Čísla nod a nok - největší společný dělitel a nejmenší společný násobek několika čísel. Nod a nok ze tří nebo více čísel Příklady definice nod

Definice.Říká se největší přirozené číslo, kterým jsou čísla a a b dělitelná beze zbytku největší společný dělitel (gcd) tato čísla.

Pojďme najít největšího společného dělitele čísel 24 a 35.
Dělitelé 24 budou čísla 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 a dělitelé 35 budou čísla 1, 5, 7, 35.
Vidíme, že čísla 24 a 35 mají pouze jednoho společného dělitele – číslo 1. Taková čísla se nazývají coprime.

Definice. Volají se přirozená čísla coprime pokud jejich největší společný dělitel (gcd) je 1.

Největší společný dělitel (GCD) lze nalézt bez vypsání všech dělitelů daných čísel.

Rozložením čísel 48 a 36 dostaneme:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Z faktorů zahrnutých do rozšíření prvního z těchto čísel vyškrtneme ty, které nejsou zahrnuty do rozšíření druhého čísla (tj. dvě dvojky).
Zůstávají faktory 2 * 2 * 3. Jejich součin je 12. Toto číslo je největším společným dělitelem čísel 48 a 36. Je také nalezen největší společný dělitel tří a více čísel.

Najít největší společný dělitel

2) z faktorů zahrnutých do rozšíření jednoho z těchto čísel škrtněte ty, které nejsou zahrnuty do rozšíření jiných čísel;
3) najděte součin zbývajících faktorů.

Pokud jsou všechna zadaná čísla dělitelná jedním z nich, pak toto číslo je největší společný dělitel daná čísla.
Například největší společný dělitel 15, 45, 75 a 180 je 15, protože dělí všechna ostatní čísla: 45, 75 a 180.

Nejmenší společný násobek (LCM)

Definice. Nejmenší společný násobek (LCM) přirozená čísla a a b je nejmenší přirozené číslo, které je násobkem obou a a b. Nejmenší společný násobek (LCM) čísel 75 a 60 lze najít bez vypisování násobků těchto čísel za sebou. Za tímto účelem rozložíme 75 a 60 na jednoduché faktory: 75 \u003d 3 * 5 * 5 a 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Vypíšeme faktory zahrnuté v rozšíření prvního z těchto čísel a doplníme k nim chybějící faktory 2 a 2 z rozšíření druhého čísla (to znamená, že faktory spojíme).
Dostaneme pět faktorů 2 * 2 * 3 * 5 * 5, jejichž součin je 300. Toto číslo je nejmenší společný násobek čísel 75 a 60.

Najděte také nejmenší společný násobek tří nebo více čísel.

Na najít nejmenší společný násobek několik přirozených čísel, potřebujete:
1) rozložit je na prvočinitele;
2) vypište faktory zahrnuté v rozšíření jednoho z čísel;
3) doplňte k nim chybějící faktory z rozšíření zbývajících čísel;
4) najděte součin výsledných faktorů.

Všimněte si, že pokud je jedno z těchto čísel dělitelné všemi ostatními čísly, pak je toto číslo nejmenším společným násobkem těchto čísel.
Například nejmenší společný násobek 12, 15, 20 a 60 by byl 60, protože je dělitelný všemi danými čísly.

Pythagoras (VI. století před naším letopočtem) a jeho studenti studovali problematiku dělitelnosti čísel. Číslo rovné součtu všech jeho dělitelů (bez čísla samotného), nazývali dokonalé číslo. Například čísla 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) jsou dokonalá. Další dokonalá čísla jsou 496, 8128, 33 550 336. Pythagorejci znali pouze první tři dokonalá čísla. Čtvrtý - 8128 - se stal známým v 1. století. n. E. Pátý - 33 550 336 - byl nalezen v 15. století. V roce 1983 již bylo známo 27 dokonalých čísel. Ale až dosud vědci nevědí, zda existují lichá dokonalá čísla, zda existuje největší dokonalé číslo.
Zájem starověkých matematiků o prvočísla je způsoben tím, že jakékoli číslo je buď prvočíslo, nebo je lze reprezentovat jako součin prvočísel, to znamená, že prvočísla jsou jako cihly, ze kterých je postaven zbytek přirozených čísel.
Pravděpodobně jste si všimli, že prvočísla v řadě přirozených čísel se vyskytují nerovnoměrně – v některých částech řady jich je více, v jiných méně. Čím dále se ale po číselné řadě pohybujeme, tím jsou prvočísla vzácnější. Nabízí se otázka: existuje poslední (největší) prvočíslo? Starořecký matematik Euclid (3. století př. n. l.) ve své knize „Počátky“, která byla po dva tisíce let hlavní učebnicí matematiky, dokázal, že prvočísel je nekonečně mnoho, tedy za každým prvočíslem je sudá větší prvočíslo.
K nalezení prvočísel přišel s takovou metodou jiný řecký matematik téže doby, Eratosthenes. Zapsal všechna čísla od 1 do nějakého čísla a pak přeškrtl jednotku, která není ani prvočíslo, ani složené číslo, pak proškrtal přes jedničku všechna čísla po 2 (čísla, která jsou násobky 2, tedy 4, 6, 8 atd.). První zbývající číslo po 2 bylo 3. Poté po dvou byla všechna čísla po 3 přeškrtnuta (čísla, která jsou násobky 3, tedy 6, 9, 12 atd.). nakonec zůstala nepřeškrtnutá jen prvočísla.

Chcete-li najít GCD (největší společný dělitel) dvou čísel, potřebujete:

2. Najděte (podtrhněte) všechny společné prvočinitele v získaných expanzích.

3. Najděte součin společných prvočinitelů.

Chcete-li najít LCM (nejmenší společný násobek) dvou čísel, potřebujete:

1. Rozložte tato čísla na prvočinitele.

2. Doplňte rozšíření jednoho z nich o ty faktory rozšíření druhého čísla, které nejsou v rozšíření prvního.

3. Vypočítejte součin získaných faktorů.

Hledání GCD

GCD je největší společný dělitel.

Chcete-li najít největšího společného dělitele několika čísel:

určit faktory společné oběma číslům;
najít součin společných faktorů.

Příklad nalezení GCD:

Najděte GCD čísel 315 a 245.

315 = 5 * 3 * 3 * 7;

245 = 5 * 7 * 7.

2. Vypište součinitele společné oběma číslům:

3. Najděte součin společných faktorů:

gcd(315; 245) = 5*7 = 35.

Odpověď: GCD(315; 245) = 35.

Hledání NOC

LCM je nejmenší společný násobek.

Chcete-li najít nejmenší společný násobek několika čísel:

rozložit čísla na prvočinitele;
vypište faktory zahrnuté v rozšíření jednoho z čísel;
doplňte k nim chybějící faktory z rozšíření druhého čísla;
najít součin výsledných faktorů.

Příklad nalezení NOC:

Najděte LCM čísel 236 a 328:

1. Čísla rozložíme na prvočinitele:

236 = 2 * 2 * 59;

328 = 2 * 2 * 2 * 41.

2. Zapište faktory zahrnuté v rozšíření jednoho z čísel a přidejte k nim chybějící faktory z rozšíření druhého čísla:

2; 2; 59; 2; 41.

3. Najděte součin výsledných faktorů:

LCM(236; 328) = 2*2*59*2*41 = 19352.

Odpověď: LCM(236; 328) = 19352.

Největší společný dělitel je dalším ukazatelem, který usnadňuje práci se zlomky. Velmi často se v důsledku výpočtů získávají zlomky s velmi velkými hodnotami čitatele a jmenovatele. Taková čísla je možné postupně snižovat, ale je to extrémně dlouhé, takže je snazší okamžitě najít GCD a snížit ho. Pojďme se na téma podívat blíže.

Co je NOD?

Největší společný dělitel (GCD) řady čísel je největší číslo, kterým lze každé z čísel v řadě beze zbytku dělit.

Jak najít NOD?

Pro nalezení GCD je nutné rozložit každé z čísel na prvočinitele a zvýraznit společnou část.

Na to nepřišli se speciálním vzorcem, ale existuje výpočetní algoritmus.

Uveďme příklad nalezení největšího společného dělitele dvou přirozených čísel: 540 a 252. Rozložme 640 na prvočinitele. Posloupnost akcí je následující:

Číslo dělíme nejmenším možným prvočíslem. To znamená, že pokud lze číslo vydělit 2, 3 nebo 5, musíte nejprve vydělit 5. Jen abyste se nespletli.
Výsledný výsledek se vydělí nejmenším možným prvočíslem.
Opakujeme dělení každého získaného výsledku, dokud nedostaneme prvočíslo.

Nyní provedeme stejný postup v praxi.

540: 2=270
270:2=135
135: 3 =45
45: 3=15
15: 5 = 3

Výsledek zapišme jako rovnici 540=2*2*3*3*3*5. Abyste mohli výsledek zapsat, musíte vynásobit poslední výsledné číslo všemi děliteli.

Udělejme totéž s číslem 252:

252: 2=126
126: 2=63
63: 3=21
21: 3 = 7

Výsledek si zapišme: 252=2*2*3*3*7.

Každé rozšíření má stejná čísla. Pojďme je najít, jsou to dvě čísla 2 a dvě čísla 3. Liší se pouze 7 a 3 * 5.

Abyste našli GCD, musíte vynásobit společné faktory. To znamená, že v produktu budou dvě dvojky a dvě trojky.

GCD=2*2*3*3=36

Jak se dá použít?

Úkol: snížit zlomek $$252\over540$$.

GCD pro tato dvě čísla jsme již našli, nyní jednoduše použijeme již vypočítanou hodnotu.

Zmenšíme čitatel a jmenovatel zlomku o 36 a dostaneme odpověď.

$$(252\over540) =(7\over15)$$ - pro rychlé zmenšení se stačí podívat na rozšíření čísel.

Pokud 540=2*2*3*3*3*5 a GCD=36=2*2*3*3, pak 540 = 36*3*5. A když vydělíme 540 36, dostaneme 3*5=15.

Bez GCD bychom museli psát zkratky do jednoho dlouhého řádku. Navíc existují případy, kdy není jasné, zda lze zlomek vůbec snížit. Pro takové situace v matematice přišli s rozkladem čísel na prvočinitele a GCD.

co jsme se naučili?

Dozvěděli jsme se, jaký je největší společný dělitel dvojice čísel, přišli jsme na to, jak využít indikátor v praxi, vyřešili jsme problém hledání GCD a využití GCD ke zmenšení zlomků. Uvědomili jsme si, že s použitím GCD je snazší a rychlejší redukovat objemné zlomky nalezením GCD pro čitatel a jmenovatel.

Tématický kvíz

Hodnocení článku

Průměrné hodnocení: 4.3. Celkem obdržených hodnocení: 204.

Jedním z úkolů, který dělá problém moderním školákům, kteří jsou zvyklí používat kalkulačky zabudované do gadgetů na místě i mimo ně, je nalezení největšího společného dělitele (GCD) dvou a více čísel.

Je nemožné vyřešit jakýkoli matematický problém, pokud se neví, na co se vlastně ptá. K tomu potřebujete vědět, co ten či onen výraz znamená. používané v matematice.

Obecné pojmy a definice

Musím vědět:

Pokud lze určitým číslem spočítat různé předměty, například devět sloupů, šestnáct domů, pak je to přirozené. Nejmenší z nich bude jeden.
Když je přirozené číslo dělitelné jiným přirozeným číslem, říká se, že menší číslo je dělitelem toho většího.
Pokud jsou dvě nebo více různých čísel dělitelná určitým číslem beze zbytku, pak říkají, že to druhé bude jejich společný dělitel (OD).
Největší z OD se nazývá největší společný dělitel (GCD).
V takovém případě, kdy má číslo pouze dva přirozené dělitele (samo a jednoho), se nazývá prvočíslo. Nejmenší z nich je dvojka, navíc je to jediné sudé číslo v jejich řadě.
Pokud mají dvě čísla maximálního společného dělitele jedna, pak budou koprimá.
Číslo s více než dvěma děliteli se nazývá složené číslo.
Proces, kdy jsou nalezeny všechny prvočinitele, které po vzájemném vynásobení dají v matematice počáteční hodnotu v součinu, se nazývá rozklad na prvočinitele. Kromě toho se stejné faktory v expanzi mohou objevit více než jednou.

V matematice jsou přijímány následující zápisy:

Dělitelé D (45) = (1; 3; 5; 9; 45).
OD (8;18) = (1;2).
GCD (8;18) = 2.

Různé způsoby, jak najít GCD

Nejjednodušší otázka na odpověď jak najít NOD když menší číslo je dělitelem většího. V tomto případě to bude největší společný dělitel.

Například GCD (15;45) = 15, GCD (48;24) = 24.

Ale takové případy v matematice jsou velmi vzácné, proto se pro nalezení GCD používají složitější techniky, i když se stále důrazně doporučuje zkontrolovat tuto možnost před zahájením práce.

Metoda rozkladu na prvočinitele

Pokud potřebujete najít GCD dvou nebo více různých čísel, stačí každý z nich rozložit na jednoduché faktory a poté provést proces vynásobení těch z nich, které jsou v každém z čísel.

Příklad 1

Zvažte, jak najít GCD 36 a 90:

36 = 1*2*2*3*3;
90 = 1*2*3*3*5;

GCD (36;90) = 1 x 2 x 3 x 3 = 18.

Nyní se podívejme, jak najít totéž v případě tří čísel, vezměte například 54; 162; 42.

Už víme, jak rozložit 36, pojďme se vypořádat se zbytkem:

162 = 1*2*3*3*3*3;
42 = 1*2*3*7;

GCD (36;162;42) = 1*2*3 = 6.

Je třeba poznamenat, že zápis jednotky do rozkladu je zcela nepovinný.

Zvažte způsob jak snadné je faktorizovat, k tomu vlevo napíšeme číslo, které potřebujeme, a vpravo napíšeme jednoduché dělitele.

Sloupce lze oddělit buď dělením, nebo jednoduchou svislou čárou.

36 / 2 budeme pokračovat v procesu dělení;
18/2 dále;
9/3 a znovu;
3/3 je nyní zcela elementární;
1 - výsledek je připraven.

Požadovaných 36 \u003d 2 * 2 * 3 * 3.

Euklidovský způsob

Tato možnost je lidstvu známa již od dob starověké řecké civilizace, je mnohem jednodušší a je připisována velkému matematikovi Euklidovi, ačkoli dříve byly používány velmi podobné algoritmy. Tato metoda využívá následující algoritmus, větší číslo se zbytkem vydělíme menším. Poté našeho dělitele vydělíme zbytkem a pokračujeme takto v kruhu, dokud není dělení dokončeno. Poslední hodnota se ukáže jako požadovaný největší společný dělitel.

Uveďme příklad použití tohoto algoritmu:

Zkusme zjistit, které GCD pro 816 a 252:

816 / 252 = 3 a zbytek je 60. Nyní vydělíme 252 60;
252 / 60 = 4 zbytek tentokrát bude 12. Pokračujme v našem kruhovém procesu, vydělme šedesát dvanácti;
60 / 12 = 5. Vzhledem k tomu, že jsme tentokrát neobdrželi žádný zbytek, máme výsledek hotový, dvanáct bude hodnota, kterou hledáme.

Takže na konci našeho procesu dostali jsme NOD (816;252) = 12.

Akce, pokud je nutné určit GCD, pokud jsou zadány více než dvě hodnoty

Již jsme přišli na to, co dělat v případě, že existují dvě různá čísla, nyní se naučíme, jak jednat, pokud nějaká existují. 3 nebo více.

I přes zdánlivou složitost nám tento úkol nebude dělat žádné problémy. Nyní si vybereme libovolná dvě čísla a určíme hodnotu, kterou pro ně hledáme. Dalším krokem je nalezení GCD pro získaný výsledek a třetí z daných hodnot. Pak opět jednáme podle nám již známého principu pro čtvrtou kvintu a tak dále.

Závěr

Takže při zdánlivě velké složitosti úkolu, který před námi stojí, je ve skutečnosti všechno jednoduché, hlavní věcí je umět provést proces dělení bezchybně a držte se kteréhokoli ze dvou výše popsaných algoritmů.

Ačkoli jsou obě metody docela přijatelné, na komplexní škole první metoda se používá mnohem častěji.. Je to dáno tím, že rozklad na prvočinitele bude nutný při studiu dalšího vzdělávacího tématu – definice největšího společného násobku (LCM). Přesto stojí za zmínku znovu - použití Euklidova algoritmu nelze v žádném případě považovat za chybné.

Video

Pomocí videa se můžete naučit, jak najít největšího společného dělitele.

Zvažme dvě hlavní metody pro nalezení GCD dvěma hlavními způsoby: pomocí Euklidova algoritmu a faktoringu. Aplikujme oba způsoby pro dvě, tři a více čísel.

Euklidův algoritmus pro nalezení GCD

Euklidův algoritmus usnadňuje výpočet největšího společného dělitele dvou kladných čísel. Formulace a důkaz Euklidova algoritmu jsme uvedli v sekci Největší společný dělitel: Determinant, Příklady.

Podstatou algoritmu je důsledně provádět dělení se zbytkem, během kterého se získá řada rovností tvaru:

a = bqi + r1, 0< r 1 < b b = r 1 · q 2 + r 2 , 0 < r 2 < r 1 r 1 = r 2 · q 3 + r 3 , 0 < r 3 < r 2 r 2 = r 3 · q 4 + r 4 , 0 < r 4 < r 3 ⋮ r k - 2 = r k - 1 · q k + r k , 0 < r k < r k - 1 r k - 1 = r k · q k + 1

Můžeme dělení dokončit, když rk + 1 = 0, kde r k = gcd (a, b).

Příklad 1

64 A 48 .

Řešení

Zaveďme zápis: a = 64 , b = 48 .

Na základě Euklidova algoritmu provedeme dělení 64 na 48 .

Dostaneme 1 a zbytek 16. Ukazuje se, že q 1 = 1, r 1 = 16.

Druhým krokem je rozdělení 48 do 16, dostaneme 3. To znamená q2 = 3, A r2 = 0.Číslo 16 je tedy největším společným dělitelem pro čísla z podmínky.

Odpovědět: gcd(64, 48) = 16.

Příklad 2

Co je GCD čísel 111 A 432 ?

Řešení

Rozdělit 432 na 111 . Podle Euklidova algoritmu dostaneme řetězec rovností 432 = 111 3 + 99 , 111 = 99 1 + 12 , 99 = 12 8 + 3 , 12 = 3 4 .

Tedy největší společný dělitel čísel 111 A 432 je 3.

Odpovědět: gcd(111,432) = 3.

Příklad 3

Najděte největšího společného dělitele 661 a 113 .

Řešení

Postupně rozdělíme čísla a získáme GCD (661 , 113) = 1 . To znamená, že 661 a 113 jsou relativně prvočísla. Mohli bychom to zjistit dříve, než jsme začali s výpočty, kdybychom se podívali na tabulku prvočísel.

Odpovědět: gcd(661, 113) = 1.

Nalezení GCD rozdělením čísel na prvočinitele

Abychom našli největšího společného dělitele dvou čísel rozkladem, je nutné vynásobit všechny prvočinitele, které získáme rozkladem těchto dvou čísel a jsou jim společné.

Příklad 4

Pokud rozložíme čísla 220 a 600 na prvočinitele, dostaneme dva součiny: 220 = 2 2 5 11 A 600 = 2 2 2 3 5 5. Společné faktory v těchto dvou produktech budou 2, 2 a 5. To znamená, že NOD (220, 600) = 2 2 5 = 20.

Příklad 5

Najděte největšího společného dělitele čísel 72 A 96 .

Řešení

Najděte všechny prvočinitele čísel 72 A 96 :

72 36 18 9 3 1 2 2 2 3 3

96 48 24 12 6 3 1 2 2 2 2 2 3

Společné prvočísla pro dvě čísla: 2 , 2 , 2 a 3 . To znamená, že NOD (72, 96) = 2 2 2 3 = 24.

Odpovědět: gcd(72, 96) = 24.

Pravidlo pro nalezení největšího společného dělitele dvou čísel vychází z vlastností největšího společného dělitele, podle kterého gcd (m a 1, m b 1) = m gcd (a 1, b 1) , kde m je libovolné kladné celé číslo. .

Nalezení GCD tří nebo více čísel

Bez ohledu na počet čísel, pro která potřebujeme najít GCD, budeme postupovat podle stejného algoritmu, který spočívá v nalezení GCD dvou čísel za sebou. Tento algoritmus je založen na aplikaci následující věty: GCD několika čísel a 1, a 2, …, a k se rovná číslu nevím, který se nachází v sekvenčním výpočtu gcd (ai, a2) = d2, GCD (d2, a3) = d3, GCD (d3, a4) = d4, …, GCD (dk-i, ak) = dk.

Příklad 6

Najděte největšího společného dělitele čtyř čísel 78 , 294 , 570 a 36 .

Řešení

Zavedeme zápis: a 1 = 78, a 2 = 294, a 3 = 570, a 4 = 36.

Začněme tím, že najdeme GCD čísel 78 a 294: d2= GCD (78 , 294) = 6 .

Nyní začneme hledat d 3 \u003d GCD (d 2, a 3) \u003d GCD (6, 570) . Podle Euklidova algoritmu 570 = 695. Znamená to, že d3 = GCD (6 , 570) = 6 .

Najděte d 4 \u003d GCD (d 3, a 4) \u003d GCD (6, 36) . 36 je dělitelné 6 beze zbytku. To nám umožňuje získat d4= GCD (6 , 36) = 6 .

d4 = 6, tedy GCD (78 , 294 , 570 , 36) = 6 .

Odpovědět:

A nyní se podívejme na další způsob výpočtu GCD pro tato a další čísla. Gcd můžeme najít vynásobením všech běžných prvočinitelů čísel.

Příklad 7

Vypočítejte gcd čísel 78 , 294 , 570 a 36 .

Řešení

Rozložme tato čísla na prvočinitele: 78 = 2 3 13 , 294 = 2 3 7 7 , 570 = 2 3 5 19 , 36 = 2 2 3 3 .

Pro všechna čtyři čísla budou společnými prvočísly čísla 2 a 3.

Ukazuje se, že NOD (78, 294, 570, 36) = 2 3 = 6.

Odpovědět: gcd(78, 294, 570, 36) = 6.

Nalezení gcd záporných čísel

Pokud se musíme vypořádat se zápornými čísly, pak můžeme použít moduly těchto čísel k nalezení největšího společného dělitele. Můžeme to udělat, když známe vlastnost čísel s opačnými znaménky: čísla n A -n mají stejné dělitele.

Příklad 8

Najděte gcd záporných celých čísel − 231 A − 140 .

Řešení

Pro provedení výpočtů si vezměme moduly čísel uvedených v podmínce. Budou to čísla 231 a 140. Řekněme to stručně: GCD (− 231 , − 140) = GCD (231, 140). Nyní aplikujme Euklidův algoritmus k nalezení prvočinitelů dvou čísel: 231 = 140 1 + 91 ; 140 = 91 1 + 49; 91 = 49 1 + 42; 49 = 42 1 + 7 a 42 = 7 6. Dostaneme, že gcd (231, 140) = 7 .

A protože NOD (− 231 , − 140) = GCD (231 , 140) , pak gcd čísel − 231 A − 140 rovná se 7 .

Odpovědět: gcd (− 231 , − 140) = 7.

Příklad 9

Určete gcd tří čísel - 585, 81 a − 189 .

Řešení

Nahraďte záporná čísla ve výše uvedeném seznamu jejich absolutními hodnotami, dostaneme GCD (− 585 , 81 , − 189) = GCD (585 , 81 , 189) . Poté všechna daná čísla rozložíme na prvočinitele: 585 = 3 3 5 13, 81 = 3 3 3 3 a 189 = 3 3 3 7. Prvočísla 3 a 3 jsou společná pro všechna tři čísla. Ukázalo se, že gcd (585, 81, 189) = gcd (- 585, 81, - 189) = 9.

Odpovědět: GCD (− 585 , 81 , − 189) = 9 .

Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter