Differentialgleichungen mit Verzögerung. Modellierung dynamischer Systeme durch gewöhnliche Differentialgleichungen mit Verzögerung

Lineares System mit Verzögerung.

Systeme mit Verzögerung unterscheiden sich von den zuvor betrachteten Systemen dadurch, dass sie in einem oder mehreren ihrer Glieder eine zeitliche Verzögerung des Beginns der Änderung des Ausgangswerts (nach Beginn der Änderung des Eingangs) um einen Wert t aufweisen , Verzögerungszeit genannt, und diese Verzögerungszeit bleibt während des gesamten folgenden Prozesses konstant.

Zum Beispiel, wenn der Link durch die Gleichung beschrieben wird

(aperiodisches Glied erster Ordnung), dann hat die Gleichung des entsprechenden Gliedes mit Verzögerung die Form

(aperiodisches Glied erster Ordnung mit Verzögerung). Diese Art von Gleichung wird als Gleichung mit verzögertem Argument bezeichnet.

Dann wird Gleichung (6.31) im Normalfall geschrieben

wechselt sprunghaft von null auf eins (Abb. 6.20,

auf der rechten Seite der Verknüpfungsgleichung stehen,

). Im allgemeinen Fall, wie für (6.31), kann die Dynamikgleichung jeder Verbindung mit Verzögerung in zwei Teile geteilt werden:

was der bedingten Zerlegung einer Verbindung mit einer Verzögerung (Abb. 6.21, a) in zwei entspricht: eine gewöhnliche Verbindung derselben Ordnung und mit denselben Koeffizienten und das ihr vorangehende Verzögerungselement (Abb. 6.21.6).

bedeutet die Zeit der Bewegung des Metalls von den Walzen zum Dickenmesser. In den letzten beiden Beispielen wird der Wert von m Transportverzögerung genannt.

In erster Näherung können Rohrleitungen oder lange elektrische Leitungen, die in den Verbindungen des Systems enthalten sind, durch einen bestimmten Verzögerungswert t charakterisiert werden.

in Abb. gezeigt. 6.22, b, dann kann diese Verbindung ungefähr als aperiodische Verbindung erster Ordnung mit einer Verzögerung (6.31) beschrieben werden, wobei die Werte von m, r und k aus der experimentellen Kurve entnommen werden (Abb. 6.22, b).

Beachten Sie auch, dass dieselbe experimentelle Kurve gemäß dem Diagramm in Abb. 6.22, c kann mit der Gleichung auch als Zeitcharakteristik einer gewöhnlichen aperiodischen Verbindung zweiter Ordnung interpretiert werden

und k kann aus den in § 4.5 geschriebenen Verhältnissen für eine gegebene Verbindung, aus einigen Messungen an der experimentellen Kurve oder auf andere Weise berechnet werden.

Funktion (6.36) unterscheidet sich kaum von der Übertragungsfunktion einer Strecke mit Verzögerung (6.35).

Die Gleichung einer beliebigen linearen Verbindung mit Verzögerung (6.33) wird nun in die Form geschrieben

Die Übertragungsfunktion einer linearen Verbindung mit Verzögerung wird sein

die Übertragungsfunktion der entsprechenden gewöhnlichen Verbindung ohne Verzögerung wird angezeigt.

- Modul und Phase der Frequenzübertragungsfunktion der Verbindung ohne Verzögerung.

Damit erhalten wir die folgende Regel.

Um die Amplituden-Phasen-Charakteristik einer beliebigen Verbindung mit einer Verzögerung zu erstellen, müssen Sie die Charakteristik der entsprechenden gewöhnlichen Verbindung nehmen und jeden ihrer Punkte entlang des Kreises um einen Winkel im Uhrzeigersinn verschieben, wobei w der Wert der Schwingungsfrequenz ist einem bestimmten Punkt der Charakteristik (Abb. 6.23, a).

der Startpunkt bleibt unverändert, und das Ende der Kennlinie windet sich asymptotisch um den Ursprung (wenn der Grad des Operatorpolynoms B kleiner ist als der des Polynoms C).

Oben wurde gesagt, dass echte transiente Prozesse (zeitliche Charakteristiken) der Form in Abb. 6.22b kann oft mit der gleichen Näherung durch die beiden Gleichungen (6.31) und (6.34) beschrieben werden. Die Amplituden-Phasen-Kennlinien für die Gleichungen (6.31) und (6.34) sind in Abb. 2 dargestellt. 6.23, a bzw. b. Der grundlegende Unterschied zur ersten besteht darin, dass sie einen Schnittpunkt D mit der Achse (/ hat. Beim Vergleich beider Kennlinien miteinander und mit der experimentellen Amplituden-Phasen-Kennlinie einer realen Verbindung muss nicht nur die Form der Kurve, sondern auch die Art der Verteilung von Frequenzmarken ω entlang ihr.

Übertragungsfunktion eines offenen Systems ohne Verzögerung.

Die charakteristische Gleichung eines abgeschlossenen Systems, wie in Kap. 5 hat die Form

Eine Gleichung kann unendlich viele Wurzeln haben.

Die Form der Amplituden-Phasen-Kennlinie des offenen Stromkreises, aufgebaut aber die Frequenzübertragungsfunktion, ändert sich deutlich

Darüber hinaus wird das Öffnen des Systems gemäß einer bestimmten Regel durchgeführt, die unten angegeben ist.

Als Konsequenz stellt sich heraus, dass für die Stabilität linearer Systeme erster und zweiter Ordnung mit Verzögerung nur die Positivität der Koeffizienten nicht mehr ausreicht, und für Systeme dritter und höherer Ordnung mit Verzögerung die Stabilitätskriterien von Vyshnegradsky, Routh und Hurwitz sind nicht anwendbar.

Im Folgenden betrachten wir die Definition der Stabilität nur durch das Nyquist-Kriterium, da sich seine Verwendung für diesen Sing als die einfachste herausstellt.

1 Die Konstruktion der Amplituden-Phasen-Kennlinie und die Untersuchung der Stabilität nach dem Nyquist-Kriterium werden am besten durchgeführt, wenn die Übertragungsfunktion eines offenen Systems in der Form (6.38) dargestellt wird. Um dies zu erhalten, ist es notwendig, das System ordnungsgemäß zu öffnen.

Für den in Abb. 6.24, a, Öffnung kann überall im Hauptstromkreis erfolgen, zum Beispiel wie gezeigt. Dann wird die Übertragungsfunktion des offenen Systems sein, die in der Form mit (6.41) übereinstimmt.

Für den in Abb. 6.24, b, das Öffnen des Hauptstromkreises ergibt den Ausdruck

Open-Loop-Funktionen, nicht geeignet für weitere Recherchen:

Schließlich in dem in Abb. 6.24, c, wenn das System an der angegebenen Stelle geöffnet wird, erhalten wir einen Ausdruck, der auch mit (6.41) übereinstimmt:

Die Frequenzübertragungsfunktion (6.41) kann dargestellt werden als

Präsentieren Sie daher den Ausdruck (6.41) in der Form

Lineare Systeme mit Verzögerung sind solche automatischen Systeme, die, im Allgemeinen den gleichen Aufbau wie gewöhnliche lineare Systeme (Abschnitt II) haben, sich von diesen dadurch unterscheiden, dass sie in einem oder mehreren ihrer Glieder eine Verzögerung im Zeitpunkt des Beginns der Änderung der Ausgangsgröße (nach Beginn der Eingangsänderung) um einen Wert, der Verzögerungszeit genannt wird, und diese Verzögerungszeit bleibt im weiteren Verlauf des Prozesses konstant.

Zum Beispiel, wenn eine gewöhnliche lineare Verbindung durch die Gleichung beschrieben wird

(aperiodische Verknüpfung erster Ordnung), dann hat die Gleichung der entsprechenden linearen Verknüpfung mit Verzögerung die Form

(aperiodisches Glied erster Ordnung mit Verzögerung). Gleichungen dieser Art werden Gleichungen mit verzögertem Argument oder Differential-Differenz-Gleichungen genannt.

Bezeichne Dann wird die Gleichung (14.2) in der gewöhnlichen Form geschrieben:

Ändert sich also der Eingangswert abrupt von Null auf Eins (Abb. 14.1, a), dann wird die Änderung des auf der rechten Seite der Verknüpfungsgleichung stehenden Werts durch den Graphen in Abb. 14.1 dargestellt. 14.1b (Sprung eine Sekunde später). Wenn wir nun das Einschwingverhalten einer gewöhnlichen aperiodischen Verbindung verwenden, wie es auf Gleichung (14.3) angewendet wird, erhalten wir eine Änderung des Ausgangswerts in Form eines Diagramms in Abb. 14.1, c. Dies ist das Einschwingverhalten der aperiodischen Verbindung erster Ordnung mit einer Verzögerung (seine aperiodische „Trägheits“-Eigenschaft wird durch die Zeitkonstante T bestimmt, und die Verzögerung wird durch den Wert bestimmt

Lineare Verbindung mit Verzögerung. Im allgemeinen Fall, wie bei (14.2), kann die Dynamikgleichung jeder linearen Verbindung mit Verzögerung sein

zweigeteilt:

was der bedingten Zerlegung einer linearen Verbindung mit einer Verzögerung (Abb. 14.2, a) in zwei entspricht: eine gewöhnliche lineare Verbindung derselben Ordnung und mit denselben Koeffizienten und dem ihr vorangehenden Verzögerungselement (Abb. 14.2, b).

Der Zeitverlauf jeder Verbindung mit einer Verzögerung ist daher derselbe wie der der entsprechenden gewöhnlichen Verbindung, jedoch entlang der Zeitachse um 0 nach rechts verschoben.

Ein Beispiel für eine „reine“ Verzögerungsstrecke ist eine akustische Kommunikationsleitung – die Schalllaufzeit). Andere Beispiele sind ein System zur automatischen Dosierung einer Substanz, die sich mit einem Bandförderer bewegt (die Zeit, die sich das Band in einem bestimmten Bereich bewegt), sowie ein System zur Regulierung der Dicke des gewalzten Metalls, wo es die Zeit bedeutet, in der sich das Metall bewegt von den Rollen zum Dickenmesser

In den letzten beiden Beispielen wird die Menge als Transportverzögerung bezeichnet.

In erster Näherung können Pipelines oder lange elektrische Leitungen, die in den Verbindungen des Systems enthalten sind, durch eine gewisse Verzögerung gekennzeichnet sein (für weitere Einzelheiten siehe § 14.2).

Der Wert der Verzögerung in der Verbindung kann experimentell bestimmt werden, indem der Zeitverlauf entfernt wird. Wenn zum Beispiel ein bestimmter Wert, angenommen als Eins, an den Eingang eines Links angelegt wird, wird die in Fig. 2 gezeigte experimentelle Kurve für am Ausgang erhalten. 14.3, b, dann kann diese Verknüpfung näherungsweise als aperiodische Verknüpfung erster Ordnung mit einer Verzögerung (14.2) beschrieben werden, wobei die Werte aus der experimentellen Kurve (Abb. 14.3, b) genommen werden.

Beachten Sie auch, dass dieselbe experimentelle Kurve gemäß dem Diagramm in Abb. 14.3, c kann mit der Gleichung auch als Zeitcharakteristik einer gewöhnlichen aperiodischen Verbindung zweiter Ordnung interpretiert werden

außerdem kann k aus den in § 4.5 geschriebenen Beziehungen für eine gegebene Verbindung nach einigen Messungen an der experimentellen Kurve oder auf andere Weise berechnet werden.

Aus Sicht des zeitlichen Verlaufs lässt sich also eine reelle Verknüpfung, näherungsweise beschrieben durch eine Gleichung erster Ordnung mit verzögertem Argument (14.2), oft mit dem gleichen Näherungsgrad durch eine gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung beschreiben (14.5). Zu entscheiden, welche dieser Gleichungen am besten zu einer gegebenen passt

Bei einem realen Glied kann man auch deren Amplituden-Phasen-Charakteristik mit der experimentell aufgenommenen Amplituden-Phasen-Charakteristik des Glieds vergleichen, die seine dynamischen Eigenschaften bei erzwungenen Schwingungen ausdrückt. Der Aufbau der Amplituden-Phasen-Charakteristiken von Verbindungen mit einer Verzögerung wird unten betrachtet.

Aus Gründen der Einheitlichkeit beim Schreiben der Gleichungen stellen wir die zweite der Beziehungen (14.4) für das Verzögerungsglied in Operatorform dar. Wenn wir seine rechte Seite in einer Taylor-Reihe erweitern, erhalten wir

oder, in der zuvor akzeptierten symbolischen Operatorschreibweise,

Dieser Ausdruck stimmt mit der Formel des Verzögerungssatzes für Funktionsbilder überein (Tab. 7.2). Damit erhalten wir für die reine Verzögerungsstrecke die Übertragungsfunktion in der Form

Beachten Sie, dass in einigen Fällen das Vorhandensein einer großen Anzahl kleiner Zeitkonstanten im Steuersystem in Form einer konstanten Verzögerung gleich der Summe dieser Zeitkonstanten berücksichtigt werden kann. Angenommen, das System enthält in Reihe geschaltete aperiodische Verbindungen erster Ordnung mit einem Übertragungskoeffizienten gleich Eins und dem Wert jeder Zeitkonstante, dann lautet die resultierende Übertragungsfunktion

Wenn wir dann im Limit sind, bekommen wir . Bereits die Übertragungsfunktion (14.8) unterscheidet sich kaum von der Übertragungsfunktion der Verbindung mit Verzögerung (14.6).

Die Gleichung einer beliebigen linearen Verbindung mit Verzögerung (14.4) wird nun in die Form geschrieben

Die Übertragungsfunktion einer linearen Verbindung mit Verzögerung wird sein

wobei bezeichnet die Übertragungsfunktion der entsprechenden gewöhnlichen linearen Verbindung ohne Verzögerung.

Die Frequenzübertragungsfunktion erhält man aus (14.10) durch Einsetzen

wo sind der Modul und die Phase der Frequenzübertragungsfunktion der Verbindung ohne Verzögerung. Damit erhalten wir die folgende Regel.

Um die Amplituden-Phasen-Charakteristik einer beliebigen linearen Verbindung mit einer Verzögerung aufzubauen, müssen Sie die Charakteristik der entsprechenden gewöhnlichen linearen Verbindung nehmen und jeden ihrer Punkte entlang des Kreises um einen Winkel im Uhrzeigersinn verschieben , wobei der Wert der Schwingungsfrequenz bei ist einem bestimmten Punkt der Charakteristik (Abb. 14.4, a).

Denn am Anfang der Amplituden-Phasen-Kennlinie und am Ende bleibt der Anfangspunkt unverändert, und das Ende der Kennlinie windet sich asymptotisch zum Ursprung (wenn der Grad des Operatorpolynoms kleiner als das Polynom ist).

Oben wurde gesagt, dass echte transiente Prozesse (zeitliche Charakteristiken) der Form in Abb. 14.3, b oft mit der gleichen Näherung durch die beiden Gleichungen (14.2) und (14.5) beschrieben werden. Die Amplituden-Phasen-Kennlinien für die Gleichungen (14.2) und (14.5) sind in Abb. 1 dargestellt. 14.4, a bzw. Der grundlegende Unterschied zur ersten besteht darin, dass sie einen Schnittpunkt D mit der Achse hat

Beim Vergleich beider Kennlinien miteinander und mit der experimentellen Amplituden-Phasen-Kennlinie einer realen Verbindung muss nicht nur die Form der Kurve berücksichtigt werden, sondern auch die Art der Verteilung der Frequenzmarken o entlang ihr.

Wenn die Verzögerung τ

in Gleichung (10) hängt von der Zeit t ab

(τ = τ (t )) , dann die Initiale

Lassen Sie ein automatisches System mit einem oder mehreren Kreisen eine Verbindung mit einer Verzögerung unter seinen Verbindungen haben. Dann hat die Gleichung dieser Verknüpfung die Form (14.9). Wenn mehrere solcher Verknüpfungen vorhanden sind, können sie unterschiedliche Verzögerungswerte haben.Alle in Kapitel 5 abgeleiteten allgemeinen Formeln für Gleichungen und Übertragungsfunktionen von automatischen Steuerungssystemen bleiben für beliebige lineare Systeme mit Verzögerung gültig, wenn auch nur die Werte von Übertragungsfunktionen werden in diese Formeln in der Form ( 14.10) eingesetzt.

Beispielsweise hat für einen offenen Stromkreis von in Reihe geschalteten Verbindungen, unter denen sich jeweils zwei Verbindungen mit einer Verzögerung befinden, die Übertragungsfunktion eines offenen Systems die Form

wobei die Übertragungsfunktion eines offenen Stromkreises ohne Berücksichtigung der Verzögerung gleich dem Produkt der Übertragungsfunktionen der in Reihe geschalteten Verbindungen ist.

Daher ist es bei der Untersuchung der Dynamik eines offenen Stromkreises in Reihe geschalteter Verbindungen unerheblich, ob die gesamte Verzögerung in einer Verbindung konzentriert oder auf verschiedene Verbindungen verteilt wird. Für Schaltungen mit mehreren Schleifen werden komplexere Beziehungen erhalten.

Wenn es eine Verbindung mit negativer Rückkopplung gibt, die eine Verzögerung hat, wird sie durch die Gleichungen beschrieben;

EINLEITUNG

Bildungsministerium der Russischen Föderation

Internationales Bildungskonsortium „Offene Bildung“

Moskauer Staatliche Universität für Wirtschaft, Statistik und Informatik

ANO "Eurasisches Offenes Institut"

E. A. Gevorkyan

Verzögerungsdifferentialgleichungen

Lehrbuch Leitfaden zum Studium der Disziplin

Aufgabensammlung für das Fach Curriculum für das Fach

Moskau 2004

Gevorkyan E.A. DIFFERENTIALGLEICHUNGEN MIT VERZÖGERTEM ARGUMENT: Lehrbuch, Leitfaden zum Studium der Disziplin, Sammlung von Aufgaben für die Disziplin, Lehrplan für die Disziplin / Moskauer Staatliche Universität für Wirtschaft, Statistik und Informatik - M .: 2004. - 79 p.

Gevorkyan E.A., 2004

Moskauer Staatliche Universität für Wirtschaft, Statistik und Informatik, 2004


Lernprogramm
Einleitung .................................................... . ................................................ .. .........................


1.1 Klassifizierung von Differentialgleichungen mit
abweichende Argumentation. Erklärung des Ausgangsproblems .................................................. ................. .
1.2 Verzögerungsdifferentialgleichungen. Step-Methode. ........
1.3 Differentialgleichungen mit trennbaren
Variablen und mit einem nacheilenden Argument ......................................... ................. .........................
1.4 Lineare Differentialgleichungen mit verzögertem Argument.................................
1.5 Bernoulli-Differentialgleichungen mit verzögertem Argument. ...............
1.6 Differentialgleichungen in totalen Differentialen
mit verspätetem Argument .......................................... ................................................... .................... .
KAPITEL II. Periodische Lösungen linearer Differentialgleichungen
mit verspätetem Argument .......................................... ................................................... .................... .
2.1. Periodische Lösungen linearer homogener Differentialgleichungen
mit konstanten Koeffizienten und mit nachlaufendem Argument ......................................... ....
2.2. Periodische Lösungen linearer inhomogener Differentiale
..................
2.3. Die komplexe Form der Fourier-Reihe .......................................... ............... ................................... ...
2.4. Finden einer bestimmten periodischen Lösung von linear inhomogen
Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten und verzögert
Argument durch Erweitern der rechten Seite der Gleichung in eine Fourier-Reihe ................................... .......................... .
KAPITEL III. Näherungsverfahren zum Lösen von Differentialgleichungen
mit verspätetem Argument .......................................... ................................................... .................... .
3.1. Ungefähre Erweiterungsmethode für eine unbekannte Funktion
mit verzögertem Argument nach Verzögerungsgraden .................................. ........................ ........
3.2. Ungefähres Poincaré-Verfahren. ................................................. . .........................
KAPITEL IV. Verzögerungsdifferentialgleichungen,
bei der Lösung einiger wirtschaftlicher Probleme auftreten
unter Berücksichtigung der Zeitverzögerung .................................. ................. ................................. .................................

4.1. Der Wirtschaftskreislauf von Koletsky. Differentialgleichung

mit abschließendes Argument, das die Änderung beschreibt

Bestand an Barkapital .................................................. ................ .................................. ......... .......
4.2. Charakteristische Gleichung. Der Fall von echt
Wurzeln der charakteristischen Gleichung .......................................... ................. ................................. ....
4.3. Der Fall komplexer Nullstellen der charakteristischen Gleichung......................................... .........
4.4. Verzögerungsdifferentialgleichung,

(Konsum im Verhältnis zum Volkseinkommen) .......................................... .... ..........
4.5. Verzögerungsdifferentialgleichung,
Beschreibung der Dynamik des Volkseinkommens in Modellen mit Verzögerungen
(der Verbrauch wächst exponentiell mit der Wachstumsrate) ............................................ ........................ .........
Literatur................................................. ................................................. . ......................

Leitfaden zum Studium der Disziplin

2. Liste der Hauptthemen .................................... ................................................... .. ......
2.1. Thema 1. Grundlegende Konzepte und Definitionen. Einstufung
Differentialgleichungen mit abweichendem Argument.
Verzögerungsdifferentialgleichungen. ..........................................
2.2. Thema 2. Erklärung des anfänglichen Problems. Lösungsschrittverfahren
Differentialgleichungen mit verzögertem Argument. Beispiele......................
2.3. Thema 3. Differentialgleichungen mit trennbaren
Variablen und mit verzögerten Argumenten. Beispiele. ................................................. . .
2.4. Thema 4. Lineare Differentialgleichungen

2.5. Thema 5. Bernoulli-Differentialgleichungen
mit verspätetem Streit. Beispiele. ................................................. . ................................
2.6. Thema 6. Differentialgleichungen in totalen Differentialen
mit verspätetem Streit. Notwendige und hinreichende Bedingungen. Beispiele............
2.7. Thema 7. Periodische Lösungen linearer homogener Differentiale
Gleichungen mit konstanten Koeffizienten und mit verzögertem Argument.

2.8. Thema 8. Periodische Lösungen linearer inhomogener Differentiale
Gleichungen mit konstanten Koeffizienten und mit verzögertem Argument.
Beispiele. ................................................. . ................................................ .. .........................
2.9. Thema 9. Komplexe Form der Fourier-Reihe. Privatzeitschrift finden
Lösungen linearer inhomogener Gleichungen mit konstanten Koeffizienten und mit
verzögertes Argument, indem die rechte Seite der Gleichung in eine Fourier-Reihe erweitert wird.
Beispiele. ................................................. . ................................................ .. .........................
2.10. Thema 10. Näherungslösung von Differentialgleichungen mit
verzögertes Argument Methode zur Zerlegung einer Funktion aus der Verzögerung
nach Grad der Verzögerung. Beispiele .................................................... ......................................
2.11. Thema 11. Ungefähre Poincare-Methode zum Finden einer Periode
Lösungen quasilinearer Differentialgleichungen mit kleinem Parameter und
mit verspätetem Streit. Beispiele. ................................................. . ................................

2.12. Thema 12. Der Wirtschaftszyklus von Koletsky. Differentialgleichung

mit nacheilendes Argument für die Funktion K(t), das den Bargeldbestand anzeigt

gebundenes Kapital zum Zeitpunkt t .......................................... ................................................. ...
2.13. Thema 13. Analyse der charakteristischen Gleichung entsprechend
Differentialgleichung für die Funktion K(t). ................................................. . ............
2.14. Thema 14. Der Fall komplexer Lösungen der charakteristischen Gleichung
(ρ = α ± ιω )..................................................................................................................................
2.15. Thema 15. Differentialgleichung für die Funktion y(t), zeigend

die Verbrauchsfunktion hat die Form c(t – τ) = (1 – α) y (t – τ), wobei α eine konstante Rate ist
Produktionsakkumulation .................................................. ................ .................................... ............
2.16. Thema 16. Differentialgleichung für die Funktion y(t), zeigend
Volkseinkommen in Modellen mit Kapitalinvestitionsverzögerungen, sofern dies der Fall ist
die Verbraucherfunktion hat die Form c (t − τ ) = c (o ) e r (t − τ ) ......................... ... ................................
Aufgabensammlung für das Fach .................................................. ..................................................
Lehrplan nach Fächern .................................................. ................................................... ....

Lernprogramm

EINLEITUNG

Einführung

Dieses Tutorium widmet sich der Vorstellung von Methoden zur Integration von Differentialgleichungen mit verzögerter Argumentation, die bei einigen technischen und wirtschaftlichen Problemen auftreten.

Die obigen Gleichungen beschreiben normalerweise alle Prozesse mit Nachwirkung (Prozesse mit Verzögerung, mit Zeitverzögerung). Wenn beispielsweise in dem untersuchten Prozess der Wert der für uns interessierenden Größe zum Zeitpunkt t vom Wert x zum Zeitpunkt t-τ abhängt, wobei τ die Zeitverzögerung ist (y(t) = f). Oder wenn der Wert der Größe y zur Zeit t vom Wert derselben Größe zur Zeit abhängt

weniger t-τ (y(t)=f).

Prozesse, die durch verzögerte Differentialgleichungen beschrieben werden, finden sich sowohl in den Natur- als auch in den Wirtschaftswissenschaften. In letzterem ist dies sowohl auf das Vorhandensein einer zeitlichen Verzögerung in den meisten Gliedern des gesellschaftlichen Produktionszyklus als auch auf das Vorhandensein von Investitionsverzögerungen (der Zeitraum vom Beginn des Entwurfs von Objekten bis zur Inbetriebnahme bei voller Kapazität), demografischen Verzögerungen ( der Zeitraum von der Geburt bis zum Eintritt ins Erwerbsalter und der Aufnahme einer Erwerbstätigkeit nach dem Studienabschluss).

Die Berücksichtigung der zeitlichen Verzögerung bei der Lösung technischer und wirtschaftlicher Probleme ist wichtig, da das Vorhandensein einer Verzögerung die Art der erhaltenen Lösungen erheblich beeinflussen kann (z. B. kann dies unter bestimmten Bedingungen zu einer Instabilität von Lösungen führen).

Mit NACHHÖRENDES ARGUMENT

KAPITEL I. Methode der Schritte zum Lösen von Differentialgleichungen

mit abschließendes Argument

1.1. Klassifikation von Differentialgleichungen mit abweichendem Argument. Erklärung des anfänglichen Problems

Bestimmung 1 . Differentialgleichungen mit abweichendem Argument heißen Differentialgleichungen, in die die unbekannte Funktion X(t) für unterschiedliche Werte des Arguments eingeht.

X(t) = f ( t, x(t), x ) ,


X(t) = f [ t, x (t), x (t - τ 1 ), x (t − τ 2 )] ,

X(t) = f t, x (t), x (t), x [ t -τ (t )] , x [ t − τ


X(t) = f t, x (t ) , x (t) , x (t/2), x(t/2) .



(t)]

Definition 2. Eine Differentialgleichung mit verzögertem Argument ist eine Differentialgleichung mit abweichendem Argument, bei der die Ableitung höchster Ordnung der unbekannten Funktion bei gleichen Werten des Arguments auftritt und dieses Argument nicht kleiner ist als alle Argumente die unbekannte Funktion und ihre Ableitungen, die in der Gleichung enthalten sind.

Beachten Sie, dass gemäß Definition 2 die Gleichungen (1) und (3) unter den Bedingungen τ (t) ≥ 0, t − τ (t) ≥ 0 Gleichungen mit verzögertem Argument sein werden, Gleichung (2) wird die Gleichung sein

mit nacheilendem Argument, falls τ 1 ≥ 0, τ 2 ≥ 0, t ≥ τ 1, t ≥ τ 2, ist Gleichung (4) eine Gleichung mit nacheilendem Argument, da t ≥ 0.

Definition 3. Eine Differentialgleichung mit führendem Argument ist eine Differentialgleichung mit abweichendem Argument, bei der die Ableitung höchster Ordnung der unbekannten Funktion bei gleichen Werten des Arguments auftritt und dieses Argument nicht größer ist als der Rest des Arguments Argumente der unbekannten Funktion und ihrer Ableitungen, die in der Gleichung enthalten sind.

Beispiele für Differentialgleichungen mit führendem Argument:

X(t)=

f ( t, x(t), x[ t + τ (t) ] ) ,

f [ t , x (t ), x (t + τ 1 ), x (t + τ 2 )] ,

f t , x (t ), x . (t ), x [ t + τ (t )] , x . [ t + τ



(t)] .

ICH. SCHRITTMETHODE ZUM LÖSEN VON DIFFERENTIALGLEICHUNGEN

Mit NACHHÖRENDES ARGUMENT

Definition 4. Differentialgleichungen mit abweichendem Argument, die keine Gleichungen mit verzögertem oder führendem Argument sind, heißen Differentialgleichungen neutralen Typs.

Beispiele für Differentialgleichungen mit abweichendem Argument neutraler Art:

X (t) = f t, x(t) , x(t − τ ) , x(t − τ )

X (t) = f t, x(t) , x[ t − τ (t) ] , x[ t − τ (t) ] , x[ t − τ (t) ] .

Beachten Sie, dass eine ähnliche Klassifizierung auch für Systeme von Differentialgleichungen mit einem abweichenden Argument verwendet wird, indem das Wort "Funktion" durch das Wort "Vektorfunktion" ersetzt wird.

Betrachten Sie die einfachste Differentialgleichung mit abweichendem Argument:


X (t) = f [ t, x(t) , x(t − τ ) ] ,

wobei τ ≥ 0 und t − τ ≥ 0 (tatsächlich betrachten wir eine Differentialgleichung mit verzögertem Argument). Die anfängliche Hauptaufgabe beim Lösen von Gleichung (10) ist wie folgt: Bestimmen einer kontinuierlichen Lösung X (t) von Gleichung (10) für t > t 0 (t 0 -

feste Zeit) vorausgesetzt, dass X (t ) = ϕ 0 (t ) wenn t 0 − τ ≤ t ≤ t 0 , wobei ϕ 0 (t ) eine gegebene stetige Anfangsfunktion ist. Die Strecke [ t 0 − τ , t 0 ] heißt Anfangsmenge, t 0 heißt Anfangspunkt. Es wird angenommen, dass X (t 0 + 0) = ϕ 0 (t 0 ) (Abb. 1).

X (t) \u003d ϕ 0 (t)

Das Problem wird wie folgt formuliert: eine Lösung von Gleichung (10) für t > t 0 zu finden, wenn die Anfangsfunktion X (t ) = ϕ 0 t bekannt ist für t 0 − τ (t 0 ) ≤ t ≤ t 0 .

Beispiel. Finden Sie eine Lösung der Gleichung.


X (t) = f [ t, x(t) , x(t − cos 2 t) ]
für t > t 0 = 0, wenn die Anfangsfunktion X (t ) = ϕ 0 (t ) für (t 0 − cos2 t 0 ) \|	t ≤ t0
t0 = 0

− 1 ≤ t ≤ 0).

ICH. SCHRITTMETHODE ZUM LÖSEN VON DIFFERENTIALGLEICHUNGEN

Mit NACHHÖRENDES ARGUMENT

Beispiel. Finden Sie eine Lösung der Gleichung


X (t) = f [ t, x(t) , x(t / 2 ) ]	bei (t	−t	/ 2) \|
t > t 0 = 1 falls Anfangsfunktion X (t ) = ϕ t	bei (t	−t	/ 2) \|	≤ t ≤ t

			t=1		t=1

1/ 2 ≤ t ≤ 1).

Beachten Sie, dass die anfängliche Funktion normalerweise spezifiziert oder experimentell gefunden wird (hauptsächlich bei technischen Problemen).

1.2. Verzögerungsdifferentialgleichungen. Step-Methode

Betrachten Sie eine Differentialgleichung mit verzögertem Argument.

Es ist erforderlich, eine Lösung für Gleichung (13) für t ≥ t 0 zu finden.

Um eine Lösung von Gleichung (13) für t ≥ t 0 zu finden, verwenden wir die Schrittmethode (die Methode der sukzessiven Integration).

Das Wesentliche der Stufenmethode ist, dass wir zuerst eine Lösung für Gleichung (13) für t 0 ≤ t ≤ t 0 + τ finden, dann für t 0 + τ ≤ t ≤ t 0 + 2τ usw. Gleichzeitig bemerken wir zum Beispiel, dass, da sich im Bereich t 0 ≤ t ≤ t 0 + τ das Argument t − τ innerhalb von t 0 − τ ≤ t − τ ≤ t 0 ändert, dann in der Gleichung

(13) In diesem Bereich können wir anstelle von x (t − τ ) die Anfangsfunktion ϕ 0 (t − τ ) nehmen. Dann

wir erhalten das, um eine Lösung für Gleichung (13) im Bereich t 0 ≤ t ≤ t 0 zu finden		+ τ müssen neu-
nähen Sie eine gewöhnliche Differentialgleichung ohne Verzögerung in der Form:
	[ t, x(t) , ϕ 0 (t − τ ) ] ,
X(t) = f	[ t, x(t) , ϕ 0 (t − τ ) ] ,
für t 0 ≤ t ≤ t 0 + τ	mit der Anfangsbedingung X (t 0 ) = ϕ (t 0 ) (siehe Abb. 1).
	Finden einer Lösung für dieses Ausgangsproblem in der Form X (t) = ϕ 1 (t) ,	wir können posten-

löse das Problem, eine Lösung auf der Strecke t 0 + τ ≤ t ≤ t 0 + 2τ zu finden, usw.

Also haben wir:

			0 (t − τ ) ] ,
	X (t) = f [ t, x(t) , ϕ		0 (t − τ ) ] ,
bei t 0	≤ t ≤ t0 + τ , X (t0 )		= ϕ 0 (t 0 ) ,

	X (t) = f [ t, x(t) , ϕ 1 (t − τ ) ] ,
für t 0 +τ ≤ t ≤ t 0 + 2 τ ,			X (t 0 + τ ) = ϕ 1(t 0 + τ ) ,

	X (t) = f [ t, x(t) , ϕ 2 (t − τ ) ] ,
für t 0 + 2τ ≤ t ≤ t 0 + 3τ ,			X (t 0 + 2 τ ) = ϕ 2 (t 0 + 2 τ ) ,

	X (t) = f [ t, x(t) , ϕ n (t − τ ) ] ,
für t 0 + n τ ≤ t ≤ t 0 + (n +1 ) τ , X (t 0 + n τ ) = ϕ n (t 0 + n τ ) ,
	ϕ i (t ) ist	Lösung der betrachteten Initiale		Aufgaben auf dem Segment
t 0 + (i −1 ) ≤ t ≤ t 0 + i τ		(I=1,2,3…n,…).

ICH. SCHRITTMETHODE ZUM LÖSEN VON DIFFERENTIALGLEICHUNGEN

Mit NACHHÖRENDES ARGUMENT

Diese Schrittmethode zum Lösen einer Differentialgleichung mit einem verzögerten Argument (13) ermöglicht es uns, die Lösung X (t) in einem endlichen Änderungsintervall von t zu bestimmen.

Beispiel 1. Finden Sie mit der Schrittmethode eine Lösung für eine Differentialgleichung erster Ordnung mit verzögertem Argument

	(t) = 6 X (t − 1 )

im Bereich 1 ≤ t ≤ 3, wenn die Anfangsfunktion für 0 ≤ t ≤ 1 die Form X (t ) = ϕ 0 (t ) = t hat.
Entscheidung. Lassen Sie uns zunächst eine Lösung für Gleichung (19) im Bereich 1 ≤ t ≤ 2 finden. Dafür ein
(19) ersetzen wir X (t − 1) durch ϕ 0 (t − 1) , d.h.
X (t − 1 ) = ϕ 0 (t − 1 ) = t\| t → t − 1 = t − 1
und berücksichtige X (1) = ϕ 0 (1) = t \|

Im Bereich 1 ≤ t ≤ 2 erhalten wir also eine gewöhnliche Differentialgleichung der Form
	(t )= 6 (t − 1 )

oder dx(t)	6 (t –1 ) .

Wenn wir sie unter Berücksichtigung von (20) lösen, erhalten wir die Lösung von Gleichung (19) für 1 ≤ t ≤ 2 in der Form
X (t) = 3 t 2 − 6 t + 4 = 3 (t − 1 ) 2 + 1.
Um eine Lösung im Bereich 2 ≤ t ≤ 3 in Gleichung (19) zu finden, ersetzen wir X (t − 1) durch
ϕ 1 (t −1 ) = 3 (t −1 ) 2 +1 \| t → t − 1		3(t − 2) 2 + 1. Dann erhalten wir das Gewöhnliche	Differential
Die gleichung:
	(t ) = 6[ 3(t − 2) 2 + 1] , X( 2) = ϕ 1 ( 2) = 4 ,

dessen Lösung die Form hat (Abb. 2)
X ( t ) = 6 ( t − 2 ) 3 + 6 t − 8 .

Logistische Gleichung mit Zeitverzögerung kann bei der Untersuchung von Räuber-Beute-Interaktionen angewendet werden - Stabile Grenzzyklen in Übereinstimmung mit der logistischen Gleichung.
Das Vorhandensein einer Zeitverzögerung ermöglicht es, eine andere Art der Modellierung eines einfachen Systems von Räuber-Beute-Beziehungen anzuwenden.

Diese Methode basiert auf der logistischen Gleichung (Abschnitt 6.9):

Tabelle 10.1. Die grundsätzliche Ähnlichkeit der Populationsdynamik ergibt sich im Lotka-Volterra-Modell (und generell bei Modellen vom Räuber-Beute-Typ) einerseits und im logistischen Modell mit Zeitverzögerung andererseits. In beiden Fällen gibt es einen Vier-Phasen-Zyklus mit Maxima (und Minima) der Räuberhäufigkeit, gefolgt von Maxima (und Minima) der Beutehäufigkeit.

Die Wachstumsrate der Raubtierpopulation in dieser Gleichung hängt von der anfänglichen Häufigkeit (C) und der spezifischen Wachstumsrate ab, r-(K-C) I Kf, wobei K die Sättigungsgrenze der Raubtierpopulation ist. Die relative Geschwindigkeit wiederum hängt vom Grad der Umweltunternutzung (C-S) ab, der im Fall einer Raubtierpopulation als das Ausmaß angesehen werden kann, in dem die Bedürfnisse des Raubtiers durch die Verfügbarkeit der Beute überschritten werden. Allerdings spiegelt die Verfügbarkeit von Beute und damit die relative Wachstumsrate der Raubtierpopulation oft die Dichte der Raubtierpopulation zu einem früheren Zeitpunkt wider (Abschnitt 6.8.4). Mit anderen Worten, es kann eine zeitliche Verzögerung bei der Reaktion einer Raubtierpopulation auf ihre eigene Dichte geben:
dC`l (Know-Iag\
- - G. Gnow j.
Wenn diese Verzögerung klein ist oder sich das Raubtier zu langsam reproduziert (d. h. der Wert von r klein ist), dann wird sich die Dynamik einer solchen Population nicht merklich von der unterscheiden, die durch eine einfache logistische Gleichung beschrieben wird (siehe May, 1981a). Ho bei mittleren oder hohen Werten der Verzögerungszeit und der Reproduktionsrate oszilliert die Population mit stabilen Grenzzyklen. Wenn diese stabilen Grenzzyklen außerdem gemäß der logistischen Gleichung mit Zeitverzögerung auftreten, dann ist ihre Dauer (oder "Periode") ungefähr viermal länger als die Dauer von

Opfer, um den Mechanismus der Schwankungen ihrer Zahl zu verstehen.
Es gibt eine Reihe von Beispielen aus natürlichen Populationen, in denen regelmäßige Schwankungen in der Anzahl von Raubtieren und Beutetieren festgestellt werden können. Sie werden in Abschn. besprochen. 15.4; nur ein Beispiel wird hier nützlich sein (siehe Keith, 1983). Schwankungen der Hasenpopulation werden von Ökologen seit den zwanziger Jahren unseres Jahrhunderts diskutiert, und Jäger entdeckten sie 100 Jahre früher. Zum Beispiel hat der amerikanische Hase (Lepus americanus) in den borealen Wäldern Nordamerikas einen „10-jährigen Populationszyklus“ (obwohl seine Dauer tatsächlich zwischen 8 und 11 Jahren variiert; Abb. B). Unter den pflanzenfressenden Tieren dieser Region überwiegt der weiße Hase; er ernährt sich von Triebspitzen zahlreicher Sträucher und kleiner Bäume. Schwankungen in seiner Häufigkeit entsprechen Schwankungen in der Häufigkeit einer Reihe von Raubtieren, einschließlich des Luchses (Lynx canadensis). 10-jährige Populationszyklen sind auch für einige andere pflanzenfressende Tiere charakteristisch, nämlich das Halsband-Haselhuhn und das amerikanische Wildhuhn. In Hasenpopulationen treten häufig 10- bis 30-fache Änderungen der Häufigkeit auf, und unter günstigen Bedingungen können 100-fache Änderungen beobachtet werden. Diese Schwankungen sind besonders beeindruckend, wenn sie über ein riesiges Gebiet von Alaska bis Neufundland fast gleichzeitig auftreten.
Der Rückgang des Weißen Hasen wird von geringer Fruchtbarkeit, geringer Überlebensrate der Jungtiere, Gewichtsverlust und geringer Wachstumsrate begleitet; all diese Phänomene lassen sich im Versuch reproduzieren und verschlechtern die Ernährungsbedingungen. Darüber hinaus bestätigen direkte Beobachtungen eine Abnahme der Nahrungsverfügbarkeit in Zeiten maximalen Hasenreichtums. Aber vielleicht noch wichtiger: Pflanzen reagieren auf starkes Fressen mit der Bildung von Sprossen mit einem hohen Gehalt an giftigen Stoffen, was sie für Hasen ungenießbar macht. Und es ist besonders wichtig, dass Pflanzen nach starkem Knabbern 2-3 Jahre auf diese Weise geschützt bleiben. Dies führt zu einer Verzögerung zwischen dem Beginn des Rückgangs des Hasenbestands und der Wiederherstellung seiner Nahrungsreserven von etwa 2,5 Jahren. Zweieinhalb Jahre – und da ist schon die Zeitverzögerung, die ein Viertel der Dauer eines Zyklus beträgt, was genau den Vorhersagen einfacher Modelle entspricht. Es gibt also offenbar eine Wechselwirkung zwischen der Hasenpopulation und den Pflanzenpopulationen, die die Anzahl der Hasen reduziert und zeitlich verzögert auftritt, was zyklische Schwankungen verursacht.
Raubtiere hingegen folgen höchstwahrscheinlich den Schwankungen in der Anzahl der Hasen und verursachen sie nicht. Dennoch dürften die Schwankungen aufgrund des hohen Verhältnisses der Zahl der Räuber zur Zahl der Beute während der Zeit des Rückgangs der Hasenzahl sowie aufgrund ihres geringen Verhältnisses in der Zeit nach der Mindestzahl stärker ausgeprägt sein von Hasen, wenn sie vor dem Raubtier ihre Anzahl wiederherstellen (Abb. 10.5). Darüber hinaus frisst das Raubtier bei einem hohen Verhältnis der Anzahl der Luchse zur Anzahl der Hasen eine große Menge Hochlandwild und bei einem niedrigen Verhältnis eine kleine Menge. Dies verursacht offenbar Schwankungen in der Anzahl dieser kleinen pflanzenfressenden Tiere (Abb. 10.5). So verursacht die Hase-Pflanze-Interaktion Schwankungen in der Häufigkeit des Hasen, Raubtiere wiederholen Schwankungen in ihrer Häufigkeit, und Populationszyklen bei pflanzenfressenden Vögeln werden durch Änderungen im Druck der Raubtiere verursacht. Offensichtlich sind einfache Modelle nützlich, um die Mechanismen von Populationsschwankungen unter natürlichen Bedingungen zu verstehen, aber diese Modelle erklären das Auftreten dieser Schwankungen keineswegs vollständig.

Probleme für Gleichungen mit Verzögerung. Betrachten Sie ein Variationsproblem, bei dem die Steuerung den Phasenverlauf des Systems durch das Cauchy-Problem für die Gleichung mit Verzögerung bestimmt

In der Literatur werden solche Systeme oft als Systeme simultaner Gleichungen bezeichnet, was bedeutet, dass hier die abhängige Variable einer Gleichung gleichzeitig als Variable (aber bereits als unabhängige) in einer oder mehreren anderen Gleichungen auftreten kann. In diesem Fall verliert die traditionelle Unterscheidung zwischen abhängigen und unabhängigen Variablen ihre Bedeutung. Stattdessen wird zwischen zwei Arten von Variablen unterschieden. Dies sind zum einen gemeinsam abhängige Variablen (endogen), deren Einfluss aufeinander untersucht werden muss (Matrix A im Term Ay t) des obigen Gleichungssystems). Zweitens sind vordefinierte Variablen, die die ersten beeinflussen sollen, aber von ihnen nicht beeinflusst werden, Lag-Variablen, d.h. Verzögerung (zweiter Term) und exogene Variablen, die außerhalb des gegebenen Gleichungssystems definiert sind.

Für Gleichungen mit allgemeinen Arten von Verzögerungen und einer mehr oder weniger weitreichenden Angabe des Rests gibt es jedoch noch keine ausreichend zuverlässigen Ergebnisse bezüglich der Eigenschaften von Schätzungen. Somit haben die Schätzungen für eine Regressionsgleichung mit einer allgemeinen Polynomform der Verzögerung nur die Konsistenzeigenschaft, und die Schätzungen für Gleichungen mit verzögerten exogenen und endogenen Variablen, die durch die dreistufige Methode der kleinsten Quadrate (bei Vorhandensein einer ersten Ordnungs-Markov-Residuumsautokorrelation) haben diese Eigenschaft gar nicht (siehe Abb. Notenanalyse in ).

Bei der Synthese von Hochgeschwindigkeitssystemen mit maximaler Stabilität müssen daher zunächst die optimalen Werte von bj bestimmt werden, die die Erfüllung der Bedingung (4), ng und ω (1 = 1, n) gewährleisten. dann finde с/, wobei (10) und schließlich aus Bedingung (12) für einen gegebenen Wert von C wähle dj. Kommentar. Aus den betrachteten Fällen folgt, dass die Strukturen optimaler Lösungen, d. h. die Anzahl der reellen und komplex konjugierten Paare rechtsextremer Wurzeln, ihre Kombination, Multiplizitäten und folglich die Arten von Hodographen optimaler Lösungen im X Ebene, hängen von der Dimension der Kontrolle m (1.2) ab und für hinreichend höhere Ordnungen hängen n (1.1) nicht vom Wert von n selbst ab. Mit anderen Worten, jedes gegebene m entspricht seiner eigenen wohldefinierten Anzahl von Strukturen von optimalen Lösungen neue optimale Lösungen. Daher bleibt für n -> QO die Möglichkeit, Systeme maximaler Stabilität zu synthetisieren, die Strukturen optimaler Lösungen werden nur durch m bestimmt, was bedeutet, dass für beliebige m auch die Strukturen optimaler Lösungen für Objekte mit bekannt sind verzögern.

Es stellt sich die Frage, wie man den Wert der Zeitverzögerung für jeden Indikator bestimmt.Um die geeigneten Zeitverzögerungen zu bestimmen, verwenden wir die Korrelationsanalyse von Zeitreihen von Daten. Das Hauptkriterium für die Bestimmung der Zeitverzögerung ist der größte Wert des Kreuzkorrelationskoeffizienten für die Zeitreihen von Indikatoren mit unterschiedlichen Verzögerungszeiten ihrer Auswirkung auf die Inflationsrate. Als Ergebnis nimmt die Gleichung die folgende Form an

Darüber hinaus ermöglicht Ihnen die S. d.-Methode, im Rahmen eines Modells zahlreiche Ströme (physische Kontrolle und Information) und die Ebenen der Kapitalinvestition und der Verfügung über die Mittel, die diese Ströme akkumulieren, mit der Ebene der Basis zu verbinden. Kapital, Geburten- und Sterberaten in verschiedenen Altersgruppen mit der Altersstruktur der Bevölkerung usw. -rykh eignen sich für eine relativ einfache experimentelle Untersuchung der Stabilität in Abhängigkeit von den Parametern und der Struktur des Modells selbst.

Regeln können auch nach anderen Kriterien gruppiert werden. Например, по инструменту денежно-кредитной политики (валютный курс , процентная ставка или денежный агрегат) по наличию внешнеэкономических связей (открытая или закрытая экономика) по включению прогноза экономических переменных в уравнение правила (перспективные и адаптивные правила) по величине запаздывания (с лагами или без ) usw.

Das Modell, das die Flugzeit des Projektils und die Verzögerung bei der Feuerübertragung berücksichtigt, ermöglicht es, Verzögerungen im System der Frühwarnung vor einem feindlichen Raketenangriff und im System der Weltraumüberwachung seiner Atomrakete zu berücksichtigen Kräfte. Dieses Modell wird durch die Gleichungen definiert

Der Block mit konstanter Verzögerung BPZ-2M wurde entwickelt, um Funktionen mit einem Verzögerungsargument in analogen Rechengeräten zu reproduzieren und kann bei der elektrischen Modellierung von Prozessen im Zusammenhang mit dem Transport von Materie oder der Energieübertragung verwendet werden, wenn die Gleichungen komplexer Objekte mit mehreren Kapazitäten approximiert werden durch Gleichungen erster und zweiter Ordnung mit Verzögerung.

Entscheidungsfunktionen sind eine Formulierung einer Verhaltensweise, die bestimmt, wie die verfügbaren Informationen über die Füllstände zur Auswahl von Entscheidungen in Bezug auf die Werte der aktuellen Durchflussraten führen. Die Lösungsfunktion kann die Form einer einfachen Gleichung annehmen, die die einfachste Reaktion des Materialflusses auf die Zustände einer oder zweier Ebenen bestimmt (z , was ein Niveau ist, und eine Konstante - die durchschnittliche Verzögerung für die Transportzeit). Andererseits kann die Entscheidungsfunktion eine lange und detaillierte Kette von Berechnungen sein, die unter Berücksichtigung von Änderungen einer Anzahl zusätzlicher Bedingungen durchgeführt werden.

Derzeit ist noch nicht ganz klar, welcher Faktor der Hauptgrund für das Fehlen von Kieselalgen im Baikalsee während Kälteperioden ist. In [Grachev et al., 1997] wird die durch die Arbeit der Berggletscher verursachte erhöhte Trübung des Wassers als entscheidend angesehen, in [Gavshin et al., 1998] ist die Hauptursache der Abfall der Siliziumkonzentration durch Erosionsschwund im Einzugsgebiet des Baikalsees. Die Modifikation des Modells (2.6.7), bei dem die erste Gleichung die Dynamik der Siliziumkonzentration und die zweite die Dynamik der Sedimentation von Schwebstoffen beschreibt, ermöglicht es uns, einen Ansatz vorzuschlagen, um zu identifizieren, welcher dieser beiden Faktoren der Hauptfaktor ist . Es ist klar, dass die Biota des Baikalsees aufgrund der riesigen Wassermassen im Vergleich zu den Pflanzengemeinschaften im Einzugsgebiet des Sees mit einiger Verzögerung auf den Klimawandel reagieren werden. Daher muss das Diatomeensignal hinter dem palynologischen Signal zurückbleiben. Wenn der Hauptgrund für das Verschwinden von Kieselalgen in kalten Perioden eine Abnahme der Siliziumkonzentration ist, dann sollten solche Verzögerungen bei der Reaktion auf die Erwärmung größer sein als die Verzögerungen bei der Abkühlung. Wenn andererseits der Hauptfaktor für die Unterdrückung von Kieselalgen die Trübung aufgrund von Gletschern ist, dann sollte die Verzögerung der Reaktionen auf Abkühlung ungefähr gleich oder sogar größer sein als auf Erwärmung.

Wie der Leser vielleicht bemerken wird, beschreibt die letzte Gleichung das Verhalten des einfachsten selbstregulierenden Mechanismus mit einer proportionalen Verzögerung. Anhang A enthält ein Blockschaltbild

Das PERRON97-Verfahren bestimmt in diesem Fall als Knickdatum 1999 07, wenn die Wahl des Knickdatums nach der Minimum-Statistik des Einheitswurzelkriteriums ta=i, über alle möglichen Knickpunkte genommen, erfolgt. Gleichzeitig ist ta = = - 3,341, was über 5% des kritischen Niveaus - 5,59 liegt, und die Hypothese der Einheitswurzel wird nicht abgelehnt. Die größte Verzögerung der auf der rechten Seite der Gleichungen enthaltenen Differenzen wird im Rahmen der Anwendung des GS-Verfahrens zu 12 gewählt, um das Modell mit einem Signifikanzniveau von 10 % zu reduzieren.