Beweisen Sie den Rückwärtsschirm von Pythagora. Die Lektion "Theorem - Pythagor's theorem"

Pythagores Theorem sagt:

In einem rechteckigen Dreieck ist die Summe der Quadrate der Katheten gleich dem Quadrat der Hypotenuse:

a 2 + B 2 \u003d C 2,

eIN. und b. - Wurzeln, die eine gerade Ecke bilden.
von - Dreieck Hypotenuse.

Pythagora theorem-Formeln.

a \u003d \\ sqrt (c ^ (2) - b ^ (2))
b \u003d \\ sqrt (c ^ (2) - a ^ (2))
c \u003d \\ sqrt (a ^ (2) + b ^ (2))

Beweis für Pythagora-Theorem

Die Fläche des rechteckigen Dreiecks wird von der Formel berechnet:

S \u003d frac (1) (2) ab

Um den Bereich eines beliebigen Dreieck-Formel-Quadrats zu berechnen:

p. - Halbmeter. P \u003d \\ frac (1) (2) (a + b + c),
r. - Radius eingeschriebener Kreis. Für Rektangler \u003d \\ frac (1) (2) (a + b-c).

Dann entsprechen wir den richtigen Teilen beider Formeln für den Dreiecksbereich:

\\ Frac (1) (2) ab \u003d \\ frac (1) (2) (a + b + c) \\ frac (1) (2) (a + b-c)

2 AB \u003d (A + B + C) (A + B-C)

2 ab \u003d \\ links ((a + b) ^ (2) -c ^ (2) \\ rechts)

2 AB \u003d A ^ (2) + 2AB + B ^ (2) -C ^ (2)

0 \u003d a ^ (2) + b ^ (2) -c ^ (2)

c ^ (2) \u003d a ^ (2) + b ^ (2)

Pythagoreran-Reverse-Satz:

Wenn das Quadrat einer Seite des Dreiecks gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten ist, dann ist das Dreieck rechteckig. Das heißt für alle drei positiven Zahlen a, B. und c., so dass

a 2 + B 2 \u003d C 2,

es gibt ein rechteckiges Dreieck mit dem Zoll eIN. und b. und Hypotenuse c..

Satz des Pythagoras - Eine der grundlegenden Theorems der euklidischen Geometrie, die das Verhältnis zwischen den Seiten des rechteckigen Dreiecks herstellt. Sie erwies sich von einem Wissenschaftler Mathematiker und Philosoph Pythagore.

Theoremwert Dabei können Sie mit seiner Hilfe andere Theorems beweisen und Probleme lösen.

Zusätzliches Material:

Satz des Pythagoras - einer der grundlegenden Theorems der euklidischen Geometrie, die das Verhältnis erstellt

zwischen den Seiten des rechteckigen Dreiecks.

Es wird angenommen, dass es von dem griechischen Mathematiker Pythagore, zu ehren und benannt ist, erwiesen wird.

Geometrische Formulierung des Pythagor-Satzes.

Anfangs wurde der Satz wie folgt formuliert:

In einem rechteckigen Dreieck ist das Quadrat des auf der Hypotenuse gebauten Quadrats gleich der Summe der Quadrate der Quadrate,

auf Katzen gebaut.

Algebraische Formulierung des Pythagor-Satzes.

In einem rechteckigen Dreieck ist das Quadrat der Länge der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Schlittenlängen.

Das heißt, die Länge des Dreiecks Hypotenuse durchkämpft c.und die Länge der Katheten durch eIN. und b.:

Beide Wortlaut pythagora-Theorems.gleichwertig, aber das zweite Wortlaut ist elementarer, es ist nicht

erfordert das Konzept der Fläche. Das heißt, die zweite Anweisung kann überprüft werden, nichts weiß über den Bereich und

messen Sie nur die Länge der Seiten des rechteckigen Dreiecks.

Pythagoreaner Theorem.

Wenn das Quadrat einer Seite des Dreiecks gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten ist, dann

das Dreieck ist rechteckig.

Oder mit anderen Worten:

Für alle drei positiven Zahlen eIN., b. und c., so dass

es gibt ein rechteckiges Dreieck mit dem Zoll eIN. und b.und Hypotenuse c..

Pythagora-Theorem für ein äquidierbares Dreieck.

Pythagora-Theorem für ein gleichseitiges Dreieck.

Beweis des Pythagor-Theorems.

Im Moment wurden 367 Beweise für diesen Theorem in der wissenschaftlichen Literatur aufgezeichnet. Wahrscheinlich theorem.

Pythagora ist der einzige Satz mit einer so beeindruckenden Anzahl von Beweisen. Eine solche Vielfalt

kann nur durch den grundlegenden Wert des Geometriesatzes erklärt werden.

Natürlich ist es konzeptionell, dass alle von ihnen in eine kleine Anzahl von Klassen unterteilt werden können. Der berühmteste von ihnen:

beweis für raum des Raums., axiomatisch und exotische Beweise (z.B,

mit der Hilfe differentialgleichung).

1. Beweis von Pythagores-Satz durch solche Dreiecke.

Die folgenden Beweise für algebraische Wortlaut sind die einfachste der im Bau befindlichen Beweise.

direkt aus dem Axiom. Insbesondere verwendet es nicht das Konzept der Figur der Figur.

Lassen ABC Es gibt ein rechteckiges Dreieck mit einem geraden Winkel C.. Lass uns die Höhe von ausgeben C. Und anwenden

seine Fundament durch H..

Dreieck Ach. Wie ein Dreieck. AbC für zwei Ecken. Ähnlich, Dreieck. CBh. Mögen ABC.

Eingabe von Notation:

wir bekommen:

was entspricht -

Passend eIN. 2 I. b. 2, wir bekommen:

oder das zum Beweisen musste.

2. Beweis des Pythagore-Satzes durch den Bereich der Fläche.

Unten, die Beweise, trotz ihrer scheinbar scheinbar scheinbarer Einfachheit, nicht so einfach. Alle von ihnen

verwenden Sie die Eigenschaften des Gebiets, deren Beweise, deren Beweise durch den Beweis des Thenorems von Pythagora selbst komplizierter ist.

Beweis durch die Gleichung.

Platzieren Sie vier gleiche rechteckige

dreieck, wie auf dem Bild gezeigt

rechts.

Quadril mit den Seiten. c. - Quadrat,

da die Summe zweier scharfer Ecken von 90 ° und

einsatzwinkel - 180 °.

Der Bereich der gesamten Figur ist gleich einer Hand,

quadratischer Bereich mit Seite ( a + B.) und andererseits die Summe der Fläche von vier Dreiecke und

Q.E.D.

3. Beweis des Pythagore-Satzes durch die Methode von unendlich kleiner.

In Anbetracht der in der Figur gezeigten Zeichnung und

eine Änderung der Seite beobachteneIN., wir können

notieren Sie das folgende Verhältnis für unendlich

klein Schritte der Seitevon und eIN. (Verwendung des Angestellten

dreiecke):

Mit der variablen Trennmethode finden wir:

Ein allgemeinerer Ausdruck zum Ändern der Hypotenuse im Falle von Inkrementen beider Katheten:

Integrieren dieser Gleichung und Verwendung der Anfangsbedingungen erhalten wir:

So kommen wir zur gewünschten Antwort:

Da es nicht schwer zu sehen ist, erscheint die quadratische Abhängigkeit in der endgültigen Formel auf das lineare

verhältnismäßigkeit zwischen den Seiten des Dreiecks und der Inkremente, während der Betrag unabhängig voneinander verbunden ist

ablagerungen aus dem Inkrement verschiedener Katheten.

Es kann ein einfacherer Nachweis erhalten werden, wenn wir davon ausgehen, dass eine der Katheten nicht inkrementiert ist

(In diesem Fall Catat b.). Dann bekommen wir für die Integrationskonstante:

Laut Van der Varden ist es sehr wahrscheinlich, dass das Verhältnis im Allgemeinen in Babylon in der Nähe des XVIII Jahrhunderts v. Chr. Bab bekannt war. e.

Ungefähr 400 v. Chr. E. Laut der Sonde gab Plato die Methode des Findens von Pythagora-Trok, der Algebra und Geometrie kombinierte. Ca. 300 v. Chr. e. Im "Anfang von" Euclidea erschien der älteste axiomatische Beweis des Pythagoreo-Theorems.

Formulierung

Die Hauptformulierung enthält algebraische Aktionen - in einem rechteckigen Dreieck, dessen Katheten gleich sind A (\\ DisplayStyle A) und B (\\ displaystyle b)und die Länge der Hypotene - C (\\ displaystyle c)Das Verhältnis ist abgeschlossen:

Die äquivalente geometrische Formulierung ist möglich, die auf das Konzept eines Bereichs der Figur zurückgeht: In einem rechteckigen Dreieck ist das auf der Hypotenuse gebaute Quadrat der Summe der Quadrate der auf den Kategorien gebauten Quadrate entspricht. In dieser Form wird der Satz zu Beginn des EUCLIDEA formuliert.

Pythagora Reverse theorem. - Genehmigung der Rechtecke eines jeden Dreiecks, deren Seiten der Seiten von der Beziehung zusammenhängt A 2 + B 2 \u003d C 2 (\\ DisplayStyle A ^ (2) + B ^ (2) \u003d C ^ (2)). Infolgedessen für alle drei positiven Zahlen A (\\ DisplayStyle A), B (\\ displaystyle b) und C (\\ displaystyle c), so dass A 2 + B 2 \u003d C 2 (\\ DisplayStyle A ^ (2) + B ^ (2) \u003d C ^ (2)), Gibt es ein rechteckiges Dreieck mit dem Zoll A (\\ DisplayStyle A) und B (\\ displaystyle b) und Hypotenuse C (\\ displaystyle c).

Beweis für

Die wissenschaftliche Literatur verzeichnete mindestens 400 Beweise für den Pythagora-Satz, der als grundlegender Wert für die Geometrie und die Grundlage des Ergebnisses erklärt wird. Die wichtigsten Beweise: Die algebraische Verwendung der Beziehung der Dreieckelemente (z. B. der beliebten Ähnlichkeitsmethode), der Raummethode, gibt es auch verschiedene exotische Beweise (zum Beispiel mit differentiellen Gleichungen).

Durch solche Dreiecke

Der klassische Nachweis von EUCLIDEA zielt darauf ab, Gleichheit des Bereichs zwischen Rechtecken aufzubauen, der aus der Migration des Quadrats oberhalb der Hypotenuriumhöhe des Direktwinkels mit Quadraten oberhalb des Zolls gebildet wird.

Das für den Beweis verwendete Design ist wie folgt: für ein rechteckiges Dreieck mit direktem Winkel C (\\ displaystyle c), Quadrate über Bräuche und Quadrate über Hypotenuse A b i k (\\ displaystyle abik) Bauhöhe gebaut C h (\\ displaystyle ch) und ihren Ray fortsetzen S (\\ displaystyle s)und brechen Sie den Quadrat über Hypotenur mit zwei Rechtecken und. Beweise zielen darauf ab, Gleichheit des Rechteckbereichs festzulegen A H J K (\\ DisplayStyle Ahjk) Quadratisch über der Kathete. A C (\\ DisplayStyle AC); Gleichheit des Bereichs des zweiten Rechtecks, der das Quadrat über der Hypotenuse bildet, und das Rechteck über der anderen Kathe ist auf dieselbe Weise eingestellt.

Gleichheit der Rechteckquadrate A H J K (\\ DisplayStyle Ahjk) und A c e d (\\ displaystyle aced) Installiert durch die Kongruenz von Dreiecke △ A C K \u200b\u200b(\\ DisplayStyle \\ Triangle ACK) und △ A B D (\\ DisplayStyle \\ Triangle ABD)Die Fläche von jedem von denen ist der Hälfte des Quadratmittens A H J K (\\ DisplayStyle Ahjk) und A c e d (\\ displaystyle aced) Dementsprechend ist aufgrund der folgenden Eigenschaften: der Dreieckbereich gleich dem Hälften des Rechteckbereichs, wenn die Figuren eine gemeinsame Partei aufweisen, und die Höhe des Dreiecks auf der allgemeinen Seite ist die andere Seite des Rechtecks. Der Begründen der Dreiecke folgt von der Gleichheit der beiden Seiten (Seiten der Quadrate) und der Ecke zwischen ihnen (bestehend aus einer geraden Ecke und einem Winkel an A (\\ DisplayStyle A).

Somit stellt der Beweis fest, dass das Quadrat des Quadrats über dem Hypotenuse aus Rechtecken besteht A H J K (\\ DisplayStyle Ahjk) und B H J i (\\ displaystyle bhji)ist gleich der Summe der Quadrate der Felder über den Zoll.

Beweis Leonardo da Vinci

Der Beweis von Leonardo da Vinci fand in den Bereich des Platzes. Lass ein rechteckiges Dreieck △ A B C (\\ DisplayStyle \\ Triangle ABC) Mit direktem Winkel. C (\\ displaystyle c) und Quadrate A c e d (\\ displaystyle aced), B c f g (\\ displaystyle bcfg) und A b h j (\\ displaystyle abhj) (Siehe Abbildung). In diesem Beweis auf der Seite H J (\\ displaystyle hj) Letztere in der Außenseite ist ein Dreieck, kongruent △ A B C (\\ DisplayStyle \\ Triangle ABC), darüber hinaus, reflektierte sowohl relativ zu Hypotenusen als auch relativ Körpergröße (das heißt, J I \u003d B C (\\ displaystyle ji \u003d BC) und H i \u003d a c (\\ displaystyle hi \u003d ac)). Gerade C i (\\ displaystyle ci) bricht das auf Hypotenuse aufgebaute Quadrat in zwei gleiche Teile, da Dreiecke △ A B C (\\ DisplayStyle \\ Triangle ABC) und △ j h i (\\ displaystyle \\ triangle jhi) gleicher Bau Der Beweis stellt die Kongruenz der Quadrike fest C a j i (\\ displaystyle caji) und D a b g (\\ displaystyle dabg)Die Fläche von jedem von der sich herausstellt, dass sich der einenseits gleich der Summe der Hälfte der Quadrate von Quadraten auf den Katechen und der Fläche des ursprünglichen Dreiecks entspricht, andererseits das halbe Quadrat von Das Quadrat auf der Hypotenuse plus der Fläche des ursprünglichen Dreiecks. Insgesamt, die Hälfte der Summe der Quadrate von Quadraten über den Kategorien ist der Hälfte des Quadrats des Quadrats über der Hypotenuse, was der geometrischen Formulierung des Pythagors-Satzes entspricht.

Beweis nach der Methode unendlich kleiner

Es gibt mehrere Beweise, die auf die Technik der Differentialgleichungen zurückgreifen. Insbesondere wird der Hardy dem Beweis zugeschrieben, wobei unendlich kleine Schritte von Katheten verwendet werden A (\\ DisplayStyle A) und B (\\ displaystyle b) und Hypotene C (\\ displaystyle c)und die Ähnlichkeit mit dem ursprünglichen Rechteck erhalten, dh die folgenden differenziellen Beziehungen:

D A D C \u003d CA (\\ displaystyle (\\ frac (da) (dc)) \u003d (\\ frac (c) (a))), d b d c \u003d c b (\\ displaystyle (\\ frac (db) (dc)) \u003d (\\ frac (c) (b))).

Die differentielle Gleichung wird durch Trennen der Variablen abgeleitet C D C \u003d A D A + B D B (\\ DisplayStyle C \\ DC \u003d A \\, da + b \\, dB)deren Integration das Verhältnis gibt C 2 \u003d A 2 + B 2 + C o n s t (\\ displaystyle c ^ (2) \u003d a ^ (2) + b ^ (2) + \\ mathrm (const)). Anwendung der Anfangsbedingungen a \u003d b \u003d c \u003d 0 (\\ displaystyle a \u003d b \u003d c \u003d 0) Bestimmt die Konstante als 0, was zu der Anweisung des Satzes führt.

Die quadratische Abhängigkeit der endgültigen Formel erscheint aufgrund der linearen Proportionalität zwischen den Seiten des Dreiecks und der Inkremente, während der Betrag unabhängige Ablagerungen aus dem Inkrement verschiedener Katheten zugeordnet ist.

Variationen und Verallgemeinerungen.

Kosinus theorem.

Der Pythagoreo-Theorem ist ein besonderer Fall eines allgemeineren Cosinus-Satzes, der die Längen der Parteien in einem willkürlichen Dreieck bindet:

A 2 + B 2 - 2 A B COS \u2061 θ \u003d C2 (\\ DisplayStyle A ^ (2) + B ^ (2) -2AB \\ cos (\\ eta) \u003d c ^ (2)),

wo - der Winkel zwischen den Parteien A (\\ DisplayStyle A) und B (\\ displaystyle b). Wenn der Winkel 90 ° beträgt, dann cos \u2061 θ \u003d 0 (\\ displaystyle \\ cos \\ eta eta \u003d 0)Und die Formel wird dem üblichen Pythagoreo-Satz vereinfacht.

Willkürliches Dreieck.

Es gibt eine Verallgemeinerung des Pythagora-Satzes auf einem willkürlichen Dreieck, das ausschließlich durch das Verhältnis der Längen der Parteien arbeitet, es wird angenommen, dass er zuerst von Sabi Astronomer Sabit Ibn KURY etabliert wurde. Darin für ein beliebiges Dreieck mit den Seiten passt ein äfrigfähiges Dreieck mit der Basis auf der Seite hinein C (\\ displaystyle c), Scheitelpunkt, der mit der Oberseite des ursprünglichen Dreiecks zusammenfällt, die gegenüberliegende Seite C (\\ displaystyle c) und Winkel an der Basis gleich der Ecke θ (\\ displaystyle \\ theta), gegenüberliegende Seite C (\\ displaystyle c). Infolgedessen werden zwei Dreiecke gebildet, ähnlich dem Original: der erste - mit den Parteien A (\\ DisplayStyle A)Die langweißseitige Seite der seitlichen Sideways, die von einem erhöhten Dreieck eingeschrieben ist, und R (\\ displaystyle r) - Teile Teile C (\\ displaystyle c); Der zweite ist symmetrisch an ihn von der Seite B (\\ displaystyle b) von der Seite S (\\ displaystyle s) - der entsprechende Teil des Teils C (\\ displaystyle c). Infolgedessen ist die Beziehung: Relation:

A 2 + B 2 \u003d C (R + S) (\\ Displaystyle A ^ (2) + B ^ (2) \u003d C (R + S)),

degenerieren Sie sich in den Pythagora-Theorem mit θ \u003d π / 2 (\\ displaystyle \\ thata \u003d \\ pi / 2). Das Verhältnis ist eine Folge der Ähnlichkeit der gebildeten Dreiecke:

CA \u003d AR, CB \u003d BS ⇒ CR + CS \u003d A 2 + B 2 (\\ displaystyle (\\ frac (c) (a)) \u003d (\\ frac (a) (r)), \\, (\\ frac (c) (b)) \u003d (\\ frac (b)) \\, \\ rightarrow \\, cr + cs \u003d a ^ (2) + b ^ (2)).

Pappa theorem auf Quadraten

Neevklidova-Geometrie.

Der Pythagoreo-Theorem stammt aus einem Axiom der euklidischen Geometrie und ist für die Nicht-Kind-Geometrie ungültig - die Umsetzung des Pythagor-Satzes entspricht dem Postulat der Euklidea der Parallelität.

In der Nicht-Kind-Geometrie wird das Verhältnis zwischen den Seiten des rechteckigen Dreiecks notwendigerweise in der anderen Form als dem Pythagor-Satz sein. Zum Beispiel haben in der sphärischen Geometrie alle drei Seiten eines rechteckigen Dreiecks, die das Flugzeug einer einzelnen Kugel einschränken, eine Länge π / 2 (\\ displaystyle \\ pi / 2)was dem Pythagor-Theorem widerspricht.

In diesem Fall ist der Pythagora-Satz in hyperbolischer und elliptischer Geometrie gültig, wenn das Erfordernis des Rechtecks \u200b\u200bdes Dreiecks durch den Zustand ersetzt wird, dass die Summe zweier Dreieckwinkel dem dritten entspricht.

Sphärische Geometrie.

Für jedes rechteckige Dreieck auf der Kugel des Radius R (\\ displaystyle r) (Zum Beispiel, wenn der Winkel im Dreieck gerade ist) mit den Parteien A, B, C (\\ Displaystyle A, B, C) Das Verhältnis zwischen den Parteien hat das Formular:

Cos \u2061 (c r) \u003d cos \u2061 (a r) ⋅ cos \u2061 (b r) (\\ displaystyle \\ cos \\ Left ((\\ frac (c) (r)) \\ richtig) \u003d cos \\ Left ((\\ frac (a) (R)) \\ RECHTS) \\ CDOT \\ COS \\ Left ((\\ FRAC (B) (R)) \\ Right)).

Diese Gleichheit kann als Sonderfall des kugelförmigen Cosinus-Satzs abgeleitet werden, der für alle sphärischen Dreiecke gültig ist:

Cos \u2061 (c r) \u003d cos \u2061 (a r) ⋅ cos \u2061 (b r) + sin \u2061 (a r) ⋅ sin \u2061 (b r) ⋅ cos \u2061 γ (\\ displaystyle \\ cos \\ Links ((\\ frac (c) (r) ) \\ Rechts) \u003d \\ cos \\ linke ((\\ frac (a) (r)) \\ richtig) \\ cdot \\ cos \\ linke ((\\ frac (b) (r)) \\ richtig) + \\ sin \\ Left (( \\ Frac (a) (r)) \\ rechts) \\ cdot \\ sin \\ Left ((\\ frac (b) (r)) \\ richtig) \\ cdot \\ cos \\ gamma). CH \u2061 C \u003d CH \u2061 A ⋅ CH \u2061 B (\\ DisplayStyle \\ OaftName (CH) C \u003d \\ ONTERNNAME (CH) A \\ CDOT \\ ONTERNAMENAME (CH) B),

wo CH (\\ displaystyle \\ operatorName (CH)) - hyperbolische Cosinus. Diese Formel ist ein Sonderfall eines hyperbolischen Cosinus-Satzes, der für alle Dreiecke gültig ist:

CH \u2061 C \u003d CH \u2061 A ⋅ CH \u2061 B - SH \u2061 A ⋅ SH \u2061 B ⋅ cs \u2061 γ (\\ DisplayStyle \\ operatorName (CH) C \u003d \\ ONTERNAME (CH) A \\ CDOT \\ ONTERNAME (CH) B- \\ ONTERNAME (Sh) a \\ cdot \\ operatorname (sh) b \\ cdot \\ cos \\ gamma),

wo γ (\\ displaystyle \\ gamma) - Winkel, dessen Scheitelpunkt das gegenüberliegende Seite ist C (\\ displaystyle c).

Mit einer Reihe von Taylor für einen hyperbolischen Cosinus ( CH \u2061 x ≈ 1 + x 2/2 (\\ displaystyle \\ operatorName (CH) x \\ ca. 1 + x ^ (2) / 2)) Es kann gezeigt werden, dass, wenn das hyperbolische Dreieck abnimmt (dh wenn A (\\ DisplayStyle A), B (\\ displaystyle b) und C (\\ displaystyle c) Sie streben nach Null), dann nähern sich hyperbolische Beziehungen in einem rechteckigen Dreieck dem Verhältnis des theorems des klassischen Pythagors.

Anwendung

Abstand in zweidimensionalen rechteckigen Systemen

Die wichtigste Verwendung des Pythagora-Satzes ist die Bestimmung des Abstands zwischen zwei Punkten im rechteckigen Koordinatensystem: Entfernung S (\\ displaystyle s) zwischen Punkten mit Koordinaten (A, b) (\\ displaystyle (a, b)) und (C, d) (\\ displaystyle (c, d)) gleichermaßen:

S \u003d (A - C) 2 + (B - D) 2 (\\ DisplayStyle s \u003d (\\ sqrt ((a-c) ^ (2) + (B - D) ^ (2)))).

Für komplexe Zahlen gibt der Pythagora-Theorem eine natürliche Formel, um ein komplexes integriertes Modul zu finden - für Z \u003d x + y i (\\ displaystyle z \u003d x + yi) Es ist gleich der Länge

Gegenstand: Theorem, Reverse Theorem Pythagora.

Ziele Lektion: 1) Betrachten Sie den theorem inversen Pythagora-Satz; seine Verwendung beim Lösen von Problemen; Befestigen Sie den Pythagora-Satz und verbessern Sie die Fähigkeiten, um Probleme für ihre Verwendung zu lösen;

2) Entwickeln Sie logisches Denken, kreative Suche, kognitives Interesse;

3) Bringen Sie die Schüler mit einer verantwortungsvollen Haltung gegenüber den Lehren, Kultur der mathematischen Rede.

Art der Lektion. Lektion Assimilation von neuem Wissen.

Während der Klassen

І. Lebenszeit organisieren.

ІІ. Aktualisierung Wissen

Lektion michwäreich wolltebeginnen Sie mit Quatrain.

Ja, der Weg des Wissens ist nicht froh

Aber wir wissen aus den Schuljahren,

Rätseln mehr als Imagner

Und es gibt keine Suche nach dem Limit!

In der Vergangenheit haben Sie in der Vergangenheit der Lektion den Theorem der Pythagoren gelernt. Fragen:

Pythagora theorem ist gültig für welche Figur?

Welches Dreieck heißt rechteckig?

Pythagore's theorem formulieren.

Wie wird der Pythagora-Satz für jedes Dreieck geschrieben?

Welche Dreiecke werden als gleichberufen?

Wort die Anzeichen der Gleichheit der Dreiecke?

Und jetzt verbringen wir eine kleine unabhängige Arbeit:

Aufgaben zum Lösen von Zeichnungen.

№1

(1 b.) Finden: Av.

№2

(1 b.) Finden: Sonne.

№3

( 2 b.)Finden Sie: AC.

№4

(1 b.)Finden Sie: AC.

№5 Dano: ABC.D. Rhombus

(2 b.) AV \u003d 13 cm

AC \u003d 10 cm

Zu finden inD.

Selbsttestnummer 1. fünf

№2. 5

№3. 16

№4. 13

№5. 24

ІІІ. Studie Neu material.

Die alten Ägypter bauten auf diese Weise geraden Ecken auf dem Boden: Sie teilten die Randeln auf 12 gleichen Teilen, die Enden waren assoziiert, wonach das Seil so auf der Erde gedehnt wurde, so dass ein Dreieck mit den Parteien 3, 4 und 5 Abteilungen gebildet wurde . Der Winkel des Dreiecks, der mit 5 Divisionen an der Seite lag, war gerade.

Können Sie die Richtigkeit dieses Urteils erklären?

Infolge der Suche nach einer Reaktion auf die Frage sollten die Studierenden verstehen, dass aus mathematischer Sicht die Frage eingestellt ist: ob das Dreieck rechteckig ist.

Wir setzen das Problem: Wie, ohne Messungen vorzunehmen, bestimmen Sie, ob das Dreieck mit den angegebenen Seiten rechteckig ist. Die Lösung für dieses Problem ist der Zweck der Lektion.

Schreiben Sie die Themenstunde auf.

Satz. Wenn die Summe der Quadrate der beiden Seiten des Dreiecks dem Quadrat der dritten Partei entspricht, ist ein solches Dreieck rechteckig.

Beweisen Sie den Satz unabhängig (kompilieren Sie einen Plan für den Nachweis des Lehrbuchs).

Daraus folgt der Satz, dass das Dreieck mit den Parteien 3, 4, 5 rechteckig (ägyptisch) ist.

Im Allgemeinen wird die Nummern, für die Gleichheit ausgeführt wird Rufen Sie Pythagora Troika an. Und die Dreiecke, deren Seiten der Seiten von Pythagora-Truppen (6, 8, 10), - Pythagora-Dreiecke exprimiert werden.

Befestigung.

weil Dann ist das Dreieck mit den Parteien 12, 13, 5 nicht rechteckig.

weil Dann ist das Dreieck mit den Parteien 1, 5, 6 rechteckig.

№ 430 (A, B, B)

( - ist nicht)

Ziele Lektion:

Pädagogisch: Um den Satz von Pythagora und Theorem zu formulieren und zu beweisen, der umgekehrte Pythagoreo-Theorem. Zeigen ihre historische und praktische Bedeutung.

Entwicklung: Aufmerksamkeit, Erinnerung, logisches Denken an Studierenden, die Vernunftfähigkeit, Vergleichen, Rückschlüsse Schlussfolgerungen entwickeln.

Rising: Erziehung von Interesse und Liebe zum Thema, Genauigkeit, die Fähigkeit, Kameraden und Lehrer zu hören.

Ausstattung: Porträt von Pythagora, Poster mit Aufgaben zur Konsolidierung, Lehrbuch "Geometrie" 7-9 Klassen (I.f. Shadrygin).

Unterrichtsplan:

I. Organisationsmoment - 1 Min.

II. Hausaufgaben überprüfen - 7 min.

III. Lehrer einführendes Wort, historische Referenz - 4-5 min.

IV. Das Wortlaut und der Beweis des Pythagor-Satzes beträgt 7 Minuten.

V. Der Wortlaut und den Beweis des Satzes, der inverse Theorem von Pythagora - 5 min.

Ein neues Material befestigen:

a) oral - 5-6 min.
b) Schreiben - 7-10 Minuten.

Vii. Hausaufgaben - 1 Min.

VIII. Summieren der Lektion - 3 min.

Während der Klassen

I. Organisationsmoment.

II. Überprüfen Sie Ihre Hausaufgaben.

s.7.1, Nr. 3 (an den Platinen auf der fertigen Zeichnung).

Bedingung: Die Höhe des rechteckigen Dreiecks teilt die Hypotenuse in den Segmenten der Länge 1 und 2. Finden Sie die Katheten dieses Dreiecks.

Bc \u003d a; Ca \u003d b; Ba \u003d c; BD \u003d A 1; Da \u003d b 1; Cd \u003d h c

Zusätzliche Frage: Schreibbeziehungen in ein rechteckiges Dreieck.

s.7.1, Nr. 5. Schneiden Sie das rechteckige Dreieck auf drei ähnliche Dreiecke.

Erklären.

Asn ~ ABC ~ Sn

(Zeichnen Sie die Aufmerksamkeit der Schüler auf die Richtigkeit der Aufzeichnung der jeweiligen Scheitelpunkte solcher Dreiecke)

III. Das einleitende Wort des Lehrers, historischer Referenz.

Permanente Wahrheit wird sein, sobald eine schwache Person sie kennt!

Und jetzt ist der Pythagora-Satz wie in seinem fernen Alter wahr.

Es war nicht zufällig, dass ich meine Lektion von den Worten des deutschen Schriftstellautorists Shamisso begann. Unsere Lektion ist heute dem Pythagora-Theorem gewidmet. Wir schreiben das Thema der Lektion.

Vor dir, das Porträt des großen Pythagors. Geboren in 576 v. Chr. Nach 80 Jahren gelebt, starb in 496 an unsere Ära. Bekannt als ein alter griechischer Philosoph und Lehrer. Er war der Sohn eines Wenchen-Händlers, der ihn oft auf seine Reisen brachte, dank dessen, an den der Junge inkanzig hatte, und der Wunsch, den neuen zu kennen. Pythagoras ist ein Spitzname, der ihm für die Beredsamkeit gegeben wird ("Pythagoras" bedeutet "Ich überzeugende Rede"). Er selbst hat nichts geschrieben. Alle seine Gedanken verzeichneten seine Jünger. Als Ergebnis der ersten Vorlesung erwarb Pythagora 2000-Studenten, die zusammen mit ihren Ehefrauen und Kindern eine riesige Schule gebildet haben und einen Staat namens "Tolle Griechenland" erstellt haben, der auf den Gesetzen und Regeln von Pythagora beruht, die als göttlich verehrt werden Gebote. Er war der erste, der seine Argumentation über die Bedeutung des Lebens der Philosophie (Lyubomatriy) nannte. Es war zur Mystifizierung und Demonstration im Verhalten geneigt. Einmal, Pythagoras versteckte die U-Bahn, und alles passierte von der Mutter. Dann wurde er als Skelett verwelkt, sagte er in der Volksversammlung, die in AIDA war, und zeigte ein erstaunliches Bewusstsein für irdische Ereignisse. Denn diese berührten Bewohner erkannten ihn von Gott. Pythagoras weinte nie und war in der Regel von Leidenschaften und Aufregung nicht verfügbar. Es glaubte, dass es vom Samen kommt, der beste vergleichsweise mit dem Menschen. Das ganze Leben von Pythagora ist eine Legende, die zu unserer Zeit kam, und erzählte uns von dem talentierten Mann der antiken Welt.

IV. Das Wortlaut und den Beweis des Pythagoreo-Satzes.

Die Formulierung des Pythagore-Theorems ist Ihnen vom Verlauf der Algebra bekannt. Lass uns daran erinnern.

In einem rechteckigen Dreieck ist das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Katheten.

Dieser Theorem wusste jedoch viele Jahre vor Pythagora. Für 1500 Jahre vor Pyphagora wussten die alten Ägypter, dass das Dreieck mit den Parteien 3, 4 und 5 rechteckig ist und diese Eigenschaft benutzt hat, um direkte Ecken aufzubauen, um auf dem Bau von Landgrundstücken und Baugebäude zu bauen. In den meisten antiken Zeiten an uns, der chinesische mathematische astronomische Aufsatz von "Zhiu-BI", in 600 Jahren vor Pythagora, unter anderem in Bezug auf das rechteckige Dreieck, das sich auf das rechteckige Dreieck bezieht, den Pytagora-Theorem. Früher war dieser Theorem dem Hindu bekannt. So eröffnete Pythagoras dieses Eigentum eines rechteckigen Dreiecks nicht, er konnte es wahrscheinlich zum ersten Mal zusammenfassen und beweisen, dass es aus der Praxis der Übung der Wissenschaft übersetzt wird.

Mit tiefen Antike der Mathematik werden immer mehr Beweise für den Pythagoreo-Satz gefunden. Sie sind mehr als eineinhalbhundert bekannt. Erinnern wir uns an den algebraischen Beweis des Pythagora-Theorems, der uns aus dem Verlauf der Algebra bekannt ist. ("Mathematik. Algebra. Funktionen. Datenanalyse" G.V. Dorofeev, M., "Drop", 2000 g).

Schlagen Sie den Studierenden vor, sich an die Zeichnung an den Beweis zu erinnern und auf den Vorstand zu schreiben.

(a + b) 2 \u003d 4 · 1/2 A * B + C 2 B a

a 2 + 2A * B + B 2 \u003d 2A * B + C 2

a 2 + b 2 \u003d c2 a a b

Alte Indianer, die diesen Denken besitzen, wurden normalerweise nicht aufgezeichnet und begleitet die Zeichnung mit nur einem Wort: "Look".

Betrachten Sie in der modernen Präsentation einer der Beweise, die Pythagora gehören. Zu Beginn der Lektion erinnerten wir uns an den Satz um die Verhältnisse in einem rechteckigen Dreieck:

h 2 \u003d A 1 * B 1 A 2 \u003d A 1 * mit B 2 \u003d B 1 *

Verschieben der letzten letzten zwei Gleichheit:

b 2 + A 2 \u003d B 1 * C + A 1 * C \u003d (B 1 + A 1) * C 1 \u003d C * C \u003d C 2; A 2 + B 2 \u003d C 2

Trotz der scheinbaren Einfachheit dieser Beweise ist es weit weg vom einfachsten. Dafür war es notwendig, die Höhe in einem rechteckigen Dreieck auszugeben und diese Dreiecke in Betracht zu ziehen. Schreiben Sie bitte, dies ist ein Beweis im Notebook.

V. Der Wortlaut und den Beweis des Satzes, der Pythagorean-Theorem.

Und was ist Theorem als umgekehrt zu diesem? (... wenn der Zustand und die Schlussfolgerung Orte wechseln.)

Lassen Sie uns jetzt versuchen, Theorem, den umgekehrten Pythagoreo-Theorem zu formulieren.

Wenn das Dreieck mit den Seiten A, B und C mit der Gleichheit C 2 \u003d A 2 + B 2 durchgeführt wird, dann ist dieses Dreieck rechteckig und der gerade Winkel ist der Seite mit.

(Beweis des Rückwärtssatzes auf dem Plakat)

Abc, sun \u003d a,

AC \u003d B, VA \u003d S.

a 2 + B 2 \u003d C 2

Beweisen

Abc - rechteckig,

Beweise:

Betrachten Sie ein rechteckiges Dreieck A 1 in 1 c 1,

wobei 1 \u003d 90 ° und 1 s 1 \u003d a und 1 s 1 \u003d b ist.

Dann nach dem Pytagora-Satz in 1 A 1 2 \u003d A 2 + B 2 \u003d C 2.

Das heißt, in 1 a 1 \u003d C a 1 in 1 c 1 \u003d ABC für drei Parteien abc - rechteckig

C \u003d 90 °, das zum Beweisen musste.

Vi. Befestigung des (oral studierenden Materials (mündlich).

1. Auf einem Poster mit fertiggestellten Zeichnungen.

Abb.1: Finden Sie die Anzeige bei CD \u003d 8, VA \u003d 30 °.

Abb.2: Suchen Sie die CD, wenn wir \u003d 5, waway \u003d 45 °.

Abb.3: Finden Sie den VD, wenn Sun \u003d 17, ad \u003d 16.

2. Ist das Dreieck rechteckig, wenn seine Parteien durch Zahlen ausgedrückt werden:


5 2 + 6 2? 7 2 (nein)	9 2 + 12 2 \u003d 15 2 (ja)	15 2 + 20 2 \u003d 25 2 (ja)

Was sind die drei drei Zahlen in den letzten beiden Fällen? (Pythagoras).

Vi. Lösungsaufgaben (Schreiben).

№ 9. Die Seite des quilateralen Dreiecks ist gleich a. Finden Sie die Höhe dieses Dreiecks, den Radius des beschriebenen Kreises, den Radius des eingeschriebenen Kreises.

№ 14. Beweisen Sie, dass in einem rechteckigen Dreieck der Radius des beschriebenen Umfangs gleich dem von der Hypotenuse geleiteten Medianer ist und gleich der Hälfte der Hypotenuse ist.

Vii. Hausaufgaben.

Absatz 7.1, S. 175-177, Demontage des Satzes 7.4 (verallgemeinerter Pythagora-Satz), Nr. 1 (oral), Nr. 2, Nr. 4.

VIII. Die Ergebnisse der Lektion.

Was für Neu waren Sie heute in der Lektion? ............

Pythagoras war in erster Linie ein Philosoph. Jetzt möchte ich ein paar seiner Schecks lesen, relevant und in unserer Zeit für uns mit Ihnen.

Erhöhen Sie keinen Staub auf dem Lebenspfad.
Denn das später nicht stört, ärgert dich nicht und wird nicht aufregend passen.
Tun Sie nicht, was Sie nicht wissen, aber lernen Sie, was Sie wissen sollten, und dann werden Sie ein ruhiges Leben führen.
Schließen Sie Ihre Augen nicht, wenn ich schlafen möchte, erheben Sie nicht alle Ihre Handlungen letzten Tag.
Nehmen Sie einfach und ohne Luxus auf.