Jak určit největší hodnotu odvozenou v harmonogramu. V jakém okamžiku je hodnota derivátu největší? Výpočet hodnoty derivace

V mezidobí ( ale,b.), ale h. - Je náhodně vybraný bod této mezery. Dejme argument h. přírůstek Δх (pozitivní nebo negativní).

Funkce Y \u003d f (x) obdrží přírůstek k ΔU rovné:

ΔY \u003d f (x + Δx) -f (x).

S nekonečně malým Δh přírůstek ΔU je také nekonečně malý.

Například:

Zvažte řešení derivátové funkce na příkladu volného pádu těla.

Od t 2 \u003d t l + Δt, pak

.

Vypočítejte limit, najdeme:

Označení t1 je zadáno za účelem podtržení stálosti t při výpočtu limitu funkce. Vzhledem k tomu, že t1 je libovolná hodnota času, index 1 může být vyřazen; Pak se dostaneme:

Je vidět tu rychlost proti, jako cesta s., tady je funkce čas. Pohled na funkci PROTI. Vše závisí na typu funkce s.Takže funkce s. jako by "produkuje" funkce pROTI.. Proto jméno " funkce derivace».

Zvážit další příklad.

Najít hodnotu funkce derivace:

y \u003d x 2 pro x \u003d 7..

Rozhodnutí. Pro x \u003d 7. mít y \u003d 7 2 \u003d 49. Dejme argument h. přírůstek Δ h.. Argument bude roven 7 + Δ h.a funkce získá hodnotu (7 + Δ x) 2..

Funkce derivace je jednou z komplexních témat ve školním programu. Ne každý absolvent odpoví na otázku toho, co je odvozeno.

Tento článek jednoduše jednoznačně mluví o tom, co je derivát a za to, co potřebuje. Nebudeme se snažit usilovat o matematickou přísnost prezentace. Nejdůležitější věcí je pochopit význam.

Zapamatujeme si tuto definici:

Derivát je rychlost změny funkce.

Na obrázku - grafika tří funkcí. Co si myslíte, že roste rychleji?

Odpověď je zřejmá - třetí. Má největší rychlost změny, to znamená největší derivát.

Zde je další příklad.

Kostya, Grisha a Matvey současně dostal práci. Podívejme se, jak se jejich příjmy změnily v průběhu roku:

Na plánu ihned lze vidět všechno, není to? Příjmy kosti na půl roku se rozrostly více než dvakrát. A Grisha příjmy také pěstovaly, ale trochu trochu. A příjmy Matthew se snížily na nulu. Výchozí podmínky jsou stejné a rychlost změny funkce, to znamená derivát- Odlišný. Pokud jde o Matthew - jeho příjem je negativně odvozen.

Intuitivně jsme snadno posuzujeme rychlost změny funkce. Ale jak to děláte?

Ve skutečnosti se podíváme na to, jak chladný graf funkce stoupá (nebo dolů). Jinými slovy, jak rychle mění y se změnou x. Je zřejmé, že stejná funkce v různých bodech může mít jinou hodnotu derivátu - to znamená, že se může měnit rychleji nebo pomalejší.

Je indikována funkce derivace.

Ukažte, jak najít pomocí grafu.

Graf je nakreslen nějakou funkci. Udělejte si bod s abscisy na to. Kreslíme v tomto bodě tangentu do grafické funkce. Chceme zhodnotit, jak vychladnout graf funkce. Pohodlná hodnota pro to - úhel náklonu tangentu.

Derivát funkce v bodě se rovná tečnosti úhlu náklonu, prováděnou na grafu funkce v tomto bodě.

Upozorňujeme - jako úhel značkování tečna, vezmeme úhel mezi tečnou a pozitivním směrem osy.

Někdy se studenti zeptají, co tečna do funkce funkce. To je přímý, s jedním společným bodem s plánem tohoto spiknutí, jak je znázorněno na našem obrázku. Vypadá to jako tečna k obvodu.

Najdeme. Pamatujeme si, že tečna akutního úhlu v obdélníkovém trojúhelníku se rovná postoji protějšího katech k sousedním. Z trojúhelníku:

Našli jsme derivaci s pomocí grafu, ani neznal funkci vzorce. Tyto úkoly se často vyskytují při zkoušce v matematice na čísle.

Existuje další důležitý poměr. Připomeňme, že přímý je dán rovnicí

Hodnota v této rovnici se nazývá Úhlový koeficient Direct.. Je roven tečnosti úhlu sklonu přímo do osy.

.

Dostaneme to

Vzpomínáme si na tento vzorec. Vyjadřuje geometrický význam derivátu.

Derivace funkce v bodě se rovná úhlovému koeficientu tečné, prováděné do grafu funkce v tomto bodě.

Jinými slovy, derivát se rovná úhlu tečného náklonu.

Už jsme uvedli, že stejná funkce v různých bodech může mít jiný derivát. Podívejme se, jak je derivát spojen s chováním funkce.

Nakreslete graf některé funkce. Nechte tuto funkci zvyšovat na některé sekce, na jiných - snižuje se s různými rychlostmi. A i když tato funkce bude bod maximálně a minimálně.

V té době se funkce zvyšuje. Tangent k grafu, prováděné v bodě, tvoří ostrý úhel s kladným směrem osy. Takže v okamžiku je derivát pozitivní.

V té době se naše funkce snižuje. Tanner v tomto bodě tvoří hloupý úhel s pozitivním směrem osy. Vzhledem k tomu, že tupý úhel tečna je negativní, derivát je negativní v bodě.

To znamená:

Pokud se funkce zvyšuje, je jeho derivát pozitivní.

Pokud se snižuje, jeho derivát je negativní.

A co bude v bodech maxima a minima? Vidíme to v bodech (maximální bod) a (minimální bod) tečná horizontální. V důsledku toho je tečná tečna úhel náklonu v těchto bodech nulová, a derivát je také nulový.

Je maximální bod. V tomto okamžiku se zvyšující se funkce nahrazuje sestupně. V důsledku toho znamení derivátových změn v bodě s "plus" na "mínus".

V místě - bod minima - derivát je také nulový, ale jeho znamení se mění z "mínus" na "plus".

Závěr: S pomocí derivátu se můžete dozvědět o chování funkce vše, co nás zajímá.

Pokud je derivát pozitivní, pak se funkce zvyšuje.

Pokud je derivát negativní, funkce se snižuje.

V bodě maxima je derivát nula a změní znak z "plus" na "mínus".

V bodě minima je derivát také nulový a změní znaménko od "mínus" na "plus".

Tyto závěry píšeme ve formě tabulky:

	zvýšení	maximální bod	pokles	minimálně	zvýšení
+	0	-	0	+

Uděláme dvě malé vysvětlení. Jeden z nich vás bude potřebovat při řešení úkolů použití. Jiné - v prvním roce, s vážnějším studiem funkcí a derivátů.

Případ je možný, když derivát funkce v určitém okamžiku je nula, ale v tomto bodě ne maximální minimální funkce. To je tzv. :

V bodě tečna k grafice horizontální a derivát je nulový. Funkce funkce se však zvýšila - a poté, co se bod nadále zvyšuje. Znaménko derivátu se nezmění - bylo pozitivní a zůstalo.

Stává se také, že v místě maxima nebo minima, derivace neexistuje. Na grafu odpovídá ostrému rozbití, když je tečna v tomto bodě nemožná.

A jak najít derivát, pokud funkce není stanovena plánem, ale ve vzorci? V tomto případě aplikován

Byly tam nové úkoly. Pojďme analyzovat své rozhodnutí.

Prototyp úkolu B8 (č. 317543)

Obrázek ukazuje graf funkce Y \u003d f (x) a body -2, -1, 1, 2, 2. Ve kterém z těchto bodů je hodnota derivátu největší? V reakci určete tento bod.

Jak víme, volal

limit vztahu funkce funkce pro zvýšení argumentu při krocích argumentů má tendenci na nulu:

Derivace v bodě ukazuje funkce změny rychlosti V tomto bodě. Čím rychleji se změní funkce, to znamená, tím větší je přírůstek funkce, tím větší je úhel naklápění. Vzhledem k tomu, že úkol vyžaduje určit bod, ve kterém je hodnota derivátu největší, vyloučíme z hlediska bodu s abscisions -1 a 1 - v těchto bodech se funkce snižuje a derivace v nich je negativní.

Funkce se zvyšuje v bodech -2 a 2. Nicméně, zvyšuje se v nich různými způsoby - v bodě -2 Graf funkce stoupá strmější než v bodě 2, a proto přírůstek funkce v tomto bodě, a to znamená, že derivát je více.

Odpověď: -2.

A podobný úkol:

Prototyp úkolu B8 (č. 317544)

Obrázek ukazuje plán funkcí a jsou označeny -2, -1, 1, 4. Ve kterém z těchto bodů je hodnota derivátu nejmenšího? V reakci určete tento bod.

Řešení tohoto problému je podobné řešení předchozího "s přesností na opak"

Máme zájem o bod, ve kterém derivát trvá nejmenší význam, to znamená, že hledáme bod, ve kterém funkce snižuje nejrychleji - na grafu je to bod, ve kterém je nejlepší "sestup". To je bod s Abscissa 4.

Tato část obsahuje úkoly EGE v matematice o tématech spojených se studiem funkcí a jejich derivátů.

V možnosti demonstrace EGE 2020. let se mohou setkat na čísle 14 Pro základní úroveň a číslo 7 Pro úroveň profilu.

Podívejte se na tyto tři grafiky funkcí pečlivě.
Všimli jste si, že tyto funkce ve smyslu "příbuzných"?
Například v těchto oblastech, kde se graf zelené funkce nachází nad nulou, červená funkce se zvyšuje. V těchto stránkách, kde je graf zelené funkce pod nulou, červená funkce klesá.
Podobné komentáře lze provést ohledně červené a modré grafy.
Můžete si také všimnout, že nuly zelené funkce (body x. \u003d -1 I. x. \u003d 3) Shoda s body červeného grafu extrémů: kdy x. \u003d -1 na červený graf vidíme místní maximum, s h. \u003d 3 na červený plán je místní minimum.
Je snadné vidět, že lokální maxima a minima modrého grafu jsou dosaženy ve stejných místech, kde červený plán prochází hodnotou. y. = 0.
Můžete si vzít několik dalších závěrů o zvláštnostech chování těchto grafů, protože jsou s sebou opravdu spojeny. Podívejte se na vzorce funkcí umístěných pod každým z grafů a výpočty, ujistěte se, že každý předchozí jeden je odvozen pro následné, a proto je každý další z předem vzdělaných předchozích funkcí.

φ 1 (x. ) = φ" 2 (x. ) φ 2 (x. ) = Φ 1 (x. )
φ 2 (x. ) = φ" 3 (x. ) φ 3 (x. ) = Φ 2 (x. )

Připomeňme, že víme o derivátu:

Odvozená funkce y. = f.(x.) V místě h. vyjadřuje rychlost změny funkce v bodě x..

Fyzický smyslový derivát To je, že derivát vyjadřuje rychlost postupu procesu popsaného závislostem Y \u003d f (x).

Geometrický význam derivátu To je, že jeho hodnota v uvažovaném bodě se rovná úhlovému koeficientu tangenciálního, vedeného k grafu diferencovatelné funkce v tomto bodě.

A nyní nechte červenou grafiku ve výkresu. Předpokládejme, že oba vzorce jsou pro nás neznámé.

Mohu se vás zeptat na něco, co souvisí s chováním funkce φ 2 (x. ) Pokud je známo, že je to odvozená funkce φ 3 (x. ) a primitivní funkce φ 1 (x. )?
Umět. A můžete poskytnout přesnou odpověď na mnoho otázek, protože víme, že derivát je charakteristikou funkce změny změny, takže můžeme soudit některé z chování jednoho z těchto funkcí, při pohledu na harmonogram druhého.

Před odpovědí na následující otázky posuňte stránku nahoru tak, aby horní vzor obsahující červený plán skrytý. Když jsou odpovědi zadány, vraťte jej zpět a zkontrolujte výsledek. A teprve poté, viz mé rozhodnutí.

Pozornost: Zlepšit efekt učení odpovědi a řešení Načítání samostatně pro každý úkol sériově stisknout tlačítka na žlutém podkladu. (Pokud existuje mnoho úkolů, tlačítka se mohou objevit se zpožděním. Pokud tlačítka nejsou vůbec viditelná, zkontrolujte, zda je povoleno ve vašem prohlížeči JavaScript.)

1) Použití grafu derivátu φ" 2 (x. ) (V našem případě se jedná o zelený plán), definovat, který z 2 hodnot funkce více φ 2 (-3) nebo φ 2 (−2)?

Podle grafu derivátu je možné vidět, že je přísně pozitivní v oddílu [-3; -2], znamená to, že funkce v této oblasti se zvyšuje pouze, takže hodnota funkce v levém konci x. \u003d -3 méně než jeho hodnota na pravém konci x. = −2.

Odpovědět: φ 2 (−3) φ 2 (−2)

2) Použití primárního grafu Φ 2 (x. ) (V našem případě se jedná o modrý rozvrh), určit, který z 2 hodnot funkce více φ 2 (-1) nebo φ 2 (4)?

Podle grafiky je jasné, že bod x. \u003d -1 je v oblasti zvyšování, proto je hodnota odpovídajícího derivátu pozitivní. Směřovat x. \u003d 4 se nachází na místě snižování a hodnotu odpovídajícího derivátu negativně. Vzhledem k tomu, že kladná hodnota je negativnější, zakončíme - hodnotu neznámé funkce, která je jen derivátem, v bodě 4 méně než v bodě -1.

Odpovědět: φ 2 (−1) > φ 2 (4)

Tam může být spousta takových otázek týkajících se chybějící grafiky, což způsobuje širokou škálu úkolů s krátkou odezvou, postavenou podle stejného schématu. Pokusit se vyřešit některé z nich.

Úkoly pro stanovení charakteristik derivátu na funkční grafiku.

Obrázek 1.

Obrázek 2.

Úkol 1.

y. = f. (x. ), stanovený v intervalu (-10,5; 19). Určete počet celých čísel, ve kterých je funkce derivace pozitivní.

Funkce derivace je pozitivní v těchto oblastech, kde se funkce zvyšuje. Obrázek ukazuje, že tyto intervaly (-10,5; -7,6), (-1; 8.2) a (15,7, 19). Seznam všech bodů v rámci těchto intervalů: "-10", "- 9", "-8", "0", "1", "2", "3", "4", "5", "6 "," 7 "," 8 "," 16 "," 17 "," 18 ". Celkem 15 bodů.

Odpovědět: 15

Komentáře.
1. Pokud grafy v grafech vyžadují pravidlo "body", rozumíme pouze hodnoty argumentu x. které jsou abscise odpovídajících bodů umístěných na grafu. Vyjádření těchto bodů jsou hodnoty funkce, jsou závislé a mohou být snadno vypočítány v případě potřeby.
2. Při výpisu bodů jsme nebrali v úvahu hrany intervalů, protože funkce v těchto bodech nezvyšuje a nesnižuje se, ale "rozloží". Derivace v takových bodech není pozitivní a ne negativní, je nulový, takže se nazývají stacionární body. Kromě toho zde nepovažujeme hranice oblasti definice, protože stav je řečeno, že se jedná o interval.

Úloha 2.

Obrázek 1 ukazuje graf grafu y. = f. (x. ), stanovený v intervalu (-10,5; 19). Určete počet celých čísel, ve kterých je odvozená funkce f " (x. ) Záporný.

Funkce derivace je negativní v těchto oblastech, kde se funkce snižuje. Obrázek ukazuje, že tyto intervaly (-7,6; -1) a (8,2; 15,7). Celé body v těchto intervalech: "-7", "- 6", "-5", "- 4", "-3", "- 2", "9", "10", "11", "12 "," 13 "," 14 "," 15 ". Celkem 13 bodů.

Odpovědět: 13

Viz komentáře k předchozím úkolu.

Chcete-li vyřešit následující úkoly, musíte si vzpomenout na další definici.

Maximální a minimální funkce jsou kombinovány se společným názvem - body extremum .

V těchto bodech je odvozená funkce buď nula nebo neexistuje ( požadovaný kondomový stav).
Nicméně, nezbytná podmínka je znaménko, ale ne záruka existence extrémní funkce. Dostatečná podmínka pro extrémní Jedná se o změnu známky derivátu: pokud derivace v bodě změní znaménko od "+" na "-", pak je to bod maximální funkce; Pokud derivace v bodě změní znaménko od "-" na "+", je to bod minimální funkce; Pokud je v okamžiku, kdy je derivační funkce nulová nebo neexistuje, ale znamení derivátu během přechodu přes tento bod se nemění na opak, pak zadaný bod není extremma bodu funkce. To může být ohýbací bod, bod zlomu nebo bod zlomu funkce funkce.

Úkol 3.

Obrázek 1 ukazuje graf grafu y. = f. (x. ), stanovený v intervalu (-10,5; 19). Najděte počet bodů, ve kterých je funkce tangenta do funkce rovnoběžná s přímým y. \u003d 6 nebo se s ní shoduje.

Připomenout, že přímá rovnice má zobrazení y. = kx. + b. kde k. - Koeficient náklonu tohoto přímého k ose VŮL.. V našem případě k. \u003d 0, tj. rovný y. \u003d 6 Není nakloněno, ale rovnoběžně s osou VŮL.. To znamená, že požadované tečny by také měly být rovnoběžné s osou VŮL. A musí mít také faktor naklánění 0. Tato vlastnost tangenses má v bodech extrémů funkcí. Proto odpovídat na otázku, kterou potřebujete pouze počítat všechny body extrémů v plánu. Zde jsou 4 - dva body maximálně a dva minimální body.

Odpovědět: 4

Úloha 4.

Funkce y. = f. (x. ), stanovený v intervalu (-11; 23). Vyhledejte množství extrémních bodů funkcí na segmentu.

Na specifikovaném segmentu vidíme 2 body extremum. Maximální funkce je dosaženo v bodě x. 1 \u003d 4, minimum v místě x. 2 = 8.
x. 1 + x. 2 = 4 + 8 = 12.

Odpovědět: 12

Úloha 5.

Obrázek 1 ukazuje graf grafu y. = f. (x. ), stanovený v intervalu (-10,5; 19). Najděte počet bodů, ve kterých je odvozená funkce f " (x. ) Se rovná 0.

Funkce derivace je nulová na extrémních bodech, které jsou vidět na grafu 4:
2 body maximálně a 2 body.

Odpovědět: 4

Úkoly pro stanovení vlastností funkce na grafu jeho derivátu.

Obrázek 1.

Obrázek 2.

Úkol 6.

Obrázek 2 ukazuje graf f " (x. ) - Odvozená funkce f. (x. ), stanovený v intervalu (-11; 23). V jakém bodě je segment [-6; 2] funkce f. (x. ) Trvá největší hodnotu.

Ve stanovené části nebyl derivát pozitivní, proto se funkce nezvyšovala. Odmítla nebo prošla stacionárními body. Funkce tedy dosáhla největší hodnoty na levém okraji segmentu: x. = −6.

Odpovědět: −6

Komentář: Podle grafu se derivace ukazuje, že na segmentu [-6; 2] je nulová třikrát: v bodech x. = −6, x. = −2, x. \u003d 2. Ale v té době x. \u003d -2 Nezměnila znamení, pak v tomto bodě nemohla být extrémní funkce. S největší pravděpodobností existovalo bodu inflexe grafu původní funkce.

Úloha 7.

Obrázek 2 ukazuje graf f " (x. ) - Odvozená funkce f. (x. ), stanovený v intervalu (-11; 23). V jakém bodu segmentu má funkce nejmenší hodnotu.

Na segmentu je derivát přísně pozitivní, proto se funkce v této oblasti právě zvýšila. Nejmenší funkce tak dosáhly na levém okraji segmentu: x. = 3.

Odpovědět: 3

Úkol 8.

Obrázek 2 ukazuje graf f " (x. ) - Odvozená funkce f. (x. ), stanovený v intervalu (-11; 23). Najděte počet funkcí maximální funkce f. (x. ), patřící k segmentu [-5; 10].

Podle požadovaného stavu extremum, maximální funkce možná V bodech, kde je jeho derivát nulový. Na daném segmentu, tyto tečky: x. = −2, x. = 2, x. = 6, x. \u003d 10. Ale podle dostatečného stavu, on určitěpouze v těch z nich, kde znamení derivátových změn s "+" na "-". Na grafu derivátu vidíme, že pouze bod je z uvedených bodů x. = 6.

Odpovědět: 1

Úkol 9.

Obrázek 2 ukazuje graf f " (x. ) - Odvozená funkce f. (x. ), stanovený v intervalu (-11; 23). Najděte počet funkcí extremum bodů f. (x. ) patřící segmentu.

Extrémní funkce mohou být v těch místech, kde je jeho derivát 0. Na daném segmentu grafu vidíme 5 takových bodů: x. = 2, x. = 6, x. = 10, x. = 14, x. \u003d 18. Ale v místě x. \u003d 14 Derivát nezměnil znamení, proto musí být vyloučeno z úvahy. Tak zůstávají 4 body.

Odpovědět: 4

Úkol 10.

Obrázek 1 ukazuje graf f " (x. ) - Odvozená funkce f. (x. ), stanovený v intervalu (-10,5; 19). Najděte sazby rostoucí funkce f. (x. ). V reakci určete délku největšího z nich.

Mezery rostoucí funkce se shodují s mezemi derivátem pozitivity. Na grafu je vidíme tři - (-9; -7), (4; 12), (18; 19). Nejdelší z nich je druhá. Jeho délka l. = 12 − 4 = 8.

Odpovědět: 8

Úloha 11.

Obrázek 2 ukazuje graf f " (x. ) - Odvozená funkce f. (x. ), stanovený v intervalu (-11; 23). Najděte počet bodů, ve kterých funkce tečna f. (x. ) Paralelní Direct. y. = −2x. − 11 nebo s ní shoduje.

Úhlový koeficient (to je tečna úhlu sklonu) specifikovaného přímého k \u003d -2. Máme zájem o paralelní nebo shodné tangenty, tj. Rovný se stejným sklonem. Na základě geometrického významu derivace - úhlového koeficientu tangenciálního v uvažovaném bodě grafu funkce přeložíme body, ve kterých je derivát roven -2. Obrázek 2 takových bodů 9. Je vhodné počítat s křižovatky grafu a linie souřadnicové mřížky procházející hodnotou -2 na ose Oy..

Odpovědět: 9

Jak vidíte, jeden a stejný plán, který můžete požádat o širokou škálu otázek o chování funkce a jeho derivát. Také jedna otázka může být přičítána grafům různých funkcí. Buďte opatrní při řešení tohoto úkolu na zkoušce a bude vám to velmi snadné. Další typy úkolů tohoto úkolu - na geometrickém významu primitivu - budou zváženy v jiné části.

Ahoj! Budu zasáhnout blížící se např. Hra s vysoce kvalitním systematickým výcvikem a vytrvalostem v broušení žuly vědy !!! V Konec příspěvku je konkurenční úkol, být první! V jednom z článků v této kategorii jsme s plánem funkcí a různé otázky týkající se extrémů, rostoucích intervalů (sestupně) a další byly zvýšeny.

V tomto článku zvážíme úkoly matematiky na matematiku, ve kterém je uveden graf derivátové funkce, a jsou stanoveny následující otázky:

1. V jakém bodě zadaného segmentu má funkce největší (nebo nejmenší) hodnotu.

2. Najít počet maximálních bodů (nebo minimálních) funkcí patřících do daného segmentu.

3. Najděte počet funkcí extremum bodů, které patří do daného segmentu.

4. Najděte extrémní bod funkce, které patří do zadaného segmentu.

5. Najděte mezery zvětšujících (nebo sestupných) funkcí a v reakci na určení množství celočíselných bodů v těchto intervalech.

6. Najděte mezery zvětšujících (nebo sestupných) funkcí. V reakci označte délku největších z těchto mezer.

7. Najděte počet bodů, ve kterých je funkce funkční tečna rovnoběžná s přímým tvarem Y \u003d KX + B nebo se s ní shoduje.

8. Najděte bod abscisy, ve kterém funkce tečna tečna k funkci rovnoběžně s osou abscisy nebo se s ní shoduje.

Mohou existovat další otázky, ale nezpůsobí žádné potíže, pokud chápete a (odkazy jsou uvedeny na článcích, ve kterých jsou informace nezbytné pro řešení nezbytné, doporučuji opakování).

Základní informace (stručně):

1. Derivace v intervalech zvyšování má pozitivní znamení.

Pokud má derivát v určitém bodě z určitého intervalu kladná hodnota, pak se zvyšuje graf funkce v tomto intervalu.

2. V intervalech rovinnosti má derivát negativní znamení.

Pokud má derivát v určitém bodě z nějakého intervalu zápornou hodnotu, pak se plán funkce klesá v tomto intervalu.

3. Derivace v bodě x se rovná úhlovému koeficientu tangenciálního, vedeného k grafice funkce ve stejném místě.

4. Na extrémních bodech (maximální minimum) je funkce derivace nulová. Tanner k grafice funkce v tomto bodě rovnoběžně s osou OH.

Je nutné jasně pochopit a pamatovat !!!

Mnoho grafů derivátu "zmatení". Některé nepozornosti to vezmu na harmonogram samotné funkce. Proto v takových budovách, kde vidíte, že je plán dán, okamžitě zdůrazňují vaši pozornost na skutečnost, že je dána: plán funkcí nebo grafu derivátové funkce?

Pokud se jedná o graf derivátové funkce, podívejte se na něj, jako by "odrážejí" samotnou funkci, která vám poskytne informace o této funkci.

Zvažte úlohu:

Obrázek ukazuje graf y \u003d.f.'(X) - odvozená funkce f.(X)stanoveno na intervalu (-2; 21).

Odpovědět na následující otázky:

1. V jakém okamžiku funkce segmentu f.(X) trvá největší hodnotu.

V dané sekci je funkce derivace negativní, znamená to, že funkce snižuje tento segment (snižuje se z levé hranice intervalu vpravo). Největší hodnotu funkce je tedy dosaženo na levém okraji segmentu, tj. V bodě 7.

Odpověď: 7.

2. V jakém okamžiku funkce segmentu f.(X)

Pro tento plán může derivát říci následující. V dané sekci je funkce derivace pozitivní, znamená to, že funkce tohoto segmentu se zvyšuje (zvyšuje se z levé hranice intervalu vpravo). Nejmenší hodnota funkce je tedy dosaženo na levém okraji segmentu, tedy v bodě x \u003d 3.

Odpověď: 3.

3. Najděte počet funkcí maximální funkce f.(X)

Maximální body odpovídají bodu změny známky derivátu s pozitivním na negativní. Zvažte, kde změny znamení.

Na segmentu (3; 6) je derivát pozitivní, na segmentu (6; 16) je negativní.

Na řezu (16; 18) je derivát pozitivní, na segmentu (18; 20) je negativní.

Tak, na daném segmentu má funkce dvě body maxima x \u003d 6 a x \u003d 18.

Odpověď: 2.

4. Najděte počet bodů minimální funkce f.(X)patřící segmentu.

Minimální body odpovídají bodům posunu bodu s negoritními na pozitivní. Máme na intervalu (0; 3) Derivát je negativní, na intervalu (3; 4) je pozitivní.

Tak, na segmentu má funkce pouze jeden bod minimálně x \u003d 3.

* Buďte opatrní při záznamu odpovědi - počet bodů je zaznamenán, a nikoli hodnota x, taková chyba může být povolena kvůli nepozorování.

Odpověď: 1.

5. Najděte počet funkcí extremum bodů f.(X)patřící segmentu.

Upozorňujeme, že je třeba najít množství Body extremum (jedná se o maximální body a minimální body).

Extrémní body odpovídají bodu změny známky derivátu (s pozitivním na negativní nebo naopak). V tomto plánu se jedná o nulové funkce. Derivace se týká nulu v bodech 3, 6, 16, 18.

Tak, na segmentu má funkce 4 body extremum.

Odpověď: 4.

6. Najděte rostoucí rozsahy funkce f.(X)

Mezery zvýšení této funkce f.(X) Odpovídají mezerám, na kterých je jeho derivát pozitivní, tj. Intervaly (3; 6) a (16; 18). Vezměte prosím na vědomí, že intervalové hranice nejsou zahrnuty v něm (kulaté závorky - hranice nejsou zahrnuty v intervalu, čtvercové - jsou zahrnuty). Tyto intervaly obsahují celá čísla 4, 5, 17. Jejich množství je: 4 + 5 + 17 \u003d 26

Odpověď: 26.

7. Najděte rovnost funkce f.(X) V daném intervalu. V reakci určete množství celočíselných bodů v těchto intervalech.

Světla snížení funkce f.(X) odpovídají mezerám, na kterých je funkce derivace negativní. V tomto úkolu tyto intervaly (-2; 3) (6; 16), (18; 21).

Tyto intervaly obsahují následující celé číslo: -1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20. Jejich množství se rovná:

(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +

11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140

Odpověď: 140.

* Věnujte pozornost stavu: zda jsou hranice zahrnuty do intervalu nebo ne. Pokud jsou hranice zahrnuty, pak v úvazcích intervalových řešení je třeba také zvážit tyto hranice.

8. Najděte rostoucí rozsahy funkce f.(X)

Zajímavé funkce f.(X) odpovídají mezerám, na kterých je odvozená funkce pozitivní. Již jsme je uvedli: (3; 6) a (16; 18). Největší z nich je interval (3; 6), jeho délka je 3.

Odpověď: 3.

9. Najděte rovnost funkce f.(X). V reakci určete délku největšího z nich.

Světla snížení funkce f.(X) odpovídají mezerám, na kterých je funkce derivace negativní. Již jsme je uvedli, jedná se o intervaly (-2; 3), (6; 16), (18; 21), jejich délky jsou respektive 5, 10, 3.

Délka největšího je 10.

Odpověď: 10.

10. Najděte počet bodů, ve kterých funkce tečna f.(X) Paralelní přímé y \u003d 2x + 3 nebo se s ní shoduje.

Hodnota derivátu v dotykovém místě se rovná úhlovému koeficientu tečny. Vzhledem k tomu, že tečna paralelně s přímým Y \u003d 2x + 3 nebo se s ní shoduje, pak jejich úhlové koeficienty jsou rovny 2. Takže je nutné najít počet bodů, ve kterých Y '(x 0) \u003d 2. geometricky, To odpovídá počtu bodů průsečíku grafiky derivátu s přímým Y \u003d 2. V tomto intervalu těchto bodů 4.

Odpověď: 4.

11. Najděte extrémní bod funkce f.(X)patřící segmentu.

Bodem extrémní funkce je takový bod, ve kterém je jeho derivát nulový, s něčím v sousedství tohoto bodu derivát změní znaménko (z pozitivního na negativní nebo naopak). Na segmentu se derivátový graf protíná osu abscisy, derivát mění značku od negativního na pozitivní. V důsledku toho je bod X \u003d 3 extrémní bod.

Odpověď: 3.

12. Najděte abscise bodů, ve kterých jsou tečny pro graf y \u003d f (x) rovnoběžné s osou abscisy nebo se s ní shodují. V reakci, určete největší z nich.

Tanner k grafu Y \u003d f (x) může být rovnoběžný s osou abscisy nebo se s ní shodovat, pouze v bodech, kde je derivát nulový (může to být body extrémů nebo stacionárních bodů, v blízkosti, z nichž derivát dělá nezmění jeho znaménko). Podle tohoto harmonogramu lze vidět, že derivát je nulový v bodech 3, 6, 16,18. Největší je 18 let.

Tímto způsobem můžete postavit uvažování:

Hodnota derivátu v dotykovém místě se rovná úhlovému koeficientu tečny. Vzhledem k tomu, že tangenciální paralelní osa abscisy nebo se s ní shoduje, jeho úhlový koeficient je 0 (opravdu tangentový úhel na nulu, je nula). V důsledku toho hledáme bod, ve kterém je úhlový koeficient nulový, což znamená, že derivát je nulový. Derivát je nulový v tomto bodě, ve kterém jeho harmonogram překročí osu abscisy, a to jsou body 3, 6, 16.18.

Odpověď: 18.

Obrázek ukazuje graf y \u003d.f.'(X) - odvozená funkce f.(X)stanoveno na intervalu (-8; 4). V jakém bodě je segment [-7; -3] funkce f.(X) Trvá nejmenší hodnotu.

Obrázek ukazuje graf y \u003d.f.'(X) - odvozená funkce f.(X)stanoveno na intervalu (-7; 14). Najděte počet funkcí maximální funkce f.(X)patřící segmentu [-6; 9].

Obrázek ukazuje graf y \u003d.f.'(X) - odvozená funkce f.(X)stanoveno na intervalu (-18; 6). Najděte počet minimálních bodů f.(X)patřící do segmentu [-13; 1].

Obrázek ukazuje graf y \u003d.f.'(X) - odvozená funkce f.(X)definován v intervalu (-11; -11). Najděte počet funkcí extremum bodů f.(X)patřící k segmentu [-10; -10].

Obrázek ukazuje graf y \u003d.f.'(X) - odvozená funkce f.(X)definovaný v intervalu (-7; 4). Najděte sazby rostoucí funkce f.(X). V reakci určete množství celočíselných bodů v těchto intervalech.

Obrázek ukazuje graf y \u003d.f.'(X) - odvozená funkce f.(X)stanoveno na intervalu (-5; 7). Najít rovnost funkce f.(X). V reakci určete množství celočíselných bodů v těchto intervalech.

Obrázek ukazuje graf y \u003d.f.'(X) - odvozená funkce f.(X)stanoveno na intervalu (-11; 3). Najděte sazby rostoucí funkce f.(X). V reakci určete délku největšího z nich.

F Obrázek zobrazuje graf

Úkolem úkolu je stejný (který jsme považovali). Najít součet tří čísel:

1. Součet čtverců extrémních funkcí F (x).

2. Rozdíl čtverců Součet maximálních bodů a součtu bodů minimální funkce f (x).

3. Množství tečnářů na f (x), rovnoběžně s přímým y \u003d -3x + 5.

První, kdo dá správnou odpověď, obdrží pobídku - 150 rublů. Odpovědi v komentářích. Pokud je to váš první komentář k blogu, pak se okamžitě nezobrazí, o něco později (nebojte se, čas psaní komentáře je registrován).

Úspěch pro vás!

S pozdravem, Alexander Krutitsih.

P.S: Budu vděčný, pokud řeknete o stránkách v sociálních sítích.