Sledujte, co je "úhel" v jiných slovnících. Rohy s vyhřívanými stranami

Tento materiál je věnován takovému pojmu jako úhel mezi dvěma protínajícími se rovnými. V prvním místě vysvětlíme, co je, a ukazují to na ilustrací. Pak budeme analyzovat, jak lze sinus nalézt, kosine tohoto úhlu a samotného úhlu (samostatně zvážit případy s rovinou a trojrozměrným prostorem), dáváme potřebné vzorce a zobrazujeme příklady na příkladech, jak přesně oni v praxi.

Abychom pochopili, co je úhel tvořen křižovatkou dvou přímých, budeme muset vyvolat stanovení úhlu, kolmosti a průsečíků.

Definice 1.

Voláme dva rovné protínající se, pokud mají jeden společný bod. Tento bod se nazývá průsečík dvou přímých linek.

Každý přímý je oddělen bodem průsečíku na paprsky. Oba přímé zároveň tvoří 4 rohy, z nichž dvě jsou vertikální a dvě jsou sousedící. Pokud známe míru jednoho z nich, můžeme identifikovat další zbývající.

Předpokládejme, že víme, že jeden z rohů se rovná α. V tomto případě bude úhel, který je vertikální ve vztahu k ní také roven α. Chcete-li najít zbývající úhly, musíme vypočítat rozdíl mezi 180 ° - α. Pokud se α rovná 90 stupňům, pak budou všechny úhly rovné. Průchody v pravém rohu linky se nazývá kolmo (individuální článek je věnován konceptu kolmosti).

Podívejte se na výkres:

Obraťme se na formulaci základní definice.

Definice 2.

Úhel tvořený dvěma protínající se rovně je míra menších 4-rohů, které tvoří dva z těchto přímých.

Z definice je nutné dosáhnout důležitého závěru: velikost úhlu v tomto případě bude vyjádřena jakýmkoliv reálným číslem v intervalu (0, 90]. Pokud je přímý kolmý, pak úhel mezi nimi bude roven 90 Stupně.

Schopnost najít míru úhlu mezi dvěma protínající se přímým je užitečná pro řešení mnoha praktických úkolů. Metoda řešení může být vybrána z několika možností.

Pro začátek můžeme mít geometrické metody. Pokud víme něco o dalších rohách, pak je můžete spojit s úhlem, který potřebujeme používat vlastnosti stejných nebo podobných tvarů. Například, pokud známe stranu trojúhelníku a musíte vypočítat úhel mezi přímým přímým, na kterém jsou tyto strany umístěny, pak pro řešení je vhodná kosinická teorém. Pokud máme obdélníkový trojúhelník, pak pro výpočty používáme také znalosti o Sinus, Cosine a tangent.

Metoda souřadnic je také velmi výhodná pro řešení problémů tohoto typu. Vysvětlíme, jak jej správně používat.

Máme obdélníkový (dekartérní) souřadný systém o x y, ve kterém jsou uvedeny dvě přímky. Označují je s písmeny A a b. Direct s tím lze popsat pomocí jakýchkoliv rovnic. Zdrojové přímé linie mají průsečík M. Jak určit požadovaný úhel (označeno α) mezi těmito rovnými?

Začněme se zněním základního principu hledání úhlu za stanovených podmínek.

Víme, že s konceptem přímky, takové pojmy jako vodítko a normální vektor jsou úzce připojeny. Pokud máme rovnici nějakému rovně, můžete si z něj vzít souřadnice těchto vektorů. Můžeme to udělat okamžitě pro dva protínající se přímky.

Úhel tvořený dvěma protínajícími se rovnými, lze nalézt pomocí:

• úhel mezi vodicími vektory;
• úhel mezi normálními vektory;
• Úhel mezi normálním vektorem je jeden přímý a e-vodící vektor.

Nyní zvažte každý způsob zvlášť.

1. Předpokládejme, že máme rovnou A s vodicím vektoru A → \u003d (A X, Y) a rovnou B s vodicí vektoru B → (B X, B Y). Nyní odložit dva vektory a → a b → od průsečíku. Poté uvidíme, že budou nacházejí každý na jejich rovině. Pak máme čtyři možnosti pro jejich vzájemné místo. Viz obrázek:

Pokud úhel mezi dvěma vektory není hloupý, pak to bude úhel, kterou musíme jít mezi protínající se rovnou A a b. Pokud je to hloupé, pak bude požadovaný úhel roven rohu sousedícím s úhlem A →, B → ^. Tak, α \u003d a →, b → ^ Pokud A →, B → ^ ≤ 90 ° a α \u003d 180 ° - A →, B → ^, pokud A →, B → ^\u003e 90 °.

Na základě skutečnosti, že kosinys stejných úhlů jsou stejné, můžeme přepsat výslednou rovnost: cos α \u003d cos a →, b → ^, pokud a →, b → ^ ≤ 90 °; Cos α \u003d cos 180 ° - A →, B → ^ \u003d - COS A →, B → ^, pokud A →, B → ^\u003e 90 °.

Ve druhém případě byly použity vzorce. Takto,

cos α cos a →, b → ^, cos a →, b → ^ ≥ 0 - cos a →, b → ^, cos a →, b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Píšeme poslední vzorec se slovy:

Definice 3.

Kosinový úhel tvořený dvěma protínající se rovnou, bude roven modulu kosinu úhlu mezi svými vodicími vektory.

Obecný vzhled kosinového vzorce úhlu mezi dvěma vektory A → \u003d (A X, A Y) a B → \u003d (B X, B Y) vypadá takto:

cos a → →, b → ^ \u003d a →, b → ^ a → · b → \u003d A x · b x + A y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2

Z toho můžeme odvodit kosinový vzorec úhlu mezi dvěma specifikovanými přímými:

cos α \u003d A x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 \u003d A x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2

Pak samotný úhel lze nalézt na následujícím vzorci:

α \u003d a r c cos a x · b x + y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2

Zde A → \u003d (A X, A Y) a B → \u003d (B X, B Y) jsou vodicí vektory specifikované přímé.

Uveďte příklad řešení problému.

Příklad 1.

V obdélníkovém souřadném systému v rovině jsou dány dva protínající se přímky A a B. Mohou být popsány parametrickými rovnicemi x \u003d 1 + 4 · λ y \u003d 2 + λ λ ∈ r a x 5 \u003d y - 6 - 3. Vypočítejte úhel mezi těmito rovnými.

Rozhodnutí

V našem stavu je parametrická rovnice, to znamená, že pro toto rovné můžeme okamžitě napsat souřadnice vodícího vektoru. Pro to musíme vzít hodnoty koeficientů, když parametr, tj. Direct X \u003d 1 + 4 · λ Y \u003d 2 + λ λ λ R bude mít vodicí vector a → \u003d (4, 1).

Druhý přímý je popsán pomocí kanonické rovnice x 5 \u003d Y - 6 - 3. Zde můžeme vzít souřadnice z denominátorů. Tento přímý má tedy vodicí vektoru b → \u003d (5, - 3).

Dále přejděte přímo k nalezení úhlu. Za tímto účelem jednoduše nahrazujeme dostupné souřadnice dvou vektorů ve výše uvedené formorm α \u003d a r c cos a x · b x + y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2. Dostaneme následující:

α \u003d a r c cos 4 · 5 + 1 · (- 3) 4 2 + 1 2 · 5 2 + (- 3) 2 \u003d a r c cos 17 17 · 34 \u003d a r c cos 1 2 \u003d 45 °

Odpovědět: Data Direct Forma Úhel 45 stupňů.

Takový úkol můžeme vyřešit najít úhel mezi normálními vektory. Pokud máme rovnou A s normálním Na → \u003d (NAX, NAX) vektor a rovnou B s normálním NB → \u003d (NBX, NBLY) vektor, pak úhel mezi nimi bude roven rohu mezi Na → a Nb → Buď roh, který bude sousedí s Na →, Nb → ^. Tato metoda je zobrazena na obrázku:

Vzorce pro výpočet kosinu úhlu mezi protínající se rovnou a většinou tohoto úhlu pomocí souřadnic normálních vektorů vypadají takto:

cos α \u003d cos na →, nb → ^ \u003d n и x · nbx + nay + nbynax 2 + nby 2 · nbx 2 + nby 2 α \u003d arc cos nax · nbx + nay + nbynax 2 + nay 2 · nbx 2 + nby 2.

Zde n a → a n b → označují normální vektory dvou souborů přímo.

Příklad 2.

V obdélníkovém souřadném systému jsou uvedeny dvě přímé linie za použití rovnic 3 x + 5 Y - 30 \u003d 0 a X + 4 Y - 17 \u003d 0. Najděte sinus, cosinový úhel mezi nimi a velikostí tohoto rohu sám.

Rozhodnutí

Zdrojové přímé linie jsou uvedeny pomocí normálních rovnic přímého tvaru A X + B Y + C \u003d 0. Normální vektor označuje n → \u003d (a, b). Najdeme souřadnice prvního normálního vektoru pro jeden přímý a napsat je: n a → \u003d (3, 5). Pro druhý přímý X + 4 Y - 17 \u003d 0 bude normální vektor souřadnice n b → \u003d (1, 4). Nyní přidejte získané hodnoty do vzorce a vypočte výsledek:

cos α \u003d cos n a →, n b → ^ \u003d 3 · 1 + 5 · 4 3 2 + 5 2 · 1 2 + 4 2 \u003d 23 34 34 · 17 \u003d 23 2 34

Pokud jsme známí kosinním úhlu, pak můžeme vypočítat ji sinus pomocí základní trigonometrické identity. Vzhledem k tomu, že úhel α, vytvořený rovným, není tupý, pak sin α \u003d 1 - cos 2 α \u003d 1 - 23 24 2 34 2 \u003d 7 2 34.

V tomto případě α \u003d a r c cos 23 2 34 \u003d a r c sin 7 2 34.

Odpověď: Cos α \u003d 23 24, SIN α \u003d 7 2 34, α \u003d A R C COS 23 2 34 \u003d A R C SIN 7 2 34

Budeme analyzovat poslední případ - nalezení úhlu mezi rovnou, pokud známe souřadnice vodícího vektoru jednoho přímého a normálního vektoru jiného.

Předpokládejme, že přímá A má vodicí vector a → \u003d (A x, A Y) a přímka B je normální vektor n b → \u003d (n b x, n b y). Musíme tyto vektory odložit z průsečíku a zvážit všechny možnosti jejich vzájemného umístění. Viz obrázek:

Pokud hodnota úhlu mezi zadanými vektory není více než 90 stupňů, ukáže se, že se doplňuje úhel mezi A a B do přímého úhlu.

a →, n b → ^ \u003d 90 ° - α, pokud A →, n b → ^ ≤ 90 °.

Pokud je to méně než 90 stupňů, dostaneme následující:

a →, n b → ^\u003e 90 °, pak a →, n b → ^ \u003d 90 ° + α

Použití pravidla rovných cosine stejných úhlů, psát:

cos a →, n b → ^ \u003d cos (90 ° - α) \u003d hřích α při a →, n b → ^ ≤ 90 °.

cos a →, n b → ^ \u003d cos 90 ° + α \u003d - hřích α při a →, n b → ^\u003e 90 °.

Takto,

sin α \u003d cos a →, nb → ^, a →, nb → ^ ≤ 90 ° - cos a →, nb → ^, a →, nb → ^\u003e 90 ° ⇔ sin α \u003d cos a → nb → ^, A →, Nb → ^\u003e 0 - COS A →, Nb → ^, A →, Nb → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Formulujeme výstup.

Definice 4.

Chcete-li najít úhel sinusu mezi dvěma přímkami, které se protínají v rovině, musíte vypočítat kosinový modul mezi vodicím vektoru prvního přímého a normálního vektoru druhého.

Píšeme potřebné vzorce. Nalezení sinusového rohu:

sIN α \u003d cos a →, n b → ^ \u003d A x · n b x + y · n b y a x 2 + a y 2 · n b x 2 + n b y 2

Nalezení rohu:

α \u003d a r c sin \u003d a x · n b x + y · n b y a x 2 + a y 2 · n b x 2 + n b y 2

Zde A → je první řádek vodící vektoru a n b → je normální druhý vektor.

Příklad 3.

Dva protínající se přímky jsou nastaveny rovnicemi X - 5 \u003d Y - 6 3 a X + 4 Y - 17 \u003d 0. Najděte úhel křížení.

Rozhodnutí

Vezmeme souřadnice průvodce a normální vektor ze zadaných rovnic. Ukazuje se a → \u003d (- 5, 3) a n → b \u003d (1, 4). Bereme vzorec α \u003d a r c sin \u003d a x · n b x + y · n b y a x 2 + a y 2 · n b x 2 + n b y 2 a zvážit:

α \u003d a r c sin \u003d - 5 · 1 + 3 · 4 (- 5) 2 + 3 2 · 1 2 + 4 2 \u003d a r c sin 7 2 34

Upozorňujeme, že jsme podnikli rovnice z předchozího úkolu a dostali přesně stejný výsledek, ale jiným způsobem.

Odpovědět: α \u003d a r c sin 7 2 34

Dáme další způsob, jak najít požadovaný úhel pomocí úhlové koeficienty zadaného přímého režimu.

Máme přímou A, který je uveden v pravoúhlém souřadném systému pomocí rovnice Y \u003d K 1 · X + B 1, a rovnou B, vzhledem k Y \u003d K 2 · X + B2. Jedná se o rovnice přímo s úhlovým koeficientem. Chcete-li najít úhel křižovatky, používáme vzorec:

α \u003d a r c cos k 1 · K 2 + 1 K 1 2 + 1 · K 2 2 + 1, kde K1 a K2 jsou úhlové koeficienty specifikovaného přímého přímého prostředí. Pro získání tohoto vstupu byly použity vzorce pro určení úhlu přes souřadnice normálních vektorů.

Příklad 4.

Existují dva přímá protínající se na rovině, dané rovnicami Y \u003d - 3 5 x + 6 a Y \u003d - 1 4 x + 17 4. Vypočítejte velikost úhlu průsečíku.

Rozhodnutí

Úhlové koeficienty našich linií jsou rovny K1 \u003d - 3 5 a K 2 \u003d - 1 4. Přidáváme je do vzorce α \u003d a r c cos k 1 · K 2 + 1 k 1 2 + 1 · K 2 2 + 1 a vypočítáme:

α \u003d a r c cos - 3 5 · 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · 1 4 2 + 1 \u003d a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 \u003d a r c cos 23 2 34

Odpovědět: α \u003d a r c cos 23 2 34

V závěrech této položky je třeba poznamenat, že vzorce uvedené zde nemusí nutně učit se srdcem. Chcete-li to udělat, stačí znát souřadnice průvodce a / nebo normálních vektorů specifikovaných přímých přímých a musí být schopny určit v různých typech rovnic. Ale vzorec pro výpočet kosinu úhlu je lépe zapamatován nebo zaznamenán.

Jak vypočítat úhel mezi protínající se přímo v prostoru

Výpočet takového úhlu může být snížen pro výpočet souřadnic vodicích vektorů a stanovení úhlu tvořeného těmito vektory. Pro tyto příklady stejné argumenty, které jsme vedli k ní, se používají.

Předpokládejme, že máme obdélníkový souřadnicový systém umístěný v trojrozměrném prostoru. Obsahuje dvě přímky A a B s bodem průsečíku m. Pro výpočet souřadnic vodicích vektorů potřebujeme znát rovnice těchto přímých. Označte vodicí vektory a → \u003d (A X, A Y, A Z) a B → \u003d (B X, B Y, B Z). Pro výpočet kosinu úhlu mezi nimi používáme vzorec:

cos α \u003d cos a →, b → ^ \u003d a →, b → a → · b → \u003d A x · b x + A y · b y + A Z · B Z A x 2 + A Y 2 + A Z 2 · B x 2 + B Y 2 + B Z 2

Chcete-li najít samotný roh, budeme potřebovat tento vzorec:

α \u003d a r c cos a x · b x + y · b y + a z · b z a x 2 + a y 2 + a z 2 · b x 2 + b y 2 + b z 2

Příklad 5.

Máme rovnou čáru, která je uvedena v trojrozměrném prostoru pomocí rovnice X 1 \u003d Y - 3 \u003d Z + 3 - 2. Je známo, že protínají osu O Z. Vypočítejte úhel průsečíku a kosinu tohoto úhlu.

Rozhodnutí

Označte úhel, který musí být vypočítán, písmen α. Píšeme souřadnice vodícího vektoru pro první přímý přímý - a → \u003d (1, - 3, - 2). Pro osu náplniby můžeme vzít vektoru souřadnic K → \u003d (0, 0, 1) jako vodítko. Dostali jsme potřebná data a můžete je přidat na požadovaný vzorec:

cos α \u003d cos a →, k → ^ \u003d a →, k → a → · K → \u003d 1 · 0 - 3 · 0 - 2 · 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 · 0 2 + 0 2 + 1 2 \u003d 2 8 \u003d 1 2

V důsledku toho jsme získali, že úhel, kterou potřebujeme, bude roven R ° Cosu 1 2 \u003d 45 °.

Odpovědět: Cos α \u003d 1 2, α \u003d 45 °.

Pokud si v textu všimnete chybu, vyberte jej a stiskněte klávesu CTRL + ENTER

V této lekci dáváme definici vyhřívaných paprsků a dokazujeme teorém o rovnosti úhlů s vyhřívanými stranami. Dále budeme dávat definici úhlu mezi protínající se rovnou a přechodem. Zvažte, co by mohlo být úhel mezi dvěma rovnými. Na konci lekce se rozhodujeme o několika úkolech, abychom našli rohy mezi cross-žil rovnou.

Předmět: Paralelismus rovných a rovin

Lekce: úhly se vzduchem chlazené strany. Úhel mezi dvěma rovnými

Například přímý přímý Oo 1. (Obr. 1.) Diskutujte rovinu na dvě poloviční roviny. Pokud jsou paprsky Oa. a O 1 a 1 paralelně a leží v jedné polovině letadla, pak se nazývají sonatý.

Paprsky O 2 a 2 a Oa. nejsou spolu řízeny (obr. 1.). Jsou paralelní, ale neleží v jedné polovině letadla.

Pokud jsou strany dvou úhlů ochlazeny, pak jsou tyto úhly stejné.

Důkaz

Dejte nám paralelní paprsky Oa. a O 1 a 1 a paralelní paprsky Ovc a O 1 v 1 (Obr. 2.). To je, máme dva úhel Aah. a A 1 O 1 v 1Které strany leží na vyhřívané paprsky. Dokážeme, že tyto rohy jsou stejné.

Na boku paprsku Oa. a O 1 a 1 Vyberte body ALE a A 1. tak, aby segmenty Oa. a O 1 a 1 byly stejné. Stejně tak bod V a V 1 Vyberte si, aby se segmenty Ovc a O 1 v 1byly stejné.

Zvažte čtyřúhelník A 1 O 1 OA (Obr. 3.) Oa. a O 1 a 1 A 1 O 1 OA A 1 O 1 OA Oo 1. a AA 1. Paralelní a rovné.

Zvažte čtyřúhelník V 1 o 1 s. V těchto čtyřúhelníků Ovc a O 1 v 1 Paralelní a rovné. Na základě rovnoběžnéhogramu, čtyřúhelník V 1 o 1 s Je to paralelogram. Tak jako V 1 o 1 s - rovnoběžník, pak Oo 1. a Bb 1. Paralelní a rovné.

A rovné AA 1. Paralelní Direct. Oo 1.a rovný Bb 1. Paralelní Direct. Oo 1.Tak přímý AA 1. a Bb 1. Paralelní.

Zvažte čtyřúhelník 1 A 1 AV. V těchto čtyřúhelníků AA 1. a Bb 1. Paralelní a rovné. Na základě rovnoběžnéhogramu, čtyřúhelník 1 A 1 AV Je to paralelogram. Tak jako 1 A 1 AV - rovnoběžník, pak Au. a 1 v 1. Paralelní a rovné.

Zvažte trojúhelníky Aah. a A 1 O 1 v 1.Smluvní strany Oa. a O 1 a 1rovna konstrukci. Smluvní strany Ovc a O 1 v 1rovněž rovná konstrukci. A jak jsme se ukázali a strany Au. a 1 v 1. Také rovno. Tak trojúhelníky Aah. a A 1 O 1 v 1ve třech stranách. Ve stejných trojúhelníků leží stejné úhly proti stejným stranám. Tak úhly Aah. a A 1 O 1 v 1rovné tomu, co bylo nutné k prokázání.

1) protínající se rovně.

Pokud se přímá protínající, pak máme čtyři různé úhel. Úhel mezi dvěma rovnými, nazvaný nejmenší roh mezi dvěma rovnými. Úhel mezi protínající se rovnou ale a b. Označují α (obr. 4.). Úhel α je takový.

Obr. 4. Úhel mezi dvěma protínajícími se rovnými

2) Cross-žil rovný

Nech žít ale a b. Přechod. Vyberte libovolný bod O. Přes bod O Udělejme si rovnou a 1., paralelně k přímému alea rovný b 1., paralelně k přímému b. (Obr. 5.). Rovný a 1. a b 1. protínají se v Point. O. Úhel mezi dvěma protínajícími se rovnými a 1. a b 1. , Roh φ a nazývá se úhel mezi přímým proudem.

Obr. 5. Úhel mezi dvěma běžkami rovnými

Nachází se roh vybraného bodu? Vyberte si bod O 1.. Přes bod O 1. Udělejme si rovnou a 2., paralelně k přímému alea rovný b 2., paralelně k přímému b. (Obr. 6.). Úhel mezi protínající se rovnou a 2. a b 2. Označen φ 1.. Pak úhly φ a φ 1 -rohy s vyhřívanými stranami. Jak jsme se ukázali, takové úhly se rovnou navzájem. Znamená to, že velikost úhlu mezi přímou cross-country není závislá na volbě bodu O.

Rovný Ovc a CD. paralelní Oa. a CD. Překročen. Najděte úhel mezi rovnou Oa. a CD., Pokud:

1) ∠Aah. \u003d 40 °.

Vyberte si bod Z. Projít CD.. Pojďme utratit CA 1. paralelní Oa. (Obr. 7.). Pak roh 1 CD. - úhel mezi přechodem Oa. a CD.. Většinou rohů s vyhřívanými stranami, úhel 1 CD. rovna rohu Aah., to je 40 °.

Obr. 7. Najděte úhel mezi dvěma rovnými

2) ∠Aah. \u003d 135 °.

Udělejme stejnou konstrukci (obr. 8.). Pak úhel mezi běžnou zemí Oa. a CD. rovna 45 °, protože to je nejmenší z rohů, které jsou získány při přechodu přímého směru CD. a CA 1..

3) ∠Aah. \u003d 90 °.

Udělejme stejnou konstrukci (obr. 9.). Pak všechny úhly, které jsou získány při přechodu přímo CD. a CA 1. 90 ° je stejné. Požadovaný úhel je 90 °.

1) Prokázat, že střední strany prostorového čtyřúhelnictví jsou vrcholy paralelogramu.

Důkaz

Dejte nám prostorový čtyřúhelník Abeceda.. M,N,K,L. - Střední žebra Bd,Inzerát,Ac,PŘED NAŠÍM LETOPOČTEM. (Obr. 10). To je třeba dokázat Mnkl. - paralelogram.

Zvážit trojúhelník. Avd.. Mn. Mn. Paralelní Au. A rovná se jí půl.

Zvážit trojúhelník. Abc.. LD. - Střední linka. Vlastnostmi středové linie, LD. Paralelní Au. A rovná se jí půl.

A Mn., I. LD. Paralelní Au.. To znamená Mn. Paralelní LD. V teorémech na třech paralelních přímkách.

Dostaneme to v čtyřúhlém Mnkl. - Strana Mn. a LD. paralelní a rovna, protože Mn. a LD. rovna polovina Au.. Na základě rovnoběžnéhogramu, čtyřúhelník Mnkl. - paralelogram, který byl nutný k prokázání.

2) Najděte úhel mezi rovnou Au. a CD.Pokud je to roh Mnk. \u003d 135 °.

Jak jsme se ukázali Mn. Paralelní Direct. Au.. Nk. - střední linie trojúhelníku Acd.podle majetku Nk. Paralelní DC. Prostřednictvím bodu N. Projít dvě přímky Mn. a Nk.které jsou rovnoběžné s přímým přímým přímým přímým Au. a DC resp. Tak úhel mezi rovnou Mn. a Nk. je úhel mezi běžnou zemí Au. a DC. Dostaneme hloupý úhel Mnk. \u003d 135 °. Úhel mezi rovnou Mn. a Nk. - Nejmenší z rohů získaných s křižovatkou těchto přímých, to znamená, že 45 °.

Takže jsme přezkoumali úhly s vyhřívanými stranami a prokázali jejich rovnost. Úhly mezi protínající se a křížením rovnou a vyřešenou několika úkoly najít úhel mezi dvěma režimy. V další lekci budeme i nadále vyřešit problémy a opakovat teorii.

1. Geometrie. 10-11 Třída: Učebnice pro studenty obecných vzdělávacích institucí (základní a profilové úrovně) / I. M. SMIRNOVA, V. A. SMIRNOV. - 5. vydání, revidované a doplněné - M.: MnoMozina, 2008. - 288 p. : IL.

2. Geometrie. 10-11 Třída: Učebnice pro všeobecné vzdělávací instituce / SHARYGIN I. F. - M.: DROP, 1999. - 208 P.: IL.: IL.

3. Geometrie. Stupeň 10: Učebnice pro všeobecné vzdělávací instituce s důkladnou a profilovou studií matematiky / E. V. Potoskueev, L. I. Zvalich. - 6. vydání, stereotyp. - M.: DROP, 008. - 233 P. : IL.

V) PŘED NAŠÍM LETOPOČTEM. a D. 1 V 1.

Obr. 11. Najděte úhel mezi rovnou

4. Geometrie. 10-11 Třída: Učebnice pro studenty obecných vzdělávacích institucí (základní a profilové úrovně) / I. M. SMIRNOVA, V. A. SMIRNOV. - 5. vydání, opraveno a doplněné - M.: MnoMozina, 2008. - 288 P.: IL.: IL.

Úkoly 13, 14, 15 s. 54

Sestávající ze dvou různých paprsků vycházejících z jednoho bodu. Paprsky. strany W., a jejich celkový start - vrchol W. Nechť [ PROTI.),[ Slunce.) - Strana rohu V - Jeho vrchol - rovina určená po stranách W. Obrázek rozděluje rovinu na dvě postavy i \u003d\u003d l, 2, také volal. U. nebo plochý roh, volal. Vnitřní plocha plochého U.
Dva úhly volaly. Stejné (nebo shodné), pokud mohou být kombinovány tak, aby se jejich příslušné strany a vrcholy shodovaly. Z každého paprsku v rovině v tomto směru, jediný U. může být odložen z něj, rovný tomuto W. Srovnání W. se provádí dvěma způsoby. Jestliže W. je považován za pár paprsků s obecným startem, objasnit některé z těchto dvou W. Více, je nutné kombinovat v jedné rovině vrcholu W. a jednoho dvojice (viz obr. 1 ). Pokud bude druhá strana jednoho W. umístěna uvnitř jiného W., pak říkají, že první W. je menší než druhá. Druhý způsob porovnání U. je založen na srovnání jednotlivých W. Některé NOME. Stejný W. bude odpovídat stejným stupňům nebo (viz níže), větší y. - více, menší než.

Dva U. Naz. přilehlé, pokud mají celkový vrchol a jednu stranu, a další dvě strany tvoří přímku (viz obr. 2). Obecně W., s celkovým vrcholem a jednou společnou stranou. Digitální. W. NALA. Vertikální, pokud strany jednoho pokračuje nad horní části stran druhé W. vertikální W. jsou rovny navzájem. W., v příští boční formě rovné, volal. Rozšířený. Polovina rozšířila U. NALA. Direct W. Direct U. může být ekvivalentní jinému: W., rovné jeho sousedním, volanému. rovný. Vnitřní plochý U., nepřesahující nasazený, je konvexní oblast v rovině. Pro jednotku měření W. 90. podíl na přímém U., NALA. Stupeň.

Používá se atd. Měření U. Numerická hodnota Radianova míle U. se rovná délce oblouku, vyřezávané stranami z obvodu jednotky. Jeden Radian je připsán W., odpovídajícímu oblouku, který se rovná jeho poloměru. Nasazeno W. se rovná radiánům.
Při překročení dvou rovných leží ve stejné rovině, třetí přímka je tvořena U. (viz obr. 3): 1 a 5, 2 a 6, 4 a 8, S a 7. - Naz. ; 2 a 5, 3 a 8 - interní jednostranné; 1 a 6, 4 a 7 - vnější jednostranný; 3 a 5, 2 a 8 - vnitřní stoupání ležící; 1 a 7, 4 a 6 - vnější pasáže ležící.

V praxi. Úkoly jsou vhodné zvážit W. Jak měřit rotaci pevného paprsku kolem něj začíná danou polohu. V závislosti na směru obratu W. V tomto případě se považují za pozitivní i negativní. U. V tomto smyslu tak může mít libovolnou hodnotu. W. Jak se otočení paprsku považuje v teorii trigonometric. Funkce: Pro všechny hodnoty argumentu (U.) můžete definovat trigonometrické hodnoty. funkce. Koncept W. v Geometrišti. Systém, základem K-Roy je axiomatika s bodem a vektorem, radar se liší od definic W. Jako čísla - v této axiomatika pod W. Pochopte určitou metriku. Velikost spojená se dvěma vektory používající operace multiplication operace skalárního multiplikace. To je, každý pár vektorů AI BAETS určitý úhel - číslo spojené s vektorem vzorce

kde ( a, B.) - Scalar produkt vektorů.
Koncept W. jako ploché postavy a jako nějaká numerická velikost se používá v různých geometrech. Úkoly, in-ry u. Definováno zvláštním způsobem. Pod W. mezi protínajícími křivkami, které mají určité tečny na průsečíku, U., tvořené těmito tečny.
Roh mezi rovnou a rovinou je přijímán U., tvořený rovnou a jeho obdélníkovou projekcí v rovině; To se měří v rozmezí od 0

Matematická encyklopedie. - M.: Sovětská encyklopedie. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Synonyma:

Sledujte, co je "úhel" v jiných slovnících:

roh - Úhel / EK / ... Morphemno-Slovník Slovník

Manžel. Zlomenina, členění, koleno, loket, výčnělek nebo hala (Vydina) o jedné tváři. Roh je lineární, všechny druhy dvou nadcházejících rysů a intervalu; úhel roviny nebo v letadlech, setkání s dvěma rovinami nebo stěnami; Roh tlustý, tělo, setkání v jednom ... Vysvětlující slovník daly

Roh, úhel, na (c) roh a (rohož) v rohu, m. 1. Část roviny mezi dvěma přímkami vyzařujícími z jednoho bodu (mat.). Horní část rohu. Strana rohu. Měření úhlu stupňů. Pravý úhel. (90 °). Ostrý roh. (méně než 90 °). Tupý úhel. ... ... ... Vysvětlující slovník ushakov.

ÚHEL - (1) Útok úhlu mezi směru proudění vzduchu, který nese na křídle letadla a akord částí křídla. Z tohoto úhlu závisí hodnotu zvedací síle. Úhel, ve kterém je zvedací síla maximum, se nazývá kritický úhel útoku. Na ... ... Velká polytechnická encyklopedie

- (plochý) geometrický tvar tvořený dvěma paprsky (rohové strany) probíhajícím z jednoho bodu (vrchol úhlu). Jakýkoliv úhel s vrcholem ve středu nějakého obvodu (centrální úhel) určuje obvod oblouku AV, omezených bodů ... ... Velký encyklopedický slovník.

Hlava rohu, protože úhel, rohový roh, špatný roh, ve všech rohách. Slovník ruských synonym a podobných výrazů ve smyslu výrazů. pod. ed. N. Abramova, M.: Ruské slovníky, 1999. Úhel vrcholu, úhlového bodu; Dereleng, Rubbear, Devadóna, rubery, ... ... Synonym Slovník. Slovník

úhel - Úhel, rod. roh; Běh. o rohu, v (pro) rohu a v řeči matematiků v rohu; Mn. Rohy, rod. Rohy. V navrhovaných a udržitelných kombinacích: pro úhel a přípustné pro úhel (jdi, zábal atd.), Z úhlu do úhlu (pohyb, umístěna, atd.), Úhel ... ... Slovník obtíží výslovnosti a stresu v moderním ruském

Úhel, roh, o rohu, na c) rohu, manžela. 1. (v rohu.). V geometrii: plochá postava tvořená dvěma paprsky (ve 3 významech), odcházející z jednoho bodu. Horní část rohu. Rovnou y. (90 °). Akutní. (méně než 90 °). Hloupý y. (více než 90 °). Vnější a vnitřní ... ... Vysvětlující slovník Ozhegov

úhel - Úhel, úhel, m. čtvrtina sázka, při deklaraci, který okraj mapy je ohnutý. ◘ ACE a Lady Peak s úhlem // zabit. A.I. Polyzhaev. Den v Moskvě, 1832. Přes obědem rozloží Chervonians na stůl, strašidelný karty; Ponteps crack paluby, ... ... Karta terminologie a Zakon XIX století