Prokažte reverzní větu Pythagora. Lekce "teorém - pythagore je teorém"

Teorém Pythagore říká:

V obdélníkovém trojúhelníku se součet čtverců katalií rovná čtverci hypotenuse:

a 2 + B 2 \u003d C 2,

a. a b. - kořeny, které tvoří rovný roh.
z - Trojúhelník hypotenuse.

Pythagora teorém vzorců

a \u003d SQRT (C ^ (2) - B ^ (2))
b \u003d SQRT (C ^ (2) - A ^ (2))
c \u003d sqrt (a ^ (2) + b ^ (2))

Doklad o Pythagora teorém

Oblast obdélníkového trojúhelníku je vypočtena vzorcem:

S \u003d frac (1) (2) ab

Pro výpočet oblasti libovolného trojúhelníku vzorce čtverečních:

p. - Half-metr. P \u003d frac (1) (2) (A + B + C),
r. - Poloměr vepsaný kruh. Pro Rectangler \u003d Frac (1) (2) (A + B-C).

Pak srovnáváme správné části obou vzorců pro oblast trojúhelníku:

Frac (1) (2) ab \u003d frac (1) (2) (A + B + C) FRAC (1) (2) (A + B-C)

2 AB \u003d (A + B + C) (A + B-C)

2 ab \u003d vlevo ((a + b) ^ (2) -c ^ (2) vpravo)

2 ab \u003d a ^ (2) + 2Ab + b ^ (2) -c ^ (2)

0 \u003d a ^ (2) + b ^ (2) -c ^ (2)

c ^ (2) \u003d a ^ (2) + b ^ (2)

Pythagorean Reverse Teorem:

Pokud je čtverec jedné strany trojúhelníku roven součtu čtverců dvou dalších stran, pak je trojúhelník obdélníkový. To je pro všechny tři pozitivní čísla a, B. a c., takový to

a 2 + B 2 \u003d C 2,

s cely je obdélníkový trojúhelník a. a b. a hypotenuse c..

Pythagorova věta - Jeden ze základních teorosů euclidean geometrie, která stanoví poměr mezi stranami obdélníkového trojúhelníku. Ověřila vědec matematik a filozofa Pythagore.

Hodnota teorém V tom, s jeho pomocí, můžete prokázat jiné věty a řešit problémy.

Doplňkový materiál:

Pythagorova věta - jeden ze základních věty euclidean geometrie stanovující poměr

mezi stranami obdélníkového trojúhelníku.

Předpokládá se, že je prokázán řecký matematik Pythagore, na počest, který a pojmenovaný.

Geometrická formulace Pythagorean Teorem.

Zpočátku byla teorém formulována následovně:

V obdélníkovém trojúhelníku se čtverec náměstí postaveného na hypotenuse rovná součtu čtverců čtverců,

postavený na catetech.

Algebraická formulace Pythagorean Teorem.

V obdélníkovém trojúhelníku se čtverec délky hypotenuse rovná součtu čtverců délek vozíku.

To znamená, že označuje délku trojúhelníku hypotenuse c.a délka katet a. a b.:

Oba znění pythagora teoremyekvivalent, ale druhé znění je elementární, není to

vyžaduje koncept oblasti. To znamená, že druhý výpis lze zkontrolovat, nic nevědějící o této oblasti a

měření pouze délky stran obdélníkového trojúhelníku.

Pythagorean Reverse Teorem.

Pokud je čtverec jedné strany trojúhelníku roven součtu čtverců dvou dalších stran, pak

trojúhelník je obdélníkový.

Nebo jinými slovy:

Pro všechna tři kladná čísla a., b. a c., takový to

s cely je obdélníkový trojúhelník a. a b.a hypotenuse c..

Pythagora teorém pro equifiable trojúhelník.

Pythagora teorém pro rovnostranný trojúhelník.

Důkaz o Pythagorean Teorem.

V současné době bylo v vědecké literatuře zaznamenáno 367 důkazů o této teorému. Pravděpodobně teorém

Pythagora je jediná věta s tak působivým počtem důkazů. Taková odrůda

lze vysvětlit pouze základní hodnotou věty geometrie.

Samozřejmě je to koncepčně všechny z nich lze rozdělit na malý počet tříd. Nejznámější z nich:

důkaz metoda vesmíru, axiomatický a exotické důkazy (např,

přes diferenciální rovnice).

1. Důkaz Pythagoreova věta těmito trojúhelníky.

Následující důkaz algebraického znění je nejjednodušší z důkazů ve výstavbě.

přímo z axiomu. Zejména nepoužívá koncept obrázku obrázku.

Nech být Abc. Tam je obdélníkový trojúhelník s přímým úhelem C.. Pojďme strávit výšku C. A označeno

jeho nadace H..

Trojúhelník Ach. Jako trojúhelník B.C pro dva rohy. Podobně trojúhelník. Cbh. Jako Abc..

Zadání notace:

dostaneme:

co odpovídá -

Vhodný a. 2 I. b. 2, dostaneme:

nebo, který byl povinen dokázat.

2. Doklad o Pythagore teorém na oblast oblasti.

Níže, důkaz, navzdory jejich zdánlivé jednoduchosti, ne tak jednoduché. Všichni

použijte vlastnosti oblasti, jejichž důkaz je složitější důkazem o samotném větu Pythagora.

Důkaz prostřednictvím rovnosti.

Umístěte čtyři stejné obdélníkové

trojúhelník, jak je znázorněno na obrázku

napravo.

Quadril se stranami c. - Náměstí,

od součtu dvou ostrých rohů 90 ° a

rozmístěný úhel - 180 °.

Oblast celé postavy se rovná jedné ruce,

Čtvercová plocha s stranou ( a + B.) a na druhé straně součet oblasti čtyř trojúhelníků a

Q.e.d.

3. Důkaz o Pythagore teorém metodou nekonečně malé.

S ohledem na výkres zobrazený na obrázku a

pozorování změny stranya., můžeme

zaznamenejte následující poměr pro nekonečné

malý přírůstky stranyz a a. (Použití zdání

trojúhelníky):

Pomocí metody variabilní separace najdeme:

Obecnější výraz pro změnu hypotenuse v případě přírůstků obou katetů:

Integrace této rovnice a pomocí počátečních podmínek získáme:

Přicházíme tedy na požadovanou odpověď:

Vzhledem k tomu, že není obtížné vidět, kvadratická závislost v konečném vzorci se objeví v důsledku lineárního

proporcionality mezi stranami trojúhelníku a přírůstků, zatímco částka je spojena s nezávislým

vklady z přírůstku různých katalů.

Může být získáno jednoduchý důkaz, pokud předpokládáme, že jeden z katalů nezažije přírůstek

(v tomto případě katat b.). Pak, pro integrační konstanta, dostaneme:

Podle van der vardenu je velmi pravděpodobné, že poměr obecně byl znám v Babylonu poblíž BC XVIII století. E.

Přibližně 400 př.nl. E. Podle sondy platí Plato způsob hledání Pythagora Trok, kombinující algebru a geometrii. Asi 300 př.nl. E. V "Začátek" Euclidea se objevil nejstarší axiomatický důkaz o Pythagoreo teorém.

Formulace

Hlavní formulace obsahuje algebraické akce - v obdélníkovém trojúhelníku, jehož katety jsou stejné A (DisplayStyle A) a B (DisplayStyle b)a délka hypotenů - C (DisplayStyle C)Poměr je dokončen:

Ekvivalentní geometrická formulace je možná, uchyluje se k pojmu plošné plochy obrázku: v obdélníkovém trojúhelníku se čtverec náměstí postaveného na hypotenuse rovná součtu čtverců čtverců postavených na kategoriích. V tomto formuláři je teorém formulován na začátku euklida.

Pythagora Reverzní teorém - Schválení obdélníků jakéhokoliv trojúhelníku, jehož délka stran, které souvisí vztahem A 2 + B 2 \u003d C 2 (DisplayStyle A ^ (2) + B ^ (2) \u003d C ^ (2)). V důsledku toho pro všechny tři pozitivní čísla A (DisplayStyle A), B (DisplayStyle b) a C (DisplayStyle C), takový to A 2 + B 2 \u003d C 2 (DisplayStyle A ^ (2) + B ^ (2) \u003d C ^ (2)), Tam je obdélníkový trojúhelník s celními orgány A (DisplayStyle A) a B (DisplayStyle b) a hypotenuse C (DisplayStyle C).

Důkaz

Vědecká literatura zaznamenala nejméně 400 důkazů o Pythagora teorém, která je vysvětlena jako základní hodnota geometrie a elementárnosti výsledku. Hlavní směry důkazů: algebraické použití vztahu prvků trojúhelníku (např. Například populární metoda podobnosti), způsob prostoru, existují také různé exotické důkazy (například použití diferenciálních rovnic).

Prostřednictvím těchto trojúhelníků

Klasické důkazy o EUCLIDEA je zaměřena na stanovení rovnosti oblasti mezi obdélníky vytvořenými z migrace čtverce nad hypotenuriovou výškou přímého úhlu s čtverečky nad celními orgány.

Konstrukce použitý pro důkaz je následující: Pro obdélníkový trojúhelník s přímým úhlem C (DisplayStyle C), čtverce nad cely a čtverce nad hypotenuse A B I K (DisplayStyle Abik) Postavená výška C H (DisplayStyle CH) a pokračování jejího paprsku S (DisplayStyle S), lámání čtverce nad hypotenur se dvěma obdélníky a. Je zaměřen na stanovení rovnosti obdélníku A H J K (DisplayStyle AHJK) Náměstí nad Catte A C (DisplayStyle AC); Rovnost plochy druhého obdélníku tvořícího náměstí nad hypotenusou a obdélník přes druhou cathe je nastaven stejným způsobem.

Rovnost obdélníku čtverců A H J K (DisplayStyle AHJK) a A C e d (zobrazení DisplayStyle) Instalován prostřednictvím kongruence trojúhelníků △ A C K \u200b\u200b(DisplayStyle trojúhelník ACK) a △ A B (DisplayStyle trojúhelník ABD)oblast každého z nich se rovná polovině čtvercového čtverce A H J K (DisplayStyle AHJK) a A C e d (zobrazení DisplayStyle) V souladu s tím, vzhledem k následujícím vlastnictví: oblast trojúhelníku se rovná polovině obdélníku oblasti, pokud mají čísla společná strana a výška trojúhelníku na obecnou stranu je druhá strana obdélníku. Congrunce trojúhelníků vyplývá z rovnosti obou stran (stran čtverců) a rohu mezi nimi (složený z přímého rohu a úhlu na A (DisplayStyle A).

Proto důkaz stanoví, že čtverec náměstí nad hypotenusem složenými z obdélníků A H J K (DisplayStyle AHJK) a B H J I (DisplayStyle Bhji)se rovná součtu čtverců čtverců nad celními orgány.

Důkaz Leonardo da Vinci

Důkaz Leonarda da Vinci se nachází v oblasti náměstí. Nechte obdélníkový trojúhelník △ A B C (DisplayStyle trojúhelník ABC) S přímým úhlem C (DisplayStyle C) a čtverce A C e d (zobrazení DisplayStyle), B c f g (displayStyle bcfg) a A B H J (DisplayStyle abhj) (Viz obrázek). V tomto důkazu na straně H J (DisplayStyle HJ) Ten vnějšku je trojúhelník, shodný △ A B C (DisplayStyle trojúhelník ABC)navíc odráží jak relativní k hypotenusům a relativně výšce (to znamená, J I \u003d b c (displayStyle Ji \u003d BC) a H i \u003d a c (DisplayStyle hi \u003d AC)). Rovný C i (DisplayStyle CI) Rozbije náměstí postavený na hypotenuse do dvou stejných dílů, protože trojúhelníky △ A B C (DisplayStyle trojúhelník ABC) a △ J I (DisplayStyle trojúhelník JHI) rovna konstrukci. Důkaz stanoví kongruenci quadrorys C A J I (DisplayStyle Caji) a D A b g (DisplayStyle DABG)Oblast každého z nich se ukáže být na jedné straně, která se rovná součtu poloviny čtverců čtverců na kateches a oblasti původního trojúhelníku, na druhé straně, napůl náměstí čtverec na hypotenuse plus plochu původního trojúhelníku. Celkem, polovina součtu čtverců čtverců nad kategorií se rovná polovině čtverce čtverce nad hypotenuse, což je ekvivalentní geometrické formulaci věty Pythagores.

Důkaz podle metody nekonečně malé

Existuje několik důkazů, které se uchýlí k techniky diferenciálních rovnic. Zejména je vytrvalý přičítán důkazu, s využitím nekonečně malých přírůstků katalů A (DisplayStyle A) a B (DisplayStyle b) a hypotenusy C (DisplayStyle C)a zachování podobnosti s původním obdélníkem, to znamená, že poskytuje následující rozdíly v oblasti diferenciálu:

d a d c \u003d c a (displayStyle (frac (da) (dc)) \u003d (frac (c) (a))), D B D C \u003d C B (DisplayStyle (FRAC (DB) (DC)) \u003d (Frac (C) (b))).

Diferenciální rovnice je odvozena oddělením proměnných C D C \u003d A D A + B D B (DisplayStyle C DC \u003d A, DA + B, DB)jejichž integrace dává poměr C 2 \u003d A 2 + B 2 + C O T (DisplayStyle C ^ (2) \u003d a ^ (2) + b ^ (2) + mathRm (const)). Aplikace počátečních podmínek A \u003d B \u003d C \u003d 0 (DisplayStyle A \u003d B \u003d C \u003d 0) Určuje konstantu jako 0, což má za následek prohlášení o teorému.

Kvadratická závislost ve finálním vzorci se objeví v důsledku lineární proporcionality mezi stranami trojúhelníku a přírůstky, zatímco množství je spojeno s nezávislými vklady z přírůstku různých katalů.

Variace a zobecnění

Podobné geometrické tvary na třech stranách

Důležité geometrické zobecnění Pythagorské věty dalo euclium v \u200b\u200b"začátku", přes čtverce čtverců na stranách libovolných podobných geometrických čísel: Součet oblastí těchto obrázků postavených na catetech bude roven oblasti Obrázek podobná hypotenuse.

Hlavní myšlenkou tohoto zobecnění je, že oblast takového geometrického tvaru je úměrná čtverci jakékoli lineární velikosti a zejména čtverce délky jakékoliv strany. V důsledku toho pro podobné tvary s čtverce A (DisplayStyle A), B (DisplayStyle b) a C (DisplayStyle C)postavený na přizpůsobení s délkami A (DisplayStyle A) a B (DisplayStyle b) a hypotenuse C (DisplayStyle C) Podíl je tedy:

A A A 2 \u003d B B 2 \u003d C C C 2 ⇒ A + B \u003d A 2 C 2 C + B 2 C 2 C (DisplayStyle (Frac (A) (a) (Frac (2))) \u003d (Frac (B) (B)) ^ (2))) \u003d (frac (c) (c ^ (2)) \\, pravicarrow, a + b \u003d (frac (a ^ (2)) (c ^ (2)) c + (Frac (b ^ (2)) (c ^ (2)) c).

Od Pythagora Teorem. A 2 + B 2 \u003d C 2 (DisplayStyle A ^ (2) + B ^ (2) \u003d C ^ (2))pak provedené.

Kromě toho, pokud je možné prokázat, aniž by přitahovala teorém Pythagora, že pro oblasti tří podobných geometrických čísel na stranách obdélníkového trojúhelníku byl proveden poměr A + B \u003d C (DisplayStyle A + B \u003d C), Použití reverzního zdvihu důkazu o zobecnění euklidea může být odvozen důkaz o teorému Pythagora. Například, pokud na hypotenuse vybudovat kongruentní počáteční obdélníkový trojúhelník oblast C (DisplayStyle C)a na kategorii - dva podobné obdélníkové trojúhelníky s čtverečky A (DisplayStyle A) a B (DisplayStyle b)Ukazuje se, že trojúhelníky na catetech jsou tvořeny v důsledku rozdělení počátečního trojúhelníku své výšky, to znamená, že součet dvou menších oblastí trojúhelníků se rovná oblasti třetího A + B \u003d C (DisplayStyle A + B \u003d C) A použitím poměru pro takové obrázky se zobrazí teorém Pythagora.

Kosinus teorém

Pythagoreo teorém je zvláštním případem obecnějšího Cosine teorém, který váže délky stran v libovolném trojúhelníku:

A 2 + B 2 - 2 A B Cos \u2061 θ \u003d C 2 (DisplayStyle A ^ (2) + b ^ (2) -2Ab cos (eta) \u003d c ^ (2)),

kde - úhel mezi stranami A (DisplayStyle A) a B (DisplayStyle b). Pokud je úhel 90 °, pak cos \u2061 θ \u003d 0 (DisplayStyle cos eta \u003d 0)A vzorec je zjednodušen na obvyklé Pythagoreo teorém.

Libovolný trojúhelník.

Tam je zobecnění Pythagora teoréma na libovolném trojúhelníku, která působí výhradně podle poměru délek stran, předpokládá se, že to bylo poprvé zřízeno Sabi astronom Sabit Ibn Kury. V něm pro libovolný trojúhelník se stranami se do něj zapadá equifiable trojúhelník se základnou na boku C (DisplayStyle C), vrchol, který se shoduje s vrcholem původního trojúhelníku, opačnou stranou C (DisplayStyle C) a úhly na základně rovné rohu θ (DisplayStyle \\ t, opačná strana C (DisplayStyle C). V důsledku toho jsou tvořeny dvě trojúhelníky, podobně jako původní: první - se stranami A (DisplayStyle A), dlouhosrstranná strana bokem napsaná zvýšeným trojúhelníkem a R (DisplayStyle R) - díly dílů C (DisplayStyle C); Druhý je k němu symetricky B (DisplayStyle b) ze strany S (DisplayStyle S) - odpovídající část části C (DisplayStyle C). V důsledku toho vztah: vztah:

A 2 + B 2 \u003d C (R + S) (DisplayStyle A ^ (2) + b ^ (2) \u003d C (R + S)),

degenerovat do Pythagora teorém s θ \u003d π / 2 (DisplayStyle \\ tSa \u003d pi / 2). Poměr je důsledkem podobnosti vytvořených trojúhelníků:

Ca \u003d ar, cb \u003d bs ⇒ cr + cs \u003d a 2 + b 2 (displayStyle (frac (c) (a)) \u003d (frac (a) (r)), (frac (c) (b)) \u003d (frac (b) (b) (s)) \\ lightarrow \\, cr + cs \u003d a ^ (2) + b ^ (2)).

Pappa teorém na čtvercích

Neevklidova geometrie

The Pythagoreo teorém je odvozena z axiomu euklidovské geometrie a je neplatná pro geometrii bez dětí - realizace Pythagorean teorém je ekvivalentní postulátu euklidea paralelnosti.

V geometrii bez dětí bude poměr mezi stranami obdélníkového trojúhelníku nutně ve formě jiném než Pythagorean Teorem. Například v sférické geometrii, všechny tři strany obdélníkového trojúhelníku, které omezují letadlo jedné sféry, mají délku π / 2 (DisplayStyle \\ pi / 2)který odporuje teorému Pythagorean.

V tomto případě je Pythagora teorém platí v hyperbolické a eliptické geometrii, pokud je požadavek obdélníku trojúhelníku nahrazen podmínkou, že součet dvou trojúhelníkových úhlů by měl být roven třetí.

Sférická geometrie

Pro libovolný obdélníkový trojúhelník na sféře poloměru R (DisplayStyle R) (Například, pokud je úhel v trojúhelníku rovný) se stranami A, B, C (DisplayStyle A, B, C) Poměr mezi stranami má formulář:

Cos \u2061 (c r) \u003d cos \u2061 (a r) ⋅ cos \u2061 (b r) (DisplayStyle ces vlevo ((frac (c) (c) (r)) vpravo) \u003d ces vlevo ((frac (a) (R)) vpravo) cdot ces vlevo ((frac (b) (r)) vpravo))).

Tato rovnost může být odvozena jako zvláštní případ sférické cosine teorém, který platí pro všechny sférické trojúhelníky:

Cos \u2061 (c r) \u003d cos \u2061 (a r) ⋅ cos \u2061 (b r) + hřích \u2061 (a r) ⋅ hřích \u2061 (b r) ⋅ cos \u2061 γ (DisplayStyle ces vlevo ((frac (c) (r) ) Vpravo) \u003d ces vlevo ((frac (a) (r)) vpravo) cdot ces vlevo ((frac (b) (r)) vpravo) + hřích vlevo (( Frac (a) (r)) vpravo) cdot hřích vlevo ((frac (b) (r)) \\ t. CH \u2061 C \u003d CH \u2061 A ⋅ CH \u2061 B (DisplayStyle operatorname (CH) C \u003d \\ Omístné jméno (CH) A CDOT Osterní jméno (CH) b),

kde CH (DisplayStyle \\ Osterní jméno (CH)) - Hyperbolic Cosin. Tento vzorec je zvláštním případem hyperbolického kosinového větu, který platí pro všechny trojúhelníky:

CH \u2061 C \u003d CH \u2061 A ⋅ CH \u2061 B - SH \u2061 A ⋅ SH \u2061 B ⋅ COS \u2061 γ (DisplayStyle \\ Osterní jméno (CH) C \u003d \\ OmpisName (CH) A CDOT Osterní jméno (CH) B- \\ t (SH) A CDOT OPERALNAME (SH) B CDOT COS GAMMA),

kde γ (DisplayStyle gama) - Úhel, jehož vrchol je naproti straně C (DisplayStyle C).

Pomocí řady Taylor pro hyperbolické cosin ( CH \u2061 x ≈ 1 + x 2/2 (DisplayStyle operatorname (CH) x cca 1 + x ^ (2) / 2)) Lze ukázat, že pokud se hyperbolický trojúhelník klesne (to znamená, kdy A (DisplayStyle A), B (DisplayStyle b) a C (DisplayStyle C) Snaží se o nulu), pak hyperbolické vztahy v obdélníkovém trojúhelníku se blíží poměru klasické věty Pythagore.

aplikace

Vzdálenost ve dvourozměrných obdélníkových systémech

Nejdůležitější využití teorém Pythagora je stanovení vzdálenosti mezi dvěma body v obdélníkovém souřadném systému: vzdálenost S (DisplayStyle S) mezi body se souřadnicemi (A, b) (DisplayStyle (A, B)) a (C, D) (DisplayStyle (C, D)) stejně:

S \u003d (A - C) 2 + (B - D) 2 (DisplayStyle S \u003d (SQRT ((A-C) ^ (2) + (B - D) ^ (2)))).

Pro komplexní čísla poskytuje teorém Pythagorea přirozený vzorec pro nalezení komplexního integrovaného modulu z \u003d x + y i (DisplayStyle z \u003d x + yi) Je rovna délce

Předmět: Věta, reverzní teorém pythagora.

Cíle Lekce: 1) Zvažte větu věty Inverzní Pythagora; jeho použití v procesu řešení problémů; Opravit teorém Pythagora a zlepšit dovednosti k řešení problémů pro jeho použití;

2) Rozvíjet logické myšlení, kreativní hledání, kognitivní zájem;

3) Zvedněte studenty odpovědným postojem k učením, kulturu matematické projevu.

Typ lekce. Poučení asimilace nových znalostí.

Během tříd

І. Organizující čas

ІІ. Aktualizace Znalost

Lekce měbylo bychtěl jsemzačněte s quatrainem.

Ano, cesta poznání není ráda

Ale víme ze školních let,

Hádanky více než imagners

A není zde hledat limit!

Takže v minulosti, lekce, kterou jste se naučili teorém Pythagore. Otázky:

Pythagora teorém je platná, pro která hodnota?

Jaký trojúhelník se nazývá obdélníková?

Formulovat teorém Pythagore.

Jak bude psát Pythagora teorém pro každý trojúhelník?

Jaké trojúhelníky jsou nazývány rovni?

Slovo známky rovnosti trojúhelníků?

A teď strávíme malou nezávislou práci:

Řešení úkolů podle kreseb.

№1

(1 b.) Najít: AV.

№2

(1 b.) Najít: Slunce.

№3

( 2 b.)Najít: AC.

№4

(1 b.)Najít: AC.

№5 Dano: abc.D. kosočtverec

(2 b.) AV \u003d 13 cm

AC \u003d 10 cm

Nalézt vD.

Samostatný číslo 1. Pět

№2. 5

№3. 16

№4. 13

№5. 24

ІІІ. Studie Nový materiál.

Starověcí Egypťané postavili rovné rohy na zemi: Sdíleli rýhy na 12 stejných částech, konce byly spojeny, po kterém lano bylo nataženo tak na Zemi, takže trojúhelník byl vytvořen se stranami 3, 4 a 5 divizí . Úhel trojúhelníku, který ležel proti boku s 5 divizemi, byl rovný.

Můžete vysvětlit správnost tohoto rozsudku?

V důsledku hledání reakce na otázku by studenti měli pochopit, že z matematického hlediska je otázka nastavena: zda je trojúhelník obdélníkový.

Dali jsme problém: Jak, bez měření určete, zda je trojúhelník se specifikovanými stranami obdélníkové. Řešením tohoto problému je účel lekce.

Zapište si lekci tématu.

Teorém. Pokud se součet čtverců obou stran trojúhelníku rovná čtverci třetí strany, pak je takový trojúhelník obdélníkový.

Nezávisle prokázat teorém (kompilovat plán pro důkaz v učebnici).

Z této věty vyplývá, že trojúhelník se stranami 3, 4, 5 je obdélníkový (egyptský).

Obecně platí, že čísla, pro kterou se provádí rovnost , Volejte Pythagora Troika. A trojúhelníky, délky stran, které jsou vyjádřeny vojáky Pythagora (6, 8, 10), - trojúhelníky Pythagory.

Upevnění.

Protože , pak trojúhelník se stranami 12, 13, 5 není obdélníkový.

Protože , pak trojúhelník se stranami 1, 5, 6 je obdélníkový.

№ 430 (A, B, B)

( - není)

Cíle Lekce:

Vzdělávací: Formulovat a dokázat teorii Pythagora a věty, reverzní Pythagoreo teorém. Ukázat jejich historický a praktický význam.

Rozvoj: Rozvíjet pozornost, paměť, logický myšlení studentů, schopnost rozumět, porovnat, vyvodit závěry.

Rostoucí: vzdělávat zájem a lásku k předmětu, přesnost, schopnost poslouchat soudruhy a učitele.

Vybavení: Portrét Pythagora, plakáty s úkoly pro konsolidaci, učebnice "geometrie" 7-9 třídy (i.f. Sharegin).

Plán lekce:

I. Organizační moment - 1 min.

II. Kontrola domácích úkolů - 7 min.

III. Úvodní slovo učitele, historický odkaz - 4-5 min.

IV. Znění a důkaz o větu Pythagore je 7 minut.

V. Znění a důkaz věty, inverzní věty Pythagora - 5 min.

Upevnění nového materiálu:

a) Orální - 5-6 min.
b) psaní - 7-10 minut.

Vii. Domácí úkol - 1 min.

Viii. Sčítání lekce - 3 min.

Během tříd

I. Organizační moment.

II. Zkontrolujte domácí úkoly.

str.7.1, č. 3 (na deskách na hotovém výkresu).

Stav: Výška obdélníkového trojúhelníku rozděluje hypotenuse na segmentech délky 1 a 2. Najděte katety tohoto trojúhelníku.

Bc \u003d a; Ca \u003d b; Ba \u003d c; Bd \u003d a 1; Da \u003d b 1; CD \u003d h c

Další otázka: psát vztahy v obdélníkovém trojúhelníku.

str.7.1, Ne. 5. Vyjměte obdélníkový trojúhelník na tři podobné trojúhelníky.

Vysvětlit.

Asn ~ abc ~ sn

(Upozornění studentů do správnosti záznamu příslušných vrcholů těchto trojúhelníků)

III. Úvodní slovo učitele, historický odkaz.

Trvalá pravda bude, jakmile ji zná slabá osoba!

A teď je Pythagora Theorem pravdivý, stejně jako ve vzdáleném věku.

Nebylo to náhodou, že jsem začal mou lekci ze slov německého spisovatele-inicialistu Shamissa. Naše lekce je dnes věnována teorému Pythagora. Píšeme téma lekce.

Před vámi, portrét velkého pythagorean. Narozen v 576 př.nl. Žil 80 let, zemřel v 496 k naší éře. Známý jako starověký řecký filozof a učitel. Byl synem men archary obchodníka, který ho často vzal na svých výletech, díky kterému měl chlapec zeptat se zeptat a touhou znát nový. Pythagoras je přezdívka, která mu byla dána pro výmluvu ("Pythagoras" znamená "Jsem přesvědčivý projev"). On sám nepsal nic. Všechny jeho myšlenky zaznamenaly jeho učedníky. V důsledku první přednášky, Pythagora získala 2000 studentů, kteří spolu se svými manželkami a dětmi vytvořili obrovskou školu a vytvořili stát nazvaný "Great Řecko", který je založen na zákonech a pravidlech Pythagora, uctívané jako božské Přikázání. Byl to první, kdo zavolal jeho odůvodnění o smyslu života filozofie (Lyubomatriy). Byl nakloněn k mystifikaci a demonstraci v chování. Jednou, Pythagoras skryl podzemí a všechno se děje od matky. Pak, uschl jako kostra, uvedl v montáži lidí, který byl v Aidě, a ukázal úžasné povědomí o pozemských akcích. Pro toto se dotkli obyvatelé ho uznali Bohem. Pythagoras nikdy nevykřikl a byl obecně nedostupný vášeň a vzrušení. To věřilo, že pochází ze semen, nejlepší poměrně s člověkem. Celý život Pythagora je legenda, která přišla k naší době a řekl nám o talentovaném muži starověkého světa.

IV. Znění a důkaz o Pythagoreo teorém.

Formulace Pythagore teorém je vám známa z průběhu algebry. Pamatujte si to.

V obdélníkovém trojúhelníku se čtverec hypotenuse rovná součtu čtverců katet.

Tato teorémová však věděla mnoho let před Pythagora. Po 1500 let před Pywagorem věděli starověké Egypťané, že trojúhelník se stranami 3, 4 a 5 je obdélníkový a použil tento majetek pro stavbu přímých rohů při plánování pozemků a stavebních budov. V nejastlanějších časech pro nás, čínský matematický astronomický esej "ZHIU-BI", napsaný v 600 letech před Pythagora, mimo jiné návrhy týkající se obdélníkového trojúhelníku, obsahuje Pytagora teorém. Dříve, tato věta byla známa hindě. Tak, Pythagoras neotevřeli tuto vlastnost obdélníkového trojúhelníku, pravděpodobně se nejprve podařilo shrnout a dokázat, překládat ji z praxe praktikování vědy.

S hlubokým starověku matematiky se nachází stále více důkazů o Pythagoreo teorém. Jsou známy více než jeden a půl set. Pamatujte si algebraický důkaz o Pythagora teorém, známý nám z průběhu algebry. ("Matematika. Algebra. Funkce. Analýza dat" G.V. Dorofeev, M., "DROP", 2000 g).

Navrhněte studentům, aby si vzpomněli na výkres a napište ho na tabuli.

(A + B) 2 \u003d 4 · 1/2 A * B + C 2 B A

a 2 + 2A * B + B 2 \u003d 2A * B + C 2

a 2 + B 2 \u003d C 2 A A B

Starověké indiáni, kteří vlastní toto uvažování, obvykle nebyly zaznamenány, a doprovázeli výkres pouze jedním slovem: "vzhled".

Zvažte v moderní prezentaci jeden z důkazů patřících do Pythagory. Na začátku lekce jsme si vzpomněli na teorém o poměrech v obdélníkovém trojúhelníku:

h 2 \u003d A 1 * B 1 A 2 \u003d A 1 * s B 2 \u003d B 1 *

Stěhování nedávných nedávných dvou rovností:

b 2 + A 2 \u003d B 1 * C + A 1 * C \u003d (B 1 + A 1) * C1 \u003d C * C \u003d C 2; A 2 + B 2 \u003d C 2

Navzdory zdánlivému jednoduchosti tohoto důkazu je daleko od nejjednodušších. Koneckonců, pro to bylo nutné strávit výšku v obdélníkovém trojúhelníku a zvážit takové trojúhelníky. Zapište si prosím, to je důkaz v poznámkovém bloku.

V. Znění a důkaz věty, Pythagorean Reverse Teorem.

A jakou teorém se k tomu nazývá? (... pokud je podmínka a závěru změna místa.)

Zkusme nyní formulovat větu, reverzní Pythagoreo teorém.

Pokud se trojúhelník se stranami A, B a C provádí s rovností C 2 \u003d A 2 + B2, pak je tento trojúhelník obdélníkový a přímý úhel je proti straně.

(Důkaz o reverzní věty na plakátu)

ABC, Sun \u003d A,

AC \u003d B, VA \u003d S.

a 2 + B 2 \u003d C 2

Dokázat

ABC - Obdélníková,

Důkaz:

Zvažte obdélníkový trojúhelník A 1 v 1 C1,

kde od 1 \u003d 90 ° a 1 s 1 \u003d a a 1 s 1 \u003d b.

Pak podle věty PyTagora v 1 A 1 2 \u003d A 2 + B 2 \u003d C2.

To znamená, že v 1 A 1 \u003d C A 1 v 1 C 1 \u003d ABC pro tři strany ABC - obdélníkové

C \u003d 90 °, která byla nutná k prokázání.

Vi. Upevnění studovaného materiálu (orálně).

1. Na plakátu s hotovými výkresy.

Obr.1: Najděte reklamu, pokud CD \u003d 8, VA \u003d 30 °.

Obr.2: Vyhledejte CD, pokud jsme \u003d 5, Waway \u003d 45 °.

Obr.3: Najít VD Pokud Sun \u003d 17, AD \u003d 16.

2. Je trojúhelník obdélníkový, pokud jsou jeho strany vyjádřeny podle čísel:


5 2 + 6 2? 7 2 (ne)	9 2 + 12 2 \u003d 15 2 (ano)	15 2 + 20 2 \u003d 25 2 (ano)

Jaké jsou tři nejlepší čísla v posledních dvou případech? (Pythagoras).

Vi. Řešení úkolů (psaní).

№ 9. Strana rovnostranného trojúhelníku se rovná A. Najděte výšku tohoto trojúhelníku, poloměr popsaného kruhu, poloměrem napsaného kruhu.

№ 14. Prokažte, že v obdélníkovém trojúhelníku se poloměr popsaného obvodu rovná mediánu prováděného k hypotenuse, a je roven polovině hypotenuse.

Vii. Domácí práce.

Odstavec 7.1, str. 175-177, rozebrat věta 7.4 (generalizovaná Pythagora teorém), č. 1 (ústně), č. 2, č. 4.

Viii. Výsledky lekce.

Jaké nové jste dnes věděli v lekci? ............

Pythagoras byl především filozofem. Teď chci číst několik jeho kontrol, relevantních a v naší době pro nás s vámi.

Nezvedejte prach na životní cestě.
Dělej jen, že vás později nenarušuje a nehodí pokání.
Nedělejte to, co nevíte, ale naučte se, co byste měli vědět, a pak povedete klidný život.
Nezavírejte oči, když chci spát, nezvedejte všechny své akce poslední den.
Vezměte si žít jen a bez luxusu.