Jaká je váha pozice v číselné soustavě. Co je to číselná soustava? Jaké číselné soustavy používají odborníci ke komunikaci s počítačem

Seznámení s Leafem

Vynálezce Listík vynalezl zařízení na přenos čísel. Jeho zařízení přenášelo zprávy ve formě řetězce krátkých a dlouhých signálů. Listík ve svých poznámkách označil krátký signál číslicí „0“ a dlouhý číslicí „1“. Při přenosu čísel použil pro každou číslici následující kód:

Číslo 12, skládající se z čísel 1 a 2, si leták zapsal k přenosu takto:

Zařízení vysílalo tuto zprávu v řetězci takových signálů: tři krátké, jeden dlouhý, dva krátké, jeden dlouhý a jeden krátký.

Číslo 77 podle Listíkova systému bylo zakódováno takto:

Informační kódování

Kódování je překlad informací do formy, která je vhodná pro přenos nebo ukládání.

Texty jsou například kódovány pomocí písmen a interpunkčních znamének. Navíc jeden a tentýž záznam lze kódovat různými způsoby: v ruštině, angličtině, čínštině ...

Čísla jsou kódována pomocí čísel. Čísla, na která jsme zvyklí, se nazývají arabská čísla. Někdy se používají římské číslice. V tomto případě se změní způsob kódování informací. Například 12 a XII jsou různé způsoby zápisu stejného čísla.

Hudbu lze kódovat pomocí speciálních znaků – not. Dopravní značky jsou kódované zprávy pro řidiče a chodce pomocí piktogramů.

Zboží na prodejně je označeno čárovým kódem, který obsahuje informace o produktu a jeho výrobci.

Čárový kód je posloupnost černých a bílých pruhů, které kódují informace ve formě snadno čitelné technickými zařízeními. Kromě toho lze pod čárový kód umístit řadu čísel.

Informace jsou vždy ukládány a přenášeny ve formě kódů. Nemůžete jen ukládat informace bez nosiče. Stejně tak není možné uchovávat a přenášet jen informaci: ta má vždy nějakou formu, tedy je zakódovaná.

Binární kódování

Binární kódování je kódování informací pomocí nul a jedniček. Pro počítačové technologie se tento způsob prezentace informací ukázal jako velmi vhodný.

Jde o to, že počítače jsou postaveny na prvcích, které mohou být ve dvou možných stavech. Jeden takový stav je označen číslem 0, druhý číslem 1.

Příkladem binárního zařízení je obyčejná žárovka. Může být v jednom ze dvou stavů: zapnuto (stav 1) nebo vypnuto (stav 0).

Na žárovky si můžete postavit elektrickou paměť a uložit do ní například čísla pomocí Leafova binárního kódu.

Pro uložení každé desetinné číslice jsou zapotřebí čtyři žárovky. Takto si zapamatujete číslo 6:

Nastavte přepínače do požadované polohy - a jdeme na čaj! Pokud není elektřina vypnuta, informace se uloží.

Žárovky se samozřejmě pro výrobu počítačů nehodí: jsou velké, rychle vyhoří, jsou drahé (ostatně jsou jich miliony) a hodně zahřívají prostředí.

V moderních počítačích se jako paměťový prvek používá elektronické zařízení, tranzistor.

Tranzistor může procházet proud sám sebou (stav 1) nebo ne (stav 0).

Bývaly doby, kdy se každý tranzistor vyráběl samostatně a byl významný svou velikostí.

Nyní jsou tranzistory, stejně jako jiné elektronické prvky, vyráběny způsobem podobným tisku fotografií. Jeden mikroobvod velikosti nehtu lze „otisknout“ několik milionů tranzistorů.

Kód, kterým Listík kódoval zprávy, se ve skutečnosti používá pro práci s čísly v počítači.

U binárního kódování se do této tabulky nemusíte vůbec dívat, ale pamatujte na jednoduché pravidlo pro převod binárního kódu na desítkovou číslici.

Ten v kódu na prvním místě vpravo udává číslo
lo 1, na druhém - 2, na třetím - 4, na čtvrtém - 8. Pro získání desetinné číslice se čísla sečtou. Například kód „0101“ je přeložen na číslici 5 (součet čísel 4 a 1).

Stejné pravidlo lze použít i pro dekódování. Například číslice 6 je zapsána jako součet čísel 4 a 2, což znamená, že její kód bude „0110“.

Tabulka s čísly napsanými v číselné soustavě, která se používala ve starověkém Babylonu. Kolem roku 1700 př.n.l Rozluštěno v roce 1945.

Číselné soustavy

Listový kód a kódování čísel

Předchozí lekce vám ukázala, jak psát čísla pomocí nul a jedniček. Leták zakóduje každou číslicičíslo čtyři binární znamení.

Číslo 102 podle kódu listu je tedy zapsáno pomocí 12 binárních znaků:

Leták zakóduje odděleně každá z 10 číslic a používá k tomu 4 binární číslice. Ale čtyři binární znaky mohou kódovat ne 10, ale 16 hodnot:

Ukazuje se, že 6 listových kódů (což je více než polovina z 10) je promarněno!

Je možné kódovat ekonomičtěji?

Můžete, pokud kódujete ne čísla(kterých se shromažďuje počet), a to okamžitě čísla! Číslo 102 tedy touto metodou kódování nelze zapsat dvanácti, ale pouze sedmi binárními číslicemi (ušetříme 5 číslic):

Toto kódování bude popsáno v tomto tutoriálu. Ale začněme pěkně popořadě.

Desetinná číselná soustava

Jak víte, čísla se skládají z čísel a čísel je pouze deset, zde jsou:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Jak lze psát velká čísla pouze s deseti číslicemi? To uvidíme nyní, ale nejprve si zapamatujte definici:

Způsob zápisu čísel se nazývá číselný systém.

Učené slovo mrtvé zúčtování, ve shodě se slovem "výpočet" již znamená "způsob zápisu čísel". Ale matematikům se zdálo, že fráze notový zápis zní lépe. Nevadí, tento dvouslovný výraz zvládneme! Teď se s tím vypořádejme číselný systém, na kterou jsou zvyklí.

Podívejte se na číslo 253. V tomto záznamu je první číslice vpravo (tzv nejméně významná číslice) znamená „tři jedničky“, pět znamená „pět desítek“ a dvě ( nejvyšší číslice) - "dvě stě".

Ukazuje se: 253 = 2 · 100 + 5 · 10 + 3 · 1.

Mluvíme: "Dvě stě padesát tři"... To znamená číslo, které se získá přidáním:

dvě stě (2 100 = dvě stě),

pět tuctů (5 10 = padesátka) a

tři jednotky (3 1 = tři).

Vidíme, že hodnota číslice v záznamu čísla závisí na pozice ve kterém se číslice nachází. Pozice číslic se nazývají jinak výboječísla.

Nejméně významná číslice znamená jednotky:

Druhá číslice zprava znamená desítky:

Třetí číslice zprava znamená stovky:

Vidíme, že příspěvek číslice k číslu roste zprava doleva.

Číselné soustavy, ve kterých závisí příspěvek číslice k číslu pozice volají se čísla v záznamu poziční číselné soustavy.

Nám známý číselný systém je poziční, jak jsme viděli. Všimněte si, že v základ má to být číslo 10 - počet použitých číslic.

Nejmenší číslice ukazuje počet jednotek v čísle, druhá zprava - počet desítek (1 · 10). Třetí ukazuje stovky (10 10), čtvrtý zobrazuje tisíce (10 100) a tak dále.

Počítáme jako jednotky, jednotky se sčítají do desítek (deset jednotek je nahrazeno jednou desítkou), desítky - do stovek (deset desítek je nahrazeno stovkou) a tak dále.

Číslo 10 je základem obvyklé číselné soustavy, proto se nazývá desítková soustava nebo číselnou soustavou základ 10.

Podívejte se znovu, jak se 2789 převádí na číslo.

Číslo se získá sečtením vkladyčísla v něm obsažená:

Příspěvek každé číslice se získá vynásobením této číslice násobitelem závislým na poloze spojeným s radixem systému.

Násobiče pozic se počítají podle následujícího pravidla:

1. Násobitel první (pravé) pozice je 1 .

2. Násobitel každé další pozice se získá vynásobením základu soustavy (číslo 10 ) faktorem předchozí pozice.

Budou volány multiplikátory pozice váhy pozic nebo polohové závaží.

Číslo se rovná součtu vkladů. Příspěvek se rovná součinu figury a polohové váhy. Váha první pozice je 1, druhá je 10, třetí je 100 a tak dále. To znamená, že váha každé polohy (kromě první) se získá z hmotnosti předchozí vynásobením základnou soustavy. Váha první pozice je rovna jedné.

Takto: množili se, přidávali a neměli podezření! Ukázalo se, že zapisujeme čísla základní desítkový poziční zápis! Proč je základna naší soustavy rovna 10? To je pochopitelné: vždyť máme 10 prstů, je vhodné počítat tak, že je ohýbáme v pořadí.

Ale pro počítač, jak už víte, je binární systém známější, tzn poziční základ dva.

Binární číselná soustava

Ve dvojkové soustavě jsou pouze dvě číslice:

Pokud v desítkové soustavě jsou váhy pozic získány násobením deseti, pak v binární soustavě - násobením dvěma:

Ukázalo se: 1011 2 = 1 2 · 4 + 0· 2 · 2 + 1 2 · 1 + 1 1 .

Ve dvojkové soustavě jsou považovány za jedničky, jedničky sčítají dvojky (dvě jedničky jsou nahrazeny jednou dvojkou), dvojky - na čtyři (dvě dvojky jsou nahrazeny jednou čtyřkou) a tak dále.

Když je potřeba objasnit, v jakém systému je číslo zapsáno, je mu zdola připsána základna systému:

1011 2 - číslo je zapsáno ve dvojkové soustavě.

Není těžké jej převést do desítkové soustavy, stačí provést operace násobení a sčítání:

1011 2 = 1 2 · 4 + 0· 2 · 2 + 1 2 · 1 + 1 1 =

1 8 + 0 4 + 1 2 + 1 1 = 11 10.

Binární převod na desítkové

V binárním systému je příspěvek jednoho na prvním místě vpravo číslo 1, na druhém - 2, na třetím - 4, na čtvrtém - 8 atd. Příspěvky nul se samozřejmě rovnají nule bez ohledu na jejich pozici.

Dostáváme následující pravidlo:

Chcete-li převést z binární na desítkovou, musíte nad každou binární číslici napsat váhu její pozice a sečíst čísla zapsaná nad jedničkami.

10111 2 = 16 + 4 + 2 + 1 = 23 10 .

Další příklad, číslo 100110:

100110 2 = 32 + 4 + 2 = 38 10 .

Převod z desítkové soustavy na binární

Pro převod z desítkové soustavy na binární použijeme předchozí schéma s vahami pozic:

Předpokládejme, že potřebujete převést do dvojkové soustavy číslo 26. Začátek dvojkového čísla (nejvýznamnější číslice) vybereme podle schématu. 32 je hodně, takže začneme 16:

Část původního čísla, konkrétně 16, je zakódována, zbývá zakódovat 26 - 16 = 10. Vezměte 8 (největší možná polohová váha):

Zbývá zakódovat 10 - 8 = 2. Čtyři je hodně. Napíšeme na pozici 0 a vezmeme 2:

Zakódovali jsme celé číslo, což znamená, že poslední číslice by měla být nula:

Ukázalo se: 26 10 = 11010 2.

Pravidlo pro převod z desítkové soustavy na binární lze formulovat následovně.

Chcete-li lépe porozumět tomuto algoritmu, pracujte na testovacím stole. Klepněte na tlačítko Resetovat, vytočte číslo. Poté stiskněte tlačítko Start: uvidíte, jak tester krok za krokem provádí binární převodní algoritmus.

Poznámka: v záznamu algoritmu je zvýrazněna položka, která bude provedena. po stisknutím tlačítka Start... Například pokud je položka zvýrazněna „Opakujte, dokud se číslo nezmění na nulu“, poté po kliknutí na Start Tester zkontroluje, zda je aktuální číslo rovno nule a rozhodne, zda bude pokračovat v opakování.

(Práce s Testerem provádějte na stránce elektronické přihlášky.)

Polohové systémy s jinými bázemi

Vasja miluje desítkovou soustavu, jeho počítač je binární a zvědaví matematici milují různé poziční číselné soustavy, protože za základ můžete vzít libovolné číslo, nejen 2 nebo 10.

Vezměme si jako příklad ternární číselnou soustavu.

Ternární číselný systém

Ternární číselný systém používá, jak můžete hádat, tři čísla:

V ternárním systému jsou považovány za jednotky, jedničky se přidávají k trojkám (tři jedničky jsou nahrazeny jednou trojkou), trojky - k devítkám (tři trojky jsou nahrazeny jednou devítkou) a tak dále.

Zajímavé je, že v roce 1958 pod vedením N.P. Brusentsove, počítač Setun byl vytvořen na Moskevské státní univerzitě a pracoval s čísly nikoli v binárním, ale v ternárním číselném systému! První prototyp "Setun" je zobrazen na fotografii:

Převod z ternárního na desítkové

Označme v diagramu poziční příspěvky číslic v ternární číselné soustavě:

Chcete-li převést na desítkovou soustavu, přidejte číslice vynásobené jejich pozičními váhami (pozice s nulovými číslicemi lze samozřejmě vynechat):

10212 3 = 1 81 + 2 9 + 1 3 + 2 1 = 104 10 .

Ve dvojkové soustavě jsme upustili od násobení (násobení 1 nemá smysl). V ternární soustavě je číslo 2, takže musíte zdvojnásobit odpovídající poziční váhy.

Desetinný převod na ternární

Do ternární soustavy je třeba převést číslo 196. Začátek ternárního čísla vybereme podle schématu. 243 je hodně, takže začneme 81 a číslem 2 (2 81< 196):

Část původního čísla, konkrétně 162 = 2 · 81, je zakódována, zbývá zakódovat 196 - 162 = 34. Vezměte 27 a číslo 1 (číslo 2 dává 54, což je příliš):

Zbývá zakódovat 34 - 1 · 27 = 7. Pozice s váhou 9 dává příliš mnoho, napište do ní 0 a zaujměte pozici s váhou 3 a číslem 2:

Zbývá zakódovat 7 - 2 · 3 = 1. Toto je přesně hodnota zbývající nejméně významné číslice:

Ukazuje se: 196 10 = 21021 3.

Polohové systémy: základní pravidla

Formulujme obecná pravidla pro konstrukci čísel v pozičních číselných soustavách.

Číslo se zapisuje číslicemi, např.

Chcete-li určit hodnotu čísla, musíte čísla vynásobit vahami jejich pozic a sečíst výsledky.

Pozice jsou číslovány zprava doleva. Váha první pozice je 1.

Hmotnost každé další polohy se získá z hmotnosti předchozí vynásobením základnou soustavy.

Ukazuje se, že váha druhé pozice je vždy rovna základně systému.

Základ systému zobrazuje počet číslic, které jsou v daném systému použity. Takže v systému se základní 10 je deset číslic, v systému se základním 5 je pět číslic.

Podívejme se na příklad. Pokud je vstup

znamená číslo v základní 5 soustavě, pak se rovná

3242 5 = 3 125 + 2 25 + 4 5 + 2 1 = 447 10 .

Stejný záznam v základním systému 6 znamená číslo

3242 6 = 3 216 + 2 36 + 4 6 + 2 1 = 746 10 .

Nepoziční číselné soustavy

Polohové číselné soustavy se neobjevily hned, primitivní lidé označovali počet některých předmětů jako rovný počtu jiných (byly považovány za oblázky, klacky, kosti).

Používaly se i pohodlnější způsoby počítání: zářezy na palici, čárky na kameni, uzly na provaze.

Někdy moderní lidé také používají takový číselný systém a zaznamenávají si například počet dní, které prošly zářezy.

To je příklad nepoziční číselná soustava jednotek: používá se pro počítání jedenčíslo (kámen, hůl, kost, čárka, uzel ...), přičemž příspěvek tohoto obrazce nezávisí na jeho místě (poloze), je vždy roven jedné jednotce.

Je jasné, že je mnohem pohodlnější používat poziční číselné soustavy.

Akce na čísla

Akce s čísly v poziční soustavě s libovolným základem se provádějí stejně jako v desítkové soustavě: jsou založeny na tabulkách sčítání a násobení číslic odpovídajících číselných soustav.

Bylo by zvláštní, kdybyste v různých systémech museli sčítat, odčítat, násobit a dělit různými způsoby! Ve všech číselných soustavách jsou totiž čísla konstruována stejným způsobem, což znamená, že akce na nich musí být prováděny stejným způsobem.

Podívejme se na pár příkladů.

Přidání

5 + 7 = 12. Do nejméně významného bitu napíšeme 2 a k dalšímu bitu přidáme jedničku.

Vytvořme osmičkovou sčítací tabulku:

Podle sčítací tabulky 5 + 7 = 14 8. Nejméně významnou číslicí napíšeme 4 a k další číslici přidáme jedničku.

Odčítání

Na druhém místě obsadíme 1 a od čísla 15 odečteme 7. Podobně v osmičkové soustavě:

Ve druhé číslici obsadíme 1 a od čísla 15 8 odečteme 7. Podle sčítací tabulky v řádku 7 najdeme číslo 15. Číslo odpovídajícího sloupce udává výsledek rozdílu - číslo 6.

To je pravděpodobně vhodné pro pavouky
osmičková číselná soustava!

Násobení

27 = 14. Napíšeme 4 a 1 přejde na "mysl" (přidáme do další kategorie). 4 · 7 = 28. Napíšeme 9 (8 plus 1 z "mysli") a přeneseme 2 do další kategorie.

Vytvořme osmičkovou násobilku:

2 7 = 16 8. Napíšeme 6 a 1 přejde do „mysli“ (přidáme do další kategorie). 4 7 = 34 8. Píšeme 5 (4 plus 1 z „mysli“) a 3 přeneseme na další číslici.

Divize

3 5< 17 < 4·5, поэтому первая цифра результата - 3. Из 17 вычитаем 5·3 = 15. К разности 2 приписываем цифру 5, получается 25. 25 = 5 ·5. Из 25 вычитаем 25=5·5, получается 0 - деление закончено.

V násobilce na řádku 5 najdeme příslušné číslo 17 8 = 5 3:

To znamená, že první číslice výsledku je 3. Od 17 8 odečteme 17 8 = 5 · 3. Rozdílu 0 přiřadíme poslední číslici 5. 5 = 5 · 1. Odečtěte 5 od 5, vyjde 0 - dělení je u konce.

Otázky

1. Definujte pojem "číselná soustava".

2. Definujte pojem "poziční číselná soustava".

3. Vysvětlete na příkladu čísla 548 principy konstrukce čísel v desítkovém zápisu.

4. Co se nazývá váha pozice? Řekněte nám algoritmus pro zjištění váhy pozice. Jakou váhu má třetí pozice zprava v desítkovém zápisu čísla? A binárně? A v trojce?

5. Co znamená výboj? Jaké místo je číslo 5 v desetinném čísle 1532?

6. Jak se nazývá příspěvek čísel? Jaký je příspěvek čísla 7 k číslu 1745 10? A příspěvek čísla 4 k číslu 1432 5?

7. Definujte pojem „základ poziční číselné soustavy“. Jak souvisí základ soustavy s počtem číslic v této soustavě? Kolik číslic je v 5členné číselné soustavě? A v šestnáctkové soustavě? A co systém základny 25?

8. Kde je v číselném záznamu nejméně významná číslice? A nejstarší?

9. Řekněte nám algoritmus pro převod binárního čísla na desítkovou číselnou soustavu a proveďte tento algoritmus pro číslo 101101 2.

10. Řekněte algoritmus pro převod desítkového čísla na binární číselnou soustavu a proveďte tento algoritmus pro číslo 50 10.

11. Jak převést číslo z libovolné poziční číselné soustavy do desítkové? Vysvětlení je založeno na příkladu systému se základnou 4.

Domácí práce

Možnost 1. Provádí se bez počítače, „na papíře“

1. Přečtěte si jazykolamy a nahraďte binární čísla desetinnými:

Dobře se najedl
100001 2 koláče s koláčem,
Ano, vše s tvarohem.

Bylo tam 101 000 2 myší,
Nesené 101 000 2 grošů,
Myši A 102 jsou menší
Nesli každý 10 2 grošů.

2. Vyřešte hádanky s binárními písmeny:

3. Proveďte výpočty a zapište odpověď v desítkové soustavě:

1) 100 2 5 8 =

2) 100 3 + 100 5 =

3) 10 9 10 100 - 10 900 =

4) 33 4 + 44 5 =

5) 15 6 + 51 8 =

4. Přeložte daná čísla do uvedených číselných soustav:

Možnost 2. Provádí se na počítači

1. Zapište si aritmetický výraz pro řešení následující úlohy a vypočítejte odpověď:

Naše šikovná Malvína
Stará se o Pinocchia
A koupil jsem mu to
Co potřebuje ze všeho nejvíc:
10 2 kryty, 11 2 pravítka
A za 111 2 rublů samolepky.
Na obalech - Barmaley,
Cena každého je 101 2 rublů.
Na pravítkách, které jsem si koupil
101010 2 rubly stačily.
Kolik stály nákupy?
Při zamyšlení - půl minuty.

2. Zkuste použít standardní program Kalkulačka k převodu čísel z básně do obvyklého desítkového zápisu ( Pohled- strojírenství, Zásobník- binární reprezentace čísla, prosinec- desítkové vyjádření čísla). Pomocí Kalkulačky si zapište algoritmy pro převod čísel z dvojkové soustavy do desítkové soustavy a naopak z desítkové soustavy do dvojkové soustavy.

Možnost 3. Pro zvědavce

1. Dokažte, že zápis 10 v libovolné poziční číselné soustavě znamená číslo rovné základu této soustavy.

2. Určete základ poziční číselné soustavy b pro každou rovnost:

1) 10 b = 50 10 ;

2) 11 b = 6 10 ;

3) 100 b = 64 10 ;

4) 101 b = 26 10 ;

5) 50 b = 30 10 ;

6) 99 b = 909 10 ;

7) 21 b = 15 6 ;

8) 102 b = 100 b ;

9) 12 2 b = 22 b ;

10) 14 b· b = 104 b .

p ALIGN = "JUSTIFY"> 3. Hexadecimální číselný systém používá 16 číslic. Prvních deset číslic se shoduje s číslicemi desítkové soustavy a poslední jsou označeny písmeny latinské abecedy:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

	Význam

Přeložme si například číslo A8 16 do desítkové soustavy:

A8 16 = 10 16 + 8 1 = 168 10 .

V každém úkolu najděte hodnotu čísla X:

1) 25 16 = X 10 ; 4) 170 10 = X 16 ;

2) AB 16 = X 10 ; 5) 2569 10 = X 16 ;

3) FD16= X 10 ; 6) 80 32 = X 16 .

4. Dokončete následující úkoly.

1) Najděte váhu třetí pozice v číselném záznamu, pokud je známo, že váha druhé pozice je 7. Číslování pozic zprava doleva.

2) Číselná soustava používá 5 číslic. Najděte váhu čtvrté pozice zprava v číselném zápisu.

3) Číslo se zapisuje ve tvaru dvou jednotek: 11. V jaké číselné soustavě se zapisuje, pokud se v desítkové soustavě rovná 21?

4) V určité číselné soustavě vypadá číslo jako 100. Kolik číslic tato číselná soustava používá, pokud je v desítkové soustavě číslo 2500?

5) Dvě čísla se zapisují jako 100, ale v soustavách s různým radixem. Je známo, že základna prvního systému je dvojnásobkem základny druhého. Které číslo je větší a kolikrát?

6) Najděte základ soustavy, je-li známo, že číslo 101 zapsané v této soustavě znamená desetinné číslo 37.

7) Ve které číselné soustavě je třeba ke zdvojnásobení čísla přidat nulu napravo od jeho zadání?

8) Násobení 10 v desítkové soustavě znamená přičítání nuly vpravo k číslu. Formulujte pravidlo násobení 10 b v systému se základnou b.

5. Vytvořte algoritmus pro převod čísla z desítkové do ternární číselné soustavy.

6. Sestavte tabulky sčítání a násobení pro čtyřnásobnou číselnou soustavu. Pomocí těchto tabulek proveďte následující akce s čísly ve sloupci (a přitom zůstaňte v kvartérní číselné soustavě):

1.a) 1021 4 + 333 4;

b) 3333 4 + 3210 4;

2.a) 321 4 - 123 4;

b) 10004 - 3234;

3. a) 13 4 · 12 4;

b) 302 4 23 4;

4.a) 1123 4:13 4;

b) 112003 4: 101 4.

7. Sestavte tabulky sčítání a násobení pro binární číselnou soustavu. Pomocí těchto tabulek proveďte s čísly ve sloupci (zbývajícími v binární číselné soustavě) následující akce:

1.a) 10012 + 10102;

b) 10111 2 + 1110 2;

2. a) 1110 2 - 101 2;

b) 10 000 2 - 111 2;

3. a) 101 2 · 11 2;

b) 11102.1012;

4.a) 1000 110 2: 101 2;

b) 100000100 2: 1101 2.

Dílna

Na stránkách elektronické přihlášky pracujte s performerem Encoder.

Cvičení obsahují následující skupiny úkolů:

Desetinný

1. Od binárního k desítkovému

2. Od trojkové k desítkové soustavě

3. Od pěti do desetinných míst

4. Od šestnáctkové soustavy k desítkové soustavě

Od desítkové soustavy

1. Desetinné až binární

2. Od desítkové k trojkové

3. Od desetinného místa k pěti

4. Desetinné až šestnáctkové

Zápočtová třída 1

2. 1101 2 = ? 10

3. 11101 2 = ? 10

Zápočtová třída 2

10. 1001 2 = ? 16

Materiál pro učitele

Poziční číselné soustavy

V pozičním číselném systému se číslo zapisuje jako řetězec speciálních znaků:

a n a n – 1... A 2 A 1 (1)

Symboly a i se nazývají postavy... Označují ordinální spočetné veličiny, počínaje nulou a až do hodnoty o jedno menší číslo. q volala základčíselný systém. Tedy pokud q- základ, pak hodnoty číslic leží v intervalu (včetně hranic).

Pozice číslice v záznamu čísla (1) se nazývá pozice nebo vybít.

Poznámka 1. Na těchto stránkách je preferován termín „pozice“. Za prvé, slovo „pozice“ je v dobré shodě s konceptem „pozičního číselného systému“ a za druhé, výraz „poziční hmotnost“ nebo „hmotnost polohy“ zní lépe, jasněji a jednodušeji než „váha bitu“ nebo „váha bitu“. “. Učitel však může a měl by studentům čas od času připomenout, že „pozice“ a „hodnost“ jsou ekvivalentní pojmy.

Poznámka 2. Definice poziční číselné soustavy uvedená v textech pro studenta není zcela přesná. Samotná závislost příspěvku figury na pozici nestačí. Například v římské číselné soustavě závisí příspěvek číslice také na pozici (čísla IV a VI jsou různá), ale tato soustava není polohová. Za přesnou definici lze považovat celý soubor pravidel pro konstrukci čísla, daný v této souvislosti pro učitele (tedy spolu s faktem poziční závislosti definice zahrnuje: konečnost množiny číslic a pravidlo pro nalezení čísla jeho záznamem).

Pozice jsou číslovány zprava doleva. Vyvolá se číslo na první pozici mladšíčíslice čísla v posledním - senior.

Ke každé pozici je přiřazeno číslo, které budeme nazývat její váha ( vážící pozice).

Váhy pozic se určují podle následujícího rekurzivního pravidla:

1. Váha nejnižší polohy je 1.

2. Hmotnost každé další polohy se získá z hmotnosti předchozí vynásobením základnou soustavy.

Nech být q- základ číselné soustavy. Pak pravidlo pro výpočet polohových vah w i lze napsat stručněji jako opakující se vzorec:

1. w 1 = 1.

2. w i = w i-1 · q(pro všechny i > 1).

V poziční číselné soustavě záznam

a n a n – 1... A 2 A 1 (1)

znamená číslo N, rovnající se součtu součinů číslic jejich polohových vah:

N = a n· w n + a n-1 · w n–1 + ... + A 2 w 2 + A 1 · w 1 . (2)

Součin číslice její polohové váhy (tj. a i· w i) bude voláno poziční příspěvek čísel.

Vzorec (2) je základem pro pravidla pro převod čísel z jedné soustavy do druhé, navržená v textech pro studenta.

V desítkové soustavě se čísla zapisují pomocí deseti arabských znaků: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Polohové váhy tohoto systému jsou: ..., 1000, 100, 10, 1.

4627 10 = 4 1000 + 6 100 + 2 10 + 7 1.

V binární soustavě se čísla zapisují pomocí dvou arabských znaků: 0 a 1. Polohové váhy této soustavy: ..., 256, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1.

Například záznam 10101 je „dešifrován“ takto:

10101 2 = 1 16 + 0 8 + 1 4 + 0 2 + 1 1.

Všimněte si, že rekurzivní pravidlo pro výpočet vah to znamená w i = Qi–1, a proto zápis (2) je ekvivalentní tradičnímu zápisu ve formě mocninného polynomu:

N = a n· q n–1 + a n-1 · q n–2 + ... + A 2 q + A 1 . (3)

Dokažme to indukcí. Indukční základna na i= 1 se kontroluje přímo: w 1 = q 0 = 1.

Indukční hypotéza: nechť je tvrzení pro některé pravdivé n:

w n = q n–1 .

Dokažme, že bude platit i pro n + 1.
To znamená, že prokážeme platnost rovnosti:

w n + 1 = q n.

Vskutku, w n+1 = w n· q(podle rekurzivní definice poziční váhy), a w n = q n–1 podle indukční hypotézy. Ukazuje se:

w n + 1 = w n· q = q n-1 · q = q n.

Dokažme, že libovolné číslo je reprezentovatelné ve tvaru (1) (Věta 1) jedinečným způsobem (Věta 2).

Věta 1 (existence). Jakékoliv číslo m může být zastoupen ve tvaru (1) pro jakýkoli q > 1.

Důkaz. Dokažme to indukcí. Pro m = 0
a m= 1 je snadné sestrojit požadovanou reprezentaci - jsou to 0 a 1 (pro libovolné q> 1). Řekněme, že se nám podařilo reprezentovat číslo m ve tvaru (1). Poté najdeme reprezentaci pro m+ 1. K tomu stačí převést součet

a n q n–1 + a n-1 · q n–2 + ... + A 2 q + A 1 + 1 za vzniku (1).

Li A 1 < (q-1), pak se požadované znázornění získá nahrazením číslice A 1 na A " 1 = A 1 + 1.

Li A 1 = (q–1), dostaneme přesun jednotky na další pozici:

a n q n F – 1 + a n-1 · q n–2 + ... + (A 2 + 1) q + 0.

Dále uvažujeme podobným způsobem. Li A 2 < (q-1), pak se požadované znázornění získá nahrazením číslice A 2 na A " 2 = A 2 + 1. Pokud A 2 = (q–1), tedy A 2 se nahradí nulou a jednička se přenese na další pozici.

Nebo na některých i < n stavbu dokončíme, nebo dostaneme rekordních 1000 ... 0 - jedna a n nuly vpravo. Důkaz je kompletní.

Před větou 2 dokážeme lemma.

Lemma. Příspěvek každé nenulové číslice v záznamu (1) převyšuje součet příspěvků číslic umístěných vpravo od něj.

a n a n – 1... A 2 A 1 . (1)

Důkaz. Dokažme, že pro všechny n > 1:

a n q n–1 > a n-1 · q n–2 + ... + A 2 q+ A 1 .

Čísla a i leží v intervalu, což znamená, že stačí dokázat nerovnost pro nejmenší nenulovou číslici vlevo a maximální číslice vpravo:

q n – 1> ( q-1)· q n–2 + ... + (q-1)· q + (q–1).

Na pravé straně vyjmeme faktor ( q–1) mimo závorku:

(q-1)· q n–2 + ... + (q-1)· q + (q–1) =

= (q-1)·( q n–2 + ... + q + 1).

Součet geometrické posloupnosti v poslední závorce vypočítáme pomocí známého vzorce:

(q-1)·( q n–2 + ... + q + 1) =

= (q-1)·( q n–1 –1)/(q–1) = q n–1 – 1.

Získáme zřejmou nerovnost, která dokazuje lemma:

q n – 1> q n–1 – 1.

Věta 2 (jednoznačnost). Číslo ve tvaru (1) je znázorněno jediným způsobem.

Důkaz. Z lemmatu vyplývá, že čísla, která mají v zápisu různý počet číslic (nepočítají se nevýznamné nuly vlevo), se nemohou rovnat: číslo s velkým počtem číslic je vždy větší. Je tedy nutné pouze prokázat, že pokud a i ne rovné b i pro všechny i od 1 do n pak záznamy

a n a n – 1... A 2 A 1 (4)

b n b n – 1 ... b 2 b 1 (5)

nemůže znamenat stejné číslo.

Podívejme se na záznamy (4) a (5) zleva doprava při hledání neshodných číslic. Nech to být a k a b k nech to být a k – b k = d.

Na k- místo v rekordu, byl rozdíl v d· q k-1. Tento rozdíl by měl být kompenzován příspěvky pozic umístěných vpravo. To je ale nemožné, protože podle lemmatu je součet příspěvků pozic umístěných vpravo vždy menší než příspěvek aktuální pozice. Věta je dokázána.

Převod na desítkové

K překladu čísel z radixového systému q v desítkové soustavě můžete použít vzorec (2), v němž se provádí násobení a sčítání.

N = a n· w n + a n-1 · w n–1 + ... + A 2 w 2 + A 1 · w 1 (2)

Při překladu z binárního systému se jedná pouze o sčítání (protože nelze násobit 1). Dostaneme tedy pravidlo překladu formulované v čítárně:

Chcete-li převést z binární na desítkovou, musíte nad každou binární číslici napsat váhu její pozice a přidat čísla zapsaná nad jednotkami.

Takže například pro číslo 10111 dostaneme:

10111 2 = 16 + 4 + 2 + 1 = 23 10

Obecné pravidlo převodu z q-ární soustava na desítkovou zní takto:

K převodu z q-ární soustava v desítkové soustavě, je třeba zapsat váhu její pozice nad každou číslicí a najít součet součinů číslic jejich polohovými vahami (tj. najít součet příspěvků pozic).

Takže například pro číslo 10212 3 dostaneme:

Sečteme čísla vynásobená jejich pozičními váhami (pozice s nulovými číslicemi lze samozřejmě vynechat):

10212 3 = 1 81 + 2 9 + 1 3 + 2 1 = 104 10 .

Překlad do q- osobní

Pro převod čísel z desítkové soustavy na radixovou q budeme i nadále spoléhat na vzorec (2):

N = a n· w n + a n-1 · w n–1 + ... + A 2 w 2 + A 1 · w 1 . (2)

Algoritmus překladu.

I. Opakujte, dokud se číslo nezmění na nulu:

1. Najděte první pozici vlevo, jejíž váha není větší než aktuální číslo. Na pozici napište maximální možnou číslici tak, aby její poziční příspěvek (součin číslice a váhy) nepřesáhl aktuální číslo.

2. Snižte aktuální číslo o příspěvek zkonstruované pozice.

II. Na pozice, které nejsou obsazeny sestrojenými číslicemi, zapište nuly.

Na každé pozici se bere maximální možná číslice, protože podle lemmatu nelze příspěvek této číslice kompenzovat číslicemi umístěnými vpravo. Algoritmus bude fungovat díky prokázané existenci (Věta 1) a jednoznačnosti (Věta 2) reprezentace čísla ve tvaru (1).

Pro dvojkovou soustavu získáme variantu algoritmu uvedeného v materiálu pro studenta.

Chcete-li převést na binární, musíte vytvořit šablonu s váhami binárních číslic:

Číslo je přeloženo podle následujícího algoritmu:

I. Opakujte, dokud se číslo nezmění na nulu:

1. Na první pozici vlevo napište 1, jejíž váha není větší než aktuální číslo.

2. Snižte aktuální číslo o hmotnost zkonstruované jednotky.

II. Na pozice, které nejsou obsazeny jedničkami, zapište nuly.

V praxi se tento způsob překladu ukazuje jako mnohem jednodušší a rychlejší než tradiční algoritmus s hledáním reziduí.

Při převodu z desítkové soustavy na ternární soustavu je třeba vzít v úvahu jak samotné polohové váhy, tak jejich zdvojení. Pro rychlý překlad můžete sestavit tabulku, jejíž řádky odpovídají pozicím čísel, sloupce - číslům a buňky - příspěvkům čísla k číslu, v závislosti na jeho pozici v číselný záznam:


pozice 729
místo 243
pozice 81
pozice 27
pozice 9
pozice 3
pozice 1

Řekněme, že příspěvek čísla 2 na pozici 243 je číslo 486 a na pozici 9 je číslo 18.

Chcete-li převést do ternárního systému, musíte prohledat tabulku řádek po řádku a hledat největší číslo, které nepřesahuje aktuální hodnotu.

Převeďme například číslo 183 na ternární systém. Vhodná hodnota se nachází ve třetím řádku a prvním sloupci:


pozice 729
místo 243
pozice 81
pozice 27
pozice 9
pozice 3
pozice 1

Proto ternární číslo začíná číslicí 2:

183 10 = 202?? 3

Pro číslo 21-18 = 3 je v tabulce přesný význam, překlad je hotový:

183 10 = 20210 3 .

U systémů s velkou základnou budou samozřejmě odpovídající tabulky objemnější. Jako poslední příklad si sestavme tabulku pro převod do hexadecimální číselné soustavy:

Necháme převést číslo 4255 do hexadecimální soustavy. Hledáme první číslo v tabulce (zleva doprava, řádek po řádku, počínaje shora), které není větší než původní číslo 4255:

Dostaneme první číslici 1 na pozici 4096:

Zbývá zakódovat 4255 - 4096 = 159.

Přeskočte řádek 256 (odpovídající číslice bude 0) a na řádku 16 najdeme příslušnou hodnotu 144:

Dostaneme čísla na pozicích 256 a 16:

Zbývá zakódovat 159 - 144 = 15. Je jasné, že jde o hodnotu nejméně významné číslice:

Ukázalo se: 4255 10 = 109F 16.

Akce na čísla

Tato část je v materiálu pro studenta uvedena schematicky, pro informační účely.

Tématu lze věnovat samostatnou, rozsáhlou a poměrně zajímavou lekci, ale materiálu je již mnoho - je těžké uchopit tu nezměrnost!

V jednoduché, úvodní verzi je ukázáno, že akce s čísly v libovolné číselné soustavě se provádějí stejně jako v desítkové soustavě. Je zvláštní, pokud by tomu bylo jinak, protože čísla ve všech pozičních systémech jsou postavena podle stejných pravidel, což znamená, že akce na nich musí být prováděny stejným způsobem.

Část je podpořena domácími úkoly k možnosti 3. Tato cvičení lze doporučit zvídavým školákům jako samostatné úkoly.

Kapitola 4. Aritmetické základy počítačů

4.1. Co je to číselná soustava?

Existují poziční a nepoziční číselné soustavy.

V nepozičních číselných soustavách váha číslice (tj. její příspěvek k hodnotě čísla) nezávisí na její pozici v zápisu čísla. Takže v římské číselné soustavě v čísle XXXII (třicet dva) je hmotnost čísla X v jakékoli poloze právě deset.

V pozičních číselných soustavách váha každé číslice se mění v závislosti na její pozici (pozici) v posloupnosti číslic reprezentujících číslo. Například v čísle 757,7 znamená prvních sedm 7 set, druhý - 7 jednotek a třetí - 7 desetin jedné.

Úplně stejný zápis čísla 757,7 znamená zkrácený zápis výrazu

700 + 50 + 7 + 0,7 = 7 . 10 2 + 5 . 10 1 + 7 . 10 0 + 7 . 10 -1 = 757,7.

Každá poziční číselná soustava je charakteristická svým základ.

Za základ soustavy lze vzít libovolné přirozené číslo – dva, tři, čtyři atd. Proto, bezpočet možných polohovacích systémů: binární, ternární, kvartérní atd. Zápis čísel v každém z radixových systémů q znamená zkratkový výraz

A n-1 q n-1 + a n-2 q n-2 + ... + a 1 q 1 + a 0 q 0 + a -1 q -1 + ... + a -m q -m ,

kde A i - číselná čísla; n a m - počet celých a zlomkových číslic.
Například:

4.2. Jak se generují celá čísla v pozičních číselných soustavách?

V každé číselné soustavě jsou čísla uspořádána podle jejich významu: 1 je větší než 0, 2 je větší než 1 atd.

Posunout číslo 1 vpřed znamená nahradit ho 2, posunout číslo 2 znamená nahradit ho 3 atd. High Digit Propagace(například číslice 9 v desítkové soustavě) znamená nahrazení 0... V binárním systému, který používá pouze dvě číslice - 0 a 1, znamená posunutí 0 její nahrazení 1 a posunutí 1 její nahrazení 0.

Celá čísla v libovolné číselné soustavě jsou generována pomocí Pravidla účtu [44 ]:

Pomocí tohoto pravidla zapišme prvních deset celých čísel

binárně: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001;

v ternárním systému: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100;

v pětinásobném systému: 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14;

v oktálu: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.

4.3. Jaké číselné systémy používají specialisté ke komunikaci s počítačem?

Kromě desítkové soustavy se široce používají systémy se základem, který je celočíselnou mocninou 2, a to:

binární(jsou použity číslice 0, 1);

osmičkový(jsou použity číslice 0, 1, ..., 7);

hexadecimální(pro první celá čísla od nuly do devíti se používají číslice 0, 1, ..., 9 a pro další celá čísla od deseti do patnácti znaky A, B, C, D, E, F jako číslice).

Je užitečné si zapamatovat záznam v těchto číselných soustavách pro první dvě desítky celých čísel:

Ze všech číselných soustav obzvláště jednoduché a proto zajímavé pro technickou implementaci v počítačích binární číselná soustava.

4.4. Proč lidé používají desítkové a počítače binární?

Lidé preferují desítkovou soustavu, pravděpodobně proto, že se od pradávna počítalo prsty a lidé mají na rukou a nohou deset prstů. Ne vždy a ne všude lidé používají desítkovou číselnou soustavu. Například v Číně se dlouhou dobu používal pětinásobný číselný systém.

A počítače používají binární systém, protože má oproti jiným systémům řadu výhod:

k jeho implementaci potřebujete technická zařízení se dvěma ustálenými stavy(je tam proud - žádný proud, magnetizovaný - nemagnetizovaný atd.), a ne například s desítkou, jako v desítkové soustavě;

prezentace informací pouze pomocí dvou stavů spolehlivě a proti rušení;

Možná Aplikace booleovské algebry provádět logické transformace informací;

binární aritmetika je mnohem jednodušší než desítková.

Nevýhodou dvojkové soustavy je rychlý nárůst počtu číslic nutné psát čísla.

4.5. Proč počítače používají také osmičkové a šestnáctkové číselné soustavy?

Binární systém, vhodný pro počítače, je pro člověka nepohodlný kvůli jeho těžkopádnosti a neobvyklému záznamu.

Převod čísel z desítkové na binární a naopak provádí stroj. Abyste však mohli počítač používat profesionálně, musíte se naučit rozumět slovu stroj. Za tímto účelem byly vyvinuty osmičkové a šestnáctkové soustavy.

Čísla v těchto soustavách se čtou téměř stejně snadno jako desítková, vyžadují respektive tři (osmičková) a čtyři (hexadecimální) krát méně číslic než ve dvojkové soustavě (ostatně čísla 8 a 16 jsou třetí a čtvrté mocniny čísla 2) ...

Například:

Například,

4.6. Jak převést celé číslo z desítkové soustavy do jakékoli jiné poziční číselné soustavy?

Příklad: Převedeme číslo 75 z desítkové soustavy na dvojkovou, osmičkovou a šestnáctkovou:

Odpovědět: 75 10 = 1 001 011 2 = 113 8 = 4B 16.

4.7. Jak přeložit správné desetinné číslo do jakékoli jiné poziční číselné soustavy?

Chcete-li přeložit správné desetinné čísloF do radixuq nutnéF vynásobteq , zapsané ve stejné desítkové soustavě, pak vynásobte zlomkovou část výsledného produktu číslemq, a tak dále, dokud se zlomková část dalšího produktu nerovná nule nebo dokud není dosaženo požadované přesnosti čísla F protiq - spárovaný systém. Znázornění zlomkové části číslaF v novém číselném systému bude posloupnost celých částí přijatých děl, zapsaných v pořadí jejich příjmu a vyobrazených jedním q -číslo. Pokud je požadována přesnost převodu číslaF jek desetinných míst, pak je maximální absolutní chyba rovnaq - (k + 1) / 2.

Příklad. Převedeme číslo 0,36 z desítkové soustavy na dvojkovou, osmičkovou a šestnáctkovou:

4.8. Jak převést číslo z dvojkové (osmičkové, šestnáctkové) soustavy do desítkové?

Převod čísla do desítkové soustavyX zaznamenané vq -ární číselná soustava (q = 2, 8 nebo 16) ve formulářiX q = (a n A n-1 ...a 0 , a -1 A -2 ...a -m ) q se redukuje na výpočet hodnoty polynomu

X 10 = a n q n + a n-1 q n-1 + ... + a 0 q 0 + a -1 q -1 + a -2 q -2 + ... + a -m q -m

pomocí desítkové aritmetiky.

Příklady:

4.9. Souhrnná tabulka převodů celých čísel z jedné číselné soustavy do druhé

Uvažujme pouze ty číselné soustavy, které se používají v počítačích – desítkové, dvojkové, osmičkové a šestnáctkové. Pro jednoznačnost si vezmeme libovolné desetinné číslo, například 46, a pro něj provedeme všechny možné po sobě jdoucí překlady z jedné číselné soustavy do druhé. Pořadí překladů je určeno podle obrázku:

Tento obrázek používá následující konvence:

základy číselných soustav se píší v kruzích;

šipky ukazují směr posunu;

číslo u šipky znamená pořadové číslo odpovídajícího příkladu v souhrnné tabulce 4.1.

Například: znamená překlad z binárního do hexadecimálního, který má v tabulce pořadové číslo 6.

Kontingenční tabulka celočíselných překladůdvasekce- teorie statistiky ... statistika, informatika jako disciplíny ... KR (elektronické verze vydání). „.... EP Mikroekonomická statistika: Učebnice. příspěvek... - M .: Delo, 2000. ... časopis. Internet- webové stránky Rosstat...

& quot vytváření otevřených databází informačních zdrojů &

Zpráva

Referenční edice. Bibliografický výhod. Kapitola 1. Referenční publikace ... dohodovacích řízení. Internet-verzečasopis poskytuje přístup ... URSS / Internet-prodejna Skládá sezdvaútvary: ... specialisté úřadu informatika a telekomunikace...

Notový zápis je způsob zápisu čísla pomocí zadané sady speciálních znaků (čísel).

zápis:

dává reprezentaci sady čísel (celých a / nebo reálných);

dává každému číslu jedinečnou reprezentaci (nebo alespoň standardní reprezentaci);

zobrazuje algebraickou a aritmetickou strukturu čísla.

Zápis čísla v určité číselné soustavě se nazývá číselný kód.

Volá se samostatná pozice na displeji čísla vybít, což znamená, že číslo pozice je hodnostní číslo.

Vyvolá se počet bitů v čísle bitness a odpovídá jeho délce.

Číselné soustavy se dělí na poziční a nepoziční. Poziční číselné soustavy se dělí

na homogenní a smíšený.

osmičková číselná soustava, hexadecimální číselná soustava a další číselné soustavy.

Překlad číselných soustav.Čísla lze překládat z jednoho číselného systému do druhého.

Korespondenční tabulka čísel v různých číselných soustavách.