Rovnice přímky v úsecích

Nechť je dána obecná rovnice přímky:

Rovnice přímky v segmentech, kde jsou segmenty, které jsou odříznuty přímkou ​​na odpovídajících souřadnicových osách.

Sestrojte přímku danou obecnou rovnicí:

Z čehož můžete sestavit rovnici této přímky v segmentech:

Vzájemné uspořádání přímek v rovině.

Prohlášení 1.

V pořadí přímek a dané rovnicemi:

Současně je nutné a postačující, aby:

Důkaz: a shodují se, jejich směrové vektory a jsou kolineární, tj.:

Vezměte bod М 0 těmito řádky, pak:

Vynásobením první rovnice a přičtením k druhé pomocí (2) dostaneme:

Takže vzorce (2), (3) a (4) jsou ekvivalentní. Nechť platí (2), pak jsou rovnice soustavy (*) ekvivalentní, odpovídající přímky se shodují.

prohlášení 2.

Přímky a dané rovnicemi (*) jsou rovnoběžné a neshodují se právě tehdy, když:

Důkaz:

I když se neshodují:

Nekonzistentní, tedy podle Kronecker-Capelliho teorému:

To je možné pouze v případě, že:

Tedy za podmínky (5).

Když je splněna první rovnost (5), - nesplnění druhé rovnosti dává nekompatibilitu systému (*), přímky jsou rovnoběžné a nesplývají.

Poznámka 1.

Polární souřadnicový systém.

Upevníme bod na rovině a nazýváme ho pól. Paprsek vycházející z pólu se bude nazývat polární osa.

Zvolme měřítko pro měření délek segmentů a dohodneme se, že rotace kolem m proti směru hodinových ručiček bude považována za kladnou. Uvažujme libovolný bod v dané rovině, označte jeho vzdáleností od pólu a nazvěte jej polární poloměr. Úhel, o který je potřeba otočit polární osu tak, aby se shodovala, bude označen a nazýván polárním úhlem.

Definice 3.

Polární souřadnice bodu se nazývají jeho polární poloměr a polární úhel:

Poznámka 2. u pólu. Hodnota pro jiné body než bod je určena až do součet.

Uvažujme kartézský pravoúhlý souřadnicový systém: pól se shoduje s počátkem a polární osa se shoduje s kladnou poloosou. Tady. Pak:

Jaký je vztah mezi pravoúhlými kartézskými a polárními souřadnicovými systémy.

Bernoulliho lemniskátová rovnice. Napište to v polárním souřadnicovém systému.

Normální rovnice přímky na rovině. Nechť se polární osa shoduje s, - osou procházející počátkem. Nechat:

Nechte tedy:

Podmínka (**) pro bod:

Rovnice přímky v polárním souřadnicovém systému.

Zde je délka nakreslená od počátku k přímce, je to úhel sklonu normály k ose.

Rovnici (7) lze přepsat:

Normální rovnice přímky na rovině.

Nechť je dán nějaký afinní souřadnicový systém OXY.

Věta 2.1. Jakékoliv rovné l souřadnicový systém ОX je dán lineární rovnicí tvaru

A X+ B y+ C = O, (1)

kde А, В, С R a А 2 + В 2 0. Naopak jakákoli rovnice ve tvaru (1) definuje přímku.

Rovnice formuláře (1) - obecná rovnice přímky .

Nechť v rovnici (1) jsou všechny koeficienty A, B a C nenulové. Pak

Ax-By = -C a.

Označme -C / A = a, -C / B = b. Dostaneme

-rovnice úsečky .

Opravdu, čísla | a | a | b | označte hodnoty segmentů odříznutých přímkou l na osách OX a OY.

Ať je to rovné l je dáno obecnou rovnicí (1) v pravoúhlém souřadnicovém systému a nechť body M 1 (x 1, y 1) a M 2 (x 2, y 2) patří do l... Pak

A X 1 + B na 1 + C = A X 2 + B na 2 + C, tedy A ( X 1 -X 2) + B ( na 1 -na 2) = 0.

Poslední rovnost znamená, že vektor = (A, B) je ortogonální k vektoru = (x 1 -x 2, y 1 -y 2). ty. Zavolá se vektor (A, B). normálový vektor přímky l.

Uvažujme vektor = (- B, A). Pak

A (-B) + BA = 0. ty. ^.

Proto vektor = (- B, A) je řídícím vektorem pikantnosti l.

Parametrické a kanonické rovnice přímky

Rovnice přímky procházející dvěma danými body

Nechť je dána přímka v afinním souřadnicovém systému (0, X, Y) l, jeho směrový vektor = (m, n) a bod M 0 ( X 0 ,y 0) ve vlastnictví l... Potom pro libovolný bod M ( X,na) tohoto řádku máme

a jak tedy .

Označíme-li a

Potom poloměrové vektory bodů M a M 0

- rovnice přímky ve vektorovém tvaru.

Protože = ( X,na), =(X 0 ,na 0), pak

X= X 0 + mt,

y= y 0 + nt

- parametrická rovnice přímky .

Z toho tedy vyplývá

- kanonická rovnice přímky .

Konečně, pokud na přímce l dva body M 1 ( X 1 ,na 1) a

M 2 ( X 2 ,na 2), pak vektor = ( X 2 -X 1 ,y 2 -na 1) je vedení vektorová přímka l... Pak

- rovnice přímky procházející dvěma danými body.

Vzájemná poloha dvou přímek.

Nechte rovné čáry l 1 a l 2 jsou dány jejich obecnými rovnicemi

l 1: A 1 X+ B 1 na+ С 1 = 0, (1)

l 2: A 2 X+ B 2 na+ C2 = 0.

Teorém... Nechte rovné čáry l 1 a l 2 jsou dány rovnicemi (1). Teprve potom:

1) přímky se protínají, když neexistuje žádné číslo λ takové, že

Ai = λA2, B1 = λB2;

2) čáry se shodují, když existuje číslo λ takové, že

А 1 = λA 2, B 1 = λB 2, С 1 = λС 2;

3) čáry jsou zřetelné a rovnoběžné, když existuje číslo λ takové, že

А 1 = λA 2, В 1 = λВ 2, С 1 λС 2.

Svazek rovných čar

Hromada rovných čar se nazývá množina všech přímek v rovině procházející bodem, tzv centrum paprsek.

Pro nastavení rovnice nosníku stačí znát dvě libovolné přímky l 1 a l 2 procházející středem paprsku.

Nechte v afinním souřadnicovém systému přímky l 1 a l 2 jsou dány rovnicemi

l 1: A 1 X+ B 1 y+ C1 = 0,

l 2: A 2 X+ B 2 y+ C2 = 0.

rovnice:

A 1 X+ B 1 y+ C + λ (A2 X+ B 2 y+ C) = 0

- rovnice tužky přímek, definovaná rovnicemi l 1 a l 2.

V následujícím textu souřadnicovým systémem rozumíme pravoúhlý souřadnicový systém .

Podmínky rovnoběžnosti a kolmosti dvou přímek

Nechte rovné čáry l 1 a l 2. jejich obecné rovnice; = (A 1, B 1), = (A 2, B 2) - normálové vektory těchto čar; k 1 = tgα 1, k 2 = tgα 2 - sklony; = ( m 1 ,n 1), (m 2 ,n 2) - směrové vektory. Pak rovnou l 1 a l 2 jsou paralelní tehdy a pouze tehdy, když je splněna jedna z následujících podmínek:

nebo buď k 1 =k 2 nebo.

Nechte teď rovné čáry l 1 a l 2 jsou kolmé. Pak je zřejmé, že A1A2 + B1B2 = 0.

Pokud rovnou l 1 a l 2 jsou dány rovnicemi

l 1: na=k 1 X+ b 1 ,

l 2: na=k 2 X+ b 2 ,

pak tgα 2 = tg (90º + α) = .

Z toho tedy vyplývá

Konečně, jestliže a směrové vektory přímek, pak ^, tj.

m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0

Posledně jmenované vztahy vyjadřují nutnou a postačující podmínku kolmosti dvou rovin.

Úhel mezi dvěma rovnými čarami

V úhlu φ mezi dvěma přímkami l 1 a l 2 budeme rozumět nejmenšímu úhlu, o který se musí jedna přímka otočit tak, aby se stala rovnoběžnou s jinou přímkou ​​nebo se s ní shodovala, tedy 0 £ φ £

Nechť jsou přímky dány obecnými rovnicemi. To je zřejmé

cosφ =

Nechte teď rovné čáry l 1 a l 2 je dána rovnicemi se sklonovými koeficienty k 1 palec k 2 resp. Pak

Je zřejmé, že ( X-X 0) + B ( na-na 0) + C ( z-z 0) = 0

Rozbalme závorky a označme D = -A X 0 - B na 0 - C z 0 Dostaneme

A X+ B y+ C z+ D = 0 (*)

- obecná rovnice roviny nebo obecná rovnice roviny.

Věta 3.1 Lineární rovnice (*) (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) je rovnicí roviny a naopak, jakákoli rovnice roviny je lineární.

1) D = 0, pak rovina prochází počátkem.

2) A = 0, pak je rovina rovnoběžná s osou OX

3) A = 0, B = 0, pak je rovina rovnoběžná s rovinou OXY.

Nechť všechny koeficienty v rovnici jsou nenulové.

- rovinná rovnice v úsecích... Čísla | a |, | b |, | c | označte hodnoty úseček oříznutých rovinou na souřadnicových osách.

A budeme podrobně analyzovat speciální formu rovnice přímky -. Začněme tvarem rovnice přímky v úsecích a uveďme příklad. Poté se zaměříme na konstrukci přímky, která je dána rovnicí přímky v úsecích. Na závěr si ukážeme, jak probíhá přechod od úplné obecné rovnice přímky k rovnici přímky v úsecích.

Navigace na stránce.

Rovnice přímky v úsecích - popis a příklad.

Nechte Oxyho fixovat v letadle.

Rovnice přímky v úsecích na rovině v pravoúhlém souřadnicovém systému Oxy má tvar, kde a a b jsou nějaká nenulová reálná čísla.

Není náhodou, že rovnice přímky v segmentech dostala takový název - absolutní hodnoty čísel a a b se rovnají délkám segmentů, které jsou oříznuty přímkou ​​na souřadnicových osách Ox and Oy, počítáno od původu.

Ujasněme si tento bod. Víme, že souřadnice libovolného bodu na přímce splňují rovnici této přímky. Pak je jasně vidět, že přímka daná rovnicí přímky v úsecích prochází body a od a ... A body a jsou právě umístěny na souřadnicových osách Ox a Oy a jsou odstraněny z počátku jednotkami a a b. Značky pro čísla aab označují směr, ve kterém by měly být segmenty vedení položeny. Znaménko „+“ znamená, že segment je položen v kladném směru souřadnicové osy, znaménko „-“ znamená opak.

Pojďme si nakreslit schematický nákres vysvětlující vše výše uvedené. Zobrazuje umístění přímek vzhledem k pevnému pravoúhlému souřadnicovému systému Oxy v závislosti na hodnotách čísel a a b v rovnici přímky v segmentech.

Nyní se ukázalo, že rovnice přímky v segmentech usnadňuje konstrukci této přímky v pravoúhlém souřadnicovém systému Oxy. Pro sestavení přímky, která je dána rovnicí přímky v segmentech pohledu, byste měli v rovině označit body v pravoúhlém souřadnicovém systému a poté je spojit přímkou ​​pomocí pravítka.

Uveďme příklad.

Příklad.

Nakreslete přímku určenou rovnicí přímky v segmentech pohledu.

Řešení.

Z dané rovnice přímky v úsecích je vidět, že přímka prochází body ... Označíme je a spojíme přímkou.

Redukce obecné rovnice přímky na rovnici přímky v úsecích.

Při řešení některých úloh souvisejících s přímkou ​​na rovině je vhodné pracovat s rovnicí přímky v úsecích. Existují však i jiné typy rovnic, které definují přímku v rovině. Proto je nutné přechod z dané rovnice přímky na rovnici této přímky provádět po úsecích.

V této podkapitole si ukážeme, jak získat rovnici přímky v úsecích, je-li dána úplná obecná rovnice přímky.

Známe úplnou obecnou rovnici přímky v rovině ... Protože A, B a C se nerovnají nule, můžete přenést číslo C na pravou stranu rovnosti, vydělit obě strany výsledné rovnosti –C a poslat koeficienty pro x a y do jmenovatelů:
.

(V posledním přechodu jsme použili rovnost ).

Vycházíme tedy z obecné rovnice přímky přešlo na rovnici přímky v úsecích, kde .

Příklad.

Přímka v pravoúhlém souřadném systému Oxy je dána rovnicí ... Napište rovnici této přímky po úsečkách.

Řešení.

Přenesme jednu sekundu na pravou stranu dané rovnosti: ... Nyní rozdělme výslednou rovnost na obě části: ... Zbývá transformovat výslednou rovnost do požadované podoby: ... Tak jsme dostali požadovanou rovnici přímky v úsecích.

Odpovědět:

Pokud je určena přímka

Jestliže v obecné rovnici přímky Ax + Vy + C = 0 C ¹ 0, pak po dělení –C dostaneme: nebo

Geometrický význam koeficientů je, že koeficient A je souřadnice průsečíku přímky s osou Ox a b- souřadnice průsečíku přímky s osou Oy.

Příklad. Je dána obecná rovnice přímky x - y + 1 = 0. Najděte rovnici této přímky v úsecích.

C = 1, a = -1, b = 1.

Normální rovnice přímky.

Jsou-li obě strany rovnice Ax + Vy + C = 0 dělené číslem tzv normalizační faktor, pak dostaneme

Xcosj + ysinj - p = 0 -

normální rovnice přímky.

Znaménko ± normalizačního faktoru by mělo být zvoleno tak, aby m × С< 0.

p je délka kolmice pokleslé od počátku k přímce a j je úhel, který svírá tato kolmice s kladným směrem osy Ox.

Příklad. Je dána obecná rovnice přímky 12x - 5y - 65 = 0. Je potřeba napsat různé typy rovnic této přímky.

rovnice této přímky v úsecích:

rovnice této přímky se sklonem: (dělte 5)

normální rovnice přímky:

; cosj = 12/13; sinj = -5/13; p = 5.

Je třeba poznamenat, že ne každá přímka může být reprezentována rovnicí v segmentech, například přímky rovnoběžné s osami nebo procházející počátkem.

Příklad. Přímka odřízne stejné kladné segmenty na souřadnicových osách. Vytvořte přímou rovnici, pokud je plocha trojúhelníku tvořeného těmito segmenty 8 cm 2.

Rovnice přímky má tvar:, a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -4.

a = -4 neodpovídá příkazu problému.

Celkem: nebo x + y - 4 = 0.

Příklad. Sestavte rovnici přímky procházející bodem A (-2, -3) a počátkem.

Rovnice přímky má tvar:, kde x 1 = y 1 = 0; x2 = -2; y2 = -3.

Rovnice přímky procházející daným bodem

Kolmo k dané přímce.

Definice. Přímka procházející bodem M 1 (x 1, y 1) a kolmá k přímce y = kx + b je znázorněna rovnicí:

Úhel mezi přímkami v rovině.

Definice. Jsou-li dány dvě přímky y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, pak ostrý úhel mezi těmito přímkami bude definován jako

Dvě přímky jsou rovnoběžné, pokud k 1 = k 2.

Dvě přímky jsou kolmé, pokud k 1 = -1 / k 2.

Teorém. Přímky Ax + Vy + C = 0 a A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 jsou rovnoběžné, když poměrné koeficienty A 1 = lA, B 1 = lB. Pokud také С 1 = lС, pak se čáry shodují.

Souřadnice průsečíku dvou přímek jsou nalezeny jako řešení soustavy rovnic těchto přímek.

Vzdálenost od bodu k řádku.

Teorém. Je-li dán bod M (x 0, y 0), pak vzdálenost k přímce Ax + Vy + C = 0 je určena jako

Důkaz. Nechť bod M 1 (x 1, y 1) je základna kolmice svržené z bodu M na danou přímku. Pak vzdálenost mezi body M a M 1:

Souřadnice x 1 a y 1 lze nalézt jako řešení soustavy rovnic:

Druhá rovnice soustavy je rovnicí přímky procházející daným bodem M 0 kolmým k dané přímce.

Převedeme-li první rovnici soustavy do tvaru:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

pak řešením dostaneme:

Dosazením těchto výrazů do rovnice (1) zjistíme:

Věta je dokázána.

Příklad . Určete úhel mezi přímkami: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

ki = -3; k2 = 2 tgj =; j = p/4.

Příklad. Ukažte, že přímky 3x - 5y + 7 = 0 a 10x + 6y - 3 = 0 jsou kolmé.

Zjistíme: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, tedy přímky jsou kolmé.

Příklad. Jsou dány vrcholy trojúhelníku A (0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Najděte rovnici pro výšku nakreslenou z vrcholu C.

Najdeme rovnici strany AB:; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

Požadovaná výšková rovnice je: Ax + By + C = 0 nebo y = kx + b.

k =. Pak y =. Protože výška prochází bodem C, pak její souřadnice splňují tuto rovnici: odkud b = 17. Celkem:.

Odpověď: 3x + 2 roky - 34 = 0.

Křivky druhého řádu.

Křivka druhého řádu může být dána rovnicí

Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0.

Existuje souřadnicový systém (ne nutně pravoúhlý kartézský), ve kterém může být tato rovnice reprezentována v jedné z níže uvedených forem.

1) - rovnice elipsy.

2) - rovnice "imaginární" elipsy.

3) - rovnice hyperboly.

4) a 2 x 2 - c 2 y 2 = 0 - rovnice dvou protínajících se přímek.

5) y 2 = 2px - rovnice paraboly.

6) y 2 - a 2 = 0 je rovnice dvou rovnoběžných přímek.

7) y 2 + a 2 = 0 je rovnice dvou „imaginárních“ rovnoběžných čar.

8) y 2 = 0 je dvojice shodných přímek.

9) (x - a) 2 + (y - b) 2 = R 2 je rovnice kruhu.

Kruh.

V kružnici (x - a) 2 + (y - b) 2 = R 2 má střed souřadnice (a; b).

Příklad. Najděte souřadnice středu a poloměr kružnice, pokud je její rovnice uvedena ve tvaru:

2x 2 + 2 roky 2 - 8x + 5 let - 4 = 0.

Pro zjištění souřadnic středu a poloměru kružnice je třeba tuto rovnici zredukovat na tvar uvedený výše v odstavci 9. Chcete-li to provést, vyberte celé čtverce:

x 2 + y 2 - 4x + 2,5 y - 2 = 0

x 2 – 4x + 4 –4 + y 2 + 2,5 roku + 25/16 – 25/16 – 2 = 0

(x - 2) 2 + (y + 5/4) 2 - 25/16 - 6 = 0

(x - 2) 2 + (y + 5/4) 2 = 121/16

Odtud najdeme O (2; -5/4); R = 11/4.

Elipsa.

Definice. Elipsa nazývá se křivka daná rovnicí.

Definice. Zaměřuje se takové dva body se nazývají, součet vzdáleností, z nichž do kteréhokoli bodu elipsy je konstanta.

F 1, F 2 - zaostří. F1 = (c; 0); F 2 (-c; 0)

c - polovina vzdálenosti mezi ohnisky;

a - hlavní poloosa;

b - vedlejší vedlejší osa.

Teorém. Ohnisková vzdálenost a poloosy elipsy jsou ve vztahu k poměru:

a 2 = b 2 + c 2.

Důkaz: Pokud je bod M v průsečíku elipsy se svislou osou, r 1 + r 2= 2 (podle Pythagorovy věty). Pokud je bod M v průsečíku elipsy s vodorovnou osou, r 1 + r 2 = a - c + a + c. Protože podle definice částku r 1 + r 2 Je-li konstantní hodnota, pak po vyrovnání dostaneme:

a 2 = b 2 + c 2

r1 + r2 = 2a.

Definice. Tvar elipsy je určen charakteristikou, což je poměr ohniskové vzdálenosti k hlavní ose a je tzv. excentricita.

Protože S< a, то е < 1.

Definice. Nazývá se veličina k = b / a kompresní poměr elipsa a nazývá se veličina 1 - k = (a - b) / a mačkání elipsa.

Kompresní poměr a excentricita souvisí s poměrem: k 2 = 1 - e 2.

Pokud a = b (c = 0, e = 0, ohniska splývají), pak se elipsa změní na kružnici.

Pokud je pro bod M (x 1, y 1) splněna podmínka:, pak je uvnitř elipsy, a pokud, pak je bod mimo elipsu.

Teorém. Pro libovolný bod M (x, y) patřící elipse platí následující vztahy::

R1 = a - ex, r2 = a + ex.

Důkaz. Výše bylo ukázáno, že r 1 + r 2 = 2a. Kromě toho můžete z geometrických důvodů napsat:

Po umocnění a zmenšení podobných výrazů:

Podobně lze dokázat, že r 2 = a + ex. Věta je dokázána.

K elipse jsou připojeny dvě přímky, tzv ředitelé... Jejich rovnice jsou:

X = a/e; x = -a/e.

Teorém. Aby bod ležel na elipse, je nutné a postačující, aby poměr vzdálenosti k ohnisku ke vzdálenosti k odpovídající směrové přímce byl roven excentricitě e .

Příklad. Srovnejte přímku procházející levým ohniskem a spodním vrcholem elipsy dané rovnicí:

1) Souřadnice dolního vrcholu: x = 0; y2 = 16; y = -4.

2) Souřadnice levého ohniska: c 2 = a 2 - b 2 = 25 - 16 = 9; c = 3; F2 (-3; 0).

3) Rovnice přímky procházející dvěma body:

Příklad. Sestavte rovnici elipsy, jestliže její ohniska jsou F 1 (0; 0), F 2 (1; 1), hlavní osa je 2.

Rovnice elipsy má tvar:. Vzdálenost mezi ohnisky:

2c =, takže a 2 - b 2 = c 2 = ½

podmínkou 2a = 2, tedy a = 1, b =

Hyperbola.

Definice. Nadsázka se nazývá množina bodů roviny, pro kterou je modul rozdílu vzdáleností od dvou daných bodů, tzv triky existuje konstantní hodnota menší než vzdálenost mezi ohnisky.

Podle definice ïr 1 - r 2 ï = 2a. F 1, F 2 - ohniska hyperboly. F1F2 = 2c.

Zvolme libovolný bod M (x, y) na hyperbole. Pak:

označíme c 2 - a 2 = b 2 (geometricky je tato hodnota vedlejší poloosa)

Obdržel rovnici kanonické hyperboly.

Hyperbola je symetrická ke středu segmentu spojujícího ohniska a kolem souřadnicových os.

Osa 2a se nazývá skutečná osa hyperboly.

Osa 2b se nazývá pomyslná osa hyperboly.

Hyperbola má dvě asymptoty, jejichž rovnice jsou

Definice. Vztah se nazývá excentricita hyperboly, kde c je polovina vzdálenosti mezi ohnisky a je skutečná poloosa.

Vzhledem k tomu, že c 2 - a 2 = b 2:

Jestliže a = b, e =, pak se nazývá hyperbola rovnoramenné (rovnostranné).

Definice. Dvě přímky kolmé na skutečnou osu hyperboly a umístěné symetricky kolem středu ve vzdálenosti a / e od ní se nazývají ředitelé nadsázka. Jejich rovnice jsou:.

Teorém. Jestliže r je vzdálenost od libovolného bodu M hyperboly k jakémukoli ohnisku, d je vzdálenost od stejného bodu k přímce odpovídající tomuto ohnisku, pak poměr r/d je konstantní hodnota rovna excentricitě.

Důkaz. Načrtneme hyperbolu.

Ze zřejmých geometrických vztahů můžete napsat:

a / e + d = x, tedy d = x - a / e.

(x - c) 2 + y2 = r2

Z kanonické rovnice: s přihlédnutím k b 2 = c 2 - a 2:

Od té doby c / a = e, pak r = ex - a.

Pro levou větev hyperboly je důkaz podobný. Věta je dokázána.

Příklad. Najděte rovnici hyperboly, jejíž vrcholy a ohniska jsou v odpovídajících vrcholech a ohniscích elipsy.

Pro elipsu: c 2 = a 2 - b 2.

Pro hyperbolu: c 2 = a 2 + b 2.

Hyperbola rovnice:.

Příklad. Napište rovnici hyperboly, je-li její excentricita 2 a ohniska se shodují s ohnisky elipsy s rovnicí parametru paraboly. Odvoďme kanonickou rovnici paraboly.

Z geometrických vztahů: AM = MF; AM = x + p/2;

MF2 = y2 + (x - p / 2) 2

(x + p / 2) 2 = y 2 + (x - p / 2) 2

x 2 + xp + p 2/4 = y 2 + x 2 - xp + p 2/4

Rovnice přímé přímky: x = -p / 2.

Příklad . Na parabole y 2 = 8x najděte bod, jehož vzdálenost od přímky je 4.

Z rovnice paraboly zjistíme, že p = 4.

r = x + p/2 = 4; proto:

x = 2; y2 = 16; y = ± 4. Hledané body: M 1 (2; 4), M 2 (2; -4).

Příklad. Rovnice křivky v polárním souřadnicovém systému je:

Najděte rovnici křivky v kartézském pravoúhlém souřadnicovém systému, určete typ křivky, najděte ohniska a excentricitu. Sestavte schematicky křivku.

Využijme spojení mezi kartézským pravoúhlým a polárním souřadnicovým systémem:;

Obdržel rovnici kanonické hyperboly. Z rovnice je vidět, že hyperbola je posunuta podél osy Ox o 5 doleva, hlavní poloosa a je rovna 4, vedlejší poloosa b je rovna 3, z čehož dostáváme c 2 = a 2 + b 2; c = 5; e = c/a = 5/4.

Zaostří F 1 (-10; 0), F 2 (0; 0).

Pojďme nakreslit tuto hyperbolu.

Rovnice přímky na rovině.
Směrový vektor je přímka. Normální vektor

Přímá čára v rovině je jedním z nejjednodušších geometrických tvarů, které znáte již od základních ročníků, a dnes se naučíme, jak se s ní vyrovnat pomocí metod analytické geometrie. Abyste zvládli materiál, musíte být schopni postavit přímku; vědět, jaká rovnice se používá k definování přímky, zejména přímky procházející počátkem a přímek rovnoběžných se souřadnicovými osami. Tyto informace naleznete v návodu Grafy a vlastnosti elementárních funkcí, vytvořil jsem to pro matan, ale část o lineární funkci se ukázala jako velmi zdařilá a podrobná. Proto se milé konvičky nejprve zahřejte tam. Kromě toho musíte mít základní znalosti vektory, jinak bude porozumění materiálu neúplné.

V této lekci se podíváme na způsoby, jak můžete napsat rovnici přímky v rovině. Doporučuji nezanedbávat praktické příklady (i když se to zdá velmi jednoduché), protože je doplním elementárními a důležitými fakty, technikami, které budou vyžadovány v budoucnu, a to i v jiných částech vyšší matematiky.

• Jak napsat rovnici přímky se sklonem?
• Jak ?
• Jak najít směrový vektor podle obecné rovnice přímky?
• Jak vytvořit rovnici přímky z bodu a normálového vektoru?

a začínáme:

Rovnice přímky se sklonem

Známý „školní“ tvar rovnice přímky se nazývá rovnice přímky se sklonem... Pokud je například přímka dána rovnicí, pak její sklon je:. Zvažte geometrický význam tohoto koeficientu a jak jeho hodnota ovlivňuje umístění přímky:

Kurz geometrie to dokazuje sklon přímky je tečna úhlu mezi kladným směrem osya tento řádek:, a úhelník se "odšroubuje" proti směru hodinových ručiček.

Aby se kresba nezaneřádila, nakreslil jsem rohy jen u dvou čar. Zvažte "červenou" čáru a její sklon. Jak je uvedeno výše: (úhel "alfa" je označen zeleným obloukem). Pro „modrou“ čáru se sklonem platí rovnost (úhel „beta“ je označen hnědým obloukem). A pokud je známá tangens úhlu, pak je v případě potřeby snadné jej najít a samotný roh pomocí inverzní funkce - arkustangens. Jak se říká, v ruce trigonometrická tabulka nebo mikrokalkulačka. Takto, sklon charakterizuje stupeň sklonu přímky k ose x.

V tomto případě jsou možné následující případy:

1) Pokud je sklon záporný:, pak čára, zhruba řečeno, jde shora dolů. Příkladem jsou "modré" a "karmínové" rovné čáry ve výkresu.

2) Pokud je sklon kladný: čára jde zdola nahoru. Příkladem jsou "černé" a "červené" čáry ve výkresu.

3) Pokud je sklon nula:, pak rovnice nabývá tvaru a odpovídající přímka je rovnoběžná s osou. Příkladem je „žlutá“ přímka.

4) Pro rodinu přímek rovnoběžných s osou (na obrázku není žádný příklad, kromě osy samotné), sklon neexistuje (tangens 90 stupňů není definován).

Čím větší je sklon modulu, tím strmější je graf přímky.

Uvažujme například dva řádky. Zde má tedy trať strmější sklon. Dovolte mi, abych vám připomněl, že modul vám umožňuje ignorovat znamení, pouze nás zajímá absolutní hodnoty sklonové koeficienty.

Přímka je zase strmější než přímka. .

Naopak: čím menší je sklon v modulu, tím je přímka plochější.

Pro přímé nerovnost je pravdivá, takže přímka je plošší. Dětská skluzavka, abyste si nedělali modřiny a boule.

Proč je to potřeba?

Prodlužte si své trápení Znalost výše uvedených skutečností vám umožní okamžitě vidět své chyby, zejména chyby v grafu - pokud se ukázalo, že kresba je „zjevně něco špatně“. Je vhodné, abyste hned bylo jasné, že například přímka je velmi strmá a jde zdola nahoru a přímka je velmi mělká, blízko osy a jde shora dolů.

V geometrických úlohách se často objevuje několik přímek, takže je vhodné je nějak označit.

Označení: rovné čáry jsou označeny malými latinskými písmeny:. Oblíbenou možností je označení stejným písmenem s přirozenými indexy. Například pět přímých čar, které jsme právě uvažovali, lze označit pomocí .

Protože každá přímka je jednoznačně určena dvěma body, lze ji označit těmito body: atd. Ze zápisu jasně vyplývá, že body patří k přímce.

Čas se trochu zahřát:

Jak napsat rovnici přímky se sklonem?

Pokud je znám bod patřící k určité přímce a sklon této přímky, pak rovnice této přímky je vyjádřena vzorcem:

Příklad 1

Přirovnejte přímku se sklonem, pokud je známo, že bod patří do této přímky.

Řešení: Rovnice přímky je sestavena vzorcem ... V tomto případě:

Odpovědět:

Zkouška se provádí elementárně. Nejprve se podíváme na výslednou rovnici a ujistíme se, že náš sklon je na místě. Za druhé, souřadnice bodu musí splňovat tuto rovnici. Dosadíme je do rovnice:

Získá se správná rovnost, což znamená, že bod vyhovuje výsledné rovnici.

Závěr: Rovnice je správná.

Složitější příklad řešení pro kutily:

Příklad 2

Sestavte rovnici přímky, je-li známo, že její úhel sklonu ke kladnému směru osy je a bod patří této přímce.

Pokud máte nějaké potíže, přečtěte si znovu teoretický materiál. Přesněji, praktičtější, chybí mi mnoho důkazů.

Zazvonilo poslední zvonění, promoce utichla a za branami rodné školy nás čeká vlastně analytická geometrie. Vtipům je konec.... Nebo možná teprve začínají =)

Nostalgicky máváme propiskou známému a seznamujeme se s obecnou rovnicí přímky. Protože je to to, co se používá v analytické geometrii:

Obecná rovnice přímky má tvar:, kde jsou nějaká čísla. Navíc koeficienty zároveň nejsou rovny nule, protože rovnice ztrácí smysl.

Oblečme rovnici svahu do obleku a kravaty. Nejprve přesuneme všechny termíny na levou stranu:

Termín s "x" musí být umístěn na prvním místě:

Rovnice v zásadě již má tvar, ale podle pravidel matematické etikety musí být koeficient prvního členu (v tomto případě) kladný. Změna znamení:

Pamatujte na tuto technickou vlastnost! První koeficient (nejčastěji) klademe!

V analytické geometrii bude rovnice přímky téměř vždy uvedena v obecném tvaru. No a pokud je to nutné, je snadné to přivést na "školní" pohled se svahem (kromě rovných čar rovnoběžných s osou).

Položme si otázku co dost umíš postavit přímku? Dva body. Ale více o tomto případu z dětství později, nyní vládnou šipky. Každá přímka má dobře definovaný sklon, kterému je snadné se „přizpůsobit“ vektor.

Vektor, který je rovnoběžný s přímkou, se nazývá směrový vektor této přímky.... Je zřejmé, že jakákoli přímka má nekonečně mnoho směrových vektorů a všechny budou kolineární (souměrné nebo ne - na tom nezáleží).

Směrový vektor označím takto:.

Ale jeden vektor k sestavení přímky nestačí, vektor je volný a není vázán na žádný bod v rovině. Proto je dodatečně nutné znát nějaký bod, který patří přímce.

Jak srovnat přímku z bodu a směrového vektoru?

Je-li znám nějaký bod patřící přímce a směrový vektor této přímky , pak lze rovnici této přímky sestavit pomocí vzorce:

Někdy se tomu říká kanonická rovnice přímky .

Co dělat, když jednu ze souřadnic je nula, praktické příklady uvidíme níže. Mimochodem, všimněte si - obojí najednou souřadnice se nemohou rovnat nule, protože nulový vektor neurčuje konkrétní směr.

Příklad 3

Srovnejte přímku z bodu a směrového vektoru

Řešení: Rovnice přímky je sestavena vzorcem. V tomto případě:

Pomocí proporčních vlastností se zbavíme zlomků:

A rovnici přivedeme do obecného tvaru:

Odpovědět:

Kreslení v takových příkladech zpravidla nemusí být provedeno, ale kvůli porozumění:

Na výkresu vidíme počáteční bod, původní směrový vektor (lze jej vyčlenit z libovolného bodu v rovině) a sestrojenou čáru. Mimochodem, v mnoha případech je nejpohodlnější sestrojit přímku pomocí rovnice se sklonem. Je snadné převést naši rovnici do tvaru a snadno vybrat jeden další bod pro vytvoření přímky.

Jak bylo uvedeno na začátku této části, přímka má nekonečně mnoho směrových vektorů a všechny jsou kolineární. Například jsem nakreslil tři takové vektory: ... Ať už zvolíme kterýkoli směrový vektor, výsledkem bude vždy stejná rovnice přímky.

Sestavme rovnici přímky podél bodu a směrového vektoru:

Vyřešíme poměr:

Vydělte obě strany –2 a dostaneme známou rovnici:

Zájemci mohou podobně testovat vektory nebo jakýkoli jiný kolineární vektor.

Nyní vyřešme inverzní problém:

Jak najít směrový vektor podle obecné rovnice přímky?

Velmi jednoduché:

Pokud je přímka dána obecnou rovnicí, pak je vektor směrovým vektorem této přímky.

Příklady hledání směrových vektorů přímek:

Tvrzení nám umožňuje najít pouze jeden směrový vektor z nekonečné množiny, ale víc nepotřebujeme. Ačkoli v některých případech je vhodné snížit souřadnice směrových vektorů:

Rovnice tedy nastaví přímku, která je rovnoběžná s osou, a souřadnice výsledného směrového vektoru se pohodlně vydělí –2, čímž získáme přesně základní vektor jako směrový vektor. Je to logické.

Podobně rovnice specifikuje přímku rovnoběžnou s osou a vydělením souřadnic vektoru 5 získáme ort jako směrový vektor.

Nyní provedeme kontrola Příklad 3... Příklad šel nahoru, takže vám připomínám, že jsme v něm vytvořili rovnici přímky podél bodu a směrového vektoru

Za prvé, rovnicí přímky obnovíme její směrový vektor: - vše je v pořádku, dostali jsme původní vektor (v některých případech se může ukázat, že je kolineární s původním vektorem, což lze obvykle snadno zjistit z proporcionality odpovídajících souřadnic).

Za druhé, souřadnice bodu musí vyhovovat rovnici. Dosadíme je do rovnice:

Byla dosažena správná rovnost, za což jsme velmi rádi.

Závěr: Úkol byl dokončen správně.

Příklad 4

Srovnejte přímku z bodu a směrového vektoru

Toto je příklad řešení pro kutily. Řešení a odpověď na konci lekce. Je velmi vhodné provést kontrolu podle právě uvažovaného algoritmu. Vždy se snažte (pokud je to možné) zkontrolovat koncept. Je pošetilé dělat chyby tam, kde se jim lze 100% vyhnout.

V případě, že jedna ze souřadnic směrového vektoru je nulová, působí velmi jednoduše:

Příklad 5

Řešení: Vzorec nefunguje, protože jmenovatel pravé strany je nula. Je tu východ! Pomocí vlastností proporce přepíšeme vzorec do formuláře a zbytek se rozjede po hluboké koleji:

Odpovědět:

Zkouška:

1) Zrekonstruujte směrový vektor přímky:
- výsledný vektor je kolineární s původním směrovým vektorem.

2) Dosaďte souřadnice bodu do rovnice:

Získá se správná rovnost

Závěr: úkol dokončen správně

Nabízí se otázka, proč se obtěžovat vzorcem, když existuje univerzální verze, která bude fungovat i tak? Důvody jsou dva. Nejprve zlomkový vzorec mnohem lépe zapamatovatelné... A za druhé, nedostatek univerzálního vzorce je tím riziko záměny se výrazně zvyšuje při dosazování souřadnic.

Příklad 6

Srovnejte přímku podél bodu a směrového vektoru.

Toto je příklad řešení pro kutily.

Vraťme se k všudypřítomným dvěma bodům:

Jak sestavit rovnici přímky ze dvou bodů?

Pokud jsou známy dva body, pak rovnici přímky procházející těmito body lze sestavit podle vzorce:

Ve skutečnosti je to druh vzorce a zde je důvod: pokud jsou známy dva body, pak bude vektor směrovým vektorem této přímky. Na lekci Vektory pro figuríny zvažovali jsme nejjednodušší problém - jak najít souřadnice vektoru dvěma body. Podle tohoto problému souřadnice směrového vektoru:

Poznámka : body lze "zaměnit" a použít vzorec. Takové řešení by bylo ekvivalentní.

Příklad 7

Vyrovnejte přímku ze dvou bodů .

Řešení: Používáme vzorec:

Česáme jmenovatele:

A zamíchejte balíček:

Nyní je vhodné zbavit se zlomkových čísel. V tomto případě musíte vynásobit obě části 6:

Otevřeme závorky a vybavíme si rovnici:

Odpovědět:

Zkouška zřejmé - souřadnice původních bodů musí splňovat výslednou rovnici:

1) Dosaďte souřadnice bodu:

Skutečná rovnost.

2) Dosaďte souřadnice bodu:

Skutečná rovnost.

Závěr: rovnice přímky je správná.

Li aspoň jeden bodů nesplňuje rovnici, hledejte chybu.

Stojí za zmínku, že grafické ověření je v tomto případě obtížné, protože můžete postavit přímku a zjistit, zda k ní body patří. , není to tak snadné.

Zaznamenám také několik technických aspektů řešení. Možná je v tomto úkolu výhodnější použít zrcadlový vzorec a ve stejných bodech udělej rovnici:

Jedná se o menší zlomky. Pokud chcete, můžete řešení dodržet až do konce a výsledkem by měla být stejná rovnice.

Druhým bodem je podívat se na konečnou odpověď a zjistit, zda ji lze dále zjednodušit? Pokud je například získána rovnice, je vhodné ji zmenšit o dvě: - rovnice nastaví stejnou přímku. To už je však téma konverzace relativní poloha přímek.

Po obdržení odpovědi v příkladu 7 jsem pro každý případ ověřil, zda jsou VŠECHNY koeficienty rovnice dělitelné 2, 3 nebo 7. I když nejčastěji se takové redukce provádějí i při řešení.

Příklad 8

Vyrovnejte přímku mezi body .

Toto je příklad nezávislého řešení, které vám jen umožní lépe pochopit a propracovat výpočetní techniku.

Podobně jako v předchozím odstavci: pokud je ve vzorci jeden ze jmenovatelů (souřadnice směrového vektoru) zmizí, pak jej přepíšeme jako. Znovu si všimněte, jak trapně a zmateně vypadá. V uvádění praktických příkladů nevidím moc smysl, jelikož jsme takový problém již skutečně řešili (viz č. 5, 6).

Normální vektor čáry (normální vektor)

co je normální? Jednoduše řečeno, normála je kolmice. To znamená, že normálový vektor přímky je kolmý k této přímce. Je zřejmé, že každá přímka jich má nekonečně mnoho (stejně jako směrových vektorů) a všechny normálové vektory přímky budou kolineární (souměrné nebo ne - žádný rozdíl).

Demontáž s nimi bude ještě jednodušší než se směrovými vektory:

Je-li přímka dána obecnou rovnicí v pravoúhlém souřadnicovém systému, pak je vektorem normálový vektor této přímky.

Pokud je třeba z rovnice opatrně „vytáhnout“ souřadnice směrového vektoru, pak se souřadnice normálového vektoru jednoduše „odstraňují“.

Normální vektor je vždy ortogonální ke směru vektoru přímky. Ověřte ortogonalitu těchto vektorů pomocí Tečkovaný produkt:

Uvedu příklady se stejnými rovnicemi jako pro směrový vektor:

Je možné sestavit rovnici přímky, když známe jeden bod a normálový vektor? Můžete to cítit ve svých útrobách. Pokud je znám normálový vektor, pak je směr přímky jednoznačně určen - jedná se o "tuhou strukturu" s úhlem 90 stupňů.

Jak vytvořit rovnici přímky z bodu a normálového vektoru?

Pokud je znám nějaký bod patřící přímce a normálový vektor této přímky, pak rovnice této přímky je vyjádřena vzorcem:

Zde se vše obešlo bez zlomků a dalších překvapení. Toto je náš normální vektor. Miluji ho. A respekt =)

Příklad 9

Srovnejte přímku podél bodu a normálového vektoru. Najděte směrový vektor přímky.

Řešení: Používáme vzorec:

Získáme obecnou rovnici přímky, zkontrolujme:

1) "Odstraňte" souřadnice normálového vektoru z rovnice: - ano, skutečně, původní vektor byl získán z podmínky (nebo by měl být získán kolineární vektor).

2) Zkontrolujte, zda bod splňuje rovnici:

Skutečná rovnost.

Poté, co se ujistíme, že rovnice je správná, provedeme druhou, jednodušší část úkolu. Vyjmeme směrovací vektor přímky:

Odpovědět:

Na obrázku vypadá situace takto:

Pro účely školení podobný úkol pro nezávislé řešení:

Příklad 10

Srovnejte přímku z bodu a normálového vektoru. Najděte směrový vektor přímky.

Závěrečná část lekce bude věnována méně obvyklým, ale i důležitým typům rovnic přímky v rovině.

Rovnice přímky v úsecích.
Rovnice přímky v parametrickém tvaru

Rovnice přímky v úsecích má tvar, kde jsou nenulové konstanty. Některé typy rovnic nelze v této podobě reprezentovat, například přímou úměrnost (protože volný člen je roven nule a neexistuje způsob, jak dostat jedničku na pravou stranu).

Jedná se, obrazně řečeno, o „technický“ typ rovnice. Obyčejným úkolem je znázornit obecnou rovnici přímky ve formě rovnice přímky v úsecích. Jak je to pohodlné? Rovnice přímky v úsecích umožňuje rychle najít průsečíky přímky se souřadnicovými osami, což je velmi důležité v některých úlohách vyšší matematiky.

Najděte průsečík přímky s osou. Vynulujeme "hru" a rovnice získá tvar. Požadovaný bod se získá automaticky:.

Podobně s osou - bod, ve kterém přímka protíná ordinátní osu.