си. Тогава уравнението на тази връзка има вида (14.9). Ако има няколко такива връзки, тогава те могат да имат различни стойности на закъснение.Всички общи формули за уравнения и трансферни функции на системите за автоматично управление, получени в глава 5, остават валидни за всякакви линейни системи със закъснение, ако само стойностите на трансферните функции се заместват в тези формули във формата ( 14.10).

Например, за отворена верига от последователно свързани връзки, сред които има две връзки със закъснение, съответно, функцията за прехвърляне на отворена система ще има формата

където е предавателната функция на отворена верига, без да се отчита закъснението, равна на произведението на предавателните функции на връзките, свързани последователно.

По този начин, когато се изучава динамиката на отворена верига от последователно свързани връзки, е без значение дали цялото закъснение ще бъде концентрирано в една връзка или ще бъде разпределено върху различни връзки. За многоконтурни вериги ще се получат по-сложни връзки.

Ако има връзка с отрицателна обратна връзка, която има закъснение, тогава тя ще бъде описана с уравненията;

ВЪВЕДЕНИЕ

Министерство на образованието на Руската федерация

Международен образователен консорциум "Отворено образование"

Московски държавен университет по икономика, статистика и информатика

АНО "Евразийски отворен институт"

Е. А. Геворкян

Диференциални уравнения на закъснение

Учебник Ръководство за изучаване на дисциплината

Сборник със задачи за дисциплината Учебна програма по дисциплината

Москва 2004г

Геворкян Е.А. ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ С ОТЛОЖЕН АРГУМЕНТ: Учебник, ръководство за изучаване на дисциплината, сборник със задачи за дисциплината, учебна програма за дисциплината / Московски държавен университет по икономика, статистика и информатика - М.: 2004. - 79 с.

Геворкян Е.А., 2004г

Московски държавен университет по икономика, статистика и информатика, 2004 г

Урок
Въведение ................................................. ................................................ .. ................................
1.1 Класификация на диференциални уравнения с
отклоняващ се аргумент. Постановка на първоначалния проблем ................................................. .................
1.2 Диференциални уравнения със забавен аргумент. Стъпка метод. ........
1.3 Диференциални уравнения с сепарируеми
променливи и с изоставащ аргумент ........................................ ........................................................
1.4 Линейни диференциални уравнения със забавен аргумент.................................
1.5 Диференциални уравнения на Бернули със забавен аргумент. ...............
1.6 Диференциални уравнения в тотални диференциали
със забавен спор ............................................... ................................................... .................
ГЛАВА II. Периодични решения на линейни диференциални уравнения
със забавен спор ............................................... ................................................... .................
2.1. Периодични решения на линейни хомогенни диференциални уравнения
с постоянни коефициенти и с изоставащ аргумент .............................................. ....
2.2. Периодични решения на линеен нехомогенен диференциал
..................
2.3. Сложната форма на редовете на Фурие ............................................... ...................................................... ...
2.4. Намиране на конкретно периодично решение на линейно нехомогенно
диференциални уравнения с постоянни коефициенти и забавяне
аргумент чрез разширяване на дясната страна на уравнението в ред на Фурие ..................................... .........
ГЛАВА III. Приблизителни методи за решаване на диференциални уравнения
със забавен спор ............................................... ................................................... .................
3.1. Приблизителен метод на разширение за неизвестна функция
със забавен аргумент по степени на закъснение........................................ ...................... ........
3.2. Приблизителен метод на Поанкаре. ................................................. ..............................
ГЛАВА IV. Диференциални уравнения на забавяне,
появяващи се при решаването на някои икономически проблеми
като се вземе предвид забавянето във времето ............................................ ................................................................ ................................................

4.1. Икономическият цикъл на Колецки. Диференциално уравнение

с последващ аргумент, описващ промяната

наличност на паричен капитал ................................................ ................................................................ .......................
4.2. Характеристично уравнение. Случаят с истински
корени на характеристичното уравнение ........................................ ................................................................ ....
4.3. Случаят на комплексни корени на характеристичното уравнение........................................ .........
4.4. Диференциално уравнение на закъснението,
(потребление пропорционално на националния доход) .............................................. .........
4.5. Диференциално уравнение на закъснението,
описващи динамиката на националния доход в модели с лагове
(потреблението нараства експоненциално с темпа на растеж)......................................... ........................ ........
Литература ................................................. ................................................. ........................

Ръководство за изучаване на дисциплината
2. Списък на основните теми ................................................ ................................................... ... ......
2.1. Тема 1. Основни понятия и определения. Класификация
диференциални уравнения с отклоняващ се аргумент.
Диференциални уравнения на закъснение. ................................................
2.2. Тема 2. Постановка на изходния проблем. Метод стъпка на решение
диференциални уравнения със забавен аргумент. Примери.......................
2.3. Тема 3. Диференциални уравнения с сепарируеми
променливи и със забавени аргументи. Примери. ................................................. .
2.4. Тема 4. Линейни диференциални уравнения
2.5. Тема 5. Диференциални уравнения на Бернули
със забавен спор. Примери. ................................................. ..............................
2.6. Тема 6. Диференциални уравнения в тотални диференциали
със забавен спор. Необходими и достатъчни условия. Примери............
2.7. Тема 7. Периодични решения на линеен еднороден диференциал
уравнения с постоянни коефициенти и със забавен аргумент.
2.8. Тема 8. Периодични решения на линеен нехомогенен диференциал
уравнения с постоянни коефициенти и със забавен аргумент.
Примери. ................................................. ................................................ .. ..............................
2.9. Тема 9. Комплексна форма на редовете на Фурие. Намиране на частно списание
решения на линейни нехомогенни уравнения с постоянни коефициенти и с
забавен аргумент чрез разширяване на дясната страна на уравнението в ред на Фурие.
Примери. ................................................. ................................................ .. ..............................
2.10. Тема 10. Приблизително решение на диференциални уравнения с
отложен аргумент метод за разлагане на функция от забавяне
по степени на закъснение. Примери ................................................. ..............................................
2.11. Тема 11. Приблизителен метод на Поанкаре за намиране на периодично
решения на квазилинейни диференциални уравнения с малък параметър и
със забавен спор. Примери. ................................................. ..............................

2.12. Тема 12. Икономическият цикъл на Колецки. Диференциално уравнение

с изоставащ аргумент за функцията K(t), показващ наличността на паричните средства

основен капитал към момента t ................................. ........................................................ ...
2.13. Тема 13. Анализ на характеристичното уравнение, съответстващо на
диференциално уравнение за функцията K(t). ................................................. ............
2.14. Тема 14. Случаят на комплексни решения на характеристичното уравнение
(ρ = α ± ιω )..................................................................................................................................
2.15. Тема 15. Диференциално уравнение за функцията y(t), показващо
функцията на потребление има формата c(t -τ ) = (1 - α ) y (t -τ ), където α е постоянна скорост
натрупване на производство ................................................ .............................................................. ............
2.16. Тема 16. Диференциално уравнение за функцията y(t), показващо
национален доход в модели с лагове на капиталови инвестиции, при условие че
консуматорската функция има формата c (t − τ ) = c (o ) e r (t − τ ) .......................... ...................................
Сборник със задачи за дисциплината ............................................ .. ................................................
Учебна програма по дисциплини ................................................. ................................................... ....

Урок

ВЪВЕДЕНИЕ

Въведение

Този урок е посветен на представянето на методи за интегриране на диференциални уравнения със забавен аргумент, срещани при някои технически и икономически проблеми.

Горните уравнения обикновено описват всякакви процеси с последващо действие (процеси със закъснение, със закъснение във времето). Например, когато в изследвания процес стойността на интересуващата ни величина в момент t зависи от стойността x в момент t-τ, където τ е закъснението във времето (y(t)=f). Или, когато стойността на количеството y в момент t зависи от стойността на същото количество в момента

по-малко t-τ (y(t)=f).

Процесите, описани с диференциални уравнения със забавен аргумент, се срещат както в природните, така и в икономическите науки. При последното това се дължи както на наличието на забавяне във времето в повечето звена на цикъла на общественото производство, така и на наличието на забавяне на инвестициите (периодът от началото на проектиране на обекти до въвеждане в експлоатация на пълен капацитет), демографски забавяния ( периодът от раждането до влизането в трудоспособна възраст и започването на работа след завършване).

Отчитането на забавянето във времето при решаването на технически и икономически проблеми е важно, тъй като наличието на забавяне може значително да повлияе на естеството на получените решения (например при определени условия може да доведе до нестабилност на решенията).

С ИЗСТАВЯЩ АРГУМЕНТ

ГЛАВА I. Метод на стъпки за решаване на диференциални уравнения

с последващ аргумент

1.1. Класификация на диференциални уравнения с отклоняващ се аргумент. Постановка на първоначалния проблем

Определение 1. Диференциални уравнения с отклоняващ се аргумент се наричат ​​диференциални уравнения, в които неизвестната функция X(t) влиза за различни стойности на аргумента.

X(t) = f ( t, x (t), x ),

X(t) = f [ t, x (t), x (t - τ 1 ), x (t − τ 2 )] ,
X(t) = f t, x (t), x (t), x [ t -τ (t )] , x [ t − τ
X(t) = f t, x (t) , x (t) , x (t/2), x(t/2) .

(т)]

Определение 2. Диференциално уравнение със забавен аргумент е диференциално уравнение с отклоняващ се аргумент, в което най-високата производна на неизвестната функция се появява при същите стойности на аргумента и този аргумент е не по-малък от всички аргументи на неизвестната функция и нейните производни, включени в уравнението.

Забележете, че съгласно дефиниция 2, уравнения (1) и (3) при условията τ (t) ≥ 0, t − τ (t) ≥ 0 ще бъдат уравнения със забавен аргумент, уравнение (2) ще бъде уравнението

с изоставащ аргумент, ако τ 1 ≥ 0, τ 2 ≥ 0, t ≥ τ 1, t ≥ τ 2, уравнение (4) е уравнение с изоставащ аргумент, тъй като t ≥ 0.

Определение 3. Диференциално уравнение с водещ аргумент е диференциално уравнение с отклоняващ се аргумент, в което най-високата производна на неизвестната функция се появява при същите стойности на аргумента и този аргумент не е по-голям от останалата част от аргументи на неизвестната функция и нейните производни, включени в уравнението.

Примери за диференциални уравнения с водещ аргумент:

X(t)=

X(t)=

X(t)=

f ( t, x(t), x[ t + τ (t) ] ) ,

f [ t , x (t ), x (t + τ 1 ), x (t + τ 2 )] ,

f t , x (t ), x . (t ), x [ t + τ (t )] , x . [ t + τ

(т)] .

аз СТЪПКА МЕТОД ЗА РЕШАВАНЕ НА ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ

С ИЗСТАВЯЩ АРГУМЕНТ

Определение 4. Диференциални уравнения с отклоняващ се аргумент, които не са уравнения със забавен или водещ аргумент, се наричат ​​диференциални уравнения от неутрален тип.

Примери за диференциални уравнения с отклоняващ се аргумент от неутрален тип:

X (t) = f t, x(t) , x(t − τ ) , x(t − τ )

X (t) = f t, x(t) , x[ t − τ (t) ] , x[ t − τ (t) ] , x[ t − τ (t) ] .

Имайте предвид, че подобна класификация се използва и за системи от диференциални уравнения с отклоняващ се аргумент, като думата „функция“ се заменя с думата „векторна функция“.

Помислете за най-простото диференциално уравнение с отклоняващ се аргумент:

X (t) = f [ t, x(t) , x(t − τ )] ,

където τ ≥ 0 и t − τ ≥ 0 (всъщност разглеждаме диференциално уравнение със забавен аргумент). Основната начална задача при решаването на уравнение (10) е, както следва: да се определи непрекъснато решение X (t) на уравнение (10) за t > t 0 (t 0 -

фиксирано време), при условие че X (t ) = ϕ 0 (t ) когато t 0 − τ ≤ t ≤ t 0 , където ϕ 0 (t ) е дадена непрекъсната начална функция. Отсечката [ t 0 − τ , t 0 ] се нарича начално множество, t 0 се нарича начална точка. Приема се, че X (t 0 + 0) = ϕ 0 (t 0 ) (фиг. 1).

X (t) \u003d ϕ 0 (t)

	t 0 − τ		t0 + τ		0 + τ
Ако закъснението τ		в уравнение (10) зависи от времето t		(τ = τ (t )) , след това началната

Задачата се формулира по следния начин: намерете решение на уравнение (10) за t > t 0, ако началната функция X (t ) = ϕ 0 t е известна за t 0 − τ (t 0 ) ≤ t ≤ t 0 .

Пример. Намерете решение на уравнението.

X (t) = f [ t, x(t) , x(t − cos 2 t)]
за t > t 0 = 0, ако началната функция X (t ) = ϕ 0 (t ) за (t 0 − cos2 t 0 ) |	t ≤ t0
t0 = 0

− 1 ≤ t ≤ 0).

аз СТЪПКА МЕТОД ЗА РЕШАВАНЕ НА ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ

С ИЗСТАВЯЩ АРГУМЕНТ

Пример. Намерете решение на уравнението

	X (t) = f [ t, x(t) , x(t / 2 )]			в (т	−t	/ 2) |
	t > t 0 = 1, ако началната функция X (t ) = ϕ t						≤ t ≤ t
						t=1			t=1

1/ 2 ≤ t ≤ 1).

Имайте предвид, че първоначалната функция обикновено се посочва или намира експериментално (главно при технически проблеми).

1.2. Диференциални уравнения на закъснение. Стъпка метод

Помислете за диференциално уравнение със забавен аргумент.

Необходимо е да се намери решение на уравнение (13) за t ≥ t 0 .

За да намерим решение на уравнение (13) за t ≥ t 0, ще използваме стъпковия метод (метод на последователно интегриране).

Същността на стъпковия метод е, че първо намираме решение на уравнение (13) за t 0 ≤ t ≤ t 0 + τ , след това за t 0 + τ ≤ t ≤ t 0 + 2τ и т.н. В същото време отбелязваме, например, че тъй като в областта t 0 ≤ t ≤ t 0 + τ аргументът t − τ се променя в рамките на t 0 − τ ≤ t − τ ≤ t 0 , то в уравнението

(13) в тази област вместо x (t − τ ) можем да вземем началната функция ϕ 0 (t − τ ) . Тогава

получаваме това, за да намерим решение на уравнение (13) в областта t 0 ≤ t ≤ t 0		+ τ трябва повторно
шийте обикновено диференциално уравнение без забавяне във формата:
	[ t, x(t) , ϕ 0 (t − τ )] ,
X(t) = f
за t 0 ≤ t ≤ t 0 + τ	с начално условие X (t 0 ) = ϕ (t 0 ) (виж фиг. 1).
	намиране на решение на този първоначален проблем във формата X (t) = ϕ 1 (t) ,	можем да пост-

решаване на задачата за намиране на решение на отсечката t 0 + τ ≤ t ≤ t 0 + 2τ и т.н.

Така че имаме:

			0 (t − τ ) ] ,
	X (t) = f [ t, x(t) , ϕ
при t 0	≤ t ≤ t0 + τ , X (t0 )		= ϕ 0 (t 0 ),
	X (t) = f [ t, x(t) , ϕ 1 (t − τ )] ,
за t 0 +τ ≤ t ≤ t 0 + 2 τ ,			X (t 0 + τ ) = ϕ 1(t 0 + τ ) ,
	X (t) = f [ t, x(t) , ϕ 2 (t − τ )] ,
за t 0 + 2τ ≤ t ≤ t 0 + 3τ ,			X (t 0 + 2 τ ) = ϕ 2 (t 0 + 2 τ ) ,
	X (t) = f [ t, x(t) , ϕ n (t − τ )] ,
за t 0 + n τ ≤ t ≤ t 0 + (n +1 ) τ , X (t 0 + n τ ) = ϕ n (t 0 + n τ ) ,
	ϕ i (t ) е	решение на разглежданата начална		задачи в сегмента
t 0 + (i −1 ) ≤ t ≤ t 0 +i τ		(I=1,2,3…n,…).

аз СТЪПКА МЕТОД ЗА РЕШАВАНЕ НА ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ

С ИЗСТАВЯЩ АРГУМЕНТ

Този метод на стъпки за решаване на диференциално уравнение със забавен аргумент (13) ни позволява да определим решението X (t) на някакъв краен интервал на промяна в t.

Пример 1. Използвайки метода на стъпките, намерете решение на диференциално уравнение от първи ред със забавен аргумент

	(t) = 6 X (t − 1 )
в областта 1 ≤ t ≤ 3, ако началната функция за 0 ≤ t ≤ 1 има формата X (t ) = ϕ 0 (t ) = t .
Решение. Първо, нека намерим решение на уравнение (19) в областта 1 ≤ t ≤ 2 . За това в
(19) заместваме X (t − 1) с ϕ 0 (t − 1) , т.е.
X (t − 1 ) = ϕ 0 (t − 1 ) = t| t → t − 1 = t − 1
и вземете предвид X (1) = ϕ 0 (1) = t |
И така, в областта 1 ≤ t ≤ 2 получаваме обикновено диференциално уравнение от вида
	(t )= 6 (t − 1 )
или dx(t)	6 (t −1 ) .
Решавайки го, като вземем предвид (20), получаваме решението на уравнение (19) за 1 ≤ t ≤ 2 във вида
X (t) = 3 t 2 − 6 t + 4 = 3 (t − 1 ) 2 + 1.
За да намерим решение в областта 2 ≤ t ≤ 3 в уравнение (19), заменяме X (t − 1) с
ϕ 1 (t −1 ) = 3 (t −1 ) 2 +1 | t → t − 1		3(t − 2) 2 + 1. Тогава получаваме обикновеното		диференциал
уравнението:
	(t ) = 6[ 3(t − 2) 2 + 1] , х( 2) = ϕ 1 ( 2) = 4 ,
чието решение има вида (фиг. 2)
х (т ) = 6 (т − 2 ) 3 + 6 т − 8 .

Логистичното уравнение със закъснение може да се приложи при изследване на взаимодействията хищник-плячка - Стабилни гранични цикли в съответствие с логистичното уравнение.
Наличието на забавяне във времето прави възможно прилагането на друг начин за моделиране на проста система от отношения хищник-плячка.

Този метод се основава на логистичното уравнение (раздел 6.9):

Таблица 10.1. Фундаменталното сходство на динамиката на популацията, получено в модела на Лотка-Волтера (и като цяло върху моделите от типа хищник-плячка), от една страна, и в логистичния модел със закъснение, от друга. И в двата случая има четирифазен цикъл с максимуми (и минимуми) на изобилие на хищници след максимуми (и минимуми) на изобилие на плячка.

Скоростта на растеж на популацията на хищници в това уравнение зависи от първоначалното изобилие (C) и специфичния темп на растеж, r-(K-C) I Kf, където K е плътността на насищане на популацията на хищник. Относителната скорост от своя страна зависи от степента на недостатъчно използване на околната среда (C-S), която в случай на популация от хищници може да се разглежда като степента, до която нуждите на хищника са надвишени от наличността на плячката. Въпреки това, наличието на плячка и следователно относителният темп на растеж на популацията на хищници често отразяват плътността на популацията на хищници в някакъв предходен период от време (раздел 6.8.4). С други думи, може да има забавяне във времето в отговора на популацията на хищници спрямо собствената й плътност:
dC`l (Know-Iag\
- - G. Gnow j.
Ако това забавяне е малко или хищникът се възпроизвежда твърде бавно (т.е. стойността на r е малка), тогава динамиката на такава популация няма да се различава значително от описаната с просто логистично уравнение (виж май, 1981a). Ho при умерени или високи стойности на времето на забавяне и скоростта на възпроизвеждане, популацията осцилира със стабилни гранични цикли. Освен това, ако тези стабилни пределни цикли се появяват според логистичното уравнение с забавяне във времето, тогава тяхната продължителност (или „период“) е приблизително четири пъти по-дълга от продължителността на

жертви, за да се разбере механизмът на колебанията в техния брой.
Има редица примери, получени от естествени популации, в които могат да се открият редовни колебания в броя на хищниците и плячката. Те се обсъждат в сект. 15,4; само един пример ще бъде полезен тук (вж. Keith, 1983). Колебанията в популацията на зайците се обсъждат от еколозите от двадесетте години на нашия век, а ловците ги откриват 100 години по-рано. Например американският заек (Lepus americanus) в бореалните гори на Северна Америка има „10-годишен популационен цикъл“ (въпреки че всъщност продължителността му варира от 8 до 11 години; Фиг. Б). Сред тревопасните животни от този район преобладава белият заек; Храни се с връхчетата на многобройни храсти и малки дървета. Колебанията в изобилието му съответстват на колебанията в изобилието на редица хищници, включително риса (Lynx canadensis). 10-годишните цикли на изобилие са характерни и за някои други тревопасни животни, а именно лешниковия глухар и американския глухар. В популациите на зайци често се наблюдават 10-30-кратни промени в изобилието, а при благоприятни условия могат да се наблюдават 100-кратни промени. Тези флуктуации са особено впечатляващи, когато се появяват почти едновременно в огромна територия от Аляска до Нюфаундленд.
Намаляването на белия заек е придружено от ниска плодовитост, ниска преживяемост на младите, загуба на тегло и нисък темп на растеж; всички тези явления могат да бъдат възпроизведени в експеримента, влошавайки хранителните условия. В допълнение, преките наблюдения потвърждават намаляването на наличността на храна по време на периоди на максимално изобилие от зайци. Въпреки че, може би по-важното, растенията реагират на силното хранене с образуването на издънки с високо съдържание на токсични вещества, което ги прави негодни за консумация за зайци. И особено важно е растенията да останат така защитени в продължение на 2-3 години след силно хапване. Това води до забавяне между началото на намаляването на броя на заеците и възстановяването на хранителните му запаси, равно на приблизително 2,5 години. Две години и половина - и има самото забавяне във времето, което е една четвърт от продължителността на един цикъл, което точно отговаря на прогнозите на простите модели. Така че очевидно има взаимодействие между популацията на зайци и растителните популации, което намалява броя на зайците и се случва със закъснение във времето, което причинява циклични колебания.
Хищниците, от друга страна, най-вероятно следват колебанията в броя на заека и не ги причиняват. Въпреки това флуктуациите вероятно са по-изразени поради високото съотношение на броя на хищниците към броя на плячката през периода на намаляване на броя на зайците, както и поради ниското им съотношение в периода след минималния брой на зайци, когато те, изпреварвайки хищника, възстановяват числеността си (фиг. 10.5). Освен това, с високо съотношение на броя на риса към броя на зайците, хищникът яде голямо количество планински дивеч, а с ниско съотношение - малко количество. Това, очевидно, причинява колебания в броя на тези второстепенни тревопасни животни (фиг. 10.5). По този начин взаимодействието заек-растение причинява колебания в изобилието на заека, хищниците повтарят колебанията в тяхното изобилие, а популационните цикли при тревопасните птици се причиняват от промени в налягането на хищниците. Очевидно простите модели са полезни за разбиране на механизмите на флуктуациите на населението в природни условия, но тези модели не обясняват появата на тези колебания по никакъв начин.

Задачи за уравнения със закъснение. Да разгледаме вариационна задача, в която управлението определя фазовата траектория на системата чрез задачата на Коши за уравнението със закъснение

В литературата такива системи често се наричат ​​системи от едновременни уравнения, което означава, че тук зависимата променлива на едно уравнение може да се появи едновременно като променлива (но вече като независима) в едно или повече други уравнения. В този случай традиционното разграничение между зависими и независими променливи губи своето значение. Вместо това се прави разлика между два вида променливи. Това са, първо, съвместно зависими променливи (ендогенни), чието влияние една върху друга трябва да се изследва (матрица А в термина Ay t) на горната система от уравнения). Второ, предварително дефинираните променливи, които трябва да влияят на първите, но не се влияят от тях, са променливи на забавяне, т.е. изоставане (втори член) и екзогенни променливи, определени извън дадената система от уравнения.

Въпреки това, за уравнения с общи видове закъснения и повече или по-малко обширна спецификация на остатъка, все още няма достатъчно надеждни резултати относно свойствата на оценките. По този начин, оценките за регресионно уравнение с обща полиномна форма на изоставането имат само свойството на консистентност, а оценките за уравнения с изоставащи екзогенни и ендогенни променливи, получени по метода на три стъпки (при наличието на първи- остатъчна автокорелация на Марков) дори нямат това свойство (виж фиг. анализ на оценките в ).

По този начин, когато се синтезират високоскоростни системи с максимална степен на стабилност, първо е необходимо да се определят оптималните стойности на bj, които осигуряват изпълнението на условие (4), ng и ω, (1=1, n), след това намерете с/, при което (10) и накрая от условие (12) за дадена стойност на C, изберете dj. Коментирайте. От разгледаните случаи следва, че структурите на оптималните решения, т.е. броят на реалните и комплексно спрегнати двойки от крайно десни корени, тяхната комбинация, кратности и, като следствие, видовете ходографи на оптималните решения в X равнина, зависят от размерността на управлението m (1.2) и за достатъчно по-високи порядки n (1.1) не зависят от стойността на самото n. С други думи, всяко дадено m съответства на свой собствен добре дефиниран брой структури на оптимални решения нови оптимални решения. Следователно за n - > QO остава възможността за синтезиране на системи с максимална степен на стабилност, структурите на оптималните решения се определят само от m, което означава, че за всяко m структурите на оптималните решения са известни и за обекти с забавяне.

Възниква въпросът как да определим стойността на времевия лаг за всеки индикатор.За да определим подходящите времеви закъснения, използваме корелационния анализ на времеви редове от данни. Основен критерий за определяне на времето закъснение е най-голямата стойност на коефициента на кръстосана корелация за времевите редове от показатели с различни периоди на закъснение на тяхното влияние върху темпа на инфлация. В резултат на това уравнението ще приеме следния вид

В допълнение, методът на S. d. ви позволява да свържете в рамките на един модел множество потоци (физически. контрол и информация) и нивата на капиталови инвестиции и разпореждане с натрупващи тези потоци средства с нивото на основното. капитал, раждаемост и смъртност в различни възрастови групи с възрастовата структура на населението и т.н. -rykh се поддават на доста просто експериментално изследване на стабилността, в зависимост от параметрите и структурата на самия модел.

Правилата могат да бъдат групирани и по други критерии. Например, според инструмента на паричната политика (обмен курс, лихвен процент или паричен агрегат) според наличието на външноикономически отношения (отворена или затворена икономика) според включването на прогнозата на икономически променливи в уравнението на правилото ( проспективни и адаптивни правила) според размера на закъснението (със или без лагове) и др.

Моделът, отчитащ времето за полет на снаряда и забавянето на прехвърлянето на огъня, дава възможност да се вземат предвид закъсненията в системата за ранно предупреждение за ракетна атака на противника и системата за космическо наблюдение на неговата ядрена ракета сили. Този модел се дефинира от уравненията

Блокът с постоянно закъснение BPZ-2M е предназначен да възпроизвежда функции с аргумент за забавяне в аналогови изчислителни устройства и може да се използва при електрическо моделиране на процеси, свързани с транспортиране на материя или пренос на енергия, при апроксимиране на уравненията на сложни обекти с много капацитет по уравнения от първи и втори ред със закъснение.

Функциите за решение са формулировка на линия на поведение, която определя как наличната информация за нивата води до избор на решения, свързани със стойностите на текущите скорости на потока. Функцията на решението може да приеме формата на просто уравнение, което определя най-простата реакция на материалния поток към състоянията на едно или две нива (например, производителността на транспортна система често може да бъде адекватно изразена чрез броя на стоките в транзит , което е ниво, и константа - средното закъснение за времето на транспортиране) . От друга страна, функцията за вземане на решение може да бъде дълга и сложна верига от изчисления, извършени, като се вземат предвид промените в редица допълнителни условия.

Към момента не е напълно ясно кой фактор е основната причина за отсъствието на диатомеи в Байкал през студените периоди. В [Gracev et al., 1997], повишената мътност на водата, причинена от работата на планинските ледници, се счита за решаваща, в [Gavshin et al., 1998] основният е спадът в концентрацията на силиций поради избледняване на ерозията. в басейна на Байкал. Модификацията на модела (2.6.7), където първото уравнение описва динамиката на концентрацията на силиций, а второто - динамиката на утаяване на суспендирана материя, ни позволява да предложим подход за идентифициране кой от тези два фактора е основният . Ясно е, че поради огромната водна маса, биотата на Байкал ще реагира на изменението на климата с известно закъснение в сравнение с реакцията на растителните съобщества в водосборния басейн на езерото. Следователно сигналът на диатомеите трябва да изостава от палинологичния сигнал. Ако основната причина за изчезването на диатомеите през студените периоди е намаляването на концентрацията на силиций, тогава такова забавяне в отговорите на затопляне трябва да бъде по-голямо от закъсненията за охлаждане. Ако основният фактор за потискане на диатомеите е мътността, дължаща се на ледниците, тогава забавянето в отговорите на охлаждането трябва да бъде приблизително същото или дори по-голямо, отколкото при затопляне.

Последното уравнение, както читателят може да забележи, описва поведението на най-простия самонастройващ се механизъм с пропорционално закъснение. Приложение А предоставя блокова диаграма, показваща

Процедурата PERRON97 в този случай определя датата на прекъсване като 1999 07, ако изборът на дата на прекъсване се извършва според минимума - статистика на единичния корен критерий ta=i, взет върху всички възможни точки на прекъсване. В същото време ta= = - 3,341, което е над 5% от критичното ниво - 5,59, като хипотезата за единичния корен не се отхвърля. Най-голямото забавяне на разликите, включени в дясната страна на уравненията, е избрано да бъде 12 в рамките на прилагане на процедурата GS за намаляване на модела с 10% ниво на значимост.