Inverzní matice je matice. Hledání inverzní matice

Matice $A^(-1)$ se nazývá inverzní ke čtvercové matici $A$, pokud $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$, kde $E $ je matice identity, jejíž řád je roven řádu matice $A$.

Nesingulární matice je matice, jejíž determinant se nerovná nule. V souladu s tím je degenerovaná matice taková, jejíž determinant je roven nule.

Inverzní matice $A^(-1)$ existuje právě tehdy, když je matice $A$ nesingulární. Pokud inverzní matice $A^(-1)$ existuje, pak je jedinečná.

Existuje několik způsobů, jak najít inverzní hodnotu matice, a my se podíváme na dva z nich. Tato stránka pojednává o metodě adjoint matice, která je považována za standardní ve většině vyšších kurzů matematiky. Druhý způsob nalezení inverzní matice (metoda elementárních transformací), který zahrnuje použití Gaussovy metody nebo Gauss-Jordanovy metody, je zvažován ve druhé části.

Metoda adjoint (sjednocení) matic

Nechť je dána matice $A_(n\krát n)$. K nalezení inverzní matice $A^(-1)$ jsou nutné tři kroky:

Najděte determinant matice $A$ a ujistěte se, že $\Delta A\neq 0$, tzn. že matice A je nedegenerovaná.
Složte algebraické doplňky $A_(ij)$ každého prvku matice $A$ a zapište matici $A_(n\krát n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ z nalezeného algebraické doplňky.
Napište inverzní matici s ohledem na vzorec $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$.

Matice $(A^(*))^T$ je často označována jako adjoint (vzájemná, spojenecká) matice $A$.

Pokud se rozhodnutí provádí ručně, pak je první metoda dobrá pouze pro matice relativně malých zakázek: druhá (), třetí (), čtvrtá (). K nalezení inverzní matice pro matici vyššího řádu se používají jiné metody. Například Gaussova metoda, o které pojednává druhý díl.

Příklad #1

Najít matici inverzní k matici $A=\left(\begin(pole) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(pole) \vpravo)$.

Protože všechny prvky čtvrtého sloupce jsou rovny nule, pak $\Delta A=0$ (tj. matice $A$ je zdegenerovaná). Protože $\Delta A=0$, neexistuje žádná matice inverzní k $A$.

Odpovědět: matice $A^(-1)$ neexistuje.

Příklad č. 2

Najděte matici inverzní k matici $A=\left(\begin(pole) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(pole)\right)$. Proveďte kontrolu.

Používáme metodu adjungované matice. Nejprve najdeme determinant dané matice $A$:

$$ \Delta A=\left| \begin(pole) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(pole)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$

Protože $\Delta A \neq 0$, pak inverzní matice existuje, takže pokračujeme v řešení. Hledání algebraických doplňků

\begin(aligned) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(zarovnáno)

Sestavte matici algebraických doplňků: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.

Transponujte výslednou matici: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (výsledná matice se často nazývá adjoint nebo sjednocení matice k matici $A$). Pomocí vzorce $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ máme:

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(pole) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(pole)\right) =\left(\begin(pole) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(pole)\right) $$

Takže je nalezena inverzní matice: $A^(-1)=\left(\začátek(pole) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(pole) \vpravo) $. Pro ověření pravdivosti výsledku stačí ověřit pravdivost jedné z rovností: $A^(-1)\cdot A=E$ nebo $A\cdot A^(-1)=E$. Zkontrolujeme rovnost $A^(-1)\cdot A=E$. Abychom méně pracovali se zlomky, dosadíme matici $A^(-1)$ nikoli ve tvaru $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ konec(pole)\vpravo)$, ale jako $-\frac(1)(103)\cdot \left(\začátek(pole) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \ konec(pole)\vpravo)$:

$$ A^(-1)\cdot(A) =-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(pole) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end( pole)\vpravo)\cdot\left(\začátek(pole) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(pole)\vpravo) =-\frac(1)(103)\cdot\left( \begin(pole) (cc) -103 & 0 \\ 0 & -103 \end(pole)\right) =\left(\begin(pole) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(pole )\vpravo) =E $$

Odpovědět: $A^(-1)=\left(\začátek(pole) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(pole)\vpravo)$.

Příklad č. 3

Najděte inverzní hodnotu matice $A=\left(\begin(pole) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(pole) \right)$. Proveďte kontrolu.

Začněme výpočtem determinantu matice $A$. Takže determinant matice $A$ je:

$$ \Delta A=\left| \begin(pole) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(pole) \right| = 18-36+56-12=26. $$

Protože $\Delta A\neq 0$, pak inverzní matice existuje, takže pokračujeme v řešení. Najdeme algebraické doplňky každého prvku dané matice:

Sestavíme matici algebraických sčítání a transponujeme ji:

$$ A^*=\left(\begin(pole) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(pole) \right); \; (A^*)^T=\left(\begin(pole) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(pole) \right) . $$

Pomocí vzorce $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ dostaneme:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(pole) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(pole) \right)= \left(\begin(pole) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(pole) \vpravo) $$

Takže $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(pole) \vpravo)$. Pro ověření pravdivosti výsledku stačí ověřit pravdivost jedné z rovností: $A^(-1)\cdot A=E$ nebo $A\cdot A^(-1)=E$. Zkontrolujeme rovnost $A\cdot A^(-1)=E$. Abychom méně pracovali se zlomky, dosadíme matici $A^(-1)$ nikoli ve tvaru $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(pole) \right)$, ale jako $\frac(1)(26)\ cdot \left( \begin(pole) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(pole) \right)$:

$$ A\cdot(A^(-1)) =\left(\začátek(pole)(ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4\\ 0 & 3 & 2\end(pole) \right)\cdot \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(pole) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\ end(pole) \right) =\frac(1)(26)\cdot\left(\begin(pole) (ccc) 26 & 0 & 0 \\ 0 & 26 & 0 \\ 0 & 0 & 26\end (pole) \right) =\left(\begin(pole) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end(pole) \right) =E $$

Kontrola proběhla úspěšně, inverzní matice $A^(-1)$ byla nalezena správně.

Odpovědět: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(pole) \vpravo)$.

Příklad #4

Najděte inverzní matici k $A=\left(\begin(pole) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \end(pole) \vpravo)$.

Pro matici čtvrtého řádu je nalezení inverzní matice pomocí algebraických sčítání poněkud obtížné. Takové příklady však lze nalézt v kontrolních pracích.

Chcete-li najít inverzní matici, musíte nejprve vypočítat determinant matice $A$. Nejlepší způsob, jak to v této situaci udělat, je rozšířit determinant v řádku (sloupci). Vybereme libovolný řádek nebo sloupec a najdeme algebraický doplněk každého prvku vybraného řádku nebo sloupce.

Například pro první řádek dostaneme:

$$ A_(11)=\left|\begin(pole)(ccc) 7 & 5 & 2\\ 5 & 3 & 7\\ 8 & -8 & -3 \end(pole)\right|=556; \; A_(12)=-\left|\begin(pole)(ccc) 9 & 5 & 2\\ 7 & 3 & 7 \\ -4 & -8 & -3 \end(pole)\right|=-300 ; $$ $$ A_(13)=\vlevo|\začátek(pole)(ccc) 9 & 7 & 2\\ 7 & 5 & 7\\ -4 & 8 & -3 \konec (pole)\vpravo|= -536;\; A_(14)=-\left|\begin(pole)(ccc) 9 & 7 & 5\\ 7 & 5 & 3\\ -4 & 8 & -8 \end(pole)\right|=-112. $$

Determinant matice $A$ se vypočítá podle následujícího vzorce:

$$ \Delta(A)=a_(11)\cdot A_(11)+a_(12)\cdot A_(12)+a_(13)\cdot A_(13)+a_(14)\cdot A_(14 )=6\cdot 556+(-5)\cdot(-300)+8\cdot(-536)+4\cdot(-112)=100. $$

$$ \začátek(zarovnáno) & A_(21)=-77;\;A_(22)=50;\;A_(23)=87;\;A_(24)=4;\\ & A_(31) =-93;\;A_(32)=50;\;A_(33)=83;\;A_(34)=36;\\ & A_(41)=473;\;A_(42)=-250 ;\;A_(43)=-463;\;A_(44)=-96. \end(zarovnáno) $$

Matice algebraického doplňku: $A^*=\left(\begin(pole)(cccc) 556 & -300 & -536 & -112\\ -77 & 50 & 87 & 4 \\ -93 & 50 & 83 & 36 \\ 473 & -250 & -463 & -96\end(pole)\vpravo)$.

Připojená matice: $(A^*)^T=\left(\begin(array) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463\\ -112 & 4 & 36 & -96\end(pole)\vpravo)$.

Inverzní matice:

$$ A^(-1)=\frac(1)(100)\cdot \left(\begin(pole) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463\\ -112 & 4 & 36 & -96 \end(pole) \right)= \left(\begin(pole) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/ 25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \end(pole) \vpravo) $$

Kontrola, pokud je to žádoucí, může být provedena stejným způsobem jako v předchozích příkladech.

Odpovědět: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \end(pole) \vpravo) $.

Ve druhé části bude zvažován další způsob nalezení inverzní matice, který zahrnuje použití transformací Gaussovy metody nebo Gauss-Jordanovy metody.

Pokračujeme v povídání o akcích s matricemi. V průběhu studia této přednášky se totiž naučíte, jak najít inverzní matici. Učit se. I když je matematika těsná.

Co je to inverzní matice? Zde můžeme nakreslit analogii s reciprokou: uvažujme například optimistické číslo 5 a jeho reciproční. Součin těchto čísel je roven jedné: . S matrikami je to stejné! Součin matice a její inverzní je - matice identity, což je maticová obdoba číselné jednotky. Nejprve však vyřešíme důležitý praktický problém, totiž naučíme se, jak najít tuto velmi inverzní matici.

Co potřebujete vědět a umět najít inverzní matici? Musíte se umět rozhodnout determinanty. Musíte pochopit, co je matice a umět s nimi provádět nějaké akce.

Existují dva hlavní způsoby, jak najít inverzní matici:
používáním algebraické sčítání a pomocí elementárních transformací.

Dnes budeme studovat první, jednodušší způsob.

Začněme tím nejstrašnějším a nepochopitelným. Zvážit náměstí matice . Inverzní matici lze nalézt pomocí následujícího vzorce:

Kde je determinant matice, je transponovaná matice algebraických doplňků odpovídajících prvků matice.

Pojem inverzní matice existuje pouze pro čtvercové matice, matice "dva po dvou", "tři po třech" atd.

Notový zápis: Jak jste si již pravděpodobně všimli, inverzní matice je označena horním indexem

Začněme tím nejjednodušším případem – maticí dva na dva. Nejčastěji je samozřejmě vyžadováno „tři na tři“, ale přesto důrazně doporučuji prostudovat si jednodušší úlohu, abyste se naučili obecný princip řešení.

Příklad:

Najděte inverzní hodnotu matice

rozhodujeme se. Sled akcí je pohodlně rozložen do bodů.

1) Nejprve najdeme determinant matice.

Pokud této akci nerozumíte dobře, přečtěte si materiál Jak vypočítat determinant?

Důležité! Pokud je determinant matice NULA– inverzní matice NEEXISTUJE.

V uvažovaném příkladu, jak se ukázalo, , což znamená, že je vše v pořádku.

2) Najděte matici nezletilých.

K vyřešení našeho problému není nutné vědět, co je nezletilý, nicméně je vhodné si článek přečíst Jak vypočítat determinant.

Matice nezletilých má stejné rozměry jako matrice , tedy v tomto případě .
Případ je malý, zbývá najít čtyři čísla a dát je místo hvězdiček.

Zpět k našemu matrixu
Nejprve se podívejme na levý horní prvek:

Jak to najít Méně důležitý?
A to se provádí takto: MENTÁLNĚ přeškrtněte řádek a sloupec, ve kterém se tento prvek nachází:

Zbývající číslo je moll daného prvku, kterou zapisujeme do naší matice nezletilých:

Zvažte následující prvek matice:

V duchu přeškrtněte řádek a sloupec, ve kterém se tento prvek nachází:

Zůstane malá část tohoto prvku, kterou zapíšeme do naší matice:

Podobně zvážíme prvky druhé řady a najdeme jejich nezletilé:

Připraveno.

Je to jednoduché. V matrice nezletilých potřebujete ZMĚNA ZNAMENÍ pro dvě čísla:

Právě tato čísla jsem zakroužkoval!

je matice algebraických doplňků odpovídajících prvků matice .

A jen něco…

4) Najděte transponovanou matici algebraických sčítání.

je transponovaná matice algebraických doplňků odpovídajících prvků matice .

5) Odpovězte.

Pamatujte si náš vzorec
Vše nalezeno!

Takže inverzní matice je:

Nejlepší je nechat odpověď tak, jak je. NENÍ TŘEBA vydělte každý prvek matice 2, protože získáte zlomková čísla. Tato nuance je podrobněji popsána ve stejném článku. Akce s maticemi.

Jak zkontrolovat řešení?

Musí být provedeno buď maticové násobení

Zkouška:

již zmíněno matice identity je matice se zapnutými jednotkami hlavní úhlopříčka a jinde nuly.

Inverzní matice je tedy nalezena správně.

Pokud provedete akci, bude výsledkem také matice identity. Toto je jeden z mála případů, kdy je násobení matic permutabilní, více informací najdete v článku Vlastnosti operací s maticemi. Maticové výrazy. Všimněte si také, že během kontroly je konstanta (zlomek) posunuta dopředu a zpracována na samém konci - po násobení matice. Toto je standardní postup.

Přejděme k běžnějšímu případu v praxi – matici tři na tři:

Příklad:

Najděte inverzní hodnotu matice

Algoritmus je přesně stejný jako pro případ dva na dva.

Inverzní matici najdeme podle vzorce: , kde je transponovaná matice algebraických doplňků odpovídajících prvků matice .

1) Najděte determinant matice.

Zde je odhalen determinant na prvním řádku.

Také na to nezapomeňte, což znamená, že je vše v pořádku - existuje inverzní matice.

2) Najděte matici nezletilých.

Matice nezletilých má rozměr „tři na tři“ a potřebujeme najít devět čísel.

Podrobně se podívám na několik nezletilých:

Zvažte následující prvek matice:

MENTÁLNĚ přeškrtněte řádek a sloupec, ve kterém se tento prvek nachází:

Zbývající čtyři čísla jsou zapsána v determinantu "dva po dvou"

Tento determinant dva na dva a je moll daného prvku. Je třeba vypočítat:

Vše, nezletilý je nalezen, zapíšeme do naší matice nezletilých:

Jak jste možná uhodli, existuje devět determinantů dva krát dva k výpočtu. Tento proces je samozřejmě nudný, ale případ není nejtěžší, může být horší.

No, abych to upevnil - hledání dalšího menšího na obrázcích:

Zbytek nezletilých si zkuste spočítat sami.

Konečný výsledek:
je matice nezletilých odpovídajících prvků matice .

To, že všichni nezletilí dopadli negativně, je čirá náhoda.

3) Najděte matici algebraických sčítání.

V matrice nezletilých je to nutné ZMĚNA ZNAMENÍ výhradně pro následující prvky:

V tomto případě:

Nalezení inverzní matice pro matici „čtyři na čtyři“ se nebere v úvahu, protože takový úkol může zadat pouze sadistický učitel (pro studenta vypočítat jeden determinant „čtyři na čtyři“ a 16 determinantů „tři na tři“). . V mé praxi se vyskytl jen jeden takový případ a zákazník testu na mé trápení doplatil dost draze =).

V řadě učebnic, příruček můžete najít trochu jiný přístup k nalezení inverzní matice, ale doporučuji použít výše uvedený algoritmus řešení. Proč? Protože pravděpodobnost zmatení ve výpočtech a znacích je mnohem menší.

Toto téma je mezi studenty jedno z nejvíce nenáviděných. Horší asi jen determinanty.

Trik je v tom, že samotný koncept inverzního prvku (a nemluvím teď jen o maticích) nás odkazuje na operaci násobení. I ve školních osnovách je násobení považováno za složitou operaci a maticové násobení je obecně samostatné téma, kterému je věnován celý odstavec a videolekce.

Dnes se nebudeme zabývat podrobnostmi maticových výpočtů. Jen si pamatujte: jak se matice označují, jak se násobí a co z toho vyplývá.

Recenze: Násobení matic

Nejprve se dohodneme na notaci. Matice $A$ o velikosti $\left[ m\times n \right]$ je jednoduše tabulka čísel s přesně $m$ řádky a $n$ sloupci:

\=\underbrace(\left[ \begin(matrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ (( a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\konec (matice) \vpravo])_(n)\]

Abyste si náhodou nepletli místy řádky a sloupce (věřte, že u zkoušky si můžete jeden splést s dvojkou - co bychom tam řekli o některých řádcích), stačí se podívat na obrázek:

Stanovení indexů pro buňky matice

Co se děje? Pokud umístíme standardní souřadnicový systém $OXY$ do levého horního rohu a nasměrujeme osy tak, aby pokrývaly celou matici, pak lze každé buňce této matice jednoznačně přiřadit souřadnice $\left(x;y \right) $ - toto bude číslo řádku a číslo sloupce.

Proč je souřadnicový systém umístěn přesně v levém horním rohu? Ano, protože odtud začínáme číst jakékoli texty. Je velmi snadné si to zapamatovat.

Proč osa $x$ směřuje dolů a ne doprava? Opět je to jednoduché: vezměte standardní souřadnicový systém (osa $x$ jde doprava, osa $y$ jde nahoru) a otočte jej tak, aby obklopoval matici. Jedná se o otočení o 90 stupňů ve směru hodinových ručiček – jeho výsledek vidíme na obrázku.

Obecně jsme přišli na to, jak určit indexy prvků matice. Nyní se pojďme zabývat násobením.

Definice. Matice $A=\left[ m\krát n \right]$ a $B=\left[ n\krát k \right]$, když počet sloupců v prvním odpovídá počtu řádků v druhém, jsou nazýván konzistentní.

Je to v tomto pořadí. Někdo může být nejednoznačný a říci, že matice $A$ a $B$ tvoří uspořádanou dvojici $\left(A;B \right)$: pokud jsou konzistentní v tomto pořadí, pak není vůbec nutné, aby $B $ a $A$, ty. dvojice $\left(B;A \right)$ je také konzistentní.

Násobit lze pouze konzistentní matice.

Definice. Součin konzistentních matic $A=\left[ m\times n \right]$ a $B=\left[ n\times k \right]$ je nová matice $C=\left[ m\times k \right ]$ , jehož prvky $((c)_(ij))$ se vypočítají podle vzorce:

\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]

Jinými slovy: abyste získali prvek $((c)_(ij))$ matice $C=A\cdot B$, musíte vzít $i$-řádek první matice, $j$ -tý sloupec druhé matice a poté vynásobte v párech prvky z tohoto řádku a sloupce. Sečtěte výsledky.

Ano, to je strohá definice. Z toho plyne hned několik faktů:

Maticové násobení je, obecně řečeno, nekomutativní: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
Násobení je však asociativní: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
A dokonce distributivní: $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
A opět distributivní: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.

Distributivita násobení musela být popsána odděleně pro levý a pravý multiplikační součet právě z důvodu nekomutativnosti operace násobení.

Pokud se přesto ukáže, že $A\cdot B=B\cdot A$, takové matice se nazývají permutabilní.

Mezi všemi maticemi, které jsou tam něčím vynásobeny, jsou speciální - takové, které po vynásobení jakoukoliv maticí $A$ opět dají $A$:

Definice. Matice $E$ se nazývá identita, pokud $A\cdot E=A$ nebo $E\cdot A=A$. V případě čtvercové matice $A$ můžeme napsat:

Identitní matice je častým hostem při řešení maticových rovnic. A vůbec, častý host ve světě matric. :)

A kvůli tomuto $E$ někdo vymyslel celou hru, která bude napsána příště.

Co je to inverzní matice

Vzhledem k tomu, že násobení matic je velmi časově náročná operace (musíte vynásobit spoustu řádků a sloupců), koncept inverzní matice také není nejtriviálnější. A chce to nějaké vysvětlení.

Definice klíče

No, je čas poznat pravdu.

Definice. Matice $B$ se nazývá inverzní matice $A$ if

Inverzní matice je označena $((A)^(-1))$ (nezaměňovat se stupněm!), takže definici lze přepsat takto:

Zdálo by se, že vše je velmi jednoduché a jasné. Ale při analýze takové definice okamžitě vyvstává několik otázek:

Existuje vždy inverzní matice? A pokud ne vždy, tak jak určit: kdy existuje a kdy ne?
A kdo řekl, že taková matrice je přesně jedna? Co když pro nějakou původní matici $A$ existuje celý zástup inverzí?
Jak všechny tyto „reverzy“ vypadají? A jak je vlastně počítáte?

Pokud jde o výpočetní algoritmy - o tom budeme hovořit o něco později. Na zbytek otázek ale odpovíme právě teď. Uspořádejme je do podoby samostatných tvrzení-lemmat.

Základní vlastnosti

Začněme tím, jak by matice $A$ měla vypadat, aby měla $((A)^(-1))$. Nyní se ujistíme, že obě tyto matice musí být čtvercové a stejné velikosti: $\left[ n\times n \right]$.

Lemma 1. Je dána matice $A$ a její inverzní $((A)^(-1))$. Pak jsou obě tyto matice čtvercové a mají stejné pořadí $n$.

Důkaz. Všechno je jednoduché. Nechť matici $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$. Protože součin $A\cdot ((A)^(-1))=E$ podle definice existuje, jsou matice $A$ a $((A)^(-1))$ konzistentní v tomto pořadí:

\[\begin(zarovnat) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( zarovnat)\]

Toto je přímý důsledek maticového násobícího algoritmu: koeficienty $n$ a $a$ jsou „tranzitní“ a musí se rovnat.

Zároveň je definováno i inverzní násobení: $((A)^(-1))\cdot A=E$, takže matice $((A)^(-1))$ a $A$ jsou také konzistentní v tomto pořadí:

\[\begin(zarovnat) & \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end( zarovnat)\]

Bez ztráty obecnosti tedy můžeme předpokládat, že $A=\left[ m\krát n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\krát m \right]$. Nicméně podle definice $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$, takže rozměry matic jsou naprosto stejné:

\[\begin(zarovnat) & \left[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \end(align)\]

Ukazuje se tedy, že všechny tři matice - $A$, $((A)^(-1))$ a $E$ - jsou čtvercové velikosti $\left[ n\krát n \right]$. Lema je dokázáno.

Tak to už je dobrý. Vidíme, že pouze čtvercové matice jsou invertibilní. Nyní se ujistíme, že inverzní matice je vždy stejná.

Lemma 2. Je dána matice $A$ a její inverzní $((A)^(-1))$. Pak je tato inverzní matice jedinečná.

Důkaz. Začněme naopak: nechť má matice $A$ alespoň dvě inverze — $B$ a $C$. Potom podle definice platí následující rovnosti:

\[\begin(align) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \end(zarovnat)\]

Z lemmatu 1 usuzujeme, že všechny čtyři matice $A$, $B$, $C$ a $E$ jsou čtverce stejného řádu: $\left[ n\times n \right]$. Proto je produkt definován:

Protože násobení matic je asociativní (ale ne komutativní!), můžeme psát:

\[\begin(align) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\šipka doprava B=C. \\ \end(zarovnat)\]

Dostali jsme jedinou možnou možnost: dvě kopie inverzní matice jsou stejné. Lema je dokázáno.

Výše uvedená úvaha téměř doslovně opakuje důkaz jednoznačnosti inverzního prvku pro všechna reálná čísla $b\ne 0$. Jediným významným doplňkem je zohlednění rozměru matic.

Stále však nevíme nic o tom, zda je nějaká čtvercová matice invertibilní. Zde nám přichází na pomoc determinant - to je klíčová charakteristika pro všechny čtvercové matice.

Lemma 3. Je dána matice $A$. Pokud existuje matice $((A)^(-1))$ inverzní k ní, pak je determinant původní matice nenulový:

\[\left| A \vpravo|\ne 0\]

Důkaz. Již víme, že $A$ a $((A)^(-1))$ jsou čtvercové matice o velikosti $\left[ n\krát n \right]$. Pro každý z nich je tedy možné vypočítat determinant: $\left| A \right|$ a $\left| ((A)^(-1)) \vpravo|$. Nicméně determinant součinu se rovná součinu determinantů:

\[\left| A\cdot B \right|=\left| A \right|\cdot \left| B \vpravo|\Šipka vpravo \vlevo| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \vpravo|\]

Ale podle definice $A\cdot ((A)^(-1))=E$ a determinant $E$ je vždy roven 1, takže

\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| E\right|; \\ & \left| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \vpravo|=1. \\ \end(zarovnat)\]

Součin dvou čísel je roven jedné, pouze pokud je každé z těchto čísel jiné než nula:

\[\left| A \right|\ne 0;\quad \left| ((A)^(-1)) \right|\ne 0.\]

Takže se ukázalo, že $\left| A \vpravo|\ne 0$. Lema je dokázáno.

Ve skutečnosti je tento požadavek zcela logický. Nyní si rozebereme algoritmus pro nalezení inverzní matice - a bude zcela jasné, proč v zásadě nemůže existovat žádná inverzní matice s nulovým determinantem.

Nejprve však zformulujme „pomocnou“ definici:

Definice. Degenerovaná matice je čtvercová matice o velikosti $\left[ n\krát n \right]$, jejíž determinant je nula.

Můžeme tedy tvrdit, že jakákoli invertibilní matice je nedegenerovaná.

Jak najít inverzní matici

Nyní budeme uvažovat o univerzálním algoritmu pro hledání inverzních matic. Obecně existují dva obecně přijímané algoritmy a dnes také zvážíme druhý.

Ten, který bude nyní uvažován, je velmi účinný pro matice velikosti $\left[ 2\times 2 \right]$ a - částečně - velikosti $\left[ 3\times 3 \right]$. Ale počínaje velikostí $\left[ 4\krát 4 \right]$ je lepší ji nepoužívat. Proč - teď pochopíte všechno.

Algebraické sčítání

Připravit se. Teď bude bolest. Ne, nebojte se: krásná sestřička v sukni, punčochách s krajkou k vám nepřijde a nepíchne vám injekci do hýždí. Všechno je mnohem prozaičtější: algebraické doplňky a Její Veličenstvo "Union Matrix" přicházejí k vám.

Začněme tím hlavním. Nechť existuje čtvercová matice o velikosti $A=\left[ n\krát n \right]$, jejíž prvky se nazývají $((a)_(ij))$. Potom lze pro každý takový prvek definovat algebraický doplněk:

Definice. Algebraický doplněk $((A)_(ij))$ k prvku $((a)_(ij))$ v $i$-tém řádku a $j$-tém sloupci matice $A=\left [ n \times n \right]$ je konstrukce formuláře

\[((A)_(ij))=((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]

Kde $M_(ij)^(*)$ je determinant matice získané z původního $A$ odstraněním stejného $i$-tého řádku a $j$-tého sloupce.

Znovu. Algebraický doplněk k prvku matice se souřadnicemi $\left(i;j \right)$ se označí jako $((A)_(ij))$ a vypočítá se podle schématu:

Nejprve odstraníme $i$-řádek a $j$-tý sloupec z původní matice. Získáme novou čtvercovou matici a její determinant označíme jako $M_(ij)^(*)$.
Poté tento determinant vynásobíme $((\left(-1 \right))^(i+j))$ - na první pohled se tento výraz může zdát ohromující, ale ve skutečnosti jen zjistíme znaménko před $ M_(ij)^(*) $.
Počítáme – dostaneme konkrétní číslo. Tito. algebraické sčítání je jen číslo, ne nějaká nová matice a tak dále.

Samotná matice $M_(ij)^(*)$ se nazývá komplementární minor k prvku $((a)_(ij))$. A v tomto smyslu je výše uvedená definice algebraického doplňku speciálním případem složitější definice – té, kterou jsme uvažovali v lekci o determinantu.

Důležitá poznámka. Ve skutečnosti v „dospělé“ matematice jsou algebraické sčítání definovány takto:

Vezmeme $k$ řádků a $k$ sloupců ve čtvercové matici. Na jejich průsečíku dostaneme matici velikosti $\left[ k\times k \right]$ — její determinant se nazývá moll řádu $k$ a značí se $((M)_(k))$.

Poté tyto "vybrané" $k$ řádky a $k$ sloupce proškrtneme. Opět dostáváme čtvercovou matici - její determinant se nazývá komplementární minor a značí se $M_(k)^(*)$.

Vynásobte $M_(k)^(*)$ $((\left(-1 \right))^(t))$, kde $t$ je (teď pozor!) součet čísel všech vybraných řádků a sloupce . Toto bude algebraické sčítání.

Podívejte se na třetí krok: ve skutečnosti existuje součet podmínek 2 000 $! Další věc je, že pro $k=1$ dostaneme pouze 2 členy - budou to stejné $i+j$ - "souřadnice" prvku $((a)_(ij))$, pro které jsme hledá algebraický doplněk.

Dnes tedy použijeme trochu zjednodušenou definici. Ale jak uvidíme později, bude toho víc než dost. Mnohem důležitější je následující:

Definice. Sjednocovací matice $S$ na čtvercovou matici $A=\left[ n\krát n \right]$ je nová matice velikosti $\left[ n\krát n \right]$, která je získána z $A$ nahrazením $(( a)_(ij))$ algebraickými doplňky $((A)_(ij))$:

\\Šipka doprava S=\doleva[ \začátek(matice) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\konec (matice) \vpravo]\]

První myšlenka, která vyvstane v okamžiku realizace této definice, je „tolik musíte počítat celkem!“ Relax: musíš počítat, ale ne tolik. :)

No, to všechno je moc hezké, ale proč je to nutné? Ale proč.

Hlavní věta

Vraťme se trochu zpět. Pamatujte, že lemma 3 říkalo, že invertibilní matice $A$ je vždy nesingulární (to znamená, že její determinant je nenulový: $\left| A \right|\ne 0$).

Platí to tedy i obráceně: pokud matice $A$ není degenerovaná, pak je vždy invertibilní. A dokonce existuje vyhledávací schéma $((A)^(-1))$. Koukni na to:

Věta o inverzní matici. Nechť je dána čtvercová matice $A=\left[ n\krát n \right]$ a její determinant je nenulový: $\left| A \vpravo|\ne 0$. Pak existuje inverzní matice $((A)^(-1))$ a vypočítá se podle vzorce:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))\]

A teď – stejně, ale čitelným rukopisem. K nalezení inverzní matice potřebujete:

Vypočítejte determinant $\left| A \right|$ a ujistěte se, že je nenulové.
Sestavte sjednocovací matici $S$, tzn. spočítejte 100500 algebraických sčítání $((A)_(ij))$ a vložte je na místo $((a)_(ij))$.
Transponujte tuto matici $S$ a poté ji vynásobte nějakým číslem $q=(1)/(\left| A \right|)\;$.

A to je vše! Je nalezena inverzní matice $((A)^(-1))$. Podívejme se na příklady:

\[\left[ \začátek(matice) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\konec (matice) \vpravo]\]

Řešení. Zkontrolujeme reverzibilitu. Pojďme vypočítat determinant:

\[\left| A \right|=\left| \začátek(matice) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\konec (matice) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]

Determinant je jiný než nula. Matrix je tedy invertní. Vytvořme sjednocovací matici:

Pojďme vypočítat algebraické sčítání:

\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2\vpravo|=2; \\ & ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| 5\vpravo|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\left(-1 \right))^(2+1))\cdot \left| 1 \vpravo|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\left(-1 \right))^(2+2))\cdot \left| 3\vpravo|=3. \\ \end(zarovnat)\]

Věnujte pozornost: determinantům |2|, |5|, |1| a |3| jsou determinanty matic velikosti $\left[ 1\times 1 \right]$, nikoli moduly. Tito. pokud byla v determinantech záporná čísla, není nutné odstraňovat "mínus".

Celkově naše sjednocovací matice vypadá takto:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(pole)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end(pole) \right])^(T))=\left[ \begin (pole)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\konec (pole) \vpravo]\]

Dobře, teď je po všem. Problém je vyřešen.

Odpovědět. $\left[ \begin(pole)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(pole) \right]$

Úkol. Najděte inverzní matici:

\[\left[ \begin(pole)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(pole) \right] \]

Řešení. Opět uvažujeme determinant:

\[\begin(zarovnat) & \left| \begin(pole)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(pole) \right|=\begin(matice ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\left (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\end(matice)= \ \ & =\left(2+1+0 \right)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end(align)\]

Determinant se liší od nuly — matice je invertibilní. Ale teď to bude nejplechovější: musíte napočítat až 9 (devět, sakra!) algebraických sčítání. A každý z nich bude obsahovat kvalifikátor $\left[ 2\times 2 \right]$. Let:

\[\begin(matrix) ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \začátek(matice) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\konec(matice) \right|=2; \\ ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| \začátek(matice) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\konec (matice) \right|=-1; \\ ((A)_(13))=((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \left| \začátek(matice) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\konec (matice) \right|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\left(-1 \right))^(3+3))\cdot \left| \začátek(matice) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\konec (matice) \right|=2; \\ \konec(matice)\]

Stručně řečeno, sjednocovací matice bude vypadat takto:

Inverzní matice tedy bude:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(matice) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\konec (matice) \right]=\left[ \begin(pole)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \ 2 & 1 & -2 \\\konec (pole) \vpravo]\]

No, to je vše. Zde je odpověď.

Odpovědět. $\left[ \begin(pole)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end(pole) \right ]$

Jak vidíte, na konci každého příkladu jsme provedli kontrolu. V tomto ohledu důležitá poznámka:

Nebuďte líní kontrolovat. Vynásobte původní matici nalezenou inverzí – měli byste dostat $E$.

Je mnohem jednodušší a rychlejší provést tuto kontrolu, než hledat chybu v dalších výpočtech, kdy například řešíte maticovou rovnici.

Alternativní způsob

Jak jsem řekl, věta o inverzní matici funguje dobře pro velikosti $\left[ 2\krát 2 \right]$ a $\left[ 3\krát 3 \right]$ (ve druhém případě to není tak "krásné" už). “), ale pro velké matrice začíná smutek.

Ale nebojte se: existuje alternativní algoritmus, který lze použít ke klidnému nalezení inverze i pro matici $\left[ 10\krát 10 \right]$. Ale, jak už to často bývá, k uvážení tohoto algoritmu potřebujeme trochu teoretického zázemí.

Elementární transformace

Mezi různými transformacemi matice existuje několik speciálních - nazývají se elementární. Existují přesně tři takové transformace:

Násobení. Můžete vzít $i$-tý řádek (sloupec) a vynásobit jej libovolným číslem $k\ne 0$;
Přidání. Přidejte do $i$-tého řádku (sloupce) jakýkoli jiný $j$--tý řádek (sloupec) vynásobený libovolným číslem $k\ne 0$ (samozřejmě je možné i $k=0$, ale k čemu to je z toho? „Nic se však nezmění).
Permutace. Vezměte $i$-tý a $j$-tý řádek (sloupce) a prohoďte je.

Proč se těmto transformacím říká elementární (u velkých matic tak elementárně nevypadají) a proč jsou jen tři – tyto otázky jsou nad rámec dnešní lekce. Proto nebudeme zabíhat do podrobností.

Další věc je důležitá: musíme provést všechny tyto perverze na související matrici. Ano, ano, slyšeli jste dobře. Nyní bude ještě jedna definice – poslední v dnešní lekci.

Připojený Matrix

Určitě jste ve škole řešili soustavy rovnic metodou sčítání. No, odečtěte další od jednoho řádku, vynásobte nějaký řádek číslem - to je vše.

Takže: teď bude všechno stejné, ale již „dospělým způsobem“. Připraveni?

Definice. Nechť je dána matice $A=\left[ n\krát n \vpravo]$ a matice identity $E$ stejné velikosti $n$. Potom přidružená matice $\left[ A\left| E\vpravo. \right]$ je nová $\left[ n\krát 2n \right]$ matice, která vypadá takto:

\[\left[ A\left| E\vpravo. \right]=\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\end(pole) \right]\]

Zkrátka vezmeme matici $A$, vpravo k ní přiřadíme matici identity $E$ požadované velikosti, pro krásu je oddělíme svislou čárkou - tady je ta přiložená. :)

V čem je háček? A tady je co:

Teorém. Nechť je matice $A$ invertibilní. Uvažujme adjungovanou matici $\left[ A\left| E\vpravo. \right]$. Pokud používáte elementární řetězcové transformace uveďte jej do tvaru $\left[ E\left| Jasný. \right]$, tzn. vynásobením, odečtením a přeskupením řádků získáte z $A$ matici $E$ vpravo, pak matice $B$ získaná vlevo je inverzní k $A$:

\[\left[ A\left| E\vpravo. \vpravo]\do \left[ E\vlevo| Jasný. \vpravo]\Šipka doprava B=((A)^(-1))\]

Je to tak jednoduché! Stručně řečeno, algoritmus pro nalezení inverzní matice vypadá takto:

Napište související matici $\left[ A\left| E\vpravo. \right]$;
Provádějte konverze elementárních řetězců, dokud se místo $A$ nezobrazí vpravo $E$;
Něco se samozřejmě objeví i vlevo - určitá matice $B$. To bude naopak;
ZISK! :)

Samozřejmě, mnohem snáze se to řekne, než udělá. Podívejme se tedy na několik příkladů: pro velikosti $\left[ 3\krát 3 \right]$ a $\left[ 4\krát 4 \right]$.

Úkol. Najděte inverzní matici:

\[\left[ \begin(pole)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\end(pole) \right]\ ]

Řešení. Skládáme přiloženou matici:

\[\left[ \begin(pole)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\konec (pole) \vpravo]\]

Protože poslední sloupec původní matice je vyplněn jedničkami, odečtěte první řádek od zbytku:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\konec (matice) \vpravo]\začátek (matice) \dolů \\ -1 \\ -1 \\\konec (matice)\do \\ & \do \doleva [ \begin(pole)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\konec (pole) \vpravo] \\ \konec (zarovnání)\]

Nejsou zde žádné další jednotky, kromě prvního řádku. Ale nesaháme na to, jinak se nově odebrané jednotky začnou "množit" ve třetím sloupci.

Druhý řádek ale můžeme odečíst dvakrát od posledního - dostaneme jednotku v levém dolním rohu:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\konec (matice) \vpravo]\začátek (matice) \ \\ \šipka dolů \\ -2 \\\konec (matice)\do \\ & \doleva [ \begin(pole)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\konec (pole) \vpravo] \\ \konec (zarovnání)\]

Nyní můžeme odečíst poslední řádek od prvního a dvakrát od druhého - tímto způsobem „vynulujeme“ první sloupec:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\konec (matice) \vpravo]\začátek (matice) -1 \\ -2 \\ \nahoru \\\konec (matice)\do \\ & \ to \left[ \begin(pole)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\konec (pole) \vpravo] \\ \konec (zarovnání)\]

Vynásobte druhý řádek −1 a poté jej 6krát odečtěte od prvního a 1krát přičtěte k poslednímu:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\konec (pole) \vpravo]\začátek (matice) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \ \\\end(matice)\to \\ & \to \left[ \begin(pole)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\konec (pole) \vpravo]\začátek (matice) -6 \\ \nahoru dolů \\ +1 \\\konec (matice)\to \\ & \to \left[ \begin(pole)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\konec (pole) \vpravo] \\ \konec (zarovnání)\]

Zbývá pouze prohodit řádky 1 a 3:

\[\left[ \begin(pole)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 & 32 & -13 \\\konec (pole) \vpravo]\]

Připraveno! Vpravo je požadovaná inverzní matice.

Odpovědět. $\left[ \begin(pole)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\end(pole) \right ]$

Úkol. Najděte inverzní matici:

\[\left[ \begin(matice) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\konec(matice) \vpravo]\]

Řešení. Opět skládáme přiložený:

\[\left[ \begin(pole)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end (pole) \vpravo]\]

Pojďme si trochu půjčit, starat se o to, kolik teď musíme počítat... a začněme počítat. Nejprve „vynulujeme“ první sloupec odečtením řádku 1 od řádků 2 a 3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end (pole) \vpravo]\začátek(matice) \dolů \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\konec (matice)\do \\ & \do \left[ \begin(pole)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(pole) \vpravo] \\ \end(zarovnat)\]

V řádcích 2-4 pozorujeme příliš mnoho „mínusů“. Vynásobte všechny tři řádky −1 a poté vypalte třetí sloupec odečtením řádku 3 od zbytku:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end(pole) \right]\begin(matice) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\\end(matice)\to \\ & \to \left[ \begin(pole)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end (matice) \right]\begin(matice) -2 \\ -1 \\ \updownarrow \\ -2 \\\end(matice)\to \\ & \to \left[ \begin(array)( rrrr| rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(pole) \right] \\ \end(align)\]

Nyní je čas „usmažit“ poslední sloupec původní matice: odečtěte řádek 4 od zbytku:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(pole ) \vpravo]\začátek(matice) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \nahoru \\\konec (matice)\do \\ & \do \left[ \začátek(pole)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(pole) \vpravo] \\ \end(zarovnat)\]

Závěrečný hod: „vypalte“ druhý sloupec odečtením řádku 2 od řádku 1 a 3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end( pole) \right]\begin(matice) 6 \\ \updownarrow \\ -5 \\ \ \\\end(matice)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\konec (pole) \vpravo] \\ \konec (zarovnání)\]

A opět matice identity vlevo, takže inverzní vpravo. :)

Odpovědět. $\left[ \begin(matice) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\konec(matice) \vpravo]$

Dobře, teď je po všem. Udělejte si kontrolu sami - jsem na šrot. :)

Uvažujme čtvercovou matici. Označme Δ = det A jeho determinant. Čtverec B je (OM) pro čtverec A stejného řádu, pokud jejich součin A*B = B*A = E, kde E je matice identity stejného řádu jako A a B.

Čtverec A se nazývá nedegenerovaný nebo nesingulární, pokud je jeho determinant nenulový, a degenerovaný nebo speciální, pokud Δ = 0.

Teorém. Aby A měla inverzi, je nutné a postačující, aby její determinant byl jiný než nula.

(OM) A, označeno A -1, takže B \u003d A -1 a je vypočteno podle vzorce

, (1)

kde А i j - algebraické doplňky prvků a i j , Δ = detA.

Výpočet A -1 podle vzorce (1) pro matice vyšších řádů je velmi pracný, takže v praxi je vhodné najít A -1 pomocí metody elementárních transformací (EP). Jakékoli nesingulární A pomocí EP pouze sloupců (nebo pouze řádků) lze redukovat na jednotku E. Pokud jsou EP provedené nad maticí A aplikovány ve stejném pořadí na jednotku E, pak bude výsledek A -1 . Je vhodné provést EP na A a E současně a napsat obě vedle sebe přes řádek A|E. Pokud chcete najít A -1 , měli byste v převodech používat pouze řádky nebo pouze sloupce.

Hledání inverzní matice pomocí algebraických doplňků

Příklad 1. Pro najít A -1 .

Řešení. Nejprve najdeme determinant A
tedy (OM) existuje a můžeme ho najít podle vzorce: , kde A i j (i,j=1,2,3) - algebraické doplňky prvků a i j původního A.

Algebraický doplněk prvku a ij je determinant nebo vedlejší M ij . Získá se vymazáním sloupce i a řádku j. Menší se pak vynásobí (-1) i+j , tzn. A ij = (-1) i+j M ij

kde .

Hledání inverzní matice pomocí elementárních transformací

Příklad 2. Pomocí metody elementárních transformací najděte A -1 pro: A \u003d.

Řešení. Původnímu A napravo přisuzujeme jednotku stejného řádu: . Pomocí elementárních sloupcových transformací redukujeme levou „polovinu“ na jednotkovou a současně provádíme přesně takové transformace na pravé „polovině“.
Chcete-li to provést, prohoďte první a druhý sloupec: ~. První přidáme do třetího sloupce a první vynásobíme -2 do druhého: . Od prvního sloupce odečteme zdvojnásobený druhý a od třetího - druhý vynásobený 6; . K prvnímu a druhému sloupci přidáme třetí sloupec: . Vynásobte poslední sloupec -1: . Čtvercová tabulka získaná napravo od svislého pruhu je inverzní k A -1. Tak,
.

Inverzní matice pro danou matici je taková matice, vynásobením původní matice, která dává matici identity: Povinnou a postačující podmínkou pro přítomnost inverzní matice je nerovnost determinantu původní (která zase znamená, že matice musí být čtvercová). Pokud je determinant matice roven nule, pak se nazývá degenerovaná a taková matice nemá inverzní hodnotu. Ve vyšší matematice jsou inverzní matice důležité a používají se k řešení řady problémů. Například na nalezení inverzní matice je konstruována maticová metoda pro řešení soustav rovnic. Naše servisní stránky umožňují vypočítat inverzní matici online dvě metody: Gauss-Jordanova metoda a použití matice algebraických sčítání. První znamená velký počet elementárních transformací v matici, druhý - výpočet determinantu a algebraické sčítání ke všem prvkům. Pro výpočet determinantu matice online můžete využít naši další službu - Výpočet determinantu matice online

Najděte inverzní matici na webu

webová stránka vám umožní najít inverzní matice online rychle a zdarma. Na stránce provádí naše služba výpočty a zobrazí se výsledek s podrobným řešením pro nalezení inverzní matice. Server vždy dává pouze přesnou a správnou odpověď. V úkolech podle definice inverzní matice online, je nutné, aby determinant matrice byla jiná než nula, jinak webová stránka bude hlásit nemožnost nalezení inverzní matice kvůli skutečnosti, že determinant původní matice je roven nule. Hledání úkolu inverzní matice nachází se v mnoha odvětvích matematiky, je jedním z nejzákladnějších pojmů algebry a matematickým nástrojem v aplikovaných problémech. Nezávislý definice inverzní matice vyžaduje značné úsilí, mnoho času, výpočtů a velkou péči, aby nedošlo ke skluzu nebo malé chybě ve výpočtech. Proto naše služba hledání inverzní matice online výrazně usnadní váš úkol a stane se nepostradatelným nástrojem pro řešení matematických problémů. Jen pokud ty najít inverzní matici sami, doporučujeme zkontrolovat své řešení na našem serveru. Zadejte svou původní matici na našem Calculate Inverse Matrix Online a zkontrolujte svou odpověď. Náš systém se nikdy nemýlí a najde inverzní matice daný rozměr v režimu online okamžitě! Na stránce webová stránka v prvcích jsou povoleny znaky matrice, v tomto případě inverzní matice online bude prezentována v obecné symbolické formě.