Какви са начините за разлагане на мултипликатори. Комплексни случаи на разлагане на полиноми върху мултипликатори

Това е един от най-елементарните начини за опростяване на израза. За да приложим този метод, нека припомним закона за разпространение на умножаването спрямо допълнение (не се страхувайте от тези думи, определено знаете този закон, просто мога да забравя името му).

Законът казва: За да се умножи количеството две номера на третото число, трябва да умножите всяко подравняване към този номер и получените резултати са сгънати с други думи.

Можете също така да направите обратната операция, това е точно тази обратна работа на нас и ни интересува. Както може да се види от пробата, общият фактор А, може да бъде изваден от скобата.

Такава операция може да се извърши и с променливи, като например и с числа :.

Да, това е твърде елементарно пример, както и предишния пример, с разлагането на броя, защото всеки знае, че номерата и са разделени и какво, ако имате израз по-сложно:

Как да разберем какво, например, е разделено на номера, прави, с калкулатор, може ли някой да може и без него слаб? И за това има признаци на делимост, тези знаци наистина си заслужават да знаят, те ще ви помогнат бързо да разберете дали общият мултипликатор трябва да бъде изваден от скобата.

Признаци на делимост

Те не са толкова трудни за запомняне, най-вероятно повечето от тях са били запознати с това, и нещо ще бъде ново полезно откритие, повече в таблицата:

Забележка: Таблицата няма признак за разделяне от 4. Ако двете последни фигури са разделени на 4, тогава целият брой е разделен на 4.

Как ви харесва знака? Съветвам я да си спомня!

Е, нека се върнем към израза, може би това може да е достатъчно за скоба и достатъчно с него? Не, математиците са обичайни, за да опростят, така изцяло, да имаш всичко това, което се изважда!

И така, с Igrek, всичко е ясно и какво с цифрова част от израза? И двата номера са нечетни, така че няма да е възможно да се разделят,

Можете да използвате знак за разделяне, количеството на номерата и, от които броят е равен и е разделен на това, това означава, че е разделено на.

Знаейки го, можете спокойно да се разделяте на колоната, в резултат на разделяне на получаването (признаците на делимост са полезни!). По този начин, числото, което можем да извадим на скобата, както и в резултат, имаме:

За да сте сигурни, че сте положили всичко правилно, можете да проверите разлагането, да се умножите!

Също така, общият мултипликатор може да бъде изваден в изрази на енергия. Тук, например, вижте общ множител?

Всички членове на този израз имат Xers - ние издържаме, всеки е разделен - вземаме отново, ние разглеждаме какво се е случило :.

2. Формули на съкратено умножение

Формулите на съкратеното умножение вече са споменати на теория, ако едва ли си спомняте какво е то, тогава трябва да ги освежите в паметта.

Е, ако смятате себе си за много умен и твърде мързелив, за да прочетете такъв облак от информация, просто прочетете по-нататък, погледнете формулата и веднага опитайте за примери.

Същността на това разлагане е да забележите определена формула в съществуващия израз пред вас, да го приложите и да го получите, така че продуктът на нещо и нещо, това е всичко разлагане. Следните са формули:

И сега опитайте, разпространете следните изрази на мултипликатори, използвайки горните формули:

Но какво трябва да се случи:

Както успяхте да забележите, тези формули са много ефективен начин за разлагане на мултипликатори, не винаги е подходящо, но може да бъде много полезно!

3. Метод за групиране или групиране

И ето още едно вярно:

и така, какво ще правите с него? Изглежда, че е разделен на нещо и нещо и

Но всички заедно не разделят едно нещо, добре няма общ факторКак не търсите, затова напуснете, без да се излагат за множителите?

Тук е необходимо да се покаже смес и името на това миришене е група!

Прилага се точно когато няма общи делители от всички членове. За групиране е необходимо намерете групи с термини, които имат общи разделители И да ги пренареждате така, че един и същ множител да бъде получен от всяка група.

Не е необходимо да се пренарежда на някои места, но дава яснота, за яснота е възможно да се вземат някои части от изразяването в скобите, не е забранено да се инсталира толкова, колкото искате, най-важното нещо не е уплашено.

Не е ли ясно всичко това? Ще обясня примера:

В полином - поставяме член - след член - получаваме

ние групираме първите двама членове заедно в отделна скоба и също така групираме третия и четвъртия членове, ще получа знак "минус" за скобата, получаваме:

И сега изглеждаме отделно на всяка от двете "купчини", за които счупихме израза с скоби.

Номерът е да се прекъсне такива грешки, от които ще бъде възможно да се извърши максималният множител, или, както и в този пример, опитайте се да групирате членовете, така че след като направят съоръжението на множителите за скоба, ние оставахме същите изрази.

От двете скоби ние извършваме общи множители на членовете от първата скоба и от втората, получаваме:

Но това не е декомпозиция!

Псмагаре Разлагането трябва да остане само умножениеДокато имаме полином, просто разделен на две части ...

НО! Този полином има общ множител. то

за скоба и получете крайна работа

Бинго! Както можете да видите, вече има парче и извън скоби, нито прибавяне, нито изваждане, разлагането е завършено, защото Нямаме нищо повече за скобите.

Може да изглежда чудо, че след като направим множители за скоби, оставихме същите изрази в скоби, които отново извършихме зад скобата.

И изобщо не е чудо, фактът е, че примерите в учебниците и изпит в ЕЕ са специално направени така, че повечето изрази в задачите за опростяване или. \\ T факторизация С правилния подход, той е лесно опростен и рязко се сгънат като чадър, когато натиснете бутона, тук и потърсете същия бутон във всеки израз.

Нещо, което разсеях, какво ще кажете за нас с опростяване? Сложният полином пое по-прост форма :.

Съгласен съм, не толкова тромав, как беше?

4. Изолиране на пълен квадрат.

Понякога е необходимо да се трансформира съществуващите полиноми, за да се използват формулите на съкратеното умножение, което представлява един от неговите термини под формата на сума или разликата на двама членове.

В такъв случай трябва да го направите, да научите от примера:

Полиномът в тази форма не може да бъде разложен при използване на формулите на съкратеното умножение, така че трябва да се преобразува. Може би, отначало няма да е очевидно за това, което един член да се разбие, но с течение на времето ще се научите незабавно да видите формулите на съкратеното умножение, дори и да не присъстват не изцяло и ще бъдат доста бързо определени, което не е бързо Достатъчно, за да изцяло в пълна формула, но за сега - да научите, студент или по-скоро ученик.

За пълната формула на квадрата на разликата вместо това. Представете си третия член като разлика, получаваме: към израза в скоби можете да приложите формулата на квадрата на разликата (Да не се бърка с разликата в квадратите !!!)Ние: към този израз, можете да приложите формулата на квадратната разлика (Да не се бърка с площада на разликата !!!), Аз представя, как получаваме :.

Изразът не винаги се разгръща на факторите изглежда по-лесно и по-малко, отколкото преди разлагане, но в тази форма става по-подвижна, в смисъл, че не можете да пара за промяната на знаците и други математически глупости. Е, тук за независимо решение, следващите изрази трябва да бъдат разложени върху мултипликатори.

Примери:

Отговори:

5. Разлагане на квадратния три дка за мултипликатори

Относно разлагането на квадратно три разграждане върху факторите, които се виждат по-нататък в примерите за разлагане.

Примери за 5 метода за разлагане на полином към множителите

1. Премахване на общ фактор за скоби. Примери.

Спомняте ли си какъв е законът за разпространение? Това е правило:

Пример:

Изпращане на полиноми към множителите.

Решение:

Друг пример:

Спрете на множителите.

Решение:

Ако терминът е напълно завършен зад скобите, устройството остава в скоби вместо това!

2. Формули на съкратено умножение. Примери.

Най-често използваме формулината разлика на квадратите, разликата в кубчетата и количеството на кубчета. Спомняте ли си тези формули? Ако не, спешно повторете темата!

Пример:

Разгледайте израза на множителите.

Решение:

В този израз е лесно да се знае разликата на кубчетата:

Пример:

Решение:

3. Метод за групиране. Примери

Понякога може да се промени на места по такъв начин, че същият мултипликатор може да бъде разпределен от всяка двойка съседни термини. Този общ фактор може да бъде достигнат с скоба и първоначалният полином ще се превърне в работа.

Пример:

Разпространете мулти-многопотребителите.

Решение:

Фугиране на компонентите, както следва:
.

В първата група ще донеса общ мултипликатор за скобата, а във втория -:
.

Сега общата фабрика може да бъде представена и за скоби:
.

4. Метод на изолация с висока квадрат. Примери.

Ако полиномът може да бъде представен под формата на квадрата на квадратите на две изрази, той ще остане само за прилагане на формулата на съкратеното умножение (разликата на квадратите).

Пример:

Разпространете мулти-многопотребителите.

Решение:Пример:

Започнете (масив) (* (35) (л))
((x) ^ (2)) + 6 (x) -7 \u003d подграден ((x) ^ (2)) + 2 ccot 3 cdot x + 9) _ (квадрат 1 ((ляво) \\ t (X + 3 вдясно)) ^ (2))) - 9-7 \u003d ((ляво (x + 3))) ^ (2)) - 16 \u003d \\ t
\u003d ляво (x + 3 + 4 вдясно) оставено (x + 3-4 вдясно) \u003d ляво (x + 7 дясно) оставено (x-1 дясно) \\ t
Край (масив)

Разпространете мулти-многопотребителите.

Решение:

Започнете (масив) (* (35) (л))
((x) ^ (4)) - 4 ((x) ^ (2)) - 1 \u003d подложка ((x) ^ (4) - 2 ccot 2 cdot ((x) ^ (2) \\ t ) +4) _ (квадратна разлика ((ляво (((x) ^ (2)) - 2 дясно)) ^ (2))) - 4-1 \u003d ((((()) (2)) - 2 дясно)) ^ (2)) - 5 \u003d \\ t
\u003d ляво (((x) ^ (2)) - 2+ sqrt (5) дясно) наляво ((x) ^ (2)) - 2- \\ t, sqrt (5) \\ t
Край (масив)

5. Разлагане на квадратния три декара на множителите. Пример.

Square Three-Melen е полиномна гледка, където неизвестното е някои числа, и.

Стойностите на променливата, които превръщат квадратния тристранен до нула, се наричат \u200b\u200bкорените на три изстрела. Следователно корените на трима са корените на квадратното уравнение.

Теорема.

Пример:

Разпространение на тристранните квадратни тремини :.

Първо, ние решаваме квадратно уравнение: Сега можете да запишете разлагането на този квадрат три разграждания на фактори:

Сега вашето мнение ...

Ние нарисувахме подробно как и да поставим полином на множителите.

Ние доведохме много примери как да го направим на практика, посочихме клопките, дадохме решения ...

Какво казваш?

Как ви харесва тази статия? Използвате ли тези техники? Разбирате ли тяхната същност?

Пишете в коментари и ... Подгответе се за изпита!

Досега той е най-важният в живота ви.

Какво да правите, ако в процеса на решаване на проблема от изпита или на входния изпит в математиката сте получили полином, което не е възможно да се разложи мултипликателите със стандартните методи, които сте научили в училище? В тази статия, преподавател по математика ще разкаже за един ефективен начин, изследването е извън училищната програма, но с помощта на която полиномът не е много труден за разлагане на полином. Вземете тази статия в края и погледнете приложния видео урок. Знанието, което ще получите, ще ви помогне на изпита.

Разлагане на полином към методите за разделяне

В случай, че сте получили полином повече от втората степен и може да се отгатне стойността на променливата, в която този полином става нула (например, тази стойност е равна на), знам! Този полином може да бъде разделен без остатък.

Например, лесно е да се види, че полиномният апелативен апелативна степен е нула. Това означава, че тя може да бъде разделена на без остатък, след като получи полином от третата степен (по-малко на единица). Това е, представете си:

където А., Б., ° С. и Д. - Някои номера. Компютърни скоби:

Тъй като коефициентите със същите степени трябва да бъдат еднакви, получаваме:

Така че, имам:

Продължавай. Достатъчно е да се оправим няколко малки цели числа, които виждат, че полиномът от третата степен отново се разделя на. Това получава полином от втора степен (по-малко на единица). След това отидете на ново влизане:

където Д., Е. и Г. - Някои номера. Ние разкриваме скоби и стигаме до следното изразяване:

Отново от състоянието на равенството на коефициентите със същите степени, които получаваме:

Тогава получаваме:

Това означава, че първоначалният полином може да бъде разграден върху факторите, както следва:

По принцип, ако желаете, използвайки формулата, разликата на квадратите, резултатът може да бъде представен както следва:

Това е толкова прост и ефективен начин да се разложи полиноми върху мултипликатори. Не забравяйте, че той може да влезе удобно на изпита или олимпиада по математика. Проверете дали сте се научили да използвате този метод. Опитайте се да решите самите следната задача.

Разстелете полиномът до множителите:

Напишете отговорите си в коментарите.

Материал, приготвен, Сергей Валериевич

• 1. Лечение на общ фактор за скоби и групиращ метод. В някои случаи е препоръчително някои членове за сумата (разликата) на такива термини или да въведат взаимно унищожаващи членове.
• 2. Използването на формули на съкратено умножение.Понякога трябва да издържите мултипликатори за скоби, членове на групата, да разпределите пълен площад и само тогава количеството на кубчета, разликата в квадратите или разликата на кубчетата, които представляват под формата на работа.
• 3. Използване на теоремата на косите и метода на несигурни коефициенти.

Пример . Изпращане на множители:

Р 3 (x) \u003d x 3 + 4x 2 + 5x + 2;

Тъй като P3 (-1) \u003d 0, тогава полиномът Р 3 (X) е разделен на X + 1. Методът на неопределените коефициенти ще намери частно от разделението на полином

Р 3 (x) \u003d x 3 + 4x 2 + 5x + 2 на скача x + 1.

Нека частното ядене на полином x 2 +. Тъй като x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x + 1) · (x 2 +) \u003d

X 3 + (+ 1) · x 2 + () · x +, получаваме системата:

От къде. Следователно, Р 3 (x) \u003d (x + 1) · (x 2 + 3x + 2).

Тъй като x 2 + 3x + 2 \u003d x 2 + x + 2x + 2 \u003d x · (x + 1) + 2 · (x + 1) \u003d (x + 1) · (x + 2), след това p3 (x ) \u003d (x + 1) 2 · (x + 2).

4. използването на теоремата на калта и разделянето на "сцената".

Пример . Разлагане на мултипликатори

Р 4 (x) \u003d 5 · x 4 + 9 · х 3 -2 · х 2 -4 · х-8.

Решение . Тъй като Р 4 (1) \u003d 5 + 9-2-4-8 \u003d 0, след това Р 4 (x) се разделя на (X-1). Дивизия "колона" ще намерим лично

Следователно,

Р 4 (x) \u003d (x-) · (5 · x 3 + 14x 2 + 12x + 8) \u003d

\u003d (x - 1) · Р 3 (x).

Тъй като Р 3 (-2) \u003d -40 + 56-24 + 8 \u003d 0, след това полином р 3 (x) \u003d 5 · х 3 + 14х2 + 12x + 8 е разделен на X + 2.

Намерете частно разделение на "Етап":

Следователно,

Р 3 (x) \u003d (x + 2) · (5 · x 2 + 4x + 4).

Тъй като дискриминацията на квадрат три намалява 5 · x 2 + 4x + 4 е d \u003d -24<0, то этот

квадрат три пъти на линейни мултипликатори не се разлага.

Така, р4 (x) \u003d (x - 1) · (x + 2) · (5 · x 2 + 4x + 4)

5. Използване на теоремата на Mouture и схемата Gorner. Частните методи, получени по тези методи, могат да бъдат разпръснати по мултипликатори към други или по същия начин.

Пример . Изпращане на множители:

Р 3 (x) \u003d 2 · х 3 -5 · х 2 -196 · х + 99;

Решение .

Ако този полином има рационални корени, тогава те могат да бъдат само средно 1/2, 1, 3/2, 3, 9/2, 11/2, 9, 33, 99, 11.

За да намерите корена на този полином, ние ще използваме следното изявление:

Ако в края на някой сегмент стойността на полинома има различни знаци, след това на интервала (А; б) Има поне един корен на този полином.

За този полином Р3 (0) \u003d 99, p3 (1) \u003d - 100. Следователно има поне един корен на този полином на интервала (0; 1). Ето защо, сред които написани над 24 номера, препоръчително е първо да проверите тези цифри, които принадлежат на интервала

(0; 1). От тези номера само номерът принадлежи на този интервал.

Стойността на Р 3 (x) с x \u003d 1/2 може да бъде намерена не само чрез директно заместване, но и по други начини, например, според планинската схема, тъй като p () е равен на остатъка от разделението на полином P (X) до X-. Освен това, в много примери, този метод е за предпочитане, тъй като коефициентите също са разположени едновременно.

Според планинската схема за този пример получаваме:

Тъй като Р 3 (1/2) \u003d 0, X \u003d 1/2 е коренът на полином р 3 (x) и полином P3 (X) е разделен на X-1/2, т.е. 2 · X 3 -5 · X 2 -196 · X + 99 \u003d (X-1/2) · (2 \u200b\u200b· х 2 -4 · X-198).

Тъй като 2 · x 2 -4 · x-198 \u003d 2 · (x 2 -2 · x + 1-100) \u003d 2 · ((х-1) 2 -10 2) \u003d 2 · (x + 9) · ( X-11) тогава

Р 3 (x) \u003d 2 · x 3 -5 · х 2 -196 · х + 99 \u003d 2 · (X-1/2) · (X + 9) · (X-11).

Концепцията за пръстени на пръстена

Нека бъде ДА СЕи Л. Комутативни пръстени

Определение 1. : Пръстен ДА СЕ наречени прости разширяване на пръстените К. Използване на елементи х. и напишете:

L \u003d k [x]Ако са изпълнени условията:

page Rings.

Основен комплект K [x]обозначаваме сомус L, k [x].

Определение 2. : Просто разширение L \u003d k [x] пръстени К. без значение х. - Просто трансцендентно разширение на пръстена К. без значение х.Ако са изпълнени условията:

page Rings.

Ако тогава

Определение 3. : Елемент х. наречен трансцендентен над пръстена К.Ако условието е изпълнено: ако, тогава

Присъда. Нека бъде K [x] Просто трансцендентално разширение. Ако и, къде тогава

Доказателства . Чрез състояние, вторият израз ще бъде изваден от първия израз, ние получаваме: от елемента х. Transcenterien nad. К., след това от (3) получаваме :.

Изход. Всеки елемент от обикновена трансцендентална експанзия на неравномерна нула, комутативен пръстен К. Използване на елемент х. Позволява единственото представителство под формата на линейна комбинация от цяло число негативни степени на елемента х.

Определение: Пръстен от полином от неизвестно х. над, неравномерно нула, пръстен К. Тя се нарича проста трансцендентална експанзия на ненулев комутативен пръстен К. Използване на елемент х..

Теорема . За всеки нулев комутативен пръстен K, Налице е простото трансцендентално разширение с помощта на елемент. x, k [x]

Операции по полиноми

Нека k [x] да бъде пръстен от полиноми, а не нулев комутативен пръстен К.

Определение 1: Полиномите F и G, принадлежащи към K [X], се наричат \u200b\u200bравни и пишат f \u003d g, ако всички растения на полиномния f и g са равни един на друг, стоящи на няколко степени на неизвестното х.

Следствие . В записа на полиномния редът на подравняването не е значителен. Приписване и изключване от записа на полиномния, компонентът с нулев коефициент няма да промени полином.

Определение 2. Количеството на полиноми F и G се нарича полином F + G, определян от равенство:

Определение 3. : - Продуктът от полиноми е обозначен, който се определя с правило:

Степента на полиноми

Нека комутативният пръстен. K [x] пръстен от полиноми над полето К. : ,

Дефиниция : Да - всеки полином. Ако, цялото не-отрицателно число n е степента на полиноми е.. В същото време пишат n \u003d deg е..

Числата са коефициентите на полином, където - старшият коефициент.

Ако, е. - нормализирани. Степента на нулев полином е несигурна.

Свойства на степента на полином

К. - Област на почтеност

Доказателства :

Така че. ДА СЕ - областта на почтеността.

Следствие 1. : k [x] над полето ДА СЕ (Почтеност) от своя страна е зона за почтеност. За всяка област на почтеност има обхват на конкретно.

Следствие 2. : За всеки k [x] над пространството за почтеност ДА СЕ Има частно поле.

Разделение на скача и корените на полином.

Нека елементът се нарича полиномна стойност е. От аргумента.

Теорем Безу : За всеки полином и елемент има елемент :.

Доказателства : Да - всеки полином

Следствие : Остатъкът от разделението на полиномния е равен.

Дефиниция : Елементът се нарича корен на полином е., ако.

Теорема : Нека елементът е коренът е. тогава и само когато се разделят е.

Доказателство:

Трябва. Нека от теоремата следва от теоремата, че от свойствата на делимостта следва това

Достатъчност. Нека това. Ch.t.d.

Максималният брой корени на полинома над пространството за почтеност.

Теорема : Нека К е областта на почтеността. Брой корени от полином е. В областта на почтеността к. Няма повече степен н. полином е..

Доказателства :

Индукция от степента на полином. Нека полиномът е. Той има нулеви корени и техният брой не надвишава.

Нека теоремът е доказан за всеки.

Ние показваме, че от параграф 2 се следва истината за одобрението на теоремата за полиноми.

Нека два случая са възможни:

• А) полином е. Следователно няма корени, изявлението на теоремата е вярно.
• Б) полином е. има поне корен, на теоремата без пухка к. - площ на почтеност, след това по собственост 3 (степен на полином), следва това

Като, к - Областта на почтеност.

Така всички корени на полином са коренът на полином г. Тъй като в индукционното предположение, броят на всички корени на полиномната г. не повече н., е. няма повече ( n +.1) Корен.

Следствие : Нека бъде к. - Област на почтеност, ако броят на корените на полиномната е. Още номера н,къде е това е. - нула полином.

Алгебрично и функционално равенство на полиноми

Нека да бъдем някакъв вид полином, той определя някаква функция

като цяло, всеки полином може да дефинира една функция.

Теорема : Нека бъде к.- следователно площта на целостта е за равенството на полиномите и равенството (определено идентично равенство ()) и. \\ T

Доказателства :

Трябва. Нека и двете - областта на почтеността ,. \\ t

Нека това е

Достатъчност. Нека се преструваме това. Помислете за това к. Площ на целостта, след това полином х. има броя на корените, от разследването, това следва това х. Нула полином. Така, bt.t.

Дискусия теорема с остатъка

Дефиниция : Евклидовски пръстен К. наречена такава област на почтеност k,че функцията определя функцията h,съседните цели, които не са отрицателни стойности и отговарят на състоянието

В процеса на намиране на елементи за тези елементи се нарича дивизия с остатъка, е непълна частна, - балансът на разделението.

Нека - пръстена от полиноми над полето.

Теорема (на разделение с остатъка) : Нека - пръстена от полиноми над полето и единствената двойка полиноми е полином, така че състоянието да е изпълнено или. или

Доказателства : Съществуването на полином. Нека това е така. Теоремата е валидна, очевидно, ако е нула или, тъй като или. Ние доказваме теоремата, когато. Доказателство чрез индуциране на степента на полиноми, предполагам, че теоремата е доказана (с изключение на уникалността), за полином. Ние показваме, че в този случай се прави одобрението на теорема. Наистина, нека - най-големият коефициент на полинома, следователно, полиномът ще има същия старши коефициент и степента на степента, която има полином, следователно полиномът ще има или е нулев полином. Ако, тогава, следователно, когато получим. Ако, в индуктивното предположение, това е, когато получаваме или. Доказано е наличието на полином.

Ние показваме, че такъв чифт полиноми е единственият.

Нека да има или извадете :. Възможни са два случая или.

От друга страна. Чрез състояние или, или.

Ако. Противоречието се получава, така. Уникалността е доказана.

Следствие 1. : Пръстен от полиноми по полето е евклидовото пространство.

Следствие 2. : Пръстен от полиноми над, е пръстенът на основните идеали (всеки идеал има един генератор)

Всеки евклидовен пръстен факторично: пръстен от полином над, се нарича факториален пръстен.

Алгоритъм Евклида. Възел на два полинома

Оставят пръстена от полиноми по-горе.

Определение 1. : Макар и, ако има полином, остатъкът от разделянето е нула, наричан полиномният разделител и е посочен: ().

Определение 2. : Най-големият общ разделител на полиноми се нарича полином:

и (- общ делител и).

(на всеки общ делител и).

Най-големият общ разделител на полиноми и се обозначава от възела (;). Общите дивисти на всички полиноми включват всички полиноми от нулева степен от, т.е. без нулево поле. Тя може да се окаже, че две данни на полином и нямат общи делители, които не са нулеви полиноми.

Дефиниция : Ако полиноми и нямат общи делители на нематериална нулева степен, тогава те се наричат \u200b\u200bвзаимно прости.

Лема : Ако полиномите са от полето над полето, има място, най-големият общ делител на полиноми и възел са свързани. ~

Запис ( a ~ B.) означава това (и) по дефиниция.

Доказателства : Нека I.

и следователно следва, че ще научим това - общия делител на полином и.

общ делител и получавам

Алгоритъм Евклида

Разграждането на полиноми върху мултипликатори е еднаква трансформация, в резултат на която полиномът се трансформира в продукт на няколко фактора - полиноми или еднокрило.

Има няколко начина да се разграждат полиноми на множителите.

Метод 1. Изместване на общ фактор за скоба.

Тази трансформация се основава на закона за разпределение на умножението: AC + BC \u003d C (A + B). Същността на преобразуването е да се разпределят в двата компонента под внимание общия фактор и "OUT" за скоби.

Ще разложим полиномите на полиномния 28x 3 - 35x 4.

Решение.

1. Намерете елементи 28х 3 и 35x 4 общ делител. За 28 и 35 ще бъде 7; За x 3 и x 4 - x 3. С други думи, нашият общ множител от 7x 3.

2. Всеки от елементите представлява работата на множителите, една от които
7x 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x.

3. Ние изваждаме общ мултипликатор за скоби
7x 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x \u003d 7x 3 (4 - 5x).

Методификация 2. Използването на формули на съкратено умножение. "Mastery" чрез притежание на този метод е да се забелязва една от формулите на съкратеното умножение.

Разпространение на множители на полиноми X 6 - 1.

Решение.

1. Към този израз можем да приложим формулата за разликата в квадратите. За да направите това, представете си х 6 като (x 3) 2 и 1 като 1 2, т.е. 1. Изразът ще бъде под формата:
(x 3) 2 - 1 \u003d (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1).

2. Към произтичащия израз, можем да приложим формулата на количеството и разликата на кубчетата:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) \u003d (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Така,
x 6 - 1 \u003d (x 3) 2 - 1 \u003d (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) \u003d (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Метод 3. Групиране. Методът на групиране е да се комбинират компонентите на полинома по такъв начин, че да са лесни за извършване на действия (добавяне, изваждане, общия мултипликатор).

Ще разложим полиномите от X 3 - 3x 2 + 5x - 15 на мултипликатори.

Решение.

1. фугиране на компонентите по този начин: 1 с 2-ри и 3-ти с 4-ти
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15).

2. В резултатния израз ще извършим общи множители за скоби: X 2 в първия случай и 5 - във втория.
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15) \u003d x 2 (x - 3) + 5 (x - 3).

3. Ние изваждаме общия фактор X - 3 за скоби и получавам:
x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) \u003d (x - 3) (x 2 + 5).

Така,
x 3 - 3 x 2 + 5x - 15 \u003d (x 3 - 3x2) + (5x - 15) \u003d x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) \u003d (x - 3) ∙ (x 2 +) 5).

Закрепете материала.

Изпращане на полином А 2 - 7AB + 12B 2 на множители.

Решение.

1. Представете си 7AB 7AB като сума от 3AB + 4AB. Изразът ще приеме формата:
a 2 - (3AB + 4AB) + 12B2.

Ще разкрием скобите и ще получим:
а 2 - 3AB - 4AB + 12B2.

2. Фугуриране на компонентите на полином по този начин: 1-ви с 2-ри и 3-ти с 4-ти. Получаваме:
(2 - 3AB) - (4AB - 12B 2).

3. Ще донеса общи множители за скоби:
(А2-3Ab) - (4AB - 12B 2) \u003d а (A - 3B) - 4Ь (А - ЗВ).

4. Ще донеса общ мултипликатор за скоби (A - 3B):
а (А - ЗВ) - 4Ь (А - ЗВ) \u003d (a - 3 b) ∙ (А - 4В).

Така,
а 2 - 7AB + 12B 2 \u003d
\u003d A 2 - (3AB + 4AB) + 12B 2 \u003d
\u003d A 2 - 3AB - 4AB + 12B 2 \u003d
\u003d (2 - 3AB) - (4AB - 12B 2) \u003d
\u003d А (А - ЗВ) - 4Ь (А - ЗВ) \u003d
\u003d (A - 3 b) ∙ (А - 4В).

сайтът, с пълно или частично копиране на позоваването на материала към оригиналния източник.

Всяка алгебрична полиномна степен N може да бъде представена като продукт на n-линеен фактор на вида и постоянен номер, който е коефициентите на полином на старши етап X, т.е.

където - са корените на полином.

Коренът на полиномното повикване на номера (реален или сложен), който превръща полином до нула. Корените на полином могат да бъдат както валидни корени и комплексни конюгат корени, след това полиномът може да бъде представен в следната форма:

Разгледайте методите за разлагане на полиноми на степен "N" в работата на множителите от първата и втората степен.

Метод номер 1.Метод на несигурни коефициенти.

Коефициентите на такъв преобразувания експресия се определят от метода на несигурни коефициенти. Същността на метода се свежда до факта, че има предпоставка за множество мултипликатори, към които този полином се разлага. Когато се използва метода на несигурни коефициенти, следните твърдения са валидни:

Стр. Две полиноми са идентично равни в случай, че техните коефициенти са равни със същата степен X.

Пс. Всяка полинома от третата степен се разлага в продукта на линейни и квадратни мултипликатори.

Стр.3. Всеки полином от четвъртата степен се разлага в работата на два полинома от втората степен.

Пример 1.1. Необходимо е да се разложи кубичен израз върху мултипликатори:

Стр. В съответствие с приетите изявления за кубичен израз, идентичното равенство е справедливо:

Пс. Правата част на изразяването може да бъде представена под формата на компонентите, както следва:

Стр.3. Ние събираме система от уравнения от състоянието на равенството на коефициентите в съответните степени на кубичния израз.

Тази система от уравнения може да бъде решена чрез подбор на коефициенти (ако има прост академичен проблем) или методи за решаване на нелинейни системи на уравнения. Разрешаването на тази система на уравнения, ние получаваме, че несигурните коефициенти се определят, както следва:

По този начин първоначалният израз се отхвърля към множителите в следната форма:

Този метод може да се използва както с аналитични изчисления, така и с компютърно програмиране, за да автоматизира процеса на търсене на уравнението.

Метод номер 2.Формули на Виета

Формулите на Виета са формули, които свързват коефициентите на алгебрични уравнения на степен N и нейните корени. Тези формули са имплицитно представени в произведенията на френската математика Francois Vieta (1540 - 1603). Поради факта, че Виет се разглежда само положителни реални корени, така че той нямаше възможност да напише тези формули в обща форма.

За всяка алгебрична полиномна степен N, която има N-валидни корени,

справедливите взаимоотношения, които свързват корените на полином със своите коефициенти:

Формулите на Виета удобно се използват за проверка на коректността на корените на полинома, както и за компилиране на полином върху посочените корени.

Пример 2.1. Помислете как корените на полином са свързани с нейните коефициенти върху примера на кубично уравнение

В съответствие с формулите на Vieta, връзката на корените на полином с нейните коефициенти е следната форма:

Подобни отношения могат да бъдат направени за всяка полиномна степен n.

Метод номер 3. Разлагане на квадратното уравнение за фактори с рационални корени

От последната формула на Vieta следва, че корените на полином са делители на свободния си член и по-стар коефициент. В това отношение, ако в състоянието на проблема определя полиномна степен N с цели коефициенти

този полином има рационален корен (незабележима фракция), където p е свободен член на членовете, а Q е дилър на по-стария коефициент. В този случай полиномът на степен N може да бъде представен във формата (теорема на мудата):

Полиномът, степента на който е 1 по-малка от степента на начален полином, се определя от разделянето на полином от степен N, например, използвайки планинска схема или най-лесният начин да бъде "колона".

Пример 3.1. Необходимо е да се разложи полиномът към множителите

Стр. Поради факта, че коефициентът с висшите термини е равен на един, рационалните корени на този полином са делишници на свободен член на изразяването, т.е. могат да бъдат цели числа . Заменяме всеки от представените номера в първоначалния израз, откриваме, че коренът на представения полином е равен.

Извършете разделението на оригиналния полином, за да скача:

Използваме схемата на Gorner

Изходният полиномен коефициенти се показват в горната линия, а първата клетка на горната линия остава празна.

В първата клетка на втория ред се записва коренът (в примерния пример се записва номерът "2"), а следните стойности в клетките се изчисляват по определен начин и те са коефициентите на полиномът, който ще доведе до разделяне на полином върху бияча. Неизвестни коефициенти се определят, както следва:

Във втората клетка, втората линия се прехвърля от съответната клетка на първия ред (в примера на примера, се записва номерът "1").

Третата линия на втория ред записва стойността на първата клетка на втората клетка на втория ред плюс стойността от третата клетка на първия ред (в примера на пример 2 ∙ 1 -5 \u003d -3).

На четвъртата клетка на втория ред стойността на първата клетка се записва на третата клетка на втория ред плюс стойността от четвъртата клетка на първия ред (в пример 2 ∙ (-3) +7 \u003d 1 ).

По този начин първоначалният полином се отхвърля към множителите:

Метод номер 4.Използване на формулите на съкратеното умножение

Формулите на съкратеното умножение се използват за опростяване на изчисленията, както и разлагането на полиноми върху мултипликатори. Намалените формули за умножение позволяват да се опрости решението на отделните задачи.

Формули, използвани за разграждане на множители